1) O documento discute vários conceitos e medidas de risco, incluindo medidas derivadas da teoria de utilidade, axiomatizações de medidas de risco, desvio padrão, downside risk, medidas condicionais, Value-at-Risk e Conditional Value-at-Risk. 2) É apresentada uma classe geral de medidas de risco baseadas em momentos parciais e distribuições. 3) O Value-at-Risk não é uma medida coerente de risco, ao contrário do Conditional Value-at-Risk.

1. Medidas de Risco
Análise de Risco (3)
R.Vicente
1

2. Resumo
O que é uma medida de Risco
Medida de risco derivada da Teoria de Utilidade
Axiomatizações
Medidas Coerentes
Downside Risk
Medidas Condicionais
VaR
CVaR
Bibliografia
2

3. Qual carteira é mais arriscada ?
CARTEIRA A CARTEIRA B
RETORNO PROBABILIDADE PROBABILIDADE
-10 0,01 0,01
-7,5 0,04 0,04
-5 0,05 0,25
-2,5 0,1 0,25
0 0,5 0,3
2,5 0,15 0,1
5 0,15 0,05
RET ESPERADO 0,225 -1.775
DESVIO PADRAO 3,124 3,128
1% VaR -10 -10
5% VaR -7,5 -7,5
0,6
0,5
0,4
CARTEIRA A
0,3
CARTEIRA B
0,2
0,1
0
1 2 3 4 5 6 7 3

4. O que é uma medida de risco ?
Relação de preferência:
A B ⇔ Φ(X A ) > Φ(X B )
Relação de risco:
A R
B ⇔ R(X A ) > R(X B )
R(.) = medida de risco
4

5. O que é uma medida de risco ?
Relação de preferência:
A B ⇔ Φ(X A ) > Φ(X B )
Carteira Eficiente (Markowitz):
Φ(X A ) = H ⎡ var[X ], E [X ]⎤
⎢⎣ A A ⎥
⎦
X A é o retorno da carteira A.
5

6. Dois Tipos de Medidas de Risco
Tipo 1: Amplitude de desvios em relação a
uma meta.
Tipo 2: Capital necessário ou Prêmio a ser
cobrado.
6

7. Medidas de Risco Derivadas da
Teoria de Utilidade
Medida de Risco Padrão (Jia e Dyer ’96):
R ( X ) = −E U ( X − E X )
Se U (x ) = ax − bx 2 :
R ( X ) = −E a ( X − E X ) − b ( X − E X )
2
= b var X
7

8. Medidas de Risco Derivadas da
Teoria de Utilidade
U (x ) = ax − bx 2
1,0
-
(2,0)
(1,7)
(1,4)
(1,1)
(0,8)
(0,5)
(0,2)
0,1
0,4
0,7
1,0
1,3
1,6
1,9
2,2
2,5
2,8
(1,0)
(2,0)
(3,0)
(4,0)
(5,0)
(6,0)
(7,0)
8

9. Medidas de Risco Derivadas da
Teoria de Utilidade
Se U (x ) = ax − bx 2 + cx 3 :
R ( X ) = −E a ( X − E X ) − b ( X − E X ) + c( X − E X )
2 3
3
= b var X − cλ3 var X 2
20,0
15,0
10,0
5,0
-
(2,0)
(1,7)
(1,4)
(1,1)
(0,8)
(0,5)
(0,2)
0,1
0,4
0,7
1,0
1,3
1,6
1,9
2,2
2,5
2,8
(5,0)
(10,0)
(15,0)
(20,0) 9

10. Medidas de Risco Derivadas da
Teoria de Utilidade
Se U (x ) = ax − x :
R ( X ) = −E a ( X − E X ) − X − E X
= DMA X
4,0
3,0
2,0
1,0
-
(2,0)
(1,7)
(1,4)
(1,1)
(0,8)
(0,5)
(0,2)
0,1
0,4
0,7
1,0
1,3
1,6
1,9
2,2
2,5
2,8
(1,0)
(2,0)
(3,0)
(4,0)
(5,0)
(6,0)
(7,0)
10

11. Axiomatizações
Pedresen-Satchell ‘98 :
( PS 1) R ( X ) ≥ 0 Risco como desvio.
( PS 2) R(cX ) = cR( X ) c ≥ 0 Proporcional ao tamanho.
( PS 3) R ( X 1 + X 2 ) ≤ R( X 1 ) + R ( X 2 ) Diversificável.
( PS 4) R( X + c) ≤ R( X ) ∀c Risk-free não altera a
medida.
11

12. Axiomatizações
A medida de Risco é convexa :
0 ≤ c ≤1
( PS 2)e( PS 3) R (cX 1 + (1− c) X 2 ) ≤ cR( X 1 ) + (1− c) R( X 2 )
12

13. Axiomatizações
De (PS4), (PS 3) e (PS 1) :
( PS 4) R ( X + c) ≤ R ( X ) ∀c
( PS 3) R ( X 1 + X 2 ) ≤ R( X 1 ) + R( X 2 )
R ( X + c ) ≤ R ( X ) ⇔ R ( X ) + R (c ) ≤ R ( X ) ⇒
R (c ) ≤ 0
( PS1) R(c) ≥ 0 ⇒ R (c) = 0
13

14. Axiomatizações: Medidas Coerentes
Artzner-Delbaen-Eber-Heath ‘99 :
( ADEH 1) R ( X 1 + X 2 ) ≤ R ( X 1 ) + R ( X 2 ) Diversificável.
( ADEH 2) R(cX ) = cR( X ) c ≥ 0 Proporcional ao tamanho.
( ADEH 3) R ( X + c) = R ( X ) − c ∀c Redução de Risco por
Alocação.
( ADEH 4) X ≤ Y ⇒ R (Y ) ≤ R ( X )
+ arriscado = maior perda
14

15. Axiomatizações: Medidas Coerentes
Artzner-Delbaen-Eber-Heath ‘99 :
( ADEH 3) R ( X + c) = R ( X ) − c
c = R( X ) ⇒ R( X + R( X )) = 0
Tipo 2: Redução de Risco por alocação de capital.
15

16. Medidas Tipo 1: Desvio Padrão
Markowitz ’52:
R ( X ) = var( X )
Vantagens: Desvantagens:
(1) Fácil de calcular e manipular; (1) Trata perdas e ganhos
igualmente;
(2) Fácil de otimizar.;
(2) Insensível a caudas pesadas;
(3) Fácil de estimar.
(3) Fácil de estimar.
16

17. Medidas Tipo 1: Desvio Padrão
Kijima e Ohnishi ’93:
1
k k
R( X ) = E X − E X
1.200,0
1.000,0
800,0
600,0
400,0
200,0
-
(2,4)
(2,1)
(1,8)
(1,5)
(1,2)
(0,9)
(0,6)
(0,3)
0,0
0,3
0,6
0,9
1,2
1,5
1,8
2,1
2,4
17

18. Downside Risk
Risco de queda em relação a um determinado benchmark.
Momentos parciais de grau k (Fishburn ’77):
LPM k ( X ; b) = E max (b − X , 0)
k
Caso k=0 (Probabilidade de Queda): SPb (X ) = P {X ≤ b } = F (b)
Caso k=1 (Queda Esperada): SEb = E max (b − X , 0)
SVb = E max (b − X , 0)
2
Caso k=2 (Dispersão da Queda):
18

19. Downside Risk
Escolhendo b=E X :
Semi Desvio Absoluto Esperado: R( X ) = E max ( E X − X , 0)
R( X ) = E max ( E X − X , 0)
2
Semi Variância:
19

20. Medidas Condicionais
Queda Condicional Esperada:
MELb ( X ) = E b − X X ≤ b
= ∫ dx (b − X ) p( x X ≤ b)
p ( x ∧ X ≤ b)
=∫ dx (b − x)
P ( X ≤ b)
E max (b − X , 0) SEb ( X )
= =
P ( X ≤ b) SPb ( X )
20

21. Classe Geral de Medidas de Risco
⎡ ⎤
z b
R( X ) = ⎢ ∫ ( x − c ) w[ F ( y ) ] f ( y )dy ⎥
a
⎢⎣ −∞ ⎥⎦
Satisfazem os Axiomas PS
21

22. Medidas Tipo 2: Value-at-Risk
A perda potencial na janela de tempo h é:
L = Vt −Vt−h
O VaR no nível de confiança α é implicitamente definido
através de:
P( L > VaRα ) = α
Assim: VaRα = F −1 (1− α )
22

23. Medidas Tipo 2: Value-at-Risk
Propriedades:
( ADEH 2) VaRα (cX ) = cVaRα ( X ) c ≥ 0
( ADEH 3) VaRα ( X + c) = VaRα ( X ) − c ∀c
( ADEH 4) X ≤ Y ⇒ VaRα (Y ) ≤ VaRα ( X )
No entanto:
( ADEH 1) VaRα ( X 1 + X 2 ) ≤ VaRα ( X 1 ) + VaRα ( X 2 )
Vale para distribuições normais mas não vale em geral.
O Value-at-Risk não é uma medida coerente !
23

24. VaR Condicional
Medida coerente na maioria dos casos práticos.
CVaRα ( L) = E L L > VaRα
Pode ser decomposto como:
CVaRα ( L) = VaRα ( L) + E L −VaRα L > VaRα
24

25. Bibliografia
• Alexander, C. Market Models 2001
• Albrecht, P., Risk Measures, preprint 2004
Leitura Complementar
Jia, J. Dier, J.S. : A Standard Measure of Risk and Risk-Value Models,
Management Science 42, 1691-1705 (1996)
25