2. Resumo
PARTE 1: MEDINDO VaR
Fatores de Risco
Valor em Risco (VaR)
Profit & Loss (P&L)
VaR Paramétrico
Calculando o VaR
PARTE 2: ESTIMANDO VOLATILIDADES E CORRELAÇÕES
Exponentially Weighted Moving Averages (EWMA)
Estimando Correlações
GARCH
PARTE 3: VaR DE ATIVOS NÃO-LINEARES
Letras “Gregas”
Aproximação Delta
Aproximação Linear (Delta-Rô-Vega-Teta)
Aproximação Delta-Gama
Aproximação de Cornish-Fisher
Transformações de Johnson
Bibliografia
2
4. Fatores de Risco
Valor de Mercado de uma carteira depende de uma série de fatores de
mercado:
V ( S1 , S 2 ,..., S N )
Estes fatores podem ser :
• Preços de mercado;
• Taxas de juro;
• Spreads de crédito;
A Gestão de Risco consiste em monitorar possíveis alterações futuras no
valor de mercado de uma carteira em uma janela de tempo definida:
ΔV (S1, S2 ,..., SN ) =V (S1(t +Δt),..., SN (t +Δt)) −V (S1(t),..., SN (t))
Profit & Loss
4
5. Value at Risk
−VaRx %
P(ΔV < −VaRx % ) = ∫ dv p (v) = 1− x
−∞
x%
FATOR 1
Nível de confiança x
Janela
FATOR 2 de
Tempo VaRα
Mark-to-market
σ 5
6. Benchmark Value at Risk
Retorno Esperado Livre de Risco
B-VaR x
r ( t ) Δt
Δ BV (S) = V (S(t + Δt )) −V (S(t ))e 6
7. P&L como Combinação Linear dos
Fatores de Risco
V (S(t + Δt )) ≈ V (S(t ) + ΔS)
∂VN
V (S + ΔS) ≈ V (S) + ∑ ΔS j
j =1 ∂S j
Equivalente N
∂V ⎛ ΔS j ⎞
⎜ ⎟
Delta ΔV ≈ ∑ S j ⎜
⎜ S ⎟
⎟
⎟
j =1 ∂S j ⎜ j ⎠
⎝
∂V ΔS j N
δj ≡ S j Rj ≡ ΔV ≈ ∑ δ j R j
∂S j Sj j =1
7
8. P&L como Combinação Linear dos
Fatores de Risco: Exemplo
P&L em Reais de Ação negociada em Dólar:
V ( S A , S FX ) = S A S FX
ΔV ≈ δ A RA + δFX RFX
∂V
δA ≡ S A = S A S FX = V
∂S A
∂V
δFX ≡ S FX = S FX S A = V
∂S FX
ΔV ≈ V ( RA + RFX )
8
9. P&L com Benchmark
Δ BV ≈ V ( S + ΔS ) −V ( S )e rΔt
N
Δ BV ≈ V ( S ) + ∑ δ j R j −V ( S )(1 + rΔt )
j =1
N
Δ BV ≈ ∑ δ j R j −VrΔt
j =1
9
10. VaR Paramétrico
Suposição I: Fatores de Risco seguem um movimento Browniano
geométrico:
dS (t )
= μdt + σ dW (t ) ,
S (t )
onde dW(t) é um processo de Wiener com
dW (t ) = εt dt εt ~ N (0,1)
Os log-retornos portanto apresentam o seguinte comportamento:
⎛ σ2 ⎞
RΔt = ⎜μ − ⎟ Δt + σε Δt
⎜ ⎟
⎟
⎜
⎝ 2⎠ ⎟
10
11. VaR Paramétrico
Suposição II: Para janelas de tempo suficientemente pequenas os retornos
têm valor esperado nulo:
RΔt = σε Δt
O P&L futuro na janela de tempo Δt para um ativo com um único
fator de risco é, portanto uma variável aleatória da seguinte forma:
ΔS ≈ S σε Δt ε ~ N (0,1)
11
12. VaR Paramétrico
Utilizando volatilidade diária e Δt = 1
obtemos o P&L potencial para 1
dia como:
ΔS ≈ Sσε
Empregando a definição de VaR:
P (ε ) VaR = ασ S
Confiança α
ε=0 95% 1,645
97,5% 1,960
ε = −ασ 99% 2,326
(1-x) %
12
13. VaR Paramétrico com Benchmark
A perda potencial considerando o benchmark é:
ΔS ≈ −ασ S − Sr
Empregando a definição de VaR:
VaR = (ασ + r ) S
13
14. VaR de uma Carteira
Seja uma carteira cujo valor possa ser decomposto em N fatores de
Risco:
Os N fatores de risco acima são amostras de uma distribuição normal
multidimensional:
1 ⎡1 −1 ⎤
p(R ) = exp ⎢ R ⋅ C R ⎥
2π Det (C) ⎢⎣ 2 ⎥⎦
Temos que:
Rj = 0 R j Rk = C jk
14
15. VaR de uma Carteira
O VaR da carteira é: VaRPort = ασ PortV
σ Port = (ΔV ) − ΔV
2 2 2
⎡ ⎤
2
= ∑ δ j δk R j Rk − ⎢⎢ ∑ δ j R j ⎥⎥
jk ⎢⎣ j ⎥⎦
= ∑ δ j δk C jk
jk
onde C jk é a matriz de covariância.
15
16. VaR de uma Carteira
Alternativamente podemos escrever:
VaRPort = ασ PortV
= αV ∑δ δ C
jk
j k jk
⎛ C jk ⎞ ⎟
⎜
= ∑ (αV σ j δ j )⎜ ⎟
⎜ ⎟(αV σk δk )
⎟
jk ⎜ σ j σk ⎠
⎝
= ∑ VaR ρ
jk
j jk VaRk
= VaR ⋅ ρVaR Matriz de
Correlação 16
21. EWMA: Exponentially
Weighted Moving Average
O estimador EWMA para volatilidades é definido como:
T
∑ λ τ −1 ( Rt−τ − R ) 2
σt =
ˆ τ =1
T
, 0 < λ <1
∑ λ τ −1
τ =1
Observando que o fator de normalização é por uma progressão
geométrica:
T
1− λ T +1
∑ λ = 1− λ
τ =1
τ −1
21
23. EWMA:Forma Recorrente
O estimador pode ser obtido como uma equação de recorrência:
∞
ˆt2 = (1−λ)∑λτ−1Rt2 τ
σ −
τ =1
= (1−λ)(R +λR +λ R + )
2
t−1
2
t−2
2 2
t−3
= (1−λ) R +λ(1−λ)(R +λR +λ R + )
2
t−1
2
t−2
2
t−3
2 2
t−4
∞
= (1−λ)Rt2 1 +λ(1−λ)∑λτ−1R(2t−1)−τ
−
τ =1
= (1−λ)Rt2 1 +λσt2−1
− ˆ
23
24. EWMA: Janela Efetiva
O estimador EWMA atribui pesos maiores a retornos mais recentes. A
massa total de retornos ocorridos a mais de K dias passados é:
∞
Ω∞ = (1−λ)∑λτ
K
τ =K
= λ K (1−λ)(1+λ +λ2 + ) = λ K
=1
Se fixarmos esta massa em um valor de confiança ϒ %
(e.g. 99%, 99,5%)
podemos calcular a janela efetiva utilizada:
ln(1− ϒ % )
K=
ln λ
24
26. EWMA: Otimização de λ
Definimos o erro na predição da variância como:
εt +1t = R −σ
2
ˆt2+1t
t +1
O parâmetro ótimo é aquele que minimiza a raiz do erro quadrado total
em uma janela de T dias:
T
E(λ) = ∑ε
t =1
2
t +1 t
(λ)
26
27. EWMA: Correlações
O EWMA pode ser generalizado para covariâncias:
∞
C jk ,t = (1− λ )∑ λ τ −1 R j ,t−τ Rk ,t−τ
ˆ
τ =1
A versão recorrente é:
ˆ ˆ
C jk ,t = λC jk ,t−1 + (1− λ ) R j ,t−1 Rk ,t−1
27
28. EWMA: Matrizes Positivas
Semi-definidas
O método EWMA produz matrizes que são positivas semi-definidas.
ˆ ˆ
C jk ,t = λC jk ,t−1 + (1− λ ) R j ,t−1 Rk ,t−1
Suponha que ˆ
Ct−1seja positiva semi-definida, então:
ˆ
u ⋅ Ct−1u ≥ 0 ∀u
Analisando o segundo termo teremos:
⎛ ⎞
2
⎜ u R ⎟ ≥0
∑ u j ( R j ,t−1Rk ,t−1 )uk = ⎜∑ j j ,t−1 ⎠
j ,k
⎜
⎜
⎝ j
⎟
⎟
⎟
28
29. EWMA: Matrizes Positivas
Semi-definidas
Combinações lineares de matrizes positivas semi-definidas são positivas semi-
definidas:
∑u C
ˆ
j jk ,t uk = λ ∑ u j C jk ,t−1uk + (1− λ )∑ u j ( R j ,t−1 Rk ,t−1 ) uk ≥ 0
ˆ
jk jk jk
Assim:
(u ⋅ C
ˆ
t −1 ) (
ˆ
u ≥ 0 ∀ u ⇒ u ⋅ Ct u ≥ 0 ∀ u )
Basta então garantirmos que ˆ
C1seja positiva semi-definida
escolhendo :
ˆ
C jk ,1 ≡ R j ,0 Rk ,0
29
30. EWMA: Matrizes de Correlação
As correlações são obtidas a partir das covariâncias:
C jk
ρ jk =
C jj Ckk
30
31. EWMA: Otimização de λ
para Covariância
Para garantirmos a produção de matrizes positivas semi-definidas é
necessário que λ seja único. Definimos o erro na predição da
covariância como:
ˆ
ε jk ,t+1t = Rj ,t +1Rk ,t+1 −C jk ,t +1t
O parâmetro ótimo para o par jk é aquele que minimiza a raiz do erro
quadrado total em uma janela de T dias:
T
E jk (λ) = ∑ jk
ε2 ,t+1t (λ)
t =1
31
32. EWMA: Otimização de λ
para Covariância
A prescrição RiskMetrics para o parâmetro único é ponderar λ jk
com o inverso do erro mínimo:
λ = ∑θ jk λ
* *
jk
j≤k
Onde:
1
E jk (λ* )
θ jk = jk
⎡ 1 ⎤
∑ ⎢⎢ E (λ* ) ⎥⎥
jk ⎢ jk
⎣ jk ⎥
⎦
32
33. GARCH
Um modelo GARCH(p,q) é definido como:
p q
σt2 = α0 + ∑α j Rt2 j + ∑β jσt2− j
−
j=1 j=1
A versão mais simples é o GARCH(1,1):
σ = α0 + α R + β σ
2
t
2
1 t−1
2
1 t−1
33
34. GARCH
A versão mais simples é o GARCH(1,1):
σ = α0 + α R + β σ
2
t
2
1 t−1
2
1 t−1
A variância não-condicional é um ponto fixo da equação acima
assumindo que Rt2 1 = σ 2 :
−
α0
σ = α0 + α1σ + β1σ
2 2 2
σ =
2
1−α1 −β1
Para que a volatilidade faça sentido é necessário que: α1 + β1 < 1
34
35. GARCH
A curtose não-condicional é dada por:
6α12
κ=
1−3α12 − 2α1β1 −β12
, ou seja, leptocúrtica como as distribuições reais.
35
36. GARCH : Determinando Parâmetros
O processo GARCH gera retornos independentes com distribuição
condicional normal: ⎡ 2 ⎤
p ( Rt σt ) =
1
exp ⎢− Rt 2 ⎥
2πσt2 ⎢ 2σt ⎥
⎣ ⎦
Assumindo a dinâmica:
Rt = εt σt εt ~ N (0,1) σt2 = α0 + α1Rt2 1 + β1σt2−1
−
{Rt }t=defini-se
T
Dada a trajetória empírica uma função erro:
1
⎡T ⎤ T ⎡ ⎤
Rt2 1
E (α0 , α1 , β ) = − ln ⎢∏ p ( Rt σt )⎥ = ∑ ⎢ 2 + ln (2πσt )
2 ⎥
⎣⎢ t =1 ⎦⎥ t =1 ⎢⎣ 2σt 2 ⎥
⎦
A função erro pode ser minimizada utilizando um algoritmo standard de
otimização (e.g. Gradiente Escalonado).
36
39. “Gregas”
O P&L de uma opção é função de variações do ativo objeto, do
prazo, da volatilidade implícita e da taxa de juros:
ΔV ( S , τ , σ I , r )
Uma expansão em série de Taylor nos fornece:
∂V 1∂V 2
∂V
2 (
ΔS ) +
2
ΔV ( S , τ , σ I , r ) ΔS + Δr
∂S 2 ∂S ∂r
1 ∂ 2V ∂V ∂V
2 (
Δr ) +
2
+ Δσ I − Δt
2 ∂r ∂σ I ∂τ
39
49. Aproximação Delta-Gama
Truncada
1 4 2
var (ΔV ) = S Δ var ( RS ) + S Γ var ( RS ) +ΔΓRS S 3 cov( RS , RS )
2 2 2 2 2
4
R2
−
dR
cov ( RS , R ) = ∫ 2 σS
2
2 3
R e =0
var ( RS ) = 2 var 2 ( RS )
S
2πσ 2 2
S
1 4 2 4
VaR ≅ α var (ΔV ) = α S Δ σ + S Γ σS2 2 2
S
2
Truncamento até Segundo
49
Cumulante
50. Aproximação Delta-Gama
ΔV = V (x + Δx) −V (x)
n
∂V 1 n n ∂ 2V
≈∑ Δx j + ∑∑ Δx j Δxk
j =1 ∂x j 2 j =1 k =1 ∂x j ∂xk
n
1 n n
= ∑ δ j rj + ∑∑ Γ jk rj rk
j =1 2 j =1 k =1
∂V ∂V 2
δj = xj Γ jk = x j xk
∂x j ∂x j ∂xk
50
51. Aproximação Delta-Gama
n
1 n n
ΔV = ∑ δ j rj + ∑∑ Γ jk rj rk
j =1 2 j=1 k =1
r ~ N (0, C ) ⇒ ΔV ∼ ϕ
ϕ ⇔ ln ϕ ⇔ μ, σ , c3 , c4 ,..., cn
ˆ 2
Função Geratriz Cumulantes
51
52. Cumulantes
ϕ ( w) = ∫ dx e
ˆ ixw
ϕ ( x)
∂ ln ϕ ( w)
n
ˆ
cn = (−i )
n
∂w n
w=0
52
53. Cumulantes
r ~ N (0, C )
1
μ = ΔV = Tr (ΓC )
2
1
σ = (ΔV − μ ) = δ Cδ + Tr (ΓC ) 2
2 2 T
2
c3 = (ΔV − μ) = 3δ T C ΓCδ + Tr (ΓC )3
3
c4 = (ΔV − μ) = 12δ T C (ΓC ) 2 δ + 3Tr (ΓC ) 4 + 3σ 4
4
1 ⎡(ΓC )n ⎤ + 1 n !δ T C (ΓC ) n−2 δ
cn = (ΔV − μ) = (n −1)!Tr ⎢
n
2 ⎣ ⎥⎦ 2
53
54. Aproximação de Cornish-Fisher
Densidade arbitrária ϕ .
x
Φ( x) = ∫ du ϕ (u )
−∞
O VaR é definido como:
−VaR
∫ du ϕ (u ) = p
−∞
ou
VaR = Φ−1 ( p)
54
55. Aproximação de Cornish-Fisher
z
Seja F ( z ) = ∫ du f (u ) uma distribuição com forma
−∞
analítica e quantis F −1 ( p ) conhecidos (por ex: distribuição
gaussiana).
Cornish-Fisher
Φ−1 ( p ) como função de F −1 ( p )
55
56. Aproximação de Cornish-Fisher
Os quatro primeiros termos da expansão de Cornish-Fisher para
p − percentil de ΔV − μ é:
σ
⎛ c4 ⎞ 1 ⎛ ⎞
2
1 2 c3 1 3 ⎟ − (2α3 − 5α )2 ⎜ c3 ⎟
α p ≈ α p + (α p −1) 3 + (α p − 3α p )⎜ 4 − 3⎟
⎜ ⎜ ⎟
6 σ 24 ⎜σ
⎝ ⎟
⎠ 36 p p
⎝ ⎟
⎜σ3 ⎠
O VaR pode então ser calculado como: VaR = α p σ + μ
56
57. Transformação de Johnson
X ~ N (0,1) e f ( X ) tem distribuição similar a ΔV
VaR ≈ f (α p )
Função monotônica
57
58. Transformação de Johnson
Transformação com limite inferior:
⎡ X −γ ⎤
f ( X ) = exp ⎢ ⎥ +ξ f (X ) ≥ ξ
⎢⎣ δ ⎥⎦
Transformação com limite superior:
⎡ X −γ ⎤
exp ⎢ ⎥ (ξ + λ ) + ξ
⎢⎣ δ ⎥⎦
f (X ) = ξ ≤ f ( X ) ≤ ξ +λ
⎡ X −γ ⎤
1 + exp ⎢ ⎥
⎢⎣ δ ⎥⎦
58
59. Transformação de Johnson
Transformação sem limites:
⎡ X −γ ⎤
f ( X ) = sinh ⎢ ⎥λ +ξ
⎢⎣ δ ⎥⎦
Os parâmetros das distribuições de Johnson podem ser obtido
a partir dos quatro primeiros cumulantes.
59
60. Bibliografia
• Jorion P., Value at Risk, Irwin, 1997.
• RiskMetrics Technical Document (www.riskmetrics.com);
•Duffie e Pan, An Overview of Value at Risk
•Bouchaud e Potters, Theory of Financial Risk;
•Mantegna R.N. e Stanley E., An Introduction to Econophysics;
Leituras Complementares
Jashke, S.R., The Cornish-Fisher-Expansion in the Context of Delta-Gamma-
Normal Approximations
Mina, J. e Ulmer, A., Delta-Gamma Four Ways
60
