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DéNombrement

  1. 1. Chapitre 1 : Dénombrement I) Notions d’arrangement, de combinaisons et de permutations Exercice introductif : une boîte contient 15 balles vertes, 10 balles jaunes, et 5 balles rouges. On tire 3 balles au hasard de l’urne, combien cela fait-il de possibilités si les tirages sont : 1) successifs et avec remise ? 2) successifs mais sans remise ? 3) simultanés ? 1) Tirage successif avec remise 303 = 27 000 possibilités de tirages Dans le cas général on dit que np est un arrangement de p éléments parmi n avec répétition. 2) Tirage successif sans remise 30 x 29 x 28 = 24 360 possibilités de tirages Dans le cas général on dit que Anp est un arrangement de p éléments parmi n sans n! répétition. On a An =(n−p)! pour tout n≥p. p 30! 30× × × × × = × × 29 28 27 ... 1 30 29 28 Dans l’exemple A30 =(30− )!= 3 3 27× × × 28 ... 1 3) Tirage simultané Cours de Monsieur LOMBARDOT 1
  2. 2. A30 30×29×28 =4060 tirages 3 C30 = 3 = 3! 3×2×1 n Dans le cas général on dit que Cnp ou   est une combinaison de p éléments parmi n, ou  p encore le nombre de façons qu’il y a de choisir p objets parmi n sans tenir compte de p A l’ordre. On a Cn = n = p n! p! p!(n− p)! pour tout n≥p. Dans le cas général on dit que n! est une permutation de n objets ou encore le nombre de façons de ranger n objet dans un certain ordre. On a n! n× − × −)×× = (n 1) (n 2 ... 1 Remarque : 0!=1 La plupart des calculatrices ont la fonction factorielle dans leurs menus. Par contre, si n est trop grand, vous ne pourrez pas calculer n! et il faudra dans ce cas utiliser la formule de Stirling : n n!= nn × 2π ×n avec e≈ ,71828 2 e Propriétés importantes des combinaisons (à connaître par cœur) : • Cn =Cn =1 0 n • Cn =Cn −1=n 1 n • Cn =Cn −k k n • k× n = × n −1 C k n C k −1 • Cn = n−1 + n −1 k Ck− 1 Ck k=n (a+ ) ∑k n • b = Cn .a .b k=0 k n−k k =n ∑ =2 n • C k n k =0 n ∑ × k n−k n • C Ck=0 a b C = a +b Cours de Monsieur LOMBARDOT 2
  3. 3. 4) Exercices d’application Exercice : démontrez la formule du triangle de Pascal. Rappel : Cn = n−1 + n −1 k Ck− 1 Ck Exercice : combien de triangles non aplatis peut-on former à partir des 9 points suivants : Exercice : afin de tester le sens chromatique d’une personne daltonienne, on lui présente une série de 6 cartons dont 2 sont rouges et 4 sont verts. Les cartons d’une même couleur sont indiscernables. Combien de séries différentes peut-on lui présenter ? Exercice : le traitement d’un malade nécessite la prise de 2 sirops différents et de 3 sortes de cachets. Le médecin dispose de 4 sortes de sirops et de 5 sortes de cachets qui ont des effets analogues. De combien de façons différentes peut-il rédiger son ordonnance, sachant toutefois que l’un des sirops dont il dispose ne doit pas être pris en même temps que l’un des cachets dont il dispose ? Exercice : une boîte contient 7 vrais billets de montants tous différents et 6 faux, également de montants tous différents. On tire au hasard, successivement et sans remise, 5 billets. Combien de résultats amènent 4 vrais billets et 1 faux ? Exercice : Sur une étagère se trouvent mélangées 7 paires de chaussures noires, 4 paires de chaussures colorées et 3 paires de chaussures blanches. Chaque paire de chaussure est différente. Il fait noir et on choisit deux chaussures au hasard. a) Combien de choix cela représente-t-il ? b) Combien de ces choix correspondent à deux chaussures de même couleur ? c) Combien de ces choix correspondent à un pied droit et un pied gauche ? d) Combien de ces choix correspondent à de vraies paires de chaussures ? Cours de Monsieur LOMBARDOT 3
  4. 4. Exercice : il y a quelques années en France, les plaques d’immatriculation ne comportaient que 4 chiffres (dont le 1er différent de 0), 2 lettres distinctes (et différentes de I et de O) puis le numéro du département. Combien cela représentait-il de possibilités pour chaque département ? Exercice : on choisit 8 cartes d’un jeu de 32. a) Combien de mains sont possibles ? (une main représente ici un ensemble de 8 cartes non ordonnées) b) Combien de mains comportent une dame au moins ? c) Combien de mains comportent au moins un cœur ou une dame ? d) Combien de mains ne contiennent que des cartes de 2 couleurs au plus ? (aux cartes, il y a 4 couleurs : pique, carreau, cœur, trèfle) II) Théorie des ensembles 1) Définition et propriétés des ensembles Définition d’un ensemble : un ensemble est une collection d'éléments considérée dans sa totalité. Système complet d’événements : On dit qu’un système d’événements a1, a2,…an est complet si tous ces événements sont incompatibles 2 à 2 et que leur union recouvre toutes les issues possibles de l’expérience. Définition d’une bijection : Construire une bijection entre un ensemble A et un ensemble B consiste à mettre en correspondance parfaite les éléments de A avec ceux de B, ce qui n'est possible que si A et B ont, au sens intuitif, « autant d'éléments l'un que l'autre ». Principales propriétés des ensembles : • A∪A=A∩A=A • A∪ =A ∅ • A∩ = Ø ∅ • si A⊂B alors A∪B=B et A∩B=A Cours de Monsieur LOMBARDOT 4
  5. 5. • A∪B=B∪A et A∩B=B∩A • A∪B∩ )= A∪ )∩A∪ ) ( C ( B ( C • A∩B∪ )= A∩ )∪A∩ ) ( C ( B ( C • A= ∩ + ∩ A B A B • A∩ = ∪ B A B • A∪ = ∩ B A B 2) Définition et propriétés des cardinaux Définition d’un cardinal : Le cardinal d'un ensemble E représente son nombre d'éléments. On le note card(E). 3) Propriétés des cardinaux : ( ) n Card(A1∪A2∪ ∪An)=∑ − k −1 ... 1 k =1 ∑Card(Ai1∩Ai2∩...∩Aik) 1≤i1<i2<....<ik ≤n n Card(A1×A2× ×An)=∏ ... Card(Ai) =Card(A1)xCard(A2)xCard(A3)x…xCard(An) i =1 4) Exercices d’application Exercice : on place 4 pions numérotés de 1 à 4 sur 3 cases numérotées de 1 à 3. Chaque case peut contenir de 0 à 4 pions. a) Dans combien de cas est-ce qu’une case au moins sera vide ? b) Dans combien de cas aucune case ne sera vide ? Exercice : Ecrire à l’aide des opérations ensemblistes « ∩ », « ∪ », «  » et à l’aide des événements A, B, C ou A1, A2,…, An les événements suivants : a) Au moins un des événements A, B ou C est réalisé. b) Un et un seul des événements A ou B se réalise. c) A et B se réalisent mais pas C. d) Tous les événements An (avec n≥1) se réalisent. Cours de Monsieur LOMBARDOT 5

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