UNIVERSITE SIDI MOHAMED BEN ABDELLAH<br />FACULTE DES SCIENCES<br />DHAR EL MEHRAZ<br />FES<br />MASTER DE CHIMIE<br />OPT...
Introduction<br />La méthode des rectangles<br />PLAN<br />La méthode des trapèzes<br />Le méthode de Simpson<br />2<br />
L'intégration numérique est une partie importante de l'analyse numérique et un outil indispensable en physique numérique.<...
<ul><li>Lorsqu’on ne peut pas intégrer analytiquement.
Lorsque l'intégrande (la fonction à intégrer) est fourni non pas sous la forme d'une fonction mais de tableaux de mesures,...
5<br />En analyse numérique, il existe toute une famille d'algorithmes permettant d'approcher la valeur numérique d'une in...
6<br />Toutes consistent à approcher l'intégrale :<br />Par une formule dite de quadrature, de type<br />Le choix de p, de...
7<br />Les méthodes numériques d'intégration sont nombreuseset les techniques sont très diverses. Des très simples, comme ...
La méthode<br />des<br /> rectangles<br />8<br />
9<br />
10<br />Considérons donc une fonction continue sur un intervalle [a,b].<br />Je ne vais pas vous faire un cours sur l'inté...
11<br />La première méthode qui vienne à l'esprit, c'est de découper l'aire entre la courbe f(x), l'axe des x et les droit...
12<br />
13<br />Comme vous le constatez, on a le choix entre trois techniques:<br />1 - on fait coïncider le sommet haut gauche du...
14<br />Posons h = (b - a)/n, <br />où n est le nombre de rectangles avec lesquels nous allons paver l'aire à calculer.<br...
15<br />1 - méthode des rectangles à gauche, on obtient <br />2 - méthode des rectangles à droite, on obtient <br />3 - mé...
Méthode très simple mais pas très précise. Mais facile à coder! <br />Pour des fonctions (polynomiales, sin, cos, exp), ce...
17<br /> PROGRAM rectangles<br />*Intégration par la méthode des rectangles (point milieu* a = borne inferieure d'intégrat...
La méthode<br />des<br />trapèzes<br />18<br />
19<br />La méthode des trapèzes est du même tonneau que celle des rectangles. <br />Vous avez sans doute compris qu'on uti...
20<br />Comme plus haut, je partage l'intervalle [a,b] en n petits trapèzes de largeur h = (b-a)/n. Je sais que l'aire de ...
21<br />Nous obtenons l'aire recherchée en sommant l'aire de tous les trapèzes entre a et b, ce qui nous donne :<br />
22<br />La méthode des trapèzes standard est une méthode d'ordre 2,(démonstration par développement de Taylor). On peut la...
23<br />* Intégration par la méthode des trapèzes<br />* a = borne inferieure d'intégration* b = borne supérieure d'intégr...
La méthode<br />de<br />Simpson<br />24<br />
25<br />Dans la méthode des trapèzes, nous avons en fait interpolé f(x) par une droite entre les points i et i+h de l'inte...
26<br />Plaçons nous autour d'un point x0 appartenant à l'intervalle [a,b], dans la maille de calcul x0-hetx0+h.<br />Pour...
27<br />Nous savons que :<br />f'(x0) = f(x0+h) - f(x0-h)/2h <br />et que :<br />f"(x0) = (f(x0+h) - 2f(x0)+ f(x0-h))/h^2 ...
28<br />L'intégrale recherchée s'obtient en sommant toutes les aires élémentaires. Il faut quelques petites manip calculat...
29<br />La méthode de Simpson est une méthode d'ordre 4.<br />
En Fortran<br />30<br />PROGRAM méthodedeSimpson* a = borne inferieure d'intégration* b = borne supérieure d'intégration* ...
Prochain SlideShare
Chargement dans…5
×

Integrales numériques

3 025 vues

Publié le

Publié dans : Formation, Business
0 commentaire
0 j’aime
Statistiques
Remarques
  • Soyez le premier à commenter

  • Soyez le premier à aimer ceci

Aucun téléchargement
Vues
Nombre de vues
3 025
Sur SlideShare
0
Issues des intégrations
0
Intégrations
2
Actions
Partages
0
Téléchargements
60
Commentaires
0
J’aime
0
Intégrations 0
Aucune incorporation

Aucune remarque pour cette diapositive

Integrales numériques

  1. 1. UNIVERSITE SIDI MOHAMED BEN ABDELLAH<br />FACULTE DES SCIENCES<br />DHAR EL MEHRAZ<br />FES<br />MASTER DE CHIMIE<br />OPTION: CIS<br />Les méthodes d'intégration numérique <br />2010 / 2011<br />Samir Chtita<br />1<br />
  2. 2. Introduction<br />La méthode des rectangles<br />PLAN<br />La méthode des trapèzes<br />Le méthode de Simpson<br />2<br />
  3. 3. L'intégration numérique est une partie importante de l'analyse numérique et un outil indispensable en physique numérique.<br />On intègre numériquement dans deux cas principaux:<br />Introduction<br />3<br />
  4. 4. <ul><li>Lorsqu’on ne peut pas intégrer analytiquement.
  5. 5. Lorsque l'intégrande (la fonction à intégrer) est fourni non pas sous la forme d'une fonction mais de tableaux de mesures, cas d'ailleurs le plus fréquent dans la vraie vie.</li></ul>4<br />
  6. 6. 5<br />En analyse numérique, il existe toute une famille d'algorithmes permettant d'approcher la valeur numérique d'une intégrale. <br />
  7. 7. 6<br />Toutes consistent à approcher l'intégrale :<br />Par une formule dite de quadrature, de type<br />Le choix de p, des pondérations ωi et des nœuds xi dépendent de la méthode employée.<br />
  8. 8. 7<br />Les méthodes numériques d'intégration sont nombreuseset les techniques sont très diverses. Des très simples, comme la méthode des rectanglesaux très complexes comme certaines variétés de la méthode de Monte-Carlo.<br />Mon but est de vous donner un outil pour intégrer des fonctions pas très tourmentées.<br />
  9. 9. La méthode<br />des<br /> rectangles<br />8<br />
  10. 10. 9<br />
  11. 11. 10<br />Considérons donc une fonction continue sur un intervalle [a,b].<br />Je ne vais pas vous faire un cours sur l'intégration! <br />Intégrer pour nous, signifie calculer l'aire sous la courbe de la fonction entre a et b.<br />
  12. 12. 11<br />La première méthode qui vienne à l'esprit, c'est de découper l'aire entre la courbe f(x), l'axe des x et les droites x= a et x = b, en une multitude de petits rectangles de largeur faible, appelons la h, et de hauteur f(h).<br />L'aire sous la courbe est obtenue en sommant tous ces petits rectangles. Voyons cela sur un schéma:<br />
  13. 13. 12<br />
  14. 14. 13<br />Comme vous le constatez, on a le choix entre trois techniques:<br />1 - on fait coïncider le sommet haut gauche du rectangle avec la courbe : c'est la méthode des rectangles à gauche,<br />2 - on fait coïncider le sommet haut droit du rectangle avec la courbe : c'est la méthode des rectangles à droite,<br />3 - on fait coïncider le milieudu coté haut du rectangle avec la courbe: c'est la méthode du point milieu.<br />
  15. 15. 14<br />Posons h = (b - a)/n, <br />où n est le nombre de rectangles avec lesquels nous allons paver l'aire à calculer.<br /> Évidement, plus n sera grand et plus la précision du calcul sera grande.<br />Un rapide calcul nous montre que dans le cas: <br />
  16. 16. 15<br />1 - méthode des rectangles à gauche, on obtient <br />2 - méthode des rectangles à droite, on obtient <br />3 - méthode du point milieux, on obtient<br />
  17. 17. Méthode très simple mais pas très précise. Mais facile à coder! <br />Pour des fonctions (polynomiales, sin, cos, exp), cette méthode donne des résultats acceptables. <br />conclusion<br />16<br />
  18. 18. 17<br /> PROGRAM rectangles<br />*Intégration par la méthode des rectangles (point milieu* a = borne inferieure d'intégration* b = borne supérieure d'intégration* n = nombre de pas (rectangles)* aire = surface retournée SUBROUTINE IntRectangles (fn,a,b,n,aire)    REAL a,b,fn,aire    INTEGER n    EXTERNAL fn    REAL x,h* Initialisation des variables<br />    aire = 0    x = a    h = (b-a)/n* Boucle de calcul<br /> DO WHILE (x .LT. b)        aire = aire + h*(fn(x+h)+fn(x))/2        x = x+h    ENDDO    END<br />Sur Fortron<br />
  19. 19. La méthode<br />des<br />trapèzes<br />18<br />
  20. 20. 19<br />La méthode des trapèzes est du même tonneau que celle des rectangles. <br />Vous avez sans doute compris qu'on utilise non plus des rectangles pour paver l'aire mais des trapèzes. Ainsi, la partie du pavé qui touche la courbe est plus proche.<br />
  21. 21. 20<br />Comme plus haut, je partage l'intervalle [a,b] en n petits trapèzes de largeur h = (b-a)/n. Je sais que l'aire de chaque petit trapèze est :<br />Ai = (h/2)*(f(a+ih) + f(a+(i-1)h)).<br />
  22. 22. 21<br />Nous obtenons l'aire recherchée en sommant l'aire de tous les trapèzes entre a et b, ce qui nous donne :<br />
  23. 23. 22<br />La méthode des trapèzes standard est une méthode d'ordre 2,(démonstration par développement de Taylor). On peut la pousser à l'ordre 4 en estimant f"(x) par (f'(b)-f'(a))/(b-a). On appelle cette méthode la méthode des trapèzes avec correction aux extrémités. Elle donne : <br />
  24. 24. 23<br />* Intégration par la méthode des trapèzes<br />* a = borne inferieure d'intégration* b = borne supérieure d'intégration* n = nombre de pas* aire = surface retournée    SUBROUTINE Int Trapèzes (fn,a,b,n,aire)    REAL a,b,fn,aire    INTEGER n    EXTERNAL fn    REAL h, app    INTEGER i* Boucle d'intégration* Initialisation des variables    aire = 0    h = (b-a)/n* Calcul de l'aire approximative du trapèze f(a) f(b)<br />    app = (h/2)*(fn(a)+fn(b))* Boucle de calcul<br />    DO i=1, n-1      aire = aire + fn(a+i*h)    ENDDO* Calcul final de l'aire    aire = app + aire*hEND<br />Sur Fortron<br />
  25. 25. La méthode<br />de<br />Simpson<br />24<br />
  26. 26. 25<br />Dans la méthode des trapèzes, nous avons en fait interpolé f(x) par une droite entre les points i et i+h de l'intervalle. <br />Dans la méthode de Simpson, nous n'allons plus interpoler par une droite mais par un polynôme de degré 2, ce qui va améliorer notre précision.<br />
  27. 27. 26<br />Plaçons nous autour d'un point x0 appartenant à l'intervalle [a,b], dans la maille de calcul x0-hetx0+h.<br />Pour un accroissement(x-x0), le développement de Taylor limité au second ordre nous donne:<br />f(x) = f(x0) + (x-x0)f'(x0) + (1/2)(x-x0)^2f"(x0) + O((x-x0)^3).<br />
  28. 28. 27<br />Nous savons que :<br />f'(x0) = f(x0+h) - f(x0-h)/2h <br />et que :<br />f"(x0) = (f(x0+h) - 2f(x0)+ f(x0-h))/h^2 <br />Si nous remplaçons ces valeurs dans le développement limité et que l'on intègre entre x0-h et x0+h, <br />on obtient l'aire élémentaire : <br />(f(x0+h) + 4f(x0)+ f(x0-h))*h/3.<br />
  29. 29. 28<br />L'intégrale recherchée s'obtient en sommant toutes les aires élémentaires. Il faut quelques petites manip calculatoires sans intérêt Et l'on obtient :<br />
  30. 30. 29<br />La méthode de Simpson est une méthode d'ordre 4.<br />
  31. 31. En Fortran<br />30<br />PROGRAM méthodedeSimpson* a = borne inferieure d'intégration* b = borne supérieure d'intégration* n = nombre de pas* aire = surface retournée    SUBROUTINE Int Simpson(fn,a,b,n,aire)    REAL a,b,fn,aire    INTEGER n    EXTERNAL fn    REAL h,SommePaire, SommeImpaire    INTEGER i* Boucle d'intégration* Initialisation des variables<br />    aire = 0    h = (b-a)/(n*2)   SommePaire = 0   SommeImpaire = 0* Calcul de la somme des indices impaires    DO i=1, n-1       SommeImpaire = SommeImpaire + fn(a+h*2*i)    ENDDO*Calcul de la somme des indices paires    DO i=1, n       SommePaire = SommePaire + fn(a+h*(2*i-1))    ENDDO*Calcul final de l'aire    aire = h*(fn(a) + fn(b)+ 2*SommePaire + 4*SommeImpaire)/3END<br />
  32. 32. Merci <br />pour votre attention<br />Samir Chtita<br />31<br />

×