1. www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH HÓA ĐỀ THI THỬ ĐH LẦN I NĂM HỌC 2013 – 2014
TRƯỜNG THPT NGHI SƠN
Môn: TOÁN ; Khối: A
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm Cho hàm số y = x3 − 3mx 2 + 3(m 2 − 1) x − m 3 + m (1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị khi m= 0 .
2. Chứng minh rằng hàm số (1) luôn có cự đại,cực tiểu với mọi m.Tìm m để các điểm cự trị của hàm số
(1) cùng với điểm I(1;1), tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 5 .
Câu II (2,0 điểm)
3
x
1. Giải phương trình:
− tan x − 2 3 = sin x (1 + tan x tan ) .
2
cos x
2
2
2. Giải bất phương trình: x + 2 + x − x − 2 ≤ 3 x − 2
Câu III (1,0 điểm)
cot 3 x
Tính nguyên hàm sau: I = ∫
dx
sin x 3 sin 3 x − sin x
Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy.
Gọi E là trung điểm của BC góc giữa SC và mặt phẳng (SAB) bằng 300. Hãy tính thể tích khối chóp
S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng DE và SC thao a.
Câu V (1,0 điểm)
1
1
1
Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc = 1. Chứng minh rằng: (a − 1 + )(b − 1 + )(c − 1 + ) ≤ 1
b
c
a
PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
1.Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , Cho tam giác ABC vuông cân tại A.Biết cạnh huyền nằm trên đường
5
2
thẳng (d) x + 7 y − 31 = 0 ,điểm N (1; ) thuộc đường thẳng AC,điểm M(2 ;-3) thuộc đường thẳng AB.
Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.biết rằng điểm A có hoành độ âm.
2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm M(1;0;2), N(-1;-1;0),P(2 ;5 ;3)..Viết phương trình
mặt phẳng (R) đi qua M, N sao cho khoảng cách từ P đến (R) lớn nhất.
n
 2

Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển  3 − x 2  , x ≠ 0 biết rằng
 x

1
2
3
n
28
C2 n+1 + C2 n +1 + C2 n +1 + ... + C2 n +1 = 2 − 1 .
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy,cho điểm M(-3;1) và đường tròn (C ) : x 2 + y 2 − 2 x − 6 y + 6 = 0 .Gọi A,B
là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ M đến ( C).Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu của M lên đường thẳng AB.
2. Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a,góc A bằng 600 .Góc
giữa mặt phẳng (B’AD) và mặt đáy bằng 300 .Tính khoảng cách từ đường thẳng BC tới mặt phẳng (B’AD)
.
Câu VII.b (1,0 điểm)
2 log1− x (− xy − 2 x + y + 2) + log 2+ y ( x 2 − 2 x + 1) = 6

Giải hệ phương trình: 
=1
log1− x ( y + 5) − log 2+ y ( x + 4)

-------------------Hết------------------www.DeThiThuDaiHoc.com
1

2. www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam
ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN I NĂM HỌC 2013-2014
MÔN THI: TOÁN : Khối A
Câu
CâuI
I.1
I.2
Nội Dung
Cho hàm số y = x − 3mx + 3(m − 1) x − m + m (1)
3
2
2
Điểm
3
1 điểm
Khi m=0 . Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x3 − 3 x
HS tự làm:
Chứng minh rằng hàm số (1) luôn có cự đại,cực tiểu với mọi m.Tìm m để các điểm cự trị của 1 điểm
hàm số (1)cùng với điểm I(1;1), tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp
bằng 5 .
+ ) y ' = 3x 2 − 6mx + 3(m 2 − 1)
+ ) y ' = 0 ⇔ 3x 2 − 6mx + 3(m 2 − 1) = 0.
Ta có ∆ ' = 1 > 0∀m ⇒ y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt với mọi m. suy ra hàm số luôn có CĐ,CT
+) Điểm CĐ A(m-1;2-2m),CT B(m+1;-2-2m)
+) pt AB : 2x+y=0, nên A,B,I lập thành một tam giác.
Với R = 5, AB = 2 5 nên tam giác ABC vuông tại I với AB là đường kính
0.25
3

m = 5
Khi đó ycbt tương đương với IA + IB = AB ⇔ 10m + 4m − 6 = 0 ⇔

 m = −1
3
Kết luận: m = hoặc m= -1
5
www.MATHVN.com
3
x
Giải phương trình:
− tan x − 2 3 = sin x (1 + tan x tan ) .
2
cos x
2
...............................................................................................................................................
π
cos x ≠ 0


 x ≠ + kπ
ĐK: 
⇔
2
x
cos 2 ≠ 0
 x ≠ π + k 2π


x 

sin x sin 

3
2
− tan x − 2 3 = sin x 1 +
2
x
cos x
 cos x cos 
2

x
x

 cos x cos 2 + sin x sin 2 
3
⇔
− tan x − 2 3 = sin x 

x
cos 2 x


cos x cos

2

x 

 cos( x − 2 ) 
⇔ 3(1 + tan 2 x) − tan x − 2 3 = sin x 
x
 cos x cos 
2

x 

 cos 2 
2
⇔ 3(1 + tan x) − tan x − 2 3 = sin x 
x
 cos x cos 

2
2
CâuII
II.1
0.25
www.DeThiThuDaiHoc.com
2
2
2
0.25
0.25
1 điểm
0.25
0.25
2

3. www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam
 tan x = 3
3(1 + tan x) − tan x − 2 3 = tan x ⇔ 3 tan x − 2 tan x + 3 = 0 ⇔ 
 tan x = − 1

3

2
0.25
2
.tan x = 3 ⇔ x =
π
3
+ kπ
0.25
π
1
⇔ x = − + kπ
6
3
Giải bất phương trình: x + 2 + x 2 − x − 2 ≤ 3 x − 2 - www.DeThiThuDaiHoc.com
...........................................................................................................................................................
2
Đk: x ≥
3
−2( x − 2)
x + 2 − 3x − 2 + x 2 − x − 2 ≤ 0 ⇔
+ ( x − 2)( x + 1) ≤ 0
x + 2 + 3x − 2
.tan x = −
II.2
−2


⇔ ( x − 2) 
+ ( x + 1)  ≤ 0
 x + 2 + 3x − 2

−2
Ta có f ( x) =
+ ( x + 1)
x + 2 + 3x − 2
f '( x) =
2( x + 2 + 3 x − 2) '
(
x + 2 + 3x − 2
)
2
+1 =
(
Câu IV
IV
1
3
+
x+2
3x − 2 + 1 > 0
2
x + 2 + 3x − 2
)
0.25
0.25
2 
Vậy tâp nghiệm của BPT là S =  ; 2 
3 
www.DeThiThuDaiHoc.com
cot 3 x
Tính nguyên hàm sau: I = ∫
dx
sin x 3 sin 3 x − sin x
……………………………………………………………………………………………
cot 3 x
cot 3 x
I=∫
dx = ∫
dx
1
sin x 3 sin 3 x − sin x
2
3 1−
sin x
sin 2 x
cot 3 x
dx
=∫
sin 2 x 3 − cot 2 x
cot 3 x
= −∫
d(cot x) = ∫ 3 cot 7 xd(cot x)
3
2
− cot x
3
= 3 cot10 x + C
10
1 điểm
0.25
0.25
0.25
0.25
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy. Gọi E là
trung điểm của BC góc giữa SC và mặt phẳng (SAB) bằng 300. Hãy tính thể tích khối chóp
S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng DE và SC thao a.
...............................................................................................................................................
www.DeThiThuDaiHoc.com
0.25
0.25
2
⇒ f ( x) ≥ f ( ) > 0
3
Câu III
1 điểm
3

4. www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam
S
A
D
H
T
M
B
E
I
K
C
CB ⊥ AB 
 ⇒ CB ⊥ ( SAB) ⇒ SB là hình chiếu của SC trên mp(SAB)
CB ⊥ SA 
⇒ ( SC.( SAB)) = ( SC , SB) = CSB = 300 ⇒ SB = BC.cot 300 = a 3 ⇒ SA = a 2
Vậy thể tích hình chóp SABCD là:
1
2a 3
VS . ABCD = SA.S ABCD =
(dvdt )
3
3
...............................................................................................................................................
Từ C dựng
a
CI / / DE ⇒ CE = DI = , DE / /( SCI )
2
⇒ d ( DE , SC ) = d ( DE , (CSI )
Từ A kẻ AK ⊥ CI cắt ED tại H, cắt CI tại K
 AK ⊥ CI
Ta có 
⇒ CI ⊥ ( SAK ) ⇒ ( SCI ) ⊥ ( SAK ), ( SCI ) ∩ ( SAK ) = SK
 SA ⊥ CI
Trong mp(SAK) kẻ HT ⊥ AK ⇒ HT ⊥ ( SCI ) ⇒ d ( DE , SC ) = d ( H , ( SCI ) = HT
CD. AI 3a
Ta có AK .CI = CD. AI ⇒ AK =
=
CI
5
HK KM
1
a
Kẻ KM / / AD ( M ∈ DE ) ⇒
=
⇒ HK = AK =
HA AD
3
5
SA HT
SA.HK
38
sin SAK =
=
⇒ HT =
=
a
SK HK
SK
19
Lại có
38
⇒ d ( ED, SC ) =
a
19
Câu V
www.MATHVN.com
V
Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc = 1. Chứng minh rằng:
1
1
1
(a − 1 + )(b − 1 + )(c − 1 + ) ≤ 1 (1)
b
c
a
……………………………………………………………………………………………...
x
y
z
Do abc = 1. nên tồn tại 3 số dương x,y,z sao cho a = , b = , c =
y
z
x
(1) ⇔ ( x − y + z )( y − z + x)( z − x + y ) ≤ xyz (2)
Không mất tính tổng quát giả sử x= max{x,y,z} khi đó x − y + z ≥ 0, x − z + y ≥ 0
• Nếu z − x + y < 0 thì (2) luôn đúng.
• Nếu z − x + y ≥ 0
www.DeThiThuDaiHoc.com
Vì
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
4

5. www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam
( x − y + z + y − z + x) 2
( x − y + z )( y − z + x) ≤
= x2
4
( y − z + x + z − x + y)2
Ta có ( y − z + x)( z − x + y ) ≤
= y2
4
( x − y + z + z − x + y)2
( x − y + z )( z − x + y ) ≤
= z2
4
Từ đó ta có (2) được chứng minh.
Dấu ‘=’ xảy ra khi x=y=z hay a=b=c
0.25
Câu VIa
VIa.1
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , Cho tam giác ABC vuông cân tại A.Biết cạnh huyền nằm trên
1 điểm
5
2
đường thẳng (d) x+7y-31=0,điểm N (1; ) thuộc đường thẳng AC,điểm M(2 ;-3) thuộc đường
thẳng AB. Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết rằng điểm A có hoành độ âm.
.................................................................................................................................................................
( AB) : a( x − 2) + b( y + 3) = 0(a2 + b2 > 0)
cos( ABC ) = cos 45 =
0
0.25
a + 7b
12 + 72 a2 + b2
4a = −3b
⇔ 12a2 − 7ab −12b2 = 0 ⇔ 
3a = 4b
0.25
TH1.
3a = 4b ⇒ AB : 4 x + 3 y + 1 = 0 ⇒ AC :3 x − 4 y + 7 = 0 ⇒ A(−1;1), B (−4;5), C (3; 4)
0.25
TH2.
4a = −3b ⇒ AB : 3 x − 4 y − 18 = 0 ⇒ AC :4 x + 3 y −
23
3
1 9
= 0 ⇒ A(4; − ), B (10;3), C (− ; ) (loại)
2
2
2 2
0.25
Vậy các đỉnh của tam giác ABC là : A(−1;1), B (−4;5), C (3; 4)
VIa.2 . Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm M(1;0;2), N(-1;-1;0),P(2 ;5 ;3).Viết phương 1 điểm
trình mặt phẳng (R) đi qua M, N sao cho khoảng cách từ P đến (R) lớn nhất.
.................................................................................................................................................
 x = 1 + 2t

pt (MN)  y = t
Gọi H là hình chiếu của P trên (MN) suy ra H(3 ;1 ;4)
 z = 2 + 2t

Gọi K là hình chiếu của P trên (R) nên d ( P,( R)) = PK ta có PK ≤ PH
0. 25
0.25
0.25
vậy PK max khi K trùng với H
P
M
K
H
N
(R) qua H(3 ;1 ;4) nhân PH (1; −4;1) làm VTPT suy ra (R) x-4y+z-3=0
www.DeThiThuDaiHoc.com
0.25
5

6. www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam
VIIa
n
1 điểm
 2

Tìm số hạng không chứa x trong khai triển  3 − x 2  , x ≠ 0 biết rằng
 x

1
2
3
n
C2 n+1 + C2 n +1 + C2 n +1 + ... + C2 n +1 = 228 − 1 .
……………………………………………………………………………………………..
1
2
3
n
Ta có C2 n+1 + C2 n +1 + C2 n +1 + ... + C2 n +1 = 228 − 1
0.25
2n
2 n −1
2n−
n +1
C2 n+1 + C2 n +1 + C2 n +12 + ... + C2 n +1 = 228 − 1
0
1
2
2n
2 n +1
⇒ C2 n +1 + (C2 n +1 + C2 n +1 + ... + C2 n +1 ) + C2 n +1 = 2.228
0.25
⇔ (1 + 1)2 n +1 = 229 ⇔ n = 14
14 − k
14
14
 2

k  2 
− x 2  = ∑ C14  3 
3
k =0
 x

 x
14 − k
 2 
Tk +1 = C  3 
 x
k
14
(
− x2
)
k
(−x )
2 k
k
= C14 ( 2 )
14 − k
( −1)
k
x
−(
14 − k
)+ 2 k
3
0.25
14 − k
) + 2k = 0 ⇔ k = 2
3
Số hạng không chứa x khi −(
Vậy T3 = C14 ( 2 )
2
12
0.25
Câu VIb
www.DeThiThuDaiHoc.com
VIb.1 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy,cho điểm M(-3;1) và đường tròn (C ) : x 2 + y 2 − 2 x − 6 y + 6 = 0 .Gọi
A,B là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ M đến ( C).Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu của M lên
đường thẳng AB.
………………………………………………………………………………………………….......
(C ) : ( x − 1) 2 + ( y − 3) 2 = 4
Gọi A( x1 ; y1 ), B ( x2 ; y2 )
( x − 1)( x1 − 1) + ( y − 3)( y1 − 3) = 4
( x − 1)( x2 − 1) + ( y − 3)( y2 − 3) = 4
Tiếp tuyến tại A,B có phương trình 
1điểm
0.25
(−3 − 1)( x1 − 1) + (1 − 3)( y1 − 3) = 4
(−3 − 1)( x2 − 1) + (1 − 3)( y2 − 3) = 4
Vì hai tiếp tuyến cùng đi qua M(-3;1) nên 
0.25
Nên (AB) 2x+y-3=0
H là hình chiếu của M trên AB nên pt (MH): x-2y+5=0
0.25
1 13
)
5 5
Suy ra H ( ;
0.25
VIb.2 2. Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a,góc A bằng
600 .Góc giữa mặt phẳng (B’AD) và mặt đáy bằng 300 .Tính khoảng cách từ đường thẳng BC tới 1điểm
mặt phẳng (B’AD) .
.
……………………………………………………………………………………………...
www.DeThiThuDaiHoc.com
6

7. www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam
B'
C'
A'
D'
K
B
A
C
I
D
0.25
Gọi I là trung điểm của AD,K là hình chiếu của B trên B’I, vì A = 60 ⇒ ∆ABD đều cạnh a.
BI ⊥ AD 
0
 ⇒ ( BIB ') ⊥ AD ⇒ ∠B ' IB = 30
BB ' ⊥ AD 
0
0.25
a 3
a
⇒ BB ' = BI .tan 300 =
2
2
Do BC / / AD ⇒ BC / /( B ' AD ) ⇒ d ( BC , ( B ' AD ) = d (b, ( B ' AD )
BK ⊥ B ' I 
Vì
 ⇒ BK ⊥ ( B ' AD )
BK ⊥ AD 
Xét tam giác vuông B’BI tại B ta có
1
1
1
a 3
a 3
= 2+
⇒ BK =
⇒ d ( BC.( B ' AD ) =
2
2
BK
BI
BB '
4
4
2 log1− x (− xy − 2 x + y + 2) + log 2+ y ( x 2 − 2 x + 1) = 6

Giải hệ phương trình: 
=1
log1− x ( y + 5) − log 2+ y ( x + 4)

……………………………………………………………………………………………...
BI =
VIIb
0.25
0.25
1 điểm
− xy − 2 x + y + 2 > 0, x 2 − 2 x + 1 > 0, y + 5 > 0, x + 4 > 0
+ Điều kiện: 
(I )
0 < 1 − x ≠ 1, 0 < 2 + y ≠ 1

 2log1− x [(1 − x)( y + 2)] + 2log 2+ y (1 − x) = 6
log1− x ( y + 2) + log 2 + y (1 − x) − 2 = 0 (1)


(I ) ⇔ 
⇔
= 1 log1− x ( y + 5) − log 2 + y ( x + 4)
= 1 (2).
log1− x ( y + 5) − log 2+ y ( x + 4)


0.25
1
Đặt log 2+ y (1 − x) = t thì (1) trở thành: t + − 2 = 0 ⇔ (t − 1) 2 = 0 ⇔ t = 1.
t
Với t = 1 ta có: 1 − x = y + 2 ⇔ y = − x − 1 (3). Thế vào (2) ta có:
−x + 4
−x + 4
log1− x (− x + 4) − log1− x ( x + 4)
= 1 ⇔ log1− x
=1⇔
= 1 − x ⇔ x2 + 2 x = 0
x+4
x+4
 x=0
 y = −1
⇔
. Suy ra: 
.
 x = −2
 y =1
+ Kiểm tra thấy chỉ có x = −2, y = 1 thoả mãn điều kiện trên.
Vậy hệ có nghiệm duy nhất x = −2, y = 1 .
www.DeThiThuDaiHoc.com
0.25
0.25
0.25
7