SlideShare une entreprise Scribd logo
1  sur  6
Télécharger pour lire hors ligne
http://toanhocmuonmau.violet.vn
        SỞ GD & ĐT BẮC GIANG           ĐỀ THI HSG CỤM LẠNG GIANG NĂM HỌC 2012 - 2013
            CỤM LẠNG GIANG                                           Môn: Toán. Lớp 11. Thời gian làm bài: 180 phút
              ĐỀ CHÍNH THỨC                                                        Ngày thi 24 tháng 02 năm 2013


Câu I: (2 điểm)
                                                                             3π               π
      1. Giải phương trình: 2 2 cos2 x + sin 2 x cos  x +                          − 4sin  x +  = 0
                                                                              4               4

      2. Cho tập hợp A = {0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5, 6 , 7 }. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6
chữ số khác nhau đôi một sao cho các số này là số lẻ và chữ số đứng ở vị trí thứ 3 luôn chia hết cho 6?
Câu II: (2 điểm)
                                                                                                             n
                                                                           5
     1. Tìm hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển: P ( x ) =  x +  và x ≠ 0 biết rằng:
                                                                           x

C4 n+1 + C4 n+1 + C4 n +1 + ... + C4 n +1 = 232 − 1
 1        2        3               2n
                                                         (n ∈ N )    *



                                                                   u0 = 1; u1 = 6                             u
     2. Cho dãy số (un ) xác định như sau :                                                         . Tìm lim n n
                                                                   un+ 2 − 3un +1 + 2un = 0, ∀n ∈ N          3.2

                                                             3
                                                                 1 + x2 − 4 1 − 2 x
Câu III: (1 điểm) Tìm giới hạn L = lim
                                                      x →0            x2 + x
Câu IV: (3 điểm)
   1. Cho tam giác ABC và một điểm P nằm trong tam giác. Hãy dựng tam giác cân đỉnh P có
đáy song song với cạnh BC và có 2 đỉnh lần lượt nằm trên hai cạnh AB, AC của tam giác ABC
cho trước.
   2. Trong mặt phẳng (α ) cho tam giác ABC vuông tại A, góc B = 600 , AB = a . Gọi O là
trung điểm của BC. Lấy S ở ngoài mặt phẳng (α ) , sao cho SB = a và SB ⊥ OA . Gọi M là một
điểm trên cạnh AB, mặt phẳng ( β ) qua M và song song với SB và OA, cắt BC, SC, SA lần lượt
tại N, P, Q. Đặt x = BM ( 0 < x < a ) .
        a. Chứng minh rằng MNPQ là hình thang vuông.
        b. Tính diện tích hình thang này theo a và x. Tìm x để diện tích này lớn nhất.
Câu V: (2 điểm)
     1. Ba số x, y, z theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân; ba số x, y – 4, z theo thứ tự đó lập
thành một cấp số nhân; đồng thời x, y – 4, z – 9 theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. Hãy
tìm x, y, z.
     2. Cho a, b, c ∈ R . Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm x3 + ax 2 + bx + c = 0
                                          ------------------- HẾT -------------------
Họ và tên thí sinh:.............................................................................SBD:......................................
Lưu ý: + Học sinh không được sử dụng tài liệu khi làm bài.
           + Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
http://toanhocmuonmau.violet.vn
                                         HƯỚNG DẪN CHẤM toán 11
 CÂU                                            NỘI DUNG                                                                  ĐIỂM
           PT ⇔ (sin x + cos x )  4(cos x − sin x ) − sin 2 x − 4  = 0
                                                                  
                 s inx + cos x = 0
                ⇔                                                                                                        0.25
                  4 ( cos x − s inx ) − sin 2 x − 4 = 0
                                                     π
           + s inx + cos x = 0 ⇔ x = −                   + kπ                                                             0.25
                                                     4
           + 4 ( s inx − cos x ) − sin 2 x − 4 = 0                (1) .   Đặt t = s inx − cos x          ( t ≤ 2)
       1
                                                                                          t = −1
           Khi đó phương trình (1) trở thành: t 2 − 4t − 5 = 0 ⇔ 
                                                                                         t = 5 (loai)
                                                                         x = k 2π
                                                         π     1
           Với t = −1 ta có s inx − cos x = −1 ⇔ sin  x −  = −    ⇔                                                    0.25
                                                         4      2      x = 3π + k 2π
                                                                              2
                                                       π                    3π
           Kết luận: Vậy phương trình có nghiệm x = − + kπ ; x = k 2π ; x =     + k 2π                                    0.25
                                                                             4                           2
  I        Gọi số cần tìm là : n = a1 a 2 a3 a 4 a5 a6
(2đ)
           Số n có tính chất :
                                                                                                                          0.25
                 + Lẻ ⇒ a6 ∈ {1 ; 3 ; 5 ; 7 }
                 + a3 chia hết cho 6 ⇒ a3 ∈ {0 ; 6} .
           * Trường hợp 1 : a3 = 0 :
                      a6 có 4 cách .
                      a1 có 6 cách .
                      Chọn 3 chữ số còn lại có A5 cách .
                                                 3                                                                        0.25
       2
                        ⇒ Có 4.6. A5 số .
                                   3


            * Trường hợp 2 : a3 = 6
                      a6 có 4 cách chọn .
                      a1 có 5 cách (a1 ≠ 0 ; a1 ≠ a3 ; a1 ≠ a6)
                            Chọn 3 chữ số còn lại có A5 cách
                                                      3

                                                                                                                          0.25
                       ⇒ Có 4.5. A5 số .
                                  3


               Vậy : 4.6. A5 + 4.5. A5 = 2640 số .
                           3         3
                                                                                                                          0.25
                                                         4 n +1
           + Xét khai triển (1 + x )
                                            4 n +1
                                                     =   ∑C
                                                         k =0
                                                                  k
                                                                       x . Với x = 1 , ta có:
                                                                  4 n +1
                                                                         k



           C4 n+1 + C4 n+1 + C4 n +1 + ... + C4 n +1 + C4 n +1 + C4 n +12 + ... + C4 n+1 = 24 n+1
            0        1        2               2n        2 n +1    2n+              4 n +1


                                                                                        +          +                +
           Lại có: Cnk = Cnn− k , nên: C40n+1 + C4 n+1 + C42n +1 + ... + C42nn+1 = C42nn+11 + C42nn+12 + ... + C44nn+11
                                                 1


           Suy ra: 2 ( C4 n +1 + C4 n +1 + C42n +1 + ... + C42nn+1 ) = 24 n +1
                        0         1
                                                                                                                           0.5
                   ⇒ C4 n +1 + C4 n +1 + C4 n+1 + ... + C4 n +1 = 24 n
                      0         1         2              2n
 II    1
                   ⇒ C4 n +1 + C4 n +1 + ... + C4 n +1 = 24 n − 1
                      1         2               2n


           Theo đầu bài ta có: 24 n − 1 = 232 − 1 ⇔ 4n = 32 ⇔ n = 8
                                                                   8                          k
                                              5    8
                                                                  5     8
           + Với n = 8 , ta có: P ( x ) =  x +  = ∑ C8k .x8−k .   = ∑ C8k .5k .x8−2 k
                                              x  k =0            x  k =0
           Số hạng không chứa x ứng với 8 − 2k = 0 ⇔ k = 4 .                                                              0.25
                                                                                 4   4
           Kết luận: Vậy số hạng không chứa x là C .5                            8                                        0.25
http://toanhocmuonmau.violet.vn

          + Ta có
                   u0 = 1 = −4 + 5.20
                   u1 = 6 = −4 + 5.21
                   u2 = 16 = −4 + 5.22
                   u3 = 36 = −4 + 5.23
                   ...                                                                                                               0.25
      2
                   un = −4 + 5.2n , ∀n ∈ N *
          + Sử dụng phương pháp qui nạp chứng minh un = −4 + 5.2n , ∀n ∈ N là số
                                                                                                                                     0.5
          hạng tổng quát của (un )
                                                                 1
                                                          −4.       +5
                   un         −4 + 5.2             n
                                                                 2n      5
          + lim       n
                        = lim          = lim                           =
                  3.2           3.2n                             3       3
                                                                                                                                     0.25
                                  3
                                      1 + x2 − 4 1 − 2 x         3 1 + x2 −1 1 − 4 1 − 2 x 
          Ta có: L = lim                                 = lim              +              
                          x →0             x2 + x          x →0     x2 + x      x2 + x                                            0.25
                                                                
                                      3
                                          1 + x2 − 1                                   x2
          + Tính L1 = lim                            = lim
                                           x2 + x
                                                              x ( x + 1)  3 (1 + x 2 ) + 3 1 + x 2 + 1
                           x →0                        x →0                           2               
                                                                                                      
                                                          x
                         = lim                                                         =0                                            0.25
                                      ( x + 1)  3 (1 + x 2 ) + 3 1 + x 2 + 1
                           x →0                              2
                                                                            
III                                                                         
                           1 − 4 1 − 2x                                                             2x
          + Tính L2 = lim               = lim
                      x →0    x2 + x      x →0
                                               x ( x + 1)               (   4
                                                                                (1 − 2 x )
                                                                                             3                2
                                                                                                                                 )
                                                                                                 + 4 (1 − 2 x ) + 4 (1 − 2 x ) + 1
                                                                                                                                     0.25
                                                                    2                                    1
                         = lim                                                                         =
                           x →0
                                               (
                                  ( x + 1) 4 (1 − 2 x )
                                                          3
                                                               + 4 (1 − 2 x )
                                                                                 2
                                                                                     + 4 (1 − 2 x ) + 1 2 )                          0.25
                              1
          + Vậy L = L1 + L2 =
                              2
          + Phân tích: Giả sử ta dựng được ∆PMN thỏa mãn các điều kiện của bài
          toán và ta nhận thấy M và N là ảnh của nhau qua phép đối xứng trục , có trục
          là đường thẳng d đi qua P và vuông góc với BC cho trước. Do đó, ta có cách                                                 0.25
          dựng
          + Cách dựng:
             - Dựng đường thẳng d qua P và vuông góc với BC
IV    1      - Dựng ảnh của cạnh AC là A ' C ' qua phép đối xứng trục d                                                              0.25
             - Gọi M = AB ∩ A ' C ' . Dựng N = Dd ( M )
          Khi đó ta được ∆PMN là tam giác cần dựng thỏa mãn các ycbt
          + Chứng minh: ta dễ dàng chứng minh được ∆PMN là tam giác cân tại P                                                        0.25
          + Biện luận: Do AB và A ' C ' luôn cắt nhau tại 1 điểm M duy nhất cho nên
          bài toán luôn có duy nhất nghiệm hình                                                                                      0.25
http://toanhocmuonmau.violet.vn
         Ta có
            ( β ) / / OA
            
          + OA ⊂ ( ABC )          ⇒ MN / / OA                        (1)            0.25
            
             MN = ( β ) ∩ ( ABC )
            ( β ) / / SB
            
    2a    +  SB ⊂ ( SAB )         ⇒ MQ / / SB                       ( 2)            0.25
            
             MQ = ( β ) ∩ ( SAB )
          + Tương tự: NP / / SB                       ( 3)                           0.25
          + Từ ( 2 ) , ( 3) ta suy ra MQ / / NP / / SB                       ( 4)
         Từ (1) , ( 4 ) và SB ⊥ OA ta suy ra MNPQ là hình thang vuông , đường cao
         MN.                                                                         0.25
                              1
         + Ta có S MNPQ = .MN . ( MQ + NP )                                    (5)
                              2
         + Tính MN. Ta có ∆ABC là nửa tam giác đều nên BC = 2 AB = 2a
                         1
         Suy ra OA = BC = a
                         2
          MN / / OA và ∆ABO đều nên ∆BMN đều ⇒ MN = BM = BN = x
         + Tính MQ:
                         MQ AM               SB          a
         MQ / / SB ⇒        =    ⇒ MQ = AM .    = (a − x) = (a − x)                  0.5
                         SB   AB             AB          a
         + Tính NP:
                  NP CN            SB.CN a ( 2a − x ) 2a − x
         NP / / SB ⇒  =     ⇒ NP =         =           =
                  SB CB              CB         2a          2
                                                          x ( 4a − 3 x )
    2b Thay các kết quả tìm được vào (5) ta được S MNPQ =       4
         + Tìm x để diện tích lớn nhất
                             x ( 4a − 3 x )       3 x ( 4a − 3 x )
         Ta có: S MNPQ =                      =
                                   4                     12
         Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số dương 3x, ( 4a − 3x ) , ta có:
                                                                                     0.5
                             3 x + 4a − 3 x 
                                                  2

         3 x ( 4a − 3 x ) ≤                  ≤ 4a
                                                    2

                                    2       
                                       2
                         1          a
         ⇒ S MNPQ ≤ .4a 2 =
                        12           3
                                                                        2a
         + Đẳng thức xảy ra ⇔ 3x = 4a − 3x ⇔ x =
                                                                         3
                         2a
         Vậy khi x =        thì S MNPQ đạt giá trị lớn nhất.
                          3



                                                                                     0.25
V
    1    + Từ các giả thiết của bài toán ta có hệ phương trình
                                   y 2 = xz                     (1)
                                  
                                                                                    0.25
                                  ( y − 4 ) = xz                ( 2)
                                            2

                                  
http://toanhocmuonmau.violet.vn
                                         x = 4
                                        
                            x + z = 5    z = 1
          + Với y = 2 ta có           ⇔
                             xz = 4     x = 1                                                     0.25
                                        
                                         z = 4
                                        
          + Kết luận: các số x, y, z cần tìm là x = 1, y = 2, z = 4 hoặc x = 4, y = 2, z = 1
                                                                                                     0.25
          + Xét hàm số f ( x ) = x + ax + bx + c là hàm số liên tục trên R
                                    3     2                                                          0.25
                                                                      c 
          + Ta có: lim ( x3 + ax 2 + bx + c ) = lim x 3  1 + + 2 + 3  = +∞ nên tồn tại số
                                                           a      b
                   x →+∞                        x →+∞
                                                         x x      x 
                                                                                                     0.25
          dương α đủ lớn, ta có: f (α ) > 0
                                                                       c 
          + Ta có: lim ( x3 + ax 2 + bx + c ) = lim x 3  1 + +
                                                           a      b
      2                                                             2
                                                                      + 3  = −∞ nên tồn tại số âm
                    x →−∞                      x →−∞
                                                          x      x    x 
          β , sao cho β đủ lớn, ta có: f ( β ) < 0                                                   0.25
          + Vì    f (α ) f ( β ) < 0 và hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn [α ; β ] ⊂ R nên
          phương trình f ( x ) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (α ; β ) . Tức là phương
          trình x3 + ax 2 + bx + c = 0 luôn có nghiệm với mọi a, b, c ∈ R                            0.25

Lưu ý: Trên đây chỉ là hướng dẫn chấm và sơ lược cách giải. Nếu học sinh làm cách khác
đúng thì vận dụng hướng dẫn này để cho điểm.
http://toanhocmuonmau.violet.vn
Gọi số cần tìm là : n = a1 a 2 a3 a 4 a5 a6
      Số n có tính chất :
        + Lẻ ⇒ a6 ∈ {1 ; 3 ; 5 ; 7 }
        + a3 chia hết cho 6 ⇒ a3 ∈ {0 ; 6} .
     - Trường hợp 1 : a3 = 0 :
             a6 có 4 cách .
             a1 có 6 cách .
                                        3
             Chọn 3 chữ số còn lại có A5 cách .
           ⇒ Có 4.6. A5 số .
                      3


     -    Trường hợp 2 : a3 = 6
              a6 có 4 cách chọn .
              a1 có 5 cách (a1 ≠ 0 ; a1 ≠ a3 ; a1 ≠ a6)
                                         3
               Chọn 3 chữ số còn lại có A5 cách
           ⇒ Có 4.5. A5 số .
                      3


               3         3
   Vậy : 4.6. A5 + 4.5. A5 = 2640 số .

Contenu connexe

Tendances

C ong thuc-tinh-nhanh-vat-ly-10.thuvienvatly.com.41a0a.19061 (1)
C ong thuc-tinh-nhanh-vat-ly-10.thuvienvatly.com.41a0a.19061 (1)C ong thuc-tinh-nhanh-vat-ly-10.thuvienvatly.com.41a0a.19061 (1)
C ong thuc-tinh-nhanh-vat-ly-10.thuvienvatly.com.41a0a.19061 (1)thucbao2404
 
Tuyển tập chuyên đề bất đẳng thức có lời giải chi tiết 2
Tuyển tập chuyên đề bất đẳng thức có lời giải chi tiết 2Tuyển tập chuyên đề bất đẳng thức có lời giải chi tiết 2
Tuyển tập chuyên đề bất đẳng thức có lời giải chi tiết 2https://www.facebook.com/garmentspace
 
Chuyên đề phương tích và ứng dụng
Chuyên đề phương tích và ứng dụngChuyên đề phương tích và ứng dụng
Chuyên đề phương tích và ứng dụnglovemathforever
 
Phuong trinh vo ty
Phuong trinh vo tyPhuong trinh vo ty
Phuong trinh vo tytututhoi1234
 
Bài tập về 2 chất điểm dao động điều hóa - thời điểm 2 vật gặp nhau và 2 vật ...
Bài tập về 2 chất điểm dao động điều hóa - thời điểm 2 vật gặp nhau và 2 vật ...Bài tập về 2 chất điểm dao động điều hóa - thời điểm 2 vật gặp nhau và 2 vật ...
Bài tập về 2 chất điểm dao động điều hóa - thời điểm 2 vật gặp nhau và 2 vật ...nguyenxuan8989898798
 
kỹ thuật giải phương trình hàm
kỹ thuật giải phương trình hàmkỹ thuật giải phương trình hàm
kỹ thuật giải phương trình hàmljmonking
 
Chuyen de toan logic roi rac li thuyet to hop
Chuyen de toan logic  roi rac li thuyet to hopChuyen de toan logic  roi rac li thuyet to hop
Chuyen de toan logic roi rac li thuyet to hoplephucduc06011999
 
Viêm amidan-họng do liên cầu nhóm A ở trẻ em và thanh thiếu niên
Viêm amidan-họng do liên cầu nhóm A ở trẻ em và thanh thiếu niênViêm amidan-họng do liên cầu nhóm A ở trẻ em và thanh thiếu niên
Viêm amidan-họng do liên cầu nhóm A ở trẻ em và thanh thiếu niênBs. Nhữ Thu Hà
 
TRẮC NGHIỆM HÓA VÔ CƠ VÀ ĐÁP ÁN_10320512052019
TRẮC NGHIỆM HÓA VÔ CƠ VÀ ĐÁP ÁN_10320512052019TRẮC NGHIỆM HÓA VÔ CƠ VÀ ĐÁP ÁN_10320512052019
TRẮC NGHIỆM HÓA VÔ CƠ VÀ ĐÁP ÁN_10320512052019phamhieu56
 
Chương 7 vật lý 11 part 2
Chương 7 vật lý 11 part 2Chương 7 vật lý 11 part 2
Chương 7 vật lý 11 part 2Duc Le Gia
 
Lý thuyết quang hình học
Lý thuyết quang hình họcLý thuyết quang hình học
Lý thuyết quang hình họcHoa Oải Hương
 
: ĐẶC ĐIỂM DỊCH TỄ HỌC CỦA BỆNH LÂY QUA ĐƯỜNG HÔ HẤP
: ĐẶC ĐIỂM DỊCH TỄ HỌC CỦA BỆNH LÂY QUA ĐƯỜNG HÔ HẤP: ĐẶC ĐIỂM DỊCH TỄ HỌC CỦA BỆNH LÂY QUA ĐƯỜNG HÔ HẤP
: ĐẶC ĐIỂM DỊCH TỄ HỌC CỦA BỆNH LÂY QUA ĐƯỜNG HÔ HẤPLinh Nguyen
 
Tính đơn điệu và cực trị hàm số
Tính đơn điệu và cực trị hàm sốTính đơn điệu và cực trị hàm số
Tính đơn điệu và cực trị hàm sốtuituhoc
 
Tóm tắt công thức vật lí 10
Tóm tắt công thức vật lí 10Tóm tắt công thức vật lí 10
Tóm tắt công thức vật lí 10Borisun
 
Lượng tử ánh sáng lý thuyết và bài tập áp dụng
Lượng tử ánh sáng lý thuyết và bài tập áp dụngLượng tử ánh sáng lý thuyết và bài tập áp dụng
Lượng tử ánh sáng lý thuyết và bài tập áp dụngtuituhoc
 
Ứng dụng đồng dư vào giải toán chia hết lớp 9
Ứng dụng đồng dư vào giải toán chia hết lớp 9Ứng dụng đồng dư vào giải toán chia hết lớp 9
Ứng dụng đồng dư vào giải toán chia hết lớp 9youngunoistalented1995
 
Các chuyên đề bồi dưỡng HSG môn Toán THCS hay nhất
Các chuyên đề bồi dưỡng HSG môn Toán THCS hay nhấtCác chuyên đề bồi dưỡng HSG môn Toán THCS hay nhất
Các chuyên đề bồi dưỡng HSG môn Toán THCS hay nhấtBồi dưỡng Toán lớp 6
 

Tendances (20)

C ong thuc-tinh-nhanh-vat-ly-10.thuvienvatly.com.41a0a.19061 (1)
C ong thuc-tinh-nhanh-vat-ly-10.thuvienvatly.com.41a0a.19061 (1)C ong thuc-tinh-nhanh-vat-ly-10.thuvienvatly.com.41a0a.19061 (1)
C ong thuc-tinh-nhanh-vat-ly-10.thuvienvatly.com.41a0a.19061 (1)
 
đề thi vào lớp 10
đề thi vào lớp 10đề thi vào lớp 10
đề thi vào lớp 10
 
Tuyển tập chuyên đề bất đẳng thức có lời giải chi tiết 2
Tuyển tập chuyên đề bất đẳng thức có lời giải chi tiết 2Tuyển tập chuyên đề bất đẳng thức có lời giải chi tiết 2
Tuyển tập chuyên đề bất đẳng thức có lời giải chi tiết 2
 
Chuyên đề phương tích và ứng dụng
Chuyên đề phương tích và ứng dụngChuyên đề phương tích và ứng dụng
Chuyên đề phương tích và ứng dụng
 
Phuong trinh vo ty
Phuong trinh vo tyPhuong trinh vo ty
Phuong trinh vo ty
 
Bài tập nguyên hàm tích phân
Bài tập nguyên hàm tích phânBài tập nguyên hàm tích phân
Bài tập nguyên hàm tích phân
 
Bài tập về 2 chất điểm dao động điều hóa - thời điểm 2 vật gặp nhau và 2 vật ...
Bài tập về 2 chất điểm dao động điều hóa - thời điểm 2 vật gặp nhau và 2 vật ...Bài tập về 2 chất điểm dao động điều hóa - thời điểm 2 vật gặp nhau và 2 vật ...
Bài tập về 2 chất điểm dao động điều hóa - thời điểm 2 vật gặp nhau và 2 vật ...
 
kỹ thuật giải phương trình hàm
kỹ thuật giải phương trình hàmkỹ thuật giải phương trình hàm
kỹ thuật giải phương trình hàm
 
Chuyen de toan logic roi rac li thuyet to hop
Chuyen de toan logic  roi rac li thuyet to hopChuyen de toan logic  roi rac li thuyet to hop
Chuyen de toan logic roi rac li thuyet to hop
 
Viêm amidan-họng do liên cầu nhóm A ở trẻ em và thanh thiếu niên
Viêm amidan-họng do liên cầu nhóm A ở trẻ em và thanh thiếu niênViêm amidan-họng do liên cầu nhóm A ở trẻ em và thanh thiếu niên
Viêm amidan-họng do liên cầu nhóm A ở trẻ em và thanh thiếu niên
 
TRẮC NGHIỆM HÓA VÔ CƠ VÀ ĐÁP ÁN_10320512052019
TRẮC NGHIỆM HÓA VÔ CƠ VÀ ĐÁP ÁN_10320512052019TRẮC NGHIỆM HÓA VÔ CƠ VÀ ĐÁP ÁN_10320512052019
TRẮC NGHIỆM HÓA VÔ CƠ VÀ ĐÁP ÁN_10320512052019
 
Chương 7 vật lý 11 part 2
Chương 7 vật lý 11 part 2Chương 7 vật lý 11 part 2
Chương 7 vật lý 11 part 2
 
Phương trình hàm đa thức
Phương trình hàm đa thứcPhương trình hàm đa thức
Phương trình hàm đa thức
 
Lý thuyết quang hình học
Lý thuyết quang hình họcLý thuyết quang hình học
Lý thuyết quang hình học
 
: ĐẶC ĐIỂM DỊCH TỄ HỌC CỦA BỆNH LÂY QUA ĐƯỜNG HÔ HẤP
: ĐẶC ĐIỂM DỊCH TỄ HỌC CỦA BỆNH LÂY QUA ĐƯỜNG HÔ HẤP: ĐẶC ĐIỂM DỊCH TỄ HỌC CỦA BỆNH LÂY QUA ĐƯỜNG HÔ HẤP
: ĐẶC ĐIỂM DỊCH TỄ HỌC CỦA BỆNH LÂY QUA ĐƯỜNG HÔ HẤP
 
Tính đơn điệu và cực trị hàm số
Tính đơn điệu và cực trị hàm sốTính đơn điệu và cực trị hàm số
Tính đơn điệu và cực trị hàm số
 
Tóm tắt công thức vật lí 10
Tóm tắt công thức vật lí 10Tóm tắt công thức vật lí 10
Tóm tắt công thức vật lí 10
 
Lượng tử ánh sáng lý thuyết và bài tập áp dụng
Lượng tử ánh sáng lý thuyết và bài tập áp dụngLượng tử ánh sáng lý thuyết và bài tập áp dụng
Lượng tử ánh sáng lý thuyết và bài tập áp dụng
 
Ứng dụng đồng dư vào giải toán chia hết lớp 9
Ứng dụng đồng dư vào giải toán chia hết lớp 9Ứng dụng đồng dư vào giải toán chia hết lớp 9
Ứng dụng đồng dư vào giải toán chia hết lớp 9
 
Các chuyên đề bồi dưỡng HSG môn Toán THCS hay nhất
Các chuyên đề bồi dưỡng HSG môn Toán THCS hay nhấtCác chuyên đề bồi dưỡng HSG môn Toán THCS hay nhất
Các chuyên đề bồi dưỡng HSG môn Toán THCS hay nhất
 

En vedette

Ungdung tamthucbac2-giaitoan
Ungdung tamthucbac2-giaitoanUngdung tamthucbac2-giaitoan
Ungdung tamthucbac2-giaitoanchanpn
 
Chuyên đề tìm giới hạn nâng cao
Chuyên đề tìm giới hạn nâng caoChuyên đề tìm giới hạn nâng cao
Chuyên đề tìm giới hạn nâng caoBống Bình Boong
 
chuyên đề và phương pháp tính giới hạn và liên tục của hàm sô
chuyên đề và phương pháp tính giới hạn và liên tục của hàm sôchuyên đề và phương pháp tính giới hạn và liên tục của hàm sô
chuyên đề và phương pháp tính giới hạn và liên tục của hàm sôThế Giới Tinh Hoa
 
Tamthucbachai
TamthucbachaiTamthucbachai
Tamthucbachaihonghoi
 
Building windows phone_apps_-_a_developers_guide_v7_no_cover
Building windows phone_apps_-_a_developers_guide_v7_no_coverBuilding windows phone_apps_-_a_developers_guide_v7_no_cover
Building windows phone_apps_-_a_developers_guide_v7_no_coverPhan Sanh
 
Tổng hợp các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình môn toán
Tổng hợp các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình môn toánTổng hợp các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình môn toán
Tổng hợp các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình môn toánhuyenltv274
 
Mathvn.com 50 cau hoi phu kshs dai hoc 2011 - www.mathvn.com
Mathvn.com   50 cau hoi phu kshs dai hoc 2011 - www.mathvn.comMathvn.com   50 cau hoi phu kshs dai hoc 2011 - www.mathvn.com
Mathvn.com 50 cau hoi phu kshs dai hoc 2011 - www.mathvn.comnghiafff
 
Hướng dẫn giải bài tập chuỗi - Toán cao cấp
Hướng dẫn giải bài tập chuỗi - Toán cao cấpHướng dẫn giải bài tập chuỗi - Toán cao cấp
Hướng dẫn giải bài tập chuỗi - Toán cao cấpVan-Duyet Le
 
Toan11 chuong 4_gioi_han_day_so_ham so
Toan11 chuong 4_gioi_han_day_so_ham soToan11 chuong 4_gioi_han_day_so_ham so
Toan11 chuong 4_gioi_han_day_so_ham soquantcn
 
Cac bai-toan-pt-hpt-thi-hsg-2010-2011
Cac bai-toan-pt-hpt-thi-hsg-2010-2011Cac bai-toan-pt-hpt-thi-hsg-2010-2011
Cac bai-toan-pt-hpt-thi-hsg-2010-2011hannahisabellla
 
Atividades de retextualização 02
Atividades de retextualização 02Atividades de retextualização 02
Atividades de retextualização 02ma.no.el.ne.ves
 
Đáp Án Các Đề Thi Thử Toán 11 HK2
Đáp Án Các Đề Thi Thử Toán 11 HK2Đáp Án Các Đề Thi Thử Toán 11 HK2
Đáp Án Các Đề Thi Thử Toán 11 HK2thithanh2727
 
Nhung cong thuc luong giac co ban
Nhung cong thuc luong giac co banNhung cong thuc luong giac co ban
Nhung cong thuc luong giac co banNguyễn Hoành
 
Chuyên đề, các dạng toán tổ hợp xác suất
Chuyên đề, các dạng toán tổ hợp xác suấtChuyên đề, các dạng toán tổ hợp xác suất
Chuyên đề, các dạng toán tổ hợp xác suấtThế Giới Tinh Hoa
 
Chương 7 vật lý 11 part 1
Chương 7 vật lý 11 part 1Chương 7 vật lý 11 part 1
Chương 7 vật lý 11 part 1Duc Le Gia
 
32 đề thi vào lớp 10 dh khtn ha noi 1989 2005 truonghocso.com
32 đề thi vào lớp 10 dh khtn ha noi 1989 2005   truonghocso.com32 đề thi vào lớp 10 dh khtn ha noi 1989 2005   truonghocso.com
32 đề thi vào lớp 10 dh khtn ha noi 1989 2005 truonghocso.comThế Giới Tinh Hoa
 

En vedette (20)

Ungdung tamthucbac2-giaitoan
Ungdung tamthucbac2-giaitoanUngdung tamthucbac2-giaitoan
Ungdung tamthucbac2-giaitoan
 
Chuyên đề tìm giới hạn nâng cao
Chuyên đề tìm giới hạn nâng caoChuyên đề tìm giới hạn nâng cao
Chuyên đề tìm giới hạn nâng cao
 
chuyên đề và phương pháp tính giới hạn và liên tục của hàm sô
chuyên đề và phương pháp tính giới hạn và liên tục của hàm sôchuyên đề và phương pháp tính giới hạn và liên tục của hàm sô
chuyên đề và phương pháp tính giới hạn và liên tục của hàm sô
 
Tamthucbachai
TamthucbachaiTamthucbachai
Tamthucbachai
 
Building windows phone_apps_-_a_developers_guide_v7_no_cover
Building windows phone_apps_-_a_developers_guide_v7_no_coverBuilding windows phone_apps_-_a_developers_guide_v7_no_cover
Building windows phone_apps_-_a_developers_guide_v7_no_cover
 
Tổng hợp các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình môn toán
Tổng hợp các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình môn toánTổng hợp các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình môn toán
Tổng hợp các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình môn toán
 
Giới hạn
Giới hạnGiới hạn
Giới hạn
 
Mathvn.com 50 cau hoi phu kshs dai hoc 2011 - www.mathvn.com
Mathvn.com   50 cau hoi phu kshs dai hoc 2011 - www.mathvn.comMathvn.com   50 cau hoi phu kshs dai hoc 2011 - www.mathvn.com
Mathvn.com 50 cau hoi phu kshs dai hoc 2011 - www.mathvn.com
 
Tai lieu-on-thi-lop-10-mon-toan
Tai lieu-on-thi-lop-10-mon-toanTai lieu-on-thi-lop-10-mon-toan
Tai lieu-on-thi-lop-10-mon-toan
 
Hướng dẫn giải bài tập chuỗi - Toán cao cấp
Hướng dẫn giải bài tập chuỗi - Toán cao cấpHướng dẫn giải bài tập chuỗi - Toán cao cấp
Hướng dẫn giải bài tập chuỗi - Toán cao cấp
 
Toan11 chuong 4_gioi_han_day_so_ham so
Toan11 chuong 4_gioi_han_day_so_ham soToan11 chuong 4_gioi_han_day_so_ham so
Toan11 chuong 4_gioi_han_day_so_ham so
 
Cac bai-toan-pt-hpt-thi-hsg-2010-2011
Cac bai-toan-pt-hpt-thi-hsg-2010-2011Cac bai-toan-pt-hpt-thi-hsg-2010-2011
Cac bai-toan-pt-hpt-thi-hsg-2010-2011
 
Atividades de retextualização 02
Atividades de retextualização 02Atividades de retextualização 02
Atividades de retextualização 02
 
Đáp Án Các Đề Thi Thử Toán 11 HK2
Đáp Án Các Đề Thi Thử Toán 11 HK2Đáp Án Các Đề Thi Thử Toán 11 HK2
Đáp Án Các Đề Thi Thử Toán 11 HK2
 
Nhung cong thuc luong giac co ban
Nhung cong thuc luong giac co banNhung cong thuc luong giac co ban
Nhung cong thuc luong giac co ban
 
ETANOL
ETANOL ETANOL
ETANOL
 
Chuyên đề, các dạng toán tổ hợp xác suất
Chuyên đề, các dạng toán tổ hợp xác suấtChuyên đề, các dạng toán tổ hợp xác suất
Chuyên đề, các dạng toán tổ hợp xác suất
 
Chương 7 vật lý 11 part 1
Chương 7 vật lý 11 part 1Chương 7 vật lý 11 part 1
Chương 7 vật lý 11 part 1
 
Pt mũ có lời giải chi tiết
Pt mũ có lời giải chi tiếtPt mũ có lời giải chi tiết
Pt mũ có lời giải chi tiết
 
32 đề thi vào lớp 10 dh khtn ha noi 1989 2005 truonghocso.com
32 đề thi vào lớp 10 dh khtn ha noi 1989 2005   truonghocso.com32 đề thi vào lớp 10 dh khtn ha noi 1989 2005   truonghocso.com
32 đề thi vào lớp 10 dh khtn ha noi 1989 2005 truonghocso.com
 

Similaire à De thi va dap an thi hsg cum lg mon toan 11 nam 2013

Thi thử toán nguyễn đức mậu na 2012 lần 1 k a
Thi thử toán nguyễn đức mậu na 2012 lần 1 k aThi thử toán nguyễn đức mậu na 2012 lần 1 k a
Thi thử toán nguyễn đức mậu na 2012 lần 1 k aThế Giới Tinh Hoa
 
Thi thử toán triệu sơn 4 th 2012 lần 2
Thi thử toán triệu sơn 4 th 2012 lần 2Thi thử toán triệu sơn 4 th 2012 lần 2
Thi thử toán triệu sơn 4 th 2012 lần 2Thế Giới Tinh Hoa
 
De tot nghiep_2012
De tot nghiep_2012De tot nghiep_2012
De tot nghiep_2012Summer Song
 
Thi thử toán đô lương 4 na 2012 lần 1
Thi thử toán đô lương 4 na 2012 lần 1Thi thử toán đô lương 4 na 2012 lần 1
Thi thử toán đô lương 4 na 2012 lần 1Thế Giới Tinh Hoa
 
Thi thử toán mai anh tuấn th 2012 lần 3 k a
Thi thử toán mai anh tuấn th 2012 lần 3 k aThi thử toán mai anh tuấn th 2012 lần 3 k a
Thi thử toán mai anh tuấn th 2012 lần 3 k aThế Giới Tinh Hoa
 
Toán DH (THPT Lê Lợi)
Toán DH (THPT Lê Lợi)Toán DH (THPT Lê Lợi)
Toán DH (THPT Lê Lợi)Van-Duyet Le
 
Thi thử toán lê lợi th 2012 lần 3
Thi thử toán lê lợi th 2012 lần 3Thi thử toán lê lợi th 2012 lần 3
Thi thử toán lê lợi th 2012 lần 3Thế Giới Tinh Hoa
 
Goi y-toan-khoi-a-dh-2012-v2
Goi y-toan-khoi-a-dh-2012-v2Goi y-toan-khoi-a-dh-2012-v2
Goi y-toan-khoi-a-dh-2012-v2lam hoang hung
 
Thi thử toán quỳnh lưu 2 na 2012 lần 1 k ab
Thi thử toán quỳnh lưu 2 na 2012 lần 1 k abThi thử toán quỳnh lưu 2 na 2012 lần 1 k ab
Thi thử toán quỳnh lưu 2 na 2012 lần 1 k abThế Giới Tinh Hoa
 
20 de thi tot nghiep co dap an chi tiet 2011 2012
20 de thi tot nghiep co dap an chi tiet 2011 201220 de thi tot nghiep co dap an chi tiet 2011 2012
20 de thi tot nghiep co dap an chi tiet 2011 2012Khang Pham Minh
 
25 de-toan-onthi-tnthpt-2010-co da
25 de-toan-onthi-tnthpt-2010-co da25 de-toan-onthi-tnthpt-2010-co da
25 de-toan-onthi-tnthpt-2010-co daHà Mạnh
 
Thi thử toán trần nguyên hãn hp 2012 lần 1
Thi thử toán trần nguyên hãn hp 2012 lần 1Thi thử toán trần nguyên hãn hp 2012 lần 1
Thi thử toán trần nguyên hãn hp 2012 lần 1Thế Giới Tinh Hoa
 
Thi thử toán đặng thúc hứa na 2012 lần 2 k ab
Thi thử toán đặng thúc hứa na 2012 lần 2 k abThi thử toán đặng thúc hứa na 2012 lần 2 k ab
Thi thử toán đặng thúc hứa na 2012 lần 2 k abThế Giới Tinh Hoa
 
Thi thử toán hậu lộc 4 th 2012 lần 1 k d
Thi thử toán hậu lộc 4 th 2012 lần 1 k dThi thử toán hậu lộc 4 th 2012 lần 1 k d
Thi thử toán hậu lộc 4 th 2012 lần 1 k dThế Giới Tinh Hoa
 
Thi thử toán phú nhuận tphcm 2012
Thi thử toán phú nhuận tphcm 2012Thi thử toán phú nhuận tphcm 2012
Thi thử toán phú nhuận tphcm 2012Thế Giới Tinh Hoa
 
Thi thử toán bỉm sơn th 2012 lần 2
Thi thử toán bỉm sơn th 2012 lần 2Thi thử toán bỉm sơn th 2012 lần 2
Thi thử toán bỉm sơn th 2012 lần 2Thế Giới Tinh Hoa
 
Goi y-mon-toan-tot-nghiep-thpt-2012
Goi y-mon-toan-tot-nghiep-thpt-2012Goi y-mon-toan-tot-nghiep-thpt-2012
Goi y-mon-toan-tot-nghiep-thpt-2012Gia sư Đức Trí
 

Similaire à De thi va dap an thi hsg cum lg mon toan 11 nam 2013 (20)

Thi thử toán nguyễn đức mậu na 2012 lần 1 k a
Thi thử toán nguyễn đức mậu na 2012 lần 1 k aThi thử toán nguyễn đức mậu na 2012 lần 1 k a
Thi thử toán nguyễn đức mậu na 2012 lần 1 k a
 
Thi thử toán triệu sơn 4 th 2012 lần 2
Thi thử toán triệu sơn 4 th 2012 lần 2Thi thử toán triệu sơn 4 th 2012 lần 2
Thi thử toán triệu sơn 4 th 2012 lần 2
 
De tot nghiep_2012
De tot nghiep_2012De tot nghiep_2012
De tot nghiep_2012
 
Thi thử toán đô lương 4 na 2012 lần 1
Thi thử toán đô lương 4 na 2012 lần 1Thi thử toán đô lương 4 na 2012 lần 1
Thi thử toán đô lương 4 na 2012 lần 1
 
Thi thử toán mai anh tuấn th 2012 lần 3 k a
Thi thử toán mai anh tuấn th 2012 lần 3 k aThi thử toán mai anh tuấn th 2012 lần 3 k a
Thi thử toán mai anh tuấn th 2012 lần 3 k a
 
Toán DH (THPT Lê Lợi)
Toán DH (THPT Lê Lợi)Toán DH (THPT Lê Lợi)
Toán DH (THPT Lê Lợi)
 
Thi thử toán lê lợi th 2012 lần 3
Thi thử toán lê lợi th 2012 lần 3Thi thử toán lê lợi th 2012 lần 3
Thi thử toán lê lợi th 2012 lần 3
 
De toan a
De toan aDe toan a
De toan a
 
Mon toan khoi a 2012 tuoi tre
Mon toan khoi a 2012 tuoi treMon toan khoi a 2012 tuoi tre
Mon toan khoi a 2012 tuoi tre
 
Goi y-toan-khoi-a-dh-2012-v2
Goi y-toan-khoi-a-dh-2012-v2Goi y-toan-khoi-a-dh-2012-v2
Goi y-toan-khoi-a-dh-2012-v2
 
Thi thử toán quỳnh lưu 2 na 2012 lần 1 k ab
Thi thử toán quỳnh lưu 2 na 2012 lần 1 k abThi thử toán quỳnh lưu 2 na 2012 lần 1 k ab
Thi thử toán quỳnh lưu 2 na 2012 lần 1 k ab
 
20 de thi tot nghiep co dap an chi tiet 2011 2012
20 de thi tot nghiep co dap an chi tiet 2011 201220 de thi tot nghiep co dap an chi tiet 2011 2012
20 de thi tot nghiep co dap an chi tiet 2011 2012
 
25 de-toan-onthi-tnthpt-2010-co da
25 de-toan-onthi-tnthpt-2010-co da25 de-toan-onthi-tnthpt-2010-co da
25 de-toan-onthi-tnthpt-2010-co da
 
Thi thử toán trần nguyên hãn hp 2012 lần 1
Thi thử toán trần nguyên hãn hp 2012 lần 1Thi thử toán trần nguyên hãn hp 2012 lần 1
Thi thử toán trần nguyên hãn hp 2012 lần 1
 
Thi thử toán đặng thúc hứa na 2012 lần 2 k ab
Thi thử toán đặng thúc hứa na 2012 lần 2 k abThi thử toán đặng thúc hứa na 2012 lần 2 k ab
Thi thử toán đặng thúc hứa na 2012 lần 2 k ab
 
Da Toan 2008B
Da Toan 2008BDa Toan 2008B
Da Toan 2008B
 
Thi thử toán hậu lộc 4 th 2012 lần 1 k d
Thi thử toán hậu lộc 4 th 2012 lần 1 k dThi thử toán hậu lộc 4 th 2012 lần 1 k d
Thi thử toán hậu lộc 4 th 2012 lần 1 k d
 
Thi thử toán phú nhuận tphcm 2012
Thi thử toán phú nhuận tphcm 2012Thi thử toán phú nhuận tphcm 2012
Thi thử toán phú nhuận tphcm 2012
 
Thi thử toán bỉm sơn th 2012 lần 2
Thi thử toán bỉm sơn th 2012 lần 2Thi thử toán bỉm sơn th 2012 lần 2
Thi thử toán bỉm sơn th 2012 lần 2
 
Goi y-mon-toan-tot-nghiep-thpt-2012
Goi y-mon-toan-tot-nghiep-thpt-2012Goi y-mon-toan-tot-nghiep-thpt-2012
Goi y-mon-toan-tot-nghiep-thpt-2012
 

De thi va dap an thi hsg cum lg mon toan 11 nam 2013

  • 1. http://toanhocmuonmau.violet.vn SỞ GD & ĐT BẮC GIANG ĐỀ THI HSG CỤM LẠNG GIANG NĂM HỌC 2012 - 2013 CỤM LẠNG GIANG Môn: Toán. Lớp 11. Thời gian làm bài: 180 phút ĐỀ CHÍNH THỨC Ngày thi 24 tháng 02 năm 2013 Câu I: (2 điểm)  3π   π 1. Giải phương trình: 2 2 cos2 x + sin 2 x cos  x +  − 4sin  x +  = 0  4   4 2. Cho tập hợp A = {0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5, 6 , 7 }. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau đôi một sao cho các số này là số lẻ và chữ số đứng ở vị trí thứ 3 luôn chia hết cho 6? Câu II: (2 điểm) n  5 1. Tìm hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển: P ( x ) =  x +  và x ≠ 0 biết rằng:  x C4 n+1 + C4 n+1 + C4 n +1 + ... + C4 n +1 = 232 − 1 1 2 3 2n (n ∈ N ) * u0 = 1; u1 = 6 u 2. Cho dãy số (un ) xác định như sau :  . Tìm lim n n un+ 2 − 3un +1 + 2un = 0, ∀n ∈ N 3.2 3 1 + x2 − 4 1 − 2 x Câu III: (1 điểm) Tìm giới hạn L = lim x →0 x2 + x Câu IV: (3 điểm) 1. Cho tam giác ABC và một điểm P nằm trong tam giác. Hãy dựng tam giác cân đỉnh P có đáy song song với cạnh BC và có 2 đỉnh lần lượt nằm trên hai cạnh AB, AC của tam giác ABC cho trước. 2. Trong mặt phẳng (α ) cho tam giác ABC vuông tại A, góc B = 600 , AB = a . Gọi O là trung điểm của BC. Lấy S ở ngoài mặt phẳng (α ) , sao cho SB = a và SB ⊥ OA . Gọi M là một điểm trên cạnh AB, mặt phẳng ( β ) qua M và song song với SB và OA, cắt BC, SC, SA lần lượt tại N, P, Q. Đặt x = BM ( 0 < x < a ) . a. Chứng minh rằng MNPQ là hình thang vuông. b. Tính diện tích hình thang này theo a và x. Tìm x để diện tích này lớn nhất. Câu V: (2 điểm) 1. Ba số x, y, z theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân; ba số x, y – 4, z theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân; đồng thời x, y – 4, z – 9 theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. Hãy tìm x, y, z. 2. Cho a, b, c ∈ R . Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm x3 + ax 2 + bx + c = 0 ------------------- HẾT ------------------- Họ và tên thí sinh:.............................................................................SBD:...................................... Lưu ý: + Học sinh không được sử dụng tài liệu khi làm bài. + Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
  • 2. http://toanhocmuonmau.violet.vn HƯỚNG DẪN CHẤM toán 11 CÂU NỘI DUNG ĐIỂM PT ⇔ (sin x + cos x )  4(cos x − sin x ) − sin 2 x − 4  = 0   s inx + cos x = 0 ⇔ 0.25  4 ( cos x − s inx ) − sin 2 x − 4 = 0 π + s inx + cos x = 0 ⇔ x = − + kπ 0.25 4 + 4 ( s inx − cos x ) − sin 2 x − 4 = 0 (1) . Đặt t = s inx − cos x ( t ≤ 2) 1  t = −1 Khi đó phương trình (1) trở thành: t 2 − 4t − 5 = 0 ⇔  t = 5 (loai)  x = k 2π  π 1 Với t = −1 ta có s inx − cos x = −1 ⇔ sin  x −  = − ⇔ 0.25  4 2  x = 3π + k 2π  2 π 3π Kết luận: Vậy phương trình có nghiệm x = − + kπ ; x = k 2π ; x = + k 2π 0.25 4 2 I Gọi số cần tìm là : n = a1 a 2 a3 a 4 a5 a6 (2đ) Số n có tính chất : 0.25 + Lẻ ⇒ a6 ∈ {1 ; 3 ; 5 ; 7 } + a3 chia hết cho 6 ⇒ a3 ∈ {0 ; 6} . * Trường hợp 1 : a3 = 0 : a6 có 4 cách . a1 có 6 cách . Chọn 3 chữ số còn lại có A5 cách . 3 0.25 2 ⇒ Có 4.6. A5 số . 3 * Trường hợp 2 : a3 = 6 a6 có 4 cách chọn . a1 có 5 cách (a1 ≠ 0 ; a1 ≠ a3 ; a1 ≠ a6) Chọn 3 chữ số còn lại có A5 cách 3 0.25 ⇒ Có 4.5. A5 số . 3 Vậy : 4.6. A5 + 4.5. A5 = 2640 số . 3 3 0.25 4 n +1 + Xét khai triển (1 + x ) 4 n +1 = ∑C k =0 k x . Với x = 1 , ta có: 4 n +1 k C4 n+1 + C4 n+1 + C4 n +1 + ... + C4 n +1 + C4 n +1 + C4 n +12 + ... + C4 n+1 = 24 n+1 0 1 2 2n 2 n +1 2n+ 4 n +1 + + + Lại có: Cnk = Cnn− k , nên: C40n+1 + C4 n+1 + C42n +1 + ... + C42nn+1 = C42nn+11 + C42nn+12 + ... + C44nn+11 1 Suy ra: 2 ( C4 n +1 + C4 n +1 + C42n +1 + ... + C42nn+1 ) = 24 n +1 0 1 0.5 ⇒ C4 n +1 + C4 n +1 + C4 n+1 + ... + C4 n +1 = 24 n 0 1 2 2n II 1 ⇒ C4 n +1 + C4 n +1 + ... + C4 n +1 = 24 n − 1 1 2 2n Theo đầu bài ta có: 24 n − 1 = 232 − 1 ⇔ 4n = 32 ⇔ n = 8 8 k  5 8 5 8 + Với n = 8 , ta có: P ( x ) =  x +  = ∑ C8k .x8−k .   = ∑ C8k .5k .x8−2 k  x  k =0  x  k =0 Số hạng không chứa x ứng với 8 − 2k = 0 ⇔ k = 4 . 0.25 4 4 Kết luận: Vậy số hạng không chứa x là C .5 8 0.25
  • 3. http://toanhocmuonmau.violet.vn + Ta có u0 = 1 = −4 + 5.20 u1 = 6 = −4 + 5.21 u2 = 16 = −4 + 5.22 u3 = 36 = −4 + 5.23 ... 0.25 2 un = −4 + 5.2n , ∀n ∈ N * + Sử dụng phương pháp qui nạp chứng minh un = −4 + 5.2n , ∀n ∈ N là số 0.5 hạng tổng quát của (un ) 1 −4. +5 un −4 + 5.2 n 2n 5 + lim n = lim = lim = 3.2 3.2n 3 3 0.25 3 1 + x2 − 4 1 − 2 x  3 1 + x2 −1 1 − 4 1 − 2 x  Ta có: L = lim = lim  +  x →0 x2 + x x →0  x2 + x x2 + x   0.25  3 1 + x2 − 1 x2 + Tính L1 = lim = lim x2 + x x ( x + 1)  3 (1 + x 2 ) + 3 1 + x 2 + 1 x →0 x →0  2    x = lim =0 0.25 ( x + 1)  3 (1 + x 2 ) + 3 1 + x 2 + 1 x →0 2   III   1 − 4 1 − 2x 2x + Tính L2 = lim = lim x →0 x2 + x x →0 x ( x + 1) ( 4 (1 − 2 x ) 3 2 ) + 4 (1 − 2 x ) + 4 (1 − 2 x ) + 1 0.25 2 1 = lim = x →0 ( ( x + 1) 4 (1 − 2 x ) 3 + 4 (1 − 2 x ) 2 + 4 (1 − 2 x ) + 1 2 ) 0.25 1 + Vậy L = L1 + L2 = 2 + Phân tích: Giả sử ta dựng được ∆PMN thỏa mãn các điều kiện của bài toán và ta nhận thấy M và N là ảnh của nhau qua phép đối xứng trục , có trục là đường thẳng d đi qua P và vuông góc với BC cho trước. Do đó, ta có cách 0.25 dựng + Cách dựng: - Dựng đường thẳng d qua P và vuông góc với BC IV 1 - Dựng ảnh của cạnh AC là A ' C ' qua phép đối xứng trục d 0.25 - Gọi M = AB ∩ A ' C ' . Dựng N = Dd ( M ) Khi đó ta được ∆PMN là tam giác cần dựng thỏa mãn các ycbt + Chứng minh: ta dễ dàng chứng minh được ∆PMN là tam giác cân tại P 0.25 + Biện luận: Do AB và A ' C ' luôn cắt nhau tại 1 điểm M duy nhất cho nên bài toán luôn có duy nhất nghiệm hình 0.25
  • 4. http://toanhocmuonmau.violet.vn Ta có ( β ) / / OA  + OA ⊂ ( ABC ) ⇒ MN / / OA (1) 0.25   MN = ( β ) ∩ ( ABC ) ( β ) / / SB  2a +  SB ⊂ ( SAB ) ⇒ MQ / / SB ( 2) 0.25   MQ = ( β ) ∩ ( SAB ) + Tương tự: NP / / SB ( 3) 0.25 + Từ ( 2 ) , ( 3) ta suy ra MQ / / NP / / SB ( 4) Từ (1) , ( 4 ) và SB ⊥ OA ta suy ra MNPQ là hình thang vuông , đường cao MN. 0.25 1 + Ta có S MNPQ = .MN . ( MQ + NP ) (5) 2 + Tính MN. Ta có ∆ABC là nửa tam giác đều nên BC = 2 AB = 2a 1 Suy ra OA = BC = a 2 MN / / OA và ∆ABO đều nên ∆BMN đều ⇒ MN = BM = BN = x + Tính MQ: MQ AM SB a MQ / / SB ⇒ = ⇒ MQ = AM . = (a − x) = (a − x) 0.5 SB AB AB a + Tính NP: NP CN SB.CN a ( 2a − x ) 2a − x NP / / SB ⇒ = ⇒ NP = = = SB CB CB 2a 2 x ( 4a − 3 x ) 2b Thay các kết quả tìm được vào (5) ta được S MNPQ = 4 + Tìm x để diện tích lớn nhất x ( 4a − 3 x ) 3 x ( 4a − 3 x ) Ta có: S MNPQ = = 4 12 Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số dương 3x, ( 4a − 3x ) , ta có: 0.5  3 x + 4a − 3 x  2 3 x ( 4a − 3 x ) ≤   ≤ 4a 2  2  2 1 a ⇒ S MNPQ ≤ .4a 2 = 12 3 2a + Đẳng thức xảy ra ⇔ 3x = 4a − 3x ⇔ x = 3 2a Vậy khi x = thì S MNPQ đạt giá trị lớn nhất. 3 0.25 V 1 + Từ các giả thiết của bài toán ta có hệ phương trình  y 2 = xz (1)   0.25 ( y − 4 ) = xz ( 2) 2 
  • 5. http://toanhocmuonmau.violet.vn  x = 4  x + z = 5 z = 1 + Với y = 2 ta có  ⇔  xz = 4  x = 1 0.25   z = 4  + Kết luận: các số x, y, z cần tìm là x = 1, y = 2, z = 4 hoặc x = 4, y = 2, z = 1 0.25 + Xét hàm số f ( x ) = x + ax + bx + c là hàm số liên tục trên R 3 2 0.25  c  + Ta có: lim ( x3 + ax 2 + bx + c ) = lim x 3  1 + + 2 + 3  = +∞ nên tồn tại số a b x →+∞ x →+∞  x x x  0.25 dương α đủ lớn, ta có: f (α ) > 0  c  + Ta có: lim ( x3 + ax 2 + bx + c ) = lim x 3  1 + + a b 2 2 + 3  = −∞ nên tồn tại số âm x →−∞ x →−∞  x x x  β , sao cho β đủ lớn, ta có: f ( β ) < 0 0.25 + Vì f (α ) f ( β ) < 0 và hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn [α ; β ] ⊂ R nên phương trình f ( x ) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (α ; β ) . Tức là phương trình x3 + ax 2 + bx + c = 0 luôn có nghiệm với mọi a, b, c ∈ R 0.25 Lưu ý: Trên đây chỉ là hướng dẫn chấm và sơ lược cách giải. Nếu học sinh làm cách khác đúng thì vận dụng hướng dẫn này để cho điểm.
  • 6. http://toanhocmuonmau.violet.vn Gọi số cần tìm là : n = a1 a 2 a3 a 4 a5 a6 Số n có tính chất : + Lẻ ⇒ a6 ∈ {1 ; 3 ; 5 ; 7 } + a3 chia hết cho 6 ⇒ a3 ∈ {0 ; 6} . - Trường hợp 1 : a3 = 0 : a6 có 4 cách . a1 có 6 cách . 3 Chọn 3 chữ số còn lại có A5 cách . ⇒ Có 4.6. A5 số . 3 - Trường hợp 2 : a3 = 6 a6 có 4 cách chọn . a1 có 5 cách (a1 ≠ 0 ; a1 ≠ a3 ; a1 ≠ a6) 3 Chọn 3 chữ số còn lại có A5 cách ⇒ Có 4.5. A5 số . 3 3 3 Vậy : 4.6. A5 + 4.5. A5 = 2640 số .