Pensamiento computacional

Pensamiento Variacional y
Tecnologías Computacionales

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Pensamiento Variacional y
Tecnologías Computacionales

PROYECTO

Incorporación de Nuevas Tecnologías al Currículo
de Matemáticas de la Educación Básica Secundaria y
Media de Colombia

Ministerio de Educación Nacional
Dirección de Calidad de la Educación Preescolar, Básica y Media.

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PROYECTO

Incorporación de Nuevas Tecnologías al Currículo de
Matemáticas de la Educación Básica Secundaria
y Media de Colombia

LUIS MORENO ARMELLA
ANA CELIA CASTIBLANCO PAIBA
Asesor Internacional
Coordinadora General del Proyecto
CINVESTAV – IPN, México

EDITOR

Ministerio de Educación Nacional
Dirección de Calidad de la Educación Preescolar, Básica y Media.

Elaborado por:

ANA CELIA CASTIBLANCO PAIBA.
Ministerio de Educación Nacional.
HENRY URQUINA LLANOS.
Ministerio de Educación Nacional.
ERNESTO ACOSTA GEMPELER.
Escuela Colombiana de Ingeniería.

Con la colaboración de:

FABIOLA RODRÍGUEZ GARCÍA.
Instituto Pedagógico Nacional.

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Diseño, Diagramación, Preprensa digital, Impresión y terminados:
ENLACE EDITORES LTDA.

Primera edición: 1.500 ejemplares

ISBN: 958 - 97413 - 3 - 9

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización escrita del
Ministerio de Educación Nacional - MEN
Derechos reservados

DISTRIBUCIÓN GRATUITA - PROHIBIDA SU VENTA

Impreso en Colombia

Bogotá, D.C., Colombia
Abril 2004

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INSTITUCIONES PARTICIPANTES

La implementación nacional del proyecto “Incorporación de Nuevas Tecnologías al Currículo
de Matemáticas de la Educación Básica Secundaria y Media de Colombia”, y la construcción
del presente documento ha sido posible gracias a la participación de las siguientes instituciones
educativas y docentes que hacen parte integral de la red consolidada en este proceso.

UNIVERSIDADES

Universidad de Antioquia
Facultad de Educación.
Gilberto Obando Zapata. Coordinador Departamento de Antioquia.

Universidad del Norte
Departamento de Matemáticas.
Margarita Viñas de La Hoz. Coordinadora Departamento del Atlántico.

Universidad Distrital “Francisco José de Caldas”
Facultad de Ciencias y Educación.
Martha Bonilla Estévez. Coordinadora Departamento de Cundinamarca y Bogotá D.C.
Jaime Romero Cruz. Coordinador Departamento de Cundinamarca y Bogotá D.C.

Universidad Pedagógica Nacional
Facultad de Ciencia y Tecnología. Departamento de Matemáticas.
Leonor Camargo Uribe. Coordinadora Bogotá D.C.

Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia
Facultad de Ciencias.
José Manuel Holguín. Coordinador Departamento de Boyacá.

Universidad de la Amazonía
Facultad de Ciencias de la Educación. Programa Lic. Matemáticas y Física.
Javier Martínez Plazas. Coordinador Departamento del Caquetá.

Universidad Popular del Cesar
Facultad de Educación. Departamento de Matemáticas.
Álvaro de Jesús Solano, Coordinador Departamento del Cesar.

Universidad de Caldas
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales.
Carlos Barco Gómez. Coordinador Departamento de Caldas.

XI

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Universidad del Cauca
Yenny Rosero Rosero. Coordinadora Departamento del Cauca.
Alba Lorena Silva Silva. Coordinadora Departamento del Cauca.

Universidad de la Guajira
Facultad de Ciencias Básicas.
Ramón Bertel Palencia. Coordinador Departamento de la Guajira.

Universidad de los Llanos
Ivonne Amparo Londoño Agudelo. Coordinadora Departamento del Meta.

Universidad del Magdalena
Pablo Gonzáles. Coordinador Departamento del Magdalena.
Jesús Tinoco. Coordinador Departamento del Magdalena.

Universidad de Nariño
Oscar Fernando Soto. Coordinador Departamento de Nariño.
Oscar Alberto Narváez Guerrero. Coordinador Departamento de Nariño.

Universidad “Francisco de Paula Santander”
Facultad de Ciencias Básicas.
Paulina Gómez Agudelo. Coordinadora Departamento Norte de Santander.
Carlos Díaz. Coordinador Departamento Norte de Santander.

Universidad del Quindío
Julián Marín Gonzáles. Coordinador Departamento del Quindío.
Efraín Alberto Hoyos. Coordinador Departamento del Quindío.

Universidad Tecnológica de Pereira
Carlos Arturo Mora. Coordinador Departamento de Risaralda.

Universidad de Sucre
Félix Rozzo. Coordinador Departamento de Sucre.
Jesús Cepeda. Coordinador Departamento del Cesar.

Universidad Industrial de Santander
Facultad de Educación & Escuela de Matemáticas.
Jorge Enrique Fiallo Leal. Coordinador Departamento de Santander.

XII

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Universidad Surcolombiana.
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales.
Gustavo Londoño Betancourt. Coordinador Departamento del Huila.
Jaime Polanía Perdomo. Coordinador Departamento del Huila.

Universidad del Tolima
Rubén Darío Guevara. Coordinador Departamento del Tolima.
Ivonne López. Coordinadora Departamento del Tolima.

Universidad del Valle
Instituto De Educación y Pedagogía.
Diego Garzón. Coordinador Departamento del Valle.
Octavio Augusto Pabón. Coordinador Departamento del Valle.

Universidad Nacional de Colombia.
Departamento de Matemáticas y Estadística.
Miryam Acevedo de Manrique. Coordinadora Departamento del Amazonas.

Universidad de Córdoba
Jhon Jairo Puerta. Coordinador Departamento de Córdoba.

Escuela Colombiana de Ingeniería Julio Garavito
Dirección de Ciencias Básicas.
Ernesto Acosta Gempeler

SECRETARÍAS DE EDUCACIÓN

Secretaría de Educación Departamento del Atlántico
Yolima Fernández Felízzola. Coordinadora Departamento del Atlántico.

Secretaría de Educación Departamento del Putumayo
Edgar Gilberto Palacios. Coordinador Departamento del Putumayo.

Secretaría de Educación Departamento del Huila
Rafael Blanco Fernández. Coordinador Departamento del Huila.

INSTITUCIONES EDUCATIVAS DE BÁSICA Y MEDIA

Departamento de Antioquia
Colegio Santa Teresa. Medellín.
Normal Superior. Envigado.
Liceo Comercial Pedro Luis Álvarez. Caldas.
Normal Superior María Auxiliadora. Copacabana.

XIII

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Normal Superior Pedro Berrío. Santa Rosas de Osos.
Instituto Técnico Industrial Simona Duque. Marinilla.
Liceo Fé y Alegría la Cima. Medellín.
Instituto Técnico Industrial Jorge Eliécer Gaitán. Carmen de Viboral.

Departamento del Atlántico
Escuela Normal Superior Nuestra Señora de Fátima. Sabanagrande.
Instituto Pestalozzi. Barranquilla.
Normal Superior Santa Ana. Baranoa.
Normal Superior la Hacienda. Barranquilla.
Escuela normal Superior de Manatí. Manatí.
Colegio de Bachillerato Técnico. Santo Tomás.
Colegio de Bachillerato Masculino. Sabanalarga.

Departamento de Amazonas
Internado Indígena Femenino María Auxiliadora. Nazareth. Corregimiento de Leticia.
INEM “José Eustasio Rivera”. Leticia.

Bogotá D.C
Centro Educativo Distrital Rodrigo Lara Bonilla. (J.T).
Colegio Distrital Heladia Mejía.
Instituto Pedagógico Nacional.
Colegio Distrital de Educación Básica y Media General Santander.
Unidad Básica Rafael Uribe Uribe (J.M).
Colegio Distrital Benjamín Herrera (J.M).
Colegio República de Costa Rica.

Departamento de Boyacá
Instituto Técnico Rafael Reyes. Duitama.
Instituto Integrado Nalzado Silvino Rodríguez. Tunja.
Colegio Nacional Sugamuxi. Sogamoso.
Normal Superior Santiago de Tunja. Tunja.
Normal Superior Sor. Josefa del Castillo y Guevara. Chiquinquirá.
Colegio Julius Sierber. Tunja.

Departamento de Caldas
Normal Superior de Caldas. Manizales.
Colegio la Asunción. Manizales.
Normal Superior María Escolástica. Salamina.
Instituto Nacional Los Fundadores. Riosucio.

Departamento del Cesar
Normal Superior María Inmaculada. Manaure.
Colegio Manuel Germán Cuello. Anexo a la Universidad Popular del Cesar. Valledupar.
Colegio Nacional Loperena. Valledupar.
Instituto Técnico Industrial Pedro Castro Monsalve. Valledupar
Instituto Técnico Industrial La Esperanza. Valledupar.

XIV

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Departamento del Caquetá
Colegio Juan Bautista la Salle. Florencia.
Colegio Nacional La Salle. Florencia.
Escuela Normal Superior. Florencia.
Colegio Cervantes. Morelia.

Departamento del Cauca
Liceo Nacional Alejandro Humboldt. Popayán.
Instituto Técnico Industrial. Popayán.
INEM Francisco José de Caldas. Popayán.
Instituto Nacional Mixto. Piendamó.

Departamento de Córdoba
Normal Superior. Montería.
Normal Superior Lácidez A. Iriarte. Sahagún.
Colegio Marceliano Polo. Cereté.

Departamento de Cundinamarca
Instituto Técnico Industrial. Tocancipá.
Instituto Técnico Industrial Capellanía. Fúquene.
Instituto Técnico Industrial. Zipaquirá.
Colegio Departamental San Juan de Rioseco.
Normal Superior Nuestra Señora de la Encarnación. Pasca.

Departamento de la Guajira
Colegio Helión Pinedo Ríos. Riohacha.
Colegio Livio Reginaldo Fishioni. Riohacha.
Colegio La Divina Pastora Riohacha.
Colegio Santa Catalina de Sena. Maicao.
Normal Superior San Juan del Cesar.

Departamento del Huila
INEM Julián Motta Salas. Neiva.
Liceo Santa Librada. Neiva.
Normal Superior. Neiva.
Normal Superior. Gigante.

Departamento del Meta
Normal Superior María Auxiliadora. Granada.
Colegio Enrique Olaya Herrera. Puerto López.
INEM Luis López de Mesa. Villavicencio.
Unidad Educativa de Cabuyaro. Cabuyaro.

Departamento del Magdalena
Normal Superior San pedro Alejandrino. Santa Marta.
Colegio de Bachillerato de Bonda. Bonda.
Liceo Antonio Nariño. Santa Marta.
Normal de Señoritas. Santa Marta.

XV

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Departamento de Nariño
INEM Mariano Ospina Rodríguez. Pasto.
Colegio Ciudad de Pasto. Pasto.
Liceo Central Femenino. Pasto.
Colegio San Bartolomé de la Florida. La Florida.
Colegio Nacional Sucre. Ipiales.
Normal Superior. Pasto.
Colegio María Goretti. Pasto.

Departamento de Norte de Santander
Colegio Nacional de Bachillerato. Cúcuta.
Colegio Departamental Integrado Once de Noviembre. Los Patios.
Colegio Femenino Departamental de Bachillerato. Cúcuta.
Colegio Departamental Carlos Pérez Escalante. Cúcuta.
Normal Superior María Auxiliadora. Cúcuta.

Departamento del Putumayo
Colegio Alvernia. Puerto Asís.
Colegio Nacional Pío XII. Mocoa.
Colegio Agropecuario Guillermo Valencia. Villagarzón.
Colegio Fray Bartolomé de Igualada. Sibundoy.

Departamento del Quindío
Instituto Técnico Industrial. Armenia.
Normal Superior. Armenia.
Colegio los Fundadores. Montenegro.
Institución Educativa Ciudadela Henry Marín Granada.Circasia.
Instituto Tebaida. La Tebaida.
Colegio Teresita Montes. Armenia.

Departamento de Risaralda
Instituto Técnico Superior. Pereira.
Normal Superior de Risaralda. Pereira.
Instituto Técnico Industrial Nacional. Santa Rosa.
Colegio Pablo Sexto. Dosquebradas.

Departamento de Sucre
Liceo Carmelo Percy Vergara. Corozal.
Colegio Antonio Lenis. Sincelejo.
Normal Superior de Corozal. Corozal.

Departamento de Santander
INEM Custodio García Rovira. Bucaramanga.
Centro educativo Las Américas. Bucaramanga.
Escuela Normal Superior. Bucaramanga.
Instituto Santa María Goretti. Bucaramanga.
Colegio Vicente Azuero. Floridablanca.
Colegio Nacional Universitario. Socorro.

XVI

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Departamento del Tolima
Instituto Técnico Industrial Jorge Eliécer Gaitán Ayala. Líbano.
Colegio Nuestra Señora de las Mercedes. Icononzo.
Colegio Nacional San Simón. Ibagué.
Normal Superior. Ibagué.
INEM Manuel Murillo. Ibagué.
Colegio de Bachillerato Comercial Camila Molano. Venadillo.
Institución Educativa Santa Teresa de Jesús. Ibagué.

Departamento del Valle
Colegio Joaquín Caicedo y Cuero. Cali.
Normal Superior de Señoritas. Cali.
Colegio Manuel María Mallarino. Cali.
Colegio Mayor. Yumbo.
Instituto Técnico Industrial Humberto Raffo Rivera. Palmira.
Escuela Normal Superior Santiago de Cali. Cali.

XVII

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AGRADECIMIENTOS

La Dirección de Calidad de la Educación procesos de desarrollo, innovación e inves-
Preescolar, Básica y Media del Ministerio tigación en el uso de Nuevas Tecnologías en
de Educación Nacional agradece de manera la Educación Matemática.
especial:
A las Secretarías de Educación Departa-
A los niños y niñas colombianas de las mentales, Distritales y Municipales que
diversas regiones que sustentados en su inte- han asumido el liderazgo y gestión de los
ligencia, talento y capacidad creativa vienen procesos de incorporación de nuevas tecno-
aprovechando las posibilidades que brindan logías informáticas en sus territorios.
las nuevas tecnologías para aprender unas
matemáticas con sentido para sus vidas y que A los Consejos Directivos y rectores de las
nos han permitido construir e implementar Instituciones educativas de básica y media
situaciones y propuestas para el estudio de la que han hecho posible la generación de
variación y el cambio en el contexto escolar. condiciones para la implementación y soste-
nibilidad del proyecto en sus instituciones.
A los Coordinadores del proyecto que han
dinamizado el trabajo a nivel regional permi- A los padres de familia que consientes de la
tiendo la construcción de situaciones para el necesidad de aproximar a las nuevas gene-
trabajo de aula sobre la variación y el cambio raciones en conocimientos y experiencias en
con tecnología. punta, han apoyado y contribuido a la incor-
poración de nuevas tecnologías en la educa-
A los maestros y maestras del país que han ción matemática.
asumido el compromiso y reto de avanzar en
el diseño, implementación y evaluación de A los investigadores e innovadores que
las situaciones de aula sobre la variación y el vienen aportando en la generación de cono-
cambio con tecnología. cimiento y experiencias significativas sobre
el uso de nuevas tecnologías en la educación
A las Universidades que han asumido el lide- matemática.
razgo regional y el acompañamiento a los

XIX

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CONTENIDO

INSTITUCIONES PARTICIPANTES. ..................................................................................................... XI
AGRADECIMIENTOS. ................................................................................................................... XIX
CONTENIDO. .............................................................................................................................. XXI
PRESENTACIÓN. ....................................................................................................................... XXIII
INTRODUCCIÓN. ........................................................................................................................ XXV

CAPÍTULO 1
LA VARIACIÓN Y EL CAMBIO A LA LUZ DE LA HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS. ..............................1
1.1 Los inicios: un mundo cambiante..................................................................................1
1.2 La representación retórica y los rudimentos del estudio de las nociones
de variable, dependencia o función . ...................................................................................1
1.3 De la retórica a la comprensión y representación sincopada (abreviada) y la
ampliación de algunas relaciones funcionales de fenómenos de variación y cambio.. ......3
1.4 La transición hacia sistemas de representación simbólica(algabraica actual)
y el surgimiento de la Variable y la Función. .....................................................................5
1.5 La Consolidación del Sistema de Representación Simbólico (algebraico actual)
y de la Función como Representación de Procesos de Variación y Cambio. .....................7
1.6 La interacción entre sistemas de representación ejecutables en el estudio
y comprensión sistemática de la variación y el cambio .....................................................9

CAPÍTULO 2
LA VARIACIÓN Y EL CAMBIO EN EL CURRÍCULO DE MATEMÁTICAS DE COLOMBIA. ........................11
2.1 El Movimiento Internacional de transformación y reforma de la Educación
Matemática. .......................................................................................................................11
2.2 La Renovación Curricular de Matemáticas en Colombia: impulso al estudio
de la variación y el cambio. ...............................................................................................11
2.3. Desarrollo del Pensamiento Variacional: uno de los Lineamientos Básicos
en el Currículo de Matemática de Colombia. ....................................................................13

CAPÍTULO 3
EL PENSAMIENTO VARIACIONAL. ...................................................................................................17
3.1 Situaciones de Variación y Cambio. ............................................................................17
3.1.1 Descripción e interpretación de situaciones de variación y cambio
desde un punto de vista cualitativo.. .......................................................................18
3.1.2 Formas de representación cualitativa de estas situaciones. ...........................19
3.1.3 Formas de representación cuantitativa de situaciones de variación
y cambio..................................................................................................................... 19

XXI

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PENSAMIENTO VARIACIONAL Y TECNOLOGÍAS COMPUTACIONALES

3.1.4 Interpretación de representaciones de situaciones de variación y cambio. ...21
3.2 La variable y el concepto de función. .........................................................................21
3.3 La modelación variacional: un ejemplo. .....................................................................23

CAPÍTULO 4
USO DE TECNOLOGÍAS COMPUTACIONALES. ....................................................................................27
4.1 Los programas de geometría dinámica........................................................................27
4.2 Las calculadoras graficadoras. ....................................................................................28

CAPÍTULO 5
SITUACIONES DIDÁCTICAS PARA EL DESARROLLO DEL PENSAMIENTO VARIACIONAL
CON MEDIACIÓN TECNOLÓGICA. ....................................................................................................31
5.1 Propósitos y lineamientos generales ..........................................................................31
5.2 Momentos del trabajo de aula con tecnología en situaciones de variación
y cambio. ...........................................................................................................................32
5.3 Propuesta del tratamiento didáctico de las actividades ..............................................33
5.3.1 Observación y descripción de la situación. ...................................................33
5.3.2 Predicción de la gráfica. ................................................................................33
5.3.3 Registro de los datos en una tabla y descripción de la variación. .................33
5.3.4 Visualización de la gráfica formada por un conjunto de valores registrados.34
5.3.5 Relacionar la información obtenida en la gráfica con la información
obtenida en la tabla. ................................................................................................34
5.3.6 Hacer aproximaciones de la expresión algebraica que mejor relaciona
las variables. ...........................................................................................................35
5.3.7 Hacer el cálculo de regresión.........................................................................35
5.4 Situaciones didácticas que promueven el desarrollo del pensamiento variacional
y potencian el papel mediador de las nuevas tecnologías computacionales ....................35
5.4.1 Modelación del Movimiento Pendular. .........................................................35
5.4.2 Simulación del Movimiento de Aviones. .......................................................37
5.4.3 La función seno y su gráfica. .........................................................................45
5.4.4 Estudio de la simulación del lanzamiento de un cuerpo. ...............................48
5.4.5 Simulaciones en Cabri para diseñar otras actividades. ..................................51
5.4.5.1 Variación del radio y la circunferencia .......................................................51
5.4.5.2 Variación del ancho y la altura de un rectángulo con perímetro fijo ..........51
5.4.5.3 Variación del ancho (o el largo) y el área de un rectángulo con
perímetro fijo ..........................................................................................................52
5.4.5.4 Variación del radio y el área del círculo .....................................................52
5.4.5.5 Variación del ancho (o el largo) del rectángulo inscrito en una
circunferencia y su área ..........................................................................................52
5.4.5.6 Variación de un ángulo de un trapecio inscrito en una semicircunferencia
y la altura del trapecio ............................................................................................52
5.4.6 La derivada como razón de cambio ...............................................................53

BIBLIOGRAFÍA. ...............................................................................................................................63

XXII

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PRESENTACIÓN

El Ministerio de Educación Nacional, compro- comprensión de lo que hacen, viene impulsando
metido con el mejoramiento de la calidad de la en el país una verdadera revolución educativa,
educación y respondiendo de manera efectiva a una oportunidad para acceder a la información
las necesidades, tendencias y retos actuales de la y al conocimiento universal y la transformación
educación matemática, viene adelantando desde de las escuelas desde las particularidades de las
el año 2000, la implementación del proyecto diferentes regiones que integran el país.
Incorporación de Nuevas Tecnologías al Currí-
culo de Matemáticas de la Educación Media Maestros más creativos y comprometidos con
de Colombia, con el cual se viene instaurando su ejercicio profesional; estudiantes activos
una nueva cultura informática en el país apro- haciendo matemática y colocando en juego
vechando el potencial formativo que brindan las todo su talento en horarios de clase y extra
tecnologías computacionales, específicamente clase; comunidades educativas que en ejercicio
los sistemas computacionales gráficos y alge- de su autonomía se han cohesionado en torno
braicos. a la incorporación de tecnologías; articulación
entre los niveles educativos básico, medio y
La columna vertebral del proyecto ha sido la superior; en síntesis, una gama de opciones
formación permanente de los docentes, centrada alternativas que nos permite creer firmemente
en la reflexión sobre su propia práctica en el salón que la educación matemática será cada día de
de clase y en las posibilidades pedagógicas y mejor calidad.
didácticas del recurso tecnológico. La dinámica
lograda viene impulsando la consolidación de Las reflexiones y propuestas sobre el estudio
grupos de estudio regionales con profesores de la variación y el cambio con mediación de
de matemáticas de la educación secundaria y nuevas tecnologías computacionales gráficas
media, de las universidades y con profesionales
y algebraicas constituyen un aporte a la comu-
de las Secretarías de Educación, de manera nidad educativa para fortalecer los procesos
que se ha enriquecido la reflexión teórica y la
de formación de docentes, especialmente en la
experiencia práctica y se han creado condiciones
construcción de ambientes de aprendizaje con
de sostenibilidad a largo plazo. tecnología, y en una herramienta de trabajo para
promover la discusión y construcción nacional
Las posibilidades que brindan las tecnologías sobre la diseminación de la cultura informática
computacionales (computadores y calculadoras en la educación matemática colombiana.
gráficas y algebraicas), como instrumentos
mediadores en el aprendizaje de los alumnos,
en la construcción de conocimientos y en la Los autores

XXIII

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INTRODUCCIÓN

El estudio de procesos de variación y cambio En el capítulo tres: “El pensamiento Variacional”,
constituye uno de los aspectos de gran riqueza se hace una aproximación conceptual a lo que
en el contexto escolar. El énfasis actual en la se asume en el contexto del documento por
educación matemática orientado hacia el desa- variación, cambio, variable, función, los diversos
rrollo del pensamiento matemático a partir de sistemas de representación y los momentos
situaciones problemáticas significativas para para el estudio sistemático y la comprensión de
los estudiantes, hacen del estudio de la varia- procesos o fenómenos de variación y cambio en
ción y el cambio con mediación de herra- contextos escolares.
mientas tecnologías computacionales gráficas
y algebraicas un campo de acción y formación En el capítulo cuatro: “Uso de Tecnologías
potente en la educación matemática del país. Computacionales”, se reconoce el potencial
Atendiendo a esto, en el presente documento se mediador de los sistemas computacionales
presentan ideas y propuestas sobre el desarrollo dinámicos, gráficos y algebraicos en el estudio
del pensamiento variacional y el uso de nuevas sistemático de procesos o fenómenos variables
tecnologías. o cambiantes.

Se parte en el capítulo uno de una ubicación En el capítulo 5: “Situaciones Didácticas para
de la “La variación y el cambio a la luz de la el Desarrollo del Pensamiento Variacional con
histórica de las matemáticas”; en un esfuerzo Mediación Tecnológica” se presentan diversas
de síntesis, se ubican algunos de los momentos situaciones didácticas que potencian el uso
relevantes de su estudio desde una perspectiva de tecnologías computacionales dinámicas,
histórica. El énfasis marcado en lo geométrico gráficas y algebraicas en el estudio de procesos
y algebraico en las épocas de la antigüedad o fenómenos de variación y cambio.
clásica, la edad media y el renacimiento, han
hecho muy exigente el rastreo de la manera El particular enfoque en el tratamiento del
como se ha estudiado la variación y el cambio tema, en el sentido de reconocer y avanzar en
y, naturalmente los sistemas de representación la comprensión de la variación y el cambio y
para ello construidos. los sistemas de representación a ellos conexos
y, no al contrario, el partir de lo algebraico,
En el Capítulo dos: “La variación y el cambio tabular o gráfico (en el mayor de los casos de
en el Currículo de Matemáticas de Colombia”, manera aislada o fragmentada), como sistemas
se ubica a los lectores en la manera como se de representación privilegiados para modelar
ha incorporado en la educación matemática fenómenos o procesos cambiantes o varia-
colombiana de los niveles de básica y media el bles, han colocado un alto grado de exigencia
estudio de situaciones, fenómenos o procesos al proceso de producción de este documento.
cambiantes o variables. Atendiendo a ello, se estima que las ideas, argu-

XXV

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mentos y propuestas que se hacen, constituyen un de procesos de variación y cambio aprovechando
referente para potenciar el desarrollo del pensa- el potencial mediador de las nuevas tecnologías
miento matemático desde el estudio sistemático computacionales en el contexto escolar.

XXVI

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1 LA VARIACIÓN Y EL CAMBIO
A LA LUZ DE LA HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS

Un mundo dinámico en permanente sensible y observó fenómenos cambiantes, que
transformación ha constituido el escenario impulsaron el desarrollo de tecnologías mate-
propicio para que el hombre se sensibilice e riales y simbólicas elementales (herramientas,
interese por la comprensión de la variación y el lenguaje gestual, lenguaje verbo icónico), que
cambio en el transcurso de la historia. sentaron las bases para el surgimiento posterior
de sistemas de representación escritos mucho
La comprensión científica de la variación tomó más complejos.
auge en el periodo comprendido entre los siglos
XIV y XVII en el que se centra el interés por el
estudio de las cualidades en situaciones como 1.2 La representación retórica
el movimiento, la intensidad luminosa o la y los rudimentos del estudio
intensidad de calor, inspirados en los trabajos de las nociones de variable,
científicos de Aristóteles y de los filósofos esco- dependencia o función
lásticos sobre tópicos como el infinito, el infi-
nitesimal y la continuidad (Moreno y Zubieta, La consolidación de la escritura (Hacia el 3000
1996, Pág. 457). a.C), impulsó el surgimiento de diversos tipos e
instrumentos de registro a través de los cuales
ha sido posible conocer el saber social y cultural
1.1 Los inicios: un mundo cambiante construido a partir de la antigüedad.

Desde la época prehistórica, cuando surgieron A partir de tablillas de arcilla encontradas en
las primeras nociones e ideas matemáticas excavaciones arqueológicas, se ha podido veri-
(Collette, J.P., 2000. Pág. 4-5), la observación ficar que en la época antigua (desde la aparición
del cambio en la posición de las ramas de los de la escritura hasta la caída del imperio romano
árboles por la influencia del viento; el despla- en el 476 d. C), la civilización Babilónica
zamiento de un lugar a otro para las labores de (ubicada en Mesopotamia – hoy Irak – 5000 a.
recolección; el desarrollo de técnicas y herra- C), avanzó en lo que se denomina “álgebra retó-
mientas para la caza y la pesca; la sucesión del rica”, en la que los problemas se enunciaban
día a la noche y su relación con el cambio en la y solucionaban sin utilizar de manera sistemá-
posición del sol, la luna y las estrellas; el vínculo tica notaciones algebraicas como las actuales.
entre la posición de los astros y los procesos de De igual manera, resolvían en lenguaje verbal
producción agrícola; los aspectos cambiantes (oral – escrito) lo que actualmente se conoce
de la vegetación y el tamaño de los rebaños de como ecuaciones cuadráticas (por compleción
animales domesticados; el desarrollo de rituales del cuadrado o por sustitución), algunas ecua-
colectivos con largas procesiones de partici- ciones cúbicas y bicuadráticas y sistemas de
pantes; permite inferir, que el hombre se hizo ecuaciones de varios tipos con dos incógnitas,

1

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que incluían generalmente una ecuación lineal y empírica de la duración de un año. A partir de
una ecuación de segundo grado. la observación de los cambios y constantes en
la visibilidad de una estrella (Sirio), en relación
Por ejemplo, uno de los problemas consistía en con la salida y ocultamiento del sol durante
“conocer la longitud del lado de un cuadrado determinadas épocas, estimaron y adoptaron
cuya área menos el lado es igual a 870°”, que un calendario civil con un año de 365 días,
equivale a resolver en la actualidad la ecuación dividido en 12 meses de 30 días, más cinco
; otro de los problemas conte- días extras al final; la única diferencia con el
nidos en los textos babilónicos eran del tipo calendario actual, es que los Egipcios, no inter-
, cuya solución se basaba en la utili- calaron el día adicional cada cuatro años, por
zación de una tabla que se ha encontrado, en lo que el calendario se iba retrazando poco a
la que se daban las combinaciones de la forma poco con respecto a las estaciones, y al cabo de
para 1 < n < 30. 1460 años volvía a la situación inicial (Kline,
M. 1994. Pág. 44 – 45).
En las transformaciones algebraicas (nombre con
el cual se le conocen actualmente), asumiendo La civilización Griega ( 2800 a. C – 600 d. C
de manera tácita las propiedades conmutativa y aprox., ubicada en el Asia Menor en el territorio
distributiva, consiguieron obtener algunas rela- continental europeo que constituye la actual
ciones algebraicas (Collette, J.P; 2000. Pág. 26 Grecia, y en el sur de Italia, Sicilia, Creta, Rodas,
–29). Delos y el norte de África), que a partir del siglo
VI a. C, se preocupó no sólo por investigar el
La civilización Egipcia (3100 – 322 a. C aprox.), “como”, sino sobre todo de establecer el “por
según se ha podido encontrar en papiros como qué” de las cosas, impulsó la transformación
los del Rhin y de Moscú, logró algunos avances de las matemáticas en una ciencia deductiva (al
en el campo algebraico. A partir del abordaje menos a partir de Pitágoras en el siglo VI a. C)
de problemas de la vida cotidiana, como: el (Collette, J.P., 2000. Pág. 66).
reparto de panes, grano o animales, la fermen-
tación del pan, la cantidad de granos necesarios Como se ha podido encontrar a partir de los
para producir cantidades dadas de cerveza, o códices bizantinos manuscritos en griego,
la cantidad de granos de una calidad necesaria escritos entre 500 y 1500 años después de que
para obtener el mismo resultado con granos de fueran escritas las obras originales griegas
otra calidad, cuya “fuerza” relativa al primero (Kline, M. Pág. 49), fundamentados en una escri-
fuera conocida, la estimación de la comida de tura basada en un alfabeto fácil de aprender y en
los animales y el almacenamiento de productos sistemas de numeración en base 10 (“Ático” o
alimenticios, etc., avanzaron en la solución “Herodiano” y “Jónico” o “Alfabético”), inven-
verbal de ecuaciones lineales aplicando el taron procesos geométricos ingeniosos para
método de la falsa posición y en el trabajo llegar a solucionar problemas algebraicos.
con progresiones aritméticas y geométricas,
empleando unos pocos símbolos (Collette, J.P., Según algunos historiadores, especialmente
2000. Pág. 40 – 58; Kline, M. 1994. Pág. 44). en el libro II de los elementos de Euclides, la
más importante y singular obra de las mate-
Debido a lo esencial del Río Nilo y la incidencia máticas griegas, dan a entender cierta geome-
de sus inundaciones periódicas en la producti- tría algebraica, en la que las construcciones
vidad de su población, lograron la estimación geométricas tienen la misma función que las

2


LA VARIACIÓN Y EL CAMBIO A LA LUZ DE LA HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS

operaciones algebraicas. Euclides resuelve los las primeras relaciones funcionales ligadas a
primeros teoremas con conceptos geométricos. problemas principalmente astronómicos, en
El concepto de “magnitud” se usó para deter- forma tabulada a partir de interpolaciones gene-
minar cualquier objeto geométrico, el segmento ralmente lineales, que alcanzan su mayor preci-
de una línea o bien una figura, y los teoremas sión en el Almagesto de Ptolomeo que llega a
tratan las construcciones y las relaciones entre introducir con su tabla de cuerdas la función
dichas magnitudes (ManKiewicz, R, 2000). seno. No obstante, ni estas funciones tabuladas
ni los trabajo sobre curvas ligados al estudio de
En la línea de la denominada geometría alge- las cónicas, realizados por los Griegos, princi-
braica, se destacan la demostración de identi- palmente por Apolonio, llevaron al parecer a
dades algebraicas y la solución de ecuaciones ningún tipo de consideración general sobre la
cuadráticas, a partir de dos métodos: el método idea de variable o de función.
de las proporciones y el método de la aplicación
de las áreas. Algunos obstáculos conceptuales que hicieron
que en la época antigua el estudio de fenó-
Por ejemplo, el método de la aplicación de las menos de cambio sea aún muy reducido y que
áreas, consistía en llevar sobre una recta (como las aproximaciones cuantitativas y cualitativas
base), con un ángulo dado, un paralelogramo que de dichos fenómenos se hallen todavía total-
debía ser igual (en superficie) a cualquier figura mente disociadas y por tanto no sea posible
rectilínea dada. En los problemas más difíciles, hablar de la formulación explícita de nociones
el paralelogramo utilizado puede sobresalir de la como variable, dependencia o función, estu-
base, o ser inferior a la línea dada para un parale- vieron relacionadas con: el uso de proporciones
logramo semejante (Collette, J.P., Pág. 79 – 81). o la disociación entre número y magnitud, así
como el carácter eminentemente geométrico de
Como señalan Azcárete y Deulofeu (1996), la matemática griega y a ellos cabría añadir los
a pesar de que las ideas de cambio o cantidad problemas debidos al simbolismo, totalmente
variable no eran ajenas a los Griegos, que habían inexistente en lo que se refiere al estableci-
considerado problemas sobre movimiento, miento de expresiones algebraicas, a excepción
continuidad o infinito desde los tiempos de de los interesantes intentos de Diofanto, aunque
Heráclito y Zenón, y a los cuales dedica Aristó- en forma retórica, conceptualmente relacio-
teles buena parte de su física, se puede asegurar nado con la dependencia funcional (Azcárate J.,
que ni los aspectos de cambio ni los referidos al Carmen & Deulofeu P., Jordi; 1996).
movimiento fueron estudiados desde un punto
de vista cuantitativo por la ciencia griega, más
que en algunos momentos muy concretos que no 1.3 De la retórica a la comprensión
pueden hacer cambiar la idea general de que el y representación sincopada
estudio de la matemática pura prevaleció sobre la (abreviada) y la ampliación de
cinemática. Esta puede ser una razón importante algunas relaciones funcionales
para explicar por qué el concepto de función de fenómenos de variación y
permaneció prácticamente en su prehistoria al cambio.
final de lo que hemos llamado la edad antigua.
Desde Diofanto (250 d. C) hasta finales del
En términos generales, sustentan Azcárete Siglo XIV d. C, se introdujeron algunas abre-
y Deulofeu, en el mundo antiguo aparecen viaturas para las incógnitas y las relaciones de

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uso frecuente, pero los cálculos se desarrollan blecidos; la intensidad se considera en relación
en lenguaje natural, que dio origen a la deno- a su “extensión” con el tiempo o la cantidad
minada álgebra sincopada, caracterizada por el de materia. En el transcurso de estos estudios,
empleo de síncopas o abreviaciones. y al margen del valor concreto de cada uno de
ellos, empiezan a aparecer conceptos funda-
Este periodo que comprende la época histórica mentales como cantidad variable, entendida
de la Edad Media, se caracteriza en el campo de como un grado de cualidad, velocidad instan-
las matemáticas por el trabajo de las árabes, que tánea o puntual, aceleración, todos ellos ínti-
retomaron el relevo de los griegos y permitieron mamente ligados a la idea de función (Azcárate
que el legado de estos llegara a occidente. En J., Carmen & Deulofeu P., Jordi; 1996)
relación con la idea de función, a pesar del
notable incremento en el número de funciones De la escuela francesa se destaca Nicolás
consideradas, que abarca, entre otras, la mayoría Oresme, que continuando el estudio sobre los
de funciones trigonométricas, así como la fenómenos que cambian, abre una nueva vía al
mejora de los métodos de estudio de las mismas, proponer una aproximación geométrica, frente
ampliando y perfeccionando los sistemas de a los estudios cinemático – aritméticos desa-
interpolación esenciales para la tabulación de rrollados hasta el momento, en su teoría sobre
funciones, no es posible hablar de un cambio las latitudes de las formas (Tratado De confi-
sustancial en el tratamiento de las mismas, ni gurationibus qualitatum et motuum), que se
se tienen indicios que permitan pensar que los fundamenta en el uso de segmentos rectilíneos
árabes avanzaron hacia el concepto general. para representar todo lo que varía, ya que todo
lo medible puede imaginarse como un cantidad
No obstante, es importante destacar, que una continua, pasando después a la representación
de las preocupaciones de la Edad media, fue de diversos tipos de cambio. De esta forma, por
el estudio de las cosas sujetas al cambio, y en ejemplo, para representar la velocidad de un
particular del movimiento. Las escuelas de móvil a lo largo del tiempo, Oresme traza un
filosofía natural de Oxford y París, dos de los segmento horizontal cuyos puntos representan
principales núcleos científicos de este periodo, los sucesivos instantes de tiempo (longitud) y
que tuvieron su mayor florecimiento durante el para cada instante traza un segmento perpendi-
siglo XIV y que consideraban las matemáticas cular (latitud) cuya longitud representa la velo-
griegas como un instrumento esencial para cidad en aquel instante.
el estudio de los fenómenos de la naturaleza,
hicieron grandes aportes en los que se destacan
al inicio de un estudio cuantitativo del movi-
miento local no uniforme, partiendo inicial-
mente de las doctrinas aristotélicas.

A partir del siglo XIII el estudio cuantitativo
de fenómenos adquiere gran relevancia. Se
analizan cualidades y formas, según la termino-
logía propuesta por Aristóteles, de fenómenos Fig. 1. Oresme y la representación del Cambio
muy diversos como calor, luz, densidad, velo-
cidad, que pueden poseer varios “grados” de La teoría de las latitudes de las formas de
“intensidad” que cambian entre dos límites esta- Oresme, destaca por el carácter general de los

4



primeros problemas abordados, pero pronto Pág. 4). Desde distintos puntos de vista, desde
restringe su campo con la distinción de tres esta época, se da paso al nacimiento primero de
tipos de configuraciones, las uniformemente la geometría analítica y luego del cálculo infi-
uniformes (de latitud constante y por consi- nitesimal, con el consiguiente progreso para el
guiente la línea superior o de intensidades es estudio de las funciones que permitirá la apari-
una recta paralela a la de las longitudes), las ción de las primeras definiciones así como el
uniformemente diformes (la variación de las término de función.
latitudes da una línea superior o de intensidad
igual a una recta) y las diformemente diformes Los avances de Galileo sobre el estudio expe-
(la línea superior no es una recta), descritas rimental del movimiento usando ingeniosos
negativamente como las que no pertenecen a instrumentos para tomar medidas que le permi-
ninguna de las configuraciones anteriores. Con tieron establecer leyes entre magnitudes que
este tipo de representaciones, que recuerdan son auténticas relaciones funcionales, a pesar
mucho la llamada representación gráfica de una de basarse y expresarse en la clásica teoría
función sobre unos ejes cartesianos, Oresme griega de las proporciones, resulta decisiva
pretende que se entienda más fácil y más rápi- para el establecimiento del concepto matemá-
damente la naturaleza de los cambios, ya sean tico de función.
cuantitativos o cualitativos, de forma que sea
posible dar una representación de todos ellos. Hasta el siglo XVII, un a función podía intro-
No obstante no se puede considerar estas repre- ducirse utilizando una expresión verbal, una
sentaciones como la expresión de una depen- tabla, una gráfica, e incluso en ciertos casos
dencia en sentido actual. una comparación de carácter cinemático.
Hacia 1637, Descartes Publicó su trabajo “La
géométrie”, libro que marca el nacimiento
1.4 La transición hacia y expansión de la geometría analítica, que
sistemas de representación permitirá, a partir de este momento, interpretar
simbólica(algabraica actual) y el curvas y superficies por medio de ecuaciones,
surgimiento de la Variable y la y que un siglo más tarde llevó a la algebriza-
Función ción de la geometría. Esta idea fundamental,
afectó de forma decisiva a las funciones, ya
El apogeo en el estudio sistemático de procesos que en este mismo trabajo aparece por vez
de variación y cambio relacionados con el movi- primera el hecho de que una ecuación en x e
miento, la intensidad luminosa y la intensidad de y es una forma para expresar una dependencia
calor, se da en el periodo que va desde el Siglo entre dos cantidades variables, de manera que
XV hasta el Siglo XVII, con los trabajos de Tarta- a partir de ella, es posible calcular los valores
glia, Cardan, Vieta, Galileo, Descartes, Wallis, de una variable que corresponden a determi-
Newton y Leibniz, que construyeron a partir nados valores de otra.
de Vieta con influencia de Napier, Descartes y
Wallis, el álgebra simbólica (Sigma, 1985, Pág. Siguiendo a Azcárate y Deulofeu, para llegar a
43). En el álgebra simbólica se usan letras para las ideas fundamentales, que permitieron con
todas las cantidades y signos para representar las el tiempo, considerar por un lado las funciones
operaciones, se utiliza el lenguaje simbólico no como relaciones entre conjuntos de números,
sólo para resolver ecuaciones sino también para más que como entre “cantidades”, y por otro
demostrar reglas generales (Malisani, E. 1999, representar las función por medio de fórmulas,

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se habían producido en el campo de las mate- tiempos. El desarrollo en series de potencias
máticas dos avances muy importantes en la de una función tuvo una gran importancia, a
segunda mitad del siglo XVI: los progresos reali- partir de la mitad del siglo XVII, hasta el punto
zados en la extensión del concepto de número, que durante mucho tiempo se convirtió en el
con la configuración de los números reales y método fundamental para el estudio de las
la primera aparición de los números imagina- funciones.
rios, y la aparición del álgebra simbólica, en
la que cabe destacar la introducción de signos A manera de síntesis se puede señalar que
para numerosas operaciones y especialmente la Newton hizo grandes contribuciones al desa-
utilización de letras para representar cantidades rrollo del estudio de las funciones, entre las que
desconocidas y coeficientes arbitrarios distin- se destacan:
guiendo claramente una cosa de otra.
- Su interpretación geométrico – cinemática
Junto a Descartes, se destaca el trabajo de de los conceptos fundamentales del análisis
Fermat, el cual en una publicación póstuma de matemático, siguiendo las ideas de Barrow,
1679, escrita antes de 1637, expone los princi- en las que tomando el tiempo como argu-
pios fundamentales del método de las coorde- mento analiza las variables dependientes
nadas. Al igual que Descartes, tomó un eje de como cantidades continuas que poseen una
referencia y en él un punto fijo, el origen de determinada velocidad de cambio.
segmentos variables, a partir de cuyos extremos
toma otros segmentos variables, generalmente - Sus ideas sobre el cálculo infinitesimal,
perpendiculares a aquellos, de manera que el expuestas en uno de sus trabajos principales,
extremo de este segundo segmento dibujará el método de fluxiones y series infinitas,
una curva que dependerá de la relación alge- escrito en 1671 y publicado en 1736, en los
braica establecida entre los dos segmentos que a partir de la exposición de sus ideas
variables. En esa memoria aparece, de manera básicas a través de la mecánica, presentó los
más explicita que en Descartes, la ecuación dos principales problemas del cálculo infi-
de la recta, siguiendo la notación de Viète, así nitesimal, la diferenciación y la integración,
como las ecuaciones de la circunferencia y de en términos de movimiento, es decir dada la
las demás cónicas. ley para la distancia determinar la velocidad,
para el primer caso, y dada la velocidad
Como se observa, Descartes consideró sola- determinar la distancia, para el segundo. En
mente las funciones algebraicas, excluyendo efecto al determinar un movimiento x = f(t)
incluso las curvas mecánicas que no podían sobre le eje x, en el tiempo t, lo que carac-
ser tratadas según su método de análisis, teriza dicho movimiento es su velocidad,
alejando así la vinculación de las matemá- es decir el valor del límite del cociente de
ticas con la física, como fruto de su parti- diferencias ∆x / ∆t. Esta velocidad, con la
cular visión de aquella ciencia. No obstante, cual varía la variable x en el tiempo, es la
pocos años después, el descubrimiento del que Newton llama “fluxión de x” que repre-
desarrollo de funciones en series infinitas de senta asimismo por x, y dependientes de una
potencias, debido entre otros a Newton, redujo variable primitiva t, el tiempo de manera que
notablemente las restricciones de Descartes, la derivada de y respecto a x es el cociente de
haciendo posible la representación analítica de dos fluxiones y´ / x´, lo que en la actualidad
la mayoría de funciones estudiadas en aquellos se escribe como dy /dt: dx / dt.

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Gottfried W. Leibnitz, contemporáneo y rival 1.5 La Consolidación del Sistema
de Newton, otro matemático de la segunda de Representación Simbólico
mitad del siglo XVII, contribuyó decidida- (algebraico actual) y de la
mente el concepto de función. Al igual que Función como Representación de
Newton, sus primeras obras fueron dedi- Procesos de Variación y Cambio
cadas al estudio de las series infinitas. Hacia
1673, se dio cuenta que la determinación de En los siglos XVIII y XIX con los trabajos
la tangente a una curva depende de la razón de Jean Bernoulli, Leonard Euler, Lagrange,
entre las diferencias de las ordenadas y de Fourier y de Dirichlet se consolida el sistema
las abscisas cuando éstas tienden a cero, así de representación simbólico del álgebra actual
como el cálculo de las áreas depende de la y la noción de función como representación de
suma de las ordenadas o de los rectángulos procesos de variación y cambio.
cuya abscisa tiende a cero y que ambos son
problemas inversos, llegando a la misma Durante el siglo XVIII el análisis matemático
conclusión de Newton que se encontraba ante va cobrando cada vez mayor importancia e
un método de gran importancia por su gene- independencia como disciplina, perdiendo su
ralidad. Introdujo las notaciones que todavía carácter geométrico y mecánico a favor del uso
perviven para representar las diferenciales casi exclusivo del álgebra.
(dx, dy) y para la integral ∫, una s estilizada
que es la inicial de la palabra suma. La ampliación del concepto de función como
una de las representaciones de procesos de
El término función aparece por primera vez variación y cambio se desarrolló con toda su
en un escrito de Leibnitz de 1673. Inicial- extensión en el siglo XIX, gracias a los trabajos
mente tiene un significado muy particular, de Fourier, Cauchy y Dirichlet, entre otros.
pues se refiere a un problema de cálculo de
ordenadas a partir de cierta propiedad de las La primera definición de función como una
tangentes; hacia 1694, utiliza la palabra en expresión analítica, publicada en 1718, se debe
un sentido más general, aunque todavía poco a Jean Bernoulli, cuya notación no perduró,
preciso, y referido como siempre a cuestiones correspondiendo a Euler (1740) la notación f(x)
de geometría diferencial. Conjuntamente con utilizada hasta nuestros días. El término función
Jean Bernoulli, muestra cómo el deseo para se tuilizó por primera vez hacia 1698.
expresar mediante una palabra cantidades que
dependen de una cierta variable se encuentra Euler, uno de los grandes matemáticos del siglo
todavía restringida a las expresiones analíticas. XVIII, al inicio de su obra Introductio in analysis
En este sentido, una función arbitraria de x es infinitorum (1748) hace un detallado estudio del
una cantidad formada de manera cualquiera concepto de función y de otros relacionados con
a partir de x y de constantes, esta “manera este. Al definir las nociones iniciales se refiere
cualquiera” se entiende como una expresión a los términos constante, cantidad definida que
algebraica o trascendente. No obstante, cabe toma siempre un mismo valor determinado, y
destacarse que parece observarse una supera- variable, cantidad indeterminada, o universal,
ción de la concepción cinemática del término que comprende en si misma todos los valores
variable puesto que ésta se considera ya como determinados (refiriéndose a los valores del
un elemento genérico de un conjunto numérico conjunto de los números complejos o a alguno
cualquiera. de sus subconjuntos). Al definir la función

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sigue a Bernoulli: una función de una cantidad cada uno perteneciente al conjunto en el que
variable es una expresión analítica formada toman valores las correspondientes variables.
de cualquier manera a partir de esta cantidad En el prefacio de su obra Institutiones calculi
variable y números o cantidades constantes. differentialis publicado en 1755, aparece la
nueva definición, que no mantiene relación con
Posteriormente aborda el complejo problema de la anterior al desaparecer la idea de expresión
establecer qué se entiende por expresión analí- analítica: Si x es una cantidad variable, entonces
tica, enumerando en primer lugar las operaciones toda cantidad que dependa de x de cualquier
algebraicas, luego las trascendentes, como la manera o que esté determinada por aquél se
exponencial y la logarítmica, para ampliar el llama función de dicha variable.
campo a una infinidad de otras funciones obte-
nidas del cálculo integral, incluyendo la integra- En la transición al siglo XIX, Lagrange restringió
ción de ecuaciones diferenciales, pero sin llegar de nuevo el concepto de función al limitarlo a
a determinar claramente cuál es la amplitud del las llamadas funciones analíticas definidas por
término. series de potencias, todas ellas continuas o con
un número reducido de discontinuidades, ya que
La restricción todavía imperante en esta es necesario recordar que el análisis, o estudio
primera definición dada por Euler desapareció de los procesos infinitos, se entendía, desde su
unos años más tarde. Ya durante la primera creación por Newton y Leibnitz, como referido
mitad del siglo XVIII habían aparecido dife- a las llamadas magnitudes continuas.
rencias de opinión sobre las maneras de repre-
sentar funciones, cuando D’Alembert y Euler Fourier a través del estudio de las series trigono-
dieron sus soluciones al problema de la cuerda métricas, conocidas como series de Fourier, ya
vibrante, en la llamada “forma cerrada”, utili- abordado por Daniel Bernoulli, para desarrollar
zando un par de definiciones, arbitrarias, mien- funciones arbitrarias, supuso una gran revolu-
tras que Daniel Bernoulli había encontrado una ción en su tiempo al lograr representar por medio
solución en términos de una serie infinita de de funciones analíticas, funciones arbitrarias
funciones trigonométricas. Y cómo esta última formadas por leyes analíticas distintas en dife-
solución parecía implicar el carácter periódico rentes intervalos de la variable independiente.
de la función, mientras que las funciones arbi- Como señala Boyer (1996), para Fourier, “…
trarias de D’Alembert y de Euler no eran perió- cualquier función y = f(x) se puede representar
dicas necesariamente, parecía que la solución por una serie de la forma:
de Bernoulli era menos General. Esta situación Y=1/2a +a cosx+a co2x+...+a cosnx+...+b senx+b sen2x+...+b senx+...
0 1 2 n 1 2 n

fue demostrada por J. B. J. Fourier en 1824
(BOYER, C., 1996). serie que conocemos hoy con el nombre de serie
de Fourier. Las representaciones por medio de
Euler al considerar que para la solución del tales series permiten un grado de generalidad
problema de la cuerda vibrante deben acep- mucho mayor, en cuanto al tipo de funciones a
tarse funciones o curvas de forma arbitraria, es las que se puede aplicar para estudiarlas, que
decir, que no satisfacen ninguna ley analítica, el que permite la serie de Taylor. Incluso si hay
planta el germen de una definición, que le llevó muchos puntos en los que no exista la derivada
a explicitar por vez primera la noción general de la función o en los que la función no sea
de correspondencia entre pares de elementos, continua…”.

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Lejeune Dirichlet, discípulo de Fourier, que punto del continuo de todos los valores reales
casi siempre se refería a funciones continuas o complejos, o cuanto menos, en cada punto
o poco discontinuas, hablaba de los desarro- e un intervalo dado. Pero, al considerar una
llos en serie de funciones completamente definición en términos conjuntistas, todas las
arbitrarias, en el mismo sentido de Fourier, definiciones anteriores corresponden a casos
mostrando que poseía ya el concepto general particulares de esta nueva generalización. Así,
de función. Según Boyer (1996), Dirichlet se llega a plantear, que dados dos conjuntos
propuso en 1837 una definición sumamente arbitrarios A y B una función (o aplicación) de A
amplia y general expresada de la siguiente en B es una ley que a cada elemento x de A hace
manera: si una variable y está relacionada con corresponder un solo elemento y de B; o si se
otra variable x de tal manera que siempre que prefiere, una función de A en B es un subconjunto
se atribuya un valor numérico a x hay una regla F del producto cartesiano A x B tal que si (x, y)
según la cual queda determinado un único valor y (x,z) pertenecen a F entonces y = z. Como
de y, entonces se dice que y es una función de ratifican Azcárate y Deulofeu (1996), en esta
la variable independiente x. Esta definición última generalización del concepto se pierden
se acerca mucho ya a la idea moderna de una muchos los atributos que tenían las definiciones
correspondencia general entre dos conjuntos clásicas, como son la idea de variación, de
de números reales, aunque en su época los continuidad, de la variable como parámetro
conceptos de “conjunto” y de “número real” temporal, de dependencia, característicos de
estaban lejos de tener un significado preciso. la mayoría de problemas que generaron la
Para ejemplificar la arbitrariedad de la regla necesidad del concepto de función.
propuso lo que se llama función de Diri-
chlet: sean a y b dos números reales distintos;
entonces si x es racional y = a, mientras que 1.6 La interacción entre sistemas
si x es irracional y= b. Esta función es discon- de representación ejecutables
tinua para todos los valores de x, y por tanto no en el estudio y comprensión
es diferenciable para ninguno de ellos. A pesar sistemática de la variación y el
de que ya no existe duda sobre la generalidad cambio.
de su definición, posteriormente, formuló un
conjunto de condiciones, conocidas como las La transformación en las concepciones sobre las
condiciones de Dirichlet, que debían satisfacer matemáticas a finales del siglo XIX y durante
las funciones por él consideradas. el siglo XX, continuaron impulsando el refina-
miento en sus diferentes campos y en la manera
Paralelamente, hacia 1830, se desarrolló la de concebir los sistemas de representación de
teoría de funciones de variable compleja, debida procesos o fenómenos de variación y cambio.
ante todo a Cauchy, Riemann y Weierstrass; con
este paso al campo complejo vienen a coincidir Los estudios sobre la variación y el cambio
en cierto modo los conceptos de función de agrupados en el análisis adquirieron mayor
Lagrange y de Fourier – Dirichlet. rigor y surgieron nuevas definiciones generales
y precisas de conceptos como función, límite,
Posteriormente, con la introducción de la teoría integral y, finalmente, del concepto básico de
de conjuntos el concepto de función alcanza magnitud variable (se dio una definición rigu-
un nuevo grado de generalización. Hasta ese rosa de número real) (ALEKSANDROV, A. D
momento, una función estaba siempre en cada & otros; 2003).

9



Este mayor rigor se logró al mismo tiempo que se La esencia del análisis funcional se resume,
hacían nuevos hallazgos en álgebra y geometría, en que en el análisis clásico la variable es una
y culminó en su forma actual en los años 80 del magnitud o “número”, en análisis funcional
siglo XIX gracias a los matemáticos alemanes se considera como variable la función misma.
Weierstrass, Dedekind y Cantor, quien puso los Las propiedades de una función particular se
cimientos de la teoría de los conjuntos transfi- determinan, no como tales propiedades, sino en
nitos, que desempeñan un gran papel en el desa- relación con otras funciones. Lo que se estudia
rrollo de las novísimas ideas de la matemática. no es una función aislada sino toda una colec-
ción de funciones caracterizadas por una u otra
La mayor precisión que adquirieron los propiedad; por ejemplo la colección de todas las
conceptos de variable y función en conexión funciones continuas. Tal colección de funciones
con la teoría de conjuntos, fue esencial para el constituye lo que se denomina un espacio
posterior desarrollo del análisis. Se paso del funcional. Este procedimiento corresponde, por
estudio de funciones más generales, y en esta ejemplo, al hecho de considerar la colección de
misma línea se generalizó también el aparato todas las curvas sobre una superficie o de todos
del análisis, es decir, el cálculo diferencial e los posibles movimientos de un sistema mecá-
integral. Fue así como a comienzos del siglo nico dado, definiéndose así las propiedades de
XX, surgió la nueva rama del análisis: la teoría las curvas o movimientos particulares en su
de funciones de una variable; ligada princi- relación con otras curvas o movimientos.
palmente a los matemáticos franceses Borel,
Lebesgue y N, N Luzón y su escuela. La transición de la investigación de funciones
individuales a la investigación de una función
Surgieron igualmente otras teorías, como la variable es similar al paso de los números desco-
teoría de aproximación de funciones, que estudia nocidos x, y a las variables x, y.
los problemas relativos al mejor modo de repre-
sentar aproximadamente funciones arbitrarias Con el advenimiento desde la primera mitad
mediante funciones “simples”, y en particular del siglo XX de las tecnologías informáticas y
mediante polinomios, que proporciona métodos su evolución hacia el uso de sistemas gráficos y
generales para el cálculo práctico de funciones algebraicos ejecutables, se a abierto un campo
y para la sustitución aproximada de funciones infinito de experimentación y desarrollo en el
complicadas por otras más sencillas. campo de las matemáticas, con importantes
repercusiones en el campo de la educación.
Sobre la base proporcionada por el desarrollo
del análisis y la física matemática, y junto con Como se puede observar en capítulos posteriores,
las nuevas ideas de la geometría y el álgebra, la mediación de herramientas computacionales
ha madurado una nueva y extensa sección de la provistas de un sistema de álgebra simbólica
matemática, el llamado análisis funcional, que ejecutable, constituye un poderoso recurso en el
tiene un papel excepcionalmente importante en contexto escolar, para observar, explorar, conje-
la matemática moderna, construido a través de turar, representar modelar y simular situaciones
los trabajos de Hilbert, del matemático Húngaro de variación y cambio, a partir de la interacción
Riesz y el matemático polaco Banach. entre sistemas de representación.

10


2 LA VARIACIÓN Y EL CAMBIO
EN EL CURRÍCULO DE MATEMÁTICAS DE COLOMBIA

2.1 El Movimiento internacional de Uno de los movimientos surgidos como
transformación y reforma de la respuesta inmediata a las deficiencias que el
Educación Matemática movimiento de las matemáticas modernas deja
en los estudiantes, es el conocido, como el
La década de los años 60 se caracterizó por un regreso a lo básico. Dicho movimiento, le daba
gran movimiento internacional en el campo de mucha importancia al manejo de las opera-
la educación matemática preocupado por actua- ciones fundamentales y procedimientos algo-
lizar y reorientar lo enseñado tradicionalmente rítmicos. Sin embargo, el regreso a lo básico
en las escuelas e incorporar ciertos temas de tampoco mejoró el aprovechamiento de los
la denominada matemática moderna o nueva; estudiantes, ya que cuando algunos estudiantes,
estos temas estaban relacionados con la teoría eran capaces de resolver operaciones, muchas
de conjuntos, grupos, anillos, cuerpos, vectores, veces no entendían el significado o sentido de
espacios vectoriales, matrices, álgebra de Boole las respuestas. Había casos en que el estudiante
y otros, que al no ser presentados de manera unifi- encontraba “la respuesta” a problemas cuyos
cada o coherente, hicieron que los programas datos no tenían sentido o eran insuficientes.
de matemáticas elaborados atendiendo estos
énfasis, aparecieran demasiado recargados,
difíciles y abstractos. Como consecuencia de 2.2 La Renovación Curricular de
esto “en los países donde se adoptaron estas Matemáticas en Colombia:
medidas de manera precipitada, el número de impulso al estudio de la
estudiantes de matemáticas de los dos últimos variación y el cambio.
años de la escuela secundaria descendió seria-
mente”. (F. Fehr, Howard y otros; 1971) En el caso colombiano, a mediados de la década
de los años 70’s, como manera de avanzar en
Durante la década de los años 70, en reacción la construcción de un currículo que respondiera
al movimiento de la matemática moderna y a las necesidades del país, en el marco del
su énfasis en el carácter abstracto y formal de “Programa Nacional de Mejoramiento Cualita-
la matemática escolar, surgen movimientos tivo de la Educación” (MEN, 2002), que tuvo
de vanguardia que reivindican una enseñanza como objetivo general “mejorar cualitativa y
más real, con problemas de contenido real y el cuantitativamente la educación sistematizando
papel de los problemas frente a lo rutinario de el empleo y generación de tecnología educa-
los ejercicios. Renuncian a los modelos tradi- tiva para ampliar las condiciones de acceso
cionales, entre los que incluyen las matemá- a la educación en forma equitativa, a toda la
ticas modernas, y se aproximan cada vez más población colombiana fundamentalmente de
a postulados pedagógicos y psicológicos que las zonas rurales”, se cimentó la renovación
validen su modelo de enseñanza. curricular de matemáticas.

11


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