Aspectos Epistemológicos del Uso de Modelos Computacionales en Nanociencia y Nanotecnología para la Educación Superior

Introducción
Algunos requerimientos sobre las Teorías en Nano
Hacia una Semántica Formal para Nanotecnología
Impacto en los Programas Educativos hacia la Nano
Aspectos Epistemológicos del Uso de Modelos
Computacionales en Nanociencia y Nanotecnología
para la Educación Superior
Santiago Núñez-Corrales, José Roberto Vega-Baudrit
Laboratorio Nacional de Nanotecnología
Centro Nacional de Alta Tecnología
Dirección de Investigación y Desarrollo Tecnológico - MICITT
6 de agosto de 2014
S. Núñez-Corrales, J.R. Vega-Baudrit NANODYF 2014

Introducción
1 Introducción
2 Algunos requerimientos sobre las Teorías en Nano
3 Hacia una Semántica Formal para Nanotecnología
4 Impacto en los Programas Educativos hacia la Nano

Introducción
Breve ubicación

Introducción
El Contexto de las Tecnologías Convergentes
Las tecnologías convergentes son parte de la realidad en la
educación, de forma explícita o implícita en ambientes
formales e informales.
La tasa de crecimiento de los resultados en las áreas nano
muestran una tendencia hacia la necesidad de mayor
especialización → más tiempo para preparar expertos
Existe mayor presión para incrementar la cantidad de expertos
a nivel mundial en menor tiempo.
América Latina requiere integrarse de una manera más efectiva
a la dinámica mundial nano desde la perspectiva de generación
de nuevo conocimiento, productos y valor social.

Introducción
¿Qué se debe resolver en Educación Superior?
Problema Pedagógico en Nanociencia y Nanotecnología para
Educación Superior
Encontrar un conjunto de herramientas conceptuales y analíticas
que permitan al estudiante avanzado de pregrado y al estudiante de
grado integrar rápidamente sus conocimientos a un creciente corpus
de conocimiento para ser intelectualmente eﬁciente en la
compresión de fenómenos de la nanoescala.

Introducción
¿Qué se debe resolver en Educación Superior?
Objetivo Pedagógico
Dotar al estudiante lo antes posible de capacidades que le permitan
comprender rápida y claramente las ventajas del uso de materiales
cuya complejidad estructural es deliberadamente planiﬁcada a
escala atómica mediante el análisis y aplicación de principios
generales capaces de abstraer el efecto de la reducción de
dimensionalidad a partir de múltiples variables físicas.

Introducción
La Simulación Computacional
El acceso a herramientas de simulación permite transformar lo
expresado en sistemas formales en datos que, al ser
visualizados, apoyan la intuición durante el proceso de
investigación.
La fidelidad de las simulaciones que es accesible con medios
tecnológicos (¡y económicos!) accesibles en la región aumenta
positivamente.
La nanociencia y la nanotecnología se benefician de este tipo
de medios experimentales, pero su conveniencia para usuarios
no experimentados es limitada.
Los paquetes de simulación requieren explícitamente que
muchas de las premisas físicas, químicas o biológicas sean
especificadas de manera determinística, o en varios casos, con
grados limitados de aleatoriedad.

Introducción
Premisas
Estructura de los Sistemas de la Nanoescala
1 El ordenamiento de los átomos en sistemas de nanoescala es
intencionalmente diseñado en forma de nanoestructuras.
2 El grado de regularidad esperada (i.e. calidad) en el
ordenamiento atómico de las nanoestructuras es directamente
proporcional al costo energético de su producción, y presenta
porcentajes de variación debido a fenómenos cuánticos y
moleculares.
3 La estructura de los materiales resultantes de la agregación de
nanoestructuras es distinta a la estructura de materiales
resultantes de la agregación de los componentes de otras
mezclas cuyo ordenamiento no es intencional, pero comparten
la misma proporción de especies que las nanoestructuras.

Introducción
Premisas
Dinámica de los Sistemas de la Nanoescala
1 Las nanoestructuras tienen un comportamiento regido por
elementos determinísticos y elementos aleatorios que
determinan su estado de manera individual.
2 La aleatoriedad en sistemas nano provide de dos fuentes
primarias: la multiplicidad combinaría de arreglos moleculares y
sus interacciones (determinísticas), y la materialización de
efectos cuánticos (no determinística).
3 La agregación estados de múltiples nanoestructuras en
proporciones suﬁcientes cambian la naturaleza del
comportamiento de los materiales en otras escalas por medio
de transiciones de fase.

Introducción
Generalización
Supongamos que, ante los requerimientos anteriores, existe
una expresión formal L(r, V, F) = F[(r, V, F)] capaz de
abstraer la dinámica resultante de las propiedades de
agregación de diversas nanoestructuras.
¿Cuál sería la forma (e.g. ﬁrma) general de la solución descrita
por el función F?
Respuesta: F debe ser globalmente suave y localmente rugosa.
Las teorías que actualmente cumplen con este requisito están
poco articuladas y su integración presenta diﬁcultades
derivadas de las suposiciones acerca de su carácter discreto o
continuo.

Introducción
Modelo y Lenguaje Integrador
El lenguaje matemático utilizado para describir los nuevos
modelos en la nanoescala debe preservar la identidad de las
nanoestructuras, pero facilitar el cálculo de las propiedades
resultantes de su agregación.
Los modelos deben abstraer el efecto estadístico de la
aleatoriedad y sus consecuencias durante la ocurrencia de
transiciones de fase a lo largo de los sistemas descritos.
El lenguaje de formulación de modelos debe sugerir de manera
natural la dinámica del sistema y traducirse fácilmente en el
cómputo necesario para estimar el valor de observables de
interés.
Los modelos deben sugerir los mecanismos de visualización
más apropiados

Introducción
Semántica para Fenómenos Nanotecnológicos
La simulación computacional debe fundamentarse en modelos que
implementen de manera coherente y consistente una semántica
uniﬁcada para el experto de dominio interesado.
Una semántica axiomática que contenga los postulados
relevantes a los fenómenos en escalas nano para describir las
propiedades de las nanoestructuras.
Una semántica operacional que explícitamente describa la
obtención de los observables y el impacto de la aleatoriedad
resultante de las interacciones entre los componentes del
sistema.
Una semántica denotacional donde el lenguaje matemático
implique una visión panorámica completa y útil que cumpla
con la semántica axiomática y sea detallada por la semántica
operacional.

Introducción
Semántica Axiomática para Nanociencia y Nanotecnología
El elemento más importante de Nano es la complementariedad
entre los fenómenos cuánticos y clásicos dependientes de
escala en las nanoestructuras.
Los modelos multi-escala actuales para investigación
académica encuentran diﬁcultades en integración debido a que,
matemáticamente, se sostienen sobre la hipótesis de la
continuidad.
C∞
= l«ım
n→∞
{F : Rn
→ P|∃Fn
(r) ∈ P}
Observación: el creciente corpus de conocimiento acerca de la
Naturaleza indica que esta es discreta en las escalas más
fundamentales.

Introducción
En ese sentido, es necesario reconsiderar el fundamento
continuo detrás de las ecuaciones diferenciales
dx
dy
= l«ım
∆x→0
∆y→0
∆x
∆y
Para, dada una cantidad b que evoluciona en tiempo t donde
b es discreta
db
dt
= l«ım
∆b→0
∆t→0
∆b
∆t
¿Qué pasa si requerimos que b → 0?

Introducción
Una opción audaz es identiﬁcar que fenómenos donde la
probabilidad tiene un rol importante el efecto es equivalente a
un fenómeno de difusión con amortiguamiento junto a un
random walk sesgado. Así, b se reemplaza por un valor entero
que representa subunidades del estado representado por tal
cantidad:
∆Nb = ∆t · R
db
dt
R representa un generador de números aleatorios que se
obtiene de una distribución de probabilidad, posteriormente
escalada por db
dt como factor de cambio determinístico.

Introducción
Axiomática para Sistemas Nanométricos
1 La nanoescala está regida por aleatoriedad proveniente de
fenómenos cuánticos e interacciones moleculares con un efecto
proporcional a la complejidad estructural de la nanoestructura
(dependiente de la cantidad de subunidades ∆Nb de b que
cambian en tiempo t).
2 Los fenómenos agregados de nanoestructuras pueden
interpretarse como el valor de observables globales de difusión
con amortiguamiento y un random walk sesgado.
3 Un sistema a nanoescala es un sistema estocástico.

Introducción
Semántica Operacional para Nanociencia y Nanotecnología
Las nanoestructuras se suponen similares por algún método de
síntesis, constituyen un ensemble de Gibbs regido por una
fuerza de Langevin
Γ(t) = 0
Γ(t)Γ(t ) = 0, |t − t | ≥ τ0
Γ(t)Γ(t ) = qδ(t − t )
δ(x) = l«ım
a→∞
1
a
√
π
e−x2
a2
donde Γ(t) = g(hc(t), hf (t)) es un funcional que describe la
fuerza dependiente de las interacciones entre todas las
partículas del sistema compuesta por una fuerza continua
hc(t) y una fuerza ﬂuctuante hf (t).

Introducción
Dado Γ(t), es interés medir variables del sistema nanométrico,
s.p.g. x(t), así como la probabilidad de encontrar un valor en
el intervalo [x, x + dx] determinada por la distribución de
probabilidad W (x, t) descrita como
P(x < x(t) < x + dx) = dx · W (x, t)
donde la dinámica de W (x, t) está dada por
dW
dt
= −
∂
∂x
v
D(v)
(x)W (x, t)

Introducción
Si x(t) es continua, Γ(t) es Gaussiana y δ-correlated, los
coeﬁcientes de la expación Kramers-Moyal D(v) para v ≥ 3
pueden considerarse como 0.
La transformación de estados en el sistema nanométrico a
niveles fundamentales estará determinada en su distribución de
probabilidad por la ecuación Fokker-Planck para N variables
x1(t), x2(t), · · · , xN(t) = ¯x(t) relevantes
dW
dt
=

−
N
i=1
∂
∂xi
D
(1)
i (x) +
N
i=1
N
j=1
∂2
∂xi ∂xj
D
(2)
ij (x)

 W (x, t)

Introducción
Transformación de Estados para Sistemas Nanométricos
1 La evolución de los fenómenos de la nanoescala está dada por
ecuaciones diferenciales estocásticas con un componente de
variación (drift) y un componente de difusión.
2 La evolución de la distribución de probabilidad subyacente al
fenómeno respectivo está determinada directamente por una
ecuación FokkerPlanck en las variables de interés de medición
de los observables correspondientes.
3 La descripción fenomenológica del sistema es estadísticamente
equivalente al caso determinístico ponderado de todos los
casos alrededor de la evaluación en el punto r inicial con un
vector de parámetros p.

Introducción
Semántica Denotacional para Nanociencia y Nanotecnología
La semántica operacional, escrita como sistemas de ecuaciones
diferenciales estocásticas, puede ser reinterpretado en términos
de un tensor relacionado a los Jacobianos Jijk que representan
los valores de campo en las propiedades relevantes,
independiente del sistema de coordenadas elegido para su
representación.
Ejemplo: modelo de Ising para materiales paramagnéticos, se
especiﬁca en valor de campo (e.g. posición de spin) y se indica
mediante operadores de posición la evolución dinámica del
sistema.
En sistemas nanometrícos es clave incluir operadores que
representen intervenciones intencionales en la dinámica del
sistema.

Introducción
Dado un conjunto de ecuaciones diferenciales estocásticas:
∂X1(r, p)
∂t
= F1(r, X) + W (X, t)
· · ·
∂Xn(r, p)
∂t
= F3(r, X) + W (X, t)
La dinámica anterior puede abstraerse como un tensor
Dα
ijk = Xαβ
ijk Wijkβ + Nα
ijk
donde Xαβ
ijk representa el cambio en el espacio de propiedades
de interés α sobre i, j, k ∈ Rn, Wijkβ el tensor derivado de las
ecuaciones Fokker-Planck para el sistema de interés y Nα
ijk el
tensor que representa operaciones de medición o interacción.

Introducción
El tensor Dα
ijk en el espacio de propiedades de interés generará
variaciones diferenciales en la geometría asociada.
¿Cómo visualizar los cambios en el sistema de manera global?
→ Operadores de geometría diferencial.
Existen oportunidades importantes de simpliﬁcar la
visualización mediante cantidades adimensionales sin una
preferencia especíﬁca por sistemas de coordenadas particulares.

Introducción
Descripción Global para Sistemas Nanométricos
1 La evolución global de los sistemas en la nanoescala puede
caracterizarse mediante un tensor Dα
ijk que incluye los
elementos determinísticos, aleatorios y de interacción.
2 La variación de las propiedades de interés ocurre en una
geometría que puede ser visualizada mediante operadores de
geometría diferencial.

Introducción
¿Cuándo se pueden introducir los conceptos?
Semántica Axiomática: ecuaciones diferenciales ordinarias,
probabilidad y estadística.
¡Hay que desarrollar conceptos de probabilidad discreta lo
antes posible en las carreras! → mejores bases para otras áreas
relacionados a nano tales como mecánica estadística y
físico-química.
Pertenece al tronco común de ciencias e ingenierías.

Introducción
Semántica Operacional: ecuaciones diferenciales ordinarias,
probabilidad y estadística.
El estudio de sistemas estocásticos puede ser abordado antes
en los planes de estudio y es consistente con el tipo de
problemas que más frecuentemente se atacan en nanociencia y
nanotencnología.
Instanciación en cursos avanzados de pregrado o cursos
iniciales de grado.

Introducción
Semántica Denotacional: ecuaciones diferenciales parciales,
álgebra lineal.
La mecánica de uso de tensores puede ser vista de forma
temprana en grado y se abre la opción para que los estudiantes
exploren las propiedades formales posteriormente.
Hay muchas interacciones por explorar en materia de
geometría diferencial que no están suﬁcientemente explotadas
en el mundo nano.

Introducción
Trabajo en curso
Construir herramientas teóricas que aceleren la adopción de
métodos formales que permitan obtener mejores resultados
más temprano.
Incrementar la probabilidad de construir simulaciones realistas
que toleren el ruido esperado durante síntesis y manipulación
de sistemas en la nanoescala.
Proveer herramientas que apoyen la intuición física desde
etapas tempranas en nanotecnología.

Introducción
Conclusiones

Introducción
Referencias
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North-Holland Pub. Co.
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Introducción
Referencias
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Introducción
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Introducción
Referencias
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Introducción
Referencias
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simulation of particulate systems: A review of major applications
and ﬁndings. Chemical Engineering Science, 63(23), 5728?5770.

Introducción
It is a profoundly erroneous truism that we should
cultivate the habit of thinking of what we are doing. The
precise opposite is the case. Civilization advances by
extending the number of important operations which we
can perform without thinking about them. Alfred North
Whitehead.

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