Appunti di analisi funzionale [a.a. 1995 1996][prof. biagio ricceri][santi caltabiano][università di messina]
1. 17-11-95
SPAZI VETTORIALI, SOTTOSPAZI VETTORIALI, VARIETÀ AFFINI [1711/Error
e.
L'argoment
o parametro
è
sconosciuto
.]
Sia E uno spazio vettoriale sul corpo K (R o C), vogliamo allora ricordare brevemente qualche
nozione sugli spazi vettoriali. Indichiamo con E l’elemento nullo di E (considerato come gruppo
abeliano). Definiamo traslato di un insieme, l’insieme che è definito dalla somma dei punti
dell’insieme con un fissato punto dello spazio cioè dato un sottoinsieme A non vuoto di E (cioè
AE e A=) e xoAE allora l’insieme x0+A:={x0+y : yA} è un traslato dell’insieme A.
Definiamo somma algebrica di due sottoinsiemi di uno spazio vettoriale, l’insieme definito dalla
somma dei vettori appartenenti ai due insiemi, cioè dati due sottoinsiemi A e B non vuoti di E allora
l’insieme A+B=:{x+y : xA e yB} è la somma algebrica dei sottoinsiemi A e B. Definiamo
prodotto di uno scalare per un sottoinsieme di uno spazio vettoriale l’insieme definito dal
prodotto dei vettori dell’insieme per un fissato scalare di K cioè fissato un K e dato A
sottoinsieme non vuoto di E allora l’insieme
A:={x : xA} è il prodotto dello scalare per A. Sia FE allora F si dice sottospazio
vettoriale di E se eredita la struttura di E, ossia se è uno spazio vettoriale rispetto alle operazioni
definite in E cioè se l’insieme F soddisfa alle due seguenti proprietà:
x,yF x+yF
K e xF xF
Banalmente dalle definzione si evince che E e {E} sono sottospazi vettoriali di E e vengono detti
ripettivamente sottospazio proprio e sottospazio banale. Sia GE diciamo allora che G è una
varietà affine se è il traslato di un qualunque s.sp.vett. di E ossia se x0E e FE sottospazio
vettoriale di E t.c. G=x0+F. Si osserva dalla definzione che banalmente i punti sono varietà affini,
poiché fissato x0E allora lo possiamo riguardare come {x0}=x0+{E}.
PROPRIETÀ [1711/Errore. L'argomento parametro è sconosciuto.]
Sia E uno spazio vettoriale sul corpo K
FE
Allora F è un sottospazio vettoriale di E x,yF e , K x+yF
APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 1
2. Dim ()
Siano x,yE e ,K e poiché per Hp F è un sottospazio vettoriale segue allora dalla che i
vettori x,yF segue allora dalla che x+yF.
Dim ()
Dobbiamo provare che F è un sottospazio vettoriale di E e quindi dobbiamo provare che F soddisfa
la e la . Per ipotesi abbiamo che:
x,yF , K x+yF ()
Dalla () per ==1 segue che x,yF x+yF cioè è soddisfatta la .
Dalla () per =0 segue che K e xF xF cioè è soddisfatta la
PROPRIETÀ [1711/Errore. L'argomento parametro è sconosciuto.]
Sia E uno spazio vettoriale sul corpo K
FE s.sp. vett.
Valgono allora le seguenti due proprietà:
() F+F=F
() F=F con K{0}
() F+F=F con ,K{0}
Dimostrazione () (esercizio)
Proviamo che F+FF:
sia zF+F x,yF t.c. z=x+y e quindi essendo F un s.sp.vett. segue che z=x+yF.
Proviamo che FF+F:
sia xF e quindi essendo F un s.sp.vett. segue che:
1 1
x= x+ xF+F c.v.d.
2 2
Dimostrazione () (esercizio)
Proviamo che FF:
sia zF xF t.c. z=x e quindi essendo F un s.sp.vett. segue che z=xF.
Proviamo che FF:
sia xF e quindi essendo F un s.sp.vett. segue che:
x
x= F c.v.d.
Dimostrazione () (esercizio)
F+F=per ()=F+F=per ())=F c.v.d.
PROPRIETÀ [1711/Errore. L'argomento parametro è sconosciuto.]
APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 2
3. Sia E uno spazio vettoriale sul corpo K
FE s.sp. vett., x0F
Ts: x0+F=F
Dim (esercizio)
Proviamo che x0+FF:
x0+FF+F=Errore. L'argomento parametro è sconosciuto.=F
Proviamo che Fx0+F:
F=x0-x0+F x0-F+Fper Errore. L'argomento parametro è sconosciuto.x0+F
c.v.d.
ESEMPI [1711/Errore. L'argomento parametro è sconosciuto.]
Evidentemente in R 2
dei sottospazi sono quelli banali cioé R 2
stesso e {(0,0), e come verificato
qui di seguito tutte e sole le rette passanti per l’origine. Fissato quindi m R, consideriamo l’ins.
A:={(x,mx) : x R} che è l’ins. definito dai punti della retta y=mx passante per l’origine.
Proviamo che A soddisfa alle proprietà e .
Verifichiamo :
siano (x1,mx1),(x2,mx2)A e osserviamo che x1+x2 R si ha allora che
(x1,mx1)+(x2,mx2)=(x1+x2,m(x1+x2))A
Verifichiamo :
sia R e (x,mx)A e osserviamo che xR si ha allora che il vettore
(x,mx)=(x,m(x))A.
R . In maniera analoga si prova che le varietà affini di
E quindi A è un sottospazio vettoriale di 2
R sono i punti (cioè G=x +{(0,0)} con x R ) e tutte le rette.
2
0 0
2
PROPRIETÀ [1711/Errore. L'argomento parametro è sconosciuto.]
Sia E uno spazio vettoriale su K
FE sottospazio vettoriale
Ts: EF
Dim
Per Hp F è sottospazio vettoriale di E che K e xF il vettore xF e quindi basta
scegliere =0 infatti E=0xF c.v.d.
PROPRIETÀ [1711/Errore. L'argomento parametro è sconosciuto.]
Sia E uno spazio vettoriale sul corpo K
APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 3
4. GE sottospazio vettoriale di E
Ts: G è una varietà affine
Dim
La tesi è ovvia poiché possiamo scrivere G=E+G G varietà affine
PROPRIETÀ [1711/Errore. L'argomento parametro è sconosciuto.]
Sia E uno spazio vettoriale sul corpo K
{Fi}iI famiglia di sottospazi di E
Ts: F:= Fi è un sottospazio vettoriale di E.
i I
Dim
Per la Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. dobbiamo provare che:
, K e x,yF x+yF
Siano quindi ,K e x,yF. Poiché x,yF x,yF i iI e poiché gli Fi è un sottospazio
vettoriale x+yFi iI x+yF c.v.d.
PROPRIETÀ [1711/Errore. L'argomento parametro è sconosciuto.]
Sia E uno spazio vettoriale sul corpo K
GE varietà affine
Allora G è sottospazio vettoriale EG
Dim ()
Poiché G è sottospazio vettoriale allora segue dalla proprietà Errore. L'argomento parametro è
sconosciuto. che EG.
Dim ()
Poiché G è una varietà affine e quindi:
x0 E e FE sottospazio vettoriale di E t.c. G=x0+F
per Hp EG yF t.c. E=x0+y x0=-y e osservando che yF e che F è un sottospazio
vettoriale si ha che x0=-yF segue allora da Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. che
G=x0+F=F G sottospazio vettoriale
c.v.d.
COMBINAZIONE LINEARE DI VETTORI [1711/Errore. L'argomento
parametro è sconosciuto.]
Sia E uno spazio vettoriale sul corpo K, x ,...,x E
1 n e 1,...,nK (dove chiaramente n N
finito). Diciamo allora combinazione lineare (brevemente c.l.) dei vettori x1,...,xnE il vettore:
APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 4
5. n
1x1+...+2xn= ixi
i 1
dove 1,...,n sono i coefficienti della combinazione lineare. Facendo uso del principio di
induzione e della Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. risulta ovvio che un sottospazio
vettoriale contiene ogni combinazione lineare dei suoi vettori.
INVILUPPO LINEARE [1711/Errore. L'argomento parametro è sconosciuto.]
Sia E uno spazio vettoriale sul corpo K e AE non vuoto, diciamo allora inviluppo lineare
dell’insieme A e lo indichiamo con span(A) (e si legge span di A) l’intersezione di tutti i sottospazi
di E contenenti A cioè:
span(A):={F : F sottospazio di E e AF}
e quindi dalla proprietà Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. osserviamo chiaramente
che span(A) è il più piccolo sottospazio vettoriale di E contenente A. Ovviamente Aspan(A).
Vogliamo adesso provare il seguente importante teorema che caratterizza l’inviluppo lineare
di un insieme poiché ci dice che l’inviluppo lineare di un insieme è definito da tutte le possibili
combinazioni lineari dei vettori dell’insieme.
TEOREMA [1711/Errore. L'argomento parametro è sconosciuto.]
Sia E uno spazio vettoriale
AE, A
Ts: span(A)={1x1+...+nxn : n N ; x ,...,x A; ,..., K}
1 n 1 n
Dim
Poniamo G:={1x1+...+nxn : n N ; x1,...,xnA; 1,...,nK} e proviamo che G=span(A)
procedendo per doppia inclusione.
Proviamo che Gspan(A):
sia zG che x1,...,xnA e 1,...,n K t.c. z= x +...+ x
1 1 n n e quindi poichè Aspan(A) che
x1+...+xnspan(A) e poichè span(A) è un sottospazio vettoriale di E z=1x1+...+nxnspan(A)
Gspan(A).
Proviamo che span(A)G:
per dimostrare che span(A)G dobbiamo dimostrare che G è uno sottospazio vettoriale di E che
contiene l’insieme A. Dimostriamo che G è un sottospazio vettoriale e quindi facciamo uso della
proprietà Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. e proviamo che una combinazione
lineare di due arbitrari vettori di G sta ancora in G:
APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 5
6. siano , K e x,yG si ha allora che:
n
x ,...,x A e 1,..., K t.c. x= x
1 n n i i
i 1
m
y1,...,ymA e 1,...,m K t.c. y= iyi
i 1
n m
e quindi x+y= ixi+ iyi=1x1+...+nxn+1y1+...+mymG essendo una
i 1 i 1
combinazione lineare di vettori di A.
Chiaramente AG poiché se xA allora nella definizioni dei vettori che appartengono a G basta
considerare n=1 e =1 e si ha chiaramente che xG. E quindi G è un sottospazio che contiene A,
allora essendo per definizione span(A) il più piccolo sottospazio che contiene A segue che
necessariamente deve essere che span(A)G.
ESEMPI [1711/Errore. L'argomento parametro è sconosciuto.]
Dividiamo gli insiemi di R
2
in quelli contenuti in una retta per O=(0,0) e in quelli non contenuti in
una retta per O.
Se A R 2
è contenuto in una retta per O allora evidentemente il suo inviluppo lineare è la retta
passante per O.
Se A R 2
non è contenuto in una retta per O allora evidentemente il suo inviluppo lineare è R.2
Consideriamo ora gli insiemi di R. 3
Se A R 3
non è contenuto in alcun piano per O=(0,0,0) ( e di conseguenza A non è contenuto in
nessuna retta per O ) allora evidentemente il suo inviluppo lineare è R. 3
Se A R 3
è contenuto in un piano per O e A non è contenuto in alcuna retta per O allora il suo
inviluppo lineare è il piano.
Se A R 3
è contenuto in una retta per O allora il suo inviluppo lineare è la retta.
INVILUPPO AFFINE [1711/Errore. L'argomento parametro è sconosciuto.]
Sia E uno spazio vettoriale sul corpo K e A un sottoinsieme qualunque non vuoto di E diciamo
allora inviluppo affine dell’insieme A e lo indichiamo con aff(A), l’insieme dato dall’intersezione
di tutte le varietà affini che contengono A cioè:
aff(A):= Gi
iI
dove {Gi}iI è la famiglia delle varietà affini (cioè iI xiE e FiE sottospazio vettoriale t.c.
Gi=xi+Fi ) t.c. AGi iI. Ovviamente Aaff(A).
APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 6
7. Vogliamo adesso provare il seguente importante teorema che caratterizza l’inviluppo affine
di un insieme poiché ci dice che l’inviluppo affine di un insieme è definito da tutte le combinazioni
lineari dei vettori dell’insieme che hanno la somma dei coefficienti della combinazione lineare
uguale a 1.
TEOREMA [1711/Errore. L'argomento parametro è sconosciuto.]
Sia E uno spazio vettoriale su K
AE, A
n
Ts: aff(A)= 1x1+...+nxn : nN, x1,...,xnA, 1,...,nK t.c. i=1
i 1
Dim
Fissiamo un qualunque x0A allora l’insieme span(A-x0) è un sottospazio vettoriale di E per
definizione di inviluppo lineare. E quindi x0+span(A-x0) è una varietà affine e chiaramente
Ax0+span(A-x0) infatti preso un qualunque vettore xA e tenendo presente che A-x0span(A-x0)
si ha che x=x0+x-x0 x0+A-x0x0+span(A-x0 ). Chiaramente aff(A)x0+span(A-x0) infatti
x0+span(A-x0) è una varietà affine che contiene A e quindi per definizione contiene aff(A).
n
Poniamo G=
1x1+...+nxn : nN, x1,...,xnA, 1,...,nK t.c. i=1 e proviamo con la
i 1
doppia inclusione che x0+span(A-x0)=G.
Proviamo che x0+span(A-x0)G:
n n n
sia xx0+span(A-x0) e quindi x è del tipo x=x0+ i(xi-x0)=x0+ ixi-x0 i= = 1-
i 1 i 1 i 1
n n n n
i x0+ ixi e poichè 1- i + i=1 xG.
i 1 i 1 i 1
i 1
Proviamo che Gx0+span(A-x0):
n n n
sia xG e quindi x è del tipo x= ixi con i=1. Osserviamo che x0=1x0= ix0 segue che
i 1 i 1 i 1
n n n n n
x= ixi=x0-x0+ ixi=x0- ix0+ ixi=x0+ i(xi-x0) xx0+span(A-x0).
i 1 i 1 i 1 i 1 i 1
E quindi G=x0+span(A-x0) e poiché aff(A)x0+span(A-x0) si ha che:
aff(A)G (1)
Per dimostrare l’inclusione inversa cioé:
Gaff(A) (2)
APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 7
8. facciamo vedere che G è contenuto in tutte le varietà affine che contengono A poiché seguirà da ciò
che Gaff(A) essendo per definizione aff(A) l’intersezione di tutte le varietà affini che contengono
A.
Sia V una varietà affine t.c. AV e dimostriamo che GV. Sia quindi xG che x è del tipo
n n
x= ixi con gli xiA e i=1. Osserviamo che V essendo una varietà affine è per definizione
i 1 i 1
il traslato di uno spazio vettoriale cioè FE sottospazio vettoriale e y0 E t.c. V=y0+F e poichè
AV Ay0 +F e poiché ogni xiA che ogni xiy0+F che i vettori xi-y0F che essendo
F un s.sp.vett. contiene ogni combinazione lineare dei vettori xi-y0 e quindi tenendo presente che
n
i=1 si ha:
i 1
n n n n n
x= ixi=y0-y0+ ixi=y0-y0 i+ ixi=y0+ i(xi-y0)y0+F=V
i 1 i 1 i 1 i 1 i 1
1 2
Segue allora dalla ( ) e dalla ( ) che G=aff(A) che proprio quello che volevamo dimostrare.
Si evince dalla dimostrazione del teorema precedente la seguente altra importante
caratterizzazione dell’inviluppo affine di un insieme, che in particolare ci dice che l’inviluppo affine
è una varietà affine.
TEOREMA [1711/Errore. L'argomento parametro è sconosciuto.]
Sia E uno spazio vettoriale
AE, A
x0A
Ts: aff(A)=x0+span(A-x0)
CONVESSITÀ [1711/Errore. L'argomento parametro è sconosciuto.]
Sia E uno spazio vettoriale sul corpo K e AE diciamo allora che A è convesso se è vuoto, mentre
se non è vuoto deve accadere che:
x,yA x+(1-)yA [0,1]
cioè A è convesso se comunque presi due suoi punti x,yA allora il segmento che li congiunge che
è [x,y]:={x+(1-)yA : [0,1]} è contenuto in A. Chiaramente vista l’arbitrarietà di x,yA è
ovvio che [x,y]=[y,x].
La seguente semplice proprietà ci dice che i punti sono convessi.
APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 8
9. PROPRIETÀ [1711/Errore. L'argomento parametro è sconosciuto.]
Sia E uno spazio vettoriale sul corpo K
x0E
Ts: Il singoltetto {x0} è convesso
Dim (esercizio)
x0+(1-)x0=x0+x0-x0=x0{x0} [0,1] c.v.d.
PROPRIETÀ (la somma algebrica di convessi è un convesso ) [1711/Errore.
L'argomento
parametro è
sconosciuto.]
Sia E uno spazio vettoriale sul corpo K
A e B due sottoinsiemi non vuoti di E convessi
Ts: l’insieme A+B è convesso
Dim (esercizio)
Prendiamo ad arbitrio due vettori z1,z2A+B:={x+y : xA e yB} e quindi:
ono x1A e y1 B t.c. z1=x1+y1
ono x2A e y2 B t.c. z2=x2+y2
Osserviamo inoltre che:
essendo x1,x2A e per la convessità di A si ha che x1+(1-)x2A [0,1]
essendo y1,y2B e per la convessità di B si ha che y1+(1-)y2A [0,1]
segue allora che [0,1] si ha:
z1+(1-)z2=(x1+y1)+(1-)(x2+y2)=[x1+(1-)x2]+[y1+(1-)y2]A+B
PROPRIETÀ (il traslato di un convesso è un convesso) [1711/Errore.
L'argomento
parametro è
sconosciuto.]
Sia E uno spazio vettoriale sul corpo K
AE,A, convesso
x0E
Ts: x0+A è convesso
Dim (esercizio)
La dimostrazione di tale proprietà segue direttamente dalla Errore. L'argomento parametro è
sconosciuto. ponendo B:={x0}
APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 9
10. c.v.d.
PROPRIETÀ (uno scalare per un convesso è un convesso ) [1711/Errore.
L'argomento
parametro è
sconosciuto.]
Sia E uno spazio vettoriale sul corpo K
AE,A, convesso
K
Ts: A un convesso
Dim (esercizio)
Siano x,yA x,yA e per la convessità di A segue che x+(1-)yA [0,1]
(x)+(1-)(y)=[x+(1-)y]A [0,1].
z1+(1-)z2=(x0+x)+(1-)(x0+y)=x0+x+x0-x0+(1-)y=x0+[x+(1-)y]x0+A.
PROPRIETÀ (l’intersezione di convessi è un convesso) [1711/Errore.
L'argomento
parametro è
sconosciuto.]
Sia E uno spazio vettoriale sul corpo K
{C1}iI famiglia di convessi di E
Ts: Ci è un convesso.
i I
Dim
Siano x,y Ci x,yCi iI e poiché per Hp i Ci sono convessi segue allora che x+(1-
i I
)yCi [0,1] iI x+(1-)y Ci [0,1] c.v.d.
i I
INVILUPPO CONVESSO [1711/Errore. L'argomento parametro è
sconosciuto.]
Sia E uno spazio vettoriale sul corpo K e A un sottoinsieme qualunque di E diciamo allora
inviluppo convesso dell’insieme A e lo indichiamo con conv(A), l’insieme dato dall’intersezione di
tutti i convessi che contengono A cioè:
conv(A):={C : AC e C convesso }
La proprietà precedente Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. ci dice che l’inviluppo
APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 10
11. convesso conv(A) è un convesso ed essendo per definizione conv(A) l’intersezione di tutti i
convessi che contengono A allora Aconv(A) e quindi conv(A) è il più piccolo sottoinsieme di E
convesso che contiene A. E quindi in particolare se A è convesso allora necessariamente deve
essere che conv(A)=A.
PROPRIETÀ [1711/Errore. L'argomento parametro è sconosciuto.]
Sia E spazio vettoriale su K
AE, A convesso
Ts: conv(A)=A
Dim (esercizio)
Vale sempre Aconv(A), proviamo quindi l’inclusione inversa. Per Hp A è un convesso e
banalmente AA e quindi poiché per definizone conv(A) è il più piccolo convesso contenente A
allora deve necessariamente essere che conv(A)A c.v.d.
COMBINAZIONE CONVESSA [1711/Errore. L'argomento parametro è
sconosciuto.]
n
Sia E uno spazio vettoriale, x1,...,xn N, e 1,...,n[0,1] con i=1 allora il vettore
i 1
1x1+...+nxn si dice combinazione convessa dei vettori x1,...,xn.
PROPRIETÀ [1711/Errore. L'argomento parametro è sconosciuto.]
Sia E uno spazio vettoriale sul corpo K
AE insieme convesso
Ts: A contiene ogni combinazione convessa dei suoi vettori.
Dim
n n
Dobbiamo provare che x1,...,xnA e 1,...,n[0,1] con i=1 ixiA.
i 1 i 1
Dimostriamo per induzione.
Per n=2:
siano x1,x2A e 1,2[0,1] con 1+2=1 2=1-1 e quindi tenendo conto di questo del fatto
che A è convesso si ha che 1x1+2x2=1x1+(1-1)x2.
Supponiamo vera l’espressione per n=k e dimostriamo che è vera per k+1:
k 1
consideriamo x1,...,xk+1A e 1,...,k+1[0,1] con i=1 e supponiamo k+10 poiché se
i 1
k+1=0 allora l’asserto seguirebbe direttamente dall’Hp induttiva. E ovviamente possiamo supporre
APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 11
12. k 1
anche che k+11 poiché se k+1=1 allora dovendo essere i=1 allora necessariamente si
i 1
k 1
avrebbe che 1=2=...=k=0 e quindi xii=1x1+...+kxk+k+1xk+1=0x1+...+0xk+1xk+1=xk+1A.
i 1
E quindi se k+10 e k+11 si ha allora che:
1x1+...+k+1xk+1= dividiamo e moltiplichiamo i primi k termini per la quantità (1-k+1) =
k
1 x1 ... k x k i
k+1xk+1+(1-k+1) =k+1xk+1+(1-k+1) xi
1 k 1 i 1 1 k 1
e quindi:
k
i
1x1+...+k+1xk+1=k+1xk+1+(1-k+1) x ()
i 1 1 k 1 i
Teniamo presente che 1+...+k+1=1 1+...+k=1-k+1 e quindi:
k k
i 1 1
= i=
1 k 1 1 k 1 i1
(1-k+1)=1
1 k 1
i 1
k
i
segue allora dall’ipotesi induttiva che il vettore x A
1 k 1 i
i 1
E quindi nella () ci siamo ricondotti al caso di due vettori già esaminato (cioè il caso n=2 )
1x1+...+k+1xk+1A c.v.d.
Vogliamo adesso provare il seguente importante teorema che caratterizza l’inviluppo
convesso di un insieme poiché ci dice che l’inviluppo convesso di un insieme è definito da tutte le
combinazioni convesse dei vettori dell’insieme.
TEOREMA [1711/Errore. L'argomento parametro è sconosciuto.]
Sia E uno spazio vettoriale su K
AE, A
n n
Ts: conv(A)=
ixi : nN, x1,...,xnA; 1,...,n[0,1] t.c. i=1
i 1 i 1
Dim
n n
Chiamiamo C=
ixi : nN, x1,...,xnA; 1,...,n[0,1] t.c. i=1 che è l’insieme di
i 1 i 1
tutte le combinazioni convesse dei vettori di A.
Chiaramente AC (poiché xA basta considerare n=1 e 1=1 e si ha xC). Vogliamo dimostrare
con la doppia inclusione che conv(A)=C.
Proviamo che conv(A)C:
proviamo che C è convesso, seguirà chiaramente da questo che conv(A)C poiché per definizione
APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 12
13. conv(A) è il più piccolo convesso che contiene A. Siano z1,z2C e proviamo che z1+(1-)z2C
[0,1].
n n
Poiché z1C è del tipo z1= ixi con x1,...,xnA, 1,...,n[0,1] con i=1
i 1 i 1
n n
poiché z2C è del tipo z2= iyi con y1,...,ymA, 1,..., m[0,1] con i=1
i 1 i 1
Si ha allora che [0,1]:
n m
z1+(1-)z2= ixi+ (1-)iyi ()
i 1 i 1
Osserviamo che:
n m n m
i+ (1-)i= i+(1-) i=1+(1-)1=1
i 1 i 1 i 1 i 1
e quindi la () è una combinazione convessa di vettori di A z1+(1-)z2C che C è
convesso conv(A)C.
Proviamo che Cconv(A):
conv(A) è un convesso segue allora dalla Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. che X
contiene tutte le combinazioni convesse dei suoi vettori e quindi essendo Acon(A) allora in
particolare conv(A) contiene le combinazioni convesse dei vettori di A e questo significa proprio
che Cconv(A) c.v.d.
20-11-95
INSIEME EQUILIBRATO [2011/Errore. L'argomento parametro è
sconosciuto.]
Sia E uno spazio vettoriale sul corpo K, AE e A allora A si dice equilibrato se vale
l’inclusione AA
K
1
cioé K con 1 e xA xA
PROPRIETÀ [2011/Errore. L'argomento parametro è sconosciuto.]
Sia E uno spazio vettoriale
AE, A equilibrato
Ts: EA
Dim (esercizio)
APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 13
14. Per Hp A è equilibrato xA xA e K con 1 e quindi fissato un qualunque xA
allora in particolare per =0K si ha E=0KxA c.v.d.
Si osserva adesso che la famiglia di tutti gli insiemi equilibrati è chiusa rispetto alla
intersezione ed all’unione.
PROPRIETÀ [2011/Errore. L'argomento parametro è sconosciuto.]
Sia E uno spazio vettoriale
sia {Ai}iI una famiglia d’insiemi equilibrati di E
si ha allora che valgono:
A:= Ai è equilibrato
i I
B:= Ai è equilibrato
i I
Dimotrazione (esercizio)
Dobbiamo provare che:
K con 1 e xA xA
Fissato quindi K con 1 e xA allora poiché xA xA i iI e poiché per Hp gli Ai
sono equilibrati xAi iI xA c.v.d.
Dimotrazione (esercizio)
Dobbiamo provare che:
K con 1 e xB xB
Fissato quindi K con 1 e xA allora poiché xB kI t.c. xA k iI e poiché per Hp
gli Ai sono equilibrati xAkB iI xA c.v.d.
PROPRIETÀ [2011/Errore. L'argomento parametro è sconosciuto.]
Sia E uno spazio vettoriale
AE, A equilibrato
K
Ts: A è equilibrato
Dim (esercizio)
Dobbiamo provare che:
zA e K con ||1 zA
Sia quindi K con ||1 e zA xA t.c. z=x segue allora che:
z=(x)=(x)A c.v.d.
APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 14
15. INSIEME SIMMETRICO [2011/Errore. L'argomento parametro è sconosciuto.]
Sia E uno spazio vettoriale sul corpo K, AE e A allora A si dice simmetrico se coincide col
suo simmetrico cioè A=-A. Chiaramente se A è simmetrico -A è simmetrico.
PROPRIETÀ [2011/Errore. L'argomento parametro è sconosciuto.]
Sia E uno spazio vettoriale
AE, A simmetrico e convesso
Ts: EA
Dim (esercizio)
Sia xA e poiché A è simmetrico -xA e poiché A è convesso che il segmento [-x,x]A cioè
1
x+(1-)(-x)A [0,1] e quindi in particolare per = 2 si ha che:
1 1
x- x=EA c.v.d.
2 2
Segue direttamentre dalla Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. la seguente
semplice proprietà.
PROPRIETÀ [2011/Errore. L'argomento parametro è sconosciuto.]
Sia E un K spazio vettoriale
AE e A
Ts: A equilibrato -A equilibrato
PROPRIETÀ [2011/Errore. L'argomento parametro è sconosciuto.]
Sia E un K spazio vettoriale
AE e A
Ts: A equilibrato A simmetrico
Dim
Dobbiamo provare che A=-A. Per Hp A è equilibrato AA K con ||1 e quindi per =-1
otteniamo:
-AA (1)
Essendo A equilibrato allora per la proprietà precedente anche il suo simmetrico (cioè -A) è
equilibrato (-A)-A K con ||1 e quindi per =-1 si ha:
A-A (2)
Segue quindi da (1) e da (2) che A=-A c.v.d.
APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 15
16. PROPRIETÀ [2011/Errore. L'argomento parametro è sconosciuto.]
Sia E uno spazio vettoriale sul corpo R
AE, A, simmetrico e convesso
Ts: A è equilibrato
Dim
In queste ipotesi per la Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. si ha che EA. E quindi
osservando che A è convesso si ha allora che xA il segmento [E,x]=[x,E]A cioè:
xA xA e [0,1] ()
Dobbiamo provare che AA e quindi dobbiamo provare che preso un qualunque x0A
R
1
allora x0A R con 1 cioè -11.
Consideriamo quindi i seguenti tre casi.
Caso 01:
posto x=x0 e = segue allora dalla () che x0A
Caso -10:
poichè -10 0-1 allora posto x=x0 e =- nella () che si ha che -x0A e poiché A è
simmetrico x0A c.v.d.
INSIEME ASSOLUTAMENTE CONVESSO [2011/Errore. L'argomento
parametro è sconosciuto.]
Sia E uno spazio vettoriale sul corpo K e A un sottoinsieme non vuoto di E allora A si dice
assolutamente convesso se è convesso ed equilibrato.
TEOREMA [2011/Errore. L'argomento parametro è sconosciuto.]
Sia E un K spazio vettoriale
AE, A
A è assolutamente convesso x,yA , K con +1 x+yA
Dim () necessità
Consideriamo x,yA,, K t.c. +1 e supponiamo 0 e 0.
Scriviamoci il vettore x+y come:
x+y= x
y (+)
()
Osserviamo che e sono due complessi di modulo unitario e quindi essendo A equilibrato si
APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 16
17. ha che i vettori:
x, yA
Poiché chiaramente , [0,1] e + = =1 segue allora
che nella () il vettore tra parentesi quadre è una combinazione convessa che appartiene ad A
(poiché A è convesso e quindi contiene tutte le combinazioni convesse dei suoi vettori) cioè posto
z= x y si ha zA.
Teniamo presente che +1 e che A è assolutamente convesso ed in particolare (per
definizione) equilibrato e quindi z(+)A cioé x+yA.
Dim () sufficienza
Dobbiamo dimostrare che A è assolutamente convesso cioè che A è convesso ed equilibrato.
Proviamo che A è convesso:
siano x,yA e [0,1]. Poniamo allora =1- e osserviamo +1-=+1-=1 e quindi per
l’Hp si ha che x+(1-)yA [0,1] A è convesso.
Proviamo che A è equilibrato:
dobbiamo provare che AA e quindi dobbiamo provare che preso un qualunque x0A e
K
1
K con 1 allora il vettore x A, 0 ma questo segue direttamente dall’Hp poiché basta
prendere :=, =0 e x=x0 e si ha subito x0A c.v.d.
PROPRIETÀ [2011/Errore. L'argomento parametro è sconosciuto.]
Sia E uno spazio vettoriale su K
FE sottospazio vettoriale
Ts: F è assolutamente convesso
Dim (esercizio)
Fissati ad arbitrio x,yF e , K tali che ||+||1 allora per il risultato precedente dobbiamo
provare che x+yF, ma ciò segue banalmente dal fatto che F è un sottospazio vettoriale
c.v.d.
COMBINAZIONE ASSOLUTAMENTE CONVESSA [2011/Errore.
L'argomento
parametro è
sconosciuto.]
APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 17
18. n
Sia E uno spazio vettoriale, x1,...,xn N, e 1,...,nK con i1 allora il vettore
i 1
1x1+...+nxn si dice combinazione assolutamente convessa di x1,...,xn.
PROPRIETÀ [2011/Errore. L'argomento parametro è sconosciuto.]
Sia E un K spazio vettoriale
AE, A assolutamente convesso
Ts: A contiene ogni combinazione assolutamente convessa dei suoi elementi
Dim
n n
Dobbiamo provare che x1,...,xnA e 1,...,n K con 1 x A .
i i i
i 1 i 1
Procediamo per induzione .
Per n=2:
poiché A è assolutamente convesso segue allora direttamente da Errore. L'argomento parametro
è sconosciuto. che il vettore 1x1+2x2A.
Supponiamo che l’asserto sia vero per n=k e proviamo che è vero per k+1:
k 1
siano x1,...,xk+1A e 1,...,k+1K con i1 e possiamo supporre k+10. Banalmente
i 1
possiamo scrivere il vettore 1x1+...+k+1xk+1 come:
k k
i i xi
k 1
k 1 k 1 i 1
1x1+...+k+1xk+1= i k 1 x k 1 k1
i
1 k ()
i 1 i k 1
i i
i 1 i 1 i 1
k 1
Osserviamo che è un numero complesso di modulo unitario e quindi essendo A in particolare
k 1
k 1 1 k
equilibrato si ha x k 1A. Osserviamo inoltre che k
++ k =1 segue allora
k 1
i i
i 1 i 1
k
i x i
i 1
dall’ipotesi induttiva che il vettore k A. E quindi nella () il vettore tra parentesi quadre è
i
i 1
una combinazione convessa di due vettori di A cioè siamo ricaduti nel caso n=2 e quindi:
APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 18
19. k k
i i xi
k 1
k 1 x k 1 i 1 i 1
k 1 k 1 k A
i k 1
i i
i 1 i 1 i 1
k 1
infine osservando che i1 si ha essendo A equilibrato che:
i 1
k k
i i xi
k 1
1x1+...+k+1xk+1= i k k 1
1
k 1
i 1 i 1
x k 1 k 1 k
A c.v.d.
i 1 i k 1
i i
i 1
i 1 i 1
PROPRIETÀ [2011/Errore. L'argomento parametro è sconosciuto.]
Sia E uno spazio vettoriale sul corpo K
{Ci}iI famiglia di sotto insiemi di E assolutamente convessi
Ts: Ci è assolutamente convesso
i I
Dim
Siano x,y Ci e ,K t.c. +1. Poiché per Hp i Ci sono assolutamente convessi
i I
segue allora che x+yCi iI x+y Ci c.v.d.
i I
INVILUPPO ASSOLUTAMENTE CONVESSO DI UN INSIEME [2011/Err
ore.
L'argomen
to
parametro
è
sconosciut
o.]
Sia E uno spazio vettoriale su K e AE, allora l’inviluppo assolutamente convesso dell’insieme
A è l’intersezione di tutti gli insiemi assolutamente convessi contenenti A e si indica con
abconv(A). E quindi segue chiaramente dalla Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. che
abconv(A) è il più piccolo insieme assolutamente convesso contenente A.
PROPRIETÀ [2011/Errore. L'argomento parametro è sconosciuto.]
APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 19
20. Sia E spazio vettoriale su K
AE, A assolutamente convesso
Ts: abconv(A)=A
Dim (esercizio)
Vale sempre Aabconv(A), proviamo quindi l’inclusione inversa. Per Hp A è assolutamente
convesso e banalmente AA e quindi poiché per definizione abconv(A) è il più piccolo insieme
assolutamente convesso contenente A allora deve necessariamente essere che conv(A)A
c.v.d.
Vogliamo adesso provare il seguente importante teorema che caratterizza l’inviluppo
assolutamente convesso di un insieme, che ci dice che l’inviluppo assolutamente convesso di un
insieme è definito da tutte le combinazioni assolutamente convesse dei vettori dell’insieme.
TEOREMA [2011/Errore. L'argomento parametro è sconosciuto.]
Sia E uno spazio vettoriale su K
AE, A
n n
Ts: abconv(A)=
ixi : nN, x1,...,xnA,1,...,nK, i1
i 1 i 1
Dim
n n
Poniamo C:=
ixi : n N, x1,...,xnA,1,...,n K, 1
i e proviamo che vale
i 1 i 1
l’uguaglianza abconv(A)=C.
Proviamo che abconv(A)C:
Chiaramente AC. Proviamo che C è assolutamente convesso e quindi dobbiamo provare che:
K con +1 z +z C.
fissati z1,z2C e , 1 2
n n
Poiché z C che x ,...,x A, ,..., K, 1 t.c. z = x
1 1 n 1 n i 1 i i
i 1 i 1
n n
Poiché z2C che y1,...,ynA, 1,..., n K, i1 t.c. z2= iyi
i 1 i 1
si ha allora che:
n n n n
z1+z2= ixi+ iyi = ixi+ iyi
i 1 i 1 i 1 i 1
n n
e quindi osservando che evidentemente i+ i+1 si ha che
i 1 i 1
z1+z2C.
APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 20
21. E quindi C è un insieme assolutamente convesso che contiene A allora deve necessariamente essere
che abconv(A)C poiché abconv(A) è per definizione il più piccolo insieme assolutamente
convesso contenente A.
Proviamo che Cabconv(A):
poiché abconv(A) è assolutamente convesso allora per la Errore. L'argomento parametro è
sconosciuto. contiene ogni combinazione convessa dei sui vettori e quindi essendo Aabconv(A)
allora in particolare abconv(A) contiene ogni combinazione convessa dei vettori di A e questo
significa proprio che Cabconv(V) c.v.d.
ESEMPI [2011/Errore. L'argomento parametro è sconosciuto.]
In E=R 2
consideriamo abconv((1,1),(-1,1)) che è un quadrato poiché
l’inviluppo assolutamente convesso dell’insieme A={(1,1),(-1,1)}
(cioè abconv((1,1),(-1,1))) deve contenere l’origine E=(0,0), i
simmetrici dei punti (1,1),(-1,1), i segmenti che li congiungono (lati e
diagonali) e tutti i segmenti che congiungono i punti così ottenuti.
Analogamente si vede che abconv((1,1),(-1,-1))=segmento che congiunge i due punti. In E= R 2
consideriamo abconv((1,1),(-1,1)) che è un quadrato poiché l’inviluppo assolutamente convesso
dell’insieme A={(1,1),(-1,1)} ( cioè abconv((1,1),(-1,1))) deve contenere l’origine E=(0,0), i
simmetrici dei punti (1,1),(-1,1), i segmenti che li congiungono (lati e diagonali) e tutti i segmenti
che congiungono i punti così ottenuti. Analogamente si vede che abconv((1,1),(-1,-1))=segmento
che congiunge i due punti.
INSIEME LINEARMENTE INDIPENDENTE [2011/Errore. L'argomento
parametro è sconosciuto.]
Sia E uno spazio vettoriale su K, AE e A allora l’insieme A si dice linearmente
indipendente se comunque preso un numero finito di vettori distinti di A questi sono linearmente
indipendenti cioè:
x1,...,xnA con xixj se ij e 1,...,nK t.c. x +...+ x =
1 i n n E i=0 i=1,...,n
Ovviamente EA.
PROPRIETÀ [2011/Errore. L'argomento parametro è sconosciuto.]
Sia E uno spazio vettoriale su K
AE linearmente indipendente
Ts: se BA allora B è linearmente indipendente
APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 21
22. Dim (ovvia)
TEOREMA [2011/Errore. L'argomento parametro è sconosciuto.]
Sia E uno spazio vettoriale su K
AE linearmente indipendente
siano x1,...,xnA con xixj se ij, y1,...,ymA con yiyj se ij, 1,...,n, 1,...,mK{0K} tali che
n m
ixi= jyj
i 1 j1
Ts: m=n e una permutazione iji di {1,..,n} t.c. xi= y j e i= j i=1,...,n
i i
Dim
Poniamo I={1,...,n}, J={1,...,m} e consideriamo I*={iI : jiJ t.c. xi= y j }.
i
Consideriamo inoltre l’applicazione f:I*J con f:iji e sia J* il suo codominio cioé J*=f(I*).
Vogliamo provare quindi che f è una permutazione di {1,...,n} (cioé una biezione da I in I) che
soddisfa alle proprietà promesse dalla tesi.
Poniamo per convezione zi=E.
i
n m
Osserviamo che ixi= iyi e quindi:
i 1 j1
n m
E= ixi- jyj= (i- ji )xi+ ixi- iyi
i 1 j1 i I * i I I * iJ J *
che è una combinazione lineare di vettori di A nulla e quindi essendo gli elementi della
combinazione lineare a due a due distinti, ed essendo A è linearmente indipendente allora
coefficienti di tale combinazione lineare devono essere nulli cioé:
i- ji =0K iI* (si ricorda che iI* !jiJ*), i=0K iII*, i=0K iJJ*
e quindi necessariamente (essendo per Hp 1,...,n, 1,...,m non nulli) deve essere che II*= e
JJ*= I=I* e J=J* e quindi f:IJ e poiché J=J*:=f(I) f surgettiva. Verifichiamo infine che
l’applicazione f:IJ è iniettiva cioè se ik allora ji jk. Se ik essendo x1,...,xn a due a due distinti (e
poiché I=I*) xixk ma xi= y j e xk= y j y j y j ed essendo y1,...,ym a due a due distinti
i k i k
jijk. Ed ovviamente essendo f una biezione tra I e J allora card(I)=cad(J) cioé n=m
c.v.d.
Facendo uso della Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. possiamo dimostrare la
seguente semplice caratt. degli insiemi linearmente indipendenti che ci dice che un’insieme è
linearmente indipendente se e solo se ogni combinazione lineare dei vettori dell’insieme ammette
rappresentazione unica (ovviamente a meno dell’ordine degli addendi).
APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 22
23. TEOREMA [2011/Errore. L'argomento parametro è sconosciuto.]
Sia E uno spazio vettoriale su K
AE, A
sono allora equivalente:
(1) A è linearmente indipendente
(2) xspan(A) ammette rappresentazione univoca
Dim (1)(2) (esercizio)
Sia xspan(A) ed osserviamo che nel caso x=E la tesi è ovvia, consideriamo quindi il caso xE..
Supponiamo che esistano due rappresentazioni del vettore x, cioé:
n
x1,...,xnA con xixk ik e 1,...,n K t.c. x= x i i (1)
i 1
m
y1,...,ymA con yiyk ik e 1,...,n K t.c. x= y j j (2)
j1
e dimostriamo quindi che le due rappresentazioni di x coincidono. Evidentemente essendo xE
allora i i non possono essere tutti nulli ed evidentemente non è restrittivo suppore che tali i siano
tutti non nulli, infatti se così non fosse allora basterebbe cosiderare:
1:= i1 con i1:=min{i : 1in e i0}
2:= i 2 con i2:=min{i : i1<in e i0}
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
r:= i r con ir:=min{i : ir-1<in e i0} con (ovviamente) rn
ed ovviamente (poiché per i i nulli si ha ixi=0xi=E):
n r
x= ixi= k x i k
i 1 k 1
E quindi per quanto sopra osservato possiamo supporre che i 1,...,n K{0}, ed analogamente
possiamo supporre che 1,...,m K{0}.
n m
Per (1) e (2) si ha che ixi= jyj segue allora da Errore. L'argomento parametro è
i 1 j1
sconosciuto. che:
m=n e iji permutazione di {1,..,n} t.c. xi= y j e i= j i=1,...,n
i i
e questo evidentemente ci dice proprio che le due rappresentazioni coincidono.
Dim (2)(1) (esercizio)
Siano x1,...,xnA con xixk ik e 1,...,n K t.c. x ++ x =
1 1 n n E dobbiamo provare allora che
1=...=n=0. Se per assurdo fosse 10 allora evidentemente si avrebbe che:
2 3 n
x1= x2+ x3++ xn
1 1 1
APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 23
24. ma ovviamente si può scrivere anche x1=1x1 e quindi x1 ammetterebbe due rappresentazioni distinte
e siamo ad un assurdo e quindi necessariamente deve essere che 1=0. Analogamente si prova che
2=3=...=n=0 c.v.d.
COROLLARIO [2011/Errore. L'argomento parametro è sconosciuto.]
Sia E uno spazio vettoriale su K
AE, A
sono allora equivalente:
(1) A è linearmente indipendente
(2) xA non si può esprimere come combinazione lineare di altri vettori di A
Dim (1)(2) (esercizio)
Teniamo presente che per Hp A è linearmente indipendente e che quindi per il teorema precedente
ogni combinazione lineare di vettori di A si può scrivere in modo unico (ovviamente a meno
dell’ordine degli addendi). Fissato ad arbitrio xAspan(A) osserviamo che banalmente si può
scrivere x=1x e quindi necessariamente per unicità di scrittura x non si può esprimere come c.l. di
altri vettori di c.v.d.
Dim (2)(1)
Siano x1,...,xnA con xixk ik e 1,...,n K t.c. x ++ x =
1 1 n n E dobbiamo provare allora che
1=...=n=0. Se per assurdo fosse 10 allora evidentemente si avrebbe che:
2 3 n
x1= x2+ x3++ xn
1 1 1
e siamo ad un assurdo per l’Hp e quindi necessariamente deve essere che 1=0. Analogamente si
prova che 2=3=...=n=0 c.v.d.
Richiamiamo adesso alcune nozioni già date nel corso di Algebra.
RELAZIONE D’ORDINE ED INSIEMI PARZIALMENTE ORDINATI [2011/Errore
.
L'argomento
parametro è
sconosciuto.]
Sia X un qualunque insieme. Diciamo allora che in X è definita una relazione d’ordine (parziale)
e si indica con il simbolo (di minore o uguale ) se tale relazione gode delle seguenti tre proprietà:
(1) Proprietà riflessiva:
xx
(2) Proprietà antisimmetrica:
APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 24
25. se persi x,yX con xy e yx x=y
(3) Proprietà transitiva:
se presi x,y,z X con xy e yz xz
In tal caso l’ins. X si dice parzialmente ordinato (brevemente p.o.) e si indica con la coppia (X,).
Diciamo che gli elementi x,yX sono confrontabili se xy o yx. Siano x,yX due elementi
confrontabili allora con la scrittura xy intendiamo yx.
CATENA [2011/Errore. L'argomento parametro è sconosciuto.]
Sia (X,) e X allora un sottoinsieme AX si dice catena o totalmente ordinato se tutti i suoi
elementi sono confrontabili (cioè (A,) è totalmente ordinato).
MAGGIORANTE E MINORANTE DI UN INSIEME [2011/Errore.
L'argomento
parametro è
sconosciuto.]
Sia (X,) e AX non vuoto. Se yX t.c. xy xA diciamo che l’elemento y di X è un
maggiorante dell’insieme A. Se yX t.c. yx xA diciamo che l’elemento y di X è un
minorante dell’insieme A.
INSIEMI LIMITATI SUPERIORMENTE, INSIEMI LIMITATI [2011/Errore.
INFERIORMENTE ED INSIEMI LIMITATI L'argomento
parametro è
sconosciuto.]
Sia (X,) e AX non vuoto. Diciamo che A è limitato superiormente se ammette maggiorante.
Analogamente diciamo che A è limitato inferiormente se ammette minorante. Diciamo che A è
limitato se è limitato inferiormente e superiormente.
MASSIMO E MINIMO DI UN INSIEME [2011/Errore. L'argomento
parametro è sconosciuto.]
Sia (X,) e AX non vuoto. Se m''A t.c. xm'' xA allora l’elemento m'' si dice massimo per
l’insieme A e si denota usualmente con maxA:=m''. Ovviamente se tale elemento m'' esiste è unico.
Se m'A t.c. m'x xA allora l’elemento m' si dice minimo per l’insieme A e si denota
usualmente con minA:=m'. Ovviamente se tale elemento m' esiste è unico.
APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 25
26. ESTREMO SUPERIORE ED INFERIORE DI UN INSIEME [2011/Errore.
L'argomento
parametro è
sconosciuto.]
Sia (X,) parzialmente ordinato, AX non vuoto e supponiamo che e x''X tale che:
(1) x'' maggiorante per A
(2) yx'' yX maggiorante per A
diciamo allora che tale x é l’estremo superiore di A e si denota con supA:=x''. Ovviamente posto
K'':={yX : xy xA} (cioè K'' è l’insieme dei maggioranti di A) allora supA:=minK'' cioè
supA è il più piccolo dei maggioranti di A. Ovviamente se tale elemento x'' esiste è unico
Analogamente supposto che x'X tale che:
(1) x' minorante per A
(2) x'y yX minorante per A
diciamo allora che tale x' é l’estremo inferiore di A e si denota con infA:=x'. Ovviamente posto
K':={yX : yx xA} (cioè K' è l’insieme dei minorante di A) allora infA:=maxK' cioè infA è il
più piccolo dei minoranti di A. Ovviamente se tale elemento m' esiste è unico
PROPRIETÀ [2011/Errore. L'argomento parametro è sconosciuto.]
Sia (X,) un insieme p.o.
AX, A
allora A ammette massimo A ammette estremo superiore e supAA
Dim (esercizio)
Per Hp A ammette massimo m''A t.c. xm'' xA m'' maggiorante di A A ammette
estremo superiore ed ovviamente supA=m''A c.v.d.
Dim (esercizio)
Per Hp supAA e quindi essendo in particolare supA un maggiorante di A segue che xsupA
xA maxA=supA c.v.d.
Analogamente si dimostra la seguente proprietà.
PROPRIETÀ [2011/Errore. L'argomento parametro è sconosciuto.]
Sia (X,) un insieme p.o.
AX, A
allora A ammette minimo A ammette estremo inferiore e infAA
APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 26
27. ELEMENTO MASSIMALE ED ELEMENTO MINIMALE [2011/Errore
.
L'argomento
parametro è
sconosciuto.]
Sia (X,) (cioè X è parzialmente ordinato). Se x*X tale che preso xX e x*x x*=x, diciamo
allora che tale elemento x* è un massimale rispetto al dato ordine (parziale o totale). Analogamente
se x*X tale che preso xX e xx* x*=x, diciamo allora che tale elemento x* è un minimale
rispetto al dato ordine. Si faccia bene attenzione al fatto che dire che x* è elemento massimale per
X non significa necessariamente che x* è il massimo dell’insieme poiché se così fosse allora
dovrebbe accadere che:
xX xx*
cioé si avrebbe che x* confrontabile con ogni elemento di X e questo evidentemente non è
necessariamente vero se x* è un elemento massimale. Chiaramente se x*X è il max dell’insieme
X allora x* chiaramente è un elemento massimale. Analoghe osservazioni valgono per un
l’elemento minimale.
ESEMPI [2011/Errore. L'argomento parametro è sconosciuto.]
Sia X un ins. non vuoto e consideriamo l’ins. delle parti di X che si indica solitamente con P(X)
oppure con 2X. Introduciamo allora in P(X) la seguente relazione:
dati A,BP(X) allora AB AB
si verifica banalmente che questa è una relazione d’ordine parziale cioè che soddisfa alle tre
proprietà riflessiva, antisimmetrica e transitiva, e viene detta relazione di inclusione.
Evidentemente in P(X) con la relazione di ordine parziale sopra definita, una catene è una famiglia
{A}iI di sottoinsieme di X tali che A1A2...Ak... e banalmente tale catena ammette maggiorante
che come subito si intuisce è dato dal unione dei membri della famiglia. Si verifica banalmente che
anche la relazione d’inclusione inversa cioé:
A,BP(X) allora AB AB (ovvero BA)
è una relazione d’ordine parziale in P(X).
ASSIOMA DELLA SCELTA [2011/Errore. L'argomento parametro è
sconosciuto.]
Dato un insieme X una funzione :P(X)X t.c. (A)A AP(X)
APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 27
28. Naturalmente in un insieme parzialmente ordinato non è detto che esistano elementi
minimali e massimali, né per un suo sottoinsieme elementi minoranti e maggioranti, estremo
inferiore e superiore, minimo e massimo. Tuttavia il seguente lemma dovuto a Zorn equivalente
all’assioma della scelta (cioé se assumiamo il lemma di Zorn come assioma fondamentale allora
l’assioma della scelta si può dimostrare mediante tale lemma) ci garantisce una condizione
sufficiente per l’esistenza di elementi massimali (risp. minimali).
LEMMA DI ZORN [2011/Errore. L'argomento parametro è sconosciuto.]
Sia (X,) cioè un insieme parzialmente ordinato. Se ogni catena in X ammette almeno un
maggiorante (risp. minorante) in X allora X possiede almeno un elemento massimale (risp.
minimale)
La seguente proprietà ci assicura che data una famiglia di insiemi chiusa rispetto
all’intersezione finita allora in corrispondenza di una sua sottofamiglia numerabile se ne può
costruire un’altra non crescente rispetto alla relazione di inclusione e i cui termini sono contenuti
nei corrispondenti della sottofamiglia di partenza. Ad esempio come abbiamo già osservato le
rispettive famiglie degli insiemi convessi, equilibrati ed assolutamente convessi sono chiuse rispetto
all’intersezione e quindi banalmente in particolare sono chiuse rispetto all’intersezione finita e
pertanto a tale famiglie possiamo applicare la proprietà suddetta dimostrata qui di seguita.
PROPRIETÀ [2011/Errore. L'argomento parametro è sconosciuto.]
Sia X
F famiglia di insiemi di X chiusa rispetto all’intersezione finita
{An}nN sottofamiglia (numerabile) di F
Ts: {Bn}nN sottofamiglia di F t.c. BnAn nN e Bn+1Bn nN
Dim (esercizio)
Fissato n N poniamo:
n
Bn:= Ai
i=1
Verifichiamo quindi che la successione {Bn}nN che così nasce soddisfa alle condizioni promesse
nella tesi. Ovviamente i membri della {Bn}nN appartengono ad F cioé BnF n N, poiché per
costruzione i Bn sono intersezione di un numero finito di membri di F (che è per Hp chiusa rispetto
all’intersezione finita). Banalmente BnAn ed è altrettanto ovvio osservare che tale famiglie
{Bn}nN è non crescente rispetto alla relazione di inclusione, infatti:
APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 28
29. n+1 n
Bn+1:= Ai= Ai:=Bn c.v.d.
i=1 i=1
PROPRIETÀ [2011/Errore. L'argomento parametro è sconosciuto.]
Sia X
F famiglia di insiemi di X chiusa rispetto all’unione finita
{An}nN sottofamiglia (numerabile) di F
Ts: {Bn}nN sott.fam. di F t.c. AnBn nN, BnBn+1 nN e An= Bn
nN nN
Dim (esercizio)
Fissato n N poniamo:
n
Bn:= Ai
i=1
Verifichiamo quindi che la successione {Bn}nN che così nasce soddisfa alle condizioni promesse
nella tesi. Ovviamente i membri della {Bn}nN appartengono ad F cioé BnF n N, poiché per
costruzione i Bn sono unione di un numero finito di membri di F (che è per Hp chiusa rispetto
all’unione finita). Banalmente AnBn ed è altrettanto ovvio osservare che tale famiglie {Bn}nN è
non decrescente rispetto alla relazione di inclusione, infatti:
n n+1
Bn:= Ai Ai:=Bn+1
i=1 i=1
Verifichiamo quindi procedendo per doppia inclusione che l’unione dei membri di {An}nN è
uguale all’unione dei membri di {Bn}nN.
Proviamo che An Bn:
nN nN
ovvio poiché AnBn n . N
Proviamo che Bn An:
nN nN
n*
sia x Bn n*N t.c. xB := A A
n* i n c.v.d.
nN i=1 nN
22-11-95
BASE DI HAMEL [2211/Errore. L'argomento parametro è sconosciuto.]
Sia E uno spazio vettoriale su K, AE (finito o non finito) e A, diciamo allora che A è una base
di Hamel per E se è linearmente indipendente e se span(A)=E.
Dato uno sp. vett. E, allora considerato l‘insieme delle parti di tale spazio cioè P(E),
sappiamo che possiamo considerare in esso la relazione di inclusione che come abbiamo già
APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 29
30. osservato è una relazione di ordinamento parziale. Vogliamo allora dimostrare il seguente teorema
che caratterizzare completamente una base di Hamel in un qualunque spazio vettoriale, ed in
particolare esprime la massimalità di una base di Hamel nella famiglia degli insiemi l.i. (cioè se
AE è una base di Hamel e BE l.i. tale che AB allora necessariamente deve essere che A=B).
TEOREMA [2211/Errore. L'argomento parametro è sconosciuto.]
Sia E uno spazio vettoriale su K
AE, A
allora le seguenti affermazioni sono equivalenti:
(1) A è una base di Hamel per E
(2) A è un insieme l.i. massimale rispetto alla famiglia degli insiemi l.i.
Dim (1) (2)
Ovviamente essendo A base di Hamel A linearmente indipendente. Dimostriamo che A è
massimale nella famiglia degli insiemi linearmente indipendenti. Sia quindi BE linearmente
indipendente tale che AB e facciamo vedere che A=B. Supponiamo per assurdo che AB
x0 BA e quindi poiché span(A)=E allora il vettore x0 lo possiamo esprimere come:
n
x0= ixi dove x1,...,xnAB con xixj se ij, 1,...,n K
i 1
Osserviamo che essendo per Hp B l.i. allora ogni combinazione lineare dei suoi vettori ammette una
rappresentazione unica e quindi in particolare essendo x0B allora lo possiamo esprimere
unicamente come x0=1x0 e quindi:
n
x0= ixi=1x0
i 1
e pertanto necessariamente j=1,...,n t.c. i=0 se ij , j=1 e xj=x0 e quindi x0=xjA assurdo
poiché x0BA. Resta così provata la tesi.
Dim (2) (1)
Bisogna provare solo che span(A)=E. Procediamo per assurdo, ovvero supponiamo che sia
span(A)E che x0Espan(A), ovviamente ciò significa che x0A AAx0. Vogliamo
fare vedere che Ax0 è l.i., cioé:
x1,...,xn,x0Ax0 t.c. xixj se ij, x0+1x1+...+nxn=E i=0 i=1,...,n e =0
se per assurdo fosse 0 allora x0 sarebbe combinazione lineare dei vettori x1,...,xnA e quindi
sarebbe un elemento del sottospazio span(A) e ciò non è possibile e pertanto otteniamo che:
1x1+...+nxn=E
APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 30
31. segue allora da questa e dalla lineare indipendenza dei vettori x1,...,xn che 1=2=...=n=0. E quindi
Ax0 è un insieme l.i. che contiene propriamente A e ciò è assurdo poiché per Hp A è massimale
c.v.d.
Diamo ora la dimostrazione di un teorema che garantisce l’esistenza di una base di Hamel
per un qualunque spazio vettoriale.
TEOREMA [2211/Errore. L'argomento parametro è sconosciuto.]
Sia E uno spazio vettoriale
DE un insieme l.i.
Ts: esiste almeno una base di Hamel che contiene D
Dim
Consideriamo la famiglia:
E:=AE : A è l.i. e DA
che è ovviamente non vuota poiché almeno DE. Consideriamo quindi su tale famiglia E
l’ordinamento parziale definito dalla relazione di inclusione, cioè:
A1,A2 E, A1A2 A1A2.
Ci proponiamo di dimostrare che tale famiglia E ammette elemento massimale e a tale scopo
facciamo uso del lemma di Zorn e dimostriamo quindi che ogni catena ammette maggiorante. Sia
quindi CE una catena arbitraria in E, e verifichiamo che essa ammette maggiorante.
Consideriamo:
~
A := C
CC
~
e verifichiamo che A è il maggiorante cercato della catena C e quindi dobbiamo verificare che
~ ~ ~ ~
A E e che C A CC. Affinché A E deve essere D A e A linearmente indipendente. Fissato
un qualunque CC allora per definizione si ha che
~ ~
DC A . Ovviamente A è l.i. infatti siano:
~
x1,...,xn A t.c. xixj se ij, 1x1+...+nxn=E
~
allora dal momento che ogni xi A si ha che i=1,...,n CiC t.c. xiCi e poiché tutti i Ci sono
confrontabili ne esisterà uno che contiene ogni xi ed essendo tale insieme un membro di C sarà l.i.
~ ~
per cui si conclude proprio che i=0 i=1,...,n. Banalmente per come è definito A si ha C A
~
CC. E quindi A è un maggiorante della catena C e pertanto dal lemma di Zorn segue che E
ammette elemento massimale cioè:
A*E t.c. se BE e AB allora A=B
APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 31
32. Ovviamente essendo A*E allora DA* e A* linearmente indipendente. Banalmente A* è anche
massimale nella famiglia degli insiemi l.i., infatti preso BE l.i. t.c. A*B allora essendo DA*
DB BE e pertanto essendo A* elemento massimale di E allora A*=B. E quindi segue Errore.
L'argomento parametro è sconosciuto. che A* è una base di Hamel per E c.v.d.
Dimostriamo adesso che due basi di Hamel dello stesso spazio vettoriale hanno la medesima
cardinalità cioè sono equipotenti
PROPOSIZIONE [2211/Errore. L'argomento parametro è sconosciuto.]
Sia E uno spazio vettoriale
siano A,BE due basi di Hamel per E
Ts: card(A)=card(B)
Dim
Distinguiamo i due casi rispettivamente il caso in cui A e B sono finiti (cioè hanno cardinalità
finita) ed il caso in cui A e B sono finiti. Consideriamo quindi il caso in caso in cui A e B sono finiti
cioé m,n N finiti t.c. card(A)=n<+ e card(B)=m<+. In tale situazione A e B sono del tipo
A:=x1,...,xne B:=y1,...,ym ed essendo A base di Hamel ogni yj è combinazione lineare dei vettori
di A, ovvero:
n
j=1,...,m 1j,...,njK t.c. y = x
j ij i (1)
i 1
Consideriamo il sistema lineare omogeneo nelle incognite 1,...,m:
11 12 ...... 1m 0
1 2 m
21 1 22 2 ...... 2 m m 0
..........................................
..........................................
n1 1 n2 2 ...... nm m 0
se per assurdo fosse n<m allora tale sistema ammetterebbe una soluzione non nulla che chiamiamo
(1,...,m). Moltiplicando ambo i membri della (1) per j e sommando sull’indice j otteniamo:
m m n n m n m
jyj= j ijxi= jijxi= jij
xi
(2)
j1 j1 i 1 i 1 j1 i 1 j1
e quindi essendo (1,...,m) soluzione del sistema omogeneo allora:
m
jij=0 (3)
j1
segue pertanto dal primo membro della (2) e dalla (3) che:
APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 32
33. m
jyj=E
j1
ma dal momento che B è l.i., affinché tale scrittura sia vera dovrebbe essere nulla la
m-upla (1,...,m) e si perviene ad un assurdo quindi deve essere nm. Ovviamente scambiando il
ruolo di A e di B si ottiene nm e quindi n=m.
Mettiamoci adesso nel caso in cui A e B non sono finiti. Fissato ad arbitrio un vettore xA,
osserviamo che essendo B una base di Hamel di E allora possiamo esprimere xA come
combinazione lineare finita di vettori di B cioè:
n
y1x,...,ynxB e 1x,...,nxK t.c. x= ixyix
i 1
Consideriamo l’insieme finito:
F(x):=y1x,...,ynx
Ovviamente F(x)B, vogliamo allora verificare che è una base di Hamel di E.
xA
Per Hp A è una base di Hamel di E che ogni elemento zE è combinazione lineare di elementi di
A cioè:
n
x1,...,xnA e 1,...,nK t.c. z= ixi
i 1
e poiché ogni xi è c.l. di elementi di F(xi), segue allora che zE è c.l. di elementi di F(x) e
xA
chiaramente tale insieme è l.i. in quanto è un sottoinsieme di B che è l.i. e quindi F(x)B è
xA
una base di Hamel e per la sua massimalità deve essere F(x)=B. Un risultato più generale
xA
dell’algebra ci garantisce che card
Xi card(I) dove {Xi}iI è una famiglia di insiemi finiti ed
i I
I è un insieme infinito di indici segue allora che card F(x) card(A) e quindi
xA
card(B)card(A). Naturalmente scambiando il ruolo di A e di B si ottiene card(A)card(B) ed il
teorema risulta dimostrato.
24-11-95
Abbiamo visto nella lezione precedente che in uno spazio vettoriale tutte le basi di Hamel
hanno la stessa cardinalità e quindi ha senso dare la seguente definizione.
DIMENSIONE ALGEBRICA DI UNO SPAZIO VETTORIALE [2411/Error
e.
APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 33
34. L'argoment
o parametro
è
sconosciuto
.]
Sia E uno spazio vettoriale su K, si definisce dimensione algebrica di E la cardinalità di una sua
qualsivoglia base di Hamel. Vi è una notevole differenza tra gli spazi di dimensione finita e quelli di
dimensione infinita, poiché le proprietà di cui godono sono diverse, ad esempio uno spazio di
dimensione n si può identificare con K n
mentre uno di dimensione infinita no.
SPAZIO VETTORIALE QUOZIENTE [2411/Errore. L'argomento
parametro è sconosciuto.]
Sia E uno spazio vettoriale su K, FE sottospazio vettoriale. Introduciamo su E una relazione così
definita:
x,yE xy x-yF.
Verifichiamo che tale relazione è di equivalenza:
(Riflessività) xx, infatti x-x=EF
(Simmetria) xy yx, infatti se x-yF poiché F è sottospazio vettoriale anche
y-xF e quindi yx.
(Transitività) xy, yz xz, infatti se x-yF ed y-zF anche x-y+y-z=x-zF
ovvero xz.
Ovviamente il fatto che la relazione sia di equivalenza ci garantisce che induce una partizione di
classi di elementi equivalenti, nasce quindi uno sp. quoziente così definito:
E/F=[x], [y],... (si legge E modulo F oppure E quozientato F)
dove appunto [x]=zE : zx={zE : z-xF}. Se in E/F si considerano le operazioni così definite
(viste nel corso di algebra):
[x]+[y]=[x+y] [x],[y]E/F
[x]=[x] K
allora rispetto a tali operazioni E/F è uno spazio vettoriale. Detta adesso [w] la classe nulla di E/F
(cioè [x]+[w]=[x] [x]E/F) vogliamo verificare che [w]=F. Procediamo per doppia inclusione.
Verifichiamo che [w]F:
[x]+[w]=[x+w] e poiché [w] è la classe nulla [x]=[x+w] (x+w)x
x+w-x=wF [w]F
Verifichiamo che F[w]:
consideriamo un arbitrario xF e y,zE t.c. yz y-zF ed essendo F un sottospazio vettoriale
allora x+y-zF (x+y)z e quindi:
APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 34
35. [x+y]=[z] (1)
Analogamente poiché y-zF (x+y)-(x+z)F (y+x)(x+z) e quindi:
[x+y]=[x+z] (2)
segue allora dalla (1) e dalla (2) che [z]=[x+z]=[x]+[z] x[w] F[w]
OPERATORI LINEARI [2411/Errore. L'argomento parametro è sconosciuto.]
Si ricorda che data una applicazione (o trasformazione) a questa si riserva il nome di operatore se è
definita tra spazi vettoriali e in particolare prende il nome di funzionale se è a valori in K. Siano E
ed F due spazi vettoriali su K, sia T:EF un operatore, diciamo allora che T è un operatore (o
funzionale se F= K) lineare se:
T(x+y)=T(x)+T(y) , K e x,yE
Si verifica facilmente che la composizione di operatori lineari è un operatore lineare,
oppure che la somma di operatori lineari è un operatori lineare, oppure che il prodotto
di uno scalare per un operatore lineare è un operatore lineare.
NUCLEO RADIALE DI UN OPERATORE LINEARE [2411/Errore.
L'argomento
parametro è
sconosciuto.]
Siano E ed F due spazi vettoriali su K, sia T:EF un operatore lineare. Diciamo
allora nucleo radiale dell’operatore lineare T l’insieme:
-
Ker(T):=T 1(F)={xE : T(x)=F}
cioè l’ins. dei vettori di E che si trasformano tramite T in F. Ovviamente Ker(T) non è mai vuoto
poichè per la Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. almeno EKer(T). Si osserva che
banalmente che Ker(T) è un sottospazio vettoriale di E, infatti fissati x,yKer(T) e , K si ha
che:
T(x+y)=per la linearità=T(x)+T(y)=F+F=F
ovvero x+yKer(T).
PROPRIETÀ [2411/Errore. L'argomento parametro è sconosciuto.]
Siano E ed F K-spazi vettoriali
T:EF lineare
Ts: T(E)=F
Dim (esercizio)
APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 35
36. Poiché Ker(T) è un sottospazio vettoriale di E allora necessariamente deve essere che EKer(T)
T(E)=F c.v.d.
Dimostriamo adesso alcune proprietà degli operatori lineari.
TEOREMA [2411/Errore. L'argomento parametro è sconosciuto.]
Siano E,F due spazi vettoriali su K
T:EF operatore lineare
Allora T è iniettivo Ker(T)={E}.
Dim (ovvia)
Poiché per Hp T è iniettivo T(x)=E x=E Ker(T)={E} c.v.d.
Dim
Supponiamo per assurdo che T non sia iniettivo cioè che x,yE con xy t.c. T(x)=T(y) e poiché T
è lineare segue che T(x-y)=F x-yKer(T)={E} x-y=E x=y assurdo poiché avevamo
scelto xy c.v.d.
La seguente proposizione ci dice che l’immagine inversa di un punto tramite un applicazione
lineare è una varietà affine.
PROPOSIZIONE [2411/Errore. L'argomento parametro è sconosciuto.]
Siano E,F due spazi vettoriali su K
T:EF un operatore lineare
y0T(E)
Ts.: T-1(y0)=x0+Ker(T) (dove x0 è un punto arbitrario di T-1(y0))
Dim
Dimostriamo che T-1(y0)x0+Ker(T):
sia xT-1(y0) T(x)=y0 ,possiamo esprimere x come x=x0+(x-x0) osservando allora che T(x-
x0)=T(x)-T(x0)=y0-y0=F x-x0 Ker(T) segue allora che il vettore
x=x0+(x-x0)x0+Ker(T) T-1(y0)x0+Ker(T)
Dimostriamo che x0+Ker(T)T-1(y0):
Sia xx0+Ker(T) x è del tipo x=x0+z con zKer(T) e quindi osservando che
T(x)=T(x0+z)=T(x0)+T(z)=y0+F=y0 xT-1(y0) x0+Ker(T)T-1(y0) c.v.d.
Si tenga presente che generalmente la restrizione di un’applicazione lineare ad un insieme
qualunque non è una applicazione lineare ma se l’insieme è un sottospazio allora la linearità si
APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 36
37. conserva. Tale risultato si desume agevolmente dalla seguente prop. che ci dice che il trasformato di
un sottospazio vettoriale tramite un operatore lineare è un sottospazio.
PROPRIETÀ [2411/Errore. L'argomento parametro è sconosciuto.]
Siano E,F due spazi vettoriali su K
T:EF un operatore lineare
GE sottospazio vettoriale
Ts: T(G) è un sottospazio di F
Dim (ovvia)
Dobbiamo dimostrare che:
z,wT(G) e , K z+wT(G)
Siano quindi z,wT(G) e ,K. Poiché z,wT(G) x,yG t.c. T(x)=z e T(y)=w e quindi
tenendo presente che T è lineare per Hp si ha:
z+w=T(x)+T(y)=T(x+y)
ed essendo G un sottospazio che x+yG z+w=T(x+y)T(G) c.v.d.
PROPRIETÀ [2411/Errore. L'argomento parametro è sconosciuto.]
Sia E uno spazio vettoriale su K
T:E K funzionale lineare
Ts: T è surgettivo oppure è identicamente nullo
Dim (esercizio)
Si tenga presente che K si può rigurdare come uno sp. vett. su se stesso ed evidentemente gli unici
sott.sp. che ammette sono quello banale cioé {0} e se stesso. E quindi poiché per la proprietà
precedente T manda sott.sp. in sott.sp. allora può accadere che T(E)={0} (cioé T(x)=0 xE)
oppure T(E)= K (cioé T surgettivo).
PROPRIETÀ [2411/Errore. L'argomento parametro è sconosciuto.]
Siano E,F due spazi vettoriali su K
T:EF un operatore lineare iniettivo
-
Ts: T 1:T(E)E è un operatore lineare
Dim (ovvia)
Siano . K e y ,y T(E) x ,x E t.c. y =T(x ) e y =T(x ) ed ovviamente per l’inettività
1 2 1 2 1 1 2 2
-1 -1
x1=T (y1) e x2=T (y2). Segue allora che:
APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 37
38. - - -
T 1(y1+y2)=T 1(T(x1)+T(x2))=per la linearità =T 1(T(x1+x2))=per l’iniettività=
-1 -1
x1+x2=T (y1)+T (y2) c.v.d.
PROPRIETÀ [2411/Errore. L'argomento parametro è sconosciuto.]
Siano E,F due spazi vettoriali su K
T:EF un operatore lineare
Ts: gr(T):={(x,T(x)) : xE} è un sottospazio vettoriale del prodotto EF
Dim (ovvia)
Dobbiamo provare che:
z1+z2gr(T) z1,z2gr(T) e , K
Siano , K e z ,z gr(T) x ,x E t.c. z =(x ,T(x )) e z =(x ,T(x )). Per Hp E è uno spazio
1 2 1 2 1 1 1 2 2 2
vettoriale x1+x2E T(x1+x2)T(E) si ha allora che:
z1+z2=(x1,T(x1))+(x2,T(x2))=(x1+x2,T(x1)+T(x2))=per la linearità dell’operatore
T=(x1+x2,T(x1+x2))gr(T) c.v.d.
PROPRIETÀ [2411/Errore. L'argomento parametro è sconosciuto.]
Siano E,F due spazi vettoriali su K
T:EF un operatore lineare
AE convesso
Ts: T(A) è convesso
Dim (esercizio)
Dobbiamo provare che:
z1,z2T(A) z1+(1-)z2T(A) [0,1]
Siano quindi z1,z2T(A) x,yA t.c. z1=T(x) e z2=T(y). Tenendo presente che per la convessità
di A il vettore x+(1-)yA, si ha allora che:
z1+(1-)z2=T(x)+(1-)T(y)=per la linearità di T=T(x+(1-)y)T(A) c.v.d.
PROPRIETÀ [2411/Errore. L'argomento parametro è sconosciuto.]
Siano E,F due spazi vettoriali su K
T:EF un operatore lineare
AE equilibrato
Ts: T(A) è equilibrato
APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 38
39. Dim (esercizio)
Dobbiamo provare che:
zT(A) e K con ||1 zT(A)
Sia zT(A) e K con ||1. Poiché zA è del tipo z=T(x) per un opportuno xA. Teniamo
presente che per Hp A è equilibrato e quindi xA, si ha allora che:
z=T(x)=per la linearità di T=T(x)A c.v.d.
COROLLARIO [2411/Errore. L'argomento parametro è sconosciuto.]
Siano E,F due spazi vettoriali su K
T:EF un operatore lineare
AE assolutamente convesso
Ts: T(A) è assolutamente convesso
PROPRIETÀ [2411/Errore. L'argomento parametro è sconosciuto.]
Siano E,F due spazi vettoriali su K
T:EF un operatore lineare
AE, A
Ts: T(span(A))=span(T(A))
Dim (esercizio)
Proviamo che T(span(A))span(T(A)):
Sia yT(span(A)) xspan(A) t.c. y=T(x) e poiché xspan(A) x1,...,xnA e 1,...,n K
n
t.c. x= ixi e quindi osserviamo che:
i 1
n n
y=T(x)=T
ixi =per la linearità= iT(xi)
i 1 i 1
cioé siamo riusciti a scrivere y come c.l. di vettori di T(A) e pertanto yspan(T(A)).
Proviamo che span(T(A))T(span(A)):
n
sia yspan(T(A)) y1,...,ynT(A) e 1,...,n K t.c. y= y i i e poiché y1,...,ynT(A)
i 1
x1,...,xnA t.c. y1=T(x1), y2=T(x2), ..., yn=T(xn) e quindi:
n n n
y= iyi= iT(xi)=per la linearità=T ixi
i 1 i 1 i 1
cioé siamo riusciti a scrivere y come immagine di un vettore di span(A) e pertanto yT(span(A))
c.v.d.
PROPRIETÀ [2411/Errore. L'argomento parametro è sconosciuto.]
APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 39