Giochi matematici Bocconi 2016 - La piramide di numeri. Trovare la somma dei primi 100 termini della successione 0, 2, 5, 9, 14, 20, 27,,, Soluzione 171600. Prof. Santi Caltabiano.

1. Prof. Santi Caltabiano
Giochi matematici Bocconi 2016 - La piramide di numeri
Svolgimento:
Quindi bisogna trovare la somma dei termini della successione 0, 2, 5, 9, 14, … Ci proponiamo di
trovare la somma per un qualsiasi numero n di numeri. Calcoleremo poi il caso particolare n=100.
Osserviamo che il termine m-esimo della successione è dato dalla somma dei primi m numeri
interi, diminuita di uno, cioè:
1° 2° 3° 4° 5° …
0=(1)-1 2=(1+2)-1 5=(1+2+3)-1 9=(1+2+3+4)-1 14=(1+2+3+4+5)-1 …
Quindi:
0 + 2 + 5 + 9 + 14 + ⋯ = −1 + 𝑞 = −1 +
𝑝(𝑝 + 1)
2
= −1 +
𝑝
2
+
𝑝
2
=
= −1 +
𝑝
2
+
𝑝
2
= −1 +
𝑝
2
+
𝑝
2
= −1 +
1
2
𝑝 +
1
2
𝑝 =
= −𝑛 +
1
2
𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1)
6
+
1
2
𝑛(𝑛 + 1)
2
= −𝑛 +
𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1)
12
+
𝑛(𝑛 + 1)
4
Calcoliamo la somma, nel caso di n=100 (che è la somma cercata):
= −100 +
100(100 + 1)(2 ∙ 100 + 1)
12
+
100(100 + 1)
4
= −100 +
100 ∙ 101 ∙ 201
12
+
100 ∙ 101
4
=
= −100 +
100 ∙ 101 ∙ 201
12
+
100 ∙ 101
4
= −100 +
2030100
12
+
10100
4
=
= −100 + 169175 + 2525 = 𝟏𝟕𝟏𝟔𝟎𝟎
Riferimenti
 http://matematica.unibocconi.it/sites/default/files/2016.finale.q.pdf
Università Bocconi. Finali italiane dei campionati internazionali di “Giochi Matematici 2016”.
Quesito n.16.
 https://www.youmath.it/domande-a-risposte/view/4093-sommatoria.html
La sommatoria;
 https://it.wikipedia.org/wiki/1_%2B_2_%2B_3_%2B_4_%2B_%C2%B7_%C2%B7_%C2%B7
Somma dei primi n numeri naturali.
 http://pagine.dm.unipi.it/berselli/dida/2006-07/nota1.pdf
Somma dei primi n quadrati.