1. Chöông 4 Xaùc Suaát (Probability)
Khaùi nieäm
Phöông phaùp tính xaùc suaát
Quy taéc coäng xaùc suaát
Quy taéc nhaân xaùc suaát
Coâng thöùc tính xaùc suaát toaøn phaàn
Coâng thöùc Bayes
Quy taéc ñeám

2. Khaùi nieäm
Xaùc suaát (Probability).
Pheùp thö û(Experiment).
Keát cuïc (Outcome).
Bieán coá (Event).

3. Phöông phaùp tính xaùc suaát
Phöông phaùp khaùch quan
Phöông phaùp coå ñieån
Soá keát cuïc thuaän lôïi cho A
P(A)=
Toång soá keát cuïc ñoàng khaû naêng
Phöông phaùp thöïc nghieäm
Soá laàn bieán coá A xuaát hieän trong quaù khöù
P(A)=
Toång soá quan saùt

4. Phöông phaùp tính xaùc suaát
Phöông phaùp chuû quan
Phaùn ñoaùn caù nhaân.
Kinh nghieäm.
Yù kieán chuyeân gia.

5. Qui taéc coäng xaùc suaát
Bieán coá xung khaéc
Hai bieán coá goïi laø xung khaéc khi khoâng theå
xaûy ra ñoàng thôøi trong moät pheùp thöû

6. Qui taéc coäng xaùc suaát
Giaûn ñoà Venn : A, B xung khaéc
A B
Coâng thöùc coäng ñaëc bieät
P(A hoaëc B)= P(A) + P(B)

7. ªBieán coá ñoái laäp
A P ( A) + P ( A ) = 1
A
P ( A) = 1 − P ( A )

8. A, B khoâng xung khaéc Coâng thöùc
coäng toång quaùt:
P(A hoaëc B)=P(A) + P(B) -P(A.B)
AvaøB
B
A

9. Qui taéc nhaân xaùc suaát
Bieán coá ñoäc laäp
Coâng thöùc nhaân ñaëc bieät:
P(A.B) = P(A).P(B)

10. Qui taéc nhaân xaùc suaát
Xaùc suaát coù ñieàu kieän.
P ( A.B )
P (B / A) =
P ( A)
Vôùi: P ( A) ≠ 0

11. Qui taéc nhaân xaùc suaát
Hai bieán coá A, B khoâng ñoäc laäp
Coâng thöùc nhaân xaùc suaát toång quaùt.
P(A.B) = P(A).P(B/A)

12. Coâng thöùc tính xaùc suaát ñaày ñuû
Coâng thöùc tính xaùc suaát ñaày ñuû
A2
A1 B A3
A4

13. Coâng thöùc tính xaùc suaát ñaày ñuû
Coâng thöùc:
n
P( B) = ∑ P( Ai ).P( B / Ai )
i =1

14. Coâng thöùc Bayes
Coâng thöùc Bayes
P( Ai ).P(B / Ai )
P( Ai / B) = n
∑ P( A ).P(B / A )
i =1
i i

15. Qui taéc ñeám
Qui taéc nhaân
Soá caùch ñeå hoaøn thaønh toaøn boä coâng vieäc
n1.n2….nk
Chænh hôïp
n!
A =
k
( n − k )!
n

16. Qui taéc ñeám
Chænh hôïp laëp.
A n
k
= n k
Toå hôïp.
n!
C =k
k!(n − k)!
n

17. Chöông 5 Bieán ngaãu nhieân vaø
caùc phaân phoái xaùc suaát thoâng
duïng.
Bieán ngaãu nhieân

18. Bieán ngaãu nhieân
Khaùi nieäm
Kyù hieäu:
X,Y,.. Bieán ngaãu nhieân vaø x, y…trò soá cuûa
bieán ngaãu nhieân.
Bieán ngaãu nhieân rôøi raïc.
Bieán ngaãu nhieân lieân tuïc.

19. Phaân phoái xaùc suaát
Phaân phoái xaùc suaát cuûa bieán ngaãu nhieân rôøi
raïc.
X x1 x2 … xn Coäng
Pi P1 P2 … Pn ∑ Pi=1

20. Ñaëc tröng cuûa bieán ngaãu nhieân
Trung bình (Kyø voïng-Expected)
n
μ = E( X ) = ∑ xi P( xi )
i =1
Phöông sai (Variance)
n
σ = ∑( xi − μ) P( xi )
2 2
i =1

21. Ñaëc tröng cuûa bieán ngaãu nhieân
Ñoä leäch tieâu chuaån
n
σ= ∑(x − μ) P(x )
i =1
i
2
i

22. Phaân phoái xaùc suaát cuûa bieán ngaãu
nhieân lieân tuïc
Phaân phoái xaùc suaát cuûa bieán ngaãu nhieân lieân
tuïc
b
P(a〈 X 〈b) = ∫ f ( x).dx
a

23. Phaân phoái xaùc suaát cuûa bieán ngaãu
nhieân lieân tuïc
f(x): laø haøm maät ñoä xaùc suaát phaûi thoûa
2 ñieàu kieän:
f ( x ) ≥ 0
+∞
∫
−∞
f ( x)d ( x) = 1

24. Phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng
Phaân phoái nhò thöùc.
Trong moät pheùp thöû chæ coù 2 keát quaû: thaønh coâng
hay khoâng thaønh coâng.
Xaùc suaát thaønh coâng khoâng ñoåi ôû töøng pheùp thöû.
Caùc pheùp thöû ñoäc laäp.
Xaùc suaát ñeå coù x laàn thaønh coâng trong n pheùp thöû:
n− x
P( x) = C P (1 − P)x
n
x

25. Phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng
Ñaëc tröng cuûa phaân phoái nhò thöùc.
Trung bình: μ = E ( X ) = n.P
Phöông sai: σ = n.P (1 − P )
2
Ñoä leäch tieâu chuaån: σ = n.P(1− P)

26. Phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng
Phaân phoái sieâu boäi.
Trong moät pheùp thöû chæ coù 2 keát quaû:thaønh
coâng hay khoâng thaønh coâng.
Xaùc suaát thaønh coâng khoâng coá ñònh.
Caùc pheùp thöû khoâng ñoäc laäp.
Xaùc suaát ñeå coù x laàn thaønh coâng trong n pheùp thöû:
n− x
C .C x
P( x) = S
n
N −S
C N

27. Phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng
Ñaëc tröng cuûa phaân phoái sieâu boäi
Trung bình: μ = E ( X ) = n.P
Phöông sai: σ = nP1− P)
2 N −n
(
N −1
Ñoä leäch tieâu chuaån: σ = nP(1− P). N − n
N −1

28. Phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng
Phaân phoái Poisson
−μ
Coâng thöùc: μ .ex
P (x) =
x!
Ñaëc tröng cuûa phaân phoái Poisson:
Trung bình: μ = E( X ) = n.P
Phöông sai: σ 2
= n .P
Ñoä leäch tieâu chuaån: σ = n .P

29. NGUYEÂN LYÙ TK KINH TEÁ
Phaân phoái chuaån

30. Phaân phoái chuaån
Ñònh nghóa:
Phaân phoái cuûa bieán ngaãu nhieân lieân tuïc
Haøm maät ñoä xaùc suaát cuûa X:
−( x−μ )2
1
f ( x) = e 2σ 2
− ∞〈 x〈+∞
σ 2π

31. Phaân phoái chuaån
Ñöôøng cong f(X)
phaân phoái chuaån
X
μ
Mean
Median
Mode

32. Tính chaát cuûa phaân phoái chuaån.
1.Ñoái xöùng
2. μ = M e = Mode
Xaáp xæ 68% giaù trò naèm trong khoaûng ±1σ so vôùi
μ.
Xaáp xæ 95% giaù trò naèm trong khoaûng ±2σ so vôùi
μ.
Xaáp xæ 99,73% giaù trò naèm trong khoaûng ±3σ so
vôùi μ.

33. Phaân phoái chuaån
f(x)
68%
95%
σ
0
(μ-σ) μ (μ+σ) x

34. Phaân Phoái Chuaån
Hoï Phaân Phoái Chuaån
Vôùi caùc tham soá μ vaø σ thay ñoåi, ta coù caùc
phaân phoái chuaån khaùc nhau

35. Chuaån hoùa phaân phoái chuaån
x− μ
Z =
Ñoåi bieán: σ
X~N(μ,σ2) Z ~N (0,1)
Haøm maät ñoä xaùc suaát cuûa Z:
− z2
1
f (z) = .e 2
2π

36. Ñöôøng cong phaân phoái chuaån
ñôn giaûn
Phaân phoái chuaån Z coù trung bình
baèng 0 vaø phöông sai baèng 1
f(Z) f(X) σ
σZ =1
μ
μZ = 0 Z

37. Tìm xaùc suaát
Xaùc suaát ñeå X
nhaän giaù trò
trong khoaûng P (c ≤ X ≤ d ) = ?
[c;d]!
f(X)
X
c d

38. Söû duïng baûng tính saün naøo?
Coù caû moät “hoï” phaân phoái chuaån, nghóa
laø coù nhieàu baûng!

39. Baûng tích phaân Laplace
Z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07
0.0 .0000 .0040 .0080 .0120 .0160 .0199 .0239 .0279
0.1 .0398 .0438 .0478 .0517 .0557 .0596 .0636 .0675
0.2 .0793 .0832 .0871 .0910 .0948 .0987 .1026 .1064
0.3 .1179 .1217 .1255 .1293 .1331 .1368 .1406 .1443
0.4 .1554 .1591 .1628 .1664 .1700 .1736 .1772 .1808
0.5 .1915 .1950 .1985 .2019 .2054 .2088 .2123 .2157
………
1.0.3413 .3438 .3461 .3485 .3508 .3531 .3554
1.1.3643 .3665 .3686 .3708 .3729 .3749 .3770
…… … … … … … … … …
2.0.4772 .4778 .4783 .4788 .4893 .4798 .4803
…
2.5.4938 .4940 .4941 .4943 .4945 .4946 .4948

40. Söû duïng baûng phaân phoái chuaån
ñôn giaûn
Chæ caàn söû duïng moät baûng μZ = 0 σZ =1
Z .00 .01 .02
0.5000 .0478
0.0 .000 .0040 .080
0.1 .0398 .0438 .0478
0.2 .0793 .0832 .0871 0
Xaùc suaát
0.3 .1179 .1217 .1255 Z = 0.12

41. Ví duï
X −μ 6.2 − 5
Z= = = 0.12
σ 10
Phaân phoái chuaån Chuaån hoaùphaân phoái
chuaån
σ = 10 σZ =1
6.2 X 0.12 Z
μ =5 μZ = 0

42. Ví duï: P ( 2.9 ≤ X ≤ 7.1) = .1664
X −μ 2.9 − 5 X −μ 7.1 − 5
Z= = = −.21 Z= = = .21
σ 10 σ 10
σ = 10 .0832 σZ =1
.0832
2.9 7.1 X −0.21 0.21 Z
μ =5 μZ = 0

43. Ví duï: P ( X ≥ 8 ) = .3821
X −μ 8−5
Z= = = .30
σ 10
σ = 10
σZ =1
.3821
8 X 0.30 Z
μ =5 μZ = 0

44. Vaøi öùng duïng
Ñöôïc bieát thôøi gian thanh toaùn caùc hoùa ñôn
cuûa khaùch haøng taïi moät coâng ty coù phaân
phoái chuaån vôùi trung bình laø 18 ngaøy vaø ñoä
leäch tieâu chuaån laø 4 ngaøy. Haõy tính:
1.Tæ leä hoùa ñôn coù thôøi gian thanh toaùn töø 12
ñeán 18 ngaøy.
2.Tæ leä hoùa ñôn coù thôøi gian thanh toaùn töø 20
ñeán 23 ngaøy.
3.Tæ leä hoùa ñôn coù thôøi gian thanh toaùn tröôùc
8 ngaøy.
4.Tæ leä hoùa ñôn quaù haïn thanh toaùn >30ngaøy

45. Ví dụ 2
Chiều cao những người trưởng thành của
một địa phương giả sử có phân phối chuẩn
với trung bình bằng 163 cm và độ lệch tiêu
chuẩn là 4,5 cm.
1. Tính tỉ lệ những người trưởng thành có
chiều cao trong khoảng (160, 165) cm
2. Tính tỉ lệ những người trưởng thành có
chiều cao >165 cm

46. 3. Tính tỉ lệ những người trưởng thành có
chiều cao <160 cm.
4. Tính tỉ lệ những người trưởng thành có
chiều cao trong khoảng (165,170) cm

47. Duøng phaân phoái chuaån ñeå xaáp xæ
cho caùc phaân phoái xaùc suaát rôøi raïc
1.Xaáp xæ cho phaân phoái nhò thöùc
X ~ B(n,P) N(μ,σ2)
Söû duïng heä soá ñieàu chænh lieân tuïc:±0,5
Ví duï:Ban quaûn lyù cuûa moät nhaø haøng lôùn
nhaän ñònh raèng 70% khaùch haøng môùi seõ
quay trôû laïi. Trong tuaàn naøy, coù 80 thöïc
khaùch ñeán duøng böõa laàn ñaàu. Haõy tính xaùc
suaát ñeå ít nhaát coù 60 khaùch haøng seõ trôû laïi.

48. 2. Xaáp xæ cho phaân phoái sieâu boäi
X − nP
Ñoåi bieán: Z=
N −n
nP (1 − P )
N −1
3. Xaáp xæ cho phaân phoái Poisson.