Paradigmes et ParadoxesUne introduction à la simulation en           probabilités             Simon de Montigny           ...
Naissance des probabilités• Paradoxe du Duc de Toscane  – somme de 10 plus favorable que 9 sur trois dés,    alors que ces...
Naissance des probabilités• Paradoxe du Chevalier de Méré  – parier sur l’apparition d’un 6 en 4 lancers de dé    est avan...
Paradigmes en probabilité• Paradigme (paradeïgma : modèle ou exemple)  – Vision du monde, modèle de pensée• Deux paradigme...
Paradoxes classiques• Certaines opérations mathématiques peuvent  détruire l’indépendance ou l’équiprobabilité.• Nous abor...
Le paradoxe des deux enfants
M. S et M. T discutent au téléphone.M. T sait que M. S a deux enfants.M. S                             M. T
Peux-tu deviner le sexe de mon plus   jeune enfant?
Puis-je avoir un indice?
Au moins un demes enfants est   une fille.
M. S a deux enfants dont au moins une fille. Laprobabilité que son 2e enfant soit une fille est de…1.   1/42.   1/33.   1/...
M. S a deux enfants dont au moins une fille. Laprobabilité que son 2e enfant soit une fille est de…1.   1/42.   1/33.   1/...
Paradoxe des deux enfants• Le problème des deux enfants nous mène à  vouloir simuler une séquence d’expériences  pouvant p...
Paradoxe des deux enfants• Simulation de deux bits, chacun prenant la  valeur 0 ou 1 avec équiprobabilité• N1 : compteur d...
Paradoxe des deux enfants                         Convergence de N2/N1 vers 2/3                          (évaluation à tou...
Paradoxe des deux enfants• Pour bien comprendre le paradoxe, on doit  raisonner avec des outils mathématiques.  – Espace é...
Paradoxe des deux enfants• Arbre d’une famille à deux enfants                        1er enfant       2e enfant           ...
Paradoxe des deux enfants• Espace échantillon              S = {GG,GF,FG,FF}• Événement « 2e enfant F»              A = {G...
Paradoxe des deux enfants1) B : au moins une fille                        1er enfant       2e enfant                      ...
Paradoxe des deux enfants2) A : 2e enfant est une fille (A sous-ensemble de B)                          1er enfant        ...
Paradoxe des deux enfants• Probabilité conditionnelle                       P[A∩B]   P[A]              P[A|B] =        =  ...
Dans une deuxième version duparadoxe, M. S et M. T discutentaussi au téléphone.
Peux-tu deviner le sexe de mon plus   jeune enfant?
Puis-je avoir un indice?
J’ai parlé à ma   fille X autéléphone avant de te parler.
M. S a deux enfants et il vient de parler à sa fille X.La probabilité que son 2e enfant soit une fille est de…  1.   1/4  ...
M. S a deux enfants et il vient de parler à sa fille X.La probabilité que son 2e enfant soit une fille est de…  1.   1/4  ...
Paradoxe des deux enfants• Deux enfants avec un coup de téléphone                                      1er enfant         ...
Paradoxe des deux enfants1) C : fille téléphone                                      1er enfant              2e enfant    ...
Paradoxe des deux enfants3) A : 2e enfant est une fille                                      1er enfant              2e en...
Paradoxe des deux enfants3) A∩C                                     1er enfant             2e enfant                      ...
Paradoxe des deux enfants• Probabilité conditionnelle          P[A∩C]       P[GF2,FF1,FF2] P[A|C] =        =           P[C...
Paradoxe des deux enfants• Pourquoi cette différence?  – Version 1 : information simultanée sur deux enfants  – Version 2 ...
Paradoxe des deux enfants• Simulation de trois bits   – Deux premiers prennent la valeur 0 ou 1 avec     équiprobabilité  ...
Paradoxe des deux enfants                         Convergence de N2/N3 vers 3/4                          (évaluation à tou...
M. S a deux enfants dont au moins une fille. La     probabilité qu’il ait deux filles est de…1.   1/42.   1/33.   1/24.   ...
M. S a deux enfants dont au moins une fille. La     probabilité qu’il ait deux filles est de…1.   1/42.   1/33.   1/24.   ...
M. S a deux enfants et il vient de parler à sa fille X.     La probabilité qu’il ait deux filles est de…1.   1/42.   1/33....
M. S a deux enfants et il vient de parler à sa fille X.     La probabilité qu’il ait deux filles est de…1.   1/42.   1/33....
La loi de Benford
Loi de Benford• 1881 : Simon Newcomb, astronome, fait une  constatation étonnante en consultant une  table de logarithmes....
Loi de Benford• Les résultats de multiplications et de divisions  ont souvent «1» comme 1er chiffre significatif!• Newcomb...
• Distribution des chiffres dans les constantes  mathématiques (Inverseur de Plouffe)           Simon Plouffe, http://www....
Loi de Benford1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048,4096, 8192, 16384, 32768, 65536, 131072, 262144,524288, 10...
Loi de Benford1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, 6561, 19683, 59049,177147, 531441, 1594323, 4782969, 14348907,43046721, 129...
Loi de Benford• Autres apparitions de la loi de Benford  – Suite de Fibonnaci  – Factorielles  – Triangle de Pascal  – Nom...
Loi de Benford• Table de multiplicationX       1    2    3    4    5    6    7    8    9    10    1   1    2    3    4    ...
Loi de Benford• Simulations  – Multiplication de deux nombres réels    uniformément distribués dans l’intervalle [1 , 10] ...
Loi de Benford• Espace échantillon et événements 2D
Loi de Benford
Conclusion• Outils de base des probabilités  – révèlent les limites de l’intuition  – permettent une démarche rigoureuse• ...
Prochain SlideShare
Chargement dans…5
×

Paradigmes et paradoxes : introduction à la simulation en probabilités

2 136 vues

Publié le

Atelier présenté au 55e Congrès de l\'Association Mathématique du Québec (15 octobre 2011, École Polytechnique de Montréal)

0 commentaire
1 j’aime
Statistiques
Remarques
  • Soyez le premier à commenter

Aucun téléchargement
Vues
Nombre de vues
2 136
Sur SlideShare
0
Issues des intégrations
0
Intégrations
129
Actions
Partages
0
Téléchargements
0
Commentaires
0
J’aime
1
Intégrations 0
Aucune incorporation

Aucune remarque pour cette diapositive

Paradigmes et paradoxes : introduction à la simulation en probabilités

  1. 1. Paradigmes et ParadoxesUne introduction à la simulation en probabilités Simon de Montigny Étudiant au doctorat École Polytechnique de Montréal
  2. 2. Naissance des probabilités• Paradoxe du Duc de Toscane – somme de 10 plus favorable que 9 sur trois dés, alors que ces résultats ont “autant” d’écritures comme somme de trois entiers entre 1 et 6 – résolu par Galilée
  3. 3. Naissance des probabilités• Paradoxe du Chevalier de Méré – parier sur l’apparition d’un 6 en 4 lancers de dé est avantageux – parier sur l’apparition d’un double 6 en 24 lancers de deux dés est désavantageux – résolu par Pascal
  4. 4. Paradigmes en probabilité• Paradigme (paradeïgma : modèle ou exemple) – Vision du monde, modèle de pensée• Deux paradigmes fondamentaux en probabilités – Indépendance et Équiprobabilité.• Ces principes ont une définition mathématique précise.
  5. 5. Paradoxes classiques• Certaines opérations mathématiques peuvent détruire l’indépendance ou l’équiprobabilité.• Nous aborderons deux paradoxes : 1) Le paradoxe des deux enfants 2) La loi de Benford
  6. 6. Le paradoxe des deux enfants
  7. 7. M. S et M. T discutent au téléphone.M. T sait que M. S a deux enfants.M. S M. T
  8. 8. Peux-tu deviner le sexe de mon plus jeune enfant?
  9. 9. Puis-je avoir un indice?
  10. 10. Au moins un demes enfants est une fille.
  11. 11. M. S a deux enfants dont au moins une fille. Laprobabilité que son 2e enfant soit une fille est de…1. 1/42. 1/33. 1/24. 2/35. 3/4
  12. 12. M. S a deux enfants dont au moins une fille. Laprobabilité que son 2e enfant soit une fille est de…1. 1/42. 1/33. 1/24. 2/35. 3/4
  13. 13. Paradoxe des deux enfants• Le problème des deux enfants nous mène à vouloir simuler une séquence d’expériences pouvant prendre deux valeurs : garçon ou fille, succès ou échec, 0 ou 1.
  14. 14. Paradoxe des deux enfants• Simulation de deux bits, chacun prenant la valeur 0 ou 1 avec équiprobabilité• N1 : compteur du nombre de réalisations comprenant au moins un bit de valeur 1 – au moins une fille• N2 : compteur du nombre de réalisations dont le 2e bit prend la valeur 1 – 2e enfant (plus jeune) est une fille
  15. 15. Paradoxe des deux enfants Convergence de N2/N1 vers 2/3 (évaluation à toutes les 250 itérations) Fréquence relative & IC à 99%Échelle de probabilité Itérations
  16. 16. Paradoxe des deux enfants• Pour bien comprendre le paradoxe, on doit raisonner avec des outils mathématiques. – Espace échantillon – Événements – Diagramme en arbre – Probabilités conditionnelles
  17. 17. Paradoxe des deux enfants• Arbre d’une famille à deux enfants 1er enfant 2e enfant 2e enfantGG GF FG FF
  18. 18. Paradoxe des deux enfants• Espace échantillon S = {GG,GF,FG,FF}• Événement « 2e enfant F» A = {GF,FF}• Événement « au moins une fille» B = {GF,FG,FF}
  19. 19. Paradoxe des deux enfants1) B : au moins une fille 1er enfant 2e enfant 2e enfantGG GF FG FF
  20. 20. Paradoxe des deux enfants2) A : 2e enfant est une fille (A sous-ensemble de B) 1er enfant 2e enfant 2e enfantGG GF FG FF
  21. 21. Paradoxe des deux enfants• Probabilité conditionnelle P[A∩B] P[A] P[A|B] = = P[B] P[B] P[A] P[GF,FF] 2/4 2 = = = P[B] P[GF,FG,FF] 3/4 3
  22. 22. Dans une deuxième version duparadoxe, M. S et M. T discutentaussi au téléphone.
  23. 23. Peux-tu deviner le sexe de mon plus jeune enfant?
  24. 24. Puis-je avoir un indice?
  25. 25. J’ai parlé à ma fille X autéléphone avant de te parler.
  26. 26. M. S a deux enfants et il vient de parler à sa fille X.La probabilité que son 2e enfant soit une fille est de… 1. 1/4 2. 1/3 3. 1/2 4. 2/3 5. 3/4
  27. 27. M. S a deux enfants et il vient de parler à sa fille X.La probabilité que son 2e enfant soit une fille est de… 1. 1/4 2. 1/3 3. 1/2 4. 2/3 5. 3/4
  28. 28. Paradoxe des deux enfants• Deux enfants avec un coup de téléphone 1er enfant 2e enfant 2e enfant Téléphone Téléphone Téléphone Téléphone
  29. 29. Paradoxe des deux enfants1) C : fille téléphone 1er enfant 2e enfant 2e enfant Téléphone Téléphone Téléphone Téléphone
  30. 30. Paradoxe des deux enfants3) A : 2e enfant est une fille 1er enfant 2e enfant 2e enfant Téléphone Téléphone Téléphone Téléphone
  31. 31. Paradoxe des deux enfants3) A∩C 1er enfant 2e enfant 2e enfant Téléphone Téléphone Téléphone Téléphone
  32. 32. Paradoxe des deux enfants• Probabilité conditionnelle P[A∩C] P[GF2,FF1,FF2] P[A|C] = = P[C] P[GF2,FG1,FF1,FF2] 3/8 3 = = 4/8 4
  33. 33. Paradoxe des deux enfants• Pourquoi cette différence? – Version 1 : information simultanée sur deux enfants – Version 2 : information sur un enfant choisi au hasard
  34. 34. Paradoxe des deux enfants• Simulation de trois bits – Deux premiers prennent la valeur 0 ou 1 avec équiprobabilité – 3e bit prend soit la valeur du 1er bit, soit celle du 2e, avec équiprobabilité• N3 : compteur du nombre de réalisations dont le 3e bit prend la valeur 1 – une fille a téléphoné• N2 : compteur du nombre de réalisations dont le 2e bit prend la valeur 1 – 2e enfant (plus jeune) est une fille
  35. 35. Paradoxe des deux enfants Convergence de N2/N3 vers 3/4 (évaluation à toutes les 250 itérations) Fréquence relative & IC à 99%Échelle de probabilité Itérations
  36. 36. M. S a deux enfants dont au moins une fille. La probabilité qu’il ait deux filles est de…1. 1/42. 1/33. 1/24. 2/35. 3/4
  37. 37. M. S a deux enfants dont au moins une fille. La probabilité qu’il ait deux filles est de…1. 1/42. 1/33. 1/24. 2/35. 3/4
  38. 38. M. S a deux enfants et il vient de parler à sa fille X. La probabilité qu’il ait deux filles est de…1. 1/42. 1/33. 1/24. 2/35. 3/4
  39. 39. M. S a deux enfants et il vient de parler à sa fille X. La probabilité qu’il ait deux filles est de…1. 1/42. 1/33. 1/24. 2/35. 3/4
  40. 40. La loi de Benford
  41. 41. Loi de Benford• 1881 : Simon Newcomb, astronome, fait une constatation étonnante en consultant une table de logarithmes.• 1938 : Frank Benford, ingénieur, consultant aussi une table de logarithmes, fait la même constatation.
  42. 42. Loi de Benford• Les résultats de multiplications et de divisions ont souvent «1» comme 1er chiffre significatif!• Newcomb introduit les «nombres naturels». – Tout nombre utilisé pour décrire la nature est exprimé selon une unité de mesure. – Une unité de mesure est un rapport. – La prédominance du 1 ne dépend pas des unités de mesure choisies.
  43. 43. • Distribution des chiffres dans les constantes mathématiques (Inverseur de Plouffe) Simon Plouffe, http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/statistics.html
  44. 44. Loi de Benford1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048,4096, 8192, 16384, 32768, 65536, 131072, 262144,524288, 1048576, 2097152, 4194304, 8388608,16777216, 33554432, 67108864, 134217728,268435456, 536870912, 1073741824, 2147483648,4294967296, 8589934592, 17179869184,34359738368, 68719476736, 137438953472,274877906944, 549755813888, 1099511627776,2199023255552, 4398046511104, 8796093022208
  45. 45. Loi de Benford1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, 6561, 19683, 59049,177147, 531441, 1594323, 4782969, 14348907,43046721, 129140163, 387420489, 1162261467,3486784401, 10460353203, 31381059609, 94143178827,282429536481, 847288609443, 2541865828329,7625597484987, 22876792454961, 68630377364883,205891132094649, 617673396283947,1853020188851841, 5559060566555523,16677181699666569, 50031545098999707,150094635296999121, 450283905890997363,1350851717672992089, 4052555153018976267,12157665459056928801, 36472996377170786403,109418989131512359209, 328256967394537077627
  46. 46. Loi de Benford• Autres apparitions de la loi de Benford – Suite de Fibonnaci – Factorielles – Triangle de Pascal – Nombres premiers et zéros de la fonction zeta • «The first-digit frequencies of prime numbers and Riemann zeta zeros», Luque et Lacasa, 2009 –…
  47. 47. Loi de Benford• Table de multiplicationX 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 1 21/100 4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 2 17/100 5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 3 13/100 6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 4 14/100 7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 5 8/100 8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 6 9/100 9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 7 6/10010 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 8 7/100 9 5/100
  48. 48. Loi de Benford• Simulations – Multiplication de deux nombres réels uniformément distribués dans l’intervalle [1 , 10] – Déterminant d’une matrice de nombres aléatoires • loi uniforme dans [-1,1] • loi normale centrée réduite
  49. 49. Loi de Benford• Espace échantillon et événements 2D
  50. 50. Loi de Benford
  51. 51. Conclusion• Outils de base des probabilités – révèlent les limites de l’intuition – permettent une démarche rigoureuse• Simulation – pour faire face aux problèmes réels difficiles – permet de valider, de prévoir, de découvrir

×