PO3T Programmation orientée objet
Séance 7
Arbre et algorithme
de recherche
Sébastien Combéfis, Quentin Lurkin lundi 9 nove...
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Rappels
Structure de données et complexités
Type abstrait de données (TAD)
Complexité temporelle des méthodes
Complexité s...
Objectifs
Arbre
Le TAD Tree
Implémentation par tableau ou structure chainée
Le TAD BinaryTree
Algorithme de recherche
Rech...
Arbre
TAD Arbre (1)
Un arbre stocke des éléments de manière hiérarchique (tree)
Tout élément possède un parent et zéro, un ou pl...
Propriétés des arbres (1)
Ensemble de nœuds liés par une relation parent-enfant
Un arbre non vide possède une racine (qui ...
Propriétés des arbres (2)
Le nœud u est un ancêtre du nœud v
si u = v
ou si u est un ancêtre du parent de v
Nœud v descend...
Propriétés des arbres (3)
Bière
Trappiste
Rochefort 8
Trappe
Quadruple
Abbaye
Leffe Rituel
Autre
Maes Raedler CaraPils
Raci...
TAD Arbre (2)
Méthodes spécifiques au TAD arbre
root() renvoie la racine de l’arbre (erreur si vide)
parent(v) renvoie le p...
TAD Arbre (3)
Méthodes de mise à jour
Décrites plus loin...
Méthodes additionnelles
size() renvoie la taille de l’arbre
is...
Interface Tree (1)
1 public interface Tree <E>
2 {
3 public Position <E> root () throws EmptyTreeException ;
4
5 public Po...
Interface Tree (2)
EmptyTreeException lorsque opération sur arbre vide
Ne devrait jamais arriver puisqu’on connait la tail...
Profondeur
La profondeur de v est son nombre d’ancêtres (v exclu)
Mesure de la distance par rapport à la racine
La racine ...
Hauteur
La hauteur se définit aussi récursivement
Un nœud externe a une hauteur de zéro
La hauteur de v vaut 1 plus la haut...
Parcours d’un arbre
Un parcours d’arbre traverse tous ses nœuds
Traversée systématique, visite de tous les nœuds
Deux prin...
Parcours préfixe
A B C D G H E I F
1 public static <E> void preorder (Tree <E> T, Position <E> v)
2 {
3 // Opération avec l...
Structure d’un document
Parcours préfixe utilisé pour parcourir un document
Si on représente la structure en chapitres/sect...
Parcours postfixe
B C G H D I E F A
1 public static <E> void postorder (Tree <E> T, Position <E> v)
2 {
3 for (Position <E>...
Système de fichiers
Parcours postfixe utilisé pour calculer la taille d’un répertoire
Il faut sommer la taille du contenu du...
Interface Position
Nœuds de l’arbre représentés par l’interface Position
element() renvoie l’élément stocké dans le nœud
L...
Classe LinkedTree (1)
1 public class LinkedTree <E> implements Tree <E>
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3 private Position <E> root;
4 private int siz...
Classe LinkedTree (2)
1 public Position <E> root () throws EmptyTreeException
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3 if (root == null)
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Classe LinkedTree (3)
1 private TreeNode <E> checkPosition (Position <E> v) throws
InvalidPositionException
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Classe LinkedTree (4)
1 public boolean isInternal (Position <E> v) throws InvalidPositionException
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Arbre binaire
Arbre ordonné et binaire
Un arbre ordonné définit un ordre pour les enfants des nœuds
On peut définir le premier enfant, le ...
Propriétés des arbres binaires
Un arbre binaire peut être propre (ou impropre)
Chaque nœud possède zéro ou deux enfants
Un...
TAD Arbre Binaire (1)
Les nœuds d’arbre binaire ont max deux enfants (binary tree)
Un nœud est le fils gauche ou le fils dro...
TAD Arbre Binaire (2)
Méthodes de mise à jour
addRoot(e) crée et renvoie un nœud stockant e et en fait la
racine de l’arbr...
Interface BinaryTree
L’interface BinaryTree étend l’interface Tree
La méthode children renvoie les fils dans le bon ordre
1...
Arbre de décision
Un arbre de décision représente un processus de décision
Les nœuds internes contiennent une question
Les...
Expression arithmétique
Une expression arithmétique permet de l’évaluer
Les nœuds internes contiennent une opération
Les n...
Parcours infixe
1 public static <E> void inorder (Tree <E> T, Position <E> v)
2 {
3 if (T.hasLeft (v)) { inorder (T, T.left...
Classe ArrayBinaryTree (1)
Numérotation des nœuds d’un arbre avec une fonction p(v)
p(v) = 1 si v est la racine
p(v) = 2p(...
Complexité de ArrayBinaryTree
Complexité temporelle des opérations
Méthode Complexité
size, isEmpty O(1)
elements, positio...
Classe LinkedBinaryTree
Utilisation d’une classe BTNode spécifique à l’arbre binaire
Stockage du parent, du fils gauche et d...
Complexité de LinkedBinaryTree
Complexité temporelle des opérations
Méthode Complexité
size, isEmpty O(1)
elements, positi...
Définition récursive
Définition récursive d’un arbre binaire
Arbre vide
Un nœud avec un élément et sous-arbres binaires gauc...
Algorithme de recherche
Recherche linéaire
Parcours de la structure de donnée, élément par élément
Jusqu’à trouver l’élément ou avoir parcouru tou...
Recherche dichotomique
Recherche plus efficace si les données sont triées
Il faut évidemment avant tout trier les données
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Recherche dichotomique
Recherche plus efficace si les données sont triées
Il faut évidemment avant tout trier les données
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Recherche dichotomique
Recherche plus efficace si les données sont triées
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Recherche dichotomique
Recherche plus efficace si les données sont triées
Il faut évidemment avant tout trier les données
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Arbre Binaire de Recherche
Un arbre binaire de recherche est un arbre binaire propre
chaque nœud interne stocke un élément...
Recherche d’un élément
1 public static <E> boolean find (BinaryTree <E> T, E value)
2 {
3 return T.isInternal (search (T, ...
Autres arbres de recherche
Arbre AVL (AVL Tree)
Premier arbre binaire de recherche automatiquement équilibré
Arbre splay (...
Crédits
https://www.flickr.com/photos/127497725@N02/16695848708
https://www.flickr.com/photos/arenamontanus/14770259458
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Arbre et algorithme de recherche

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Ce cours concerne les arbres, structure de données organisant les données de manière hiérarchique dans de nœuds reliés entre eux par une relation parent-enfant. Le cours présente les arbres généraux et ensuite les arbres binaires, où chaque nœud possède 0 ou 2 enfants. Enfin, le cours termine en présentant des algorithmes de recherche et en particulier l'arbre binaire de recherche.

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Arbre et algorithme de recherche

  1. 1. PO3T Programmation orientée objet Séance 7 Arbre et algorithme de recherche Sébastien Combéfis, Quentin Lurkin lundi 9 novembre 2015
  2. 2. Ce(tte) œuvre est mise à disposition selon les termes de la Licence Creative Commons Attribution – Pas d’Utilisation Commerciale – Pas de Modification 4.0 International.
  3. 3. Rappels Structure de données et complexités Type abstrait de données (TAD) Complexité temporelle des méthodes Complexité spatiale de la structure de données TAD pour représenter des séquences d’éléments Pile, file, deque et vecteur Implémentation par structure chainée Classe interne pour cacher l’implémentation 3
  4. 4. Objectifs Arbre Le TAD Tree Implémentation par tableau ou structure chainée Le TAD BinaryTree Algorithme de recherche Recherche séquentielle et dichotomique Le TAD BinarySearchTree 4
  5. 5. Arbre
  6. 6. TAD Arbre (1) Un arbre stocke des éléments de manière hiérarchique (tree) Tout élément possède un parent et zéro, un ou plusieurs enfants La racine de l’arbre n’a pas de parent Un arbre possède une unique racine Bière Trappiste Rochefort 8 Trappe Quadruple Abbaye Leffe Rituel Autre Maes Raedler CaraPils 6
  7. 7. Propriétés des arbres (1) Ensemble de nœuds liés par une relation parent-enfant Un arbre non vide possède une racine (qui n’a pas de parent) Les nœuds v ont un parent unique w (v est enfant de w) Chaque nœud de l’arbre stocke un élément Deux nœuds avec le même parent sont frère/sœur (siblings) Un nœud externe (feuille) n’a pas d’enfants (leaf) Un nœud interne a un ou plusieurs enfants 7
  8. 8. Propriétés des arbres (2) Le nœud u est un ancêtre du nœud v si u = v ou si u est un ancêtre du parent de v Nœud v descendant de u si u ancêtre de v Sous-arbre enraciné en un nœud v Arbre avec v en racine et tous ses descendants comme nœuds 8
  9. 9. Propriétés des arbres (3) Bière Trappiste Rochefort 8 Trappe Quadruple Abbaye Leffe Rituel Autre Maes Raedler CaraPils Racine frère/sœur parent/enfant ancêtre/descendant Nœud interne Nœud externe Trappiste parent de Rochefort 8 et Rochefort 8 enfant de Trappiste Bière ancêtre de CaraPils et CaraPils descendant de Bière 9
  10. 10. TAD Arbre (2) Méthodes spécifiques au TAD arbre root() renvoie la racine de l’arbre (erreur si vide) parent(v) renvoie le parent de v (erreur si racine) children(v) renvoie un itérateur des enfants de v Méthodes d’interrogation de l’arbre isInternal(v) teste si v est un nœud interne isExternal(v) teste si v est un nœud externe isRoot(v) teste si v est la racine 10
  11. 11. TAD Arbre (3) Méthodes de mise à jour Décrites plus loin... Méthodes additionnelles size() renvoie la taille de l’arbre isEmpty() teste si l’arbre est vide elements() renvoie un itérateur des éléments de l’arbre positions() renvoie un itérateur des nœuds de l’arbre replace(v, e) remplace l’élément du nœud v par e et renvoie l’élément qui s’y trouvait avant 11
  12. 12. Interface Tree (1) 1 public interface Tree <E> 2 { 3 public Position <E> root () throws EmptyTreeException ; 4 5 public Position <E> parent (Position <E> v) 6 throws InvalidPositionException , BoundaryViolationException ; 7 8 public Iterator <Position <E>> children (Position <E> v) 9 throws InvalidPositionException ; 10 11 public boolean isInternal (Position <E> v) throws InvalidPositionException ; 12 13 public boolean isExternal (Position <E> v) throws InvalidPositionException ; 14 15 public boolean isRoot (Position <E> v) throws InvalidPositionException ; 16 17 public int size (); 18 19 public boolean isEmpty (); 20 21 public Iterator <E> elements (); 22 23 public Iterator <Position <E>> positions (); 24 25 public E replace (Position <E> v, E e) throws InvalidPositionException ; 26 } 12
  13. 13. Interface Tree (2) EmptyTreeException lorsque opération sur arbre vide Ne devrait jamais arriver puisqu’on connait la taille de l’arbre InvalidPositionException pour position pas dans l’arbre Ne devrait jamais arriver car on reçoit les positions de l’arbre BoundaryViolationException si opération sur la racine Ne devrait jamais arriver puisqu’on sait tester la racine 13
  14. 14. Profondeur La profondeur de v est son nombre d’ancêtres (v exclu) Mesure de la distance par rapport à la racine La racine est à une profondeur de zéro 1 public static <E> int depth (Tree <E> T, Position <E> v) 2 { 3 if (T.isRoot (v)) 4 { 5 return 0; 6 } 7 return 1 + depth (T, T.parent (v)); 8 } 14
  15. 15. Hauteur La hauteur se définit aussi récursivement Un nœud externe a une hauteur de zéro La hauteur de v vaut 1 plus la hauteur maximale de ses enfants La hauteur d’un arbre non vide est celle de sa racine 1 public static <E> int height (Tree <E> T, Position <E> v) 2 { 3 if (T.isExternal (v)) 4 { 5 return 0; 6 } 7 8 int h = 0; 9 for (Position <E> child : T.children (v)) 10 { 11 h = Math.max (h, height (T, child)) 12 } 13 return 1 + h; 14 } 15
  16. 16. Parcours d’un arbre Un parcours d’arbre traverse tous ses nœuds Traversée systématique, visite de tous les nœuds Deux principaux types de parcours Préfixe : racine puis chaque sous-arbre Postfixe : chaque sous-arbre puis racine A B C D G H E I F 16
  17. 17. Parcours préfixe A B C D G H E I F 1 public static <E> void preorder (Tree <E> T, Position <E> v) 2 { 3 // Opération avec le noeud v ... 4 System.out.println (v.element ()); 5 6 for (Position <E> child : T.children (v)) 7 { 8 preorder (T, child); 9 } 10 } A 1 B 2 C 3 D 4 G 5 H 6 E 7 I 8 F 9 17
  18. 18. Structure d’un document Parcours préfixe utilisé pour parcourir un document Si on représente la structure en chapitres/sections/... Rapport Intro Chap 1 Chap 2 Sec 1.1 Sec 1.2 Chap 3 Sec 3.1 Conclu 18
  19. 19. Parcours postfixe B C G H D I E F A 1 public static <E> void postorder (Tree <E> T, Position <E> v) 2 { 3 for (Position <E> child : T.children (v)) 4 { 5 postorder (T, child); 6 } 7 8 // Opération avec le noeud v ... 9 System.out.println (v.element ()); 10 } A 9 B 1 C 2 D 5 G 3 H 4 E 7 I 6 F 8 19
  20. 20. Système de fichiers Parcours postfixe utilisé pour calculer la taille d’un répertoire Il faut sommer la taille du contenu du répertoire /home/combefis/ecam/2015/coo planning.pdf 12 Ko students.xlsx 42 Ko slides cours1.pdf 1.17 Mo cours2.pdf 2.24 Mo examens jan2015.pdf 122 Ko secret.txt 18 Ko 20
  21. 21. Interface Position Nœuds de l’arbre représentés par l’interface Position element() renvoie l’élément stocké dans le nœud La position stocke l’élément et d’autres informations Informations sur la structure de l’arbre et les liens entre nœuds 1 public interface Position <E> 2 { 3 public E element (); 4 } 21
  22. 22. Classe LinkedTree (1) 1 public class LinkedTree <E> implements Tree <E> 2 { 3 private Position <E> root; 4 private int size; 5 6 public LinkedTree () 7 { 8 root = null; 9 size = 0; 10 } 11 12 private static class TreeNode <E> implements Position <E> 13 { 14 private E element; 15 private TreeNode <E> parent; 16 private List <TreeNode <E>> children; 17 18 public TreeNode (E element , TreeNode <E> parent) 19 { 20 this.element = element; 21 this.parent = parent; 22 this.children = new LinkedList <TreeNode <E>>(); 23 } 24 25 public E element () 26 { 27 return element; 28 } 29 } 22
  23. 23. Classe LinkedTree (2) 1 public Position <E> root () throws EmptyTreeException 2 { 3 if (root == null) 4 { 5 throw new EmptyTreeException (); 6 } 7 return root; 8 } 9 10 public int size () 11 { 12 return size; 13 } 14 15 public boolean isEmpty () 16 { 17 return size == 0; 18 } 23
  24. 24. Classe LinkedTree (3) 1 private TreeNode <E> checkPosition (Position <E> v) throws InvalidPositionException 2 { 3 if (! (v instanceof TreeNode)) 4 { 5 throw new InvalidPositionException (); 6 } 7 return (TreeNode <E>) v; 8 } 9 10 public Position <E> parent (Position <E> v) throws InvalidPositionException , BoundaryViolationException 11 { 12 if (isRoot (v)) 13 { 14 throw new BoundaryViolationException (); 15 } 16 return (( TreeNode <E>) v).parent; 17 } 18 19 public Iterator <Position <E>> children (Position <E> v) throws InvalidPositionException 20 { 21 TreeNode <E> tn = checkPosition (v); 22 List <Position <E>> children = new LinkedList <Position <E>>(); 23 for (TreeNode <E> p : tn.children) 24 { 25 children.add (p); 26 } 27 return children.iterator (); 24
  25. 25. Classe LinkedTree (4) 1 public boolean isInternal (Position <E> v) throws InvalidPositionException 2 { 3 return ! isExternal (v); 4 } 5 6 public boolean isExternal (Position <E> v) throws InvalidPositionException 7 { 8 TreeNode <E> tn = checkPosition (v); 9 return tn.children.isEmpty (); 10 } 11 12 public boolean isRoot (Position <E> v) throws InvalidPositionException 13 { 14 checkPosition (v); 15 return v == root; 16 } 17 18 public E replace (Position <E> v, E e) throws InvalidPositionException 19 { 20 TreeNode <E> tn = checkPosition (v); 21 E old = tn.element; 22 tn.element = e; 23 return old; 24 } 25 26 // ... et elements () et positions () non implémentés . 27 } 25
  26. 26. Arbre binaire
  27. 27. Arbre ordonné et binaire Un arbre ordonné définit un ordre pour les enfants des nœuds On peut définir le premier enfant, le deuxième... Un arbre binaire est un arbre ordonné tel que Chaque nœud possède au maximum deux enfants Chaque nœud est soit un fils gauche, soit un fils droit Le fils gauche précède le fils droit dans l’ordre des enfants Sous-arbres gauche et droit pour chaque nœud 27
  28. 28. Propriétés des arbres binaires Un arbre binaire peut être propre (ou impropre) Chaque nœud possède zéro ou deux enfants Une arête d’un arbre est une paire (u, v) avec u parent de v Un arbre possède au maximum 2h+1 − 1 nœuds A B D E C 28
  29. 29. TAD Arbre Binaire (1) Les nœuds d’arbre binaire ont max deux enfants (binary tree) Un nœud est le fils gauche ou le fils droit Méthodes spécifiques au TAD arbre binaire left(v) renvoie le fils gauche de v (erreur si absent) right(v) renvoie le fils droit de v (erreur si absent) hasLeft(v) teste si v a un fils gauche hasRight(v) teste si v a un fils droit 29
  30. 30. TAD Arbre Binaire (2) Méthodes de mise à jour addRoot(e) crée et renvoie un nœud stockant e et en fait la racine de l’arbre (erreur si arbre non vide) insertLeft(v, e) crée et renvoie un nœud stockant e et en fait le fils gauche de v (erreur si déjà fils gauche) insertRight(v, e) crée et renvoie un nœud stockant e et en fait le fils droit de v (erreur si déjà fils droit) remove(v) supprime le nœud v et le remplace par son fils (erreur si deux fils) attach(v, T1, T2) attache T1 et T2 comme sous-arbres gauche et droit du nœud v (erreur si v interne) 30
  31. 31. Interface BinaryTree L’interface BinaryTree étend l’interface Tree La méthode children renvoie les fils dans le bon ordre 1 public interface BinaryTree <E> extends Tree <E> 2 { 3 public Position <E> left (Position <E> v) 4 throws InvalidPositionException , BoundaryViolationException ; 5 6 public Position <E> right (Position <E> v) 7 throws InvalidPositionException , BoundaryViolationException ; 8 9 public boolean hasLeft (Position <E> v) throws InvalidPositionException ; 10 11 public boolean hasRight (Position <E> v) throws InvalidPositionException ; 12 } 31
  32. 32. Arbre de décision Un arbre de décision représente un processus de décision Les nœuds internes contiennent une question Les nœuds externes contiennent une décision Les arêtes sont étiquetées avec Oui/Non Y a-t-il du soleil ? On est en décembre ? On fait une raclette ! Oui On fait un BBQ ! Non Oui On dort ! Non 32
  33. 33. Expression arithmétique Une expression arithmétique permet de l’évaluer Les nœuds internes contiennent une opération Les nœuds externes contiennent un nombre (3 ∗ (1 + 8)) − ((5 + 7)/3) − ∗ 3 + 1 8 / + 5 7 3 33
  34. 34. Parcours infixe 1 public static <E> void inorder (Tree <E> T, Position <E> v) 2 { 3 if (T.hasLeft (v)) { inorder (T, T.left (v)); } 4 5 // Opération avec le noeud v ... 6 System.out.println (v.element ()); 7 8 if (T.hasRight (v)) { inorder (T, T.right (v)); } 9 } 12 6 5 2 3 1 7 4 6 3 8 5 17 10 14 8 13 7 16 9 19 11 34
  35. 35. Classe ArrayBinaryTree (1) Numérotation des nœuds d’un arbre avec une fonction p(v) p(v) = 1 si v est la racine p(v) = 2p(u) si v est le fils gauche de u p(v) = 2p(u) + 1 si v est le fils droit de u 12 5 3 7 6 8 17 14 13 16 19 12 5 17 3 7 14 19 6 8 13 16 35
  36. 36. Complexité de ArrayBinaryTree Complexité temporelle des opérations Méthode Complexité size, isEmpty O(1) elements, positions O(n) replace O(1) root, parent, children, left, right O(1) hasLeft, hasRight, isInternal, isExternal, isRoot O(1) Complexité spatiale en O(2h+1 − 1) En notant bien qu’il y a une capacité maximale fixée 36
  37. 37. Classe LinkedBinaryTree Utilisation d’une classe BTNode spécifique à l’arbre binaire Stockage du parent, du fils gauche et du fils droit 1 private static class BTNode <E> implements Position <E> 2 { 3 private E element; 4 private Position <E> parent , left , right; 5 6 public BTNode (E element , BTNode <E> parent , BTNode <E> left , BTNode <E> right) 7 { 8 this.element = element; 9 this.parent = parent; 10 this.left = left; 11 this.right = right; 12 } 13 14 public E element () 15 { 16 return element; 17 } 18 } 37
  38. 38. Complexité de LinkedBinaryTree Complexité temporelle des opérations Méthode Complexité size, isEmpty O(1) elements, positions O(n) replace O(1) root, parent, children, left, right O(1) hasLeft, hasRight, isInternal, isExternal, isRoot O(1) insertLeft, insertRight, attach, remove O(1) Complexité spatiale en O(n) Il y a exactement un nœud par élément de l’arbre 38
  39. 39. Définition récursive Définition récursive d’un arbre binaire Arbre vide Un nœud avec un élément et sous-arbres binaires gauche et droit 1 public class RecursiveBT <E> 2 { 3 private final E element; 4 private final RecursiveBT <E> left , right; 5 6 public RecursiveBT (E element , RecursiveBT <E> left , RecursiveBT <E> right) 7 { 8 this.element = element; 9 this.left = left; 10 this.right = right; 11 } 12 } 39
  40. 40. Algorithme de recherche
  41. 41. Recherche linéaire Parcours de la structure de donnée, élément par élément Jusqu’à trouver l’élément ou avoir parcouru toute la structure Complexité temporelle en O(n) Dans le pire des cas, tous les élément sont parcourus 1 public static boolean find (int [] data , int elem) 2 { 3 for (int i = 0; i < data.length; i++) 4 { 5 if (data[i] == elem) 6 { 7 return true; 8 } 9 } 10 return false; 11 } 41
  42. 42. Recherche dichotomique Recherche plus efficace si les données sont triées Il faut évidemment avant tout trier les données Complexité temporelle en O(log n) On réduit l’espace de recherche de moitié à chaque itération Recherche de 44 4 6 9 11 12 17 21 23 40 41 44 49 51 59 92 99 start endmid 42
  43. 43. Recherche dichotomique Recherche plus efficace si les données sont triées Il faut évidemment avant tout trier les données Complexité temporelle en O(log n) On réduit l’espace de recherche de moitié à chaque itération Recherche de 44 4 6 9 11 12 17 21 23 40 41 44 49 51 59 92 99 start endmid 42
  44. 44. Recherche dichotomique Recherche plus efficace si les données sont triées Il faut évidemment avant tout trier les données Complexité temporelle en O(log n) On réduit l’espace de recherche de moitié à chaque itération Recherche de 44 4 6 9 11 12 17 21 23 40 41 44 49 51 59 92 99 start endmid 42
  45. 45. Recherche dichotomique Recherche plus efficace si les données sont triées Il faut évidemment avant tout trier les données Complexité temporelle en O(log n) On réduit l’espace de recherche de moitié à chaque itération Recherche de 44 4 6 9 11 12 17 21 23 40 41 44 49 51 59 92 99 start endmid 42
  46. 46. Arbre Binaire de Recherche Un arbre binaire de recherche est un arbre binaire propre chaque nœud interne stocke un élément e les éléments du sous-arbre gauche sont <= e les éléments du sous-arbre droit sont >= e tous les nœuds externes ne stockent aucun élément Un parcours infixe permet un parcours par ordre croissant Complexité temporelle de la recherche en O(h) 43
  47. 47. Recherche d’un élément 1 public static <E> boolean find (BinaryTree <E> T, E value) 2 { 3 return T.isInternal (search (T, T.root (), value)); 4 } 5 6 private static <E> Position <E> search (BinaryTree <E> T, Position <E> v, E e) 7 { 8 if (T.isExternal (v)) 9 { 10 return v; 11 } 12 13 if (e.compareTo (v.element ()) < 0) 14 { 15 return search (T, T.left (v), e); 16 } 17 else if (e.compareTo (v.element ()) > 0) 18 { 19 return search (T, T.right (v), e); 20 } 21 else 22 { 23 return v; 24 } 25 } 44
  48. 48. Autres arbres de recherche Arbre AVL (AVL Tree) Premier arbre binaire de recherche automatiquement équilibré Arbre splay (Splay Tree) Les éléments récemment accédés sont rapidement accessibles Arbre (2, 4) ((2, 4) Tree) Arbre général automatiquement équilibré Arbre rouge et noir (Red-Black Tree) Arbre binaire automatiquement équilibré 45
  49. 49. Crédits https://www.flickr.com/photos/127497725@N02/16695848708 https://www.flickr.com/photos/arenamontanus/14770259458 https://www.flickr.com/photos/tudor/295942966 46

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