Quad-expo-stats

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Résumé des notions essentielles sur les fonctions quadratiques et exponentielles ainsi que sur les statistiques en mathématique de secondaire 4 : technico-sciences.

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  1. 1. Résumés des chapitres 5 et 6 Cette section contient les notions essentielles pour comprendre les fonctions quadratiques et exponentielles ainsi que les statistiques. Pour changer de page, il vous suffit de cliquer à droite de la page pour avancer et à gauche pour reculer. Si vous téléchargez la présentation, vous devrez naviguer à l’aide des flèches de votre clavier. UQTR Hiver 2011
  2. 2. Qu’est-ce qui s’y trouve? Chapitre 5 : L’étude des fonctions quadratiques et exponentielles Références Chapitre 6 : La statistique UQTR Hiver 2011
  3. 3. La fonction quadratique, aussi appelée « fonction polynomiale de degré 2 », est une fonction dont la règle est un polynôme de degré 2 à une variable. La représentation graphique d’une fonction quadratique dont la règle est de la forme f(x) = a(bx)², où a et b n’égalent pas 0, est une parabole dont le sommet se situe à l’origine du plan cartésien. La fonction quadratique f(x) = 3(2x)² 48 -1 f(x) x 1 2 0 12 0 12 x y -2 48 (-2,48) (2,48) UQTR Hiver 2011
  4. 4. Afin de s’assurer que le modèle mathématique qui correspond à cette table de valeurs est une fonction quadratique, il suffit de vérifier que les accroissements des accroissements de la variable dépendante sont constants pour des accroissements constants de la variable indépendante. Dans l’exemple ci-dessous, pour des accroissements de +1 de la variable indépendante «x», les accroissements des accroissements de la variable dépendante sont constants (+24). 48 -1 f(x) x 1 2 0 12 0 12 -2 48 +1 +1 +1 +1 +36 +12 -12 -36 +24 +24 +24 La fonction quadratique UQTR Hiver 2011
  5. 5. Il existe une autre forme de la règle de la fonction quadratique de la forme f(x) = a(bx)². Il suffit d’appliquer la loi des exposants pour en arriver à une équation équivalente de la forme f(x) = ax². f(x) = 5(3x)² f(x) = 5(3²)(x²) f(x) = 5(9)(x²) f(x) = 45x² La fonction quadratique UQTR Hiver 2011
  6. 6. Le rôle des paramètres de la fonction quadratique <ul><li>Lorsque a < 0, la parabole est ouverte vers le bas. </li></ul><ul><li>Lorsque a > 0, la parabole est ouverte vers le haut. </li></ul>a > 0 a < 0 x y x y La fonction quadratique UQTR Hiver 2011
  7. 7. Le rôle des paramètres de la fonction quadratique <ul><li>Lorsque |a| > 1, la parabole est moins ouverte que lorsque a = 1. </li></ul>x y f(x) = x² g(x) = 2x² h(x) = 4x² h f g Si a < 0, les paraboles auront la même ouverture, mais elles seront orientées vers le bas. La fonction quadratique UQTR Hiver 2011
  8. 8. Le rôle des paramètres de la fonction quadratique <ul><li>Lorsque |a| < 1, la parabole est plus ouverte que lorsque a = 1. </li></ul>x y f(x) = x² g(x) = 0,5x² h(x) = 0,25x² h f g Si a < 0, les paraboles auront la même ouverture, mais elles seront orientées vers le bas. La fonction quadratique UQTR Hiver 2011
  9. 9. Il est possible de déterminer la règle d’une fonction quadratique de la forme f(x) = ax² à partir de sa table de valeurs. Voici les étapes : 1) Substituer les coordonnées d’un point de la table de valeurs à x et à f(x) dans la règle f(x) = ax². 2) Résoudre l’équation obtenue à l’étape 1 afin de déterminer la valeur de a. 3) Écrire la règle sous la forme f(x) = ax² avec la valeur de a déterminée à l’étape 2. Comment trouver la règle d’une fonction quadratique? La fonction quadratique UQTR Hiver 2011
  10. 10. 48 -1 f(x) x 1 2 0 12 0 12 -2 48 f(x) = ax² étape 1: 48 = a( -2 )² étape 2: 48 = 4a a = 12 étape 3: f(x) = 12x² Comment trouver la règle d’une fonction quadratique? * Il est possible de faire les mêmes étapes à partir d’un graphique dont on connaît un point autre que le sommet.* La fonction quadratique UQTR Hiver 2011
  11. 11. La fonction exponentielle est une fonction dont la variable indépendante (x) se trouve en exposant dans la règle f(x) = a(c) bx . C’est une courbe passant par le point (0, a) et dont l’assymptote est l’axe des abscisses. La fonction exponentielle f(x) = 3(2) x 1 f(x) x 3 2 24 12 6 x y 0 3 a : (0,3) UQTR Hiver 2011
  12. 12. Les fonctions exponentielles de la forme f(x) = a(c) bx peuvent aussi s’écrire sous la forme f(x) = a(c) x . Les lois des exposants permettent d’établir cette équivalence. La fonction exponentielle f(x) = 10(3) 2x f(x) = 10(3 2 ) x f(x) = 10(9) x UQTR Hiver 2011
  13. 13. Le rôle du paramètre a La fonction exponentielle f(x) = -1(2) x x y x y a > 0 a < 0 g(x) = -3(2) x h(x) = -0,5(2) x g(x) = 3(2) x f(x) = 1(2) x h(x) = 0,5(2) x L’ordonnée à l’origine du graphique est le point (0, a). UQTR Hiver 2011
  14. 14. Le rôle du paramètre c La fonction exponentielle f(x) = 2(0,5) x x y x y c > 1 0 < c < 1 h(x) = 2(0,75) x g(x) = 2(4) x f(x) = 2(3) x h(x) = 2(2) x La base c, lorsqu’elle est comprise entre 0 et 1, fait subir une réflexion à la courbe par rapport à l’axe des ordonnées. g(x) = 2(0,25) x UQTR Hiver 2011
  15. 15. La recherche de la règle d’une fonction exponentielle Il est possible de déterminer la règle d’une fonction exponentielle de la forme f(x) = a(c) x à partir d’une table de valeurs. La fonction exponentielle 60 2 f(x) x 4 5 3 80 40 20 1 10 +1 +1 +1 +1 x 2 x 2 x 2 x 2 1. c = = = = 2 f(x+1) f(x) f(3) f(2) 40 20 <ul><li>2. Remplacer « c » par la valeur déterminée </li></ul><ul><li>en 1 dans la règle f(x) = a(c) x . </li></ul><ul><li>Substituer les coordonnées d’un couple de la table de valeurs à x et f(x) dans la règle. </li></ul><ul><li>Résoudre l’équation afin de déterminer la valeur de a. </li></ul><ul><li>Écrire la règle sous la forme f(x) = a(c) x . </li></ul>UQTR Hiver 2011
  16. 16. Les mesures de dispersion des données Il y a deux méthodes qui nous permettent de vérifier la dispersion des données dans une distribution : l’écart moyen et l’écart type. Écart moyen : la moyenne des valeurs absolues des écarts à la moyenne de chacune des données de la distribution. Écart type : la racine carrée de la moyenne des carrés des écarts à la moyenne de chacune des données de la distribution. Plus l’écart type ou l’écart moyen est élevé, plus les données sont dispersées à l’intérieur de la distribution. La statistique UQTR Hiver 2011
  17. 17. Le calcul de l’écart moyen La statistique 3, 7, 11, 12, 17 1) Moyenne = 10 2) Écarts à la moyenne : |3-10| = 7, |7-10| = 3, |11-10| = 1 |12-10| = 2, |17-10| = 7 3) Moyenne des écarts à la moyenne : (7 + 3 + 1 + 2 + 7) ÷ 5 = 4 4) L’écart moyen est de 4. UQTR Hiver 2011
  18. 18. Le calcul de l’écart type La statistique 117, 132, 132, 141, 143 1) Moyenne = 133 UQTR Hiver 2011
  19. 19. Le nuage de points est une méthode de représentation des données qui permet d’observer s’il y a une corrélation (un lien) entre les deux caractères étudiés. Pour bien représenter une distribution à deux caractères, il importe de graduer les axes de façon à ce que l’étendue des valeurs de chacun des caractères soit représentée par une même longueur horizontale et verticale dans le plan cartésien. Lorsque le nuage de points représentant une distribution à deux caractères se rapproche d’une droite imaginaire, on dit qu’il existe une corrélation linéaire entre les deux caractères. La statistique UQTR Hiver 2011
  20. 20. La statistique Sens : positif Intensité : forte Sens : négatif Intensité : faible Sens : négatif Intensité : forte Sens : positif Intensité : faible UQTR Hiver 2011
  21. 21. <ul><li>La nature du lien entre deux variables </li></ul><ul><li>Causal : La variation d’un caractère influence directement l’autre caractère. </li></ul><ul><li>3 ème facteur : Les deux variables sont influencées par un 3 ème facteur. </li></ul><ul><li>Fortuit : Le lien entre les deux variables ne s’explique par aucune raison évidente. </li></ul><ul><li>* Quelques exemples à la p.23 du cahier de notes chapitre 6. * </li></ul>La statistique UQTR Hiver 2011
  22. 22. Le coefficient de corrélation linéaire Le coefficient de corrélation linéaire, noté « r », permet de quantifier la corrélation linéaire entre deux caractères. Le coefficient se situe dans l’intervalle [-1, 1]. Plus l’intensité est forte, plus le cofficient se rapprochera de 1 (sens du nuage positif) ou -1 (lorsque le sens est négatif). Plus l’intensité est faible, plus le coefficient sera près de 0. La statistique UQTR Hiver 2011
  23. 23. <ul><li>Approximation du coefficient de corrélation linéaire </li></ul><ul><li>On peut estimer la valeur du coefficient de corrélation linéaire (r) à </li></ul><ul><li>l’aide de la méthode du rectangle. </li></ul><ul><li>Encadrer tous les points du nuage de points en traçant le plus petit </li></ul><ul><li>rectangle possible. </li></ul><ul><li>Mesurer les dimensions du rectangle. </li></ul><ul><li>Déterminer le signe de « r » en fonction du sens de la corrélation. </li></ul><ul><li>Déterminer l’estimation de « r » avec la formule suivante : </li></ul>La statistique r = ± 1 - mesure du petit côté mesure du grand UQTR Hiver 2011
  24. 24. Approximation du coefficient de corrélation linéaire La statistique 28 mm 73 mm r = ± 1 - r = + 1 - mesure du petit côté mesure du grand 28 mm 73 mm r = 0,62 UQTR Hiver 2011
  25. 25. <ul><li>La droite de régression </li></ul><ul><li>Lorsque le nuage de points d’une distribution à deux caractères </li></ul><ul><li>présente une corrélation linéaire, la relation entre ces caractères peut </li></ul><ul><li>être modélisée par une droite. La droite qui s’ajuste le mieux à </li></ul><ul><li>l’ensemble des points est appelée «droite de régression». Il existe </li></ul><ul><li>plusieurs méthodes pour déterminer l’équation d’une telle droite, </li></ul><ul><li>mais nous en verrons seulement 2 : </li></ul><ul><li>La droite de Mayer </li></ul><ul><li>La droite médiane-médiane : méthode favorisée lorsqu’il y a une ou des données aberrantes. </li></ul>La statistique UQTR Hiver 2011
  26. 26. <ul><li>La droite de Mayer </li></ul><ul><li>Ordonner les données en ordre croissant selon la première variable. Pour deux valeurs égales de X, ordonner les valeurs de Y en ordre croissant. </li></ul><ul><li>Partager la distribution en deux groupes équipotents (même nombre de données). Si le nombre de données est impair, la donnée du centre est placée dans chacun des deux groupes. </li></ul><ul><li>Déterminer la moyenne des abscisses (x) et la moyenne des ordonnées (y) des points de chaque groupe. </li></ul><ul><li>Définir deux points, P1 et P2, dont les coordonnées sont les moyennes trouvées en 3. </li></ul><ul><li>Tracer le droite de Mayer qui passe par les points P1 et P2, et déterminer son équation. </li></ul>La statistique UQTR Hiver 2011
  27. 27. Déterminer l’équation de la droite de Mayer La statistique P1 ( 8 , 5 ) et P2 (20,5, 15,5) Taux de variation entre P1 et P2 : 15,5 - 5 10,5 20,5 - 8 12,5 Ordonnée à l’origine de la droite: y = 0,84x + b 5 = 0,84 · 8 + b 5 = 6,72 + b b = -1,72 L’équation de la droite de Mayer est : y = 0,84x – 1,72 = = 0,84 UQTR Hiver 2011
  28. 28. <ul><li>La droite médiane-médiane </li></ul><ul><li>Ordonner les données en ordre croissant selon la première variable. Pour deux valeurs égales de X, ordonner les valeurs de Y en ordre croissant. </li></ul><ul><li>Partager la distribution en trois groupes. Le premier et le troisième groupe doivent être équipotents. Les trois groupes doivent être le plus équipotents possible. </li></ul><ul><li>Déterminer la médiane des abscisses (x) et la moyenne des ordonnées (y) des points de chaque groupe. </li></ul><ul><li>Définir trois points, M1, M2 et M3, dont les coordonnées sont les médianes trouvées en 3. </li></ul><ul><li>Déterminer les coordonnées du point P, en faisant la moyenne de M1, M2 et M3. </li></ul><ul><li>Trouver l’équation de la droite médiane-médiane. </li></ul>La statistique UQTR Hiver 2011
  29. 29. Déterminer l’équation de la droite médiane-médiane La statistique M1 (6, 5), M2 (14, 8) et M3(22,17) Moyenne des X : 14 Moyenne des Y : 10 Taux de variation entre M1 et M3 : 17 - 5 12 22 - 6 16 Ordonnée à l’origine de la droite: y = 0,75x + b 10 = 0,75 · 14 + b 10 = 10,5 + b b = -0,5 L’équation de la droite de méd.-méd. est : y = 0,75x – 0,5 = = 0,75 UQTR Hiver 2011
  30. 30. Références <ul><li>Bernier, J-F., Boucher, C., Jacques, M., Marotte, L. & Rodrigue, V. (2010). Intersection, 2 ème cycle du secondaire, 2 ème année, manuel de l’élève B . Technico-sciences. Montréal: Chenelière Éducation inc. </li></ul><ul><li>Desraps, R., Bernier, J-F., Boucher, C., Jacques, M., Marotte, L. & Rodrigue, V. (2010). Intersection, 2 ème cycle du secondaire, 2 ème année, guide d’accompagnement pédagogique . Technico-sciences. Montréal: Chenelière Éducation inc. </li></ul>UQTR Hiver 2011

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