OPTIMALKAN

Matematika Aplikasi

Jilid 3

untuk

SMA dan MA Kelas XII
Program Studi Ilmu Alam

Pusat Perbukuan
Departemen Pendidikan Nasional

i
Daftar Isi

Hak Cipta pada Departemen Pendidikan Nasional
Dilindungi Undang-undang

Matematika Aplikasi
Jilid 3
Untuk SMA dan MA Kelas XII
Program Studi Ilmu Alam

Penulis : Pesta E. S.
Cecep Anwar H. F. S.
Penelaah : Drs. Suwarkono, M.Sc
Editor : Adi Setiyawan
Agus Tri Antoro
Perancang Kulit : Henry Nur Patria
Tata Letak : Riefmanto
Sri Sugiyarni
Ilustrasi : Andie Anakota
Ukuran Buku : 20,5 x 28 cm

510.07
PES PESTA E.S
m Matematika aplikasi : untuk SMA dan MA kelas XII program studi
ilmu alam/Pesta E>S, Cecep Anwar H. F .S ; editor Adi Setiyawan,
Agus Tri Antoro. — Jakarta : Pusat Perbukuan,
Departemen Pendidikan Nasional, 2008.
x, 194 hlm. : ilus. ; 28 Cm.

Bibliografi : hlm.190
Indeks
ISBN 979-462-948-0

1. Matematika-Studi dan Pengajaran I. Judul
II. Cecep Anwar H. F. S

Diterbitkan oleh Pusat Perbukuan
Departemen Pendidikan Nasional
Tahun 2008

Diperbanyak oleh ...

ii
ii
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam

KATA SAMBUTAN
Puji syukur kami panjatkan ke hadirat Allah SWT, berkat rahmat dan karunia-Nya, Pemerintah,
dalam hal ini, Departemen Pendidikan Nasional, pada tahun 2008, telah membeli hak cipta buku teks
pelajaran ini dari penulis/penerbit untuk disebarluaskan kepada masyarakat melalui situs internet (website)
Jaringan Pendidikan Nasional.
Buku teks pelajaran ini telah dinilai oleh Badan Standar Nasional Pendidikan dan telah ditetapkan
sebagai buku teks pelajaran yang memenuhi syarat kelayakan untuk digunakan dalam proses
pembelajaran melalui Peraturan Menteri Pendidikan Nasional Nomor 34 Tahun 2008.
Kami menyampaikan penghargaan yang setinggi-tingginya kepada para penulis/penerbit yang telah
berkenan mengalihkan hak cipta karyanya kepada Departemen Pendidikan Nasional untuk digunakan
secara luas oleh para siswa dan guru di seluruh Indonesia.
Buku-buku teks pelajaran yang telah dialihkan hak ciptanya kepada Departemen Pendidikan
Nasional ini, dapat diunduh (down load), digandakan, dicetak, dialihmediakan, atau difotokopi oleh
masyarakat. Namun, untuk penggandaan yang bersifat komersial harga penjualannya harus memenuhi
ketentuan yang ditetapkan oleh Pemerintah. Diharapkan bahwa buku teks pelajaran ini akan lebih
mudah diakses sehingga siswa dan guru di seluruh Indonesia maupun sekolah Indonesia yang berada
di luar negeri dapat memanfaatkan sumber belajar ini.
Kami berharap, semua pihak dapat mendukung kebijakan ini. Kepada para siswa kami ucapkan
selamat belajar dan manfaatkanlah buku ini sebaik-baiknya. Kami menyadari bahwa buku ini masih
perlu ditingkatkan mutunya. Oleh karena itu, saran dan kritik sangat kami harapkan.

Jakarta, Juli 2008
Kepala Pusat Perbukuan

iii
Kata Sambutan

KATA PENGANTAR
Upaya menyeluruh dari pemerintah untuk meningkatkan mutu pendidikan meliputi
aspek-aspek pengetahuan, keterampilan, sikap, dan nilai-nilai. Pengembangan aspek-
aspek tersebut dilakukan untuk meningkatkan dan mengembangkan kecakapan hidup
(life-skills) melalui seperangkat kompetensi agar siswa dapat bertahan hidup, menyesuaikan
diri, dan berhasil di masa datang.
Kebijakan pemerintah ini telah menyulut pemikiran penulis untuk ikut meningkatkan
mutu pendidikan. Upaya yang penulis lakukan adalah dengan menyusun perangkat
buku pelajaran Matematika Aplikasi untuk siswa Sekolah Menengah Atas (SMA) dan
Madrasah Aliyah (MA). Buku ini berbalur ungkapan santun dengan bahasa yang
komunikatif sehingga mudah dipahami oleh siswa. Selain itu, buku ini juga didukung
dengan tampilan tata letak yang baik, disain dan ilustrasi yang menarik dengan
memperhatikan tingkat pemahaman siswa.
Dengan mengusung pendekatan induktif-dedukatif konstruktif, konsep dalam buku
ini mengakar ke dalam pemikiran siswa karena pengenalan konsep-konsep ini disajikan
dengan memberikan masalah yang memiliki makna dalam kehidupan sehari-hari.
Kebermaknaan ini dapat dirasakan dari awal mempelajari setiap pelajaran dalam buku
ini.
Sebagai buku siswa, buku ini dilengkapi dengan bagian pelatihan yang terdiri atas
dua kelompok soal. Masing-masing diberi nama Asah Kompetensi dan Asah Kemampuan.
Bagian pelatihan ini dimaksudkan untuk mengukur penguasaan siswa terhadap konsep
yang diberikan.
Dalam buku ini, siswa juga dapat menemukan bagian pengayaan seperti Aktivitas di
Kelas yang berisi kegiatan untuk dilakukan oleh siswa, Sahabat Kita yang berisi informasi
tentang tokoh matematika, GameMath yang berisi pemainan matematika, dan Siapa
Berani yang berisi soal-soal menantang khusus diberikan bagi siswa penggemar matematika.
Terbitnya buku ini diharapkan seperti matahari yang mampu menjadi energi dan
penerang dalam pendidikan bangsa kita.
Buku ini masih jauh dari sempurna, kritik dan saran yang ada hubungannya dengan
penyempurnaan buku ini sangat penulis harapkan untuk perbaikan pada edisi berikutnya.

Jakarta, Juli 2008

Penulis

iv
iv

Pada setiap awal bab terdapat
tujuan pembelajaran untuk
mengetahui isi dan manfaat
Daftar simbol merupakan
setelah mempelajari bab
kumpulan simbol atau
tersebut dan diberikan juga
rotasi beserta penjelasan-
pengantar bab berupa uraian
nya yang dilengkapi nomor
singkat dan gambar yang
halaman kemunculannya.
berhubungan dengan kehidupan
sehari-hari.

Catatan disajikan berupa
informasi yang berguna
untuk memperjelas konsep
Ada Aktivitas di Kelas yang merupakan kegiatan di
Matematika.
mana kamu dapat mengembangkan keterampilan
dalam merencanakan melaksanakan dan
menyimpulkan aktivitas.

Sahabat Kita merupakan informasi latar belakang
Info Math disisipkan sebagai informasi untuk
matematikawan yang telah berjasa dengan mene-
membuka wawasan sehingga tidak buta terhadap
mukan berbagai macam teori yang sekarang ini
informasi Matematika dan perkembangan teknologi.
digunakan dan dirasakan manfaatnya.

Siapa Berani merupakan soal-soal yang
Asah Kompetensi digunakan untuk mengukur
menantang. Soal-soal ini khusus diberikan buat
kemampuan dalam menguasai materi yang telah
kamu yang gemar Matematika dan telah
dibahas.
memahami materi.

v
Apakah Keunggulan Buku Ini?

GameMath berisi soal berupa permainan Asah Kemampuan digunakan untuk menguji
matematika. Jawabannya dapat dicari dengan kamu dalam menyelesaikan soal-soal relatif
menggunakan logika sehingga dapat mengasah lebih sulit yang berkaitan dengan materi yang
logika dan cara berpikir kritis. telah dibahas.

Rangkuman disajikan di
akhir materi bab supaya Ulangan Bab disajikan
kamu dapat dengan untuk mengukur ke-
cepat mengingat kem- mampuan kamu dalam
bali materi-materi yang menguasai semua materi
telah dipelajari pada yang telah dibahas dalam
bab tersebut. bab tersebut.

Tugas Akhir digunakan untuk mengukur
kemampuan kamu mengingat dan
menguasai semua materi yang telah
dipelajari selama dua semester.

Glosarium disajikan untuk memahami istilah- Indeks merupakan kumpulan istilah penting yang
istilah penting yang disusun secara alfabetis dilengkapi dengan nomor halaman kemunculan
beserta penjelasannya. istilah dan disajikan secara alfabetis.

vi
vi

DAFTAR ISI
Kata Sambutan ...................................................................................................................... iii
Kata Pengantar ...................................................................................................................... iv
Apakah Keunggulan Buku Ini? ............................................................................................... v
Daftar Simbol ......................................................................................................................... ix

BAB 1 INTEGRAL ................................................................................................ 1

A. Pengertian Integral .................................................................................... 2
B. Integral Tak Tentu ...................................................................................... 4
C. Integral Tertentu ......................................................................................... 13
D. Menentukan Luas Daerah ......................................................................... 21
E. Menentukan Volume Benda Putar ............................................................ 26
Rangkuman ........................................................................................................ 31
Ulangan Bab 1 .................................................................................................. 33

BAB 2 PROGRAM LINEAR ................................................................................. 35

A. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel .......................................... 36
B. Model Matematika ...................................................................................... 39
C. Nilai Optimum Suatu Fungsi Objektif ....................................................... 41
Rangkuman ........................................................................................................ 47
Ulangan Bab 2 .................................................................................................. 48

BAB 3 MATRIKS .................................................................................................. 51

A. Pengertian Matriks ..................................................................................... 52
B. Operasi Hitung pada Matriks .................................................................... 57
C. Determinan dan Invers Matriks ................................................................. 69
D. Penerapan Matriks dalam Sistem Persamaan Linear ............................. 76
Rangkuman ........................................................................................................ 79
Ulangan Bab 3 .................................................................................................. 80

BAB 4 VEKTOR ................................................................................................... 83

A. Pengertian Vektor ...................................................................................... 84
B. Operasi pada Vektor ................................................................................. 89

vii
Daftar Isi

C. Perbandingan Vektor ................................................................................. 98
D. Perkalian Skalar Dua Vektor dan Proyeksi Vektor ................................... 100
Rangkuman ........................................................................................................ 104
Ulangan Bab 4 .................................................................................................. 107

BAB 5 BARISAN, DERET, DAN NOTASI SIGMA .............................................. 109

A. Barisan dan Deret Aritmetika ................................................................... 110
B. Barisan dan Deret Geometri .................................................................... 114
C. Notasi Sigma dan Induksi Matematika ..................................................... 120
D Aplikasi Barisan dan Deret ....................................................................... 124
Rangkuman ........................................................................................................ 127
Ulangan Bab 5 .................................................................................................. 129

BAB 6 TRANSFORMASI GEOMETRI ................................................................ 131

A. Translasi .................................................................................................... 132
B. Refleksi ...................................................................................................... 138
C. Rotasi ........................................................................................................ 146
D. Dilatasi ....................................................................................................... 151
E. Komposisi Transformasi dengan Matriks ................................................. 153
Rangkuman ........................................................................................................ 156
Ulangan Bab 6 .................................................................................................. 158

FUNGSI, PERSAMAAN, DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN DAN
BAB 7 LOGARITMA ............................................................................................. 161

A. Grafik Fungsi Eksponen dan Fungsi Logaritma ...................................... 162
B. Persamaan dan Pertidaksamaan Eksponen ............................................ 165
C. Persamaan dan Pertidaksamaan Logaritma ............................................ 173
Rangkuman ........................................................................................................ 179
Ulangan Bab 7 .................................................................................................. 181
Tugas Akhir ....................................................................................................... 184
Glosarium ........................................................................................................... 187
Pustaka Acuan ................................................................................................... 190
Kunci Jawaban .................................................................................................. 191
Indeks ................................................................................................................. 193

viii
viii

DAFTAR SIMBOL
Simbol Arti Halaman

+ Tanda penjumlahan, ditambah, plus 2, 36, 57, 90, 110, 133
− Tanda pengurangan, dikurang, 2, 36, 67, 85, 110, 133, 162
diambil, minus

= Sama dengan 2, 36, 67, 89, 110, 133, 162

×, ⋅ Tanda perkalian, dikali dengan 52, 137

:, ÷ Tanda pembagian, dibagi dengan 98
> Lebih besar dari 36, 116, 151, 162

< Lebih kecil dari 36, 116, 151, 162

≥ Lebih besar atau sama dengan 21, 37
≤ Lebih kecil atau sama dengan 22, 36

≠ Tidak sama dengan 71, 167

± Kurang lebih, plus minus 6, 116
xn
dy ( x ) dx a
f
a dibagi b, a per b 2, 111, 162
dx b

() Tanda kurung 4, 55, 85, 110, 132, 162

Akar kuadrat dari n 9, 85, 162
f (x) Fungsi x 2, 162

f ′(x) Turunan pertama dari fungsi f(x) 2
f (x, y) Fungsi objektif dari x dan y 40

Nilai mutlak x 28, 69, 89, 117

Turunan fungsi y terhadap x 4

Integral fungsi f(x) terhadap dx 4

c Konstanta 4

[a, b] Interval, selang tertutup a sampai b 4
Rata-rata, mean 26
x
∑ Notasi sigma 14, 120

ix
Daftar Isi
Simbol

Simbol Arti Halaman

Un Suku ke-n 110
Sn Jumlah n suku yang pertama 111

S∝ Jumlah suku tak terhingga 116

sin x Sinus x 5, 146
cos x Cosinus x 5, 146

tan x Tangen x 5, 150
sec x Secan x 9

lim f ( x ) Limit x mendekati dari f(x) 14
x a

Ai Matriks dengan i baris dan j kolom 53
×j

At Transpos dari A 54
A′ Bayangan pertama dari A 133

A′′ Bayangan kedua dari A 142

A′′′ Bayangan ketiga dari A 142

A Determinan A 71

A−1 Invers dari A 71

Vektor bawah dari A ke B 84
T2 ο T1 Komposisi transformasi T1 133
dilanjutkan dengan T2
log x Logaritma dari x 162

x
x

B
A
Integral B

1
A. Pengertian Integral

B. Integral Tak Tentu

C. Integral Tertentu

D. Menentukan Luas Daerah

E. Menentukan Volume
Benda Putar

Sumber: www.wallpaperbase.com

Pernahkah kalian melihat baling-baling pesawat? Bagaimanakah
bentuknya? Ketika pesawat hendak mengudara, baling-baling
pesawat akan berputar dengan kecepatan tinggi. Bagaimanakah
bentuk baling-baling itu saat berputar? Saat baling-baling berputar,
kalian akan mengamati sebuah bentuk seperti lingkaran. Dapatkah
kalian mengetahui luas lingkaran yang terbentuk dari perputaran
baling-baling itu? Dengan menggunakan integral, kalian akan dapat
mengetahuinya.

1
Bab 1 Integral

A. Pengertian Integral
Di Kelas XI, kalian telah mempelajari konsep turunan. Pemahaman
tentang konsep turunan ini dapat kalian gunakan untuk memahami
konsep integral. Untuk itu, coba tentukan turunan fungsi-fungsi berikut.
• f1(x) 3x3 3
• f2(x) 3x3 7
• f3(x) 3x 1
3

• f4(x) 3x3 10
• f5(x) 3x3 99
Perhatikan bahwa fungsi-fungsi tersebut memiliki bentuk umum
f(x) 3x3 c, dengan c suatu konstanta. Setiap fungsi ini memiliki turunan
f (x) 9x2.
Jadi, turunan fungsi f(x) 3x3 c adalah f (x) 9x2.
Sekarang, bagaimana jika kalian harus menentukan fungsi f(x) dari
f (x) yang diketahui? Menentukan fungsi f(x) dari f (x), berarti menentukan
antiturunan dari f (x). Sehingga, integral merupakan antiturunan
(antidiferensial) atau operasi invers terhadap diferensial.

Jika F(x) adalah fungsi umum yang bersifat F (x) f(x), maka F(x)
merupakan antiturunan atau integral dari f(x).

Pengintegralan fungsi f(x) terhadap x dinotasikan sebagai berikut.
f(x) dx F(x) c
dengan:
notasi integral (yang diperkenalkan oleh Leibniz, seorang
matematikawan Jerman)
f(x) fungsi integran
F(x) fungsi integral umum yang bersifat F (x) f(x)
c konstanta pengintegralan

Sekarang, perhatikan turunan fungsi-fungsi berikut.
• g1(x) x, didapat g1 (x) 1.
Jadi, jika g1 (x) 1 maka g1(x) g1 (x) dx x c 1.
12
• g2(x) x , didapat g2 (x) x.
2
12
Jadi, jika g2 (x) x maka g2(x) g2 (x) dx x c 2.
2
13
• g3(x) x , didapat g3 (x) x2.
3
13
Jadi, jika g3 (x) x2 maka g3(x) g3 (x) dx x c 3.
3
16
• g4(x) x , didapat g4 (x) x5 .
6
16
Jadi, jika g4 (x) x5 maka g4(x) g4 (x) dx x c 4.
6
2
2

1
Dari uraian ini, tampak bahwa jika g‘(x) xn, maka g(x) c atau
xn 1

n 1
1
x n dx xn 1
dapat dituliskan 1.
c, n
n 1
Sebagai contoh, turunan fungsi f(x) 3x3 c adalah f (x) 9x2.
Ini berarti, antiturunan dari f (x) 9x2 adalah f(x) 3x3 c atau dituliskan
f ‘(x) dx 3x2 c.
Uraian ini menggambarkan hubungan berikut.

1
xn 1
Jika f ‘(x) xn, maka f(x) c, n 1 dengan c suatu
n1
konstanta

Contoh
1. Tentukanlah turunan dari setiap fungsi berikut!
13
a. f(x) 5x2 10 c. f(x) x 2x
2
13
14 12
b. f(x) 2x3 3x2 4x 5 d. f(x) x x x 1
3
4 2
Jawab:
a. f ’(x) (2 5)x2 0 10x
1

b. f ’(x) (3 2)x3 (2 3)x2 (1 4)x1 0
1 1 1

6x2 6x 4
13
c. f ’(x) 3 x (1 2)x1
1 1
2
32
x 2
2
13
14 12
d. f ’(x) x x x 0
3
4 2
1 1 1
3
4 2
x3 x2 x

2. Tentukanlah antiturunan x jika diketahui:
a. g1 (x) x3 c. g3 (x) 3x4 2x
1
b. g 2 (x) 2x6 3 d. g4 (x) x2 4x
2
Jawab:
14
1 x3 1
a. g 1(x) x c
31 4
2 3 27
x0 1
x6 1
b. g 2(x) x 3x c
61 0 1 7
35
35 22
3 2
x2
x c
c. g 3(x) x4 1
x1 1
x x
c
5
5 2
4 1 1 1

3
Bab 1 Integral

1
1 4 2
2 1 1 1
d. g 4(x) x x c
0 1x 0
21 11 1
13 42 11
x x x c
3 2 2

13 1
2x2
x x c
3 2

B. Integral Tak Tentu
Pada bagian sebelumnya, kalian telah mengetahui bahwa integral
merupakan antiturunan. Jadi, apabila terdapat fungsi F(x) yang dapat
d(F( x ))
didiferensialkan pada interval a , b sedemikian hingga f(x),
dx
maka antiturunan dari f(x) adalah F(x) c.
Secara matematis, ditulis
F(x) c
f ( x ) dx

di mana dx Lambang integral yang menyatakan operasi antiturunan
f(x) Fungsi integran, yaitu fungsi yang dicari antiturunannya
c Konstanta
Sebagai contoh, dapat kalian tuliskan
x3
x 2 dx c
3
karena
d x3
x2
c
dx 3
Sehingga kalian dapat memandang integral tak tentu sebagai
wakil keseluruhan keluarga fungsi (satu antiturunan untuk setiap nilai
konstanta c). Pengertian tersebut dapat digunakan untuk membuktikan
teorema- teorema berikut yang akan membantu dalam pengerjaan hitung
integral.

Teorema 1
1n 1
x
1, maka x n dx
Jika n bilangan rasional dan n c di mana
n1
c adalah konstanta.

Teorema 2

Jika f fungsi yang terintegralkan dan k suatu konstanta, maka
k f ( x ) dx
kf ( x ) dx

4
4

Teorema 3

Jika f dan g fungsi-fungsi yang terintegralkan, maka
( f ( x ) g( x )) dx f ( x )dx g( x ) dx

Teorema 4

Jika f dan g fungsi-fungsi yang terintegralkan, maka
( f ( x ) g( x )) dx f ( x ) dx g( x ) dx

Teorema 5

Aturan integral substitusi
Jika u suatu fungsi yang dapat didiferensialkan dan r suatu bilangan
1
r
( u( x ))r 1
rasional tak nol, maka ( u( x )) u ( x ) dx c, di mana c
r1
adalah konstanta dan r 1.

Teorema 6

Aturan integral parsial
Jika u dan v fungsi-fungsi yang dapat didiferensialkan, maka
u dv uv v du

Teorema 7
Aturan integral trigonometri
• cos x dx sin x c

• sin x dx cos x c

1
dx tan x c
• cos 2 x
di mana c adalah konstanta

5
Bab 1 Integral

Pembuktian Teorema 1
1
Untuk membuktikan Teorema 1, kalian dapat mendiferensialkan
xn 1 c yang terdapat pada ruas kanan seperti berikut.
1
dn 1
. . . kalikan kedua ruas dengan
(x c) (n 1)xn
n 1
dx

1 d n1 1
1 xn
x c n
n 1 dx n 1
d xn 1
xn
c
dx n 1

1
x n dx xn 1
Sehingga c
n 1

Pembuktian Teorema 3 dan 4

Untuk membuktikan Teorema 4, kalian dapat mendiferensialkan
g( x ) dx yang terdapat pada ruas kanan seperti berikut.
f ( x ) dx
d d d
f ( x ) dx g( x ) dx f ( x ) dx g( x ) dx fx gx
dx dx dx
d
f ( x ) dx g( x ) dx f ( x ) g( x )
dx
Sehingga didapat:
( f ( x ) g( x )) dx f ( x ) dx g( x ) dx

Contoh
(3x 2 3x 7) dx!
Hitunglah integral dari
Jawab:
(3x 2 3 x 2 dx 3 x dx (Teorema 2, 3, dan 4)
3x 7) dx 7 dx

3 x2 3 x1 (Teorema 1)
7x c
2 1 1 1
32
x3 7x
x c
2
32
Jadi, (3x 2 x3
3x 7) dx x 7 x c.
2

6
6


Di kelas XI, kalian telah mengetahui turunan hasil kali dua fungsi
d
f(x) u(x) v(x) adalah
u( x )v( x ) u x v x v x u x
dx
Akan dibuktikan aturan integral parsial dengan rumus tersebut.
Caranya adalah dengan mengintegralkan kedua ruas persamaan
seperti berikut.
d ux vx ux v x dx v x u x dx
dx
ux vx u x v x dx v x u x dx

u x v x dx ux vx v x u x dx

Karena
v (x) dx dv dan u’(x) dx du
Maka persamaan dapat ditulis
u dv uv v du

B. 1. Aturan Integral Substitusi
Aturan integral substitusi seperti yang tertulis di Teorema 5. Aturan
ini digunakan untuk memecahkan masalah pengintegralan yang tidak dapat
diselesaikan dengan rumus-rumus dasar yang sudah dipelajari. Untuk lebih
jelasnya, perhatikan contoh berikut ini.

Contoh
Hitunglah integral dari:
x
sin x dx
x 9 x 2 dx 4dx
a. b. c.
1 2x2
x

Jawab:
a. Misalkan u 9 x2, maka du 2x dx

du
x dx
2
1 1
u 2 du
x 2 dx x2 2x
x9 9 dx
2
3
1
2u 2
1 u 2 du 1 c
2 2 3
1 2 1u u
2
u3 c c
2 3 3
19 x2 x2
9 c
3

1 9 x2
x 9 x 2 dx 9 x2 c.
Jadi,
3

7
Bab 1 Integral

1
x x2
b. Misalkan u
1
du 12 1
x
dx 2 2x
dx 2 x du, sehingga
sin x sin u
dx 2 x du
x x
2 sin u du
2 cos u c
2 cos x c

c. Misalkan u 1 2x2, maka du 4x dx
du
dx
4x
sehingga integral tersebut dapat ditulis sebagai berikut.
x x du
dx (Teorema 5)
4
u4 ( 4x )
2
1 2x
1
u 4 du
4
1 1 3
u c
4 3
1
u c
3
12
Substitusi u 1 2x2 ke persamaan 12u c
3

x 1
dx u3 c
4
12
2
1 2x
1
(1 2x2 ) c
3
12
1
x 1
c.
dx
Jadi, (1 2x2 ) c
3
2 x 2 )3
2 x 2 )4 12 12(1
(1


Di Kelas XI, kalian telah mempelajari turunan fungsi trigonometri,
d
d d
yaitu (sin x) cos x, (cos x) sin x, dan (tan x) sec2x.
dx
dx dx
Berikut ini akan dibuktikan aturan integral trigonometri
menggunakan rumus tersebut. Caranya adalah dengan
mengintegralkan kedua ruas seperti berikut.
d
cos x diperoleh cos x dx
• Dari (sin x) sin x c
dx
d
sin x diperoleh sin x dx
• Dari (cos x) cos x c
dx
d
sec 2 x
• Dari (tan x) sec2x diperoleh tan x c
dx

8
8

B. 2. Integral dengan Bentuk a2 x 2 , a2 x 2 , dan x 2 a2

Pengintegralan bentuk-bentuk a 2 x 2 , a 2 x 2 , dan x 2 a 2 dapat
dilakukan dengan menggunakan subtisusi dengan x a sin t, x a tan t ,
x a sec t. Sehingga diperoleh bentuk-bentuk seperti ini.

Ingat
a2 a 2 sin 2 t a2 1 sin 2 t
a2 x2
cos (ax b) dx
2 2 1 sin (ax b)
a cos t a cos t c
a
sin (ax b) dx
2 2 2 2 2 2 2
a x a a tan t a 1 tan t 1 cos (ax b) c
a
2
sec (ax b) dx
a 2 sec 2 t a sec t 1 tan (ax b) c
a

x2 a2 a 2 sec 2 t a2 a 2 sec 2 t 1

a2 tan 2 t a tan t

x2 a2
a x
x x
2 2
x a
t
t t
a
a
a2 x2
(i) (ii) (iii)

Gambar 1.1
Segitiga siku-siku untuk integral substitusi trigonometri:
a sec t , (iii)
a2 x2 a2 x2 x2 a2
(i) a cos t , (ii) a tan t

Contoh
1. Hitunglah setiap integral berikut!
sin (3x 1) cos (3x 1) dx
a.
x2
b. dx
9 x2
Jawab:
a. Untuk mengerjakan integral ini, terlebih dahulu kalian harus
mengubah sin (3x 1) cos (3x 1) ke dalam rumus trigonometri
sudut rangkap, yaitu

9
Bab 1 Integral

1
sin cos sin 2 .
2
Dengan rumus ini, kalian mendapatkan:
1
sin (3x 1) cos (3x 1) dx sin (6x 2) dx
2
1
sin (6x 2) dx
2
1 1
cos (6 x c
2)
2 6
1
cos (6 x 2) c
12
1 cos 6 x
sin 3x 1 cos 3x 1 dx 2 c
Jadi,
12
x
b. Misalkan, x 3 sin t, maka sin t dan dx 3 cos t dt.
3
Sekarang, perhatikan segitiga berikut ini!
Dari segitiga di samping,

9 x2 3
cos t
3 x
3 cos t
9 x2
t
x2 2
(3 sin t ) 2
9x
dx 3 cos t dt
9 x2 3 cos t
Ingat, rumus kosinus sudut rangkap
9 sin 2 t cos 2t 1 2 sin2 t
Ingat
a 1
(1 cos 2t ) dt
2
Integral bentuk:
a2 x 2 diubah x2
• 9
dx (1 cos 2t ) dt
menjadi x a sin t 2
9x 2
a2 x 2 diubah
•
9 1
t sin 2t c
menjadi x a tan t
2 2
x2 a 2 diubah
•
9 9
t sin 2t c
menjadi x a sec t
2 4
9 9
t sin t cos t c
2 2

9 x2
9 9x
x
sin 1 c
2 3 23 3

9 x x
1
9 x2 c
sin
2 3 2

x2 x x9
9 sin 1
x2
dx c
Jadi,
2 3 2
2
x
9

10
10

2. Jika g’(x) 2x 3 dan g(2) 1, tentukanlah g(x).
Jawab:
g(x) g '( x ) dx

(2 x 3) dx
x2 3x c
Karena g(2) 1, maka c dapat ditentukan sebagai berikut.
g(x) x2 3x c
g(2) 22 3 2 c
146c
1 2c
c12
c3
Jadi, g(x) x2 3x 3
3. Tentukan persamaan kurva yang melalui titik ( 2, 12) dan
dy
memiliki persamaan gradien garis singgung 6 x 15 .
dx
Jawab:
dy
6x 15
dx

y 3x2 15x c
(6 x 15) dx
f(x) 3x 15x c
2

Karena kurva melalui titik ( 2, 12), maka:
f( 2) 3( 2)2 15( 2) c
12 3 4 30 c
12 12 30 c
12 42 c
c 12 42
c 30
Jadi, persamaan kurva tersebut adalah f(x) 3x2 15x 30.

1
Asah Kompetensi
1. Hitunglah setiap integral berikut!
1
( x4 2x3 3) dx
2x 3 dx
a. c.
4
1
(5x 3 10x 2 3x ) dx
(4 x 2
b. d.
3x 5) dx
4
2. Jika g’(x) 4x 5 dan g(3) 6, tentukanlah g(x).
3. Tentukanlah persamaan kurva yang melalui titik (1, 2) dan memiliki gradien garis singgung
dy
x 3.
dx

11
Bab 1 Integral

1 ASAH KEMAMPUAN
Waktu : 90 menit
1. Tentukanlah integral berikut! Bobot soal: 30
4)3
(x
2
dx
a. i.
x dx 3
x
2
1 1
(5x 4 ) dx
b. j. 1 dx
2
x x
1
dx
(18x 8 25x 4 3x 2 ) dx
c. k. 3
x1 x
4x 6 3x 5 8
dx ( x 2) x 2
d. l. 4x 1 dx
x5
4 3
) dx
(
e. m. x 4x 1 dx
x5 x4
(x3 x2 1 x
f. n.
x ) dx dx

g. o. ( 2 x 4)dx
3x 2 dx

x2 (x3 5)9 dx
h.

2. Tentukanlah setiap integral berikut! Bobot soal: 30
sin x cos 8x
a. (sin x cos x ) dx dx
f. cos 6 x sin 8x
4

(x 2
b. 2 sin x ) dx g. (8 sin 9 x cos 3x 6 sin 9 x sin 3x ) dx
sin x cos 2 x dx
c. (sin 5 x 2 )( x cos x 2 ) dx
h.
d. (3 sin x 4 cos x ) dx (x 2 1)3 x sin 3 ( x 2 1)4 cos( x 2 1)4 dx
i.
e. sin 5x sin 4 x dx j. (2 x 1)sin 3x dx

3. Tentukanlah fungsi g(t), jika diketahui: Bobot soal: 20
a. g‘(t) 7 dan g(0) 0
b. g‘(t) 3t2 8t 1 dan g(2) 5
c. g‘(t) 6t2 4t 1 dan g(1) 5
1
1
d. g‘(t) t 2 dan g(2) 4
2
t
1
1
e. g‘(t) dan g(4) 3
t
3
t
1
f. g‘(t) dan g(3) 18
t1
1
g. g‘(t) 2t 1 dan g( ) 1
2
h. g‘(t) 3 t dan g(4) 19 UMPTN 1994

12
12

4. Tentukanlah persamaan kurva yang melalui titik (2, 8) dan memiliki Bobot soal: 10
1
dy
2x
persamaan gradien garis singgung .
x2
dx
5. Tentukanlah persamaan kurva yang melalui titik (1, 2) dan gradien Bobot soal: 10
garis singgung pada sebarang titiknya adalah setengah koordinat-y.

C. Integral Tertentu
C. 1. Memahami Luas Sebagai Limit Suatu Jumlah
Sebelumnya kalian telah mempelajari grafik fungsi kuadrat. Daerah
grafik fungsi kuadrat berupa garis lengkung. Berapakah luas daerah yang
batas-batasnya berupa garis lengkung ini? Untuk mengetahui, lakukanlah
aktivitas berikut.

A K
ktivitas di elas
x2 pada interval 0, 3 .
1. Gambarlah grafik fungsi kuadrat, misalnya f(x) 9
3
2. Bagi selang menjadi n selang bagian yang lebarnya masing-masing x , memakai titik-
n
titik x0 0 x1 x2 … xn 1 xn 3.
3. Buat persegi panjang-persegi panjang yang alasnya x dan tingginya f(xi). Tentukan pula
luas setiap persegi panjang tersebut!
4. Jumlahkan luas setiap persegi panjang tersebut!
5. Dengan memilih x sekecil-kecilnya hingga mendekati nol, hitunglah limit jumlah dari
hasil pada langkah 4. Hasil yang kalian dapatkan menunjukkan luas daerah yang dibatasi
kurva f(x) 9 x2, sumbu-x, garis x 0, dan x 3.
6. Buatlah kesimpulannya dan diskusikan kesimpulan tersebut dengan teman-temanmu!

y
Dari Aktivitas ini, kalian memperoleh daerah yang akan ditentukan
luasnya. f(x) 9 x2
9
Setelah membagi interval 0, 3 menjadi n selang bagian yang lebarnya
3
masing-masing x , kalian memperoleh:
n
x0 0
3
x1 x
n
6
x2 2x x
n
x
x0 O x1 x3 3
9
x3 3x
n

Gambar 1.2
3i Daerah yang dibagi
xi ix
menjadi n selang bagian
n

13
Bab 1 Integral

Luas setiap persegi panjang pada gambar tersebut adalah:
2
3i 3 3i 3 27 27 2
f (xi ) x f i
9
n3
n n n n n

Luas seluruh persegi panjang adalah sebagai berikut.
L f(x1) x f(x2) x ... f(xn) x ……(*)
27 27 12 27 27 2 2 27 27 n2
n3 n3 n3
n n n

n. 27 12 22 n2
...
3
n n
27 n n 1 2 n 1 9 3 1 9 3 1
27 27 2 18
n3 n2 n2
6 2 2
n n
Dengan memilih x 0 maka n , sehingga akan diperoleh luas daerah
yang dibatasi kurva f(x) 9 x2, sumbu-x, garis x 0, dan x 3 sebagai
berikut.
93 1
L(R) lim 18 18
n2
2n
n

Sekarang, perhatikan kembali persamaan berikut.
L(Rn) f(x1) x f(x2) x … f(xn) x
Dengan menggunakan notasi sigma, kalian dapat menuliskan persamaan
tersebut sebagai berikut.
n
L(Rn ) f ( xi ) x
i1

Jika x 0, maka akan diperoleh
n
L(Rn ) lim f ( xi ) x
x 0
i1

Dengan mengambil batas daerah x1 a dan x2 b, maka bentuk di atas
merupakan suatu bentuk integral tertentu yang dituliskan sebagai
b

L f ( x ) dx
a

3
3
13
(9 x 2 ) dx
Sehingga diperoleh 18.
9x 27 9
x
3 0
0

b

Jika fungsi f terdefinisi pada interval [a, b], maka f ( x ) dx adalah integral
a

tertentu terhadap fungsi f dari a ke b. Pengintegralannya dituliskan sebagai
berikut.
b
b
f ( x ) dx fx Fb Fa
a
a
dengan:
f(x) fungsi integran
a batas bawah
b batas atas

14
14

b

Sehingga kalian harus dapat membedakan bahwa integral tertentu f ( x ) dx
a

adalah bilangan, sedangkan integral tak tentu yang dibahas sebelumnya
adalah fungsi.

2
Asah Kompetensi
Gambarlah daerah dari integral tertentu berikut. Kemudian, hitunglah integral tersebut!
1 2
5x dx
1. 4. sin x dx
0 0
3
1
x dx
2. 5.
( x 1) dx
3
2
3
cos 2 x dx
3. 6.
x 2 dx
0
0

Sahabat Kita
Siapakah orang yang pertama kali menemukan integral tertentu? Dia
adalah George Friedrich Bernhard Riemann, seorang Matematikawan
asal Jerman yang lahir pada tahun 1826. Riemann menjelaskan
integral tertentu dengan menggunakan luas daerah yang dihitungnya
menggunakan poligon dalam dan poligon luar. Untuk mengenang
jasanya, integral tertentu tersebut dinamakan integral Riemann.
Riemann meninggal pada tahun 1866.
Sumber:
http://www-groups.dcs.st-
and.ac.uk
Sumber: Calculus and Geometry Analitic
Gambar 1.3 Riemann

C. 2. Teorema Dasar Kalkulus
Berdasarkan definisi integral tertentu, maka dapat diturunkan suatu
teorema yang disebut dengan Teorema Dasar Kalkulus.

Jika f kontinu pada interval a, b dan andaikan F sembarang
b

antiturunan dari f pada interval tersebut, maka F(b) F(a).
f ( x ) dx
a

Dalam pengerjaan hitung integral tertentu ini akan lebih mudah jika kalian
menggunakan teorema-teorema berikut.

15
Bab 1 Integral

Teorema 1
Kelinearan
Jika f dan g terintegralkan pada interval [a, b] dan k suatu konstanta,
maka
b
b

k f ( x ) dx
a. kf ( x ) dx
a
a

b
b b

b. g( x ) dx
( f ( x ) g( x )) dx f ( x ) dx
a
a a

b b b

c. ( f ( x ) g( x )) dx f ( x ) dx g( x ) dx
a a a

Teorema 2

Perubahan batas
Jika f terintegralkan pada interval [a, b] maka:
a a b
a. 0 b.
f ( x ) dx f ( x ) dx f (x) dx
a b a

Teorema 3
Teorema penambahan interval
Jika f terintegralkan pada suatu interval yang memuat tiga titik a, b, dan c,
maka
c b c
f ( x ) dx f ( x ) dx f ( x ) dx
a a b

Teorema 4
Kesimetrian
a a

a. Jika f fungsi genap, maka f ( x ) dx 2 f ( x ) dx
a 0
a
f ( x ) dx
b. Jika f fungsi ganjil, maka 0
a

16
16

Akan dibuktikan teorema 1a dan 1c, teorema 2b, dan teorema 3.

Pembuktian Teorema 1a

1a. Jika F(x) sembarang antiturunan dari f(x), maka
b
b
kF( x )
kf ( x ) dx a
a

kF(b) kF(a)
k(F(b) F(a))
b

k f ( x ) dx
a

b b
Jadi, kf ( x ) dx k f ( x ) dx
a a

Pembuktian Teorema 1b dan 1c

1b. Jika F(x) dan G(x) masing-masing sembarang antiturunan dari
f(x) dan g(x), maka
b
b
F( x ) G( x )
( f ( x ) g( x )) dx
a
a
(F(b) G(b)) (F(a) G(a))

(F(b) F(a)) (G(b) G(a))
b b
f ( x ) dx g( x ) dx
a a

b b b

Jadi, ( f ( x ) g( x )) dx f ( x ) dx g( x ) dx .
a a a

Pembuktian Teorema 2b 1

2b. Jika F(x) sembarang antiturunan dari f(x), maka
b
b
f ( x ) dx Fx a
a

F(b) F(a)
(F(a) F(b))
a
f ( x ) dx
b

b a
f (x) dx f ( x) dx .
Jadi,
a b

17
Bab 1 Integral

Pembuktian Teorema 3 1

Jika F(x) sembarang antiturunan dari f(x), maka
c
f ( x) dx [ F ( x)]c
a
a
F(c) F(a)
(F(c) F(b)) (F(b) F(a))
c b
f ( x ) dx f ( x ) dx
b a

c c b b c

Jadi, f ( x ) dx .
f ( x ) dx f ( x ) dx f ( x ) dx f ( x ) dx
a b a a b

Contoh
6
1. Hitunglah (sin 3x cos x ) dx .
0
Jawab:
6 6 6
sin 3x cos x dx sin 3x dx cos x dx (Teorema 1b)
0 0 0

1 6
cos 3x sin x 6
3 0
0

1
cos cos 0 sin sin 0
3 2 6
1 1
1
3 2
5
6
6
5
Jadi, .
(sin 3x cos x ) dx
6
0

1

2. Tentukan x 2 dx .
1

Jawab:
Oleh karena untuk f(x) x2, berlaku f( x) f(x), maka f(x) x2
merupakan fungsi genap.
Dengan menggunakan Teorema 4, akan diperoleh:
1 1
x 2 dx 2 x 2 dx
1 0

1
13
2 x
3 0

18
18

23
(1 0 3)
3
2
3
1
2
x 2 dx
Jadi, .
3
1

4
f ( x ) dx jika fungsi f didefinisikan sebagai
3. Tentukanlah
0

x 2, jika 0 x 2
f(x) 1 , jika x 2

Jawab:
2 4
4
f ( x ) dx f ( x ) dx
f ( x ) dx (Teorema 3)
0 2
0
2 4
( x 2) dx 1 dx
0 2
2
12 4
x 2x x2
2 0

12 1
( 2 2 2) ( 0 2 2 0) 42
2 2
2 4 2
8
4
f ( x ) dx
Jadi, 8.
0

3
Asah Kompetensi
1. Tentukanlah integral tertentu berikut ini!
5 1
x2 7x 6
2x dx
a. e.
x 1
1 0
5
2
3x 2
b. f. 5x
(4 x 3 cos x ) dx
0 0
100 2
x 5 dx
c. g. (cos x sin x ) dx
100

2 6
3
d. h.
1)3 dx cos(3x ) dx
(2 x
4
0 0

19
Bab 1 Integral

5
2. Dari fungsi f(x) berikut, hitunglah f ( x ) dx
0
x 2, jika 0 x 2
fx
a. x , jika 2 x
6 5

x 2 , jika 3
4 x 4
b. fx
2 , jika 4 x 10

x 2 , jika 0
9 x 3
fx
c. 5x , jika x 3

2 ASAH KEMAMPUAN
Waktu : 60 menit
1. Tentukanlah integral tertentu berikut! Bobot soal: 80
2 0
a. e.
4t 6t 2 dt 3x 2 x 3 1 dx
1 1

8 1 4 4
(x 3 x 3 ) dx
b. f. (sin 3 2 x cos 2 x ) dx
1 0

4
1 cos x dx
(2 x 1) x x 2 dx
c. g.
0
2

3
1 4
dt
d. h. tan 4 x dx
(t 2)2
1 0

1 1
2. Jika 4 dan 2 , hitunglah integral-integral
f ( x ) dx g( x ) dx Bobot soal: 10
0 0

berikut!
1
1
(2 g( x ) 3 f ( x )) dx
a. d.
3 f ( x ) dx
0
0
0
1
(2 f ( x ) 3x 2 ) dx
b. e.
( f ( x ) g( x )) dx
1
0

1

c. (3 f ( x ) 2 g( x ) 2) dx
0

20
20

3. Diketahui f merupakan fungsi ganjil dan g merupakan fungsi genap Bobot soal: 10
1 1
f ( x ) dx g( x ) dx 3 . Tentukanlah integral-integral berikut!
dengan
0 0
1

a. f ( x ) dx
1

1

b. g( x ) dx
1

1

c. f ( x ) dx
1

D. Menentukan Luas Daerah

D. 1. Menentukan Luas Daerah di Atas Sumbu-x
Pada subbab c kalian telah mengetahui bahwa luas merupakan limit
suatu jumlah, yang kemudian dapat dinyatakan sebagai integral tertentu.
Pada subbab ini, akan dikembangkan pemahaman untuk menentukan luas
daerah yang dibatasi oleh beberapa kurva.
Misalkan R daerah yang dibatasi oleh kurva y f(x), sumbu-x, garis
x a, dan garis x b, dengan f(x) 0 pada [a, b], maka luas daerah R
adalah sebagai berikut.
b

L(R) f ( x )dx
a

y

y = f(x)

R
L(R)

x
O a b

Gambar 1.4
Luas daerah di atas sumbu-x

21
Bab 1 Integral

Contoh
Tentukanlah luas daerah yang dibatasi oleh y
kurva f(x) 4 x2, sumbu-x, garis x 0, dan
4
x 1. x=1

Jawab:
Daerah tersebut adalah daerah R. Luas R
daerah R adalah:
f(x) = 4 x2
1
2
x
L(R) (4 x ) dx O 1 2
2 1
0
1
13
4x x
3 0

13
(4 1 1 0)
3
2
3
3
2
Jadi, luas daerah R adalah 3 satuan luas.
3

D. 2. Menentukan Luas Daerah di Bawah Sumbu-x
Misalnya S daerah yang dibatasi oleh kurva y f(x), sumbu-x, garis
x a, dan garis x b, dengan f(x) 0 pada [a, b], seperti yang telah dibahas
di subbab D.1, maka luas daerah S adalah

b
f ( x ) dx
L(S)
a

y

a b
x
O

S

y = f(x)

Gambar 1.5
Luas daerah di bawah sumbu x

22
22

OPTIMALKAN

Recommandé

Recommandé

Contenu connexe

Tendances

Tendances (12)

Similaire à OPTIMALKAN

Similaire à OPTIMALKAN (20)

Plus de sekolah maya

Plus de sekolah maya (20)

Dernier

Dernier (20)

OPTIMALKAN