Bab 1 membahas tentang kesebangunan dan kekongruenan bangun datar. Kesebangunan terjadi jika dua bangun memiliki bentuk yang sama namun ukurannya berbeda, sedangkan kekongruen adalah dua bangun yang memiliki bentuk dan ukuran yang sama. Bab ini menjelaskan tentang bangun-bangun yang sebangun dan kongruen, segitiga-segitiga yang sebangun, serta dua segitiga yang kongruen.

3. Hak Cipta pada Departemen Pendidikan Nasional
Dilindungi Undang-undang
Hak Cipta Buku ini dibeli oleh Departemen Pendidikan
Nasional dari Penerbit PT. Setia Purna Invest
Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan
Untuk SMP/MTs Kelas IX
SPI 03-01-20-02-036
Penulis : Wahyudin Djumanta
Dwi Susanti
Editor : Tim Setia Purna Inves
Perancang Kulit : Tim Setia Purna Inves
Layouter : Tim Setia Purna Inves
Ilustrator : Tim Setia Purna Inves
Ukuran Buku : 17,6 × 25 cm
510.71
DJU DJUMANTA, Wahyudin
b Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk SMP/MTs Kelas IX/oleh
Wahyudin Djumanta dan Dwi Susanti. –Jakarta: Pusat Perbukuan, Departemen
Pendidikan Nasional, 2008.
vi, 162 hal. : tab.; ilus.; foto., 25 cm
indeks, hlm. 160-161
ISBN 979-462-974-4
1. Matematika Studi dan Pembelajaran I. Judul
II. Wahyudin Djumanta III. Susanti, Dwi
Diterbitkan oleh Pusat Perbukuan
Departemen Pendidikan Nasional
Tahun 2008
Diperbanyak oleh ...

4. Kata Sambutan
Puji syukur kami panjatkan ke hadirat Allah SWT, berkat rahmat dan
karunia-Nya, Pemerintah, dalam hal ini, Departemen Pendidikan Nasional, pada
tahun 2008, telah membeli hak cipta buku teks pelajaran ini dari penulis/penerbit
untuk disebarluaskan kepada masyarakat melalui situs internet (website) Jaringan
Pendidikan Nasional.
Buku teks pelajaran ini telah dinilai oleh Badan Standar Nasional Pendidikan
dan telah ditetapkan sebagai buku teks pelajaran yang memenuhi syarat kelayakan
untuk digunakan dalam proses pembelajaran melalui Peraturan Menteri Pendidikan
Nasional Nomor 34 Tahun 2008.
Kami menyampaikan penghargaan yang setinggi-tingginya kepada para
penulis/penerbit yang telah berkenan mengalihkan hak cipta karyanya kepada
Departemen Pendidikan Nasional untuk digunakan secara luas oleh para siswa dan
guru di seluruh Indonesia.
Buku-buku teks pelajaran yang telah dialihkan hak ciptanya kepada
Departemen Pendidikan Nasional ini, dapat diunduh (down load), digandakan, dicetak,
dialihmediakan, atau difotokopi oleh masyarakat. Namun, untuk penggandaan yang
bersifat komersial harga penjualannya harus memenuhi ketentuan yang ditetapkan
oleh Pemerintah. Diharapkan bahwa buku teks pelajaran ini akan lebih mudah diakses
sehingga siswa dan guru di seluruh Indonesia maupun sekolah Indonesia yang berada
di luar negeri dapat memanfaatkan sumber belajar ini.
Kami berharap, semua pihak dapat mendukung kebijakan ini. Kepada para
siswa kami ucapkan selamat belajar dan manfaatkanlah buku ini sebaik-baiknya.
Kami menyadari bahwa buku ini masih perlu ditingkatkan mutunya. Oleh karena itu,
saran dan kritik sangat kami harapkan.
Jakarta, Juli 2008
Kepala Pusat Perbukuan
iii

5. Kata Pengantar
Pendidikan adalah modal dasar bagi peningkatan kualitas sumber daya
manusia sehingga manusia dituntut untuk terus berupaya mempelajari, memahami,
dan menguasai berbagai macam disiplin ilmu untuk kemudian diaplikasikan dalam
segala aspek kehidupan. Matematika sebagai ibu dari segala ilmu pengetahuan
memegang peranan penting dalam dunia pendidikan. Oleh karena itu, Matematika
memiliki tingkat urgensitas yang tinggi karena merupakan landasan awal bagi
terciptanya sumber daya manusia yang cerdas dan berkualitas.
Sesuai dengan misi penerbit untuk menciptakan inovasi baru dalam dunia
pendidikan maka penulis dan penerbit merealisasikan tanggungjawab tersebut
dengan menyediakan bahan ajar Matematika yang berkualitas dan sesuai dengan
kurikulum yang berlaku saat ini.
Buku ini disusun dengan mengutamakan pendekatan secara inkuiri
(eksperimen) dan disajikan secara sistematis, komunikatif, dan integratif, serta
adanya keruntutan rangkaian (bab dengan subbab, antarsubbab dalam bab,
antaralinea dalam subbab). Sebelum mempelajari materi, sebaiknya terlebih
dahulu membaca bagian Advanced Organizer yang terdapat pada halaman awal
setiap bab agar dapat mengetahui isi bab secara umum, Diagram Alur sebagai
peta jalan pemahaman materi pada setiap bab, dan Tes Apersepsi Awal sebagai
evaluasi materi prasyarat untuk mempelajari bab yang bersangkutan. Di akhir
setiap bab, terdapat Ringkasan dan Refleksi yang bertujuan lebih meningkatkan
pemahaman kamu tentang materi yang telah dipelajari dengan memunculkan umpan
balik untuk evaluasi diri. Buku ini dilengkapi juga dengan beberapa materi, tugas, dan
soal pengayaan, diantaranya Infomatika, InfoNet, Siapa Berani?, TechnoMath, Tugas
untukmu, MatematikaRia, dan Uji Kecerdikan yang dapat memperluas wawasan dan
pengetahuanmu tentang materi yang sedang dipelajari.
Untuk menguji pemahamanmu terhadap materi yang telah dipelajari, diberikan
Tes Kompetensi Subbab pada setiap akhir subbab, Tes Kompetensi Bab pada setiap
akhir bab, dan Tes Kompetensi Semester pada setiap untuk menguji pemahaman
materi selama satu tahun ajaran. Semua tes kompetensi tersebut merupakan sarana
mengevaluasi pemahaman dan melatih kemampuan menerapkan konsep/prinsip
yang berkaitan dengan materi yang telah dipelajari. Adapun Kunci Jawaban
(nomor ganjil) kami sajikan untuk memudahkan Anda dalam mengevaluasi hasil
jawaban.
Untuk menumbuhkan daya nalar, kreativitas, dan pola berpikir matematis,
kami sajikan Aktivitas yang menuntut peran aktif kamu dalam melakukan kegiatan
tersebut.
Demikianlah persembahan kami untuk dunia pendidikan.
Bandung, Juli 2008
Penulis
iv

6. Daftar Isi
Tes Kompetensi Bab 3 • 86
Kata Sambutan • iii
Kata Pengantar • iv
Bab 4
Daftar Simbol • vi
Peluang • 89
Bab 1
Diagram Alur • 90
Kesebangunan dan
A. Pengertian Peluang • 91
Kekongruenan • 1
B. Frekuensi Harapan • 102
Diagram Alur • 2
Ringkasan • 104
A. Bangun-Bangun yang Sebangun dan
Refleksi • 104
Kongruen • 3
Tes Kompetensi Bab 4 • 105
B. Segitiga-Segitiga yang Sebangun • 10
Tes Kompetensi Semester 1 • 108
C. Dua Segitiga yang Kongruen • 17
Ringkasan • 26 Bab 5
Refleksi • 27 Pangkat Tak Sebenarnya • 111
Tes Kompetensi Bab 1 • 27 Diagram Alur • 112
A. Bilangan Rasional Berpangkat
Bab 2
Bilangan Bulat • 113
Bangun Ruang Sisi Lengkung • 31
B. Bentuk Akar dan Pangkat
Diagram Alur • 32
Pecahan • 123
A. Unsur-Unsur dan Luas Permukaan
Ringkasan • 132
Bangun Ruang Sisi Lengkung • 33
Refleksi • 133
B. Volume Bangun Ruang Sisi
Tes Kompetensi Bab 5 • 133
Lengkung • 43
Ringkasan • 52 Bab 6
Refleksi • 53 Barisan dan Deret Bilangan • 135
Tes Kompetensi Bab 2 • 53 Diagram Alur • 136
A. Pola Bilangan • 136
Bab 3
Statistika • 57 B. Barisan dan Deret Bilangan • 141
Diagram Alur • 58 Ringkasan • 151
A. Pengumpulan dan Penyajian Refleksi • 152
Data • 59 Tes Kompetensi Bab 6 • 152
B. Ukuran Pemusatan Data • 69 Tes Kompetensi Semester 2 • 154
C. Ukuran Penyebaran Data • 79
Tes Kompetensi Akhir Tahun • 156
D. Distribusi Frekuensi • 83 Kunci Jawaban • 158
Ringkasan • 85 Glosarium • 159
Refleksi • 86
v

7. Daftar Simbol
sudut alpha
+ tambah; plus; positif beta
– kurang; minus; negatif gamma
kali // r sejajar
u
: bagi ABr ruas garis
u
sebanding dengan | AB | panjang ruas garis
∆ segitiga kongruen
= sama dengan tegak lurus
≠ tidak sama dengan π phi (3,141592 ...)
sedemikian hingga; maka ° derajat
akar kuadrat sebangun
vi

8. 1
Bab
Sumber: i160.photobucket.com
Kesebangunan
dan Kekongruenan
Pada bab ini, kamu akan diajak untuk memahami kesebangunan
bangun datar dan penggunaannya dalam pemecahan masalah
dengan cara mengidentifikasi bangun-bangun datar yang sebangun
dan kongruen, mengidentifikasi sifat-sifat dua segitiga sebangun
dan kongruen, serta menggunakan konsep kesebangunan segitiga
dalam pemecahan masalah.
A. Bangun-Bangun
Kamu telah mempelajari perbandingan di Kelas VII.
yang Sebangun
Perbandingan merupakan sifat dasar dalam konsep
dan Kongruen
kesebangunan dan kekongruenan.
B. Segitiga-Segitiga
Kesebangunan sangat penting peranannya dalam
yang Sebangun
kehidupan sehari-hari seperti uraian berikut.
C. Dua Segitiga yang
Lima orang anak ingin mengukur lebar sungai. Oleh
Kongruen
karena secara langsung tidak memungkinkan, kegiatan
pengukuran dilakukan secara tidak langsung. Mereka berhasil
menandai tempat-tempat A, B, C, D, dan E seperti tampak
pada gambar berikut. B
D A
Setelah dilakukan pengukuran,
C
diperoleh AB = 4 m, BC = 3 m, dan
DE = BF = 12 m. Berapa meter lebar
sungai itu? Untuk menjawabnya,
pelajarilah bab ini dengan baik. E F
1

9. Diagram Alur
Kesebangunan dan Kekongruenan
perbedaan
Sebangun Kongruen
syarat
syarat
Bentuk dan ukurannya
sama besar.
Panjang sisi yang Sudut yang
sifat
bersesuaian memiliki bersesuaian
perbandingan sama besar.
senilai.
Sisi-sisi yang Dua sisi yang Dua sudut yang Dua sudut yang
bersesuaian bersesuaian bersesuaian bersesuaian
aplikasi sama panjang sama panjang sama besar sama besar
(s.s.s) dan sudut yang dan sisi yang dan sisi yang
Segitiga yang diapitnya sama berada di berada di
Sebangun besar (s.sd.s). antaranya hadapannya
sama panjang sama panjang
(sd.s.sd). (sd.sd.s).
aplikasi
Menentukan
perbandingan aplikasi
ruas garis
pada segitiga.
Menentukan garis dan besar
sudut dari bangun geometri.
Tes Apersepsi Awal
Sebelum mempelajari materi bab ini, kerjakanlah soal-soal berikut di buku
latihanmu.
1. Suatu peta digambar dengan skala 4. Perhatikan gambar segitiga berikut ini.
1 : 500.000. Berapakah jarak pada Tentukan nilai .
peta jika jarak sesungguhnya 25 km?
2. Jika harga 6 buah penggaris adalah
Rp2.700,00, berapakah harga 9 buah 38° 75°
penggaris tersebut? 5. Perhatikan gambar berikut ini. D
3. Sebutkan dan gambarkan jenis-jenis a. Tentukan besar DEC
segitiga ditinjau dari: b. Tentukan besar BEC.
110°
a. panjang sisinya; c. Tentukan sudut yang A C
E
b. besar sudutnya. saling bertolak belakang.
B
2 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX

10. A. Bangun-Bangun yang Sebangun
dan Kongruen
D C
1. Foto Berskala
24 mm
Contoh kesebangunan yang sering kamu jumpai dalam
kehidupan sehari-hari adalah foto berskala, seperti terlihat
36 mm B
A
pada Gambar 1.1. Sumber: Dokumentasi Penerbit
Gambar 1.1(a) memperlihatkan sebuah film negatif a
ABCD berukuran panjang 36 mm dan lebar 24 mm. Setelah
C'
D'
dicetak, film negatif tersebut menjadi foto A' B' C' D'
berukuran panjang 180 mm dan lebar 120 mm.
Pada dasarnya, pengertian skala pada foto sama dengan 120 mm
skala pada peta. Hanya saja, perbandingan antara ukuran
pada foto dan ukuran sebenarnya tidak sebesar perbandingan
A' B'
180 mm
antara ukuran pada peta dan ukuran sebenarnya. Satu Sumber: i160.photobucket.com
sentimeter pada peta mewakili beberapa kilometer pada
b
ukuran sebenarnya, sedangkan satu sentimeter pada foto
Gambar 1.1
biasanya mewakili beberapa sentimeter atau beberapa meter
saja dari ukuran sebenarnya.
Skala pada peta ialah perbandingan antara ukuran pada
7 cm
peta dan ukuran sebenarnya.
Contoh 1.1
2,5 cm
Sumber: www.tuningnews.net
Amati gambar dari foto sebuah mobil seperti dalam Gambar
Gambar 1.2
1.2. Jika panjang mobil sebenarnya 3,5 m, berapa tinggi mobil
sebenarnya?
Siapa
Penyelesaian:
Berani?
Untuk menentukan tinggi mobil sebenarnya, langkah pertama
yang harus kamu lakukan adalah menentukan skala foto
1. Seorang anak yang
tersebut.
tingginya 1,5 m difoto.
Perbandingan antara panjang dalam foto dan panjang sebenar- Jika skala foto tersebut
adalah 1 : 20, berapa
nya adalah 7 cm : 3,5 m
sentimeter tinggi anak
7 cm : 350 cm dalam foto?
1 cm : 50 cm. 2. Lebar sebuah rumah
dalam foto adalah
Jadi, skala dari foto tersebut adalah 1 : 50. Oleh karena tinggi
5 cm. Jika skala foto
mobil dalam foto 2,5 cm maka tinggi mobil sebenarnya adalah tersebut 1 : 160,
2,5 cm 50 = 125 cm. berapa meter lebar
rumah sebenarnya?
Jadi, tinggi mobil sebenarnya adalah 1,25 m.
3
Kesebangunan dan Kekongruenan

11. 2. Pengertian Kesebangunan
Pada Gambar 1.3 diperlihatkan tiga bangun persegipanjang
yang masing-masing berukuran 36 mm 24 mm, 180 mm
120 mm, dan 58 mm 38 mm.
C‘
D‘
S R
D C 120 mm
38 mm
24 mm
Gambar 1.3
A‘ B‘
A 36 mm B 58 mm Q
180 mm P
Perbandingan antara panjang persegipanjang ABCD dan
panjang persegipanjang A'B'C'D' adalah 36 : 180 atau 1 : 5.
Demikian pula dengan lebarnya, perbandingannya 24 : 120
atau 1 : 5. Dengan demikian, sisi-sisi yang bersesuaian dari kedua
persegipanjang itu memiliki perbandingan senilai (sebanding).
Perbandingan sisi yang bersesuaian dari kedua persegi-
Tugas
panjang tersebut, yaitu sebagai berikut.
untukmu
AB BC DC AD 1
Amatilah persegipanjang A'B ' B 'C ' D 'C ' A' D ' 5
ABCD dan persegipanjang
Oleh karena semua sudut persegipanjang besarnya
PQRS pada Gambar 1.3.
90° (siku-siku) maka sudut-sudut yang bersesuaian dari
Coba kamu selidiki
bersama kelompok
kedua persegipanjang itu besarnya sama. Dalam hal ini,
belajarmu, apakah
persegipanjang ABCD dan persegipanjang A'B'C'D' memiliki
persegipanjang ABCD
sebangun dengan
sisi-sisi bersesuaian yang sebanding dan sudut-sudut bersesuaian
persegipanjang PQRS?
yang sama besar. Selanjutnya, kedua persegipanjang tersebut
Presentasikan hasil
penyelidikanmu di depan
dikatakan sebangun. Jadi, persegipanjang ABCD sebangun
kelas bergantian dengan
dengan persegipanjang A'B'C'D'.
kelompok lain.
Selanjutnya lakukan Tugas untukmu di samping.
Sekarang amati Gambar 1.4.
Z
G M
L
E
X
Gambar 1.4 F K
Y
a b c
Ukurlah panjang sisi dan besar sudut-sudut EFG dan
XYZ. Jika kamu melakukan pengukuran dengan benar,
akan diperoleh hubungan berikut.
EF FG EG ;
(i)
XY YZ XZ
(ii) E = X, F = Y, dan G = Z.
4 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX

12. Tugas
Oleh karena sisi-sisi yang bersesuaian sebanding dan
untukmu
sudut-sudut yang bersesuaian sama besar maka EFG
sebangun dengan XYZ. Amatilah ∆EFG dan
Pengertian kesebangunan seperti ini berlaku umum ∆KLM pada Gambar
1.4. Coba kamu selidiki
untuk setiap bangun datar. bersama kelompok
belajarmu, apakah ∆EFG
Dua bangun datar dikatakan sebangun jika memenuhi sebangun dengan ∆KLM?
Presentasikan hasil
dua syarat berikut.
penyelidikanmu di depan
1) Panjang sisi-sisi yang bersesuaian dari kedua bangun kelas bergantian dengan
kelompok lain.
itu memiliki perbandingan senilai.
2) Sudut-sudut yang bersesuaian dari kedua bangun itu
sama besar.
Contoh 1.2
D C
Amati Gambar 1.5.
a. Selidikilah apakah persegi ABCD sebangun dengan persegi
EFGH?
B
b. Selidikilah apakah persegi ABCD dan belahketupat PQRS A 4 cm
sebangun? H G
c. Selidikilah apakah persegi EFGH sebangun dengan
belahketupat PQRS?
Jelaskan hasil penyelidikanmu.
Penyelesaian:
a. Amati persegi ABCD dan persegi EFGH.
F
E 5 cm
(i) Perbandingan panjang sisi-sisinya adalah
S
AB BC DC AD 4
EF FG HG EH 5
P R
Jadi, sisi-sisi yang bersesuaian dari persegi ABCD dan
persegi EFGH sebanding. 4 cm
(ii) Bangun ABCD dan EFGH keduanya persegi sehingga Q
besar setiap sudutnya 90°. Dengan demikian, sudut- Gambar 1.5
sudut yang bersesuaian sama besar.
Berdasarkan (i) dan (ii), persegi ABCD dan persegi EFGH
Catatan
sebangun.
b. Amati persegi ABCD dan belahketupat PQRS.
Salah satu syarat
(i) Perbandingan panjang sisi-sisinya adalah kesebangunan adalah
sudut-sudut yang
AB BC DC AD 4
bersesuaian sama besar.
PQ QR SR PS 4
Maksud dari kata sama
Jadi, panjang sisi-sisi yang bersesuaian dari persegi besar adalah ukuran
ABCD dan belahketupat PQRS sebanding. sudutnya sebanding,
sehingga pada Gambar
(ii) Besar sudut-sudut yang bersesuaian adalah sebagai
1.5 dapat dituliskan:
berikut. A = E, B = F,
C = G = D = H.
A ≠ P, B ≠ Q, C ≠ R, dan D ≠ S.
5
Kesebangunan dan Kekongruenan

13. Jadi, sudut-sudut yang bersesuaian tidak sama besar.
Berdasarkan (i) dan (ii), persegi ABCD dan belahketupat
PQRS tidak sebangun.
c. Telah diketahui bahwa persegi ABCD sebangun dengan
persegi EFGH, sedangkan persegi ABCD tidak sebangun
D C
dengan belahketupat PQRS. Dengan demikian, persegi
EFGH tidak sebangun dengan belahketupat PQRS.
5 cm
A 2 cm B
Contoh 1.3
R Q
1. Amati Gambar 1.6.
Jika persegipanjang ABCD sebangun dengan persegipanjang
6 cm
PQRS, hitung panjang QR.
Penyelesaian:
P
S
Salah satu syarat dua bangun dikatakan sebangun adalah
Gambar 1.6
sisi-sisi yang bersesuaian sebanding. Oleh karena itu,
AB BC 2 5
K 2QR = 30 QR = 15
PQ QR 6 QR
125°
Jadi, panjang QR adalah 15 cm.
80°
L N
Jika layang-layang KLMN dan layang-layang PQRS pada
2.
Gambar 1.7 sebangun, tentukan besar R dan S.
M
Penyelesaian:
P
Salah satu syarat dua bangun dikatakan sebangun adalah
sudut-sudut yang bersesuaian sama besar sehingga P =
125° dan Q = 80°.
Q
S
PQRS.
Menurut sifat layang-layang, sepasang sudut yang ber-
R hadapan sama besar sehingga R = P = 125°.
Gambar 1.7
360° maka
P + Q + R + S = 360°
125° + 80° + 125° + S = 360°
S = 360° – 330° = 30°
3. Pengertian Kekongruenan
a
Pernahkah kamu melihat seorang tukang bangunan yang
D C F
sedang memasang ubin? Sebelum ubin-ubin itu dipasang,
biasanya tukang tersebut memasang benang-benang sebagai
tanda agar pemasangan ubin tersebut terlihat rapi, seperti
B
A E
tampak pada Gambar 1.8(a).
b
Cara pemasangan ubin tersebut dapat diterangkan secara
Gambar 1.8
geometri seperti berikut.
6 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX

14. Siapa
Gambar 1.8(b) adalah gambar permukaan lantai yang
Berani?
akan dipasang ubin persegipanjang. Pada permukaannya diberi
garis-garis sejajar. Jika ubin ABCD digeser searah AB (tanpa
Berikut ini adalah sketsa
dibalik), diperoleh A B, B E, D C, dan C F sehingga tambak udang milik Pak
Budi
ubin ABCD akan menempati ubin BEFC. Akibatnya,
100 m
AB BE sehingga AB = BE
BC EF sehingga BC = EF 100 m
DC CF sehingga DC = CF 45°
200 m
AD BC sehingga AD = BC Pak Budi akan membagi
tambaknya menjadi 4
DAB CBE sehingga DAB = CBE bagian yang sama dan
ABC BEF sehingga ABC = BEF berbentuk trapesium
juga, seperti bentuk
BCD EFC sehingga BCD = EFC asalnya. Gambarlah
ADC BCF sehingga ADC = BCF olehmu tambak udang
yang telah dibagi empat
Berdasarkan uraian tersebut, diperoleh
tersebut.
a. sisi-sisi yang bersesuaian dari persegipanjang ABCD
dan persegipanjang BEFC sama panjang, dan
b. sudut-sudut yang bersesuaian dari persegipanjang
ABCD dan persegipanjang BEFC sama besar.
Hal tersebut menunjukkan bahwa persegipanjang ABCD
dan persegipanjang BEFC memiliki bentuk dan ukuran
yang sama. Dua persegipanjang yang demikian dikatakan
kongruen.
Sekarang amati Gambar 1.9. Ukurlah panjang sisi
dan besar sudut-sudut segienam ABCDEF dan segienam D
E
PQRSTU. Jika kamu melakukan pengukuran dengan benar,
diperoleh hubungan F C
(i) AB = BC = CD = DE = EF = FA = PQ = QR = RS = ST
A B
= TU = UP
T S
(ii) A = B = C = D = E = F = P = Q = R
= S = T = U.
R
U
Oleh karena itu, segienam ABCDEF kongruen dengan
segienam PQRSTU.
Q
P
Sekarang, ukurlah panjang sisi dan besar sudut-sudut
K J
segienam GHIJKL. Kemudian, bandingkan dengan unsur-
unsur segienam ABCDEF. Dari hasil pengukuran tersebut, I
L
diperoleh hubungan
G H
(i) A = B = C = D = E = F = G = H = I =
Gambar 1.9
J= K= L
(ii) AB ≠ GH, BC ≠ HI, CD ≠ IJ, DE ≠ JK, EF ≠ KL, FA ≠
LG.
7
Kesebangunan dan Kekongruenan

15. Berdasarkan (i) dan (ii), dapat disimpulkan bahwa
segienam ABCDEF tidak kongruen dengan segienam
GHIJKL. Sekarang lakukan Tugas untukmu di samping.
Berdasarkan uraian dan tugas tersebut diperoleh gambaran
bahwa dua bangun yang kongruen pasti sebangun, tetapi dua
bangun yang sebangun belum tentu kongruen.
Bangun-bangun yang memiliki bentuk dan ukuran yang
sama dikatakan bangun-bangun yang kongruen.
Pengertian kekongruenan tersebut berlaku juga untuk
setiap bangun datar.
Contoh 1.4
Amati Gambar 1.10.
a. Selidiki apakah persegipanjang ABCD D C
kongruen dengan persegipanjang
6 cm
PQRS?
b. Selidiki apakah persegipanjang ABCD A
InfoNet B
8 cm
sebangun dengan persegipanjang S R
Kamu dapat menambah PQRS?
10 cm
wawasanmu tentang materi
6 cm
Jelaskan hasil penyelidikanmu.
dalam bab ini dengan
mengunjungi alamat: Penyelesaian:
Q
bicarisme.files.wordpress. Unsur-unsur persegipanjang ABCD P
com/2008/03/soal-bangun- Gambar 1.10
adalah
datar.doc
AB = DC = 8 cm, AD = BC = 6 cm, dan A = B = C =
D = 90°.
Amati persegipanjang PQRS dengan
diagonal PR. Panjang PQ dapat ditentukan dengan
menggunakan Dalil Pythagoras seperti berikut.
PQ = ( )2 (Q )2 102 62 64 = 8
Jadi, unsur-unsur persegipanjang PQRS adalah PQ = SR = 8
cm, PS = QR = 6 cm, dan P = Q = R = S = 90°.
a. Dari uraian tersebut tampak bahwa sisi-sisi yang bersesuaian
dari persegipanjang ABCD dan persegipanjang PQRS sama
panjang. Selain itu, sudut-sudut yang bersesuaian dari kedua
persegipanjang itu sama besar. Jadi, persegipanjang ABCD
kongruen dengan persegipanjang PQRS.
b. Dua bangun datar yang kongruen pasti sebangun. Jadi,
persegipanjang ABCD sebangun dengan persegipanjang
PQRS.
8 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX

16. Tes Kompetensi 1.1
Kerjakan soal-soal berikut dalam buku latihanmu.
Selidiki apakah belahketupat EFGH
1. Ukuran lebar dan tinggi sebuah slide a.
sebangun dengan belahketupat PQRS?
(film negatif) berturut-turut 36 mm dan
b. Selidiki apakah belahketupat EFGH
24 mm. Jika lebar pada layar 2,16 m,
kongruen dengan belahketupat PQRS?
tentukan tinggi pada layar.
2. Amati gambar berikut. Jelaskan hasil penyelidikanmu.
3 cm
C Q P 6. Pasangan bangun-bangun berikut adalah
sebangun, tentukan nilai x.
10 cm
4 cm a.
x
3 cm
B
A 8 cm R
8 cm 6 cm
a. Tentukan panjang AC dan QR.
b. Apakah ABC sebangun dengan b.
x
PQR? Jelaskan jawabanmu. 5 cm
3. Amati gambar berikut.
U T N M 14 cm 8 cm
7. Perhatikan gambar berikut.
N M
H G
K L 110°
R S
6 cm
4 cm
Pada gambar tersebut, jajargenjang RSTU
70°
sebangun dengan jajargenjang KLMN. E L
K
F
6 cm 9 cm
Jika KL = 6 cm, LM = 4 cm, dan RS = 15 Trapesium EFGH dan trapesium KLMN
cm, tentukan: adalah trapesium sama kaki. Tunjukkan
a. panjang KN dan MN; bahwa trapesium EFGH sebangun dengan
b. panjang ST, TU, dan RU. trapesium KLMN.
D
4. Amati gambar berikut. 8. Amati foto berikut.
3 cm
Jika layang-layang ABCD A Foto tersebut mempunyai skala
C
sebangun dengan layang- 1 : 65. Tentukan tinggi sebenarnya
6 cm
layang BEFC, tentukan: orang yang ada di foto tersebut.
F
B
a. panjang CF;
b. panjang EF.
5. Amati gambar berikut. Sumber: Dokumentasi Penerbit
G
E Trapesium ABCD sebangun dengan tra-
9.
Q
pesium PQRS.
13 cm
12 cm Q
12 cm
P
9 cm B
5 cm
A
FP R
H 5 cm
18 cm
85°
S
CS
D R
E
9
Kesebangunan dan Kekongruenan

17. Tentukan panjang PS.
a. 11. Diketahui tinggi
Tentukan besar PQR.
b. Monas pada gambar
Tentukan besar BCD.
c. di samping 4,4 cm.
Tentukan besar BAD.
d. Jika skalanya 1 : 4,4 cm
3.000, tentukanlah
D R
10. Segilima ABCDE C
tinggi Monas
sebangun dengan
sesungguhnya.
segilima PQCRS. Q
S
Panjang AB = 7,5 E
B 12. Bagilah bangun berikut menjadi dua
P
cm, BC = 4,2 cm,
bagian yang sama dan sebangun.
CD = 3 cm, A
PS = 1 cm,
SR = 2,5 cm, dan RC = 2 cm.
Tentukan panjang:
a. AE;
b. QC; Selanjutnya, susunlah kembali kedua
c. DE; bagian tersebut sehingga membentuk
d. PQ. bermacam-macam bangun. Cobalah,
bangun-bangun apa saja yang dapat kamu
peroleh?
B. Segitiga-Segitiga yang Sebangun
R
T
1. Syarat Dua Segitiga Sebangun
P
Amati Gambar 1.11.
S
Q Pada gambar tersebut, QR sejajar dengan ST (QR // ST).
Gambar 1.11 Ukurlah panjang PS, PQ, PT, PR, ST, dan QR. Ukur
pula besar TPS, RPQ, PTS, PRQ, PST, dan
C
a
PQR. Berdasarkan hasil pengukuran tersebut, kamu akan
b a
memperoleh hubungan berikut:
A B
c PS PT ST ;
(i)
M
b PQ PR QR
(ii) TPS = RPQ, PTS = PRQ, PST = PQR.
2b 2a
Jadi, PST sebangun dengan PQR. Selanjutnya, amati
Gambar 1.12(a). Pada gambar tersebut, ABC adalah segi-
K L
2c
tiga dengan
R
c AB = c; BC = a; AC = b
A= ; B= ; C= .
Jika kamu buat segitiga lain yang panjang sisi-sisi
P Q
bersesuaiannya dua kali panjang sisi-sisi ABC maka
Gambar 1.12
diperoleh KLM seperti pada Gambar 1.12(b).
10 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX

18. Dengan demikian, KL = 2AB = 2c, LM = 2BC = 2a, dan InfoMatika
AB BC AC 1
KM = 2AC = 2b. Sehingga .
KL LM KM 2
Selanjutnya, ukurlah sudut-sudut KLM. Dari
pengukuran tersebut, akan diperoleh hubungan berikut:
A= K=
B= L=
C= M=
Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.
Jadi, ABC dan KLM sebangun.
Thales
Pada Gambar 1.12(c), PQR dibuat sedemikian rupa
(624 S.M.–546 S.M.)
sehingga P = A = , Q = B = , dan R = C = .
Kira-kira 2.500 tahun
Ukurlah panjang sisi-sisi PQR. Dari pengukuran yang lalu, seorang ahli
tersebut, kamu akan memperoleh hubungan berikut. Matematika Yunani,
Thales, mengungkapkan
AB BC AC gagasan yang fenomenal.
Ia dapat menghitung
PQ QR PR
tinggi piramida dari
Sisi-sisi yang bersesuaian sebanding. panjang bayangan suatu
tongkat.
Jadi, ABC dan PQR sebangun.
A
Uraian tersebut menunjukkan bahwa dua segitiga yang
sisi-sisi bersesuaiannya sebanding maka sudut-sudut yang D
bersesuaiannya sama besar. Hal ini berarti bahwa dua segitiga B C E
yang sisi-sisi bersesuaiannya sebanding adalah sebangun. Thales menggunakan
kenyataan bahwa
Sebaliknya, jika dua segitiga memiliki sudut-sudut segitiga besar ABC yang
bersesuaian yang sama besar maka sisi-sisi yang bersesuaiannya dibentuk oleh piramida
dan bayangannya,
sebanding. Hal ini berarti bahwa dua segitiga yang memiliki sebangun dengan
sudut-sudut bersesuaian sama besar adalah sebangun. segitiga kecil DCE yang
dibentuk oleh tongkat
Berdasarkan uraian tersebut, dapatkah kamu menerka dan bayangannya. Oleh
suatu syarat dua segitiga sebangun? Cobalah nyatakan syarat karena itu, diperoleh
persamaan
dua segitiga sebangun dengan kata-katamu sendiri. AB DC
BC CE
Dua segitiga dikatakan sebangun jika sisi-sisi yang ber-
Thales dapat mengukur
sesuaian sebanding atau sudut-sudut yang bersesuaian panjang BC, CD, dan
CE. Dengan demikian,
sama besar.
ia dapat menghitung
AB (tinggi piramida)
Contoh 1.5 menggunakan persamaan
tersebut.
A Sumber: Matematika, Khazanah
1. Coba kamu selidiki apakah Pengetahuan bagi Anak-Anak,
A' 1979
ABC dan A'B'C' pada gambar
di samping sebangun? Jelaskan 8 5
hasil penyelidikanmu.
C'
C B'
B 6 3
11
Kesebangunan dan Kekongruenan

19. Penyelesaian:
InfoNet Amati ABC.
(AC)2 = (AB)2 + (BC)2 (AC)2 = 82 + 62
Kamu dapat menemukan
(AC)2 = 100 AC = 100 = 10
informasi lebih lanjut
tentang materi ini Jadi, AC = 10.
dari internet dengan
Amati A'B'C'
mengunjungi alamat
(A'B')2 = (A'C')2 – (B'C')2 (A'B')2 = 52 – 32
artofmathematics.
wordpress.com (A'B')2 = 25 – 9 (A'B')2 = 16
A'B' = 16 = 4
Oleh karena itu,
AB = 8 = 2; BC = 6 = 2; AC = 10 = 2.
C
3 5
A'B ' 4 B 'C ' A 'C '
E AB = BC = AC .
Berarti,
A'B ' B 'C ' A 'C '
Jadi, ABC sebangun dengan A'B'C'.
A B
D 2. Amati Gambar 1.13.
a. Jika DE // BC, apakah ADE sebangun dengan ABC?
Gambar 1.13
b. Jika BC = 6 cm, CE = 3 cm, dan AE = 6 cm, tentukan
panjang DE.
Penyelesaian:
a. Pada DE dan ABC tampak bahwa
DAE = BAC (berimpit)
Siapa
ADE = ABC (sehadap)
Berani?
AED = ACB (sehadap)
Jadi, sudut-sudut yang bersesuaian dari ABC dan
1. Diketahui PQR dan
ADE sama besar sehingga ABC sebangun dengan
XYZ dengan unsur-
unsur sebagai berikut. ADE.
PQR = 40°,
b. ADE sebangun dengan ABC. Oleh karena itu,
PRQ = 65°,
YXZ = 75°, DE = AE DE = AE
XYZ = 35°. BC AC BC AE CE
Selidikilah apakah
DE = 6
PQR dan XYZ
63
6
sebangun? Jelaskan.
2. Amati gambar berikut. DE = 4
P
Jadi, DE = 4 cm.
4 cm
10 cm
xxcm
cm
S
T
3 cm
7,5 cm
(x + 30) cm
30)
Q
Aktivitas 1.1
R
a. Apakah PQR
sebangun dengan Tujuan: Mengukur tinggi pohon menggunakan konsep
PST? Jelaskan.
kesebangunan.
b. Jika PQR
sebangun dengan Cara Kerja:
PST tentukan
1. Buatlah kelompok yang terdiri atas 4 sampai dengan 6 orang.
nilai x.
2. Carilah sebuah pohon di sekitar rumah atau sekolah.
12 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX

20. E
3. Ambil sebuah tongkat yang telah diukur panjangnya.
4. Tancapkan tongkat tersebut di ujung bayangan pohon.
Amati Gambar 1.14.
5. Hitung panjang bayangan tongkat dan bayangan pohon.
Kemudian, jawab pertanyaan berikut.
D
a. Apakah ABE sebangun dengan BCD?
b. Dengan menggunakan perhitungan, tentukan tinggi
A C
B
pohon tersebut.
Presentasikanlah hasil kegiatanmu di depan kelas. Gambar 1.14
Petunjuk: Kegiatan dilakukan sekitar pukul 09.00 atau pukul
16.00 pada saat cuaca sedang cerah.
2. Perbandingan Ruas Garis pada Segitiga
Amati Gambar 1.15. Pada gambar tersebut, diketahui bahwa R
r
ST // PR. Oleh karena itu, T
t
1) SQT = PQR (berimpit) s
u
2) TSQ = RPQ (sehadap)
q
p
Q
3) STQ = PRQ (sehadap) P S
Berdasarkan (1), (2), dan (3), diperoleh SQT sebangun
Gambar 1.15
dengan PQR sehingga
SQ TQ ST ... (*)
PQ RQ PR
Jika PS = p, SQ = q, RT = r, TQ = s, PR = t, dan ST = u,
Tugas
dengan p ≠ 0, q ≠ 0, r ≠ 0, s ≠ 0, t ≠ 0, u ≠ 0, seperti tampak
untukmu
pada Gambar 1.15 maka persamaan (*) menjadi
q s u Coba kamu selidiki.
Jelaskan mengapa p ≠ 0,
pqrs t
q ≠ 0, r ≠ 0, s ≠ 0, t ≠ 0,
q s.
Sekarang, amati perbandingan senilai dan u ≠ 0?
pqrs
Jika kamu kalikan kedua ruas dengan (p + q)(r + s),
diperoleh
q
(p + q) (r + s) = s (p + q) (r + s)
pq rs
q (r + s) = s (p + q)
qr + qs = ps + qs
qr + qs – qs = ps + qs – qs
qr = ps
qs
pr
13
Kesebangunan dan Kekongruenan

21. Jadi, perbandingan ruas garis pada segitiga seperti
tampak pada Gambar 1.15 adalah sebagai berikut.
q s
p r
q s dapat dikatakan bahwa
R Berdasarkan perbandingan
p r
jika dalam suatu segitiga terdapat garis yang sejajar dengan
S
salah satu sisi segitiga maka garis tersebut akan membagi sisi
lainnya dengan perbandingan yang sama.
Selanjutnya, amati Gambar 1.16.
P Q
Coba kamu selidiki, apakah PQR sebangun dengan QSR?
Pada gambar tersebut tampak bahwa:
Gambar 1.16
1) PQR = QSR (siku-siku);
2) QRP = QRS (berimpit).
Berdasarkan (1) dan (2), diperoleh QPR = RQS. Mengapa?
Coba kamu jelaskan.
Oleh karena itu, PQR sebangun dengan QSR
sehingga berlaku hubungan
QR
= SR atau QR 2 = SR · PR.
PR QR
Contoh 1.6
Amati Gambar 1.17. Tentukan panjang OM.
1.
O
Penyelesaian:
MPO sebangun dengan MON sehingga
OM = MP
MN OM
3 cm 9 cm (OM)2 = MP · MN
M N
P (OM)2 = 3 · 12
Gambar 1.17 (OM)2 = 36
OM = 6 cm
Jadi, panjang OM = 6 cm.
B
D A 2. Lima orang anak ingin mengukur lebar sungai. Oleh karena
secara langsung tidak memungkinkan, kegiatan pengukuran
C
dilakukan secara tidak langsung.
Mereka berhasil menandai tempat-tempat A, B, C, D, dan E
seperti tampak pada Gambar 1.18.
Setelah dilakukan pengukuran, diperoleh AB = 4 m, BC = 3
E F
m, dan DE = 12 m. Jika BF sejajar DE, berapa meter lebar
sungai itu?
Gambar 1.18
14 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX

22. Penyelesaian:
Langkah 1
Menuliskan apa yang diketahui dan apa yang ditanyakan
pada soal.
Diketahui : AB = 4 m, BC = 3 m, dan DE = BF = 12 m.
Ditanyakan : Lebar sungai (BD)?
Langkah 2
Menentukan konsep apa yang akan digunakan untuk
menjawab soal. Konsep yang digunakan adalah segitiga-segitiga
Siapa
yang sebangun.
Berani?
Langkah 3
Melakukan perhitungan dengan menggunakan konsep kese-
Amati gambar berikut.
bangunan, sebagai berikut. Amati Gambar 1.18 pada soal. P
Dari pengamatan yang teliti, diperoleh ABC sebangun Q
A
dengan ADE, sehingga
B R
C
AB = BC
Titik P, Q, dan R
AD DE berturut-turut terletak
pada perpanjangan AC,
4 =3 AB, dan BC suatu ABC.
AB BD 12
Jika P, Q, dan R segaris,
4 12 = 3(AB + BD) kedua ruas kalikan 12 (AB + BD) buktikan bahwa
48 = 3(4 + BD) AQ
substitusikan AB = 4 BR CP
=1
QB RC PA
4 + BD = 16 kedua ruas bagi dengan 3
BD = 12
Jadi, lebar sungai itu adalah 12 meter.
Tes Kompetensi 1.2
Kerjakan soal-soal berikut dalam buku latihanmu.
1. Amati gambar berikut. 2. Amati gambar berikut.
M C
T R
50°
9 cm 6 cm
15 cm
10 cm
K R
8 cm 65°
12 cm
Q
P
S A B
L
Buktikan bahwa ABC sebangun
a.
Buktikan bahwa KLM sebangun
a.
dengan PQR.
dengan RST.
b. Tentukan pasangan sisi-sisi yang
b. Tentukan pasangan-pasangan sudut
bersesuaian.
yang sama besar.
15
Kesebangunan dan Kekongruenan

23. 3. Amati gambar berikut. 8. Diketahui ABC sebangun dengan PQR.
A P Jika BAC = 50° dan ABC = 68°, tentukan
besar QPR, PQR, dan PRQ.
R
O 9.
Q q p
t
B
Buktikan bahwa AOB sebangun
a. P Q
S
dengan POQ. r
Pada gambar berikut, PRQ siku-siku,
b. Jika AB = 12 cm, PQ = 8 cm, dan
begitu juga dengan PSR. Nyatakan t
AQ = 24 cm, tentukan panjang OA
dalam p, q, dan r.
dan OQ.
A
10. Amati gambar berikut.
4. Amati gambar berikut.
A D
Diketahui BC // ED.
D
E
a. Buktikan bahwa E
ABC sebangun
6m
C
B
dengan AED.
b. Jika EB = 6 cm, BC = 10 cm, dan F
DE = 4 cm, tentukan panjang AE.
B C
8m
Jika ABC dan PQR pada soal berikut
5.
Berdasarkan gambar di atas, tentukan:
sebangun, tentukan nilai x dan y.
a. panjang AC; c. panjang AE;
a. A P
b. panjang CF; d. luas ADF.
y
11. Pak Amir akan membuat dua buah papan
reklame berbentuk segitiga samasisi.
118° x
28°
R
C Menurut pemesannya, perbandingan sisi
Q
B
kedua papan itu 3 : 7 dan selisih kedua
C
b. R
sisinya 16 dm. Tentukanlah panjang sisi
6 cm y cm
x cm 8 cm
dari setiap segitiga itu.
12. Amati gambar berikut.
A BP Q
15 cm 10 cm
H
Diketahui ABC sebangun dengan PQR.
6. G
F
Jika AB = 6 cm, AC = 8 cm, BAC = 60°,
dan PR = 10 cm, tentukan besar QRP
D C
dan panjang PQ. E 3 cm
7. Amati gambar berikut. I
C
Q
A B
4 cm
Dari gambar tersebut, buktikan:
A
3 cm P x cm
B
a. DCG sebangun dengan IBC,
Selidiki apakah ABC sebangun
a. b. DCG sebangun dengan HGF.
dengan APQ? Jelaskan. Kemudian, tentukan panjang CI,
b. Jika ABC sebangun dengan APQ IB, HG, dan HF.
tentukan nilai x.
16 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX

24. 13. Diketahui ABC dan PQR kedua- a. Sketsalah beberapa kemungkinan
duanya samakaki. Jika besar salah satu bentuk geometri kedua segitiga itu
sudut dari ABC adalah 80° dan besar dan tentukan besar semua sudutnya.
salah satu sudut dari PQR adalah 50°, b. Apakah ABC dan PQR sebangun?
jawablah pertanyaan berikut. Jelaskan.
C. Dua Segitiga yang Kongruen
Perhatikan Gambar 1.19.
C
Ukurlah panjang sisi dan besar sudut segitiga ABC dan
segitiga PQR. Jika kamu melakukan pengukuran dengan
benar, diperoleh hubungan:
(i) AB = PQ, BC = QR, dan AC = PR.
(ii) A = P, B = Q, dan C = R. A B
Oleh karena itu, ABC kongruen dengan PQR. R
Sekarang, ukurlah panjang sisi dan besar sudut KLM.
Kemudian, bandingkan dengan unsur-unsur ABC. Dari
hasil pengukuran tersebut, diperoleh hubungan berikut.
(iii) AB ≠ KL, BC ≠ LM, dan AC ≠ KM.
P Q
(iv) A = K, B = L, dan C = M.
M
Berdasarkan (iii) dan (iv) dapat diketahui bahwa BC
tidak kongruen dengan KLM. Akan tetapi,
AB BC AC
K L
KL LM KM
Gambar 1.19
Dengan demikian, ABC sebangun dengan KLM.
Berdasarkan uraian tersebut, dapatkah kamu menerka
pengertian dua segitiga yang kongruen? Cobalah nyatakan
pengertian dua segitiga yang kongruen dengan kata-katamu
sendiri.
Dua segitiga yang kongruen pasti sebangun, tetapi dua
segitiga yang sebangun belum tentu kongruen.
I
G H
1. Sifat Dua Segitiga yang Kongruen
Gambar 1.20 menunjukkan sebagian dari pola pengubinan D E F
segitiga-segitiga yang kongruen.
C
A B
Apabila ABD digeser ke kanan tanpa memutar dengan arah
ur
uuu
AB maka diperoleh Gambar 1.20
17
Kesebangunan dan Kekongruenan

25. A B (A menempati B)
B C (B menempati C)
D E (D menempati E)
Siapa
Berani? AB BC sehingga AB = BC
BD CE sehingga BD = CE
Amati gambar berikut.
AD BE sehingga AD = BE
Hal ini menunjukkan bahwa dua segitiga yang kongruen
C
E
memenuhi sifat umum berikut.
B
Sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang.
ur
uuu
A D
AE diputar setengah
Dalam penggeseran ABE dengan arah AB , diperoleh pula
putaran dengan pusat B
DAB EBC sehingga EAB = FBC
sehingga bayangannya
CD. Akibatnya, ABE
DBA ECB sehingga DBA = ECB
kongruen dengan CBD.
ADB BEC sehingga ADB = BEC
Jika BE = 6 cm,
AE = 8 cm, BC = 5 cm,
Hal ini menunjukkan bahwa dua segitiga yang kongruen
BAE = 60°, dan
memenuhi sifat umum berikut.
ABE = 70°, tentukan:
a. panjang BD dan AB;
Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.
b. besar BDC, CBD,
dan BCD.
Contoh 1.7
Pada gambar di samping, PQ diputar setengah putaran
1.
dengan pusat O (titik O di luar PQ) sehingga bayangannya
P Q'
P’Q’. Selidiki apakah POQ kongruen dengan P'OQ' ?
Jelaskan hasil penyelidikanmu.
O Penyelesaian:
PQ diputar setengah putaran terhadap pusat O, diperoleh
Q P'
a. PQ P'Q' sehingga PQ = P'Q'
Q PO P'O sehingga PO = P'O
P
C
QO Q'O sehingga QO = Q'O
18 cm b. QPO Q'P'O sehingga QPO = Q'P'O
62° PQO P'Q'O sehingga PQO = P'Q'O
54°
A POQ P'OQ' sehingga POQ = P'O'Q
B
20 cm R
Dari penjelasan (a) dan (b) maka POQ kongruen dengan
P'OQ' , ditulis POQ P'OQ'.
Pada gambar di samping, ABC kongruen dengan PQR.
2.
Tentukan:
a. besar ACB dan PQR;
b. panjang sisi QR.
Penyelesaian:
a. ABC kongruen dengan PQR maka
ACB = PRQ = 62°
ABC = 180° – ( BAC + ACB)
18 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX

26. Siapa
= 180° – (54° + 62°) = 64°
Berani?
PQR = ABC = 64°.
ABC kongruen dengan PQR maka
b.
Coba kamu selidiki
QR = BC = 18 cm. persamaan dan
perbedaan antara dua
segitiga yang sebangun
dan dua segitiga yang
2. Syarat Dua Segitiga Kongruen kongruen.
Pada bagian sebelumnya, kamu sudah mengetahui bahwa dua
C R
segitiga akan kongruen jika sisi-sisi yang bersesuaian sama
panjang dan sudut-sudut yang bersesuaian sama besar. Dengan
demikian, kamu harus menghitung setiap panjang sisi dan
besar sudut kedua segitiga untuk membuktikan kekongruenan
Q
BP
dua segitiga tersebut. Tentunya hal ini akan menyita waktu. A
Apakah kamu tahu cara lain yang lebih efektif? Gambar 1.21
a. Sisi-Sisi yang Bersesuaian Sama Panjang
Tugas
(s.s.s)
untukmu
Amati Gambar 1.21. Pada gambar tersebut, AB = PQ, BC
Gambarlah lima pasang
= QR, dan AC = PR. Ukurlah besar sudut-sudut dari kedua
segitiga sebarang yang
segitiga tersebut. Dari hasil pengukuran tersebut, kamu akan sisi-sisi bersesuaiannya
sama panjang (s.s.s).
memperoleh hubungan A = P; B = Q; C = R.
Ukurlah besar sudut-
Dengan demikian, ABC dan PQR memenuhi sifat sudut yang bersesuaian
dari setiap pasang
dua segitiga yang kongruen, yaitu sisi-sisi yang bersesuaian
segitiga. Selidikilah
sama panjang dan sudut-sudut yang bersesuaian sama besar. apakah besar sudut yang
bersesuaian dari setiap
Jadi, ABC kongruen dengan PQR.
pasang segitiga tersebut
Berdasarkan uraian di atas tampak bahwa jika sisi-sisi yang sama besar? Dapatkah
dinyatakan bahwa jika
bersesuaian dari dua segitiga sama panjang maka dua segitiga
sisi-sisi yang bersesuaian
tersebut kongruen. Apakah hal itu berlaku secara umum? Untuk dari dua segitiga
sama panjang maka
mengetahuinya, lakukanlah Tugas untukmu di samping.
dua segitiga tersebut
Hasil yang benar dari tugas tersebut memperjelas sifat kongruen? Tuliskan
hasil penyelidikanmu
berikut.
pada selembar kertas,
kemudian kumpulkan
Jika sisi-sisi yang bersesuaian dari dua segitiga sama
pada gurumu.
panjang (s.s.s) maka dua segitiga tersebut kongruen.
F M
b. Dua Sisi yang Bersesuaian Sama Panjang
dan Sudut yang Diapitnya Sama Besar
(s.sd.s)
Amati Gambar 1.22. Pada gambar tersebut, DE = KL, D =
° °
K, dan DF = KM. Ukurlah panjang EF dan LM, besar E D K
dan L, serta besar F dan M. Berdasarkan hasil pengukuran E L
Gambar 1.22
19
Kesebangunan dan Kekongruenan

27. Tugas tersebut, kamu akan memperoleh hubungan EF = LM, E =
untukmu L, dan F = M.
Dengan demikian, pada DEF dan KLM berlaku
Buatlah 3 pasang segitiga
sebarang. Setiap pasang (i) DE = KL, EF = LM, DF = KM;
segitiga memiliki sudut-
(ii) D = K, E = L, F = M.
sudut yang bersesuaian
sama besar. Ukurlah Hal ini menunjukkan bahwa DEF dan KLM memenuhi
panjang sisi yang
sifat dua segitiga yang kongruen. Jadi, DEF KLM.
bersesuaian. Apakah
dapat disimpulkan Uraian tersebut memperjelas sifat berikut.
bahwa jika sudut-sudut
yang bersesuaian sama Jika dua sisi yang bersesuaian dari dua segitiga sama
besar maka dua segitiga
panjang dan sudut yang diapitnya sama besar (s.sd.s) maka
tersebut kongruen?
Coba selidiki adakah kedua segitiga itu kongruen.
syarat yang lain agar
dua segitiga tersebut
c. Dua Sudut yang Bersesuaian Sama Besar
kongruen? Tuliskan
dan Sisi yang Berada di Antaranya Sama
hasil penyelidikanmu
pada kertas terpisah. Panjang (sd.s.sd)
Kemudian, kumpulkan
pada gurumu. Amati Gambar 1.23. Pada gambar tersebut G = X, H
= Y, dan GH = XY. Ukurlah besar I dan Z, panjang
GI dan XZ, serta panjang HI dan YZ. Dari hasil pengukuran
tersebut, kamu akan memperoleh hubungan I = Z, GI
Z
I
= XZ, dan HI = YZ.
Dengan demikian, pada GHI dan XYZ berlaku
(i) G = X, H = Y, dan I = Z;
(ii) GH = XY, HI = YZ, dan GI = XZ.
H X°
G° Y
Hal ini menunjukkan bahwa GHI dan XYZ
Gambar 1.23 memenuhi sifat dua segitiga yang kongruen. Jadi, GHI
XYZ.
C Berdasarkan uraian tersebut, dapatkah kamu menemukan
sifat berikut?
Jika dua sudut yang bersesuaian dari dua segitiga sama
besar dan sisi yang berada di antaranya sama panjang
A B (sd.s.sd) maka kedua segitiga itu kongruen.
Y
X
d. Dua Sudut yang Bersesuaian Sama Besar
dan Sisi yang Berada di Hadapannya Sama
Panjang (sd.sd.s)
Z Amati Gambar 1.24. Pada gambar tersebut, A = X, B =
Gambar 1.24 Y, dan BC = YZ. Ukurlah besar C dan Z, panjang AB
dan XY, serta panjang AC dan XZ. Dari hasil pengukuran
tersebut, kamu akan memperoleh hubungan
C = Z, AB = XY, dan AC = XZ.
20 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX

28. Dengan demikian, pada ABC dan XYZ berlaku
(i) A = X, B = Y, dan C = Z;
(ii) AB = XY, BC = YZ, dan AC = XZ.
Hal ini menunjukkan bahwa ABC dan XYZ memenuhi
sifat dua segitiga yang kongruen. Jadi, ABC XYZ.
Berdasarkan uraian tersebut, dapatkah kamu menemukan
sifat berikut?
Jika dua sudut yang bersesuaian dari dua segitiga sama
besar dan satu sisi sekutu kedua sudutnya sama panjang
(sd.sd.s) maka kedua segitiga tersebut kongruen.
Contoh 1.8
1. Amati Gambar 1.25. R
Selidikilah apakah ABC kongruen dengan PQR?
50°
8 cm
Jelaskan.
Penyelesaian:
B 70°
P
Kedua segitiga tersebut memenuhi sd.s.sd sehingga ABC
kongruen dengan PQR.
R
S
2. Amati gambar di samping.
Q
PQRS adalah jajargenjang dengan
salah satu diagonalnya QS.
70° 50°
Selidikilah apakah PQS dan RSQ A C
8 cm
kongruen? Jelaskan. P Q
Gambar 1.25
Penyelesaian:
Pada jajargenjang, sisi-sisi yang berhadapan sama panjang dan
sejajar sehingga PQ = SR, PQ // SR, dan PS = QR, PS // QR.
Selanjutnya, QS adalah diagonal sehingga QS = SQ.
Dengan demikian, sisi-sisi yang bersesuaian dari PQS dan
RSQ sama panjang (s.s.s).
Tugas
Jadi, PQS dan RSQ kongruen.
untukmu
Amati trapesium siku-siku PQRS pada gambar berikut.
3.
S R
PQ = 5 cm, SR = 3 cm, Lukislah masing-masing
dua segitiga yang
dan PS = 3 cm.
memenuhi syarat:
Selidikilah apakah PSR a. s. s. s
b. s. sd. s
kongruen dengan PRQ?
c. sd. s. sd
Penyelesaian: P Q d. sd. sd. s
Jika PSR dan PRQ kongruen Selidikilah apakah setiap
pasangan segitiga yang
maka haruslah PS = PR dan SR = RQ karena PSR = PRQ
kamu buat kongruen?
(siku-siku). Presentasikan hasil
penyelidikanmu di depan
PR = ( )2 ( )2 = 32 32 = 3 2
kelas.
Jadi, PR ≠ PS.
Oleh karena PQ = 5 cm maka PQ ≠ PR. Dengan demikian,
21
Kesebangunan dan Kekongruenan

29. sisi-sisi yang bersesuaian dari PSR dan PRQ tidak sama
Hal Penting panjang. Jadi, PSR dan PRQ tidak kongruen.
Istilah-istilah penting yang
kamu temui pada bab ini
3. Panjang Garis dan Besar Sudut dari
adalah
Bangun Geometri
• kesebangunan
• kekongruenan
• skala Konsep segitiga kongruen dapat digunakan untuk menghitung
• perbandingan sisi
panjang garis dan besar sudut dari bangun datar, seperti
• perbandingan sudut
jajargenjang, belahketupat, dan layang-layang. Sebelum
menghitung panjang garis dan besar sudut dari bangun
A
geometri, pelajarilah uraian berikut.
Gambar 1.26 memperlihatkan segitiga siku-siku
30°
ABC. Jika dibuat garis dari titik sudut B ke hipotenusa AC
sedemikian rupa sehingga ABT = 30°, diperoleh
T
ATB = 180° – (30° + 30°) = 120°
BTC = 180° – ATB = 180° – 120° = 60°
30°
BCT = 180° – ( BAT + ABC)
= 180° – (30° + 90°) = 60°
C
B
CBT = ABC – ABT = 90° – 30° = 60°
Gambar 1.26
Amati bahwa:
BAT = ABT = 30° sehingga ABT samakaki, dalam
Catatan hal ini AT = BT;
CBT = BCT = BTC = 60° sehingga BTC samasisi,
Garis berat segitiga
dalam hal ini BT = BC = CT.
adalah garis yang melalui
salah satu titik tengah Dengan demikian, AT = BT = BC = CT. Amati bahwa AT =
sisi segitiga dan titik
CT sehingga BT merupakan garis berat ABC.
sudut di hadapan sisi itu.
Oleh karena AC = AT + CT maka AC = BC + BC = 2BC
atau AC = BT + BT = 2 BT.
Uraian tersebut memperjelas Sifat 1 dan Sifat 2 dari
Siapa
Berani? segitiga siku-siku bersudut 30° seperti berikut.
Perhatikan gambar Sifat 1
berikut.
Panjang garis berat segitiga siku-siku bersudut 30°
D
yang ditarik dari titik sudut siku-siku sama dengan
panjang setengah hipotenusanya.
H
I
E C
Sifat 2
G
J
Panjang sisi terpendek dari segitiga siku-siku
F
bersudut 30° sama dengan panjang setengah
A B
hipotenusanya.
Tentukan bangun-bangun
datar yang kongruen.
22 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX