Conjuntos, operações numéricas, equações do 1º e 2º graus

Questões de Matemática – Aula 1
Emerson Marcos Furtado1
Tópicos abordados:
Conjuntos
Números e operações
Equações do 1.º e 2.º graus
1. (FCC) – Comparados os totais de documentos protocolados no mês de
janeiro por dois funcionários do Tribunal de Contas, constatou-se que:
Samuel havia protocolado 498 documentos, 123 a mais que o triplo da
quantidade de documentos protocolados por Cirino. Sabedor disso e
pretendendo calcular a quantidade de documentos protocolados por
Cirino nesse mês, outro funcionário efetuou 498 +123 e, em seguida,
dividiu o resultado obtido por 3, concluindo, então, que Cirino havia
protocolado 207 processos. Com referência aos cálculos efetuados por
tal funcionário, é verdade que:
a) não estão corretos. Primeiramente, ele deveria ter efetuado 498 -
123 e, em seguida, calculado o valor de 375 / 3, obtendo assim, o
resultado pretendido.
b) não estão corretos. Primeiramente, ele deveria ter efetuado 123 . 3 e,
em seguida, calculado o valor de 498 – 369, obtendo assim, o resul-
tado pretendido.
c) estão incompletos. Ele ainda deveria ter efetuado 207 . 3 para, en-
tão, obter o resultado pretendido.
d) não estão corretos. Primeiramente, ele deveria ter efetuado 498 / 3
e, em seguida, calculado o valor de 166 –123 a fim de obter o resul-
tado pretendido.
e) estão corretos.
1
Mestre em Métodos Nu-
méricos pela Universidade
Federal do Paraná (UFPR).
Licenciado em Matemáti-
ca pela UFPR. Professor do
Ensino Médio de colégios
nos estados do Paraná e
Santa Catarina desde 1992;
professor do Curso Positivo
de Curitiba desde 1996; pro-
fessor da Universidade Posi-
tivo, de 2000 a 2005; autor de
livros didáticos, destinados a
concursospúblicos,nasáreas
de Matemática, Matemática
Financeira, Raciocínio Lógico
e Estatística; sócio-diretor do
Instituto de Pesquisas e Pro-
jetos Educacionais Práxis, de
2003 a 2007; sócio-professor
do Colégio Positivo de Join-
ville desde 2006; sócio-
diretor da empresa Teorema
– Produção de Materiais
Didáticos Ltda. desde 2005;
autor de material didático
para o Sistema de Ensino do
Grupo Positivo, de 2005 a
2009; professor do CEC –
Concursos e Editora de Curi-
tiba, desde 1992, lecionando
as disciplinas de Raciocínio
Lógico, Estatística, Matemá-
tica e Matemática Financeira;
consultor da empresa Result
– Consultoria em Avaliação
de Curitiba, de 1998 a 2000;
consultor em Estatística
Aplicada com projetos de
pesquisa desenvolvidos nas
áreas socioeconômica, qua-
lidade, educacional, indus-
trial e eleições desde 1999;
membro do Instituto de
Promoção de Capacitação
e Desenvolvimento (IPRO-
CADE) desde 2008; autor de
questões para concursos pú-
blicos no estado do Paraná
desde 2003.
Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A,
mais informações www.videoaulasonline.com.br

2
Solução:
As quantidades de documentos protocolados são dadas por:
Cirino: C documentos
Samuel: 3C + 123 documentos (123 a mais que o triplo)
Se Samuel protocolou 498 documentos, então:
3C + 123 = 498
3C = 498 – 123
Logo, para obter a quantidade de documentos protocolados por Cirino,
o correto seria efetuar 498 – 123 e, em seguida, dividir o resultado obtido
por 3.
Resposta: A
2. (Esaf) – Pedro saiu de casa e fez compras em quatro lojas, cada uma
num bairro diferente. Em cada uma gastou a metade do que possuía
e, ao sair de cada uma das lojas pagou R$2,00 de estacionamento. Se
no final ainda tinha R$8,00, que quantia Pedro tinha ao sair de casa?
a) R$220,00
b) R$204,00
c) R$196,00
d) R$188,00
e) R$180,00
Solução:
O problema pode ser resolvido de dois modos principais: modo algébri-
co e modo aritmético. Supondo que Pedro possuísse x reais ao sair de casa,
temos:

3
1.º modo: Algébrico
Entra Gasta Estacionamento Sobra
1.ª loja x
x
2
2
x - 4
2
Sobra da 1.ª loja:
1.ª loja x
x
2
2
x - 4
2
2.ª loja
x - 4
2
x - 4
4
2
x - 12
4
Sobra da 2.ª loja:
1.ª loja x
x
2
2
x - 4
2
2.ª loja
x - 4
2
x - 4
4
2
x - 12
4
3.ª loja
x - 12
4
x - 12
8
2
x - 28
8
Sobra da 3.ª loja:
1.ª loja x
x
2
2
x - 4
2
2.ª loja
x - 4
2
x - 4
4
2
x - 12
4
3.ª loja
x - 12
4
x - 12
8
2
x - 28
8
4.ª loja
x - 28
8
x - 28
16
2
x - 60
16

4
Sobra da 4.ª loja:
Se ao final ele possuía R$8,00, então:

x - 60
16
= 8
x – 60 = 16 . 8
x – 60 = 128
x = 128 + 60
x = 188
2.º modo: Aritmético
Final: R$8,00
Estacionamento: 8 + 2 = 10
4.ª loja: 10 . 2 = 20
3.ª loja: 22 . 2 = 44
2.ª loja: 46 . 2 = 92
1.ª loja: 94 . 2 = 188
Resposta: D
3. (Esaf) – Foi feita uma pesquisa de opinião para determinar o nível de
aprovação popular a três diferentes propostas de políticas governa-
mentais para redução da criminalidade. As propostas (referidas como
A, B e C) não eram mutuamente excludentes, de modo que o entre-
vistado poderia se declarar ou contra todas elas, ou a favor de apenas
uma, ou a favor de apenas duas, ou a favor de todas as três. Dos entre-
vistados, 78% declararam-se favoráveis a pelo menos uma delas. Ainda
do total dos entrevistados, 50% declararam-se favoráveis à proposta A,
30% à proposta B e 20% à proposta C. Sabe-se, ainda, que 5% do total

5
dos entrevistados se declararam favoráveis a todas as três propostas.
Assim, a porcentagem dos entrevistados que se declararam favoráveis
a mais de uma das três propostas foi igual a:
a) 17%
b) 5%
c) 10%
d) 12%
e) 22%
Solução:
Organizando as informações em diagramas, temos:
A B
C
a b
c
zy
x
5%
20%
30%
50%
Contra as três
22%
Se 78% declararam-se favoráveis a pelo menos uma delas, então:
a + b + c + x + y + z + 5% = 78%
a + b + c + x + y + z = 78% – 5%
a + b + c + x + y + z = 73%

6
Utilizando os percentuais totais dos 3 conjuntos, temos:
a + x + y + 5% = 50%
b + x + z + 5% = 30%
c + y + z + 5% = 20%
Somando as três equações, temos:
(a + b + c + x + y + z) + (x + y + z) + (5% + 5% + 5%) = 100%
(73%) + (x + y + z) + (15%) = 100%
x + y + z = 100% – 73% – 15%
x + y + z = 12%
A porcentagem dos entrevistados que se declararam favoráveis a
mais de uma das três propostas é dada por:
x + y + z + 5% = (x + y + z) + 5% = (12%) + 5% = 17%
Resposta: A
4. (Esaf) – Uma estranha clínica veterinária atende apenas cães e
gatos. Dos cães hospedados, 90% agem como cães e 10% agem
como gatos. Do mesmo modo, dos gatos hospedados, 90% agem
como gatos e 10% agem como cães. Observou-se que 20% de to-
dos os animais hospedados nessa estranha clínica agem como ga-
tos e que os 80% restantes agem como cães. Sabendo-se que na
clínica veterinária estão hospedados 10 gatos, o número de cães
hospedados nessa estranha clínica é:
a) 50
b) 10
c) 20
d) 40
e) 70

7
Solução:
Sejam:
C A quantidade de cães da clínica
G A quantidade de gatos da clínica
A quantidade de animais que agem como cães é igual à quantidade de
cães que agem como cães, adicionada da quantidade de gatos que agem
como cães. Logo:
0,80 . (C + G) = 0,90 . C + 0,10 . G
0,80 . C + 0,80 . G = 0,90 . C + 0,10 . G
0,80 . G – 0,10 . G = 0,90 . C – 0,80 . C
0,70 . G = 0,10 . C
Multiplicando ambos os membros da equação por 10, temos:
7G = C
Se 10 gatos estão hospedados na clínica veterinária, então:
7 . 10 = C
C = 70
Portanto, 70 cães estão hospedados na clínica.
Resposta: E
5. (FCC) – No esquema se tem representada a multiplicação de dois nú-
meros inteiros, no qual alguns algarismos foram substituídos pelas le-
tras A, B, C e D.
A B 2 C
X 4
1 5 7 D 2

8
Completado o diagrama corretamente, é verdade que:
a) C = D + 1
b) B = A2
c) A + B = C + D
d) A – C = 5
e) A = D0
Solução:
Pelo esquema, temos:
4 . C = ?2
Ou seja, o produto de 4 por C é um número cujo algarismo das unidades
é igual a 2.
Existem apenas duas possibilidades:
C = 3 4 . 3 = 12
C = 8 4 . 8 = 32
Tablet
Vamos analisar cada uma delas.
Se C = 3, temos:
A B 2 3
X 4
1 5 7 D 2
1
A B 2 3
X 4
1 5 7 9 2
1

9
Nesse caso, teríamos D = 9 e o produto de 4 pelo algarismo B deveria
resultar em um número cujo algarismo das unidades é igual a 7. Isso é im-
possível, pois o produto de um número inteiro por 4 resulta sempre em um
número par que não pode terminar com 7.
Logo, a hipótese de que C = 3 está descartada. Só resta a hipótese de que
C = 8:
A B 2 8
X 4
1 5 7 D 2
3
A B 2 8
X 4
1 5 7 1 2
3
Nessa hipótese, teríamos D = 1. Além disso, (4 . B + 1) deve ser um número
cujo algarismo das unidades terminaria em 7. Nesse caso, existem duas
possibilidades:
B = 4 4 . 4 + 1 = 17
B = 9 4 . 9 + 1 = 37
Para B = 4, por exemplo, teríamos:
A 4 2 8
X 4
1 5 7 1 2
1
Nesse caso, (4 . A + 1) deveria resultar em 15, o que é impossível,
observe:

10
4 . A + 1 = 15
4 . A = 15 – 1
4 . A = 14
Não existe A inteiro tal que 4 . A = 14.
Assim, a hipótese de que B = 4 está descartada.
Se B = 9, temos:
A 9 2 8
X 4
1 5 7 1 2
3
Nessa hipótese, teríamos:
4 . A + 3 = 15
4 . A = 15 – 3
4 . A = 12
A = 3
O esquema, então, teria a seguinte forma:
3 9 2 8
X 4
1 5 7 1 2
Portanto:
A = 3
B = 9
C = 8
D = 1

11
A única relação verdadeira entre as incógnitas é:
B = A2
9 = 32
Verdadeira
Resposta: B
6. (FCC) – Considere três números estritamente positivos e siga as instru-
ções abaixo.
I. Adicionar 3 unidades a cada um deles.
II. Adicionar os três resultados encontrados em I.
III. Multiplicar por 3 o resultado encontrado em II.
IV. Subtrair 6 do resultado encontrado em III.
V. Adicionar 15 ao resultado encontrado em IV.
VI. Dividir por 3 o resultado encontrado em V.
VII. Subtrair o resultado encontrado em II do resultado encontrado emVI.
O resultado encontrado em VII é:
a) a soma dos três números considerados.
b) o triplo da soma dos três números considerados.
c) 2
d) 3
e) 4
Solução:
Sejam a, b e c os números dados. Vamos seguir as instruções:
I. Adicionar 3 unidades a cada um deles:
(a + 3), (b + 3), (c + 3)
II. Adicionar os três resultados encontrados em I:
(a + 3) + (b + 3) + (c + 3) = (a + b + c) + 9

12
III. Multiplicar por 3 o resultado encontrado em II:
[(a + b + c) + 9] . 3 = (a + b + c) . 3 + 9 . 3 = (a + b + c) . 3 + 27
IV. Subtrair 6 do resultado encontrado em III:
[(a + b + c) . 3 + 27] – 6 =
(a + b + c) . 3 + 21
V. Adicionar 15 ao resultado encontrado em IV:
[(a + b + c) . 3 + 21] + 15 =
(a + b + c) . 3 + 36
VI. Dividir por 3 o resultado encontrado em V:
(a + b + c) . 3 + 36
3
(a + b + c) . 3
3
36
3
= + = (a + b + c) + 12
VII. Subtrair o resultado encontrado em II do resultado encontrado em VI:
[(a + b + c) + 12] – [(a + b + c) + 9] = a + b + c + 12 – a – b – c – 9 = 12 – 9 = 3
Logo, o resultado encontrado em VII é igual a 3.
Resposta: D
7. (Cesgranrio) – Considerando-se N um número inteiro e positivo, anali-
se as afirmações seguintes, qualquer que seja o valor de N:
I. N2
+ N + 1 é um número ímpar;
II. N . (N + 1) . (N + 2) é um número múltiplo de 3;
III. N2
tem uma quantidade par de divisores;
IV. N + (N + 1) + (N + 2) é um número múltiplo de 6.
A quantidade de afirmações verdadeiras é
a) 1
b) 2
c) 3

13
d) 4
e) 0
Solução:
I. Verdadeira
Fatorando, temos:
N2
+ N + 1 = N . (N + 1) + 1
Observe que N . (N + 1) é o produto de dois números inteiros consecuti-
vos. Logo, necessariamente um deles é par e o outro é ímpar. Como o produ-
to de um número par por um ímpar é sempre par, conclui–se que N . (N + 1)
é par. Logo, N . (N + 1) + 1 é ímpar.
II. Verdadeira
O produto de três números inteiros consecutivos, N . (N + 1) . (N + 2), é um
número múltiplo de 3, pois um dos números é necessariamente múltiplo de
3.
III. Verdadeira
Para cada divisor positivo de N2
, existe um divisor negativo. Logo, neces-
sariamente a quantidade de divisores de qualquer número inteiro é par.
IV. Falsa
Para N = 2, por exemplo, temos:
N + (N + 1) + (N + 2) = 2 + (2 + 1) + (2 + 2) = 9
O número 9 não é um número múltiplo de 6.
Logo, exatamente três afirmações são verdadeiras.
Resposta: C
8. (Esaf) – Uma escola de idiomas oferece apenas três cursos: um curso
de Alemão, um curso de Francês e um curso de Inglês. A escola possui
200 alunos e cada aluno pode matricular-se em quantos cursos dese-
jar. No corrente ano, 50% dos alunos estão matriculados no curso de
Alemão, 30% no curso de Francês e 40% no de Inglês. Sabendo-se que

14
5% dos alunos estão matriculados em todos os três cursos, o número
de alunos matriculados em mais de um curso é igual a
a) 30
b) 10
c) 15
d) 5
e) 20
Solução:
Se adicionarmos os percentuais de alunos matriculados em Alemão, Fran-
cês e Inglês, teremos:
50% + 30% + 40% = 120%
Se o total de alunos é igual 100%, então, necessariamente, 20% dos
alunos foram contabilizados mais de uma vez. Os alunos que se matricula-
ram em um único curso foram contabilizados uma única vez. Logo, foram
contabilizados corretamente. Os alunos que se matricularam nos três cursos
foram contabilizados 3 vezes. Como desejamos contabilizá-los apenas uma
vez, é necessário subtrair o percentual igual a 5% duas vezes, para se encon-
trar o percentual de alunos que se matricularam em exatamente dois cursos.
Assim, o percentual de alunos matriculados em exatamente dois cursos é
dado por:
20% – 2 . 5% = 20% – 10% = 10%
Logo, o percentual de alunos que se matricularam em mais de um curso
é dado por:
5% + 10% = 15%
Como existem 200 alunos, temos:
0,15 . 200 = 30
Portanto, 30 alunos estão matriculados em mais de um curso.
Resposta: A

15
9. (Cesgranrio) – Uma escola organiza, para ocupar os seus recreios, um
torneio de futebol de botão, com 16 participantes, que seguirá a tabe-
la abaixo.
1.ª FASE
JOGO 1: A x B
JOGO 2: C x D
JOGO 3: E x F
JOGO 4: G x H
JOGO 5: I x J
JOGO 6: K x L
JOGO 7: M x N
JOGO 8: O x P
2.ªFASE
JOGO 9: vencedor do jogo 1 x vencedor do jogo 2
FASE SEMIFINAL
FINAL
Os jogos vão sendo disputados na ordem: primeiro, o jogo 1, a seguir, o
jogo 2, depois, o jogo 3 e assim por diante. A cada recreio, é possível realizar,
no máximo, 5 jogos. Cada participante joga uma única vez a cada recreio.
Quantos recreios, no mínimo, são necessários para se chegar ao campeão
do torneio?
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
Solução:
Vamos resolver o problema começando a análise pelos últimos jogos. A
final deverá ser realizada em um único dia. Nenhum jogo poderá ser realiza-
do junto com o jogo final. Para a fase semifinal é necessário mais um dia. A
2.ª fase será realizada em um único dia e mais nenhum jogo será realizado
neste mesmo dia. Para a 1.ª fase serão necessários dois dias, pois, no máximo,
5 jogos poderão ser realizados em um mesmo dia. Desta forma, serão 2 dias
para a 1.ª fase, 1 dia para a 2.ª fase, 1 dia para a semifinal e 1 dia para a final,
totalizando 2 + 1 + 1 + 1 = 5 dias.
Resposta: C

16
10. (Funrio) – Em uma reunião de agentes da Polícia Rodoviária Federal,
verificou-se que a presença por estado correspondia a 46% do Rio de
Janeiro, 34% de Minas Gerais e 20% do Espírito Santo. Alguns agentes
do Rio de Janeiro se ausentaram antes do final da reunião, alterando
o percentual de agentes presentes do Rio de Janeiro para 40%. O per-
centual referente ao número de agentes que se retirou em relação ao
total inicialmente presente na reunião é de
a) 6%
b) 8%
c) 12%
d) 10%
e) 15%
Solução:
A pergunta não esclarece se o percentual de agentes que se retiraram se
refere ao total de agentes da reunião ou ao total de agentes do Rio de Janei-
ro. Como não esclarece, subentende-se que o percentual que se pretenda
encontrar refira-se ao total de agentes presentes à reunião.
Assim, podemos construir uma regra de três envolvendo a parte constan-
te (MG + ES):
54% 60%
x 100%
100 . 54 = 60x
60x = 5 400
x = 5 400/60
x = 90
Resolvendo, obtemos para x um valor igual a 90%. Portanto, conclui-se
que 100% – 90% = 10% foi a redução em relação à quantidade de agentes
presentes à reunião.
Resposta: D

17
11. (Esaf) Uma curiosa máquina tem duas teclas, A e B, e um visor no qual
aparece um número inteiro x. Quando se aperta a tecla A, o número
do visor é substituído por 2x + 1. Quando se aperta a tecla B, o número
do visor é substituído por 3x – 1. Se no visor está o número 5, o maior
número de dois algarismos que se pode obter, apertando-se qualquer
sequência das teclas A e B, é
a) 87
b) 95
c) 92
d) 85
e) 96
Solução:
Pararesolveresteproblema,podemoselaboraralgumashipótesesquanto
à sequência das teclas acionadas.
1.ª hipótese: Acionando apenas a tecla A um total de 5 vezes
Início: x = 5
Tecla A: 2x + 1 = 2 . 5 + 1 = 10 + 1 = 11
Tecla A: 2x + 1 = 2 . 11 + 1 = 22 + 1 = 23
Tecla A: 2x + 1 = 2 . 23 + 1 = 46 + 1 = 47
Tecla A: 2x + 1 = 2 . 47 + 1 = 94 + 1 = 95
Tecla A: 2x + 1 = 2 . 95 + 1 = 190 + 1 = 191
Nesta hipótese o maior número de dois algarismos seria igual a 95.
2.ª hipótese: Acionando apenas a tecla B um total de 3 vezes
Início: x = 5
Tecla B: 3x – 1 = 3 . 5 – 1 = 15 – 1 = 14
Tecla B: 3x – 1 = 3 . 14 – 1 = 42 – 1 = 41
Tecla B: 3x – 1 = 3 . 41 – 1 = 123 – 1 = 122

18
Nesta hipótese o maior número de dois algarismos seria igual a 41.
3.ª hipótese: Acionando a tecla A, a tecla B e a tecla B, nesta ordem
Início: x = 5
Tecla A: 2x + 1 = 2 . 5 + 1 = 10 + 1 = 11
Tecla B: 3x – 1 = 3 . 11 – 1 = 33 – 1 = 32
Tecla B: 3x – 1 = 3 . 32 – 1 = 96 – 1 = 95
Nesta hipótese o maior número de dois algarismos também seria igual a
95.
Mesmo com outras hipóteses, não é possível atingir o número 96.
Resposta: B
12. (Funrio) – Uma pesquisa realizada com 1 000 universitários revelou
que 280, 400 e 600 desses universitários são alunos de cursos das áre-
as de tecnologia, saúde e humanidades, respectivamente. Ela mostrou
também que nenhum dos entrevistados é discente de cursos das três
áreas e que vários deles fazem cursos em duas áreas. Sabendo que a
quantidade de estudantes que fazem cursos das áreas de humanida-
des e saúde é igual ao dobro da quantidade dos que realizam cursos
das áreas de humanidades e tecnologia que, por sua vez, é igual ao
dobro dos que fazem cursos das áreas de tecnologia e saúde, a quanti-
dade de entrevistados que fazem apenas cursos da área de tecnologia
é igual a
a) 160
b) 280
c) 200
d) 240
e) 120

19
Solução:
Sendo,T o conjunto dos universitários da área de tecnologia, S o conjunto
dos universitários da área de saúde, H o conjunto dos universitários da área
de humanidades, de acordo com o enunciado, podemos escrever:
n(T) = 280, n(S) = 400, n(H) = 600 e, ainda:
n(T e S e H) = 0
n(T e H) = 2 . n(T e S)
n(S e H) = 2 . n(T e H) = 2 . [ 2 . n(T e S)] = 4 . n(T e S)
Se a quantidade total de universitários é igual a 1 000, temos:
n(T) + n(S) + n(H) – n(T e S) – n(T e H) – n(S e H) + n(T e S e H) = 1 000
280 + 400 + 600 – n(T e S) – 2.n(T e S) – 4.n(T e S) + 0 = 1 000
1 280 – 7.n(T e S) = 1 000
1 280 – 1 000 = 7.n(T e S)
280 = 7.n(T e S)
n(T e S) = 40
Logo:
n(T e H) = 2 . n(T e S) = 2 . 40 = 80
Assim, a quantidade de universitários que fazem apenas cursos da área
de Tecnologia é dado por:
n(T) – n(T e S) – n(T e H) = 280 – 40 – 80 = 160
Resposta: A
13. (Cesgranrio) – Existe uma regra prática de divisibilidade por 7 com o
seguinte procedimento:

20
Separa-se o último algarismo da direita. Multiplica-se esse algarismo por
2 e tal resultado é subtraído do número que restou sem o algarismo à direita.
Procede-se assim, sucessivamente, até se ficar com um número múltiplo de
7, mesmo que seja zero.
Veja os exemplos a seguir:
1.º) 23 457 é múltiplo de 7
–
2 3 4 5 7
1 4 (7 . 2 = 14)
–
2 3 3 1
2 (1 . 2 = 2)
–
2 3 1
2 (1 . 2 = 2)
2 1 (que é múltiplo de 7)
2.º) 2 596 não é múltiplo de 7
–
2 5 9 6
1 2 (6 . 2 = 12)
–
2 4 7
1 4 (7 . 2 = 14)
1 0 (que não é múltiplo de 7)
Seja a um algarismo no número a13 477 307. O valor de a para que este
número seja divisível por 7 é
a) 1
b) 3
c) 5
d) 7
e) 9
Solução:
Número: a13 477 307
Passo 1: a1 347 730 – 7 . 2 = a1 347 730 – 14 = a1 347 716
Passo 2: a 134 771 – 6 . 2 = a 134 771 – 12 = a 134 759

21
Passo 3: a13 475 – 9 . 2 = a13 475 – 18 = a13 457
Passo 4: a1 345 – 7 . 2 = a1 345 – 14 = a1 331
Passo 5: a 133 – 1 . 2 = a 133 – 2 = a 131
Passo 6: a13 – 1 . 2 = a13 – 2 = a11
Passo 7: a1 – 1 . 2 = a1 – 2 = (10a + 1) – 2 = 10a – 1
Quando um número de dois algarismos é igual a 31, por exemplo, significa que
tal número tem 3 dezenas e 1 unidade, ou seja, 31 = 10 . 3 + 1.
Em relação ao número 71, por exemplo, temos 71 = 10 . 7 + 1.
Como poderíamos desmembrar o número de dois algarismos da forma“a1”?
O número“a1”possui“a”dezenas e 1 unidade, logo, a1 = 10 . a + 1.
Substituindo valores de a que estão presentes nas alternativas, temos:
a = 1 10a – 1 = 10 . 1 – 1 = 9 não é múltiplo de 7
a = 5 10a – 1 = 10 . 5 – 1 = 49 múltiplo de 7
Logo, para a = 5 o número é divisível por 7.
Resposta: C
14. (F.C.Chagas) – O número 1001011, do sistema binário de numeração,
no sistema decimal de numeração equivale a um número x tal que
a) 0 x 26
b) 25 x 51
c) 50 x 75
d) 74 x 100
e) x 99

22
Solução:
Um número no sistema binário é escrito como a soma dos produtos de
potências de 2 (com expoentes consecutivos) cujos coeficientes podem ser
apenas os algarismos 0 ou 1. Desta forma, temos:
(1001011)2
= 1 . 26
+ 0 . 25
+ 0 . 24
+ 1 . 23
+ 0 . 22
+ 1 . 21
+ 1 . 20
(1001011)2
= 64 + 0 + 0 + 8 + 0 + 2 + 1
(1001011)2
= (75)10
O número 2 escrito junto ao número 1001011 representa a base do siste-
ma de numeração, ou seja, é o sistema binário. Analogamente, o número 75,
escrito no sistema decimal apresenta base 10. Assim, o número 1001011 no
sistema binário corresponde ao número 75 no sistema decimal. O número 75
está compreendido entre 74 e 100.
Resposta: D
15. (Funrio) – Do seu copo de suco, Isabela bebeu inicialmente 100ml. De-
pois, bebeu 1/4 do que restava e, depois de algum tempo, ela bebeu
o restante que representava 1/3 do volume inicial. O copo continha
inicialmente uma quantidade de suco, em ml, igual a
a) 180
b) 160
c) 200
d) 220
e) 210
Solução:
Se Isabela bebeu, ao final, 1/3 do volume inicial, então ela havia bebido
2/3 do volume no início. Se V é o volume inicial, temos:
1
4
2
3
100 + . (V - 100) = . V

Multiplicando por 12 membro a membro, temos:

23
1 200 + 3 . (V – 100) = 8 . V
1 200 + 3 . V – 300 = 8 . V
900 = 8V – 3V
900 = 5V
V = 180
Logo, o copo continha inicialmente 180ml de suco.
Resposta: A
16. (F.C.Chagas) – Considere um número natural qualquer X e siga as se-
guintes instruções:
I. Multiplique esse número por 3.
II. Adicione 9 ao resultado obtido em I.
III. Subtraia 6 do resultado obtido em II.
IV. Divida por 3 o resultado obtido em III.
V. Subtraia o número X do resultado obtido em IV.
O resultado obtido em V é igual a:
a) X
b) 4
c) 3
d) 2
e) 1
Solução:
Início: X
Instrução I: 3 . X
Instrução II: 3 . X + 9
Instrução III: (3 . X + 9) – 6 = 3X + 3 = 3 . (X + 1)

24
Instrução IV: 3 . (X + 1) / 3 = X + 1
Instrução V: (X + 1) – X = 1
Logo, o resultado obtido em V é igual a 1.
Resposta: E
17. (CESPE – UnB) – O Tribunal de Contas da União (TCU) conta com um
organograma com a seguinte estrutura. Unidades básicas: Secretaria-
-Geral de Controle Externo (SEGECEX), Secretaria-Geral das Sessões
(SGS), Secretaria-Geral de Administração (SEGEDAM). Unidades de
apoio estratégico: Secretaria de Planejamento e Gestão (SEPLAN), Se-
cretaria de Tecnologia da Informação (SETEC) e Instituto Serzedello
Corrêa (ISC).
A SEGECEX tem por finalidade gerenciar a área técnico-executiva de con-
trole externo visando prestar apoio e assessoramento às deliberações do
Tribunal.
Integram a estrutura da SEGECEX: Secretaria Adjunta de Fiscalização de
Pessoal (SEFIP), Secretaria de Fiscalização de Obras e Patrimônio da União
(SECOB), Secretaria de Fiscalização de Desestatização (SEFID), Secretaria de
Fiscalização e Avaliação de Programas de Governo (SEPROG), Secretaria de
Macroavaliação Governamental (SEMAG), Secretaria de Recursos (SERUR) e
trinta e duas Secretarias de Controle Externo (SECEX), sendo seis localizadas
em Brasília, sede doTCU, e vinte e seis nas capitais dos estados da Federação.
A SGS tem por finalidade prestar apoio e assistência ao funcionamento do
Plenário e das Câmaras e gerenciar as bases de informação sobre normas,
jurisprudência e deliberações do Tribunal. A SEGEDAM tem por finalidade
planejar, organizar, dirigir, controlar, coordenar, executar e supervisionar as
atividades administrativas necessárias ao funcionamento do Tribunal, con-
tando, para tanto, com a Secretaria de Recursos Humanos (SEREC), a Secreta-
ria de Orçamento, Finanças e Contabilidade (SECOF), a Secretaria de Material,
Patrimônio e Comunicação Administrativa (SEMAT) e a Secretaria de Enge-
nharia e Serviços Gerais (SESEG).
Disponível em: www.tcu.gov.br. Adaptado.
Considere que A seja o conjunto dos órgãos que integram a SEGECEX e B,
o conjunto dos órgãos que integram a SEGEDAM. Com base nas informações
do texto acima, julgue os itens a seguir.

25
1. ( ) A B ≠ Ø
2. ( ) O número de secretarias de A B é menor que o somatório
do número de secretarias de A e B.
3. ( ) A SERUR é um subconjunto da SEGECEX.
4. ( ) A SESEG é um elemento do conjunto B.
Solução:
A partir das informações, podemos constituir os seguintes conjuntos:
A = {SEFIP, SECOB, SEFID, SEPROG, SEMAG, SERUR, SECEX}
B = {SEREC, SECOF, SEMAT, SESEG}
1. Errado
Não há secretaria comum entre os conjuntos A e B, ou seja, A B = Ø.
2. Errado
Como não há secretaria comum entre os conjuntos A e B, temos:
n(A B) = n(A) + n(B) – n(A B)
n(A B) = n(A) + n(B) – n(Ø)
n(A B) = n(A) + n(B) – 0
n(A B) = n(A) + n(B)
Logo, o número de secretarias de A B é igual à soma do número de
secretarias de A e B.
3. Errado
A SERUR é um elemento do conjunto A (SEGECEX).
4. Correto
A SESEG é um elemento do conjunto B.
Resposta: 1. E; 2. E; 3. E; 4. C
18. (F.C.Chagas) – Um seminário foi constituído de um ciclo de três con-
ferências: uma de manhã, outra à tarde e a terceira à noite. Do total

26
de inscritos, 144 compareceram de manhã, 168 à tarde e 180 à noite.
Dentre os que compareceram de manhã, 54 não voltaram mais para
o seminário, 16 compareceram às três conferências e 22 comparece-
ram também à tarde, mas não à noite. Sabe-se também que 8 pessoas
compareceram à tarde e à noite, mas não de manhã. Constatou-se que
o número de ausentes no seminário foi de um oitavo do total de inscri-
tos. Nessas condições, é verdade que:
a) 387 pessoas compareceram a pelo menos uma das conferências.
b) 282 pessoas compareceram a somente uma das conferências.
c) 108 pessoas compareceram a pelo menos duas conferências.
d) 54 pessoas inscritas não compareceram ao seminário.
e) o número de inscritos no seminário foi menor que 420.
Solução:
As informações podem ser organizadas de acordo com os seguintes
diagramas:
M T
N
54 t
n
8m
22
16
180
Ausentes
x
144
168

27
Para encontrar os valores de m, t e n, podemos escrever:
54 + 22 + 16 + m = 144 m = 144 – 92 m = 52
22 + 16 + 8 + t = 168 t = 168 – 46 t = 122
16 + 8 + m + n = 180 16 + 8 + 52 + n = 180 n = 180 – 76 = 104
A quantidade de inscritos é dada por:
54 + 22 + 16 + 52 + 122 + 8 + 104 + x = 378 + x
Se a quantidade de ausentes é um oitavo da quantidade total de inscritos,
esta é dada por:
(378 + x) / 8 = x
378 + x = 8x
378 = 8x – x
378 = 7x
x = 54
Logo,
54 foram os ausentes;
378 + 54 = 432 foram os inscritos;
378 pessoas compareceram a pelo menos uma das conferências;
54 + t + n = 280 pessoas compareceram a somente uma das
conferências;
22 + 16 + 8 + m = 98 pessoas compareceram a pelo menos duas
conferências;
O número de inscritos no seminário foi maior que 420 (432).
Resposta: D
19. (Cesgranrio) – Jonas possui 15 bolas visualmente idênticas. Entretanto,
uma delas é um pouco mais pesada do que as outras 14, que têm to-
das o mesmo peso.

28
DigitalJuice.
Utilizando uma balança de dois pratos, semelhante à da figura acima,
o número mínimo de pesagens, com que é possível identificar a bola que
destoa quanto ao peso é
a) 5
b) 4
c) 3
d) 2
e) 1
Solução:
Uma estratégia para descobrir a mais pesada seria separar as 15 bolas em
três grupos de cinco bolas. Tomar dois desses grupos e colocar um em cada
prato. Se houver equilíbrio, certamente a bola pesada estará no grupo que não
foi colocado em algum prato. Se houver desequilíbrio, será possível identifi-
car qual o grupo mais pesado e, portanto, a qual grupo pertence a bola mais
pesada. Seja qual for a situação, será possível restringir a bola mais pesada a
um grupo de apenas 5 bolas. Este grupo de 5 bolas a qual pertence a bola mais
pesadaserádivididoemtrêsnovosgrupos:umcomumaúnicabolaeosoutros
dois cada um com duas bolas. Colocaremos em cada prato, simultaneamente,
um grupo com 2 bolas. Se houver equilíbrio na pesagem, certamente a bola
mais pesada será a que não foi colocada em qualquer prato. Se não houver
equilíbrio, será possível identificar a qual grupo de duas bolas pertencerá a
bola mais pesada. Em seguida, poderíamos realizar uma última pesagem com
as duas bolas do grupo mais pesado. Colocaríamos uma em cada prato para

29
definitivamente identificar a mais pesada. Portanto, 3 pesagens seriam sufi-
cientes para se identificar a bola que destoa quanto ao peso.
Resposta: C
20. (Cesgranrio) – Certo técnico de suporte em informática começou a re-
solver um problema em um computador às 14h40min. Se ele levou 75
minutos para solucionar o problema, a que horas ele terminou esse
serviço?
a) 16h05min
b) 15h55min
c) 15h45min
d) 15h35min
e) 15h25min
Solução:
O tempo de 75 minutos que o técnico levou para solucionar o problema
corresponde a 1 hora e 15 minutos. Se ele iniciou às 14h40min, conclui às:
(14 + 1)h (40 + 15)min = 15h55min
Resposta: B
21. (F.C.Chagas) – Certo dia, X funcionários e o presidente da empresa em
que trabalham estavam sentados em torno de uma mesa circular. Num
dado momento, o presidente começou a passar aos funcionários um
pacote com 29 balas e, sucessivamente, cada um retirou uma única
bala a cada passagem do pacote. Considerando que 1 X 15 e que
o presidente retirou a primeira e a última bala do pacote, o número de
funcionários que estavam sentados à mesa poderia ser
a) 14
b) 12
c) 9
d) 6
e) 4

30
Solução:
Se havia X funcionários mais o presidente, então existiam (X + 1) pessoas
na mesa circular. Considerando que cada funcionário pegou k balas, k natu-
ral e maior que 1, que o pacote continha 29 balas e que o presidente pegou
uma bala a mais do que qualquer funcionário, podemos escrever:
k . X + (k + 1) = 29
k . X + k = 29 – 1
k . (X + 1) = 28
Como (X + 1) e k são números inteiros positivos, necessariamente, ambos
são divisores de 28. Logo (X + 1) é um elemento do conjunto {1, 2, 4, 7, 14, 28}
e, portanto, X é um elemento do conjunto {1, 3, 6, 13, 27}. Portanto, o número
de funcionários que estavam sentados à mesa poderia ser igual a 6.
Resposta: D
22. (F.C.Chagas) – A tabela abaixo permite exprimir os valores de certas
grandezas em relação a um valor determinado da mesma grandeza to-
mado como referência. Os múltiplos e submúltiplos decimais das unida-
des derivadas das unidades do Sistema Internacional de Unidades (SI)
podem ser obtidos direta ou indiretamente dos valores apresentados e
têm seus nomes formados pelo emprego dos prefixos indicados
NOME SÍMBOLO
FATOR PELO QUAL A UNI-
DADE É MULTIPLICADA
tera T 1012
= 1 000 000 000 000
giga G 109
= 1 000 000 000
mega M 106
= 1 000 000
quilo k 103
= 1 000
hecto h 102
= 100
deca da 10 = 10
deci d 10-1
= 0,1
centi c 10-2
= 0,01
mili m 10-3
= 0,001
micro µ 10-6
= 0,000 001
nano n 10-9
= 0,000 000 001
pico p 10-12
= 0,000 000 000 001
(Quadro Geral de unidades de Medida, 2.ª ed. INMETRO. Brasília, 2000)

31
Assim, por exemplo, se a unidade de referência fosse o grama (g), tería-
mos 35mg = 35 . 10–3
g = 0,035g. Considerando o byte (b) como unidade de
referência, a expressão (0,005Gb) . (0,12µb)
0,25Mb
é equivalente a:
a) 2,4µb
b) 2,4cb
c) 0,24mb
d) 0,24nb
e) 0,024dab
Solução:
(0,005 Gb) . (0,12 µb)
0,25 Mb
(0,005 . 109
b) . (0,12 . 10-6
b)
0,25 . 106
b
=
(5 . 10-3
. 109
) . (12 . 10-2
. 10-6
)
25 . 10-2
. 106
(0,005 Gb) . (0,12 µb)
0,25 Mb
= b
(0,005 Gb) . (0,12 µb)
0,25 Mb
10-3
. 109
. 10-2
. 10-6
10-2
. 106
5 . 12
25( (
( (= . b
(0,005 Gb) . (0,12 µb)
0,25 Mb
10-3+9-2-6
10-2+6(
(= (2,4) . b
(0,005 Gb) . (0,12 µb)
0,25 Mb
10-2
104(
(= (2,4) . b
(0,005 Gb) . (0,12 µb)
0,25 Mb
= (2,4) . (10-2-4
)b = (2,4) . (10-6
)b = 2,4µb
Resposta: A
23. (Esaf) – Sabe-se que todo o número inteiro n maior do que 1 admite
pelo menos um divisor (ou fator) primo. Se n é primo, então tem so-
mente dois divisores, a saber, 1 e n. Se n é uma potência de um primo
p, ou seja, é da forma ps
, então 1, p, p2
, ..., ps
são os divisores positivos

32
de n. Segue-se daí que a soma dos números inteiros positivos meno-
res do que 100, que têm exatamente três divisores positivos, é igual a:
a) 25
b) 87
c) 112
d) 121
e) 169
Solução:
Os números inteiros positivos que possuem exatamente três divisores
positivos tem a forma p2
, em que p é um número primo, pois os divisores
positivos são p0
, p1
e p2
.
Logo, temos as seguintes possibilidades:
p = 2 p2
= 22
= 4 100
p = 3 p2
= 32
= 9 100
p = 5 p2
= 52
= 25 100
p = 7 p2
= 72
= 49 100
Assim, a soma é dada por:
4 + 9 + 25 + 49 = 87
Resposta: B
24. (F.C.Chagas) – Perguntado sobre a quantidade de livros do acervo de
uma biblioteca do Tribunal de Contas do Estado da Paraíba, o funcio-
nário responsável pelo setor, que era aficionado em matemática, deu a
seguinte resposta:“O total de livros do acervo é o resultado da adição
de dois números naturais que, no esquema abaixo, comparecem com
seus algarismos substituídos por letras.”
+ MARRA
TORTA
MARRA
Considerando que letras distintas correspondem a algarismos distintos,
então, ao ser decifrado corretamente, o código permitirá concluir que o total
de livros do acervo dessa biblioteca é um número

33
a) menor que 70 000.
b) compreendido entre 70 000 e 75 000.
c) compreendido entre 75 000 e 80 000.
d) compreendido entre 80 000 e 85 000.
e) maior que 85 000.
Solução:
Na soma das unidades, o valor A adicionado ao valor A deve resultar em
um número cujo algarismo das unidades também é igual a A. Logo, A = 0,
pois esta é a única possibilidade de a soma de dois algarismos resultar em
um número cujo algarismo das unidades é o próprio número (0 + 0 = 0).
Temos ainda que R 5, pois do contrário, ocorreria de a soma “R + R” ter o
algarismo das unidades igual a T (ordem das dezenas) e, ainda, também ter
algarismo das unidades igual a R (ordem das centenas). Observe ainda que
M 5, pois, do contrário, M + M seria um número de dois algarismos. Desta
forma, temos as seguintes possibilidades:
1.ª hipótese: R = 6
Neste caso, T = 2 e R = 3, o que seria contraditório, pois existiriam dois
valores distintos de R.
Nesta,T = 4 e R = 5, o que também seria contraditório, pois existiriam dois
Nesta,T = 6 e R = 7, o que também seria contraditório, pois existiriam dois
Nesta, T = 8, O = 1 e M = 4.
Esta é a única hipótese viável.
Logo, o número resultante para as letras MARRA é igual a 40990 e a soma
resultante,TORTA, perfaz o total de 81 980, número este compreendido entre
80 000 e 85 000.

34
Resposta: D
25. (Esaf) – Em um grupo de 30 crianças, 16 têm olhos azuis e 20 estudam
canto. O número de crianças deste grupo que têm olhos azuis e estu-
dam canto é
a) exatamente 16.
b) no mínimo 6.
c) exatamente 10.
d) no máximo 6.
e) exatamente 6.
Solução:
Vamos organizar as informações em dois conjuntos (olhos azuis e canto),
supondo que possam existir alunos que não tenham olhos azuis nem estu-
dem canto:
y 20 - y16 - y
Nenhum
x
16 20
Olhos Azuis Canto
Se existem 30 crianças, podemos escrever:
(16 – y) + y + (20 – y) + x = 30
36 – y + x = 30
y = x + 6
Como qualquer quantidade de pessoas não pode ser negativa, temos x ≥
0 e, portanto, y ≥ 6, observe:
y = x + 6
y – 6 = x
x ≥ 0 y – 6 ≥ 0 y ≥ 6

35
Ou seja, no mínimo 6 alunos têm olhos azuis e estudam canto.
Resposta: B
26. (Esaf) – Se A = {x IR/ –1 x 1}, B = {x IR/ 0 ≤ x 2} e
C = {x IR/ –1 ≤ x 3}, então o conjunto (A B) – (B C) é dado por:
a) { x IR/ –1 ≤ x 0}
b) { x IR/ 0 ≤ x 1}
c) Ø
d) { x IR/ 0 ≤ x 3}
e) { x IR/ 2 x 3}
Solução:
A intersecção entre os conjuntos A e B é o conjunto, representado por
A B, formado pelos elementos que pertencem simultaneamente a A e a
B. Desta forma, temos:
A B = {x IR/ –1 x 1} {x IR/ 0 ≤ x 2}
A B = {x IR/ 0 ≤ x 1}
Observe que os elementos comuns a A e a B pertencem ao intervalo
0 ≤ x 1.
B C = {x IR/ 0 ≤ x 2} {x IR/ –1 x 3}
B C = {x IR/ 0 ≤ x 2} = B, pois B C.
Da mesma forma, os elementos comuns a B e a C pertencem ao intervalo
0 ≤ x 2.
A diferença entre os conjuntos (A B) e (B C), nesta ordem, é o con-
junto, representado por (A B) – (B C), formado pelos elementos que
pertencem (A B), mas não pertencem a (B C), logo, temos:
(A B) – (B C) = {x IR/ 0 ≤ x 1} – {x IR/ 0 ≤ x 2}
(A B) – (B C) = Ø, pois todo elemento de (A B) também é de
(B C).
Resposta: C

36

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