Amostragem e intervalos de confiança na pesquisa de marketing

PESQUISA
DE
MARKETING
Edição Compacta

Prof. Dr. Fauze Najib Mattar

2

Capítulo 4 – Amostragem, Intervalos de
Confiança e Número de Elementos da Amostra

PESQUISA DE MARKETING – Edição Compacta Mattar

Amostragem, Intervalos de Confiança e Número de Elementos da Amostra 3

Conceitos de amostragem

 População é o agregado de casos que se enquadram em
um conjunto de especificações preestabelecido.

 Amostra é qualquer parte de uma população.

 Amostragem é o processo de colher amostras de uma
população.

 Elemento da pesquisa é a unidade sobre a qual
procura-se obter os dados

 Unidade amostral é a unidade básica que contém os
elementos da população a ser amostrada.



Vantagens de amostrar

 Economia de mão de obra.

 Rapidez e economia de tempo.

 Dados mais precisos.

 Pode ser a única opção.



Qualidades de uma boa amostra

 Precisão – exatidão entre as estatísticas (amostras e
os parâmetros (população).

 Eficiência – diz respeito a quanto um projeto
amostral é mais eficiente que outro.

 Correção – grau de ausência de vieses não
amostrais.



Correção e precisão de amostras
1. Amostra correta e precisa
Fabx
Amostra contém erros amostrais
desprezíveis e não contém erros não
amostrais

X
xi = µ
2. Amostra correta e imprecisa Sendo:
µ = média da população
Fabx
Amostra contém erro amostral mas xi = média da amostra i
não contém erros não amostrais utilizada na pesquisa
ea = erro amostral
ena = erro não amostral
µ ea xi X
3. Amostra incorreta e precisa
Fabx
Amostra contém erro amostral e
erros não amostrais

µ e xi X
e = ea + ena



Passos para a seleção de amostras

1. Definir a população de pesquisa.
2. Elaborar ou dispor de uma lista de todas as
unidades amostrais da população.
3. Decidir o tamanho da amostra.
4. Selecionar um procedimento específico através
do qual a amostra será determinada ou
selecionada.
5. Selecionar fisicamente a amostra, tendo por
base os procedimentos dos passos anteriores.



Designação apropriada de uma população de pesquisa

 Definição das especificações dos elementos da pesquisa.

 Definição da unidade amostral.

 Abrangência geográfica da pesquisa.

 Período de tempo.



Tipos de amostragens

Não probabilísticas
 Não é conhecida a probabilidade de cada elemento fazer
parte da amostra (não permite ter controle sobre o erro
amostral).

Básicas:
 Conveniência (ou Acidental).
 Intencional (ou Julgamento).
 Cotas (ou Proporcional).
Variações:
 Tráfego.
 Autogerada.
 Desproporcional.



Tipos de amostragens
(continuação)

Probabilísticas
É conhecida “a priori”a probabilidade de cada elemento da
população de fazer parte da amostra (permite ter controle
sobre o erro amostral).

 Aleatória simples.
 Aleatória estratificada.
 Conglomerado:
• sistemática;
• área.



Amostragens estratificadas não proporcionais

Fórmula para correção de uma amostra não proporcional
Pn = An / an
Onde:
Pn = peso a ser atribuído aos resultados da
sub-amostra n
An = proporção de elementos da subamostra n na
população
an = proporção de elementos da subamostra n na
amostra



Tipos de amostragens e conseqüências para a inferência
(assumir os resultados na amostra como válidos para a população)

Q

População
(N ou ∞)
Amostra
n

R

1 2
Inferência
Não possibilidade

de inferência
1 - Amostra probabilística

2 - Amostra não probabilística



Notações utilizadas em teoria de amostragem

Notações
Distribuição
População Amostra
amostral

Número de elementos N n k

Observação Xi xi xi

µ x µ
Média x

Variância σ2 S2 σ2
x

Desvio-padrão σ S σ
x

Proporção de ocorrência P p -

Proporção de não ocorrência Q q -



Fórmulas utilizadas em teoria de amostragem

Fórmulas
Distribuição
População Amostra
amostral
_
Média ∑ Xi _ ∑ xi ∑ xi
µ= x = µ_ =
x
N n k
_ _
Variância ∑(Xi - µ)2 ∑(xi – x)2 ∑(xi - µ_)2
x
σ2 = S2 = σ_2 =
x
teórica N n k
_ _
σ2 = ∑Xi –(∑Xi) ∑x2 (∑xi)2 σ_2 = ∑x2 (∑xi)2
2 2
i i
computacional S2 = – x –
N N 2 n n 2
k k2



Teorias estatísticas de amostragem

Suporte da estatística para a utilização de amostragem probabilística em
pesquisa de marketing:

Passo 1 - Define-se uma população qualquer de tamanho N.

Passo 2 - Tiram-se as medidas dos parâmetros da população.

Média da população = µ
Variância da população = σ2

Passo 3 - Define-se um tamanho n qualquer para a amostra.

n<N



(continuação)

Passo 4 - Constroem-se todas as k amostras possíveis sem reposição (*) de
tamanho n.

k = CN, n

Passo 5 - Calcula-se a média de cada uma das k amostras obtidas.

xi = média de cada amostra
xi = x1 , x2 ,...xk

(*) foi considerado apenas o caso sem reposição, que é a situação típica
em pesquisa de marketing.



(continuação)

Passo 6 - Calcula-se a média de todas as médias das k amostras obtidas
(média amostral).

µ_ = média das médias das k amostras (média amostral)
x

_
µ_ = ∑ xi / k
x

Passo 7 - Calcula-se a variância da média das k amostras obtidas
(variância amostral).

-
σx2 = variância das k amostras (variâncias amostrais)
_
_2 _
σx = ∑ (xi - µx)2 / k

(foi utilizada a fórmula elementar de cálculo da variância)



(continuação)

 Cumpridos esses 7 passos, poderão ser verificadas as seguintes importantes relações:

A média das médias das amostras obtidas (média amostral) é igual à média da
população que as originou (independente de N ou n), ou:

µx = µ
_

A variância das médias de todas as amostras de tamanho n (variância amostral) é
igual à variância da população que as originou, dividida pelo tamanho das
amostras para populações infinitas, e multiplicada pela expressão (N – n) / (N – 1)
para populações finitas.

σx2 = σ2 / n e σx_ = σ / √n (populações infinitas)
_

_ _
ou σx2 = σ2 (N – n) / n (N – 1) e σx = σ / √(N – n) / n (N - 1) (populações finitas)



Teorias do limite central
1. Se a distribuição da população para uma dada variável for normal, a distribuição das
médias de todas as possíveis amostras de igual tamanho dessa população (distribuição
amostral) também será normal, qualquer que seja o tamanho da amostra.
p.Se a distribuição da população não for normal, a distribuição das médias de todas as
1.
281
suas possíveis amostras aproximar-se-á de uma distribuição normal, à medida que se
ampliar o tamanho dessas amostras. Vide gráfico da distribuição das médias amostrais
para amostras de vários tamanhos de populações com diferentes distribuições
Distribuição das médias de
Distribuição da amostras derivadas de tamanhos:

População 1 n= 2 n= 5 n = 30

Exemplo 1
x x x x
n= 2 n= 5 n = 30
População 1

Exemplo 2
x x x x

Exemplo 3
x x x x

Exemplo 4
x x x x


(continuação)

3. A média das médias das amostras derivadas (ou a média
amostral) de uma população qualquer é igual à média da
população. Quando o valor esperado de um estimador da
população for idêntico ao da população, diz-se que esta
amostra é estatisticamente não viesada.
p. 281 µx_ = µ
4. O desvio-padrão da distribuição amostral da média é igual
ao desvio-padrão da população, dividido pela raiz quadrada
do tamanho da amostra, para populações infinitas.
σ_ = σ / √n
x

Para populações finitas esta expressão deverá ser corrigida
para:
σ
σ_ =
x

(N – n) / n (N – 1)

Este valor é também denominado de erro-padrão da média.


(continuação)

5. Um último aspecto sobre a curva normal e a Teoria do
Limite Central está relacionado com a área contida sob a
curva normal.

A curva normal com um montante de área contida entre
diferentes desvios-padrão da média mostra que:

 68,26% dos casos estão contidos entre µx ± σx da média;
- -

 95,44% dos casos estão contidos entre µx ± 2σx da média;
- -

 99,74% dos casos estão contidos entre µx ± 3σx da média.
- -

(veja ilustração no próximo slide)



Área contida sob a curva normal

99,74%
95,44%
68,26%

_
µ – 3σx _ _
µ – σx µ = µ_ µ + σ_ µ +2σ_ µ +3σ_
µ – 2σx x x x x
ou
µ – 3σ µ – 2σ µ–σ µ+σ µ +2σ µ +3σ
√n √n √n √n √n √n



Visualização do significado de um intervalo de confiança

Para nc = 95% Z ~2 µ, σ 2
=
x

95%
Todas as Distribuição
amostras de amostral
tamanho n µ- 2 σ µ µ+ 2 σ
n ≥ 30 x x

amostra 1 n
x1 ± 2 σ
x
ou
População
x1 ± 2S ⁄ √ n x1 - 2S ⁄ √ n x1 x1 + 2S ⁄ √ n
( µ , σ 2)
amostra 2 n
x2 ± 2 σ
x
ou
x2 ± 2S ⁄ √ n x2 - 2S ⁄ √ n x2 x2 + 2S ⁄ √ n
n
amostra 3 x3 ± 2 σ
x
ou
x3 ± 2S ⁄ √ n x3 - 2S ⁄ √ n x3 x3 + 2S ⁄ √ n



Exemplo da utilização do conceito intervalo de confiança em pesquisas de marketing
Condições:
1. Nível e confiabilidade Z=2
2. População infinita, N ∞
3. Média da população, µ = 36 95%
4. Desvio-padrão, σ = 8
5. Tamanho das amostras, n = 144 √n = 12

Todas as Intervalo: 36 ± 2 x 0,67
amostras Distribuição amostral para:
possíveis n = 144
_
x = µ = 36 34,66 36,00 37,34
σx σ/√n = 8/12 = 0,67

Intervalo: 33 ± 2 x 0,412
Amostra n1= 144
_
sorteada 1 x1 = 33
32,18 33,00 33,82
População S_ 5
=
infinita Sx = S/√n = 5/12 = 0,412
µ = 36 Amostra n2 = 144
σ=8 _
sorteada 2 x2 = 37
S_ 6
= 36,00 37,00 38,00
Sx = S/ √n = 6/12 = 0,500

Amostra n3 = 144
sorteada 3 _
x3 = 39
S_ 7
= 37,83 39,00 40,17
Sx = S/ √n = 7/12 = 0,583 _
x = µ


Determinação do tamanho da amostra
Fórmula geral para determinação de n:
Z2 σ2
n = Sendo: Z = Valor da normal padronizada ao nc
e2 e = Erro máximo admissível
σ = Desvio padrão da população

Situação 1 Situação 2 Situação 3

Z e lado
Dado Dado Z = lσu √ n
c
(n.c.) ca

Z ado
σ
e Dado e = cul Dado
l
ca √ n
2 σ
Zado 2
n n = ul Dado Dado
lc 2
ca e
Para um mesmo σ definidas duas variáveis, o valor da terceira será conseqüente.
,



Amostragem aleatória simples

 Caracteriza-se pelo fato de que cada elemento da
população ter:
probabilidade conhecida;
diferente de zero;
idêntica à dos outros elementos
de ser selecionado para fazer parte da amostra.

 Essa característica permite que qualquer subconjunto
de n elementos de uma população constitua-se numa
amostra possível dessa população.



Procedimentos para a realização de amostragens
aleatórias simples

1.Sorteios manuais.

2.Sorteios com auxílio de computador.

3.Utilização de uma tabela de números aleatórios.



aleatórias estratificadas

1. Divide-se a população objeto do estudo em estratos que
sejam mutuamente exclusivos e coletivamente
exaustivos.

2. Define-se o número de elementos a selecionar em cada
estrato.

3. Seleciona-se uma amostra aleatória simples e
independente em cada estrato.



aleatórias estratificadas
(continuação)

4. Calcula-se a média e o desvio-padrão de cada amostra.

5. Compõem-se as médias e os desvios-padrão de cada
amostra para o cálculo da média e do desvio-padrão que
serão usados como estimadores dos parâmetros da
população.

Observação: A amostragem estratificada pode ou não ser
proporcional à incidência dos estratos na população.



Amostragens aleatórias estratificadas proporcionais
e não proporcionais
 Amostragem estratificada proporcional - Quando as amostras
de cada estrato são proporcionais à incidência do estrato na
população.
Neste caso, os resultados do processamento da amostra total serão
inferidos diretamente para a população.

 Amostragem estratificada não proporcional – Quando as
amostras de cada estrato não são proporcionais à incidência do
estrato na população.
Neste caso, os resultados do processamento das amostras de cada
estrato precisam ser ponderadas pelo seu tamanho para compor o
resultado da amostra total para poder inferir os resultados para a
população.



Amostragens estratificadas não proporcionais
(continuação)

Regras práticas para determinar o peso da participação de
estratos não proporcionais na amostra

1. Quanto maior a participação de um estrato na população,
maior deverá ser sua participação.

2. Quanto maior o estrato em relação aos demais, maior
deverá ser sua participação.

3. Quanto maior a variabilidade dentro do estrato, maior
deverá ser sua participação.



Amostragem por conglomerados (ou grupos)

Substituto mais eficiente da amostragem probabilística simples

Na amostragem probabilística simples cada elemento da
população é sorteado isoladamente para constituir a
amostra.
Na amostragem por conglomerados, grupos de elementos da
população são simultaneamente sorteados para constituir a
amostra.
Tipos de amostragens por conglomerado: sistemática e área.



(continuação)

Passos na amostragem sistemática
1. Estabelecer um rol ordenado dos elementos da população.
2. Numera-se todos os elementos da população, de 1 até N.
3. Determina-se o tamanho da amostra n.
4. Determina-se o passo k = N/n.
5. Sorteia-se um número de 1 a k. O elemento da população
correspondente a esse número será o primeiro elemento da
amostra.
6. Os demais elementos são determinados somando-se k ao
elemento sorteado ou ao elemento anterior, até se chegar
ao final da população.



(continuação)

Passos da amostragem por Área em um Estágio

1. Listar e numerar todos os quarteirões de uma cidade
(população de quarteirões = Nq).

2. Sortear uma amostra aleatória simples ou sistemática
de tamanho nq da população de Nq quarteirões.

3. Coletar dados de todas as residências dos nq quarteirões
sorteados.



(continuação)

Passos da amostragem por Área em dois Estágios

1. Listar e (ou) numerar todos Nq quarteirões de uma cidade.

2. Sortear uma amostra aleatória simples ou sistemática de
tamanho nq da população de Nq quarteirões.

3. Listar e (ou) numerar todas as residências dos nq quarteirões
sorteados.
4. Sortear uma amostra aleatória simples ou sistemática de nr
residências de cada um dos nq quarteirões sorteados.



(continuação)

Passos da amostragem por Área em Multiestágios

1. Subdividir o país em áreas primárias. Considerar áreas
primárias: regiões metropolitanas, comarcas ou grupos de
comarcas (quando se tratar de comarcas muito pequenas).

2. Estratificar essa população de áreas primárias para estar
seguro de que a amostra a ser construída tenha, na mesma
proporção, os diferentes tipos de áreas primárias e (ou)
diferentes regiões do país.

3. Listar e (ou) numerar todas as divisões obtidas.



(continuação)

4. Sortear uma amostra aleatória estratificada dessa população
de áreas primárias.

5. Em cada área primária selecionada, elaborar uma lista das
cidades grandes, médias e dos municípios restantes e criar
estratos.
6. Sortear uma amostra aleatória estratificada da população de
cidades grandes, cidades pequenas e municípios restantes em
cada área primária sorteada.



(continuação)

7. Listar e (ou) numerar todos Nq quarteirões de cada locação
amostral.
8. Sortear uma amostra aleatória simples ou sistemática de
tamanho nq da população de Nq quarteirões de cada locação
amostral.
9. Listar e (ou) numerar todas as residências de cada um dos nq
quarteirões sorteados de todas as locações amostrais.
10. Sortear uma amostra aleatória simples ou sistemática de nr
residências de cada um dos nq quarteirões de cada locação
amostral.



Ilustração da Amostragem por
Área de Múltiestágios

Áreas
Primárias

Locação
Amostral

Bairro
Unidade
Amostral

Quarteirão Residência



Características da amostragem por área em
multiestágios
1.O erro amostral decresce à medida que:
crescer o tamanho da amostra;
crescer a homogeneidade dos elementos amostrados a
cada estágio.

2. Para um determinado tamanho total da amostra, o erro
amostral decresce na medida que:
 crescer o número de elementos dos estágios
intermediários;
 decrescer o número de elementos do estágio final.



Resumo das condições e fórmulas para determinação do tamanho de
amostras probabilísticas estimativas de medidas (ou valores)
Estimativas de medidas (ou valores)
Quando conhecido σ da população
Populações infinitas Populações finitas
Z2σ2 NZ2 σ2
Geral 1 n = 5 n =
e2 n2(N – 1) + Z2 σ2
Z = 1 σ2 Nσ2
2 n = 6 n =
nc = 68% e2 e2(N – 1) + σ2
Z = 2 4σ2 N4σ2
3 n = 7 n =
nc = 95% e2 e2(N – 1) + 4σ2
Z = 3 9σ2 N9σ2
4 n = 8 n =
nc = 99,7% e2 e2(N -1) + 9σ2
Quando desconhecido σ da população, substituir σ por S, sendo S estimador
de σ obtido em amostra piloto

Erro sempre medido em valor absoluto



Resumo das condições e fórmulas para determinação do tamanho de
amostras probabilísticas estimativas de proporções (ou porcentagens)

Estimativas de proporções (ou porcentagens)
Populações infinitas Populações finitas

n= n =
Z2pq NZ2 pq
Geral 9 13 e2(N – 1) + Z2pq
n= e 2
n =
Z = 1 pq Npq
10 14
nc = 68% n= e2 n = e (N – 1) + pq
2

Z = 2 4pq N4pq
11 15
nc = 95% n= e2 n = e2(N – 1) + 4pq
Z = 3 9pq N9p.q
12 16
nc = 99,7% e2 e2(N -1) + 9pq
Conhecidos p e q da população Sendo: p = % da característica
q = % da não característica
p + q = 1 (ou 100%)
Erro sempre medido em porcentagem


Tabela relacionando, erro, nível de confiabilidade e
número de elementos da amostra para populações
infinitas dicotômicas
n = PQ / e2 (68%) n = 4 PQ / e2 (95%) n = 9 PQ / e2 (99,7%)
Erro Amostral
P = Q = 0,50
0,01 (1%) 2.500 10.000 22.500
0,02 (2%) 625 2.500 5.625
0,03 (3%) 278 1.112 2.502
0,04 (4%) 156 624 1.404
0,05 (5%) 100 400 900
0,06 (6%) 70 280 630
0,07 (7%) 51 204 459
0,08 (8%) 39 156 351
0,09 (9%) 31 124 279
0,10 (10%) 25 100 225

Para uma pesquisa com o mesmo n, podemos dar respostas diferentes em termos de erro e
confiabilidade (vide slide 25).



Outros fatores determinantes do tamanho da amostra

1.Fatores psicológicos.

2.Objetivos da pesquisa.

3.Objetivos múltiplos.

4.Restrições de tempo.

5.Restrições de custo.

6.Plano de análise dos dados.


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