Guía docente Matemática 2° Medio con sugerencias metodológicas

medio
2
Guía didáctica del docente
Matemática
Lorna Jiménez Martínez
Profesora de Matemática
Licenciada en Matemática
Pontificia Universidad Católica de Chile
Pedro Rupin Gutiérrez
Profesor de Matemática
Licenciado en Matemática
Pontificia Universidad Católica de Chile
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Matemática 2.° MEDIO GUÍA DIDÁCTICA DEL DOCENTE
Dirección editorial
Felipe Muñoz Gómez
Coordinación editorial
Daniela Cienfuegos Fernández
Edición
Autoría
Lorna Jiménez Martínez
Corrección de estilo
Ana Saavedra Segura
Coordinación de diseño
Gabriela de la Fuente Garfias
Diseño y diagramación
Anghela Badiola Sanhueza
Diseño de portada
Anghela Badiola Sanhueza
Producción
Andrea Carrasco Zavala
Este texto corresponde al Segundo año de Enseñanza Media y ha sido elaborado conforme al Decreto Supremo
N° 254/2009, del Ministerio de Educación de Chile.
©2013 – Ediciones SM Chile S.A. – Coyancura 2283 piso 2 – Providencia
ISBN: 978-956-349-543-0 / Depósito legal: 235591
Se terminó de imprimir esta edición de 4800 ejemplares en el mes de enero del año 2014.
Impreso por xxxxxxxxxxxxx
Quedan rigurosamente prohibida, sin la autorización escrita de los titulares del Copyright, bajo las sanciones establecidas en las leyes,
la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático,
y la distribución en ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo público.
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Índice
Presentación de la unidad........................................... 11
Marco curricular............................................................... 12
Planificación de la unidad............................................ 13
Sugerencias metodológicas........................................ 17
Información complementaria.................................... 38
Actividades complementarias fotocopiables...... 39
Evaluación fotocopiable............................................... 42
Solucionario....................................................................... 47
Banco de preguntas....................................................... 50
Bibliografía ......................................................................... 52
NúmerosNúmeros1
Presentación de la unidad........................................... 97
Sugerencias metodológicas......................................103
Información complementaria..................................129
Actividades complementarias fotocopiables....130
Evaluación fotocopiable.............................................133
Solucionario.....................................................................139
Banco de preguntas.....................................................142
Bibliografía .......................................................................144
ÁlgebraÁlgebra3
Presentación de la unidad...........................................53
Sugerencias metodológicas........................................ 58
Información complementaria.................................... 75
Actividades complementarias fotocopiables...... 76
Evaluación fotocopiable............................................... 79
Solucionario....................................................................... 84
Banco de preguntas....................................................... 87
Bibliografía ......................................................................... 89
GeometríaGeometría2
Presentación de la unidad........................................145
Marco curricular.............................................................146
Planificación de la unidad..........................................147
Sugerencias metodológicas......................................150
Información complementaria..................................169
Actividades complementarias fotocopiables....170
Evaluación fotocopiable.............................................173
Solucionario.....................................................................178
Banco de preguntas.....................................................181
Bibliografía .......................................................................183
Datos y AzarDatos y Azar4
Fundamentación del diseño instruccional...........................................................................................................................................4
Estructura del Texto del estudiante..........................................................................................................................................................6
Estructura de la Guía didáctica del docente........................................................................................................................................8
Índice temático...........................................................................................................................................................................................190
Bibliografía.....................................................................................................................................................................................................192
Mini ensayo PSU......................................................................90 Mini ensayo PSU....................................................................162
3ÍNDICE

4
Fundamentacióndel diseño instruccional
El texto Matemática 2.º Medio es una propuesta didáctica elaborada a partir de los siguientes lineamientos
fundamentales:
Organización de contenidos
El texto recoge la propuesta del Marco curricular y el Programa de Estudio proponiendo una unidad
por eje de contenido. Cada unidad se divide en secciones que la organizan y potencian la importancia
de los diferentes objetivos que abordan.
Evaluación permanente
Una característica distintiva del texto es asumir la evaluación como un proceso continuo y al servicio
del aprendizaje. Matemática 2.º Medio recoge este enfoque y lo potencia con páginas destinadas a
la evaluación inicial, integradora y final. Se incluyen, además, instancias de evaluación tipo PSU con el
fin de preparar a los estudiantes en este tipo de procedimientos evaluativos.
Aprendizaje significativo
Las nuevas tendencias didácticas promueven el aprendizaje de los contenidos en contextos significati-
vos. Matemática 2.º Medio asume este postulado explicitando los conceptos que están detrás de esas
actividades significativas, como una manera de integrar el aprender con entretención, conocimiento
de su entorno y contenidos de la disciplina.
Desarrollo de habilidades
El enfoque didáctico de Matemática 2.º Medio asume el desarrollo de habilidades ligado a los con-
tenidos. Es por ello que se incluyen páginas especiales, destinadas a profundizar el trabajo de las
habilidades con un enfoque de enseñanza explícito y ligado a los contenidos conceptuales; junto con
el trabajo continuo en cada una de las lecciones.
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Para cumplir estos lineamientos, las unidades y secciones del texto
Matemática 2.º Medio se componen de:
§§ Páginas de inicio que presentan los contenidos de la unidad
a estudiar por medio de una imagen. Además, se proponen
preguntas destinadas a activar los conocimientos previos de
los estudiantes. Cada sección incluye además una página
De esto se trata, para presentar los contenidos a los estudiantes
y relacionarlos con contextos significativos, y ¿Qué debes
saber?, para diagnosticar sus conocimientos previos.
§§ Lecciones que presentan y trabajan los
contenidos y actividades propios del nivel
educacional. Cada lección estimula a los
estudiantes a verificar su propio aprendizaje por
medio de preguntas y actividades de reflexión,
personal y grupal.
§§ Dos páginas de evaluación integradora que
se insertan entre las secciones. En ellas se invita al
estudiante a realizar variadas actividades que evalúan el grado de
comprensión de los contenidos tratados hasta el momento.
§§ Cada sección incluye una página de Resolución de problemas
desarrollados paso a paso, y una página
Para no cometer errores, que permite a los
estudiantes detectarlos y corregirlos.
§§ Dos páginas de Diario Mural, que relacionan
el contenido de la unidad con la historia de la
disciplina o con otras áreas del conocimiento.
§§ Dos páginas de Síntesis, para fortalecer
y sintetizar los aprendizajes, y recoger lo
presentado en las páginas de inicio.
§§ Tres páginas de Refuerzo y una de Profundización,
destinadas a los estudiantes con distintas necesidades.
§§ Cuatro páginas de Evaluación final, para evaluar en forma global
los contenidos tratados en la unidad.
Fundamentación
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Estructura del Texto
El Texto Matemática 2.º Medio se compone de 4 unidades: Números, Geometría, Álgebra y Datos y Azar.
Cada unidad se compone de secciones, y cada sección de lecciones.
Estructura de las unidades
1. Inicio de unidad
En estas páginas podrás activar tus ideas previas,
conocer las palabras claves de la unidad, y recordar lo
que ya sabes. Te presentaremos lo que aprenderás y su
objetivo, en un contexto relacionado con los contenidos
que se estudiarán.
2. Diario Mural
Al final de cada unidad encontrarás una
interesante aplicación de lo estudiado,
en diversos contextos.
3. Para sintetizar
Aquí podrás organizar y resumir los contenidos
abordados. Además, retomaremos la situación
presentada en el inicio y podrás relacionarla con
tus aprendizajes.
4. Reforzar y profundizar
Estas páginas te permitirán
reforzar los contenidos antes de
la evaluación, como también
profundizar tus aprendizajes.
5. Evalúo mis aprendizajes
Te proponemos una evaluación
de alternativas, en la que podrás
medir tus logros en la unidad.
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6. De esto se trata y ¿Qué debes saber?
Activarás tus ideas previas y reflexionarás sobre la
importancia de los contenidos y el propósito de la
sección, a partir de una situación real. Además, podrás
evaluar tus conocimientos previos y repasar lo que
necesites con la ayuda de Internet.
7. Lección
Estas son las páginas de contenido en las que
recordarás tus aprendizajes previos y desarrollarás
tus habilidades. Te proponemos actividades para que
razones, comentes y reflexiones con tus compañeros,
y ejercicios de repaso, práctica y aplicación.
8. Resolución de problemas y
Para no cometer errores
Podrás analizar estrategias de
resolución de problemas, y analizar
errores para no cometerlos.
9. Integrando lo aprendido
Podrás evaluar tus aprendizajes de la sección y
analizar si has logrado el propósito de ella.
Estructura de las secciones
Páginas finales
10. Solucionario, Índice temático
y Bibliografía
Aquí encontrarás la solución a los ejercicios planteados, un
Índice temático de los contenidos abordados y la Bibliografía
del Texto, además de material que te sugerimos para
profundizar tus conocimientos.
Estructura del Texto
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Estructurade la Guía didáctica del docente
Una Presentación de la Unidad, en la que se explicita:
• el Propósito de la misma brindando una mirada global del
proceso que han seguido los estudiantes.
• los Conocimientos Previos necesarios para ella.
• las Palabras Clave de los contenidos que se abordarán.
• los Contenidos específicos, determinados por el Marco curricular.
• las Habilidades y Actitudes a desarrollar.
La Guía Didáctica del Docente del texto Matemática 2.º Medio está organizada siguiendo las unidades del texto.
Para ello, presenta los siguientes elementos:
Una Planificación de cada sección, que el docente podrá utilizar
como referencia para relacionar los Objetivos Fundamentales
Transversales, los Contenidos Mínimos Obligatorios y los Apren-
dizajes Esperados, relacionados con cada lección específica de
la sección. Se explicitan además las páginas de evaluación corres-
pondientes y una sugerencia de tiempo estimado, tanto para cada
sección como para las actividades finales de cada Unidad.
Sugerencias metodológicas
Para cada sección de la unidad, el docente podrá encontrar orienta-
ciones para trabajar la página de inicio De esto se trata, y sugerencias
para cada indicador de la evaluación inicial Esto debes saber. Dentro
de las lecciones correspondientes, se presenta al docente:
• El título y Propósito de cada lección.
• Las palabras clave del contenido a abordar.
• Los prerrequisitos específicos para la lección, que ya habrán sido trabajados en la evaluación inicial de
la sección.
• Sugerencias para la Activación de ideas previas de los estudiantes, por medio de actividades, preguntas,
presentación de situaciones, etc.
• Orientaciones didácticas que permiten complementar los contenidos presentados en el texto, por
medio de sugerencias de actividades, cuidados específicos relacionados con actividades del texto, tips
orientados a los estudiantes que puedan presentar mayores dificultades y, de manera general, todo lo
que pueda apoyar la labor del docente estimulando el aprendizaje de los estudiantes.
• Algunos Errores frecuentes específicos del contenido de la lección, con sugerencias para prevenirlos
y corregirlos.
• Actividades complementarias, que apuntan a un mejor aprendizaje de los estudiantes con diversas
necesidades, ya sea de mayor refuerzo o profundización.
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Al final de cada sección, podrá encontrar sugerencias para el trabajo con las páginas Resolución de problemas
y Para no cometer errores, además de una tabla correspondiente a la Evaluación Integrando lo aprendido, que
presenta al docente remediales sugeridos para los estudiantes que no alcancen el nivel de logro deseado.
Sugerencias para el trabajo con las páginas Diario Mural, para estimular en los estudiantes el establecimiento
de conexiones entre el contenido estudiado y algún contexto de la vida cotidiana; y Síntesis, para establecerlas
entre los conceptos estudiados en cada sección.
Una Tabla de especificaciones de la evaluación de la Unidad, que establece los indicadores de cada pregunta
y remediales para cada caso.
Información
complementaria sobre
algún aspecto interesante
para el docente que le
permitirá profundizar
en contenidos de la Unidad.
Una Evaluación fotocopiable
con preguntas de alternativas y
desarrollo, y su respectiva rúbrica.
Bibliografía de la
Unidad, que le permitirán
profundizar y actualizarse
en temas de matemática y
didáctica de la matemática.
Cada dos Unidades podrá encontrar dos
Mini Ensayos PSU, adecuados a los contenidos
específicos de las Unidades correspondientes.
Tres Actividades
complementarias para
los estudiantes, que
les permitirán reforzar
o profundizar un
contenido relacionado
con cada sección.
Para finalizar, encontrará un Índice temático de los contenidos trabajados en la guía, y Bibliografía de
consulta general.
Un Banco de preguntas para el docente,
organizadas por contenido.
Estructura de la Guía 9
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unidad
1
Propósito
Números
En esta unidad se recogen los aprendizajes que los estudiantes ya tienen sobre números racionales
y sus propiedades, para introducir ahora los números irracionales y posteriormente los reales. Se
espera que comprendan las características y propiedades de los nuevos números y sean capaces de
ordenarlos, ubicarlos en la recta numérica, aproximarlos y operar con ellos.
En esta unidad se incorporan, además, las potencias de exponente racional y el estudio de sus
propiedades, las raíces enésimas y los logaritmos. Será importante que los estudiantes realicen
conjeturas sobre propiedades, las verifiquen y apliquen los contenidos aprendidos anteriormente en la
resolución de problemas.
¿Qué sé?
•• Realizar adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones entre números racionales.
•• Identificar propiedades de la operatoria entre números racionales.
•• Calcular y aplicar propiedades de las potencias de base racional y exponente entero.
¿Qué aprenderé?
•• Identificar números irracionales y sus propiedades.
•• Comprender el conjunto de los números reales, sus propiedades y operaciones.
•• Relacionar potencias de exponente racional y raíces enésimas.
•• Aplicar propiedades de las potencias de exponente racional y las raíces enésimas.
•• Comprender el concepto de logaritmo y su relación con raíces y potencias.
•• Aplicar propiedades de logaritmos.
•• Resolver problemas que involucran raíces enésimas y logaritmos.
¿Para qué?
•• Para resolver problemas en distintos contextos, que involucran distintos tipos de números.
•• Para conjeturar y demostrar propiedad es de los números y sus operaciones.
Ruta de aprendizaje
11Unidad 1 • Números
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Marcocurricular
Conocimientos previos Habilidades
•• Operaciones de números racionales.
•• Potencias de base racional y exponente entero.
•• Propiedades de las potencias de base racional
y exponente entero.
•• Reconocer si un problema puede o no tener soluciones en los
números racionales.
•• Identificar los números irracionales como aquellos que tienen
un desarrollo infinito no periódico y que no se pueden
escribir como fracción.
•• Aproximar números irracionales mediante algún método.
•• Ubicar raíces en la recta numérica, usando alguna estrategia.
•• Conjeturar acerca del valor a obtener al sumar, restar,
multiplicar o dividir dos números racionales.
•• Resolver situaciones en las que es necesario operar con
números reales.
•• Demostrar propiedades de las raíces enésimas a partir de las
propiedades de las potencias de exponente racional.
•• Transformar raíces enésimas a notación de potencias y
viceversa.
•• Demostrar propiedades de los logaritmos a partir de las
propiedades de las potencias.
•• Relacionar potencias, raíces enésimas y logaritmos.
•• Resolver situaciones en las que es necesario operar con raíces
enésimas y logaritmos.
Palabras clave
Números irracionales, números reales, potencias
de exponente racional, raíces enésimas,
logaritmos.
Contenidos
•• Números irracionales y propiedades.
•• Números reales y propiedades.
•• Operaciones aritméticas con números reales.
•• Potencias de exponente racional.
•• Propiedades de las potencias de exponente
racional.
•• Raíces enésimas.
•• Propiedades de las raíces enésimas.
•• Logaritmos.
•• Propiedades de los logaritmos.
Actitudes
•• Trabajo en equipo e iniciativa personal en la resolución de
problemas en contextos diversos.
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3 41 2
Sección 1: Números reales
OF CMO AE Lecciones Evaluaciones
Comprender que los
números irracionales
constituyen un
conjunto numérico
en el que es posible
resolver problemas
que no tienen
solución en los
números racionales,
y los números reales
como aquellos
que corresponden
a la unión de los
números racionales e
irracionales.
Utilizar los números
reales en la resolución
de problemas,
ubicarlos en la recta
numérica, demostrar
algunas de sus
propiedades y realizar
aproximaciones.
Identificación de
situaciones que
muestran la necesidad
de ampliar los números
racionales a los números
reales; reconocimiento
de algunas de las
propiedades de los
números y de las
operaciones y su uso
para resolver diversos
problemas.
Comprender que los
permiten resolver
problemas que no
tienen solución en los
números racionales.
Lección 1: Números
irracionales
y problemas
geométricos.
4 horas.
•• Evaluación
diagnóstica
¿Qué debes
saber?, pág. 9.
2 horas.
•• Evaluación
integradora
Integrando lo
aprendido,
págs. 28 y 29.
2 horas.
Aproximación del
valor de un número
irracional por defecto,
exceso y por redondeo.
Aproximar números
irracionales por defecto,
por exceso y por
redondeo.
Lección 2:
Aproximación y
construcción de
números irracionales.
4 horas.
Ubicación de algunas
raíces en la recta
numérica; exploración
de situaciones
geométricas en
que ellas están
presentes; y análisis
de la demostración
de la irracionalidad
de algunas raíces
cuadradas.
Ordenar números
irracionales y
representarlos en la
recta numérica.
irracionales en la recta
numérica y orden.
4 horas.
Conjeturar y verificar
propiedades de los
números irracionales.
reales.
4 horas.
Comprender que
los números reales
corresponden a la
unión de los números
racionales e irracionales.
Demostrar algunas
propiedades de los
números reales.
Resolver problemas
en contextos diversos
relativos a números
reales, raíces y logaritmos.
Páginas finales
Actividad Páginas Tiempo estimado
Resolución de problemas 26 1 hora
Para no cometer errores 27 1 hora
Tiempo estimado: 26 horas pedagógicas
Planificaciónde la unidad
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Sección 2: Raíces
Establecer relaciones
entre potencias,
logaritmos y raíces
en el contexto de
los números reales,
demostrar algunas
de sus propiedades
y aplicarlas en
la resolución de
problemas.
Análisis de la existencia
de la raíz enésima
en el conjunto de
su relación con
las potencias de
exponente racional
y demostración
de algunas de sus
propiedades.
Analizar la existencia
de las raíces en el
conjunto de los
números reales.
Lección 5: Raíz
enésima.
4 horas.
•• Evaluación
diagnóstica
¿Qué debes
saber?, pág. 31.
2 horas.
•• Evaluación
integradora
Integrando lo
aprendido,
págs. 54 y 55.
2 horas.
Utilizar relaciones
entre las potencias y
raíces para demostrar
propiedades de las
raíces.
Lección 6: Raíces y
operaciones.
4 horas.
Lección 7: Potencias
de exponente racional.
4 horas.
Resolver problemas
reales, raíces y
logaritmos.
Lección 8:
Racionalización.
4 horas.
Lección 9: Raíces
enésimas, problemas y
ecuaciones.
4 horas.
Páginas finales
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Sección 3: Logaritmos
entre potencias,
logaritmos y raíces
en el contexto de
demostrar algunas
de sus propiedades
y aplicarlas en
la resolución de
problemas.
Interpretación de
logaritmos, su relación
con potencias y
raíces, deducción
de sus propiedades
y aplicaciones del
cálculo de logaritmos
a la resolución
de problemas en
diversas áreas del
conocimiento.
entre los logaritmos,
potencias y raíces.
Lección 10:
Logaritmos.
4 horas.
•• Evaluación
diagnóstica ¿Qué
debes saber?,
pág. 57.
2 horas.
•• Evaluación
integradora
Integrando lo
aprendido,
págs. 72 y 73.
2 horas.
Deducir propiedades
de los logaritmos.
Lección 11:
Propiedades de los
logaritmos.
4 horas.
Resolver problemas
reales, raíces y
logaritmos.
Lección 12:
Aplicaciones de
logaritmos.
4 horas.
Páginas finales
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Páginas finales
Actividad Página Tiempo estimado
Diario mural. 74 y 75 1 hora
Para sintetizar. 76 y 77 1 hora
Reforzar antes de evaluar – Para profundizar. 78 – 81 4 horas
Evaluación de la unidad. 82 – 85 2 horas
Tiempo total estimado para la unidad: 80 horas pedagógicas
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3 41 2
Sección 1
Números reales
De esto se trata
Es complejo para los estudiantes comprender que un
número decimal periódico no es una aproximación. Para
ellos, la idea de que un número se repita infinitamente sin
acabar jamás no calza con la noción de“precisión”que de-
biera dar un número.
Por lo mismo, la existencia de números irracionales pue-
de ser aun más compleja de comprender, y más todavía
considerando que se trata de números exactos, precisos,
no de aproximaciones.
Es interesante que puedan vislumbrar, desde el princi-
pio de esta sección, que muchas cosas en matemática se
desprenden de la realidad tangible para teorizar, y luego no
necesariamente se corresponden con la realidad y pueden
no representar situaciones de ella. El mismo uso de aparatos
tecnológicos no puede responder a cabalidad a la teoriza-
ción matemática de los números reales, y esto es un buen
punto de partida para que los estudiantes puedan reflexio-
nar respecto de la naturaleza del estudio matemático, en
ocasiones por pura satisfacción intelectual.
¿Qué debes saber?
Identificar y realizar operaciones
entre números racionales
Para este indicador, recuerde a los estudiantes los tipos
de números decimales (finitos, infinitos periódicos e infini-
tos semiperiódicos) y como transformarlos en fracción, así
como el procedimiento de división para transformar una
fracción en número decimal.
Refuerce a los estudiantes las prioridades de las ope-
raciones en los números racionales presentando distintos
casos y los diferentes resultados que se pueden obtener si
estas prioridades no se respetan.
Aproximar, ordenar y ubicar
números racionales en la recta numérica
Para este indicador, recuerde las posiciones decimales
y sus nombres; también los métodos de aproximación por
redondeo y truncamiento.
Para ordenar números decimales, puede presentar di-
versos listados de números racionales de distinto tipo y
que en conjunto encuentren estrategias para ordenarlos,
por ejemplo expresar todos los números como fracción o
como decimal. Pueden discutir además sobre la efectividad
de las técnicas utilizadas en cada caso.
Para ubicar números racionales en la recta numérica se
recomienda enfatizar la necesidad de graduarla adecuada-
mente según los números que están involucrados, consi-
derando todos los números que se ubicarán y analizando
cuidadosamente los denominadores antes de comenzar a
ubicar los números, a fin de evitar problemas posteriores.
Para números decimales periódicos o semiperiódicos es
imprescindible expresarlos como fracción; primero observe
la forma en que proceden los estudiantes para luego corre-
gir en el caso que hayan intentado ubicar directamente los
números en forma de número decimal periódico. De esta
manera, el aprendizaje puede ser más significativo.
Recuerde también a los estudiantes que el conjunto
de los números racionales es un conjunto denso, es decir,
siempre entre dos números racionales podemos encontrar
otro racional, es más, se pueden encontrar infinitos números
racionales. Puede mostrarles cómo intercalar varios números
racionales entre dos números racionales dados, partiendo
por intercalar solo uno utilizando el promedio entre los
extremos.
Conviene finalmente aclarar que la densidad no se pre-
senta en los números naturales ni en los números enteros.
Sugerencias metodológicas
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1
Números irracionales y
problemas geométricos
Págs. 10 a 13
Propósito
Identificar números irracionales y sus propiedades, y operar
con ellos en problemas geométricos.
Palabras clave
Números racionales, irracionales, reales, conjuntos nu-
méricos, números infinitos, cifras decimales, fracciones,
propiedades, operaciones, problemas geométricos, área,
perímetro
Prerrequisitos
§§ Orden en los números racionales.
§§ Cálculos que involucran números racionales.
§§ Identificación y aplicación de propiedades de las ope-
raciones con números racionales.
§§ Cálculo de áreas y perímetros de diversas figuras planas.
Activación de ideas previas
Para el trabajo de esta lección es importante que los alum-
nos trabajen correctamente con los números racionales
y de esta forma se puedan aproximar de buena forma al
estudio de los números irracionales.
Para activar los conocimientos previos de sus estudiantes,
plantee las siguientes preguntas.
• ¿Qué es un número racional? ¿Cuáles son sus carac-
terísticas? Da algunos ejemplos de ellos.
• ¿Todo número se puede escribir como fracción? Da
un ejemplo.
• ¿Cuáles no se pueden escribir como fracción? ¿Cómo
se llaman? Ejemplifica.
• ¿Qué conjuntos numéricos conoces? ¿Qué caracterís-
ticas tienen estos conjuntos? ¿Habrá otros conjuntos?
¿Qué números incluirían estos conjuntos? ¿Tienen
elementos en común estos conjuntos?
Orientaciones didácticas
En esta lección se introduce el estudio de los números irra-
cionales a partir de problemas geométricos que no tienen
solución en el conjunto de los números racionales. Los estu-
diantes han debido aplicar en cursos anteriores el teorema
de Pitágoras con resultados que no son“raíces exactas”, pero
hasta el momento no se les ha precisado que los números
de este tipo inducen a la necesidad de ampliar el conjunto
numérico utilizado hasta el momento.
Explicite la relación entre los números irracionales y la no-
ción de medida como comparación, como se presenta en
la lección. En este sentido, puede recalcar que un número
irracional es aquel para el cual no es posible determinar una
unidad con la cual pueda ser comparado dividiendo dicha
unidad una cantidad finita de veces.
La demostración de la irracionalidad de 2 por reducción al
absurdo es clásica en matemáticas, pero el argumento utili-
zado es difícil de comprender en principio por los estudian-
tes. Para una mejor comprensión, precise a los estudiantes
que en matemáticas no se permiten contradicciones, por
lo tanto, si una afirmación las genera, esta necesariamente
debe ser falsa.
Demostración de la irracionalidad de 2
Supongamos que 2 no es irracional. Si no es irracional
debe ser obligatoriamente racional, es decir, debe ser igual
a una fracción:
2
p
q
=
Podemos suponer que el máximo común divisor de p y q
es 1, es decir son primos relativos. Elevamos al cuadrado y
operando queda:
2
p
q
2q p
2
2
2 2
= = =
Por tanto p² debe ser múltiplo de 2, lo que implica que p
también es un múltiplo de 2. Es decir,
p 2k, k N= ∈
Sustituimos este valor de p en la expresión anterior y sim-
plificamos un 2 de esa igualdad:
2q (2k) q 2k2 2 2 2
= → =
Esta expresión asegura que q² es múltiplo de 2, y por tanto
también lo es q. Aquí está el absurdo, habíamos supuesto
que p y q no tenían factores comunes y hemos llegado a
que los dos son múltiplos de 2, es decir, que tienen al 2
como factor común, y por tanto su mcd debe ser al menos 2.
Esa es la contradicción que buscábamos.
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3 41 2
Es posible que los estudiantes apliquen de manera incorrecta
el teorema de Pitágoras, ya sea en el planteamiento de este
(identificar erróneamente catetos e hipotenusa) o en el desa-
rrollo del mismo para encontrar un valor requerido. En este
sentido, se sugiere explicitar las siguientes relaciones:
( )
+ ≠ +
+ ≠ +
x y x y
a b a b
2 2 2
Errores frecuentes
Actividades complementarias
Presente una figura compuesta como la siguiente y pida que
la completen con las medidas de los lados, de manera tal
que el perímetro y el área de ella sea un número irracional.
Puede pedir que calculen el área y el perímetro resultan-
te y que expongan sus respuestas al curso. De este modo
podrán ver que existen infinitas opciones.
Puede además combinar algunas posibilidades, por ejemplo:
• una figura con algunos lados de medida racional y otros
de medida irracional, pero cuya área sea irracional.
• una figura cuya área sea irracional y el perímetro, racional.
En cada caso, se puede estimular el análisis de los resultados
posibles de obtener, aunque esto se realizará de manera
más detallada en la lección 4.
2
Aproximación y construcción de
Págs. 14 a 17
Propósito
Aproximar números irracionales.
Palabras clave
Aproximación, redondeo, truncamiento, exceso, defecto,
diferencia, error relativo, error absoluto
Prerrequisitos
§§ Aproximación de números racionales por redondeo y
truncamiento.
Por contenidos vistos en años anteriores, se espera que los
estudiantes comprendan que una aproximación es un valor
parecido al real y que sean capaces de determinar algunas.
Para confirmar esto, plantee las siguientes preguntas:
• ¿Qué es aproximar un número?
• ¿Cuál es la diferencia entre redondear y truncar?
• El número racional 3,1456 se puede aproximar a 3,15,
¿esta aproximación fue por truncamiento o redondeo?
Comience esta lección reiterando que, en situaciones co-
tidianas, no es posible trabajar con números irracionales.
Por ello, es preciso contar con mecanismos que permitan
obtener aproximaciones adecuadas para cada situación. El
cálculo del error permite juzgar el grado de exactitud de las
aproximaciones; dependiendo del contexto, será aceptable
un error determinado. Asimismo, el uso del error absoluto
o relativo debe analizarse específicamente según lo que se
quiera obtener.
Es interesante también plantear a los estudiantes que, por
más poderosos que sean un computador o una calculadora
nunca pueden dar un valor exacto de un número irracional,
ya que necesitarían en la práctica una memoria infinita.
Conviene recalcar, en el análisis de la aproximación del
número π, que las raíces no contemplan todos los números
irracionales, es decir, que los números reales no se forman
solo“agregando”las raíces no enteras a los números reales.
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En este sentido, precise que los números irracionales no
solo se relacionan con problemas geométricos, aunque ese
haya sido el punto de partida para su estudio.
Plantee a los estudiantes la siguiente actividad para profun-
dizar en la aproximación de números irracionales:
a) Calculen separadamente en la calculadora 10 y 12
y aproximen por redondeo cada raíz a la centésima.
Luego, con estas aproximaciones estimen el valor de
10 + 12.
b) Calculen en la calculadora 10 + 12. Aproximen el
resultado por redondeo a la centésima.
¿Cuál de los métodos para aproximar esta suma es me-
jor? ¿Cuál entregará un menor error? Justifica.
Respuesta:
En el primer caso obtendrán 6,62, mientras que en el
segundo se obtiene 6,63. La actividad les puede permi-
tir constatar que, en general, se debe aproximar como
último paso.
c) Una empresa de productos en conserva debe etique-
tar 70 000 tarros cilíndricos para un nuevo producto
que lanzará al mercado. La etiqueta debe quedar a
0,3 cm de las bases del tarro, como se muestra en la
figura. Si el radio de la base del tarro mide 5 cm y el
alto del tarro es 13 cm, ¿qué dimensiones deben tener
las etiquetas?
R: 10 π x 12,4 cm
3
Números irracionales en la recta
numérica y orden
Págs. 18 a 21
Propósito
Ordenar y ubicar números irracionales.
Palabras clave
Orden, ubicación, raíces cuadradas, cantidades subradi-
cales, recta numérica, teorema de Pitágoras.
Prerrequisitos
§§ Orden de números racionales y ubicación en la recta
numérica.
§§ Aplicación del teorema de Pitágoras.
Se sugiere recordar junto a sus alumnos la forma correc-
ta de construir una recta numérica. Puede poner especial
énfasis en el segmento unidad que utilizarán, ya que ge-
neralmente suelen usar unidades distintas durante toda la
recta. Puede hacerles notar que si no existe esta unidad, la
recta se invalida.
Además, es necesario que les recuerde cómo comparar
números racionales para luego poder ordenarlos y represen-
tarlos en la recta numérica. Luego, a través de preguntas y
respuestas, se les puede consultar respecto de los números
naturales que son cuadrados perfectos y cubos perfectos,
con la finalidad de recordar el concepto de raíz cuadrada
y raíz cúbica.
Para comparar y ordenar raíces y números racionales, pida a
los estudiantes que expresen números racionales como raí-
ces, o las raíces como números racionales elevando al cua-
drado, y así comparar números del mismo tipo. Por ejemplo,
para comparar 8 y 3 se puede usar 8 y 9 , por lo tanto
8 < 9. Del mismo modo para comparar 2 y 3 se puede
elevar al cuadrado cada número obteniendo 4 y 3, y deducir
que 2 > 3 pues 4 > 3.
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3 41 2
En cursos anteriores, los estudiantes han realizado cons-
trucciones geométricas con regla y compás, y es posible
que se hayan preguntado, por ejemplo, qué sentido tiene
construir geométricamente una bisectriz de un ángulo si
es posible medirlo con transportador y con él dividir su
medida en dos. Este contenido da una buena posibilidad
de apreciar que este tipo de construcciones son necesarias
pues son las únicas matemáticamente correctas; hacerlo de
otra manera nos obliga a trabajar solo con aproximaciones.
Analice con los estudiantes formas de ubicar raíces en la
recta numérica sin necesidad de construir siempre toda la
espiral. Para ello, es importante que los desafíe a ubicar raí-
ces de números grandes, estimulándolos a que encuentren
valores adecuados que permitan construir menos triángulos
y obtener resultados más rápidamente.
Los alumnos pueden presentar dificultades al ordenar números
irracionales del tipo a + b, interpretando en forma inco-
rrecta que a + b a+b
2
( ) = . Supervise cuidadosamente
un correcto manejo de la operatoria.
Errores frecuentes
Pida a los estudiantes que determinen el valor de las si-
guientes raíces utilizando una calculadora.
0,1, 0,4, 0,16, 0,25
Luego, solicíteles que las ubiquen en la recta numérica y
analicen en busca de alguna regularidad. Puede inducirles
a que constaten que, en el caso de las raíces de números
menores que 1, el valor de la raíz es mayor que el de la can-
tidad subradical.
4 Números reales
Págs. 22 a 25
Propósito
Identificar y caracterizar el conjunto de los números reales.
Palabras clave
Conjuntos numéricos, subconjuntos, elementos, perte-
nencia, números reales, racionales e irracionales
Prerrequisitos
§§ Identificación y aplicación de propiedades de la opera-
toria con números racionales.
§§ Identificación de números irracionales.
Se sugiere recordar junto a sus alumnos la forma correcta de
construir una recta numérica. Puede poner especial énfasis
en el segmento unidad que utilizarán, ya que generalmente
suelen usar unidades distintas durante toda la recta. Puede
hacerles notar que si no existe esta unidad, la recta se invalida.
Además, es necesario que les recuerde cómo comparar
números racionales para luego poder ordenarlos y represen-
tarlos en la recta numérica. Luego, a través de preguntas y
respuestas, se les puede consultar respecto de los números
naturales que son cuadrados perfectos y cubos perfectos,
con la finalidad de recordar el concepto de raíz cuadrada
y raíz cúbica.
En esta lección se analizan las operaciones entre números
racionales e irracionales y la naturaleza de los resultados
obtenidos. Para que los estudiantes comprendan esto es
importante ejemplificar cada uno de los casos con elemen-
tos sencillos que permitan ilustrar fácilmente lo que sucede.
Es fundamental enfatizar que, a diferencia de lo que ocurre
entre los naturales y los enteros, y los enteros y los racio-
nales, entre los números racionales e irracionales no hay
elementos en común, sino que son conjuntos disjuntos.
Además, el conjunto de los números irracionales es distinto
de los conjuntos antes estudiados porque no posee estruc-
tura de grupo, es decir, no de definen en él las operaciones
usuales de adición y multiplicación pues no contienen ni al
0 ni al 1 (neutros para ambas operaciones).
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Es posible que los estudiantes generalicen erróneamente
algunas propiedades o no consideren los casos particu-
lares al hacer generalizaciones. Por ejemplo, si se les pide
que juzguen veracidad de la afirmación: “si a es un núme-
ro racional y b es irracional, entonces ab es irracional”, es
probable que digan que es cierta sin considerar el caso
a = 0. Insista a los estudiantes en la necesidad de analizar
los casos posibles y verificarlos, antes de emitir juicios sobre
afirmaciones como esta.
Errores frecuentes
Para determinar la antigüedad de una roca, la ciencia ac-
tualmente ha podido desarrollar una técnica basada en la
concentración de material radiactivo en su interior. Cuanto
menos antigua es la roca, mayor concentración de material
radiactivo se encontrará. La fórmula que se utiliza es:
C(t) = k ∙ 3 –t
, donde C representa la concentración del ma-
terial radiactivo, t el tiempo transcurrido medido en cientos
de años y k la concentración del elemento en el momento
de formarse la roca.
Si k = 4500:
a) ¿Cuánto tiempo debe haber pasado para que
hallemos una concentración de 1500?
R: 100 años
b) ¿Qué concentración tendríamos al cabo de
dos siglos?
R: 500 concentración
c) ¿En qué tiempo se acabaría este material?
R: El material no se acabará nunca, pues en este caso
la concentración debiera ser cero y la función no
está definida para 0.
Luego, solicite a sus estudiantes que escriban una explica-
ción, si así lo amerita, sobre los errores que han cometido.
Resolución de problemas
Página 26
Las estrategias de resolución de problemas permiten tra-
bajar con los estudiantes diversos tipos de pensamiento
y fomentar en ellos su capacidad de análisis, creatividad,
rigurosidad y flexibilidad para adaptarse a nuevos métodos
y validar formas distintas de realizar las tareas.
Es muy importante que estimule a los estudiantes a parti-
cipar activamente en la resolución de problemas. Para esto,
puede solicitarles que intenten resolver el problema plan-
teado sin mirar la resolución propuesta, para luego discutir
en grupos, analizar la forma planteada en el libro y realizar
aportes finales que puedan optimizarla o perfeccionarla.
Para el problema propuesto en esta sección, pida a los es-
tudiantes que resuelvan el problema asignando valores
numéricos para a y b según corresponda, y de esta forma
podrán verificar de forma más sencilla, cuáles de las expre-
siones serán siempre números irracionales.
A continuación, para promover el análisis matemático, pída-
les que analicen cada una de las expresiones sin asignarles
valores para a y b, y que lleguen a las mismas conclusiones
obtenidas numéricamente.
Página 27
El análisis de errores permite, de manera efectiva y concre-
ta, detectarlos y corregirlos. Es importante que el docente
estimule a los estudiantes a analizar sus procedimientos
constantemente y desarrollar la capacidad de análisis y au-
tocrítica respecto de los errores cometidos.
Es importante hacer notar a los alumnos que hacer una
aproximación a un número ya aproximado generará un
error adicional, por eso siempre es importante aproximar
el número original. Aproveche de mencionar que cuando
se realiza una secuencia de operaciones siempre se debe
trabajar con los valores exactos, sin aproximar los resultados
obtenidos en medio del proceso; si es necesario, se aproxi-
ma el resultado final, y de esta forma el error de aproxima-
ción será menor.
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3 41 2
Integrando lo aprendido
Págs. 28 y 29
Indicador
Preguntas
asociadas
Remedial
Identificar números irracionales y sus
propiedades, y operar con ellos en
problemas geométricos.
1, 2 y 3 Los estudiantes pueden presentar dificultades al aplicar conceptos
geométricos y calcular en forma incorrecta los perímetros y áreas,
lo que puede llevar a errores en sus respuestas que no permitan
detectar si operan correctamente con los números dados. De ser
necesario, repase las fórmulas involucradas con los estudiantes y
que luego analicen los errores que hayan cometido.
Aproximar números irracionales. 4, 5 y 6 Los errores más frecuentes se deben a una confusión entre
los conceptos de redondeo y truncamiento o una incorrecta
identificación de la cifra a la que se desea aproximar. Refuerce la
asociación entre los conceptos de "truncar" y "cortar"·, utilizando
otros contextos en que se utilizan estas palabras. Para identificar las
cifras, supervise que los estudiantes con más dificultades empleen
siempre procedimientos escritos, ordenados y metódicos.
Ordenar y ubicar números irracionales. 7, 8, 9, 10 y 11 Los errores más frecuentes provienen de la operatoria de raíces,
por lo que es importante que permita a los estudiantes rehacer
los ejercicios en los que hayan cometido errores las veces que
sea necesario, a fin de que la práctica permita ir evitándolos
paulatinamente.
Identificar y caracterizar el conjunto de los
números reales.
12, 13 y 14 Para completar el esquema de los conjuntos numéricos es
posible que los estudiantes no recuerden los nombres o las letras
asociadas a cada conjunto. Para evitarlo puede hacer un breve
resumen para aclarar dudas previas.
Es posible que los estudiantes presenten dificultades para
determinar si las expresiones dadas son números racionales e
irracionales pues no tienen el manejo necesario con operatoria con
raíces. Para no perder el sentido del ítem, que es identificar qué
tipo de número es, permítales usar calculadora en los casos que
sea necesario. Recuérdeles además los conceptos de producto y
cociente para que puedan realizar correctamente el ítem.
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Sección 2
Raíces
De esto se trata
En esta sección se generaliza el concepto de raíz cuadra-
da para introducir el de raíz enésima, ampliando la pregunta
relacionada con la raíz cuadrada (“¿qué número elevado a 2
da como resultado…?”) al caso general (“¿qué número ele-
vando a n da como resultado…?”)
Una de las aplicaciones comunes de las raíces enési-
mas se relaciona con situaciones modeladas por la función
exponencial, presentes en diversos ámbitos y de manera
especial en las comunicaciones. Se presenta a los estudian-
tes la posibilidad de reflexionar respecto del crecimiento
de estas funciones de maneras insospechadas, incluso con
bases pequeñas, lo que hace fundamental tener un gran
cuidado en el uso, por ejemplo, de las redes sociales.
¿Qué debes saber?
Calcular potencias de base racional
y exponente entero
Para este indicador, recuerde a los estudiantes cada una
de las propiedades de las potencias y trabaje diversos ejem-
plos relacionados. Si han olvidado las propiedades, una ma-
nera efectiva de recordarlas es deducirlas nuevamente o
justificarlas, lo que les permite comprender el porqué de ellas.
Para reforzar el aprendizaje y la capacidad de análisis,
muestre algunos ejercicios resueltos donde las propiedades
estén aplicadas incorrectamente, y pida a los estudiantes
que identifiquen el error y corrijan.
Resolver operaciones que involucran potencias
Para este indicador, se sugiere recordar a los estudiantes
las prioridades de las operaciones, ahora incluyendo el lugar
que ocupan las potencias en ellas.
Muestre ejemplos que presenten algún error en el pro-
cedimiento, y pida a los estudiantes que lo identifiquen y
corrijan. Puede además presentar secuencias de operacio-
nes y solicitarles que ubiquen paréntesis entre ellas, para
que la expresión tenga un valor determinado.
5 Raíz enésima
Págs. 32 a 35
Propósito
Definir raíces y calcularlas aplicando su definición.
Palabras clave
Raíz, potencia, exponente, base, subradical, racional
Prerrequisitos
§§ Operaciones con números racionales.
§§ Concepto de potencia en la notación de expresiones
numéricas.
§§ Cálculo de potencias de base racional y exponente
entero.
§§ Aplicación de propiedades de la operatoria de po-
tencias
Para comenzar, presente situaciones aritméticas en las que
sea posible apreciar operaciones inversas entre sí como la
resolución de ecuaciones, donde para despejar la incógnita
se utiliza la operación inversa a la que se está aplicando en ella
(si está siendo multiplicada por 5, por ejemplo, se multiplica
por
1
5
; lo que es equivalente a dividir por 5). Es importante
activar en los estudiantes este pensamiento relacional que
permite responder preguntas en distintos sentidos.
El estudio de esta lección comienza presentando los pro-
blemas insolubles de la geometría clásica, entre ellos la
duplicación del cubo que involucra la construcción de la
raíz cúbica de 2. Para los estudiantes puede resultar curioso
que, siendo posible construir 2, no sea posible hacer lo
mismo con 23
. Puede pedir a los estudiantes que intenten
hacerlo para experimentar.
Para el estudio de las raíces enésimas es importante siempre
ver la equivalencia con potencias hasta que estén absoluta-
mente familiarizados con esto. Si es preciso, se recomienda
insistir en que escriban siempre la potencia equivalente a
una raíz dada, hasta que realicen el proceso con soltura.
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3 41 2
Para el análisis de los signos de la cantidad subradical insista
sistemáticamente en la relación con potencias, solicitando
a los estudiantes que cada vez que analicen, escriban la
potencia equivalente a la raíz y a partir de ello se pregunten
por la existencia del valor y su signo. Se recomienda realizar
variados ejercicios de este tipo para consolidar este impor-
tante contenido, hasta que se consolide.
Esta lección es fundamental para los siguientes temas que
serán trabajados; dedique el tiempo que sea necesario para
verificar la correcta comprensión de los estudiantes.
Gran parte de los errores asociados a este contenido tienen re-
lación con el deseo de los estudiantes de resolver los ejercicios
rápidamente, y muchas veces en forma mental. Por lo mismo,
la corrección de dichos errores pasa por el trabajo sistemático
y escrito que se mencionó anteriormente.
Además, los estudiantes podrían presentar problemas en aque-
llos ejercicios combinados que implican varias operaciones y
cálculo de raíces. Muestre a los estudiantes la forma de resolver
este tipo de ejercicios y enfatice en la importancia del orden
en la resolución.
Existe una posibilidad de confusión al utilizar la expresión
“multiplicar por sí mismo”: si decimos que x3
corresponde a
“x multiplicado por sí mismo 3 veces”, entonces x2
corresponde
a“x multiplicado por sí mismo 2 veces”, y x1
necesariamente
corresponde a“x multiplicado por sí mismo una vez”, es decir
x • x. Por lo mismo, se recomienda aclarar este punto y utilizar
de preferencia la expresión“elevado a”en lugar de“multiplicado
por sí mismo”, tal como se hace en esta lección.
Errores frecuentes
6 Raices y operaciones
Págs. 36 a 39
Propósito
Realizar operaciones con raíces.
Palabras clave
Raíz enésima, índice, subradical, operatoria, términos se-
mejantes, propiedades
Prerrequisitos
§§ Operaciones con expresiones algebraicas.
§§ Aplicación de propiedades de las potencias.
§§ Cálculo de raíces enésimas por definición.
Las ideas previas más directas para este contenido tienen
relación con las propiedades de potencias, por lo que no
está de más recordarlas aquí pese a haberlo hecho en la
lección anterior.
Es importante también retomar la idea vista en la sección
anterior respecto de que los números irracionales —particu-
larmente las raíces— solo pueden ser expresadas en forma
exacta como raíces, por ejemplo 2. Esto es fundamental
para comprender que luego, al realizar operaciones, las
raíces de igual índice y cantidad subradical pueden consi-
derarse como términos semejantes, y con ello se pueden
sumar y restar.
En esta lección, algunas de las propiedades de las opera-
ciones con raíces se demuestran y otras sencillamente se
enuncian; es recomendable de todas formas que estimule
a los estudiantes a demostrarlas o verificarlas, buscando
comprender en cada caso lo que están haciendo. Si bien el
objetivo principal es que sean capaces de realizar cálculos
con soltura, la comprensión por parte de los estudiantes
de lo que está realizando suele ser una gran ayuda para
recordar las propiedades, además de entregar herramientas
de análisis en otro tipo de ejercicios.
El uso de raíces en la operatoria puede resultar complejo y
algunos estudiantes presentan una tendencia a expresarlas
con decimales, para poder considerarlas como“números”.
Puede sugerirles como estrategia que, en estos casos,
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reemplacen las raíces por letras y realicen la reducción
de términos semejantes como ya han hecho en cursos
anteriores. Por ejemplo, para el caso:
5 –2 2 +7 5 + 3 3 + 5 23 3 3
Se puede asignar las constantes a 53
= , b 2= , c 33
= .
De esta manera, se tiene que:
5 –2 2 +7 5 + 3 3 + 5 2
a–2b +7a+ 3c + 5b
8a+ 3b + 3c
3 3 3
=
=
Remplazando a, b y c por sus valores originales, se obtiene
la expresión reducida.
Para fomentar y desarrollar el uso del lenguaje natural y el
lenguaje matemático, puede solicitar a los estudiantes que
expresen en lenguaje matemático los siguientes enunciados:
• la raíz enésima de un producto es igual a las raíces
enésimas de cada uno de los factores. ( ab = a bn n n
)
• la raíz enésima de un cociente es igual al cociente
entre la raíz enésima del dividendo y la raíz enésima
del divisor. (
a
b
= a : bn n n
)
Puede, asimismo, plantear la pregunta inversa, enunciando
la propiedad descrita en lenguaje algebraico, por ejemplo:
a b a bnn n
=
En este caso, preste especial atención a la forma en que los
estudiantes se refieren a cada término involucrado, si utilizan
las palabras precisas tanto para las operaciones como para
las relaciones entre los términos.
7 Potencias de exponente racional
Págs. 40 a 43
Propósito
Interpretar las raíces como potencias de exponente racio-
nal y deducir propiedades de ellas.
Palabras clave
Raíz enésima, índice, subradical, operatoria, exponente,
racional, propiedades
Prerrequisitos
§§ Aplicación de propiedades de potencias.
§§ Aplicación de propiedades de la operatoria con raíces.
Como se plantea en la lección, es conveniente introducir
la interpretación de las potencias de exponente racional
relacionándolas con otras situaciones que los estudiantes
hayan visto en las que es necesario ampliar definiciones“na-
turales”, es decir, fácilmente interpretables desde lo intuitivo.
Este contenido brinda una interesante posibilidad de estructu-
rar una forma de trabajo en matemática que es característica
de la disciplina: extender una definición, verificar su coheren-
cia y extender posteriormente las propiedades que habían
sido deducidas. Esto se puede observar especialmente en el
Paso 1 de la página 40, donde se utiliza la división de poten-
cias de igual base —sin aplicar la propiedad, sino la definición
de potencia— para interpretar el exponente negativo. En el
estudio de las raíces enésimas, la extensión de las potencias
de exponente entero a exponente racional se realiza justifi-
cando su coherencia, y su uso permite deducir propiedades
de la operatoria de raíces que, de otra manera, resultarían
más difíciles y menos directas.
Por lo anterior, incentive a los estudiantes a que sean siste-
máticos en la verificación de las propiedades que se enun-
cian en la página 41, mediante los siguientes pasos:
• Escribir las raíces como potencias.
• Escribir las raíces como potencias de base racional.
• Aplicar propiedades de potencias.
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3 41 2
Para que los estudiantes comprendan bien los contenidos
de esta lección es imprescindible presentarles ejemplos va-
riados que permitan integrar y fijar lo aprendido, por medio
de la observación y la ejercitación.
Es importante explicitar claramente qué operaciones tienen
propiedades específicas que permiten una reducción de los
términos involucrados y cuáles operaciones no las tienen. En
particular, es necesario mencionar que no existen fórmulas
para la suma o resta de raíces ni de cantidades subradicales:
5 + 7 5+73 3 3≠
5–7 5 – 73 3 3
≠
Es conveniente además presentar intencionadamente ejemplos
de este tipo y, cuando se produzcan errores, repetir que no todas
las operaciones tienen fórmulas asociadas, registrando esta
insistencia en forma verbal y simbólica (algebraica).
Errores frecuentes
8 Racionalización
Págs. 44 a 47
Propósito
Racionalizar expresiones fraccionarias.
Palabras clave
Raíz enésima, índice, subradical, operatoria, amplificar,
exponente, racionalizar, expresiones
Prerrequisitos
§§ Aplicación de productos notables: en el cálculo de ex-
presiones algebraicas.
§§ Aplicación de propiedades de la operatoria de raíces
enésimas.
Conviene recordar con los estudiantes situaciones en las
que se privilegian ciertas formas de presentar resultados en
matemáticas frente a otras que, aun siendo correctas, no
son las preferidas. Para esto se pueden explicitar los criterios
utilizados, por ejemplo:
• las fracciones se presentan simplificadas, hasta su for-
ma irreductible: 6
8
3
4
→ .
• los polinomios se ordenan según su grado, en ge-
neral en forma descendente respecto a una letra:
ab + a b –2–a b a b –a b + ab –23 2 2 7 3 2 2 7
→
En el caso de la simplificación de fracciones puede ser más
directo para los estudiantes comprender por qué (es más
sencillo trabajar con números más pequeños); respecto del
orden de los polinomios este tiene como objetivo identificar
más fácilmente las regularidades que pueda haber además
de definir de manera más estandarizada algunas fórmulas
(al ordenarlos de acuerdo a alguna convención, es posible
hablar de“el segundo término”, por ejemplo).
Elprocesoderacionalizaciónes,engeneral,complejoyrequiere
deuncuidadosoanálisisencadacasoparanocometererrores.
Esnormalquealosestudianteslesresultecomplicadoraciona-
lizar raíces con índices más altos, para lo cual puede sugerirles
que las expresen primero como potencias de exponente frac-
cionario. De esta forma les será más fácil ver la potencia por la
cual conviene amplificar, pues deben conseguir que ambas
fracciones sumen 1. En el ejercicio presentado en la página44,
el cuadro de ayuda explica este punto: al resolver racionaliza-
ciones de este tipo sugiera a los estudiantes volver a él y aplicar
lo que se plantea.
Si lo considera necesario y pertinente para el nivel del curso,
puede discutir con los estudiantes respecto del sentido de
racionalizar una expresión, es decir, por qué es necesario
hacerlo. Si bien no existe una respuesta única al respecto,
puede mostrar que si se considera una fracción como una
división, el algoritmo de la división que conocemos solo
considera el caso en que el divisor sea un número entero
(cuando realizamos una división por un número decimal,
amplificamos por potencias de 10 para que no lo sea o bien
se expresa como fracción, si es un decimal periódico). Así, la
racionalización permite encontrar una división equivalente
a la dada, que tenga un número entero en el denominador.
Errores frecuentes
Es común que los estudiantes se queden con el primer pro-
cedimiento de racionalización y posteriormente empleen
siempre raíces cuadradas, sin importar el índice de la raíz
presente en el denominador. Para evitar esto, es preciso que
se enfrenten a ejercicios variados y alternando su tipo, de ma-
nera que en cada caso deban analizar la situación y aplicar la
estrategia más adecuada. En la resolución de estos ejercicios
es fundamental que supervise el trabajo de los estudiantes
hasta que adquieran la soltura necesaria.
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Cuando deben racionalizar expresiones con binomios en el
denominador los estudiantes suelen amplificar por la misma
expresión que está en el denominador y no por la“conjuga-
da”, o bien amplifican por la expresión que corresponde al
numerador. Una constante ejercitación y revisión de errores
permitirá paulatinamente ir corrigiéndolos.
Puede plantear a los estudiantes, a modo de desafío, casos
de racionalización como los siguientes:
•
a
b + c + d
•
a
b + c + d
En cada caso, se puede discutir si es posible llegar a una fór-
mula general, y juzgar si el enunciado de esta es lo suficien-
temente sencillo como para que valga la pena aprenderla.
9
Raíces enésimas, problemas
y ecuaciones
Págs. 48 a 51
Propósito
Resolver problemas que involucran raíces.
Palabras clave
Ecuaciones, radicales, problemas, resolución, raíces, solu-
ciones, verificar
Prerrequisitos
§§ Aplicación de productos notables: en el cálculo de ex-
presiones algebraicas.
§§ Aplicación de propiedades de la operatoria de raíces
enésimas.
§§ Planteo y resolución de ecuaciones, y verificación de
sus soluciones.
Los estudiantes, hasta el momento, no se han enfrentado a
ecuaciones en las que se deban verificar condiciones que
validen la solución encontrada, pero sí han podido analizar
la pertinencia de ellas en la resolución de problemas. Se
sugiere retomar esta idea para introducir el estudio de las
ecuaciones radicales, especialmente por la necesidad que
se presentará de comprobar las soluciones.
La resolución de ecuaciones radicales se basa, esencialmen-
te, en “sacar”la incógnita de las cantidades subradicales
elevando a una potencia adecuada. Es pertinente, por lo
mismo, recordar a los estudiantes que de manera general la
resolución de ecuaciones se basa en la aplicación de opera-
ciones inversas, y en este caso incluiremos a las ya utilizadas
anteriormente, la elevación a exponentes determinados.
Las ecuaciones radicales suelen presentar dificultades para
los estudiantes por la operatoria que está involucrada en
ellas y el análisis de la existencia de una solución. Por esto
es fundamental que recalque la importancia de verificar las
soluciones en la ecuación planteada o según el contexto
del problema dado.
Recuerde a los estudiantes que para verificar la solución
de una ecuación deben reemplazar el valor obtenido en la
misma: en este tipo de ecuaciones no basta con que estén
seguros de haber realizado bien cada paso de la resolución.
Es fundamental abordar en conjunto los casos 1 y 3 para que
los estudiantes puedan constatar este hecho. En el caso 1 la
solución encontrada no es válida por las restricciones de la
raíz y en el caso 3 por restricciones de una fracción. Puede
retomar este ejemplo en la unidad 3, cuando se analicen
restricciones de fracciones algebraicas.
Para facilitar la resolución de las ecuaciones, plantee a los
estudiantes situaciones en las que sea conveniente reali-
zar algún manejo algebraico de los términos para que la
operatoria sea más sencilla, como se hace en el caso 2 de
la lección. Por ejemplo, en la ecuación
x +1– x + 2 + x –5 x –7=
si se eleva al cuadrado directamente, en uno de los miem-
bros de la ecuación tendremos un trinomio al cuadrado; en
cambio, si se utiliza la ecuación equivalente
x +1 x + 2 x –7 – x –5− =
al elevar al cuadrado se obtienen dos cuadrados de bino-
mio, cuyo desarrollo ya es conocido.
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3 41 2
Los alumnos suelen olvidar verificar la solución encontrada
en una ecuación radical o simplemente evitarla. En ocasiones,
también, no realizan la verificación en la ecuación original sino
en algún paso intermedio de la resolución, lo que puede haber
eliminado restricciones (como se observará en la página Para
no cometer errores). Supervise, hasta que los estudiantes la
hayan incorporado plenamente, la realización de todos los
pasos de resolución de las ecuaciones radicales.
Errores frecuentes
Si el volumen (V) de una esfera es 864 cm3 y π = 3, ¿cuál
es la medida del radio (r) de la esfera? Recuerda que el
volumen (V) de una esfera de radio (r) se puede calcular
utilizando V
4
3
r3
= π .
Respuesta:
Plantea, a partir de la fórmula entregada, la ecuación que
permite calcular el radio (r) de la esfera conociendo el vo-
lumen (V) de esta. Es decir:
864 cm =
4
3
• 3 •r3 3
Luego, despeja correctamente la incógnita r, con lo que
calcula el radio pedido: r = 6 cm.
Página 52
Las estrategias de resolución de problemas permiten tra-
bajar con los estudiantes diversos tipos de pensamiento
y fomentar en ellos su capacidad de análisis, creatividad,
rigurosidad y flexibilidad para adaptarse a nuevos métodos
y validar formas distintas de realizar las tareas.
Es muy importante que estimule a los estudiantes a parti-
cipar activamente en la resolución de problemas. Para esto,
puede solicitarles que intenten resolver el problema plan-
teado sin mirar la resolución propuesta, para luego discutir
en grupos, analizar la forma planteada en el libro y realizar
aportes finales que puedan optimizarla o perfeccionarla.
Para el problema propuesto en esta sección, se pide encon-
trar una expresión equivalente a la dada pero más simple,
es decir, con una sola raíz.
Para simplificar esta expresión se procede desde adentro
hacia afuera, introduciendo términos a una raíz o simplifi-
cando exponentes o índices, según corresponda, y luego
se continúa con las raíces y términos más exteriores hasta
dejar todo expresado en una sola raíz.
Para promover el trabajo matemático proponga a sus alum-
nos resolver el mismo problema pero de manera inversa,
de afuera hacia adentro. ¿Qué método de resolución les
resulta más fácil?
En el texto se propone verificar con una calculadora lo ob-
tenido asignando diversos valores a x en la expresión resul-
tante. Pida a los estudiantes que realicen esta actividad con
una calculadora científica, pues muchas calculadoras básicas
no disponen de las funciones necesarias para trabajar con
una expresión como la planteada en el problema.
Página 53
El análisis de errores permite, de manera efectiva y concreta,
detectarlos y corregirlos. Es importante que estimule a los
estudiantes a analizar sus procedimientos constantemente
y desarrollar la capacidad de análisis y autocrítica respecto
de los errores cometidos.
En la primera situación se pide encontrar el valor de una
expresión radical cuando a = 3. El error presentado es muy
frecuente, pues los alumnos suelen aplicar propiedades o
evaluar sin verificar si es posible hacerlo. En este caso al
reemplazar se obtienen raíces cuadradas y cuartas de núme-
ros negativos, lo cual no está definido en los números reales.
Algo similar se presenta en la segunda situación, donde
se resuelve una ecuación radical siguiendo los procesos
matemáticos correspondientes y se obtiene una respuesta
numérica. Sin embargo, no se consideró que en una parte
del desarrollo de esta resolución se presenta una raíz cua-
drada igualada a un número negativo, lo que por definición
indica, que no existe solución, ya que esta se define como
un valor positivo o nulo.
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Págs. 54 y 55
Indicador Preguntas asociadas Remedial
Definir raíces y calcularlas aplicando
su definición.
1, 2 y 3 Es posible que los estudiantes presenten dificultades para
determinar las restricciones de a, para que la raíz dada sea
un número real. Para evitar este inconveniente recuerde a
los estudiantes que las cantidades subradicales deben ser
mayores o iguales a cero, mediante ejemplos. Con esto en cada
caso forman una sencilla inecuación y encuentran los valores
buscados.
Realizar operaciones con raíces. 4, 5, 6 y 7 Algunos estudiantes pueden presentar problemas para
operar con raíces, ya que no manejan bien las propiedades
involucradas. Para evitar este tipo de posibles inconvenientes,
revise detalladamente los procesos que realizan para resolver
los ejercicios, cómo aplican las propiedades, cómo reducen, etc.
Si es preciso, pídales resolver ejercicios personalmente frente
a usted. De este modo podrán corregir a tiempo y estarán
preparados para aprender otras propiedades más complejas.
Interpretar las raíces como potencias
de exponente racional y deducir
propiedades de ellas.
8, 9, 10 y 11 Se pueden presentar dificultades relacionadas exclusivamente
con la aplicación de propiedades de las raíces vistas en la
sección. Para ayudar a los estudiantes con estos inconvenientes
puede realizar un repaso y cuadro resumen junto a todo
el curso, empleando ejemplos sencillos que ilustren cada
propiedad.
Racionalizar expresiones
fraccionarias.
12 y 13 Como se mencionó en la lección correspondiente, algunos
alumnos pueden presentar problemas al determinar el índice
y exponente apropiados de la raíz y la cantidad subradical por
la que se debe amplificar, o bien cuando deben racionalizar
expresiones con binomios en el denominador amplifican por
la misma expresión que está en él y no por la“conjugada”. A
los estudiantes que cometan estos errores, solicíteles repetir
los ejercicios de la lección, utilizando los ejemplos dados en
ella como guía. Luego, pídales que identifiquen los errores
cometidos y los expliquen con sus palabras.
Resolver problemas que involucran
raíces.
14 y 15 Nuevamente, los errores cometidos por los estudiantes pueden
deberse a falta de sistematicidad en los procedimientos
aprendidos, tanto en la resolución como en la verificación de
sus soluciones. Pídales repasar el contenido, detectar sus errores
y corregirlos.
Conviene además que supervise un correcto manejo de
la calculadora en la última pregunta, ya que puede haber
estudiantes que realicen bien los procedimientos pero fallen en
este paso.
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3 41 2
Sección 3
Logaritmos
De esto se trata
El desarrollo de las ciencias, desde la Antigüedad hasta
nuestros días, ha requerido de herramientas que permitan
simplificar tanto la manipulación de los objetos de estudio
(los números y operaciones, en el caso de la matemática)
como la forma de presentar los resultados. En la medida en
que se puede trabajar con expresiones más manipulables,
números más pequeños y relaciones más intuitivas, es posi-
ble que este desarrollo se produzca de manera más efectiva.
Uno de los ejemplos más notables de esto en la historia
es la creación de los logaritmos, que permitieron abordar la
multiplicación de números muy grandes como una suma
de números pequeños, además de utilizar escalas logarít-
micas para representar cantidades difícilmente manejables.
Es interesante transmitir a los estudiantes las necesidades
de los científicos en el contexto de cada época, para que
puedan valorar los aportes realizados con las herramientas
que tenían a disposición.
¿Qué debes saber?
Relacionar raíces y potencias
Previo al inicio de esta unidad es primordial que los
estudiantes manejen con soltura las raíces y potencias, es-
tableciendo las relaciones entre el valor de la potencia (o
de la raíz), la base (o cantidad subradical) y el exponente (o
índice). Por motivos de organización, los ejercicios se pre-
sentan por separado pero conviene también que, a partir
de una misma expresión, puedan representar la relación de
distintas maneras. Por ejemplo:
27
= 128
• 128 es la séptima potencia de 2.
• 2 es la raíz séptima de 128.
• 7 es el exponente al que se debe elevar 2 para ob-
tener 128.
• 128 elevado a un séptimo es igual a 2.
Calcular raíces y potencias aplicando propiedades
Para complementar este indicador, presente a los es-
tudiantes diversos ejercicios resueltos donde se aplican
las propiedades de las potencias y raíces, y pida que re-
visen si están correctamente aplicadas y corrijan cuando
sea necesario.
10 Logaritmos
Págs. 58 a 61
Propósito
Identificar logaritmos y relacionarlos con raíces y potencias.
Palabras clave
Potencia, raíz, base, exponente, logaritmo, argumento,
propiedades
Prerrequisitos
§§ Relación entre potencias y raíces.
§§ Cálculo de potencias y aplicación de propiedades.
§§ Cálculo de raíces y aplicación de propiedades.
Pregunte a los estudiantes si conocen las siguientes palabras
y su significado:
• algoritmo.
• guarismo.
• logos.
Consulte además si han visto la tecla“log”en la calculadora.
Puede pedirles que realicen algunos cálculos al azar, lo que
les permitirá ver que en ocasiones se advierte un error.
Como una forma de motivar a los estudiantes, comience el
estudio de esta lección conversando con ellos sobre la im-
portancia que han tenido históricamente los logaritmos en
distintas áreas. Puede consultar para esto en http://catedu.
es/matematicas_mundo/HISTORIA/historia_logaritmos.htm
Puede además mencionar el uso de las tablas de logarit-
mos para contextualizar y realzar la importancia histórica
de ellos, y que pueden haber oído mencionar de sus padres
o abuelos.
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Esta lección es la base para las siguientes, pues aquí se pre-
senta el concepto de logaritmo. Por esto es importante que
comprendan y expresen correctamente un logaritmo como
una ecuación exponencial, y viceversa. Para ello, presente a
los estudiantes diversas situaciones en las que deban calcu-
lar la base, el argumento y el valor de un logaritmo, hasta
que adquieran soltura en la aplicación de su definición.
En un comienzo, asociar un logaritmo con una ecuación
exponencial permitirá a los estudiantes calcular más direc-
tamente los valores pedidos. Por esto es importante que,
para comenzar, les exija que realicen el procedimiento co-
rrespondiente para integrar adecuadamente el concepto.
En las siguientes lecciones, cuando adquieran más práctica,
este proceso puede ser omitido.
Es fundamental que cuando los estudiantes trabajen con
expresiones más complejas sean ordenados y rigurosos en
sus desarrollos, para evitar así los errores. Supervise cuida-
dosamente este aspecto.
Es imprescindible enfatizar que los logaritmos están defini-
dos solo para valores positivos del argumento y de la base.
Mientras antes comprendan los estudiantes la necesidad
de establecer restricciones y definir correctamente, menor
posibilidad tendrán de cometer errores a futuro relaciona-
dos con esto.
En operaciones combinadas con logaritmos, es posible que
los estudiantes no sepan cómo abordar las expresiones plan-
teadas. Pídales que calculen los logaritmos por separado y
que luego los reemplacen en los ejercicios dados. De esta
forma podrán ver con mayor facilidad las operaciones que
deben realizar, según las prioridades de las operaciones que
ellos ya conocen.
Errores frecuentes
Pida a los estudiantes que investiguen sobre el logaritmo
natural (logaritmo en base e) y sus aplicaciones.
Entregue a los estudiantes un listado de ejercicios resueltos
y solicite que identifiquen las propiedades utilizadas. Pre-
gunte si es posible resolverlos utilizando otras propiedades,
ínstelos a que los resuelvan aplicando otra estrategia (pro-
piedad) si es posible.
11 Propiedades de los logaritmos
Págs. 62 a 65
Propósito
Deducir y aplicar propiedades de logaritmos.
Palabras clave
Logaritmo, propiedades, potencias,
ecuaciones exponenciales
Prerrequisitos
§§ Propiedades de las potencias.
§§ Relación entre potencias y logaritmos.
§§ Resolución de ecuaciones exponenciales.
§§ Cálculo de logaritmos.
Para activar las ideas previas de los estudiantes, puede reto-
mar la idea vista en la sección anterior: luego de definir las
raíces enésimas e interpretarlas como potencias, se deducen
las propiedades. Se puede recordar la relación entre poten-
cias y raíces y mostrar nuevamente algunas propiedades de
raíces, a partir de las de las potencias. Algo similar se hará
en esta lección con los logaritmos.
Para que los estudiantes comprendan mejor las propiedades
de los logaritmos, es conveniente que muestre cada una de
estas propiedades con ejemplos numéricos sencillos y lue-
go formalice cada una de ellas matemáticamente. Esto les
permitirá trabajar desde lo particular a lo general, y ayudará
a desarrollar su intuición. Por ejemplo, para el logaritmo de
una potencia puede mostrar que
= → =
=
=
=
log2 x 10 2
10 2
log2 3x
log2 3log2
x
3x 3
3
3
Es importante recalcar que, aplicando un par de propiedades
y conociendo el valor de los logaritmos de los números pri-
mos, es posible obtener los logaritmos de todos los números
racionales pues se realizan descomposiciones en factores
primos. Esta es la gran“maravilla”de los logaritmos que se
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3 41 2
menciona en el texto, ya que es lo que permitió elaborar las
tablas y con ellas simplificar los cálculos. En el mismo sentido,
se puede plantear la propiedad de cambio de base.
Hoy parecen inútiles estos cálculos y los procedimientos
asociados, pero permiten estimular habilidades de pensa-
miento en los estudiantes.
Puede encontrar ejemplos de aplicaciones, históricas y actuales,
en http://sapimates.blogspot.com/2008/04/logaritmos.html
Es posible que los alumnos tengan dificultades para operar
con el logaritmo de una raíz. Sugiérales expresar la raíz en
potencia y de este modo aplicar la propiedad del logaritmo
de una potencia.
Tal como se planteó en la sección de raíces, puede ocurrir que
los estudiantes asuman y apliquen propiedades inexistentes,
por ejemplo, logaritmos de adiciones y sustracciones. Para evi-
tarlo, pida permanentemente a los estudiantes que enuncien
las propiedades, y que al resolver ejercicios declaren siempre
la propiedad que están utilizando.
Pueden además presentar problemas para descomponer lo-
garitmos, especialmente con expresiones más complejas que
contienen multiplicaciones y divisiones, por lo cual suelen
tener errores de signos. Como ha sido la tónica en toda la
unidad, exija a los estudiantes orden y sistematicidad en sus
desarrollos, sin permitir que salten pasos o los abrevien hasta
que esté completamente seguro que dominan el contenido.
Cuando se pide escribir como un solo logaritmo una expre-
sión que incluye adiciones y sustracciones, los estudiantes
podrían tener dificultades para determinar cuáles términos se
están multiplicando y cuales se están dividiendo. Para evitar
este inconveniente se recomienda agrupar todos los términos
positivos y por otro lado todos los términos negativos.
Errores frecuentes
Plantee la siguiente pregunta:
¿Existen valores de a y b que hagan cumplir las siguientes
igualdades?
• log (a • b) = log a • log b
• log (a + b) = log a + log b
• log (a : b) = log a : log b
• log (a – b) = log a – log b
Es importante observar que se pregunta por posibles valo-
res, por lo que es válido que los estudiantes prueben con
ellos. En caso de no encontrarlos, puede analizar con ellos
por qué no hay, o si no hay más que algunos casos triviales
(por ejemplo, en el primer caso, a = b = 1. Verifique además
si los valores determinados cumplen las restricciones de
los logaritmos.
12 Aplicaciones de logaritmos
Págs. 66 a 69
Propósito
Resolver problemas aplicando logaritmos.
Palabras clave
Logaritmo, propiedades, potencias, ecuaciones
logarítmicas, aplicaciones, problemas
Prerrequisitos
§§ Cálculo de logaritmos.
§§ Aplicación de propiedades de logaritmos.
Puede retomar lo visto al inicio de la sección —y de la uni-
dad— para motivar a los estudiantes, ya que se analizarán
aplicaciones de los logaritmos. Tal como se presenta en el
inicio de la unidad, puede ser muy cercano para los estu-
diantes el tema de la música y el sonido, por lo que esto
sería una buena introducción. Pregunte a los estudiantes,
por ejemplo:
• ¿qué es el sonido?, ¿cómo se mide?
• ¿cómo se clasifican los sonidos?
De la misma manera que al resolver ecuaciones radica-
les, conviene insistir a los estudiantes en la aplicación de
procedimientos inversos y la definición, en este caso, de
logaritmo. Asimismo, es importante que las soluciones en-
contradas siempre sean verificadas en la ecuación original.
No basta con que se cumpla la igualdad, se debe revisar
el contexto del problema y si consideran las restricciones
del logaritmo.
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Se recomienda especialmente que, a partir de la situación
expuesta en la lección, aborde con los estudiantes el uso de
dispositivos de sonido, y el cuidado que debe tenerse con
ellos. Si existe la posibilidad, se puede realizar una actividad
en conjunto con la clase de física para medir la intensidad en
audífonos, parlantes o incluso el ruido ambiental, para tomar
conciencia de los riesgos que corren día a día y reflexionar
respecto de los cuidados necesarios.
Es fundamental recalcar que para aplicar las propiedades
se debe asegurar que los logaritmos están bien definidos,
y no se estén obviando sus restricciones. En los ejercicios
planteados en la lección anterior esto no se establece, ya
que solo se trabaja con términos numéricos, pero en la re-
solución de ecuaciones se debe cuidar que no se supriman
eventuales restricciones al aplicar las propiedades.
Igual que como sucede con las ecuaciones radicales, puede
ocurrir que los estudiantes no verifiquen la solución obtenida
o no lo hagan en la ecuación original, sino en otra donde
ya han aplicado propiedades y eliminado restricciones. Para
evitar este tipo de inconvenientes, supervise el trabajo de los
estudiantes y solicíteles que, de ser necesario, declaren por
escrito cada uno de los pasos que realizan, hasta que lo hagan
correctamente.
También podría ocurrir que los alumnos se equivoquen en los
procedimientos y soluciones debido a que no son ordenados
y además omiten pasos. Para evitar estos problemas, revise
cuidadosamente la forma de resolver los ejercicios e impida
que resuman los procedimientos, pues el nivel de complejidad
de estas ecuaciones requiere de procesos claramente escritos.
Errores frecuentes
Puede proponer situaciones que se resuelvan por medio
del cálculo de logaritmos, como por ejemplo:
La fórmula de la magnitud para la escala de Richter es:
M
2
3
log
E
E0
=




, donde E es la energía liberada por el
terremoto (en joule) y E0
= 104 joule es la energía liberada
por un terremoto pequeño de referencia, empleado como
un estándar de medición. El terremoto de 1906 en San Fran-
cisco liberó aproximadamente 5 •1016 joule de energía,
¿cuál fue su magnitud en la escala de Richter?
R: 2
3
(0,7 12) 8,5+ = . La magnitud en escala Richter es 8,5.
Página 70
En esta parte de la sección, los alumnos tienen la oportunidad
de aplicar los contenidos aprendidos. Para eso se presenta
un problema resuelto donde se requiere calcular y aplicar las
propiedades de los logaritmos. Esta situación permite mostrar
a los estudiantes un contenido matemático diferente: el de las
progresiones geométricas.
Puede profundizar respecto de este contenido planteando
también la existencia de progresiones aritméticas. Gracias a
los logaritmos, una progresión geométrica se puede trabajar
como una aritmética, lo que fue también en su momento
uno de los grandes aportes de los logaritmos a la ciencia.
Página 71
El análisis de errores permite, de manera efectiva y concre-
ta, detectarlos y corregirlos. Es importante que el docente
estimule a los estudiantes a analizar sus procedimientos
constantemente y a desarrollar la capacidad de análisis y
autocrítica respecto de los errores cometidos.
En la primera situación, se aplican incorrectamente las pro-
piedades de los logaritmos, asumiendo que el logaritmo
de una diferencia es equivalente a la diferencia de los lo-
garitmos. Para desarrollar este tipo de expresiones se debe
expresar la diferencia de cuadrados como una suma por
diferencia y ahí aplicar la propiedad del logaritmo de un
producto. Recalque a los estudiantes que no existe propie-
dad para la adición y sustracción de logaritmos.
En la segunda parte se observa una ecuación logarítmica
correctamente resuelta en relación a los procedimientos
realizados, pero el error está en verificar la solución encon-
trada en otra ecuación y no en la original, pues esto nos
lleva a conclusiones erróneas. Este error es muy frecuente,
debido a que los alumnos suelen verificar el resultado en
la ecuación que les parece más fácil.
Se debe recordar que si las expresiones no están definidas
no se les puede aplicar propiedades de los logaritmos. En-
fatice que la solución de una ecuación logarítmica se debe
verificar en la ecuación original.
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3 41 2
Págs. 72 y 73
Indicador Preguntas asociadas Remedial
Identificar logaritmos y relacionarlos
con raíces y potencias.
1, 2 y 3 Las dificultades que se pueden presentar tienen directa relación
con una comprensión inadecuada del concepto de logaritmo, o
falta de sistematicidad en el desarrollo de los ejercicios.
Para corregir estos errores, conviene que los resuelvan
nuevamente utilizando una pauta con los pasos necesarios.
Para la pregunta 1, por ejemplo, pueden establecer que primero
se identifica la base, el argumento y el valor del logaritmo.
Luego se expresa en palabras qué es un logaritmo y finalmente
se escribe la expresión pedida. Puede realizar algo similar para
las preguntas 2 y 3.
Deducir y aplicar propiedades de
logaritmos.
4, 5 y 6 Los estudiantes pueden presentar dificultades al reducir o
desarrollar las expresiones logarítmicas. Para evitar esto, repase
con ellos las propiedades de los logaritmos, y en la resolución
de los ejercicios pídales que identifiquen la situación (“hay dos
logaritmos que se están sumando”) para luego identificar la
propiedad que se debe utilizar.
Para manejar expresiones más complejas, como las que se
proponen en la pregunta 6, los estudiantes pueden presentar
dificultades fruto de las notaciones y la longitud de las
expresiones. Si necesitan corregir los ejercicios, sugiérales
utilizar paréntesis en cada caso; aunque no parezcan necesarios
para la operatoria, sí lo pueden ser para facilitar el orden.
Resolver problemas aplicando
logaritmos.
7, 8 y 9 En la pregunta 7, algunos errores se pueden deber a la
aplicación incorrecta de propiedades en expresiones que
no estén definidas (logaritmos con argumentos negativos).
Recuerde a los estudiantes que deben verificar sus respuestas
en la ecuación original.
En la pregunta 8, nuevamente el uso de la calculadora puede
provocar errores. Es conveniente que realice una corrección
grupal de estos problemas para que los estudiantes puedan
constatar si sus errores obedecen a un planteamiento incorrecto
o son de cálculo.
La pregunta 9 presenta una dificultad especial pues no se
pide la solución, sino que se solicitan los valores de a para los
que la ecuación tiene solución o no. Puede ser un problema
interesante para revisar en conjunto y verificar los métodos
utilizados por los estudiantes.
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Diariomural
Págs. 74 y 75
Se presentan aquí herramientas tecnológicas comunes para
todos en la actualidad, como los computadores y las calcu-
ladoras, los cuales han manifestado importantes cambios
a través de la historia.
Es importante señalar a los estudiantes que, si bien existen
aparatos que simplifican los cálculos, en el fondo todos
ellos se basan en operaciones elementales, es decir, apli-
can estas propiedades. Las personas que programan estos
aparatos deben darles instrucciones precisas para que pue-
dan realizar los cálculos, considerando que un computador
solo obedece instrucciones simples. El proceso de contar
con máquinas que realizan cálculos mecánicamente es
un gran testimonio del ingenio humano y la dedicación;
es fundamental un profundo análisis para determinar las
regularidades en las operaciones, lo que permite que luego
las realice un mecanismo sin intervención humana.
Es importante tener presente el valor de los descubrimien-
tos que han hecho la humanidad al cálculo y a la ciencia,
pues gracias a ellos todo ha evolucionado y contamos con
dispositivos cada vez más completos que nos simplifican
la vida en muchos ámbitos.
Parasintetizar
Págs. 76 y 77
Es de gran importancia, al concluir una unidad, recoger los
elementos esenciales de ella y permitir que los estudiantes
puedan apreciar los contenidos como conjunto, conside-
rando sobre todo la naturaleza progresiva e integradora
de la disciplina.
Por lo mismo, se sugiere prestar especial atención a la ela-
boración de la síntesis de la unidad, permitiendo un trabajo
individual, grupal y con todo el curso, dando también la
posibilidad de resolver las últimas dudas que puedan que-
dar, poner en común las dificultades y verificar la adecuada
comprensión de los conceptos.
En estas páginas se retoma, además, el tema presentado
en el inicio de la unidad, con el objetivo de que puedan
analizarlo nuevamente incorporando los conocimientos
adquiridos. Si hay estudiantes interesados especialmente en
la música, solicite la ayuda de ellos para abordar este tema.
Puede pedirles incluso que interpreten las notas musicales
en diferentes instrumentos, para que todos puedan apreciar
las diferencias entre ellas y cómo se forman.
Reforzaryprofundizar
Págs. 78 a 81
Para los ejercicios de refuerzo, se recomienda especialmente
prestar atención a que los estudiantes puedan explicar los
procedimientos empleados en la resolución de los ejercicios
y no solo a los resultados obtenidos, con el objetivo de
garantizar la comprensión de los conceptos involucrados.
Se sugiere por lo mismo al docente revisarlos en conjunto
con el curso, permitiendo que los estudiantes resuelvan
algunos de ellos en la pizarra con la colaboración de sus
compañeros. Mediante esto se pretende que puedan re-
troalimentarse mutuamente de manera más significativa,
al provenir de sus propios pares.
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3 41 2
Evalúomisaprendizajes
Págs. 82 a 85
Sección Indicador Preguntas asociadas Remedial
1
Identificar números
irracionales y sus propiedades,
y operar con ellos en
problemas geométricos.
1, 2, 3 y 10 Verifique que los estudiantes apliquen
correctamente las fórmulas de cálculos
geométricos (áreas y perímetros) y el teorema
de Pitágoras, para evitar errores. Conviene
además repasar la aproximación de números
racionales y las construcciones geométricas.
Para la caracterización de los números reales,
permita que los estudiantes primero utilicen
sistemas de ayuda-memoria para realizar
los ejercicios, hasta que puedan aplicar las
propiedades sin necesidad de ello.
Aproximar números
irracionales.
4 y 5
Ordenar y ubicar números
irracionales.
9, 11 y 12
Identificar y caracterizar el
conjunto de los números
reales.
6, 7 y 8
2
Definir raíces y calcularlas
aplicando su definición.
14 y 15 Repase con los estudiantes las propiedades de
las potencias de exponente entero y justifique
nuevamente la interpretación de la potencia
de exponente racional. Luego, pida a los
estudiantes que resuelvan nuevamente los
ejercicios transfiriendo estas propiedades a las
raíces.
Para la racionalización y la resolución de
problemas, es conveniente que realicen
nuevamente las actividades de las lecciones
correspondientes.
Realizar operaciones con
raíces.
16, 18, 19 y 20
Interpretar las raíces como
potencias de exponente
racional y deducir
propiedades de ellas.
13 y 22
Racionalizar expresiones
fraccionarias.
17 y 21
Resolver problemas que
involucran raíces.
23
3
Identificar logaritmos y
relacionarlos con raíces y
potencias.
24 y 25 Pida a los estudiantes que presenten
dificultades que resuelvan nuevamente los
ejercicios indicando en cada caso:
•• Situación presentada (¿qué se quiere
obtener?)
•• Propiedades involucradas (suma de
logaritmos, logaritmo de un producto, etc).
•• Justificación de cada paso.
Deducir y aplicar propiedades
de logaritmos.
26, 27, 28, 29, 30, 31 y 32
Resolver problemas aplicando
logaritmos.
33, 34, 35, 36, 37 y 38
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Informacióncomplementaria
Hipaso de Metaponto
Hipaso de Metaponto fue un filósofo presocrático, miembro de la escuela pitagórica. Como muchos de su época,
no dejó ningún escrito. Nació en torno al año 500 a. C. en Metaponto, ciudad griega de la Magna Grecia situada en
el Golfo de Tarento, al sur de lo que actualmente es Italia.
Sobre él se han dicho muchas cosas, por ejemplo, se le acredita la construcción de un dodecaedro como aproxima-
ción a una esfera y el descubrimiento de la inconmensurabilidad.
Se cree también que Hipaso de Metaponto fue también maestro de Heráclito de Efeso, y como este, pensaba
que el“arché”o principio de todas las cosas, era el fuego, metáfora del cambio, a diferencia de los pitagóricos, que
situaban ese principio de todo en los números. Además de los trabajos sobre matemáticas, que incluyen el descu-
brimiento de la irracionalidad de 2, hizo estudios sobre acústica y resonancia. Pocos de sus trabajos originales han
llegado hasta nuestros días, aunque se tiene constancia de experimentos suyos con discos de bronce del mismo
diámetro, pero de diferente grosor (el grosor del primero era un tercio mayor que el del segundo, una vez y media
mayor que el del tercero, y el doble que el del cuarto disco), que al ser golpeados sonaban con cierta armonía.
Se cree que fue quien probó la existencia de los números irracionales, en un momento en el que los pitagóricos
pensaban que los números racionales podían describir toda la geometría del mundo. Hipaso de Metaponto habría
roto la regla de silencio de los pitagóricos revelando en el mundo la existencia de estos nuevos números. Eso habría
hecho que estos lo expulsaran de la escuela y erigieran una tumba con su nombre, mostrando así que para ellos, él
estaba muerto.
Los documentos de la época dan versiones diferentes de su final. Parece ser que murió en un naufragio de circuns-
tancias misteriosas; algunos dicen que se suicidó, inflingiéndose un autocastigo, liberando de este modo a su alma
para ir a buscar la purificación en otro cuerpo; otros dicen que un grupo de pitagóricos lo mató, e incluso se dice
que Pitágoras en persona lo condenó a muerte. Otras versiones apuntan a que precisamente habría sido la rivalidad
entre Hipaso y Pitágoras la que finalmente le costó la vida al primero, que en algunos aspectos habría superado a
su maestro. Incluso, se cree que él podría haber sido verdaderamente quien demostró el“teorema de Pitágoras”.
Más allá de sus descubrimientos, si algo nos dejó Hipaso es un gusto amargo: la idea de que Pitágoras seguramente
estaba muy equivocado y que la mayoría de nuestras creencias se encuentran basadas en esas equivocaciones;
poco y nada sabemos de los muchos Hipasos que habrán existido y que seguramente tuvieron una tumba con su
nombre antes de su muerte.
Fuente: http://interesante-saber.lacoctelera.net/post/2011/09/17/hipaso-metaponto
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Actividad complementaria Nº1 / Raíces irracionales
Nombre: Curso: Fecha:
Lee atentamente y realiza las siguientes actividades.
1. Considera los siguientes números naturales y su descomposición en factores primos:
36 = 22
• 32
100 = 22
• 52
144 = 24
• 32
400 = 24
• 52
a) Calcula la raíz cuadrada de cada número y escribe su descomposición en factores primos. Compárala con la
descomposición de los números anteriores. ¿Qué similitudes observas? ¿Qué diferencias?
b) La descomposición de un número en factores primos es x = p4
q6
r2
, donde p, q y r son números primos. Determi-
na x . ¿Cómo lo calculaste? ¿Es x un número natural? Justifica.
c) La descomposición de un número en factores primos es y = p5
q4
r8
, donde p, q y r son números primos. Determi-
na y . ¿Puede ser y un número natural? Justifica.
2. Utiliza lo anterior para discutir la siguiente afirmación: la raíz de todo número primo es un número irracional.
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Actividad complementaria Nº 2 / Propiedades de la combinatoria
Actividad complementaria Nº 2 / Aproximación de raíces enésimas
Lee atentamente y realiza las siguientes actividades.
Otra forma de aproximar raíces cuadradas es mediante la fórmula
n
x 6nx n
4x x n
4 2 2
2
( )
≈
+ +
+
Donde n es el número al cual queremos calcular su raíz, y x es la menor aproximación entera de ella.
1. Para aproximar raíces cúbicas, podemos utilizar la fórmula
n
n
n x
2x
2
n x
2x
3
3
2
3
3
2
2
≈
+
+



+



Donde n es el número al cual queremos calcular su raíz, y x es la menor aproximación entera de ella.
Verifica esta fórmula para 103
y 153
. Comprueba con calculadora los resultados obtenidos.
2. A partir de esta fórmula, ¿podrías deducir una para aproximar raíces cuartas? Justifica y compruébala para 1204
.
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