Chapitre III : Application de la théorie à un exemple mathématique 
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Afin de mettre en évidence...
Chapitre III : Application de la théorie à un exemple mathématique 
En effet, on a l’équivalence selon laquelle : lambda a...
Chapitre III : Application de la théorie à un exemple mathématique 
On choisit comme base 1 la composante ayant la plus gr...
Chapitre III : Application de la théorie à un exemple mathématique 
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Il résulte les rel...
Chapitre III : Application de la théorie à un exemple mathématique 
Les composantes du vecteur propre de gauche sont chois...
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Donc, la matrice des vecteurs propres de gauche est : ...
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On obtient : 
Δ푧1(0) = 푣31 = 1/2 
Δ푧2(0) = 푣32 = −...
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Pour pouvoir vérifier les résultats ci-dessus, on calc...
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  1. 1. Chapitre III : Application de la théorie à un exemple mathématique 48 III.1 - Introduction : Afin de mettre en évidence la méthode de stabilité aux petites variations, nous avons proposé dans le chapitre III une courte étude d’un modèle mathématique donné par les équations différentielles linéaires suivantes. III.2 - Exemple de calcul : On considère le système de trois différentielles linéaires d’ordre 1 : { 푑Δ푥1 푑푡 = 0 Δ푥1 + 1 Δ푥2 + 0 Δ푥3 푑Δ푥2 푑푡 = 0 Δ푥1 + 0 Δ푥2 + 1 Δ푥3 푑 Δ푥3 푑푡 = −6 Δ푥1 − 11 Δ푥2 − 6 Δ푥3 (74) [Δ푥̇] = [Α]. [Δ푥] Avec : [Α] = [ 0 1 0 0 0 1 −6 −11 −6 ] (75) On cherche la solution Δ푥(푡) de ce système. Il faut d’abord déterminer le polynôme caractéristique de la matrice A : ΡΑ (휆) = 푑푒푡(Α − 휆. Ι) 0 1 0 0 0 1 −6 −11 −6 (Α − 휆. Ι) = [ 휆 0 0 0 휆 0 0 0 휆 ] − [ ] = [ −휆 1 0 0 −휆 1 −6 −11 −6 − 휆 ] −휆 1 0 0 −휆 1 −6 −11 −6 − 휆 ΡΑ (휆) = 푑푒푡 [ ] ΡΑ (휆) = (−휆)[(−휆)(−6 − 휆) − (−11) ∗ 1] + (−1) ∗ 1[0 ∗ (−6 − 휆) − (−6) ∗ 1] ΡΑ (휆) = (−휆)[ 6휆 + 휆2 + 11 ] − 1 [ 0 + 6 ] ΡΑ (휆) = −6휆2 − 휆3 − 11휆 − 6 ΡΑ (휆) = 휆3 + 6휆2 + 11휆 + 6 Ceci est le polynôme caractéristique de A. Il permet de déterminer les valeurs propres de A.
  2. 2. Chapitre III : Application de la théorie à un exemple mathématique En effet, on a l’équivalence selon laquelle : lambda appartient au spectre de A, ensemble des valeurs propres de A, si et seulement si le polynôme caractéristique de A est nul. 49 휆 ∈ 푠푝(Α) ⟺ ΡΑ (휆) = 0 휆 ∈ 푠푝(Α) ⟺ 휆3 + 6휆2 + 11휆 + 6 = 0 휆 ∈ 푠푝(Α) ⟺ (휆 + 1)(휆 + 2)(휆 + 3) = 0 On en déduit les trois valeurs propres (racines) de la matrice A : 푠푝(훢) = { 휆1 = −1 ; 휆2 = −2 ; 휆3 = −3 } On obtient alors la matrice diagonale des valeurs propres qui a la forme suivante : 휆1 0 0 0 휆2 0 0 0 휆3 [Λ] = [ ] = [ −1 0 0 0 −2 0 0 0 −3 ] (76)  Les matrices des vecteurs propres :  Calcul des vecteurs propres de droite [U1], [U2], [U3] :  Calcul de [U1] : Les composantes du vecteur propre de droite associé à la valeur propre λ1 sont obtenues à partir de la relation : [Α]. [푈1] = 휆1. [푈1] 0 1 0 0 0 1 −6 −11 −6 [ 푢11 푢21 푢31 ] . [ ] = 휆1. [ 푢11 푢21 푢31 ] Or 휆1 = −1 ⟹ [ 0 1 0 0 0 1 −6 −11 −6 푢11 푢21 푢31 ] . [ ] = −1. [ 푢11 푢21 푢31 ] Il résulte les relations : 푢11 = 푢11 푢21 = −푢11 푢31 = −푢21 = −(−푢11) = 푢11
  3. 3. Chapitre III : Application de la théorie à un exemple mathématique On choisit comme base 1 la composante ayant la plus grande valeur absolue. Ici, on peut indifféremment choisir l’une des trois, car leurs valeurs absolues sont égales à 1. On obtient alors le vecteur propre de droite [U1] : 50 푢11 푢21 푢31 [푈1] = [ 1 −1 1 ] = [ ] On calcule de façon similaire les composantes des deux autres vecteurs propres de droite :  Calcul de [U2] : [Α]. [푈2] = 휆2. [푈2] Or 휆2 = −2 ⟹ [ 0 1 0 0 0 1 −6 −11 −6 푢12 푢22 푢32 ] . [ ] = −2. [ 푢12 푢22 푢32 ] Il résulte les relations : 푢12 = 푢12 푢22 = −2 푢12 푢32 = −2 푢22 = −2 ∗ (−2 푢12) = 4 푢12 On choisit comme base 1 la composante ayant la plus grande valeur absolue. Ici, on choisit donc u32 comme base 1 (4 > 2 > 1). On obtient alors le vecteur propre de droite [U2] : [푈2] = [ 푢12 푢22 푢32 1⁄4 −1⁄2 1 ] = [ ]  Calcul de [U3] : [Α]. [푈3] = 휆3. [푈3] Or 휆3 = −3 ⟹ [ 0 1 0 0 0 1 −6 −11 −6 푢13 푢23 푢33 ] . [ ] = −3. [ 푢13 푢23 푢33 ]
  4. 4. Chapitre III : Application de la théorie à un exemple mathématique 1 1⁄4 1⁄9 −1 −1⁄2 −1⁄3 1 1 1 51 Il résulte les relations : 푢13 = 푢13 푢23 = −3 푢13 푢33 = −3 푢23 = −3 ∗ (−3 푢13) = 9 푢13 On choisit comme base 1 la composante ayant la plus grande valeur absolue. Ici, on choisit donc u33 comme base 1 (9 > 3 > 1). On obtient alors le vecteur propre de droite [U3] : [푈3] = [ 푢13 푢23 푢33 1⁄9 −1⁄3 1 ] = [ ] Donc, la matrice des vecteurs propres de droite est : [푈] = [ 푢11 푢12 푢13 푢21 푢22 푢23 푢31 푢32 푢33 ] = [ ] (77)  Calcul des vecteurs propres de gauche [V1], [V2], [V3] :  Calcul de [V1] : Les composantes du vecteur propre de gauche associé à la valeur propre λ1 sont obtenues à partir de la relation : [Α]푡 [푉1] = 휆1[푉1] 0 0 −6 1 0 −11 0 1 −6 [ 푣11 푣21 푣31 ] . [ 푣11 푣21 푣31 ] = 휆1. [ ] Or 휆1 = −1 ⟹ [ 0 0 −6 1 0 −11 0 1 −6 푣11 푣21 푣31 ] . [ 푣11 푣21 푣31 ] = −1. [ ] Il résulte les relations : 푣11 = 6 푣31 푣21 = 5 푣31 푣31 = 1 푣31
  5. 5. Chapitre III : Application de la théorie à un exemple mathématique Les composantes du vecteur propre de gauche sont choisies de telle manière que : 1 0 0 0 1 0 0 0 1 52 [푉]푡 [푈] = [Ι] Avec : [Ι] matrice identité d’ordre 3 푣11 푣21 푣31 푣12 푣22 푣32 푣13 푣23 푣33 [ 푢11 푢12 푢13 푢21 푢22 푢23 푢31 푢32 푢33 ] [ ] = [ ] (78) Donc pour les composantes de [V1] : 푣11 푢11 + 푣21 푢21 + 푣31 푢31 = 1 (79) 푣11 ∗ 1 + 푣21 ∗ (−1) + 푣31 ∗ 1 = 1 ⟹ 푣11 − 푣21 + 푣31 = 1 On obtient alors : 푣11 푣21 푣31 [푉1] = [ 3 5⁄2 1⁄2 ] = [ ] On calcule de façon similaire les composantes des deux autres vecteurs propres de gauche :  Calcul de [V2] : [Α]푡 [푉2] = 휆2[푉2] Or 휆2 = −2 ⟹ [ 0 0 −6 1 0 −11 0 1 −6 푣12 푣22 푣32 ] . [ 푣12 푣22 푣32 ] = −2. [ ] Il résulte les relations : 푣12 = 3 푣32 푣22 = 4 푣32 푣32 = 1 푣32 ⟹ 푣32 = 1 3 푣12 et 푣22 = 4 3 푣12
  6. 6. Chapitre III : Application de la théorie à un exemple mathématique 53 [푉]푡 [푈] = [Ι] 푣12 푢12 + 푣22 푢22 + 푣32 푢32 = 1 (80) 푣12 ∗ 1/4 + 푣22 ∗ (−1/2) + 푣32 ∗ 1 = 1 ⟹ 1/4 푣12 − 1/2 푣22 + 푣32 = 1 On obtient alors : [푉2 ] = [ 푣12 푣22 푣32 −12 −16 −4 ] = [ ]  Calcul de [V3] : [Α]푡 [푉3] = 휆3[푉3] Or 휆3 = −3 ⟹ [ 0 0 −6 1 0 −11 0 1 −6 푣13 푣23 푣33 ] . [ 푣13 푣23 푣33 ] = −3. [ ] Il résulte les relations : 푣13 = 2 푣33 푣23 = 3 푣33 푣33 = 1 푣33 ⟹ 푣33 = 1 2 푣13 et 푣23 = 3 2 푣13 [푉]푡 [푈] = [Ι] 푣13 푢13 + 푣23 푢23 + 푣33 푢33 = 1 (81) 푣13 ∗ 1/9 + 푣23 ∗ (−1/3) + 푣33 ∗ 1 = 1 ⟹ 1/9 푣13 − 1/3 푣23 + 푣33 = 1 On obtient alors : [푉3 ] = [ 푣13 푣23 푣33 9 27⁄2 9⁄2 ] = [ ]
  7. 7. Chapitre III : Application de la théorie à un exemple mathématique Donc, la matrice des vecteurs propres de gauche est : 54 푣11 푣12 푣13 푣21 푣22 푣23 푣31 푣32 푣33 [푉] = [ ] = [ 3 −12 9 5/2 −16 27/2 1/2 −4 9/2 ] (82) Les valeurs des composantes de ces vecteurs vérifient les relations : [푉]푡 [푈] = [Ι] et [푉]푡 [Α][푈] = [Λ] On détermine la solution libre du système d’équations différentielles. On effectue la substitution : [푈][Δ푧] = [Δ푥] Et il résulte le système des équations découplées : Δ푧̇1 = 휆1. Δ푧1 Δ푧̇2 = 휆2. Δ푧2 Δ푧̇3 = 휆3. Δ푧3 qui ont les solutions : Δ푧1(푡) = Δ푧1(0). 푒 휆1푡 Δ푧2(푡) = Δ푧2(0). 푒휆2 푡 Δ푧3(푡) = Δ푧3(0). 푒휆3 푡 De la relation : [푈]−1[Δ푥] = [푉]푡 [Δ푥] = [Δ푧] on obtient les conditions initiales [Δ푧(0)] en fonction des conditions initiales de [Δ푥(0)] : 푣11 푣21 푣31 푣12 푣22 푣32 푣13 푣23 푣33 [ ] . [ Δ푥1(0) Δ푥2(0) Δ푥3(0) ] = [ Δ푧1(0) Δ푧2(0) Δ푧3(0) ] Dans un premier cas, on considère les conditions initiales de Δ푥푖 (0) : Δ푥1(0) = 1 Δ푥2(0) = 0 Δ푥3(0) = 0
  8. 8. Chapitre III : Application de la théorie à un exemple mathématique 55 [푉]푡 [Δ푥] = [Δ푧] 푣11 푣21 푣31 푣12 푣22 푣32 푣13 푣23 푣33 [ 1 0 0 ] . [ ] = [ Δ푧1(0) Δ푧2(0) Δ푧3(0) ] On obtient : Δ푧1(0) = 푣11 = 3 Δ푧2(0) = 푣12 = −12 Δ푧3(0) = 푣13 = 9 On détermine la solution du système d’équations différentielles pour la variable d’état Δ푥1(푡) [푈][Δ푧] = [Δ푥] 푢11 푢12 푢13 푢21 푢22 푢23 푢31 푢32 푢33 [ ] . [ Δ푧1(푡) Δ푧2(푡) Δ푧3(푡) ] = [ Δ푥1(푡) Δ푥2(푡) Δ푥3(푡) ] (83) Δ푥1(푡) = 푢11. Δ푧1(푡) + 푢12. Δ푧2(푡) + 푢13. Δ푧3(푡) (84) Δ푥1(푡) = 푢11. 푣11 . 푒휆1 푡 + 푢12. 푣12 . 푒휆2 푡 + 푢13. 푣13 . 푒휆3푡 Δ푥1(푡) = 1 ∗ 3 푒−푡 + 1/4 ∗ (−12) 푒−2푡 + 1/9 ∗ 9 푒−3푡 La solution est : Δ푥1(푡) = 3 푒−푡 − 3 푒−2푡 + 푒−3푡 Les grandeurs sont les coefficients de participation : [푝1] = [ 푝11 푝12 푝13 푢11. 푣11 푢12. 푣12 푢13. 푣13 ] = [ 3 −3 1 ] = [ ] Ils donnent la contribution des modes 푒 휆1푡 , 푒휆2 푡 , 푒휆3 푡 pour la formation de la grandeur d’état Δ푥1(푡), dans des conditions initiales données (Δ푥1(0) = 1 ; Δ푥2(0) = 0 ; Δ푥3(0) = 0). Dans le deuxième cas, on considère les conditions initiales de Δ푥푖 (0) : Δ푥1(0) = 0 Δ푥2(0) = 1 Δ푥3(0) = 0
  9. 9. Chapitre III : Application de la théorie à un exemple mathématique 56 [푉]푡 [Δ푥] = [Δ푧] 푣11 푣21 푣31 푣12 푣22 푣32 푣13 푣23 푣33 [ 0 1 0 ] . [ ] = [ Δ푧1(0) Δ푧2(0) Δ푧3(0) ] On obtient : Δ푧1(0) = 푣21 = 5/2 Δ푧2(0) = 푣22 = −16 Δ푧3(0) = 푣23 = 27/2 On détermine la solution du système d’équations différentielles pour la variable d’état Δ푥2(푡) [푈][Δ푧] = [Δ푥] Δ푥2(푡) = 푢21. Δ푧1(푡) + 푢22. Δ푧2(푡) + 푢23. Δ푧3(푡) (85) Δ푥2(푡) = 푢21. 푣21 . 푒휆1 푡 + 푢22. 푣22 . 푒휆2 푡 + 푢23. 푣23 . 푒휆3 푡 Δ푥2(푡) = (−1) ∗ 5/2 푒−푡 + (−1/2) ∗ (−16) 푒−2푡 + (−1/3) ∗ 27/2 푒−3푡 La solution est : Δ푥2(푡) = −5/2 푒−푡 + 8 푒−2푡 − 9/2 푒−3푡 Les grandeurs sont les coefficients de participation : 푝21 푝22 푝23 [푝2] = [ ] = [ 푢21. 푣21 푢22. 푣22 푢23. 푣23 ] = [ −5/2 8 −9/2 ] Dans le troisième cas, on considère les conditions initiales de Δ푥푖 (0) : Δ푥1(0) = 0 Δ푥2(0) = 0 Δ푥3(0) = 1 [푉]푡 [Δ푥] = [Δ푧] 푣11 푣21 푣31 푣12 푣22 푣32 푣13 푣23 푣33 [ 0 0 1 ] . [ ] = [ Δ푧1(0) Δ푧2(0) Δ푧3(0) ]
  10. 10. Chapitre III : Application de la théorie à un exemple mathématique 57 On obtient : Δ푧1(0) = 푣31 = 1/2 Δ푧2(0) = 푣32 = −4 Δ푧3(0) = 푣33 = 9/2 On détermine la solution du système d’équations différentielles pour la variable d’état Δ푥3(푡) [푈][Δ푧] = [Δ푥] Δ푥3(푡) = 푢31. Δ푧1(푡) + 푢32. Δ푧2(푡) + 푢33. Δ푧3(푡) (86) Δ푥3(푡) = 푢31. 푣31 . 푒휆1 푡 + 푢32. 푣32 . 푒휆2 푡 + 푢33. 푣33 . 푒휆3 푡 Δ푥3(푡) = 1 ∗ 1/2 푒−푡 + 1 ∗ (−4) 푒−2푡 + 1 ∗ 9/2 푒−3푡 La solution est : Δ푥3(푡) = 1/2 푒−푡 − 4푒−2푡 + 9/2 푒−3푡 Les grandeurs sont les coefficients de participation : 푝31 푝32 푝33 [푝3] = [ ] = [ 푢31. 푣31 푢32. 푣32 푢33. 푣33 ] = [ 1/2 −4 9/2 ] La matrice des coefficients de participation, dans les trois cas des conditions initiales, a la forme suivante : [푝] = [ 푝11 푝12 푝13 푝21 푝22 푝23 푝31 푝32 푝33 ] = [ 3 −3 1 −5/2 8 −9/2 1/2 −4 9/2 ] PB Le coefficient 푝푖푗 représente le degré de participation du mode j pour la formation de la grandeur d’état i, quand on considère une condition initiale Δ푥푖 (푡).
  11. 11. Chapitre III : Application de la théorie à un exemple mathématique Pour pouvoir vérifier les résultats ci-dessus, on calcule la solution indépendante 푥1(푡) du système d’équations différentielles par l’application de la transformation de Laplace dans des conditions initiales non-nulles (푥1(0) = 1 ; 푥2(0) = 0 ; 푥3(0) = 0). 58 On obtient : 푠. 푥1(푠) − 푥1(0) = 푥2(푠) 푠. 푥2(푠) = 푥3(푠) 푠. 푥3(푠) = −6 푥1(푠) − 11 푥2(푠) − 6 푥3(푠) Par des calculs algébriques, on élimine les variables 푥2(푠) et 푥3(푠). On obtient : 푥1 = 푠2 + 6푠 + 11 푠3 + 6푠2 + 11푠 + 6 푥1(0) = 푠2 + 6푠 + 11 (푠 − 휆1)(푠 − 휆2)(푠 − 휆3) 푥1(0) Avec : 휆1 = −1 휆2 = −2 휆3 = −3 On applique la méthode de décomposition et on obtient : 푥1(푠) = [ 퐴 푠 − 휆1 + 퐵 푠 − 휆2 + 퐶 푠 − 휆3 ] 푥1(0) Par identification : 퐴 = 3 퐵 = −3 퐶 = 1 L’original 푥1(푡) de la transformation de Laplace 푥1(푠) est de la forme suivante : 푥1(푡) = [퐴푒휆1 푡 + 퐵푒휆2 푡 + 퐶푒휆3푡 ] 푥1(0) Soit : 푥1(푡) = 3 푒−푡 − 3 푒−2푡 + 푒−3푡
  12. 12. Chapitre III : Application de la théorie à un exemple mathématique III.3 - Conclusion : Dans ce chapitre, nous avons appliqué la théorie des petits signaux à un exemple mathématique. Dans notre travail, le système de puissance est soumis à des petites perturbations : cela permet de linéariser le système. Le calcul des valeurs propres nous permet d’étudier les propriétés dynamiques, car elles définissent le mouvement du système. Aussi, il nous permet de calculer l’amortissement. Les solutions des équations décrivent l’évolution exponentielle au cours du temps de la perturbation. Les valeurs propres sont réelles négatives. Le mode associé à cet exemple est donc non oscillatoire, avec une forme d’exponentie lle décroissante. Le facteur de participation découvre quelle variable d’état est responsable du mode indésirable. 59

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