1. 1
Jenis dan Operasi Matriks
Pertemuan 01
Matakuliah : K0034 - Aljabar Linear Terapan
Tahun : 2007
2. 2
Jenis dan Operasi Matriks
Pengertian
Matriks merupakan
Suatu alat atau sarana yang sangat ampuh untuk
menyelesaikan model-model linier.
Definisi Matriks adalah
Susunan empat persegi panjang atau bujur
sangkar dari bilangan-bilangan yang diatur dalam
baris dan kolom ditulis diantara dua tanda kurung,
yaitu ( ) atau [ ]
3. 3
Bentuk Umum:
Elemen matriks : aij
Susunan bilangan atau nilai aij {bilangan real atau kompleks}
Ukuran matriks :
• Jumlah baris : m
• Jumlah kolom : n
• Ordo atau ukuran matriks : m x n
• Elemen-elemen diagonal : a11, a22,….,ann
mn32m1
2n232221
1n131211
a
..........
..a
a..aa
aaa
a..aaa
mm
4. 4
Contoh:
Notasi matriks, menggunakan huruf besar (kapital)
Kesamaan matriks
Matriks A = (aij)
B = (bij)
A = B jika aij = bij untuk semua
i = 1, 2 .. m dan j = 1, 2,...n
6213
7410
6532
43xAMatriks
5. 5
Contoh:
A = B
A C (ukurannya tidak sama)
Matriks A dan Matriks B disebut sama, bila
• Ordo-ordonya sama
• Elemen-elemen yang seletak sama
143
021
43
21
43
21
CBA
6. 6
Bentuk Matriks Khusus
1. Matriks bujur sangkar
Suatu matriks dimana jumlah baris = jumlah kolom
A : matriks bujur sangkar berukuran n x n
Diagonal utama A : a11, a22, ….., ann
Contoh :
nn2n1
2n2221
1n1211
..
........
..
..
aaa
aaa
aaa
A
n
527
641
235
12
34
3322 xx AA
7. 7
2. Matriks Diagonal :
Matriks bujur sangkar dimana elemen-elemen
pada diagonal utamanya tidak semua
elemennya nol, sedangkan unsur-unsur yang
lain adalah nol
Contoh :
000
000
002
,
300
020
005
8. 8
3.Matriks Satuan (Matriks Identitas) :
Matriks bujur sangkar di mana elemen-
elemen pada diagonal utamanya masing-
masing adalah satu, sedangkan elemen-
elemen yang lain adalah nol.
Contoh:
100
010
001
,
10
01
32 II
9. 9
4. Matriks Singular
Matriks bujur sangkar yang tidak mempunyai
invers (berarti : nilai determinannya = 0)
5. Matriks Non Singular
Matriks bujur sangkar yang mempunyai invers
(berarti: nilai determinannya 0)
6. Matriks Transpose
Bila matriks A berordo mxn, maka At
(Transpose Derit) berordo nxm dengan
elemen baris ke I dan kolom ke j dari A1 adalah
elemen baris ke j dan kolom ke I dari A
10. 10
7. Matriks Simetris
Matriks bujur sangkar dimana diagonal utamanya
berfungsi sebagai cermin atau refleksi (At = A).
Contoh :
346
471
615
:
75
83
42
,
784
532
33
1
xA
AmakaA
11. 11
8.Matriks Idempotent
Matriks bujur sangkar dimana berlaku A2 = A
atau An = A untuk suatu n, bila n = 2, 3, 4,….
Contoh:
AAAA
A
321
431
422
321
431
422
321
431
422
.
321
431
422
2
12. 12
Program MAPLEnya:
# A = Matriks Idempotent, sehingga A2 = A
> Restart:
> A:=matriks([[2,-2,-4], [-1,3,4], [1,-2,-3]])
> C: = evalm (A&*A);
321
431
422
:A
321
431
422
:C
13. 13
9. Matriks Nilpotent
Matriks bujur sangkar dimana berlaku A3 = 0 atau
An = 0 untuk suatu n, bila n = 2, 3, 4,…..
Contoh:
Matriks nilpotent dari ordo 3 x 3
0
000
000
000
312
625
311
312
625
311
312
625
311
312
625
311
3
AAAA
A
15. 15
10.Matriks Nol: adalah matriks di mana semua
unsur nilainya nol
11.Matriks Identitas:
100
010
001
10
01
33
22
x
x
I
I
16. 16
Sifat Matriks Identitas dan Matriks Nol
Jika A = matriks berukuran n x n
I . A = A . I = A
A + 0 = 0 + A = A
A . 0 = 0 . A = 0
12. Matriks Segitiga (Triangular Matrix)
Matriks segitiga atas:
Matriks bujur sangkar, apabila setiap unsur yang terletak di
bawah diagonal utamanya sama dengan nol
Contoh:
33
2322
131211
33
a00
aa0
aaa
xA
17. 17
Matriks Segitiga Bawah
Matriks bujur sangkar dimana setiap unsurnya yang
terletak diatas diagonal utamanya sama dengan nol
Contoh:
B x3 3
32
0
=
b 0
b b 0
b b b
11
21 22
31 33
18. 18
Operasi Aljabar Matriks
Penjumlahan dua matriks
A + B = (aij + bij)
A – B = (aij – bij)
Syarat penjumlahan dua matriks atau pengurangan dua
matriks adalah mempunyai ordo yang sama
Contoh:
6129
111311
291
476
438
765
C
BACMaka
291
476
Bdan
438
765
ADiketahui
2x3
2x32x32x3
2x32x3
19. 19
Program MAPLEnya:
# Penjumlahan Dua Matriks
> restart;
> A:=matrix([[5,6,7],[8,3,4]]);
> A:= matrikx(2,3,[5,6,7,8,3,4]);
438
765
:A
438
765
25. 25
Syarat:
Setiap baris pada matriks harus dikalikan pada setiap kolom pada
matriks kedua. Banyaknya kolom pada matriks pertama harus sama
dengan banyaknya baris pada matriks kedua