Apunte teórico-práctico sobre nociones trigonométricas

1. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
QUINTO AÑO-2007
En el deporte del ala delta, el profesor
aconseja al alumno que comience saltando desde
una peña no muy alta; por ejemplo 10 metros. Al
llegar a tierra observan que la distancia horizontal
recorrida es de 50 metros. A medida que el
alumno es más experto va saltando desde peñas
más altas.
Supuesto que el comportamiento del ala
delta es siempre el mismo, ¿qué distancia
horizontal recorrerá cuando se lance desde una
altura de 20 metros ?.
En la siguiente tabla expresamos la altura y
la distancia de cada vuelo, completa los datos que
faltan y determina la relación que hay entre la
altura de la roca desde la que se lanza y la
distancia horizontal en términos de una
proporción.
ALTURA DISTANCIA
HORIZONTAL
10 m 50 m
20 m 100 m
30 m 150 m
45 m
160 m
1 km
ANGULOS ORIENTADOS Y SISTEMAS DE MEDICIÓN
La orientación o sentido de un ángulo está
determinado por la dirección en que gira uno de sus rayos
mientras que el otro permanece fijo.
Un ángulo está en posición estándar si uno de
sus lados coincide con la semirrecta positiva OX de un
sistema de ejes X e Y ortogonales.
Los ángulos pueden ser positivos o negativos e
incluso mayor que un giro
∠AOB ángulo positivo ∠AOB ángulo negativo
y
y A
B O x
B
O A x
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2. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
QUINTO AÑO-2007
Y
Entonces, se cumple que la razón entre las longitudes de dos lados
m(∠AOB) = α + k · 360º
0 A X
k número de giros completos
B
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO.
correspondientes son iguales . Esto es:
B
Sea ∆ABC, rectángulo en C. H
F
AB : hipotenusa D
AC y BC : catetos
β
αy β : ángulos agudos
A C
DE , FG , HJ son perpendiculares al cateto α
αA C
AC , o sea los triángulos ∆ADE , ∆AFG , E G J
∆AHJ son rectángulos en E, G, J,
respectivamente además tienen el ángulo
agudo α en común.
Por lo tanto :
∆ADE ∼ ∆AFG ∼ ∆AHJ ∼ ∆ABC (Postulado
A.A. de semejanza de triángulos).
DE FG HJ BC
= = = = K1 = Constante
AE AG AJ AC
El valor K1 es llamado tangente del ángulo α.
En triángulos rectángulos semejantes y respecto de un mismo ángulo agudo, la razón
entre un cateto y la hipotenusa o entre los dos catetos, es siempre constante.
Respecto al ángulo agudo α de un ∆ABC rectángulo en C se tiene que:
SENO de un ángulo α .
Se define como:
cateto opuesto a α hipotenusa
sen α = cosec α =
hipotenusa cateto opuesto a α
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3. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
QUINTO AÑO-2007
COSENO de un ángulo α
Se define como:
cateto adyacente a α hipotenusa
cos α = sec α =
hipotenusa cateto adyacente a α
TANGENTE de un ángulo α .
Se define como:
cateto opuesto a α cateto adyacente a α
tg α = cotg α =
cateto adyacente a α cateto opuesto a α
ACTIVIDADES
1. Sea el ∆ABC rectángulo en C , con catetos AC = 3 cm , BC = 4 cm, e hipotenusa AB = 5 cm.Calcula
respecto de los ángulos agudos α y β las razones trigonométricas y sus recíprocas:
2. Dado un ∆ABC rectángulo
sen α = sen β = B en C, donde cosec α =
cos α = cos β = 85 , calcula :
β
2
tg α = tg β = sec α =
tg α =
sen α =
cosec α = cosec β=
sec α = sec β = α
C
A
cotg α = cotg β =
cos β = ctg β = cosec β =
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4. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
QUINTO AÑO-2007
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES de 30, 45 y 60 grados
Consideremos la circunferencia de radio
unitario (1u), llamada goniométrica y que tiene
y TABLA DE
su centro ubicado en el orígen O(0,0) de un
VALORES DE
sistema de ejes coordenados perpendiculares.
Consideremos un ángulo de 30º, al prolongar
B
el cateto BD más allá de D hasta intersectar a la
circunferencia , obtenemos un ∆AOB equilátero
r=1
de lado unitario.
De esta forma ∆AOD rectángulo en D. 30º
m(∠AOD) = 30º O 30º D x
m(∠DAO) = 60º 1
1
AD = A
2
AO = 1
3
OD =
2
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
1 3 3
sen 30º = cos 30º = tg 30º =
2 2 3
3 1 tg 60º = 3
sen 60º = cos 60º =
2 2
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO DE 45
Consideremos un ángulo de 45º en y
la circunferencia goniométrica.
Prolongando el cateto DB más allá
de D hasta intersectar a la circunferencia B
en A , obtenemos un triángulo isósceles
cuyos lados congruentes son de medida 1
unitaria. 45º
Entonces:
O x
A0 = 1 ; OB = 1 ; AB = 2 45º D
1
A
Deduce las razones siguientes:
sen 45º = cos 45º = tg 45º =
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5. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
QUINTO AÑO-2007
En el siguiente cuadro haz un resumen de las razones trigonométricas básicas de los
ángulos notables considerados.
MEDIDA ANGULAR α
0º 30º 45º 60º 90º
SENO
COSENO
TANGENTE
Actividades B
1. Calcula la medida del cateto AC del ∆ABC
rectángulo en C , si AB = 12 cm y F
m(∠CAB) = 30º 2. Calcula la medida del ángulo agudo δ del ∆DEF
rectángulo en F si DE = 50 cm y
DF = 5 cm
C A
D δ E
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS
1. RELACIONES ENTRE LOS LADOS . Teorema de Pitágoras
B
C2 = a2 + b2 (a y b catetos ) c hipotenusa
2. RELACIONES ENTRE LOS ÁNGULOS.
a + b + c = 180º
3. RELACIONES ENTRE LADOS Y ÁNGULOS . C A
Relaciones trigonométricas. sen α = cos β , cos α = sen β ,
tg α = ctg β , α , β son complementarios
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6. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
QUINTO AÑO-2007
EJERCICIOS
1. Calcula el radio y la apotema de un octógono de lado 10 cm.
2. Los catetos de un triángulo rectángulo son 3 y 4 cm. Calcula la altura correspondiente a la
hipotenusa.
3. Hallar el radio de una circunferencia sabiendo que una cuerda de 24,6 cm tiene como arco
correspondiente uno de 70ª
4. La base de un triángulo isósceles mide 10m y el ángulo opuesto 50º. Hallar el área.
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7. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
QUINTO AÑO-2007
1. Calcula el largo de la sombra que
proyecta un edificio de 150 m. De alto
cuando el Sol se encuentra a 30º por
encima del horizonte.
150
m
30º
2. Desde la torre de un fuerte costero,
580 m
cuya altura es de 580m sobre el nivel 24º
del mar , se divisa un barco con un
ángulo de depresión de 24º . ¿A qué
distancia del punto D de la base de la
torre está el barco?.
3. En una cierta época del año, el planeta
D
Mercurio, la Tierra y el sol se ubican
formando un triángulo rectángulo .
Desde la tierra se observa el ∠STM = S
21,16º y se conoce la distancia de la
Tierra al Sol: 150 millones de
kilómetros, v con esta información
determina la distancia entre la Tierra y
Mercurio.
M
T
4. Jorge y Alex van a escalar una
montaña de la que desconocen la
altura . A la Salida del Pueblo ,
Jorge mide el ángulo de elevación y
mide 30º. Avanzan 100 metros
hacia la base de la montaña y
vuelve a medir el ángulo de
elevación siendo ahora 45º.
altura
¿Cuál es la altura de la
montaña?.
30º 45º
A 100 B
m
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