1. Dokumen tersebut membahas tentang struktur aljabar khususnya subgrup normal dan grup faktor. 2. Subgrup normal didefinisikan sebagai subgrup H dimana untuk setiap g dalam G dan h dalam H, g-1hg masuk dalam H. 3. Grup faktor G/H didefinisikan sebagai himpunan koset G terhadap H dengan operasi (g1H)*(g2H)= (g1g2)H.

1. 1
STRUKTUR ALJABAR
SUBGRUP NORMAL DAN GRUP FAKTOR
TEOREMA CAUCHY
DISUSUN OLEH :
SHOLIHA NURWULAN : 15.1.12.4.108
SEMESTER/KELAS : VD
DOSEN PEMBIMBING :
SYAHARUDDIN, M.pd
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS ILMU TARBIYAH DAN KEGURUAN
INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI
MATARAM
2014

2. 2
A. Subgrup Normal
Pada Bab ini akan dibahas mengenai himpunan faktor yang merupakan suatu grup dengan
perkailan yang didefinisikan dalam G. Misalkan G adalah merupakan suatu grup dengan H adalah
merupakan subgrup dari G dan relasi a  b mod Hadalah sustu relasi ekivalensi pada G. Akan kita
tunjukkan himpunan faktor yang merupakan suatu grup dengan perkalian yang didefinisikan dalam
G berlaku bila dan hanya bila koset kiri dari H dalam G, aH = {ah, h ∈ H } sama dengan koset
kanan Ha = {ha, h ∈ H }.
1. Definisi-definisi
Definisi I:
Misalkan H adalah suatu Subgrup dari Grup G, Subgrup H dikatakan Subgrup Normal
dari G bila g-1hg ∈ H untuk setiap g ∈ G dan h ∈H.
Definisi 2:
Misalkan H adalah suatu Subgrup Normal dari Grup G, maka setiap koset kiri dari H dalam G
juga merupakan koset kanannya (aH = Ha)
Dari definisi di atas dapat dikatakan untuk menentukan bahwa suatu Subgrup H adalah
Subgrup Normal dari Grup G, maka harus dibuktikan bahwa koset-koset kiri dari H dalam
G sama dengan koset- koset kanan dari H dalam G (aH = Ha).
2. Teorema-teorema
Teorema 1:
Apabila H subgrup dari G, maka H Δ G jika dan hanya jika untuk setiap g ∈ G dan untuk setiap h
∈ H, gng-1 ∈ H.
Bukti:
Misalkan H Δ G maka gH=Hg, untuk setiap g ∈ G, sehingga gHg-1 = H. Apabila n ∈ N,
maka ghg-1 ∈ gHg-1, sehingga ghg- 1 ∈ H, untuk setiap g ∈ G. Sebaliknya, apabila
untuk setiap g ∈ G dan untuk setiap h ∈ H, ghg- 1 ∈ H, maka ghg- 1 (g) ∈ H, yaitu gh ∈
Hg. Karena gh ∈ gH, maka gH ⊂ Hg. Dari ghg- 1 ∈ H, untuk setiap g ∈ G, karena g-1 ∈
G, maka g-1hg ∈ H, sehingga g(g-1hg) ∈ gH, yaitu hg ∈ gH. Tetapi, karena hg ∈ Hg,
maka Hg ⊂ gH. Jadi gH=Hg.
Teorema 2:
Apabila H subgrup dari G, maka H Δ G jika dan hanya jika hasil kali setiap dua koset kanan (kiri)
dari H dalam G merupakan koset kanan (kiri) dari H dalam G juga.
Bukti:
Misalkan H Δ G, maka Ha=aH dan Hb = Bh, untuk setiap a,b ∈ G
(Ha)(Hb) = H(aH)b
= HHab
= (HH)ab
= Hab, karena Hsubgrup dari G
Karena a,b ∈ G, maka ab ∈ G. Sehingga Hab ∈ G/H, yaitu Hab suatu koset kanan dari
H dalam G. Sebaliknya ambil sembarang (h1a) (h2b) ∈ (Ha) (Hb) dengan h1, h2 ∈ H
dan (h1a) (h2b) = (h1a h2a-1) ab =h3ab, maka a h2a-1 ∈ H untuk a ∈ G, ini berarti H
subgrup normal dari G.
Teorema 3:
Jika G suatu grup berhingga dan H subgrup 18
dari G, maka ◦(G/H)= ◦G/◦H
Bukti :

3. 3
◦(G/H) = iG(H), yaitu banyaknya koset kanan dari H dalam G. Menurut teorema
langrange, karena G grup berhingga dan H subgrup dari G, maka ◦(H) | ◦(G), maka
◦(G/H)=◦(G)/◦(H).
Contoh:
Misalkan (G,+) = Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5} adalah suatu Grup dan
H = {0, 2, 4} adalah merupakan Subgrup dari G. Tunjukan apakah H termasuk subgrup normal
dari G atau bukan ?
Jawab :
(G,+) = Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, generatornya 0, 1, 2, 3, 4 dan 5
Koset kiri :
0 + H = 0 + {0, 2, 4} = {0, 2, 4}
1 + H = 1 + {0, 2, 4} = {1, 3, 5}
2 + H = 2 + {0, 2, 4} = {2, 4, 0}
3 + H = 3 + {0, 2, 4} = {3, 5, 1}
4 + H = 4 + {0, 2, 4} = {4, 0, 2}
5 + H = 5 + {0, 2, 4} = {5, 1, 3}
Koset kanan:
H + 0 = {0, 2, 4} + 0 = {0, 2, 4}
H + 1 = {0, 2, 4} + 1 = {1, 3, 5}
H + 2 = {0, 2, 4} + 2 = {2, 4, 0}
H + 3 = {0, 2, 4} + 3 = {3, 5, 1}
H + 4 = {0, 2, 4} + 4 = {4, 0, 2}
H + 5 = {0, 2, 4} + 5 = {5, 1, 3}
Sehingga :
0 + H = H + 0 = {0, 2, 4}
1 + H = H + 1 = {1, 3, 5}
2 + H = H + 2 = {2, 4, 0}
3 + H = H + 3 = {3, 5, 1}
H + 4 = H + 4 = {4, 0, 2}
H + 5 = H + 5 = {5, 1, 3}
Maka : koset kiri = koset kanan
sehingga : Subgrup dari H = {0,2,4} merupakan Subgrup Normal
B. Grup Faktor
Jika H adalah merupakan Subgrup Normal dari Grup (G,*) dan G/N adalah himpunan semua
koset-koset kiri atau koset-koset kanan dari N dalam G, yang didefinisikan : (gH)*(nH) = (g*n)H.
Dari penjelasan tersebut, maka adapun definisi dari Grup Faktor .
Definisi :
Bila H adalah Subgrup Normal dari dari Grup (G,*), himpunan dari koset- koset G/H = {H*g | g ∈ G}
membentuk Grup (H/G,*) yang didefinisikan oleh H(g1) * H(g2) = H(g1 * g2), disebut Grup Faktor
G oleh H.
Orde dari Grup Faktor (G/H,*) adalah banyaknya koset-koset dari H dalam G, sehingga :
Ind|G/H| = Ind|G : H| =
G
H
.
Contoh :
Dari soal pada contoh diatas diketahui bahwa koset kanan sama dengan koset kiri yaitu :

4. 4
0 + H = H + 0 = {0, 2, 4}
1 + H = H + 1 = {1, 3, 5}
2 + H = H + 2 = {2, 4, 0}
3 + H = H + 3 = {3, 5, 1}
4 + H = H + 4 = {4, 0, 2}
5 + H = H + 5 = {5, 1, 3} Sekarang Tentukan Grup Faktor dari G oleh H, yaitu (G/H) ?
Jawab :
Karena Subgrup dari H = {0,2,4} merupakan Subgrup Normal
Jadi
= 2, Unsur-unsur dari Grup Faktor tersebut adalah 2.
0 + H = 2 + H = 4 + H = {0, 2, 4}
1 + H = 3 + H = 5 + H = {1, 3, 5}
Unsur-unsur dari Grup Faktor tersebut adalah 2 :
Tabel Grup Faktor G = Z6 oleh H = {0, 2, 4}
Key Words:
Subgrup Normal  Koset kiri = Koset Kanan (aH=Ha)
Grup Faktor  Ind|G/H|= Ind|G:H| =
RANGKUMAN
Ind|G/H| = Ind|G : H| =
G
H
6
=
3
Misalkan kita ambil koset kiri :
0 + H = {0, 2, 4}
1 + H = {1, 3, 5}
2 + H = {2, 4, 0}
3 + H = {3, 5, 1}
H + 4 = {4, 0, 2}
H + 5 = {5, 1, 3}
Maka :
0 + H = {0, 2, 4} = H
1 + H = {1, 3, 5}
Sehingga G / H = { H, 1+H }
+ H 1+H
H H 1+H
1+H 1+H H
G
H
dan G/H
1. Bila G adalah suatu grup berhingga, dan H adalah merupakan subgrup dari G,
maka banyaknya koset yang berbeda dari H dalam G (disebut indeks dari H dalam

5. 5
Latihan
1. Jika H subgrup dari grup berhingga G, buktikan bahwa :
 
 G

H

i H 
G 
2. Misalkan S3 = {(1), (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2)}, yaitu grup simetri tingkat 3 dan H = {(1),
(1 2)} subgrup dari grup S3, tuliskan semua elemen dari
S3 dan berapa indeks dari H dalam S3
H
3. Misalkan (G,x) = { e, a1, a2, a3, a4, a5 } adalah Suatu Grup dan H = { e, a2, a4 } adalah merupakan
subgrup dari G. Tunjukkan :
a. Apakah H merupakan subgrup normal ?
b. Grup faktor dari G oleh H, yaitu ( G/H ) ?
4. Diketahui G = {1,2,3,4}, dengan perkalian modulo 5, dan H = {1,4}, dimana H < G. Tentukan:
a. iG(H)
b. Koset-koset kiri
c. Koset-koset kanan
d. G/H
5. Diberikan S = {1,2,3}, dengan fungsi komposisi:




1 2 3
 ,  
 

1 2 3


 
1 2 3




1 2 3
 , dan H   , , 
 ,  

  
2 1 3

 

3 2 1




1 2 3
 ,  
 

1 2 3


 
1 3 2




1 2 3
  

 

2 3 1



3 1 2

Tentukan: a. iG(H). b. Koset-koset Kiri H.
c. Koset-koset kanan H d. G/H.
TEOREMA CAUCHY

6. 6
Dalam grup simetri kita telah mempelajari orbit dari suatu elemen yang dipermutasikan
misalkan S suatu himpunan yang tidak kosong dan A(S) adalah himpunan semua pemetaan bijektif dari
S kedirinya sendiri. Jika a, b ∈ S didefinisikan relasi a ~ b jika dan hanya jika fn (a) = b, dengan suatu
bilangan bulat dan f ∈ A(S), maka telah menunjukkan bahwa relasi-relasi adalah suatu relasi
ekuivalensi Sehingga mengakibatkan terbentknya partisi pada S dan terdapat kelas -kelas ekuivalensi
dalam S.
A. Pengertian Orbit
Orbit dari a oleh f adalah kelas [a] ={ x∈ S| x =fn a, n∈ B}. Apabila fka=a, untuk suatu bilanan
bulat k, maka fkt(a)=a,untuk semua bilangan bulat t.
Definisi:
Misalkan G suatu grup dan himpunan tak kosong X. Suatu tindakan dari G pada X adalah suatu
representasi permutasi: G ! Sx. Umumnya ditulis gx untuk (g)(x). Fakta bahwa _ ad alah suatu
homomorpisma berarti bahwa g(hx) = (gh)x untuk semua g; h 2 G dan x 2 X sedangkan ex = x
dengan e 2 G adalah elemen identitas.
Berkenaan dengan sebarang x 2 X ada Gx _ X dan suatu subgrup G(x) dari G yang didifinisikan
sebagai berikut:
a. Gx = fgx j g 2 Gg dinamakan orbit dari dari x.
b. G(x) = fg 2 Gj gx = xg dinamakan stabiliser dari x.
Misalkan x1; x2 2 X dikatakan bahwa x1 berelasi dengan x2 yaitu x1 _ x2 bila ada g 2 G yang
memenuhi gx1 = x2. Relasi ini adalah relasi ekivelen. Kelas ekive len dari x1 adalah Gx1.
Berikutnya misalkan x1 _ x2 dan x2 _ x3, maka untuk g1; g2 2 G yang sesuai didapat g1x1 = x2
dan g2x2 = x3. Sehingga diperoleh (g2g1)x1 = g2(g1x1) = g2x2 = x3. Jadi x1 _ x3. Selanjutnya
kelas dari x1 adalah fgx1 jg 2 Gg = Gx1.
B. Teorema-teorema
Teorema 1:
Jika f ∈ A(S) dan °(f) = p (prima), maka orbit dari sembarang elemen S oleh f mempunyai 1 atau p
elemen.
Bukti:
Misalkan a∈S dan (f)a = a, maka orbit dari a oleh f hanya terdiri dari a sendiri, sehingga hanya
mempunyai satu elemen. Misalkan bahwa f (a) ≠ a, dan elemen-elemen a, f(a), …,fp-1 (a)
adalah elemen-elemen yang berbeda satu dengan lainnya dan membentuk orbit dari a oleh f.
sebab jika tidak, maka fi(a) = fj(a) dengan 0≤ i< j≤ p-1, akan memberikan fj-i(a) = a. Jika j-i = m
dengan 0<m≤p-I, maka fm(a) = a. karena p prima maka (m, p) =1 sehingga ada bilangan-bilangan
bulat u, v sedemikian hingga mu + pv = 1.
Teorema 2:
Misalkan G suatu grup berhingga, p suatu bilangan prima dan p ⃒ ° (G), maka memuat elemen
yang berperiode p.
Bukti:
Jika p = 2 maka ° (G) genap, sehingga G memuat elemen yang berperiode 2, sehingga
diasumsikan bahwa p ≠ 2.
Misalkan S adalah himpunan semua pasangan terurut p-tupel (a1, a2, …,ap-1, ap) dengan a1,…,
ap ∈ G dan a1, a2 … ap-1 ap = e. Apabila ° (G = n maka S mempunyai np-1 elemen.
Perhatikan bahwa jika a1a2 … ap-1 ap = e, maka ap a1a2 … ap-1 = e (sebab jika xy = e maka yx = e).
kita membentuk pemetaan f : S → S yang didefinisikan oleh f (( a1, a2, …, ap)) = (ap a1 a2 … ap-1).
Maka f suatu pemetaan bijektif, sehingga f ∈ A (S). jelas bahwa f ≠ i (pemetaan identitas )
dan fp = I atau ° (f)= p.
Teorema 3:
22

7. 7
Misalkan G grup berorder pq dengan p dan q dua bilangan prima yang berbeda dan p>q. jika a∈G
°(a)= p dan H = (a), maka H⊲ G.
Bukti:
H = (a), maka H subgroup dari G dan karena °(a) = p, maka °(H) = p.
H adalah satu-satunya subgroup dari G yang berorder p. sebab, jika K subgroup dari G dan
°(K) = p, maka HK = {xy⃒x∈H dan y∈K} berorder p2, yaitu HK akan memuat p2 elemen yang
berbeda. Sebab apabila ac=bd dengan a,b ∈H dan c, d ∈K maka b-1a = dc-1 dan b-1a∈H, dc-1
∈K serta b-1a ∈H∩K. karena H ≠ K dan H∩K subgrup dari H dan karena °(H) = p maka H∩K
= {e}. Jadi b-1a = e, yaitu a= b. begitu pula c = d.
Teorema 4:
Jika G suatu grup, aG dan  (a) = m, bG dan  (b) = n dan ab = ba serta (m, n) = 1 maka 
(ab) = mn.
Bukti:
Misalkan H = (a) subgroup dari G dan  (H) = m. K = (b) adalah subgrup dari G dan  (K) = n.
Karena (m, n) = 1, maka H K = {e}, sebab menurut teorema Lagrange  (H K) | m dan  (H
 K) | n. Sedemikian hingga (ab)t = e. Karena ab = ba, maka (ab)t = at bt = e atau at = b-t  (H
 K) = {e}, hal ini dikarenakan at = e dan  (a) = m, maka m | t. Karena (b-t)-1 = bt = e, dan  (b)
= n, maka n | t.
Selanjutnya karena (m, n) = 1, m | t dan n | t maka mn | t, sehingga mn  t. Karena (ab)mn =
amn bmn = e dan  (ab) = t maka t | mn dan t  mn. Sehingga t = mn. Jadi,  (ab) = mn.
Contoh:
Misalkan G suatu grup dan  (G) = 15, maka G mempunyai elemen-elemen yang berorder 5
dan 3. Misalnya a, b G dan  (a) = 5,  (b) = 3. Maka b-1ab = at dengan 0  t < 5. Sehingga
2b-2 ab2 = b-1 (b-1ab)b = b-1 at b = (b-1 ab)t = (at)t = a
t
sejalan dengan ini diperoleh b-3 ab3 =
3t a , tetapi karena b3 = e (karena  (b) = 3), maka
3 t a = a,
sehingga
3 t a -1 = e dan karena  (a) = 5), maka 5 | t3 -1, yaitu t3  1 (mod 5). Selanjutnya, oleh
teorema Fermat, t4  1 (mod 5), maka diperoleh t  1 (mod 5) dan karena 0  t < 5, maka t =
1. Jadi b-1 ab = at = a yang berarti bahwa ab = ba. Selanjutnya, karena  (a) = 5 dan  (a) = 3,
maka menurut teorema 3,  (ab) = 15. Ini berarti G adalah grup siklik dengan generator ab.
Teorema 5:
Misalkan G suatu grup yang berorder pq dengan p dan q primab dan p > q. Apabila q tidak habis
membagi p – 1, maka G siklik.
Bukti:
Karena  (G) = pq dengan p dan q prima dan p > q, menurut teorema Cauchy, ada a, b  G
dengan  (a) = p dan  (b) = q dan akibatnya b-1ab = at untuk suatu t dengan 0 < t < p. Seperti
r argumentasi pada contoh di atas diperoleh bahwa b-r abr = t a
, untuk setiap bilangan bulat r 
0. Demikian pula b-q abq =
a
q t , tetapi karena bq = e (sebab  (b) = q), maka a
q t = a atau a
t 1 q  = e dan karena  (a) = p,
maka p | tq-1, sehingga tq  1(mod p).
Menurut teorema Fermat, karena p prima dan (t, p) = 1 (sebab 0 < t < p) maka tp-1  1(mod p),
karena q tidak habis membagi (p - 1) maka (p -1, q) = 1, sehingga ada m, nB sedemikian
hingga m(p – 1) + nq = 1, sehingga
t1  tm(p-1)+nq (mod p)
 (tp-1)m (tq)n (mod p)
t  1 (mod p) dengan 0 < t < p
jadi t = 1

8. 8
Maka b-1ab = at = a sehingga ab = ba. Selanjutnya menurut teorema 4 maka  (ab) = pq, dank
arena  (G) = pq, maka G adalah grup siklik.
Contoh :
a) Misalkan diketahui s = {1,2}
Mencari :
A1 = ( 1 2, 1 2 )
A2 = ( 1 2 , 2 1 )
Orbit a1 = (1)
Orbit a2 = (2)
Sehingga s2 = G = {a1, a2}
= {(1) , (1 2) }
P = 2
o(G) / p = 2/2 = 1
Key Words
Teorema CauchyG berhingga,P
prima, P|G,  P G
b) Misalkan G suatu Grup dan ° (G) =15. Maka G mempunyai elemen-elemen yang berorder
5 dan 3. Misalnya a,b ∈ G dan ° (a) = 5, ° (b) = 3, maka b-1ab=at, dengan 0 ≤ t ≤ 5
sehingga:
b-2ab= b-1(b-1ab)b= b-1atb = (b-1ab)t = (at)t
Sejalan dengan ni diperoleh b-3ab3 = at3 , tetapi karena b3 = e (karena° (b)=3 ), maka at3 =
a, sehingga (((at)t)t-1= e dan karena ° (a) = 5, maka 5 |t3-1, yaitu t3  1(mod 5).
Selanjutnya, t4  1(mod 5) mka diperoleh t  1(mod 5) dan karena 0 ≤ t ≤ 5,maka t=1 .
Jadi b-1ab = at = a yang berarti bahwa ab=ba. Selanjutnya , karena ° (a) = 5, ° (b) = 3,
maka manurut teorema B.3 ° (ab) = 15. Ini berarti grup siklik dengan generator ab.
Teorema Cauchy merupakan hipunan G yang berhingg dan P merupakan prima
dimana P habis membagi order dari G atau cardinal G sehingga G memuat elemen order
P
Latihan 7.1
Rangkuman
1. Buktikan bahwa grup yang berorder 35 adalah siklik !
2. Tentukan order dari S3= {1,2,3} dengan S3 =n !