Apostila etec matematica financeira ii

Escola Técnica Estadual de Diadema

NOME DO PROFESSOR : Marcelo Beneti

COORDENADOR DE GESTÃO: - Nelson Gerbelli

COORD.RESP. P/ NÚCLEO DE GESTÃO PED. E ACADÊMICA –

Métodos Quantitativos Aplicados à
Administração

Aluno ___________________________________ Nº ___Turma ____ Habilitação _________


1.PORCENTAGEM

Denominamos razões percentuais as razões cujos conseqüentes sejam iguais a 100.

Exemplo : 30/100(trinta por cento) ; 20/100 (vinte por cento)

30/100 corresponde a 30% e 20/100 corresponde a 20%.

Exemplo:

1) Em uma classe de 30 alunos , 15 fora aprovados. Qual a taxa percentual de aprovação?

30 - 100 onde: 30x = 100 X 15

15 - X 30x = 1500
x = 1500/30 = 50%

2) Ao comprar um livro , obtive um desconto de R$3,00. Qual o preço do livro sabendo que a
taxa de desconto foi de 5%?

3–5 5x = 300

x - 100 x = 300/5 = 60

Agora responda os testes a seguir:

1.Eu uma classe de 50 alunos faltaram 15. Qual a quantidade de alunos presentes
em porcentagem?

a) 30%

b) 70%

c) 25%

d) 35%

2.Por quanto devo vender um objeto que me custou R$ 150, para ter um lucro de
20% sobre o custo?

a) R$ 170,00


b) R$ 180,00

c) R$ 185,00

d) R$ 190,00

Resolva os problemas abaixo:

1) De um exame para habilitação de motoristas participaram 380
candidatos , sabe – se que a taxa de reprovação foi de 15%. Qual o
número de aprovados e reprovados?
2) Uma bolsa é vendida por R$ 32,00. Se o seu preço fosse aumentado em
20% Quanto passaria a custar?
3) O preço de venda de um compact disc é de R$ 22,00.Quanto passará a
custar o compact disc se a loja anunciar:
a) um desconto de 12%
b) um acréscimo de 5%

4) Um caderno teve seu preço reajustado de R$ 2,60 para R$ 2,90.Qual é
a taxa percentual de aumento?
5) Em certo país , a Paraisolândia , o salário mínimo, após sofrer um
aumento de 4% , passou a ser de R$ 312,00. qual era o valor do salário
mínimo nesse país?
6) Certa mercadoria custava R$ 24,00 e passou a custar R$ 30,00. Qual a
taxa percentual de aumento?
7) Da 1ª fase de um concurso participaram 20 mil candidatos, dos quais
74% não foram aprovados para a 2ª fase.Dos participantes da 2ª fase,
64% não conseguiram aprovação.
a) Quantos candidatos foram aprovados nesse concurso?
b) Qual a taxa de reprovados?

8)A comissão de um corretor de imóveis é igual a 5% do valor de cada venda
efetuada.
a) um apartamento foi vendido por R$ 62.400,00.Determine a comissão
recebida pelo corretor.
b) Um proprietário recebe, pela venda de uma casa, R$ 79.800,00 , já
descontada a comissão do corretor , determine o valor da comissão.

9)O preço de um produto é de R$ 50,00 e um comerciante decide reajustá-lo
em 20%.Diante da insistência de um cliente , o comerciante concede , então
um desconto de 20% sobre o novo preço do produto. Ao final dessas
transações , haveria alteração no preço original do produto? Quem levaria
vantagem: o comerciante ou o cliente?
10) Uma mistura é formada por 120 ml de leite e 30 ml de água.
a) qual a taxa percentual de leite na mistura ? E de água?


b) Adicionando-se 10 ml de água à mistura, qual será a participação percentual
de água na mistura?
c) Retirando-se 10 ml de água da mistura original ,qual será a participação
percentual de água na mistura?

11) O Sr. Mathias tem R$ 12.000,00 para investir pelo prazo de um ano. Ele
pretende investir parte numa aplicação A que tem um rendimento esperado de
15% ao ano sobre o valor investido , e o restante numa outra aplicação B, que
dá um rendimento de 20% sobre o valor investido. Qual o rendimento anual
esperado se ele aplicar R$ 7.000,00 em A e R$ 5.000,00 em B?

2. TRANSAÇÕES COMERCIAIS – LUCRO E PREJUÍZO

Em qualquer transação comercial pode haver lucro ou prejuízo.
FÓRMULAS
Para transações comerciais com lucro:
V = C + L onde V – Preço de venda ; C – Preço de custo ; L – Lucro.

Transações comerciais com prejuízo
V = C – P onde V – Preço de venda; C – Preço de custo ; P - Prejuízo
Exemplos práticos
1) Um equipamento comprado por R$ 3.000,00 deverá ser vendido a que preço , para
que proporcione o lucro de 25% sobre o preço de venda?
Temos:
C – R$ 3.0000,00
L – 25% do preço de compra – ou seja L = 25/100 . 3000 = 750,00
Portanto o equipamento deverá ser vendido por:
V=C+L
V = 3000 + 750
V = 3750

2) Mercedes vendeu uma bicicleta por R$ 300,00 tendo um lucro nessa transação de
30% sobre a venda. Quanto pagou pela bicicleta?
V – 300
L – 30% sobre a venda , ou seja 30/100 . 300 = 90
Como: V = C + L
300 = C + 90
C = 300 – 90
C = 210
Pagou R$ 210,00 pela bicicleta.


3) Um comerciante vai vender seus produtos que custaram R$ 500,00 com um prejuízo
de 15% do preço de custo. Nestas condições qual será o preço de venda de seus
produtos?
C – 500
P – 15% do preço de custo – R$ 75,00
V=?

V=C-P
V = 500 – 75
V = 425
O preço de venda será R$ 425,00

4) Vendi um aparelho eletrônico por R$ 300,00 com prejuízo de 25% do preço de custo.
Quanto eu havia pago por ele?
V = 300
P = 25% do custo ( que não temos) logo 25/100 de C = 0,25C
C=?
V=C–P
300 = C – 0,25C
300 = 0,75C
C = 300/0,75
C = 400

Paguei R$ 400,00 por ele.

EXERCÍCIOS
1) Natália quer vender um apartamento que custou R$ 160.000,00 lucrando 30% do
preço de custo. Qual será o preço de venda do apartamento de Natália?
2) Luís comprou um carro por R$ 25.000,00 e vendeu-o por R$ 30.000,00. Calcule qual a
porcentagem de lucro em relação ao:
a) Preço de Custo
b) Preço de Venda

3) Nilva vendeu seu terreno por R$ 30.000,00 com um prejuízo de 20% em relação ao
preço de custo. Quanto ela havia pago pelo terreno?


Outros exercícios de aprendizagem

1) Paguei com multa R$ 18.450,00 por uma prestação cujo valor era de R$ 15.000,00.
Qual a taxa percentual da multa?
2) Um investidor comprou um terreno por R$ 15.000,00 e vendeu-o um ano depois por
R$ 18.750,00, qual o lucro em porcentagem do preço de custo?
3) Manuel compra 100 caixas de laranja por R$ 2.000,00. Havendo aumento de 25% no
preço de cada caixa, quantas caixas ele poderá comprar com a mesma quantia?

Atividade para classe

1) Efetue as porcentagens abaixo:

c) 20% de 45
d) 75% de 500

2) No Brasil os inúmeros problemas sociais pertencem a 80% da
população.Sabendo-se que 30 milhões de pessoas não sofrem com estas
questões sociais, quantos são os menos favorecidos?

3) Nas eleições de 07 de Outubro de 1990 em uma urna para 415 votantes
havia apenas 332 votos. Qual o percentual de eleitores que deixaram de
votar?

4) Numa indústria trabalham 323 homens. As mulheres representam 66%
dos empregados.Quantos funcionários trabalham nessa indústria?

5) Segundo dados de 1995 , apenas 0,8% da população brasileira possuía
microcomputadores.Numa cidade com 3000 habitantes , onde se aplicou
este índice, o número de pessoas que possuía microcomputadores é:
(10%)² é igual a:

6) Num exame de seleção do CDT/ETEP na prova de matemática de 15
exercícios, com 4 perguntas cada um, um candidato acertou 48 itens.Qual
foi a porcentagem de erros desse candidato?

7) No primeiro dia de um certo mês, uma ação estava cotada em R$ 20,00
.Do dia 1º até o dia 10 deste mês sofreu um aumento de 10% e do dia 11
até o dia 20 sofreu novo aumento de 20%.A quanto foi cotada essa ação no
dia 20 deste mês?


8) Um investidor aplicou R$ 5.000,00 em caderneta de poupança no dia
01/09, em 01/10 foi creditado o rendimento referente ao mês de Setembro,
que foi de 3,5% . e em 01/11 foi creditado o rendimento do mês de
Outubro.Se após esse último crédito o saldo passou a ser de R$ 5.392,35,
determine o rendimento do mês de Outubro em %?

9) Em um colégio estudam 750 alunos.Desses 52% estudam no período da
tarde.Quantos estudam no período da tarde?

10) No fim de uma temporada, uma equipe de basquete havia ganho 25
jogos dos 40 disputados.Qual foi a porcentagem de partidas ganhas pelo
clube no final da temporada?

11) calcule a quantia da qual:
a) 42 representa 5%
b) 33 representa 5,5%
c) 280 representa 8%
d) 320 representa 1,25%
e) meio representa quanto por cento de 5/8 ?

12) Uma nota promissória cujo valor era de R$ 5.000,00 foi paga com um desconto de R$ 250.
Qual a taxa de desconto?
13) Vendi uma mercadoria recebendo 25% de entrada e o restante em 3 prestações de 160 e
uma de 180. Qual o preço da mercadoria?
14) Em quanto por cento aumentou o a população de uma cidade que era de 67.200
habitantes e agora é de 92.400 habitantes ?
15) Um comerciante comprou 120 bonés a R$ 8,00 cada um. Vendeu a metade a R$ 10,00 e o
restante a R$ 12,00. De quanto por cento foi o lucro?
16)Comprou-se um objeto por R$ 60,00 e deseja-se ganhar 25% sobre o preço de venda. Qual
deve ser o preço?
17) Um objeto foi vendido com um prejuízo de 40% sobre o preço de custo. Sabendo que esse
objeto custou R$ 30,00, qual foi o preço de venda?
18) Uma pessoa tendo adquirido um relógio por R$ 125,00 só conseguiu vendê-lo com um
prejuízo de 8% sobre o custo. Por quanto vendeu o relógio?
19) Um objeto que custou R$558,00 foi vendido com um prejuízo de 12% sobre o preço de
venda. Qual o valor apurado na venda?
20) Vendi um objeto por R$ 276,00 e ganhei na venda 15% sobre o preço de custo. Quanto
custou o objeto?
21) Uma agência vendeu um carro por R$ 8.500,00 sabendo que na venda teve um prejuízo
de 15% sobre o preço de venda , quanto custou esse carro?


22) Um terreno foi vendido por R$ 50.600,00 dando um prejuízo de 8% sobre o preço de
venda. Quanto havia custado?

A Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas
alternativas de investimentos ou financiamentos de bens de consumo. Consiste
em empregar procedimentos matemáticos para simplificar a operação
financeira a um Fluxo de Caixa.
Capital
O Capital é o valor aplicado através de alguma operação financeira. Também conhecido
como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em inglês usa-se Present
Value (indicado pela tecla PV nas calculadoras financeiras).

Juros
Juros representam a remuneração do Capital empregado em alguma atividade produtiva.
Os juros podem ser capitalizados segundo dois regimes: simples ou compostos.

JUROS SIMPLES: o juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre
o capital inicial emprestado ou aplicado.

JUROS COMPOSTOS: o juro de cada intervalo de tempo é
calculado a partir do saldo no início de correspondente intervalo.
Ou seja: o juro de cada intervalo de tempo é incorporado ao capital
inicial e passa a render juros também.

O juro é a remuneração pelo empréstimo do dinheiro. Ele existe porque a
maioria das pessoas prefere o consumo imediato, e está disposta a pagar um
preço por isto. Por outro lado, quem for capaz de esperar até possuir a quantia
suficiente para adquirir seu desejo, e neste ínterim estiver disposta a emprestar
esta quantia a alguém, menos paciente, deve ser recompensado por esta
abstinência na proporção do tempo e risco, que a operação envolver. O
tempo, o risco e a quantidade de dinheiro disponível no mercado para
empréstimos definem qual deverá ser a remuneração, mais conhecida como
taxa de juros.

Quando usamos juros simples e juros compostos?

A maioria das operações envolvendo dinheiro utiliza juros compostos.
Estão incluídas: compras a médio e longo prazo, compras com cartão de
crédito, empréstimos bancários, as aplicações financeiras usuais como


Caderneta de Poupança e aplicações em fundos de renda fixa, etc. Raramente
encontramos uso para o regime de juros simples: é o caso das operações de
curtíssimo prazo, e do processo de desconto simples de duplicatas.

Taxa de juros

A taxa de juros indica qual remuneração será paga ao dinheiro emprestado,
para um determinado período. Ela vem normalmente expressa da forma
percentual, em seguida da especificação do período de tempo a que se refere:

8 % a.a. - (a.a. significa ao ano).
10 % a.t. - (a.t. significa ao trimestre).
Outra forma de apresentação da taxa de juros é a unitária, que é igual a taxa percentual
dividida por 100, sem o símbolo %:
0,15 a.m. - (a.m. significa ao mês).
0,10 a.q. - (a.q. significa ao quadrimestre)

JUROS SIMPLES
O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas
sobre o valor principal. Sobre os juros gerados a cada período não incidirão


novos juros. Valor Principal ou simplesmente principal é o valor inicial
emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros. Transformando em
fórmula temos:

J=C.i.n

Onde:
J = juros
C = Capital
i = taxa de juros
n = número de
períodos

Exemplo: Temos uma dívida de R$ 1000,00 que deve ser paga com juros de
8% a.m. pelo regime de juros simples e devemos pagá-la em 2 meses. Os
juros que pagarei serão:

J = 1000 x 0.08 x 2 = 160

Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante.

Montante = Capital + Juros
Montante = Capital + ( Capital x Taxa de juros x Número de períodos )

M=C.(1+ i.n )

Aí teríamos : M = 1000 + 160 = 1160

Ou

M = 1000. (1+8/100.2)

M = 1160

Exercícios sobre juros simples:

1) Tomou-se emprestada a importância de R$ 1.200 pelo prazo de 2 anos, à
taxa de 30% ao ano. Qual será o valor do juro a ser pago?


2 – Aplicou-se a importância de R$ 3.000,00 , pelo prazo de 3 meses,à taxa
de 1,2% ao mês . Qual o valor do juro a receber?.

3 – Calcule o juro a ser pago por um empréstimo de R$ 9.200, à taxa de
5% ao trimestre , durante 3 trimestres?

4 – Um capital de R$ 56.800 foi empregado , à taxa de 0,75% ao mês , durante
2,5 meses.Calcule o juro produzido.

5 – Calcule o montante de uma aplicação de R$ 8.200,00 por um prazo de 8
meses no regime de juro simples à taxa de 1,5% ao mês.

6 – Que montante receberá um aplicador que tenha investido R$ 28.000 ,00
durante 15 meses, à taxa de 3% ao mês?

TAXAS PROPORCIONAIS
Duas taxas são proporcionais quando seus valores formam uma proporção
com os tempos as elas referidos , reduzidos à mesma unidade.

Para resolvermos qualquer problema é necessária que tempo e taxa estejam
na mesma unidade por exemplo taxa ao mês e tempo em meses, taxa ao ano e
tempo também ao ano, taxa ao bimestre e tempo ao bimestre.

Exemplos:

1 – Calcule a taxa mensal proporcional a 30% ao ano.

Resolução

Em um ano temos 12 meses então : 30/12 = 2,5% ao mês

30% ao ano é proporcional a 2,5% ao mês.

2 – Calcule a taxa mensal proporcional a 0,08% ao dia.

Resolução

Em um mês temos 30 dias logo:

0,08 x 30 = 2,4 % ao mês.


3 – Calcule a taxa anual proporcional a 8 % ao trimestre.

Resolução

Em um ano temos quatro trimestres – JAN/FEV/MAR; ABR/MAI/JUN;
JUL/AGO/SET; OUT/NOV/DEZ.

8 x 4 = 32% ao ano

Resolva os exercícios abaixo:

1) Calcule a taxa mensal proporcional a:

a) 9% a.t. (ao trimestre) b) 24% a.s.(ao semestre) c) 0,04%a.d.(ao
dia)

2) Calcule a taxa anual proporcional a:

a) 1,5%a.m.(ao mês) b) 8% a.t.(ao trimestre) c) 21%a.s.(ao semestre)

d) 0,05% a.d. (ao dia)

Agora resolva os problemas abaixo:

1) Um capital de R$ 2.400 é aplicado durante 10 meses, à taxa de 25% ao
ano. Determine o juro obtido.

2) Calcule o correspondente a um capital de R$ 18.500 , aplicado durante 2
anos, 4 meses e 10 dias, à taxa de 36% ao ano.

OBS: Transformar a taxa e o tempo ambos em dias. – Considerar o ano
comercial que é de 360 dias)

3) Calcule o juro resultante de uma aplicação de R$ 32.500, à taxa de 18%
ao ano , durante 3 meses.

4) Calcule o juro de um capital de R$ 5.000 , em regime de juro simples,
durante 2 anos 4 meses,à taxa de 24% ao ano.

5) Que montante receberá um aplicador que tenha investido R$ 28.000
durante 15 meses à taxa de 3% ao mês.


6) Qual o capital inicial necessário para se ter um montante de R$ 14.800
daqui a 18 meses, a uma taxa de 48% ao ano, no regime de juro
simples.

7) Calcule o montante de uma aplicação de R$ 5.000 , à taxa de 2,5 % ao
mês, durante 2 anos.

8) Uma pessoa aplicou R$ 90.000 no mercado financeiro e, após 5 anos,
recebeu o montante de R$ 180.000 .Qual foi a taxa anual?

DESCONTO SIMPLES

Se uma pessoa deve uma quantia de dinheiro numa data futura, é normal que
se entregue ao devedor um título de crédito, que é o comprovante dessa
dívida. Todo título de crédito tem um data de vencimento, porém o devedor
pode resgatá-lo antecipadamente, obtendo com esse abatimento denominado
desconto.

Exemplos de títulos de crédito:

a) Nota promissória: é um comprovante de aplicação de um capital com
vencimento pré - determinado. È um título muito usado entre pessoas físicas
e uma instituição financeira.

b) Duplicata: é um título emitido por uma pessoa jurídica contra seus clientes
(pessoa física ou jurídica) , para o qual ele vendeu mercadorias a prazo ou
prestou serviços a serem pagos no futuro, segundo um contrato.

c) Letra de Câmbio: Assim como a nota promissória , é um comprovante de
uma aplicação de capital com vencimento predeterminado ; porém, é um título
ao portador,emitido exclusivamente por uma instituição financeira.

d) Desconto: é a quantia a ser abatida ao valor nominal, isto é, a diferença
entre o valor nominal e o valor atual.

O desconto pode ser feito considerando-se como capital o valor nominal ou o
valor atual. No primeiro caso, é denominado desconto comercial; no segundo,
desconto racional.

DESCONTO COMERCIAL

Chamamos de desconto comercial , bancário ou por fora o equivalente ao juro
simples, produzido pelo valor nominal do título no período de tempo
correspondente e a à taxa fixada.


Termos que são usados no Valor do desconto comercial:

d – o valor do desconto comercial

N – o valor nominal do título

A – o valor atual comercial ou valor descontado comercial

n – o tempo (nº de períodos)

i – Taxa de desconto

Fórmula d = N . i . n

Valor atual comercial

O valor atual comercial ou valor descontado comercial é dado por:

A=N-d

Ou então substituindo d pelo seu valor obtido vem:

A = N (1 – i x n)

EXEMPLOS:

1 - Um título de R$ 6.000 vai ser descontado à taxa de 2,1 % ao mês.
Faltando 45 dias para o vencimento do título ,determine:

a) O valor do desconto comercial

Resolução:

Temos : N = 6.000 ; n = 45 dias ; i = 2,1%ao mês fazemos a conversão para
taxa ao dia: em um mês temos 30 dias então: 2,1/30 = 0,07%ao dia

Usando a fórmula:

d=N.i.n

d = 6000. 0,07/100 . 45

d = 189 (desconto comercial)

b) O valor atual comercial

A=N–d

A = 6000 – 189

A = 5.811


O valor atual comercial é de r$ 5.811

Obteríamos o mesmo resultado usando a formula abaixo:

A = N (1-i.n) e d = N-A

A = 6000 (1 – 0,0007 . 45) = 5811

d = N – A = 6000 – 5811 = 189

2 ) Uma duplicata de R$ 6.900 foi resgatado antes de seu vencimento por R$
6.072 . Calcule o tempo de antecipação , sabendo que a taxa de desconto
comercial foi de 4% ao mês.

Temos: N = 6.900; A = 6.072; i = 4% ao mês 4/100 = 0,04

A = N ( 1 –i .n)

6072 = 6900 (1- 0,04.n)

6072 = 6900 - 276n

276n = 6900-6072

276n = 828

n = 828/276

n = 3 meses

O problema poderia ser resolvido empregando a fórmula do desconto d = N.i.n
, lembrando que:

d=N–A

d = 6900 – 6072 = 828

d = N.i.n

828 = 6900 . 0,04. n

828 = 276n

n = 828/276

n = 3 meses

EXERCÍCIOS

1) Uma duplicata cujo valor nominal é de R$ 2.000 foi resgatado 2 meses
antes do vencimento à taxa de 30% ao ano. Qual o desconto comercial?


2) Um título no valor nominal de R$ 8.400, com vencimento em 18/10 é
resgatado em 20/07. Se a taxa de juro contratado foi de 54%ao ano, qual o
valor comercial descontado?

3) Um título de R$ 4.800 foi resgatado antes do seu vencimento por R$ 4.476,
sabendo que a taxa de desconto comercial é de 32,4% ao ano, calcule o tempo
de antecipação do resgate?

4) Determine o desconto de uma promissória de R$ 3.000, à taxa de 40% ao
ano, resgatada 75 dias antes do vencimento.

5) Um título de valor nominal de R$ 900,00com vencimento para 150 dias será
descontado em um banco que opera coma taxa de desconto de 6% ao mês:

Calcule:

a) O prazo de antecipação é de 3 meses.Qual o desconto?

b) Calcule o valor atual

c) Se o resgate for feito 48 dias antes do vencimento , qual será o
desconto?

d) Qual o valor atual?

6) Qual o desconto experimentado por um título de R$ 1.500, à taxa de
desconto de 10% ao mês , se o resgate é feito:

a) um mês antes do vencimento

b) 60 dias antes do vencimento.

7) Um título de R$ 420,00 é descontado 45 dias antes do vencimento à taxa
de 3% ao mês.Qual é o valor do resgate?

8) Sendo 48% a taxa anual de desconto utilizada por uma instituição ,qual
seria o valor de um título de R$ 20.000,00 descontado 4 meses antes do
vencimento?

9) O valor nominal de uma duplicata a ser descontada à taxa de 2,5% ao
mês é R$ 700,00 . Calcule o valor atual da duplicata, se for descontado:

a) 12 dias antes do vencimento

b) 53 dias antes do vencimento


JUROS COMPOSTOS
O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e
portanto, o mais útil para cálculos de problemas do dia-a-dia. Os juros gerados
a cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do
período seguinte.


Chamamos de capitalização o momento em que os juros são incorporados
ao principal. Após três meses de capitalização, temos:

1º mês: M =C.(1 + i)
2º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = C x (1 + i) x (1
+ i)
3º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = C x (1 + i) x (1
+ i) x (1 + i)

Simplificando, obtemos a fórmula:

M =C . (1 + i)n

Importante: a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de
n, ou seja, taxa de juros ao mês para n meses.

Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao
final do período:

J=M-C

Exemplo:

Calcule o montante de um capital de R$6.000,00, aplicado a juros
compostos, durante 1 ano, à taxa de 3,5% ao mês.
(use log 1,035=0,0149 e log 1,509=0,1788)

Resolução:

C = R$6.000,00
t = 1 ano = 12 meses
i = 3,5 % a.m. = 0,035
M=?

Usando a fórmula M=C.(1+i)n, obtemos:


M = 6000.(1+0,035)12 = 6000. (1,035)12
Fazendo x = 1,03512 e aplicando logaritmos, encontramos:

log x = log 1,03512 => log x = 12 log 1,035 => log x = 0,1788 => x =
1,509

Então M = 6000.1,509 = 9054.
Portanto o montante é R$9.054,00

EXERCÍCIOS DE JUROS COMPOSTOS

1- (fácil) Calcular o montante de uma aplicação de R$ 3.500,00, pelas seguintes
taxas efetivas e prazos:

a) 4% am e 6 meses b) 8% at e 18 meses c) 12% aa e 18 meses

2 - (fácil) Em que prazo um capital de R$ 18.000,00 acumula um montante de R$
83.743,00 à taxa efetiva de 15% am?

3 - (fácil) Uma empresa pretende comprar um equipamento de R$ 100.000,00
daqui a 4 anos com o montante de uma aplicação financeira. Calcular o valor da
aplicação necessária se os juros efetivos ganhos forem de:

a) 13% at b) 18% aa c) 14% as d) 12% am

4 - (fácil) Um capital de R$ 51.879,31 aplicado por 6 meses resultou em R$
120.000,00. Qual a taxa efetiva ganha?

5 - (fácil) Em quanto tempo triplica uma população que cresce à taxa de 3% aa?

6 - (fácil) A rentabilidade efetiva de um investimento è de 10% aa. Se os juros
ganhos forem de R$ 27.473,00, sobre um capital investido de R$ 83.000,00,
quanto tempo o capital ficará aplicado?

7 - (fácil) Em quanto tempo o rendimento gerado por um capital iguala-se ao
próprio capital, aplicando-se uma taxa efetiva de 5% am?

8 - (fácil) Quanto tempo deve transcorrer para que a relação entre um capital de
R$ 8.000,00, aplicado a juros efetivos de 4% am, e seu montante seja igual a
4/10?

9 - (fácil) Calcular o rendimento de um capital de R$ 7.000,00 aplicado à taxa
efetiva de 1% am no período compreendido entre 3 de abril e 6 de junho do
mesmo ano. (considere ano civil entre as datas).

10 - (fácil) Qual a taxa anual efetiva que permite a duplicação de um capital no
prazo de 42 meses?


11 - (média) Na compra de um Bem cujo valor à vista é de R$ 140,00, deve-se
pagar uma entrada mais duas prestações de R$ 80,00 no fim dos próximos 2
meses. Considerando uma taxa de juros de 20% am, qual o valor da entrada?

12 - (média) Por um equipamento de R$ 360.000,00 paga-se uma entrada de 20%
mais dois pagamentos mensais consecutivos. Se o primeiro pagamento for de R$
180.000,00 e a taxa de juros efetiva aplicada, de 10% am, calcular o valor do
segundo pagamento.

13 - (média) Um capital de R$ 50.000,00 rendeu R$ 1.000,00 em um determinado
prazo. Se o prazo fosse dois meses maior, o rendimento aumentaria em R$
2.060,40. Calcular a taxa de juros efetiva ao mês ganha pela aplicação e o prazo
em meses.

14 - (média) Dois capitais foram aplicados durante 2 anos, o primeiro a juros
efetivos de 2% am e o segundo, a 1,5 am. O primeiro capital é R$ 10.000,00
maior que o segundo e seu rendimento excedeu em R$ 6.700,00 o rendimento do
segundo capital. Calcular o valor de cada um dos capitais.

15 - (média) Um certo capital após 4 meses transformou-se em R$ 850,85. Esse
capital, diminuído dos juros ganhos nesse prazo, reduz-se a R$ 549,15. Calcular o
capital e a taxa de juros efetiva ao mês ganha na aplicação.

16 - (difícil) Um capital foi aplicado a juros efetivos de 30% aa. Após 3 anos,
resgatou-se a metade dos juros ganhos e, logo depois, o resto do montante foi
reaplicado à taxa efetiva de 32% aa, obtendo-se um rendimento de R$ 102,30 no
prazo de 1 ano. Calcular o valor do capital inicialmente aplicado.

17 - (média) Determine o capital que aplicado durante 3 meses à taxa efetiva
composta de 4% am produz um montante que excede em R$ 500,00 ao montante
que seria obtido se o mesmo capital fosse aplicado pelo mesmo prazo a juros
simples de 4% am.

18 -(média) Uma pessoa depositou R$ 1.000,00 em um fundo que paga juros
efetivos de 5% am, com o objetivo de dispor de R$ 1.102,50 dentro de 2 meses.
Passados 24 dias após a aplicação, a taxa efetiva baixou para 4% am. Quanto
tempo adicional terá de esperar para obter o capital requerido?

19 - (média) Um capital de R$ 4.000,00 foi aplicado dividido em duas parcelas, a
primeira à taxa efetiva de 6% at e a segunda a 2% am. Se após 8 meses os
montantes de ambas as parcelas se igualam, determinar o valor de cada parcela.

20 - (fácil) Um capital aplicado em um fundo duplicou seu valor entre 11 de julho e
22 de dezembro do mesmo ano. A que taxa efetiva mensal foi aplicado?

21 - (fácil) Determinar o valor dos juros pagos por um empréstimo de R$ 2.000,00
contratado à taxa efetiva de 5% am pelo prazo de 25 dias.


Introdução à Estatística

Temática: Conceitos básicos.

Iniciaremos nosso curso fazendo uma breve introdução do conceito estatístico.

O que é Estatística?


É um conjunto de métodos e processos quantitativos que serve para estudar e
medir os fenômenos coletivos.

Estatística descritiva ou dedutiva : é aquela que tem por objeto por
descrever e analisar determinada população , sem pretender tirar conclusões
de caráter mais genérico.

Estatística Indutiva: é a parte da estatística que baseando-se em resultados
obtidos da análise de uma amostra da população procura inferir, induzir ou
estimar as leis de comportamento da população da qual a amostra foi retirada.

Fases do Método Estatístico

a) Coleta de dados : características mensuráveis do fenômeno que
desejamos pesquisar, pode ser contínua , periódica (exemplo: de
10 em 10 anos) ou ocasional.

b) Crítica de dados : é a conferência dos dados coletados , se
ocorrer erros pode ser por motivos externos, ou seja erros por
parte do informante ou motivos internos por parte do
entrevistador ou da equipe de pesquisa.

c) Apuração dos dados: soma e processamento dos dados
obtidos e disposição mediante critérios de classificação.

d) Exposição ou apresentação dos dados: pode ser feita
mediante tabelas , gráficos ,relatórios da maneira mais clara
possível que todos interessados possam compreender.

e) Análise dos resultados : Conclusões sobre o trabalho realizado
, análise e interpretação dos dados obtidos.

População e Amostra

População – é o todo pode ser finita ou infinita.

Finita – possui um número determinado de elementos exemplo:
número de alunos da classe.


Infinita – um grande número de elementos exemplo: a população da
cidade de São Paulo.

Amostra – é um subconjunto da população ou seja uma parte dela.

Quando há um número muito grande de elementos , fica difícil a
observação dos aspectos a serem estudados de cada um dos
elementos devido ao alto custo , ao intenso trabalho e ao tempo
despendido para levar a cabo uma exaustiva observação de todos
os elementos da população , nesse caso fazemos a seleção de uma
amostra (cerca de 10% da população a ser estudada) , e através
dessa observação estaremos aptos a analisar os resultados da
mesma forma que se estudássemos toda a população.

QUESTIONÁRIO

1-) O que é Estatística?

2-) Quais as fases do método estatístico? Explique cada um deles.

3-) Analise as afirmativas a seguir:

I. Estatística é um conjunto de métodos e processos quantitativos que serve
para estudar e medir os fenômenos coletivos.

II. População finita é um grande número de indivíduos onde se torna difícil
quantificar e realizar os trabalhos de coleta de dados.

III. População finita é um determinado número de indivíduos como por
exemplo número de alunos em sala de aula.

Pode-se dizer que são corretas as afirmações:

a) Somente I.

b) Somente I e II.

c) Somente II e III.

d) I, II e III.


4-) Qual dessas fases do método estatístico corresponde a pesquisa com
indivíduos.

a) Crítica de dados.

b) Coleta de dados.

c) Análise dos resultados.

d) Exposição ou apresentação dos dados.

Temática: Ferramentas de cálculos para o estudo da estatística .

Nessa aula iremos revisar alguns cálculos que serão de extrema importância
no estudo da Estatística e também para o estudo em física.

Fração

È uma parte do todo ou seja um par ordenado onde o segundo número é
diferente de zero.


a/b , com a Є IN e b Є IN*. ( a pertence ao conjunto dos números naturais e b
pertence ao conjunto dos números naturais não nulos(com exclusão do zero).

Fração Própria – é aquela onde o
numerador é menor que o denominador
como por exemplo: 3/5 , 2/7 , 13/17 , etc.

Fração imprópria é aquela onde o numerador é igual ou maior que o
denominador. Exemplo: 7/2 , 4/4 , 12/4 etc.

Fração aparente é a fração onde o numerado é múltiplo do
denominador.Exemplo 12/4 representa o número 3 pois 12:4 = 3 ; se o
numerador é zero , a fração apresenta o número zero. Assim 0/5 = 0; todo
número natural pode ser apresentado por uma fração com denominador 1.
Assim 7 pode ser apresentado por 7/1.

Frações Equivalentes – duas frações são equivalentes quando os produtos
do numerador de um pelo denominador das outra são iguais.

Exemplo: para 1/2 e 2/4 onde temos: 1 X 4 = 2 X 2

Simplificação de frações

Basta dividir ambos os termos por um divisor comum.

Exemplo : 3/6 = 3:3 e 6:3 = 1/2

Fração irredutível é aquela que os números são primos entre si (isto é , não
possuem outro divisor comum a não ser o número 1).

Exemplo: 7/17 é uma fração irredutível , pois 7 e 17 são números primos entre
si.

Comparação de frações

Para compararmos duas ou mais frações devemos reduzi-la ao mesmo
denominador e lembrar que , de duas frações com o mesmo denominador, a
maior é aquela que contém o maior numerador.

Operações com frações

Adição e subtração


a) Frações homogêneas – conserva-se o denominador e adicionam-
se ou subtraem os numeradores.

Exemplo:

2/5 + 7/5 = 9/5 ou 7/3 – 2/3 = 5/3

b) Frações heterogêneas – reduzem-se as frações ao mesmo
denominador, obtendo-se dessa forma frações homogêneas.

Exemplo:

4/5 + 2/3 = 12+10/15 = 22/15

Reduzindo ao mesmo denominador – vamos calcular o mínimo
múltiplo comum dos denominadores como no exemplo acima:

2,3 2

1, 3 3

1, 1 logo m.m.c de 2 e 3 = 2 X 3 = 6

6/7 – 1/2 = 12-7/14 = 5/14

Observe que reduzimos ao mesmo denominador 7 e 2 = 14

Nota: Sempre que possível simplificar o resultados como vimos no tópico de
simplificação de frações.

Multiplicação de frações

Produto de numeradores por numeradores e denominadores por
denominadores.

Exemplo: 3/7 X 4/3 = 3 X 4 = 12 e 7 X 3 = 21 o que resulta em 12/21.


O processo da multiplicação pode ser facilitado usando a simplificaçãopelo
cancelamento dos fatores comuns dos numeradores e dos denominadores.

Exemplo:

2/3 X 3/5 nesse caso é possível simplificar 3 por 3 ou seja 3:3 =1 ficando
dessa forma 2 X 1 = 2 e 1 X 5 = 5 o que resulta em 1/7.

Divisão de frações

Produto da primeira pelo inverso da segunda.

Exemplo : 1/2 : 3/7 = 1/2 X 7/3 = 7/6

Potenciação de Frações

Devemos elevar o numerador e o denominador a esse expoente.

(2/5)² = 2²/5² = 4/25

Porcentagem ou Percentagem

Denominamos razões percentuais as razões cujos conseqüentes sejam iguais
a 100.

Exemplo : 30/100(trinta por cento) ; 20/100 (vinte por cento)

30/100 corresponde a 30% e 20/100 corresponde a 20%.

Exemplo:

1) Em uma classe de 30 alunos , 15 fora aprovados. Qual a taxa percentual de
aprovação?

30 - 100 onde: 30x = 100 X 15

15 - X 30x = 1500
x = 1500/30 = 50%

2) Ao comprar um livro , obtive um desconto de R$. Qual o preço do livro
sabendo que a taxa de desconto foi de 5%?

3–5 5x = 300

x - 100 x = 300/5 = 60


Agora responda os testes a seguir:

1. Qual o resultado de 3/4 + 4/5 :

a) 31/20
b) 30/20
c) 22/20
d) 1/4

2. Quanto é 6/12 X 2/9:

a) 1/9
b) 2/3
c) 3/5
d) 1/25

3.Eu uma classe de 50 alunos faltaram 15. Qual a quantidade de
alunos presentes em porcentagem?

a) 30%

b) 70%

c) 25%

d) 35%

4.Por quanto devo vender um objeto que me custou R$ 150, para ter
um lucro de 20% sobre o custo?

a) R$ 170,00

b) R$ 180,00

c) R$ 185,00


d) R$ 190,00

Nessa aula podemos revisar cálculos importantes como frações e
porcentagens que serão de muita utilidade em Estatística, na próxima aula
aprenderemos sobre as regras de arredondamento de acordo com as normas
do IBGE.

– Regras de arredondamento

Resolução 886/66 IBGE

Hoje iremos estudar arredondamentos que é de fundamental
importância para nossos estudos, principalmente valores que tem
muitas casas decimais.

Muitas vezes, é conveniente suprimir unidades inferiores às de
determinada ordem. Esta técnica é denominada arredondamento de
dados ou valores.

De acordo com a resolução 886/66 do IBGE:

1) < 5 (ou seja 0,1,2,3,4) – o último algarismo a permanecer
fica inalterado exemplo: se quiser arredondar para o
mais próximo décimo (uma casa após a vírgula) o
seguinte número 53,24 , podemos observar que
abandonaremos o 4 que é menor que 5 portanto nosso
arredondamento ficará 53,2; se desejar arredondar para
o mais próximo centésimo 53,242 abandonaremos o dois
, logo 53,24; Obs: inteiro 53,2 - 53
2) >5 (ou seja 6,7,8,9)– o último número a permanecer
aumentará em uma unidade exemplo : 53,26 logo
abandonamos o 6 (>5) – 53,3 (quando décimo) ,
desejando arredondar para o centésimo mais próximo
53,267 – 53,27; obs: inteiro 53,6 - 54


3) = 5 – Se o 5 for o último algarismo ou se ao 5 só
seguirem zeros, o último algarismo a permanecer só
será aumentado se for ímpar exemplo : arredondar para
o mais próximo décimo 53,25 – abandonamos o cinco e
o dois como número par permanecerá 53,2 , se caso
fosse 53,35 – o três como número ímpar seria aumenta
em uma unidade ou seja 53,4 e essa regra se sucede
como centésimos.

Vamos fazer alguns exercícios para fixar o aprendizado.

1. Arredondar de acordo com o que se pede:

a) Para o inteiro mais próximo

53,02 23,5 99,900 26,5

98,49 108,5 1,008 49,98

71,50002 739,5 40,900 128,53

b) Para o centésimo mais próximo

20,742 46,727 28,255

205,2384 12,352 253,65

5,385 45,097 39,49

c) Para o décimo mais próximo

0,061 23,40 120,4500

0,223 234,7832 26,55

7,7 129,98 12,235


2. Uma transportadora entregou em um mês:

6,19655 toneladas de produtos eletrônicos;

15,8561 toneladas de brinquedos;

13,6455 toneladas de alimentos;

09,7450 toneladas de papel;

10,3400 toneladas de remédio;

12,2350 toneladas de tecidos.

Calcule quanto a transportadora entregou nesse mês, em
toneladas:

a) sem arredondar;
b) arredondando para o centésimo mais próximo e o inteiro mais
próximo.

Variáveis

Significado de variável no dicionário – mutável, que muda ,que sofre
transformações , flexível;

Significado estatístico – característica que vamos estudar em
determinada população.

Quanto à classificação de variáveis temos:

Qualitativas (nominal / ordinal)


Variável qualitativa nominal – Quando os elementos dessa variável
são identificados por nome exemplo: cor do cabelo , cor dos
olhos(azuis, castanhos, verdes);

Variável qualitativa ordinal – quando os elementos entre elas indicam
uma ordem entre elas exemplo: ótimo , bom , regular , ruim ,
péssimo.

Quantitativas (contínua / discreta)

Variável quantitativa discreta – valor muda em saltos ou passos (não
existe continuidade) exemplo: número de filhos de um casal ,
número de carteiras da sala de aula , etc.

Variável quantitativa contínua – admite infinitos valores dentro de um
espaço ou intervalo exemplo: pesos das pessoas 75,2 (setenta e
cinco quilos e duzentos gramas) ou altura 1,72 (um metro e setenta
e dois centímetros) , notas de 0 a 10 – 7,5.

Resolva o exercício abaixo:

Classifique as em qualitativas ou quantitativas (contínuas ou
discretas):

a) alunos de uma escola
b) raça de cachorros
c) altura de determinada pessoa
d) peso de um bebê
e) número de filhos
f) cor de pele
g) os pontos obtidos na jogada de um dado
h) Valor do salário
i) Sexo
j) idade


ESTATÍSTICA GRÁFICA

Temática: Tabulação

Antes de realizarmos qualquer relatório ou trabalho gráficos devemos
primeiramente efetuar a tabulação dos dados devidamente coletados evitando
dessa forma possíveis erros dentro do método estatístico.

a) Estrutura da tabela e do gráfico

Uma tabela e até mesmo um gráfico devem ser estruturados da seguinte
maneira – Cabeçalho , corpo e rodapé.

Cabeçalho : é a apresentação do que a tabela está procurando estudar e
representar , deve conter o necessário para que sejam respondidas as
seguintes questões: O QUÊ ? (referente ao fato), ONDE? (relativo ao lugar),
QUANDO? (correspondente ao tempo – anos , meses , dias). Exemplo:
acidentes na Rodovia Castelo Branco em 1994.

Exemplo:

O que? – (fato): Acidentes

Onde? – (lugar): Rodovia Castelo Branco

Quando? – (tempo): 1994

Estatística Indutiva: é a parte da estatística que baseando-se em resultados
obtidos da análise de uma amostra da população procura inferir, induzir ou
estimar as leis de comportamento da população da qual a amostra foi retirada.

Corpo : o corpo de uma tabela é representado por uma série de colunas e
subcolunas onde ficam alocados os dados apurados.Segundo o corpo, as
tabelas podem ser de entradas simples, de dupla entrada e de múltipla
entrada.


Exemplo: Entrada simples

Previsão da população para a cidade de São Paulo 1990-2019

ANOS População (1.000 Hab.)

1990 11.170

1994 12.226

2001 13.415

2009 14.913

2019 15.533

Exemplo: Entrada dupla

Contingente da empresa Estatísticos y em 2006

Sexo/ Tipo Homens Mulheres Total
Maiores 50 35 85
Menores 30 15 45
Total 80 50 130

Existe também entradas múltiplas onde envolve mais colunas, linhas e muito
mais dados , regiões.

Exemplo: entrada múltipla

População presente nas regiões sul e sudeste – 1940 /1980

Regiões 01/09/1940 01/07/1950 01/09/1960 01/09/1970 01/09/1980

SUL 5.735.305 7.840.870 11.753.075 16.496.493 19.038.95

Paraná 1.236.276 2.115.547 4.268.239 6.929.868 7.629.405

Santa 1.178.340 1.560.502 2.118.116 2.901.734 3.631.368
Catarina


R.Grande 3.320.689 4.164.821 5.366.720 6.664.891 7.778.162
do sul

SUDESTE 18.345.831 22.548.494 30.630.728 39.853.498 51.746.318

Minas 6.763.368 7.782.188 9.657.738 11.487.414 13.389.605
Gerais

Espírito 790.149 957.238 1.170.858 1.599.333 2.019.877
Santo

Rio de 1.847.857 2.297.194 3.363.038 4.742.884 11.300.665
Janeiro

Guanabara 1.764.141 2.377.451 3.247.710 4.251.918 -

São Paulo 7.180.316 9.134.423 12.809.231 17.771.948 25.036.171

Fonte: IBGE.Diretoria técnica, Departamento de Censo Demográfico

1. População residente

2. resultados preliminares da publicação “Tabulações Avançadas do censo
Demográfico” baseados em uma amostra probabilística,de fração um
pouco inferior a 1% da população e dos domicílios recenseados.

Rodapé: Nessa parte da tabela devemos colocar a legenda e todas as
observações que venham esclarecer a interpretação da tabela, também é no
rodapé que se coloca a fonte dos dados , em alguns casos ela pode ser
colocada também no cabeçalho. A fonte serve para dar maio autenticidade à
tabela.

Agora resolva o seguinte exercício.

Calcule a porcentagem de crescimento populacional da seguinte tabela: de
1990 a 1994; de 1994 a 2001; de 2001 a 2009 e 2009 a 2019.


ANOS População (1.000 Hab.)

1990 11.170

1994 12.226

2001 13.415

2009 14.913

2019 15.533

Nessa aula estudamos como elaborar uma tabela e seus elementos e também
reforçamos o estudo de porcentagem com o exercício solicitado.

Temática: Gráficos Estatísticos

O gráfico é uma forma de apresentação dos dados estatísticos, com o objetivo
de produzir no investigador ou no público em questão uma impressão mais
rápida e compreensível do fenômeno estudado , através dos gráficos podemos
entender melhor as séries estatísticas.

O gráfico deve ser composto de simplicidade, clareza e veracidade , ou seja
deve expressar a verdade e possibilitar um claro entendimento ao público
interessado.

Diagramas: são gráficos geométricos de no máximo, duas
dimensões;para sua construção,em geral, fazemos uso do sistema
cartesiano.

Vamos apresentar os gráficos mais utilizados

Gráfico em linha: constitui uma aplicação do processo de
representação de funções num sistema de coordenadas cartesianas.


Fazemos uso de duas retas perpendiculares; as retas são o eixo x
(eixo das abcissas) e o eixo y (eixo das ordenadas).

Para o melhor entendimento vamos consideremos a seguinte série:

PRODUÇÃO BRASILEIRA DE ÓLEO DE SOJA 1987-1992

ANOS QUANTIDADE (1.000 t)

1987 39,3

1988 39,1

1989 53,9

1990 65,1

1991 69,1

1992 59,5

Volume de X (em 1000t)

80
70 69,1
65,1
60 59,5
53,9
50
40 39,3 39,1
30
20
10
0
1987 1988 1989 1990 1991 1992

Vamos considerar os anos como eixo x (abcissas) e as quantidades
como ordenadas (eixo y).Assim um ano dado e sua respectiva
quantidade formam um par ordenado.

Veja a construção do gráfico:


Gráfico em colunas ou em barras

É a representação de uma série por meio de retângulas, dispostos
verticalmente(gráfico em colunas) ou na forma horizontal (gráfico em
barras).

Exemplos:

PRODUÇÃO BRASILEIRA DE CARVÃO MINERAL BRUTO 1989-
1992

ANOS QUANTIDADE PRODUZIDA
(1.000t)

1989 18.196

1990 11.168

1991 10.468

1992 9.241

Veja abaixo as representações gráficas em colunas e barras:

20000 18.196
15000 ANOS
11.168 10.468
10000 9.241
QUANTIDADE
5000 PRODUZIDA
1989 1990 1991 1992 (1.000t)
0
1 2 3 4


9.241
4 1992
QUANTIDADE
10.468
3 1991 PRODUZIDA
(1.000t)
11.168
2 1990 ANOS
18.196
1 1989

0 5000 10000 15000 20000

GRÁFICO EM COLUNAS OU EM BARRAS MÚLTIPLAS

Este tipo de gráfico é geralmente empregado quando queremos
representar dois ou mais fenômenos estudados com a finalidade de
comparação.

Exemplo:

Balanço Comercial do Brasil

Valor US$

Especificações

1989 1990 1991 1992 1993

Exportação (FOB) 34.383 31.414 31.620 35.793 38.783

Importação 18.263 20.661 21.041 20.554 25.711

FONTE: Ministério da Fazenda


40000
30000 ANOS
38.783
20000 34.383 3 2 35.793 25.711
31.4141.620 20.554
20.6611.041 Especificações
18.263
10000 Importação
0 1989 1990 1991 1992 1993
1 2 3 4 5

Gráficos em Setores

Gráfico construído com base em um círculo, e é empregado sempre
que desejamos ressaltar a participação do dado no total.

O total é representado pelo círculo, que fica dividido em tantos
setores quantas são as partes.

Obtemos cada setor por meio de uma regra de três simples e direta,
lembrando que o total da série corresponde a 360º.

Exemplo:

Dada a série:

ESTADOS QUANTIDADE (1.000 cabeças)

Minas Gerais 3.363,7

Espírito Santo 430,4

Rio de Janeiro 308,5

São Paulo 2.035,9

Total 6.138,5


Utilizando a regra de três:

6.138 ____ 360º

3.363,7___ X

X 1 = 197º

X 2 = 25º

X3 = 18º

X4 = 120º

Com esses dados (valores em graus) , marcamos num círculo de
raio arbitrário, com um transferidor , os arcos correspondentes ,
obtendo o gráfico abaixo:

QUANTIDADE (1.000 cabeças)

Minas Gerais
3.363,70
Espírito Santo
6.138,50 Rio de Janeiro
430,4
São Paulo
308,5
Total
2.035,90

Notas:

O gráfico em setores só deve ser empregado , quando há, no
máximo sete dados;


Se a série já é apresentada de forma percentual, obteremos os
seguintes valores em graus multiplicando por 3,6.


1) utilizar um gráfico de setores para representar a tabela:

Especificação Quantidade

Norte 301

Nordeste 2.937

Sudeste 7.071

Sul 4.542

Centro Oeste 979

TOTAL 15.830

2)Represente a série abaixo usando o gráfico em linhas

Comércio exterior Brasil 1984-1993

ANOS Exportação

1984 141.737

1985 146.351

1986 133.832

1987 142.378

1988 169.666

1989 177.033

1990 168.095

1991 165.974

1992 167.295


1993 182.561

3) Usando o gráfico em barras, represente a tabela:

Produção de ovos de galinha Brasil – 1992

Regiões Quantidade (1.000 dúzias)

Norte 57.297

Nordeste 414.804

Sudeste 984.659

Sul 615.978

Centro-Oeste 126.345

Na aula de hoje estudamos os gráficos mais utilizados e que dão
melhor entendimento a população para interpretar os fatos e os
fenômenos coletivos.

Tabela de freqüência e medidas de tendência central
Temática: Tabela de Frequência.


Tanto os dados qualitativos como os quantitativos, podem e devem ser
agrupados em freqüências para se construir uma tabela. As freqüências
associadas aos dados constituem a distribuição de freqüência.

Uma tabela é constituída por dados organizados em linhas e colunas. A
freqüência de um dado é o número de ocorrências ou repetições de um dado.

Elementos de uma distribuição de freqüência

1) Tabela Primitiva: conjunto de elementos que não foram organizados.

2) Rol: é a tabela obtida após a ordenação dos dados.

3) Classe: são intervalos de variação da variável.

4) Limites de classe: são os extremos de cada classe. O menor é o limite
inferior (li) e o maior número, o limite superior da classe (Li).

5) Amplitude de um intervalo de classe: ou simplesmente intervalo de
classe é a medida do intervalo que define a classe. Esta medida é
obtida pela diferença entre os limites superior e inferior. A amplitude é
indicada por h. Assim:

H = Li – li

4) Ponto médio: Como o próprio nome indica, é o ponto que divide o
intervalo de classe em duas partes iguais. Será representado por Xi.

Para obtermos o ponto médio de uma classe, calculamos a soma dos
limites e dividimos por 2, ou seja, só existe o ponto médio se existir o
intervalo de classe. A fórmula utilizada será:

Xi = li + Li /2

Tipos de Frequências


1) Freqüência simples ou absoluta (fi): são os valores que realmente
representam o número de dados de cada classe, ou seja, o número de
vezes que se repetiram.

2) Freqüência absoluta acumulada (fac): é o total de frequências de todos
os valores inferiores ao limite superior do intervalo de uma dada classe.

3) Freqüência Relativa (fr): são os valores das razões entre a freqüência
absoluta e a freqüência total (fr (%) = fi/n) sendo n = número total de
elementos de uma amostra ou tabela.

4) Freqüência relativa acumulada (fr.acum.): é o acúmulo das
porcentagens de uma tabela.

Amplitude de um intervalo de classe

A primeira preocupação que temos, na construção de uma
distribuição de freqüência com intervalo de classe, é a determinação
das amplitudes do intervalo. O nosso intervalo de classe sempre
começará pelo menor elemento da amostra e a sua amplitude será
determinada pela fórmula:

h = nº > - nº </√n

O resultado da amplitude sempre deverá ser arredondado para o
inteiro mais próximo.

Exemplo de tabela de freqüência:

Para a variável estado civil, construímos a seguinte tabela de
freqüência:

Estado Civil Freqüência absoluta Freqüência Porcentagem
(fi) Relativa (fr)

Solteiro 9 9/20 = 0,45 45%

Casado 8 8/20 = 0,40 40%

Separado 3 3/20 = 0,15 15%


Total 20 1,00 100%

Exemplo de tabela de freqüência com intervalo de classe

Utilizando 5 classes de intervalo, todas com o mesmo comprimento, é possível
reunir os dados referentes à renda mensal da tabela seguinte:

Classes de Freqüência Freqüência relativa Porcentagem
Valores absoluta(fi) (fr)

[5 ; 8[ 2 2/20 = 0,1 10%

[8 ; 11[ 5 5/20 = 0,25 25%

[11 ; 14[ 7 7/20 = 0,35 35%

[14 ; 17[ 4 4/20 = 0,2 20%

[17 ; 20[ 2 2/20 = 0,1 10%

Total 20 1,00 100%

Exemplo utilizando a tabela primitiva e o rol:

Um dentista anotou o número de clientes atendidos por dia, durante
um período de 30 dias, e obteve os seguintes dados:

4;6;7;4;4;5;4;6;5;5;4;5;7;5;5;4;7;5;6;5;4;5;
5;6;5;7;4;6;6;7

Rol: 4 ; 4 ; 4 ; 4 ; 4 ; 4 ; 4 ; 4 ; 5 ; 5 ; 5; 5 ; 5 ; 5 ; 5 ; 5 ; 5 ; 5 ; 5 ; 6 ; 6 ;
6 ; 6 ; 6 ; 6 ;7 ; 7 ; 7 ; 7 ; 7.

Organize esses dados em forma de uma tabela total de freqüência.

Xi Freqüência Frequência Freqüência relativa Porcentagem
absoluta (fi) acumulada (fr)
(fac)

4 08 8 8/30 = 0,267 26,7%


5 11 19 11/30=0,366 36,6%

6 06 25 6/30 = 0,20 20,0%

7 05 30 5/30 = 0,167 16,7%

Totais 30 1,00 100%

Resolva os exercícios abaixo :

1) conhecidas as notas de 40 alunos de uma classe, obtenha uma
tabela total de distribuição de freqüência com intervalo de
classe(com freqüência individual, freqüência acumulada,
freqüência relativa, porcentagem).

1;2;3;4;5;6;6;7;7;8

2;3;3;4;5;6;6;7;8;8

2;3;4;4;5;6;6;7;8;9

2;3;4;5;5;6;6;7;8;9

2;3;4;5;5;6;7;7;8;9


2) complete a tabela abaixo:

Idade Freqüência Freqüência Freqüência Porcentagem
absoluta (fi) acumulada relativa

[0 ; 8[ 04

[8 ; 16[ 10

[16 ; 24[ 14

[24 ; 32[ 09

[32 ; 40[ 03

Na aula de hoje podemos aprender como elaborar uma tabela de
freqüência a partir de um conjunto de dados.

TEMÁTICA – MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL

Começaremos estudar as medidas de tendência central média , mediana e
moda dividiremos em 3 aulas e começaremos hoje por média.

Média aritmética / ponderada

a) Para amostra


A média aritmética , ou simplesmente média , e a soma de todos elementos
de uma amostra e dividida pelo número de elementos,vamos representar a
média com o símbolo X . Para calcularmos a média usaremos:

X = ∑xi/n

Exemplo: Sabendo-se que a produção leiteira diária de uma cabra’, durante
uma semana foi de 10, 14, 13, 15, 16, 18, e 12 litros ,sendo assim , quanto
foi a produção média da semana?

X = 10+14+13+15+16+18+12/7 = 68/12 = 14

b) Para dados agrupados sem classe

A coluna de freqüência de uma tabela de indica a repetição de um
elementos. Neste caso , a média será calculada através do produto entre o
valor da variável e sua respectiva freqüência e o resultado dividido pelo
número total de elementos da tabela. A fórmula usada para este cálculo é

X = ∑xifi/n

Ex: de acordo com dados apresentados na tabela abaixo calcule a média.

Idade Número de pessoas Xi.Fi

21 02 21 x 2 = 42

22 05 22 x 5 = 110

23 08 23 x 8 = 184

24 06 24 x 6 = 144

25 05 25 x 5 = 125

26 04 26 x 4 = 104

∑ 30 709

X = 709/30 = 23,63

c) Para dados agrupados em classes


É muito parecida com o cálculo dos dados agrupados sem classe. O que difere
é a presença do ponto médio, sendo assim, o X, não é mais a variável e sim o
seu ponto médio e sua respectiva freqüência e o resultado dividido pelo
número total de elementos da tabela. A fórmula será:

X = ∑xifi / n

Exemplo: Considerando os dados da tabela abaixo calcule a média.

Classes Fi Xi (ponto médio) Xi.Fi

[4 ; 5[ 01 4,5 4,5 x 1 = 4,5

[5 ; 6[ 04 5,5 5,5 x 4 = 22,0

[6 ; 7[ 11 6,5 6,5 x 11 = 71,5

[7 ; 8[ 07 7,5 7,5 x 7 = 52,5

[8 ; 9[ 02 8,5 8,5 x 2 = 17,0

∑ 25 167,5

X = 167,5/25 = 6,7

Resolva os exercícios de média abaixo:

1)Na série abaixo, composta de notas de matemática:

6,2,8,6,3,0,4,2,6,7,10,3,6 a média é :

a) 4,85 b) 5,33 c) 5,16 d) 4,75 e)6,3

1) Calcule a média ponderada dos dados abaixo:

Xi Fi

4 2

5 3

7 4


9 1

2) Determine a média aritmética da distribuição abaixo

Estaturas (cm) Nº de pessoas

[120 ; 126[ 06

[126 ; 132[ 12

[132 ; 138[ 16

[138; 144[ 15

[144 ; 150[ 07

[150; 156[ 04

3) Numa avaliação 6 alunos obtiveram nota 5 ; 8 alunos obtiveram nota 7 ;
5 alunos obtiveram nota 9 e um aluno obteve nota 10.Qual a média
desses alunos? Assinale a correta:

a) 7,05 b) 6,5 c) 7,5 d) 7,0


Nessa aula aprendemos um pouco de média que usamos muito no nosso
dia a dia por exemplo: as empresas calculam a média salarial de sua folha
de pagamento , o professor calcula a média de seus alunos e vários outros
usos.

TEMÁTICA: MEDIANA

A mediana é o valor que divide um conjunto de dados ordenados ao meio, ou
seja, ela nos fornece o elemento central desse conjunto de dados.

a) para amostra para com número de elementos impar

Md = n+1/2

Exemplo:

Se considerarmos 2,3,3,6,7 – temos 5 elementos logo Md = n+1/2 = 5+1/2 = 3º
elemento que é justamente o 3( que é o termo central da amostra).

Nota: os dados devem ser colocados em ordem crescente.

b) para amostra com número de elementos par:

Md = n/2 e n/2 + 1

Exemplo:

Se considerarmos 2,3,3,6,7,8

Temos 6 elementos logo – Md = n/2 = 6/2 = 3º elemento e n/2+1 = 6/2+1 = 4º
elemento , daí tiramos a média entre o 3º e 4º elemento logo: 3 + 6 / 2 (3 + 6

dividido por 2) = 4,5 portanto Md = 4,5

c) para dados agrupados sem classe

Uma vez que os dados da tabela encontram-se ordenados, podemos obter
a mediana através da freqüência acumulada. O cálculo ocorrerá da mesma
maneira dos resultados obtidos na amostra.

De acordo com a tabela abaixo calcule a mediana.


Idade Fi Fac

11 02 02

12 05 07

13 08 15

14 06 21

15 05 26

16 04 30

∑ 30

Podemos observar que o número de elementos é par, logo:

n/2 = 30/2 = 15º elemento e n/2 +1 = 30/2 + 1= 15 + 1 = 16º elemento

Pela coluna da freqüência acumulada identificamos que o 15º elemento
encontra-se na classe dos 13 anos enquanto o 16º encontra-se na classe dos
14 anos encontraremos a média entre 13 e 14 = 13+14/2 = 13,5 Md=13,5 ou
seja, idade mediana é 13,5

d) Para dados agrupados em classes

Para calcular a mediana, devemos primeiramente, identificar na tabela
através da coluna de freqüência acumulada, a classe da mediana através
da fórmula:

Md = lmd +[n/2 - ∑fant]x h/fmd

Onde:

Lmd = limite inferior da classe da mediana.

Fant é a freqüência acumulada anterior a classe da mediana

Fmd é a freqüência absoluta da classe da mediana

h é a amplitude da classe da mediana


n é o número de elementos da tabela

Exemplo:

De acordo com a distribuição abaixo, calcule a mediana.

Altura (cm) Fi Fac

[155 ; 160[ 05 05

[160 ; 165[ 09 14

[165 ; 170[ 10 24

[170 ; 175[ 12 36

[175 ; 180[ 05 41

∑ 41

Classe da mediana = n/2 = 41/2 = 21,5º elemento = 21º elemento

Md = 165 + [ 20,5 – 14] x 5 / 10 = 165 + 3,25 = 168,25


1) Calcule a mediana das séries abaixo:

a) 5,6,8,10 e 15

b) 27,10,28,31 e 27

c) 10,11,17,15,18,21,27 e 30

d) 31,20,7,16,30,42,9,27,12 e 34

2) Calcule a mediana das distribuições abaixo:


Xi Fi

07 02

08 05

10 07

15 06

20 01

3) Calcule a mediana das distribuições abaixo:

Classes Fi

[12;16[ 10

[16;20[ 18

[20;24[ 20

[24;28[ 12

[28;32[ 08

[32;36[ 02

∑ 70

4) Em um projeto foi pesquisado o número de anos de estuda de uma
população. Uma amostra de 5 pessoas apresentou as seguintes respostas:
6,4,11,6,8 a mediana dessa amostra é:

a) 11 b)8 c) 6 d) 4

Nessa aula estudamos a mediana que também faz parte das medidas de
tendência central.


Temática : Moda

A moda de um conjunto de dados é o valor que se repete mais, isto é, aquele
com maior freqüência . Existem casos que ocorrem mais de uma moda, e
outros em que a moda não existe. Iremos representá-la por Mo.

a) Para amostra

Exemplo: o número de livros vendidos a cada hora foi coletado, em três
livrarias ( A, B e C). Os dados em um período de oito horas foram:

Livraria A : 0,1,2,2,2,2,3,4 a moda é 2

Livraria B : 1,2,2,2,3,3,3,5 as modas são 2 e 3 (bimodal)

Livraria C : 0,0,1,1,2,2,3,3 não existe moda

b) Para dados agrupados sem classe

Ex: A tabela abaixo mostra as horas de atraso em 30 vôos, de uma companhia
aérea , determine a moda:

Horas Freqüência

0 15

1 08

2 04

3 02

4 01

Sendo assim M = 0 horas

c) Para dados agrupados em classes


Neste caso precisaremos inicialmente achar a classe de maior freqüência, a
qual chamamos de classe modal. Através desta classe é que iremos calcular a
moda através da fórmula:

Mo = lmo + ∆1 / ∆1+∆2 x h

Sendo:

Lmo – limite inferior da classe modal

∆1 – fi da classe modal – fi anterior

∆2 – fi da classe modal – fi posterior

h – amplitude da classe modal (intervalo)

Exemplo:

De acordo com a tabela abaixo calcule a moda:

Altura Nº de
(cm) pessoas

[155;160[ 05

[160;165[ 09

[165;170[ 10

[170;175[ 12

[175;180[ 05

∑ 41

∆1 = 12 – 10 = 2 Mo = 170 + 2x5/2+7 = 170 + 10/9 = 171,11

∆2 = 12 – 5 = 7 Mo = 171,11

h=5



1) Obtenha a moda das seguintes séries:

a) 2,3,4,4,5,2,3 e 2

b) 10,9,8,10,5,9 e 7

c) 2,3,3,3,4,5,7,7,7,9,9 e 9

d) 16,15,14,11,12 e 18

2) Determine a moda das distribuições abaixo:

Nº de acidentes Nº de dias

0 12

1 08

2 05

3 04

4 01

∑ 30

3) Determine a moda da tabela com intervalo de classes abaixo:

Peso (Kg) Nº de alunos

[40;45[ 03

[45;50[ 08

[50;55[ 12

[55;60[ 08

[60;65[ 06

[65;70[ 03

∑


Nessa aula estudamos moda também pertencente as medidas de tendência
central.

Exercícios

1) Calcule média , mediana e moda das séries abaixo:

a) 5,6,8,10 e 15

b) 27,10,28,31 e 27

c) 10,11,17,15,18,21,27 e 30

d) 31,20,7,16,30,42,9,27,12 e 34

2) Calcule a média , mediana e moda das distribuições abaixo:

a)

Xi Fi

120 03

123 10

126 12

129 09

130 11

145 05

b)


Xi Fi

1,4 12

1,7 10

2,1 08

3,3 05

c)

Nº de Freqüência
filhos

0 08

1 10

2 14

3 09

4 04

5 02

6 03

d)


Salário (R$) Nº de
funcionários

[500;700[ 11

[700;900[ 23

[900;1100[ 18

[1100;1300[ 06

[1300;1500[ 03

[1500;1700[ 02

Temática: Desvio médio

Chamamos de desvio a diferença entre um valor e a média dos dados, ou seja, a diferença
entre cada elemento de uma série de dados e a média aritmética dos elementos dessa série.

l xi − x l
DM =
fi

Desvio em relação à média (di)
Desvio em relação à média é a diferença entre cada elemento da série e a média que o
representa.

di = x i − x
Exemplo:
Seja o rol: 11; 46; 56; 62; 65; 80; 104; 130; 166.

x = 80

x1 = 11 x2 = 46 x3 = 56
x4 = 62 x5 = 65 x6 = 80
x7 = 104 x8 = 130 x9 = 166

d1 = 11 – 80 = – 69 d2 = 46 – 80 = – 34 d3 = 56 – 80 = – 24
d4 = 62 – 80 = – 18 d5 = 65 – 80 = – 15 d6 = 80 – 80 = 0


d7=104 – 80 = 24 d8=130 – 80 = 50 d9 = 166 – 80 = 86

Desvio médio

Exemplo:
Consideremos os seguintes dados:
10; 11; 11; 12; 12; 13; 13; 14.
A média dos dados será:
Média:
10 + 11 + 11 + 12 + 12 + 13 + 13 + 14 96
(x) = = = 12
8 8

Desvio médio:
l10 - 12l + l11 - 12l + l11 - 12l + ... + l13 - 12l + l14 - 12l
8
+ 2 + 1+ 1+ 0 + 0 + 1+ 1+ 2 8
= =1
8 8

O desvio médio avalia a variabilidade ou a dispersão dos dados em torno da média aritmética,
isto é, elas indicam a representatividade da média.

a) Para dados agrupados sem intervalo de classe.
.
xi fi xi fi
05 02 10
07 03 21
08 05 40
09 04 36
11 02 22
∑ 16 129

Média → x=
∑x fi i
=
129
= 8,06
∑f i 16
Logo:

│xi – x │= │di│ │di│. fi

│5 – 8,06│ = 3,06 6,12
│7 – 8,06│ = 1,06 3,18
│8 – 8,06│ = 0,06 0,30
│9 – 8,06│ = 0,94 3,76


│11 – 8,06│ = 2,94 5,88
∑ 19,24

l di l ⋅ fi 19,24
Portanto: DM = = = 1,2
∑ fi 16

Temática: Variância e desvio padrão

De todas as medidas de dispersão, a mais utilizada é o desvio padrão. Esta medida se baseia
nos desvios de cada valor de uma série em relação à média, considerando (xi – x)², pois
sabemos que a soma desses desvios é igual a zero.

O desvio padrão resultará da raiz quadrada da variância (S²). Como vimos, a amplitude total é
instável por se deixar influenciar pelos valores extremos que são, em sua maioria, devidos ao
acaso. A variância e o desvio padrão são medidas que fogem a essa falha, pois leva em conta
a totalidade dos valores da variável em estudo, o que faz delas índices de variabilidade
bastante estáveis.

Mostraremos as seguintes fórmulas para o cálculo do desvio padrão:

Desvio padrão – dados não agrupados

Exemplo:
De acordo com a amostra 5; 7; 9; 11; 13, calcule o desvio padrão.
A fórmula utilizada é:


∑x  ∑ xi
2 2

= − 
2 i
S
n  n 
 
Lembrando que ∑fi é igual a n.

Para facilitar este cálculo iremos transportar esta amostra para uma tabela.
xi xi²
5 25
7 49
9 81
11 121
13 169
∑ = 45 ∑ = 445
Como n é igual a 5 temos:

∑x  ∑ xi
2 2

= − 
2 i
S
n  n 
 
2
445  45 
S2 = −   = 89 − 81 = 8 ⇒ S 2 = 8 (Variância)
5  5 

S = 8 = 2,83 (Desvio padrão )

Desvio padrão – dados agrupados

● Sem intervalos de classe

Exemplo:
De acordo com a tabela abaixo calcule o desvio padrão
. .
Nº de filhos fi xi fi xi² fi
0 02 00 00
1 06 06 06
2 12 24 48
3 07 21 63
4 03 12 48
Total 30 63 165


∑f x  ∑ fi x i
2 2

= − 
2 i i
S
n  n 
 
2
165  63 
S = 2
−   = 5,5 − 4,41 = 1,09 ⇒ S 2 = 1,09
30  30 

S = 1,09 = 1,04 (Desvio padrão )

● Com intervalo de classe

A única diferença é que o xi neste caso se refere ao ponto médio de cada classe, ou seja,
temos de abrir uma nova coluna para o ponto médio (xi).

Exemplo:

De acordo com a tabela a seguir calcular o desvio padrão.

. .
Estaturas (cm) fi xi xi fi xi² fi
150 ı− 154 04 152 608 92.416
154 ı− 158 09 156 1.404 219.024
158 ı− 162 11 160 1.760 281.600
162 ı− 166 08 164 1.312 215.168
166 ı− 170 05 168 840 141.120
170 ı− 174 03 172 516 88.752
∑ 40 6.440 1.038.080

∑f x  ∑ fi x i
2

2

= − 
2 i i
S
n  n 
 
2
1038080  6440 
S = 2
−  = 25952 − 25921 = 31 ⇒ S = 31
2

40  40 

S = 31 = 5,56


Temática: Coeficiente de variação

O desvio padrão, por si somente, não produz muita coerência. Para contornar algumas
dificuldades ou limitações, podemos caracterizar a dispersão ou variabilidade dos dados em
termos relativos ao seu valor médio, ou seja, podemos caracterizar por meio de uma
porcentagem.

Essa medida em forma de porcentagem é denominada coeficiente de variação:
S
CV = ⋅ 100
x
Onde CV é o coeficiente de variação e S é o desvio padrão.


A tabela abaixo se refere às estaturas, onde: x = 161 cm e S = 5,56.
.
Estaturas (cm) fi xi xi fi xi² . fi
150 ı− 154 04 152 608 92.416
154 ı− 158 09 156 1.404 219.024
158 ı− 162 11 160 1.760 281.600
162 ı− 166 08 164 1.312 215.168
166 ı− 170 05 168 840 141.120
170 ı− 174 03 172 516 88.752
∑ 40 6.440 1.038.080
S 5,56
Temos, então: CV = ⋅ 100 = ⋅ 100 = 0,0345 ⋅ 100 = 3,45%
x 161
Esse resultado significa que existe uma variação em torno da média de 3,46%.

Temática: Assimetria - Introdução

Como vimos na unidade III, numa distribuição simétrica, as medidas de tendência central
coincidem, ou seja, a média, a moda e a mediana. Sendo a distribuição assimétrica à esquerda
ou negativa, a média é menor que a moda; sendo assimétrica à direita ou positiva, a média é
maior que a moda.


Baseando-se nessas relações entre a média e a moda, podemos empregá-las para determinar
o tipo de assimetria.

x − Mo
Assim, calculamos o valor da diferença: Média – Moda, se:

Média – Moda = 0 → Assimetria nula ou distribuição simétrica;
Média – Moda < 0 → Assimetria negativa ou à esquerda;
Média – Moda > 0 → Assimetria positiva ou à direita.

Exemplo:

Distribuição A
xi fi
02 ı− 06 06
06 ı− 10 12
10 ı− 14 24
14 ı− 18 12
18 ı− 22 06


Σ 60

Temos:
Média = 12; Mediana = 12; Moda = 12; S = 4,42.

Distribuição B
xi fi
02 ı− 06 06
06 ı− 10 12
10 ı− 14 24
14 ı− 18 30
18 ı− 22 06
Σ 78

Temos:
Média = 12,9 Mediana = 13,5 Moda = 16 S = 4,2

Distribuição C
xi fi
02 ı− 06 06
06 ı− 10 30
10 ı− 14 24
14 ı− 18 12
18 ı− 22 06
Σ 78
Temos:
Média = 11,1 Kg Mediana = 10,5 Kg Moda = 8 Kg S = 4,20Kg

Portanto, temos a seguinte situação em cada distribuição:
Distribuição A: 12 – 12 = 0; a distribuição é simétrica.
Distribuição B: 12,9 – 16 = – 3,1; a distribuição é assimétrica negativa.
Distribuição C: 11,1 – 8 = 3,1; a distribuição é assimétrica positiva.

Temática: Coeficiente de assimetria

A medida anterior, por ser absoluta, apresenta a mesma deficiência do desvio padrão, isto é,
não permite a possibilidade de comparação entre as medidas de duas distribuições. Por este
motivo, é viável usarmos o coeficiente de assimetria de Pearson, dado por:


3 ⋅ (média − mediana ) 3 ⋅ ( x − Md)
⇒ AS =
s S
Se 0,15 < │AS│< 1, a assimetria é considerada moderada: se │AS│>1, é forte.

Exemplo:
Considerando as distribuições A, B, e C dadas na aula anterior, temos:
3 ⋅ (12 − 12)
AS A = = 0 ⇒ simetria
4,42
3 ⋅ (12,9 − 13,5)
AS B = = −0,429 ⇒ assimetria negativa
4,20
3 ⋅ (11,1 − 10,5)
AS C = = 0,429 ⇒ assimetria positiva
4,20

Temática: Quartil e percentil


Antes de entrarmos em medidas de curtose devemos ter noções sobre Quartil e Percentil, que
são medidas de posição.

Quartil
São valores que dividem um conjunto de elementos ordenados em quatro partes iguais, ou
seja, cada parte contém 25% desses elementos.
Há, portanto, três quartis: Q1, Q2 e Q3.
Q1 – é chamado de primeiro quartil, ou seja, valor que deixa 25% dos elementos à sua
esquerda e 75% dos elementos à sua direita.
Q2 – é chamado de segundo quartil e coincide com a mediana (Q2 = Md), ou seja, 50% dos
elementos estão à sua esquerda e 50% à sua direita.
Q3 – é chamado de terceiro quartil, ou seja, valor que deixa 75% dos elementos à sua
esquerda e 25% à sua direita.

Quando os dados são agrupados para determinar os quartis, usamos a mesma técnica do

cálculo da mediana, bastando substituir na fórmula da mediana,
∑f i
por
k ∑ fi
; sendo k o
2 4
número de ordem do quartil.

No primeiro quartil (Q1), utiliza-se:

n 
 4 − ∑ F(ant )h Q1
Q1 = λQ1 + 
fQ1

Onde, ℓQ1 é o limite inferior da classe do primeiro quartil, hQ1 é a amplitude do intervalo da
classe mediana, n é o número de elementos da tabela (Σfi) e ∑F(ant) é a freqüência
acumulada do primeiro quartil.

No segundo quartil (Q2), utiliza-se a mesma fórmula da mediana.

Q2 =
∑f i

2
No terceiro quartil (Q3), utiliza-se:

 3n 
 4 − ∑ F(ant )h Q3
Q 3 = λQ 3 + 
f Q3


Exemplo: com os dados apresentados na tabela abaixo, calcule o primeiro e terceiro quartil:

Classes fi Fac
0 ı− 2 03 03
2 ı− 4 06 09
4 ı− 6 12 21
6 ı− 8 09 30
8 ı−10 06 36
∑ 36

Primeiro quartil
1º) Achar a classe do primeiro quartil:
n 36
= =9
4 4
O 9º elemento olhando no Fac se encontra na segunda classe.

2º) Depois de localizada a classe do primeiro quartil, utilizaremos a expressão abaixo para
obter o valor desejado.

Q1 = 2 +
[9 − 3] ⋅ 2 = 2 + 12 = 2 + 2 = 4
6 6

Terceiro quartil
1º) Achar a classe do terceiro quartil:
3n 3 × 36
= = 27
4 4
O vigésimo sétimo elemento olhando na Fac está na quarta classe. Logo:

Q3 = 6 +
[27 − 21]⋅ 2 = 6 + 12 = 7,33
9 9

Isto é: 4 deixa 25 % dos elementos (1º quartil)
7,33 deixa 75% dos elementos (2º quartil)
Percentil
Denominamos percentis aos noventa e nove valores que separam uma série em 100 partes
iguais. A notação que usaremos para os percentis será Pi, onde o índice i indica a ordem do
percentil considerado.


Exemplo:
P10 indica que 10% dos dados estão ordenados à sua esquerda e 90% à direita de P10.

Cálculo de um percentil
Para calcularmos os percentis dos dados em uma tabela de freqüência, devemos identificar,
i⋅n
na freqüência acumulada, a classe do percentil desejado através da fórmula , que é a
100
posição do percentil em estudo. Para obtermos a posição da classe do percentil usaremos a
expressão:

 i⋅n 
100 − ∑ F(ant ) ⋅ hPi
Pi = λPi  
fPi

Observação: P10 também pode ter a denominação de 1º decil (Di), assim como P20 é igual ao
2º decil (D2) e assim por diante.

Exemplo:
Calcular o 15º percentil referente à tabela abaixo.
Classes fi Fac
4,85 ı− 4,90 03 03
4,90 ı− 4,95 06 09
4,95 ı− 5,00 12 21
5,00 ı− 5,05 09 30
5,05 ı− 5,10 06 36
Total 36

1º) Achar a classe de P15.
i ⋅ n 15 ⋅ 36 540
= = = 5,40 (5,4º elemento)
100 100 100

Observando na Fac, podemos afirmar que o 15º percentil se encontra na segunda classe.

2º) Após encontrarmos a classe, iremos obter o valor do 15º percentil através da fórmula a
seguir:


 i⋅n 
100 − ∑ F(ant ) ⋅ hPi
Pi = λPi  
fPi

P15 = 4,90 +
[5,40 − 3]⋅ 0,05 = 4,90 + 0,02 = 4,92
6
P15 = 4,92

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