1. TH.S ĐỖ XUÂN
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
1
CHUYÊN ĐỀ THI ĐẠI HỌC 2014
CHUYÊN ĐỀ
HÌNH KHÔNG GIAN

2. TH.S ĐỖ XUÂN
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
2
CHƢƠNG I: KIẾN THỨC CƠ BẢN
I. Tam giác
1. Diện tích
Cho có độ dài các cạnh là Khi đó
a. thì
b. thì √
c. thì √ ( )( )( )
với là nửa chu vi tam giác.
2. Các định lý
a. Định lý cos
b. Định lý sin
c. Định lý đường trung tuyến
d. Mối liên hệ khác

3. TH.S ĐỖ XUÂN
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
3
II. Các định lý trong không gian
1. Vuông góc
a. { ( ) ( )
b. { ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
c. { ( ) ( ) ( ) ( )
2. Song song
a. { ( ) ( )
b. { ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3. Góc
a. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
{ ( ) ( ) ( ) ( ( )) ̂

4. TH.S ĐỖ XUÂN
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
4
b. Góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng
{ ( ) ( ) ( ) ( )
(( ) ( )) ̂
Chú ý: Trong hình chóp, góc giữa cạnh bên với đáy chứa đƣờng cao.

5. TH.S ĐỖ XUÂN
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
5
CHƢƠNG II: KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN
I. Khoảng các từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng
1. Định nghĩa
Cho ( ). Nếu ( ) tại
thì ( ( ))
2. Định lý
{ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3. Phƣơng pháp chung xác định khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (P).
B1: Tìm (Q) sao cho
{ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
B2: Kẻ ( )
( ( )) .
Ví dụ 1 ( Bài cơ bản ) Cho hình chóp vuông góc đáy ̂ Tính ( ( ))

6. TH.S ĐỖ XUÂN
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
6
Phân tích:
Cần tìm mặt phẳng chứa A và
Vuông góc với ( )
Chú ý, nên từ chỉ cần
kẻ đường vuông góc với thì ta được
mặt phẳng cần tìm.
Giải
Xét , ta có Trong ( ) kẻ ( ).
Ta có { ( )
( ) ( ) theo giao tuyến
Trong ( ), kẻ ( ) ta được ( ) tại Do đó ( ( )) √
Xét vuông tại có là đường cao nên √
Vậy ( ( )) √ (đơn vị độ dài).

7. TH.S ĐỖ XUÂN
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
7
Từ ví dụ trên cho ta phƣơng pháp xác định khoảng cách từ chân đƣờng cao tới mặt phẳng chứa đỉnh ( ).
Cho là đỉnh ( ) là mặt đáy của hình chóp, là chân đường cao, ( ) là mặt bên. Tính ( ( ))
Phƣơng pháp:
B1: Tìm giao tuyến ( ) ( )
B2: Kẻ ( )
Suy ra ( ) ( ) ( ) theo giao tuyến
B3: Kẻ ( ) tại
Do đó: ( ( ))
4. Kỹ thuật dƣời điểm trong bài toán khoảng cách.
Tính ( ( )) mà ( ( )) có thể tính dễ dàng ( thường là chân đường cao).
Phƣơng pháp Kéo dài
a) Trường hợp ( ) ( dời điểm
song song)
( ( )) ( ( ))
b) Trường hợp ( ) * + (dời điểm cắt nhau) ( ( )) ( ( ))

8. TH.S ĐỖ XUÂN
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
8
Ví dụ 2
Cho hình chóp Đáy vuông tại ( ) ( ) √ ̂ Tính ( ( ))
Phân tích
Kẻ ( ) ( là chân đường cao)
Khi đó ( ( )) sẽ tính dễ hơn ( ( )). Áp dụng phương pháp dời điểm bài toán trở nên đơn giản hơn.
Ta có: ( ) * +. Nên chỉ cần tính và ( ( )).
Giải
Ta có ( ) * + nên ( ( )) ( ( ))
Xét vuông tại H ( ( )) ( ( ))
Trong ( ) kẻ ( ).

9. TH.S ĐỖ XUÂN
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
9
Ta có { ( )
( ) ( ) theo giao tuyến
Trong ( ), kẻ ( ) ta được ( ) tại Do đó ( ( ))
vuông tại nên √
nên √
vuông tại có là đường cao nên √
Vậy ( ( )) √ (đơn vị độ dài).
Ví dụ 3
Cho hình hộp đứng có đáy là hình vuông, tam giác vuông cân, . Tính ( ( ))
Phân tích
Các điểm tạo thành hình chóp đỉnh , đáy ( ) Hình chóp có là chân đường cao nên ( ( )) tính được dễ dàng. Ta cần dùng phép dời điểm để tính ( ( ))
Ta có ( ) nên ( ( )) ( ( ))

10. TH.S ĐỖ XUÂN
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
10
Giải
Vì nên ( )
suy ra ( ( )) ( ( ))
Ta có { ( )
( ) ( ) theo giao tuyến
Trong ( ), kẻ ( ) ta được ( ) tại Do đó ( ( ))
vuông cân tại nên √ .
vuông cân tại nên .
vuông tại có là đường cao nên
√
Vậy ( ( )) √ (đơn vị độ dài).

11. TH.S ĐỖ XUÂN
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
11
II. Khoảng cách giữa 2 đƣờng thẳng chéo nhau
1. Đoạn vuông góc chung
Cho là 2 đường thẳng chéo nhau.
Nếu {
thì là đoạn vuông góc chung của
2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
( )
3. Phương pháp tính khoảng cách giữa hai đường thắng chéo nhau
B1: Từ kẻ đường thẳng
Đặt ( ) ( ), khi đó ( )
B2: Vì ( ) nên
( ) ( ( )) ( ( ))
Bài toán trở về bài toán tìm khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng.
Chú ý:
a. Đường thắng và điểm ở đây thường là những yếu tố thuộc mặt đáy. Chọn điểm sao cho việc dời về chân đường cao là thuận lợi nhất.
b. Đầu tiên phải chú ý có vuông góc nhau hay không. Nếu . Chọn , kẻ khi đó là đường vuông góc chung.

12. TH.S ĐỖ XUÂN
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
12
Ví dụ 4
Cho hình chóp có đáy hình vuông cạnh Gọi lần lượt là trung điểm của * + Biết ( ) √ Tính ( )
Phân tích
Vì { ( )
Do đó việc tính ( ) sẽ là việc tìm đoạn vuông góc chung như chú ý ở trên.
Giải
là hình vuông nên ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
Ta có
{ ( )
Trong ( ), kẻ ( )
Vì ( ) nên
Do đó : là đoạn vuông góc chung của
Suy ra : ( )
Tính

13. TH.S ĐỖ XUÂN
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
13
Tam giác vuông tại nên √ √
Ta có √
Tam giác vuông tại có là đường cao nên √
Vậy ( ) √ (đơn vị độ dài).
Ví dụ 5
Cho hình chóp Đáy vuông tại ( ) ( ) ( ). M là trung điểm AB, mặt phẳng qua SM song song BC cắt AC tại N. Biết góc giữa giữa hai mặt phẳng ( ) ( ) bằng Tính ( )
Phân tích
và thuộc đáy. Nên kẻ đường thẳng song song ta sẽ có được mặt phẳng song song với cần tìm.
Giải

14. TH.S ĐỖ XUÂN
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
14
Ta có:
{ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Suy ra { ( )
Ta có: { (( ) ( )) ̂
Gọi là trung điểm , suy ra , ( ) nên là điểm cần tìm.
Gọi là trung điểm , suy ra , ( ) . Do đó ( ) ( ( )) ( ( )
Trong ( ), kẻ ( ).
Vì
{ ( ) ( ) ( ) theo giao tuyến
Trong ( ) kẻ ( ) ( )
Do đó ( ( )
Ta có:
là hình chữ nhật nên

15. TH.S ĐỖ XUÂN
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
15
Tam giác vuông tại nên √
Tam giác vuông tại có là đường cao nên √
Vậy ( ) √ (đơn vị độ dài).

16. TH.S ĐỖ XUÂN
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
16
CHƢƠNG III: THỂ TÍCH KHỐI DA DIỆN
I. Khối chóp
1. Thể tích
2. Cách xác định chiều cao
Hình chóp có:
- Cạnh bên vuông góc đáy thì cạnh bên là chiều cao
- Mặt bên vuông góc đáy thì chân đường cao nằm trên giao tuyến của mặt bên đó và đáy.
- Hai mặt bên vuông góc đáy, thì đường cao là giao tuyến 2 mặt bên đó.
- Hình chóp đều, hình chóp có mặt bên hợp với nhau các góc bằng nhau, hình chóp có các cạnh bên bằng nhau thì chân đường cao là tâm của đáy. (Trong trường hợp này đáy là đa giác nội tiếp đường tròn).
3. Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có tâm nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy tại tâm.
Ví dụ 1
Cho hình chóp có đáy đều cạnh Hình chiếu của lên mặt phẳng ( ) là thuộc sao cho Góc giữa SC và đáy bằng Tính thể tích khối chóp và ( ) theo a.
Giải

17. TH.S ĐỖ XUÂN
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
17
Tính
Ta có ( ) ( ( )) ̂
Áp dụng định lý cos trong √
vuông tại nên √
Ta có √ √ √
Tính ( )
Trong (ABC), dựng hình bình hành ACBD.
Suy ra ( ) ( ) ( ( )) ( ( )
Ta có: ( ) ( ( ) ( ( )
Trong ( ) kẻ ( )
và , do đó ( )

18. TH.S ĐỖ XUÂN
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
18
( ) ( ) theo giao tuyến
Trong ( ) kẻ ( ), ta được
( ) suy ra ( ( )
Tam giác vuông tại nên √
Tam giác vuông tại , có là đường cao nên √
Vậy ( ( )) √ (đơn vị độ dài).
Ví dụ 2
Cho hình chóp có đáy hình vuông cạnh √ . Mặt ( ) vuông góc đáy. Gọi lần lượt là trung điểm của . Tính thể tích khối chóp theo a và tính ( )
Giải
Trong ( ) kẻ ( )
Suy ra ( )
Ta có: √ nên vuông tại

19. TH.S ĐỖ XUÂN
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
19
Do đó : √
Lại có
Ta có : √ ( )
Ta có ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
Mặt khác
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )
Do đó ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) ( )
Tam giác vuông tại nên
Suy ra √
Tam giác vuông tại nên √ √
Thay vào (1), ta được

20. TH.S ĐỖ XUÂN
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
20
( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) √
Vậy ( ) √
II. Khối lăng trụ, hình hộp.
1. Thể tích
2. Diện tich toàn phân
Ví dụ 3
Cho hình lăng trụ tam giác đều có góc giữa hai mặt phẳng ( ) ( ) bằng Gọi là trọng tâm . Tính thể tích khối lăng trụ và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện theo a.
Giải
Tính
Gọi là trung điểm của .
Ta có: { ( )
Do đó (( ) ( )) ̂

21. TH.S ĐỖ XUÂN
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
21
Tam giác vuông tại nên √
Gọi là tâm tam giác , là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện .
Ta có
( ) và
Do đó
TH1: nằm giữa
Đặt ( )
Do là tâm mặt cầu ngoại tiếp nên ( ) ( )
TH2: nằm giữa
Đặt ( )
Do là tâm mặt cầu ngoại tiếp nên ( )
Suy ra bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là

22. TH.S ĐỖ XUÂN
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
22
Ví dụ 4
Cho hình lăng trụ đứng có đáy vuông tại Gọi là trung điểm của là giao điểm đoạn . Tính thể tích và ( ( )) theo a.
Giải:
Tính V
Trong ( ), kẻ ( )
( ).
Tam giác vuông tại nên √ √
Tam giác vuông tại nên √
Do đó
( đvdt).
Vì nên
Vì nên

23. TH.S ĐỖ XUÂN
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
23
Thể tích tứ diện IABC là
Tính ( ( ))
Ta có { ( )
( ) ( ) theo giao tuyến .
Trong ( ), kẻ ( ) ta được ( ) suy ra ( ( )
Tam giác vuông tại , có là đường cao nên √
Vậy ( ( )) √ (đơn vị độ dài).
Ví dụ 5
Cho hình lập phương cạnh Tính ( ) theo a.
Gọi lần lượt là trung điểm của Tính góc ( )
Giải
Gọi ( ), suy ra là hình bình hành

24. TH.S ĐỖ XUÂN
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
24
( ) ( ) ( ( )) ( ( ))
Vì ( ) * + nên ( ( )) ( ( ))
Ta có { ( ).
( ) ( ) theo giao tuyến .
Trong ( ), kẻ ( ) ta được ( ) suy ra ( ( )
Tam giác vuông tại , có là đường cao nên √

25. TH.S ĐỖ XUÂN
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
25
Vậy ( ) √ (đơn vị độ dài).
Tính góc ( )
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
Mặt khác ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )
Do đó: ( )

26. TH.S ĐỖ XUÂN
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
26
Bài tập áp dụng
Bài 1. Cho hình chóp có đáy vuông tại Biết vuông góc với đáy. Gọi là một điểm trên sao cho Tính thể tích khối chóp và ( ( )) theo a.
Bài 2. Cho tứ diện có là tam giác vuông tại √ Biết rằng là tam giác vuông. Tính thể tích và ( ) theo a.
Bài 3. Cho hình chóp có √ Biết ( ) vuông góc với đáy. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và ( ( )) theo a.
Bài 4. Cho hình lăng trụ đều có tất cả các cạnh đều bằng Gọi lần lượt là trung điểm . Tính thể tích và ( ) theo a.
Bài 5. Cho hình lăng trụ đều có đáy là tam giác đều cạnh Gọi là giao điểm của . Tính thể tích và ( ) theo a.
Bài 6. Cho hình chóp có √ Gọi lần lượt là trung điểm của Chứng minh . Tính thể tích khối tứ diện theo a.
Bài 7. Cho hình chóp có và đôi một vuông góc nhau. Gọi lần lượt là trung điểm của và là điểm đối xứng với qua Gọi là giao điểm của ( ). Chứng minh . Tính thể tích khối tứ diện theo a.

27. TH.S ĐỖ XUÂN
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
27
Bài 8. Cho hình chóp có đáy ( ) vuông tại Hai mặt bên ( ) ( ) cùng tạo với đáy một góc Biết rằng hình chiếu của trên đáy thuộc Tính thể tích khối chóp theo a.
Bài 9. Cho hình chóp tứ giác có √ Gọi lần lượt là trung điểm của Chứng minh . Tính thể tích khối tứ diện theo a.
Bài 10. Cho hình chóp có đáy là hình thoi. Hai mặt ( ) ( ) cùng vuông góc với đáy. * + √ là trung cắt mặt ( ) tại Tính thể tích khối tứ diện và ( ) theo a.
Bài 11. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh a, mặt ( ) vuông góc đáy. cân tại ( ( )) là trung điểm cạnh Tính thể tích và ( ( )) theo a.
Bài 12. Cho hình lăng trụ đều có đáy là tam giác vuông tại √ ( ) ( ) (( ) ( )) Tính thể tích theo . Giả sử √ , tính góc giữa hai đường thẳng .
Bài 13. Cho hình chóp có đáy ( ) đều cạnh là trung điểm là điểm đối xứng với qua ( ) là
hình chiếu vuông góc của trên Tính thể tích khối chóp và ( ( )) theo a.

28. TH.S ĐỖ XUÂN
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
28
Bài 14. Cho hình chóp có đáy là hình thang nội tiếp đường tròn đường kính ( ) ( ( )) √ là trung điểm Tính thể tích và ( ) theo a.
Bài 15. Cho hình chóp có Gọi lần lượt là trọng tâm các tam giác sao cho Hình chiếu vuông góc của lên ( ) trùng với góc tạo bởi và đáy bằng Tính thể tích theo
Bài 16. Cho hình chóp có đáy là hình thoi.
( √ ) tất cả các cạnh còn lại bằng 1. Chứng minh Tìm để thể tích khối chóp đạt giá trị lớn nhất.
Bài 17. Cho hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông tại ( ( )) Tính thể tích theo Tìm tâm, tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ
Bài 18. Cho hình chóp có đáy là hình thoi. Hai mặt ( ) ( ) cùng vuông góc với đáy. * + ( ) ( ( )) √ Tính thể tích khối chóp theo a.