Função exponencial: equações e inequações

FUNÇÃO EXPONENCIAL 1 www.ricardinhomatematica.com.br
EQUAÇÃO EXPONENCIAL
Considere a equação 2
x
= 16. Nela a variável aparece
como expoente. Uma equação em que isso ocorre é
denominada equação exponencial. Para compreender bem
esse assunto, vamos recordar algumas propriedades.
Sendo a ∈∈∈∈ R e a ≠≠≠≠ 0 e m ∈∈∈∈ Z. Tem-se que:
a
m
= a. a. a. a. a..... a.
←←←← m fatores →→→→
a) a
0
= 1 para a ≠ 0
b) a a
m
n mn
=
c) a
-n
=
1
an
d) a
m
.a
n
= a
m + n
e)
a
a
a
m
n
m n
= −
f) (a
m
)
n
= a
m.n
g) (a.b)
n
= a
n
.b
n
h)
a
b
a
b
n n
n





 =
Definição:
Chama-se equação exponencial toda equação que pode
ser reduzida a forma a
x
= b, com 0 < a ≠ 1.
Exemplos: a) 2
x
= 16 b) 3
x - 1
= 27
Para resolver tais equações é necessário transformar a
equação dada em:
• Igualdade de potência de mesma base.
a
f(x)
= a
g(x)
⇔ f(x) =g(x)
• Potências de expoentes iguais. a
f(x)
= b
f(x)
⇔ a = b
sendo a e b ≠ 1 e a e b ∈ R
*
+.
Exercícios Resolvidos
1) Resolver a equação 2
x
= 128
Resolução: Transformando a equação dada em
igualdade de mesma base temos:
2
x
= 2
8
Logo temos que x = 8
x
=
1
16
Resolução: Sabemos que 1
16
é o mesmo que 2−4
.
Então: 2
x
= 2−4
Portanto x = −−−−4
Algumas equações exponenciais não são possíveis
transformar em igualdade de bases iguais de imediato.
Nestes casos é necessário utilizar uma variável auxiliar.
Veja os exercícios resolvidos:
x − 1
+ 3
x + 1
= 90
Resolução: Podemos escrever a equação da seguinte
forma:
3
x
.3 −1
+ 3
x
.3
1
= 90 fazendo 3
x
= y, temos:
y.
1
3
+ y.3 = 90
y + 9y = 270
10y = 270
y = 27
Mas 3
x
= y então 3
x
= 27 ∴ x = 3
2x
– 4.3
x
+ 3 = 0
Resolução: Podemos escrever a equação da seguinte
forma.
(3
x
)
2
– 4.3
x
+ 3 = 0 fazendo 3
x
= y
temos:
y
2
– 4y + 3 = 0
resolvendo a equação temos:
y ´ = 3 y ´´ = 1
Porém 3
x
= y, então
3
x
= 3 ou 3
x
= 1
∴ x = 1 ou x = 0
EXERCÍCIOS
01) Resolva, em R, as equações a seguir:
a) 2
x
= 128
b) 2
x
=
1
16
c) 3
x − 1
+ 3
x + 1
= 90
d) 25.3
x
= 15
x
é:
e) 2
2x
−−−− 2
x + 1
+ 1 = 0
f) 5
x + 1
+ 5
x
+ 5
x - 1
= 775

02) ( PUC-SP ) O conjunto verdade da equação
3.9
x
− 26.3
x
− 9 = 0, é:
03) ( UFSC ) O valor de x que satisfaz a equação
5
5
1
125
4 12
3 8
x
x
−
+ = é:
04) ( UFSC ) Sendo: 7
x + 1
+ 7
x
- 34.256 = 100.200,
determine o valor de 18x.
05) Resolvendo a equação 4
x
+ 4 = 5.2
x
, obtemos:
a) x1 = 0 e x2 = 1
b) x1 = 1 e x2 = 4
c) x1 = 0 e x2 = 2
d) x1 = x2 = 3
06) ( Unesp-SP ) Se x é um número real positivo tal
que 2 2
2
2x x
= +
, então ( )xx
x
x 2
é igual a:
07) A maior raiz da equação 4
|3x −−−− 1|
= 16
08) ( ITA-SP ) A soma das raízes da equação
9
4
3
1
1
2
1
x
x
−
−− = − é:
09) A soma das raízes da equação
2
3
1
13 2
3
2 1
1





 + =
−
+
x x
x
.
é:
10) Resolver, em reais, as equações abaixo:
a) 5
x
+ 0,2
x
= 5,2
b) 5.4
x
+ 2.5
2x
= 7.10
x
GABARITO – EQUAÇÕES EXPONENCIAIS
1) a) 7 b) – 4 c) 3 d) 02 e) 00 f) 03 2) 02 3) 17
4) 90 5) c 6) 02 7) 01 8) 01
9) 00 10) a) {-1, 1} b) {0, 1}

AULA 02
FUNÇÃO EXPONENCIAL
1. Função Exponencial
Definição:
Denomina-se função exponencial de base a, com a > 0 e
a ≠ 1 a função f de R → R definida por:
f(x) = a
x
Exemplos: a) f(x) = 2
x
a = 2
b) f(x) = 3
x
a = 3
c) f(x) =
x






2
1
a =
1
2
Gráfico:
(a > 1) → função crescente
(0 < a < 1) → função decrescente
Note que para dois valores distintos de x, tem-se imagens
distintas, logo a função exponencial é injetora. Se
definirmos f(x) = a
x
de R em
*
R+ , ela também se torna
sobrejetora, logo ela será bijetora. Assim sendo ela admite
inversa: a função logarítmica f(x) = logax, que será
estudada mais adiante.
Exercícios Resolvidos:
1) Esboçar o gráfico da função f(x) = 2
x
e definir a
imagem dessa função.
Im(f) = {y ∈ R| y > 0}
2) Esboçar o gráfico da função f(x) = 2
x
– 1 e definir a
Im(f) = {y ∈ R| y > - 1}
3) Esboçar o gráfico da função f(x) =
x






2
1 e definir a
Im(f) = {y ∈ R| y > 0}
2) Esboçar o gráfico da função f(x) =
x






3
1
+ 1 e definir
a imagem dessa função.
Im(f) = {y ∈ R| y > 1}

2. Inequação Exponencial
Para resolvermos uma inequação exponencial devemos
respeitar as seguintes propriedades.
• Quando as bases são maiores que 1 (a > 1), a
relação de desigualdade se mantém.
a
f(x)
> a
g(x)
⇔ f(x) > g(x)
• Quando as bases estão compreendidas entre 0 e
1 (0 < a < 1), a relação de desigualdade
se inverte.
a
f(x)
> a
g(x)
⇔ f(x) < g(x)
Exercícios Resolvidos
1) Resolver a inequação: 2
2x − 1
> 2
x + 1
Resolução: Como a base é maior que 1 (a > 1) a
desigualdade se mantém:
2
2x − 1
> 2
x + 1
2x − 1 > x + 1
x > 2
S = { x∈ R| x > 2 }
2) Resolver a inequação: (0,1)
5x − 1
< (0,1)
2x + 8
Resolução: Como a base está entre 0 e 1 (0 < a < 1) a
desigualdade se inverte.
(0,1)
5x − 1
< (0,1)
2x + 8
5x − 1 > 2x + 8
3x > 9
x > 3
S = { x∈ R| x > 3 }
3) Determinar o domínio da função 16
2
1
)( −= 





x
xf
Resolução: Numa função irracional de índice par, devemos
impor a condição de que o radicando tem que ser maior ou
igual a zero, logo:
16
2
1
−





x
≥ 0
16
2
1
≥





x
4
2
1
2
1
−
≥ 











x
→ x ≤ – 4
D = { x∈ R| x ≤ – 4}
EXERCÍCIOS
01) ( PUC – RS – 2010 ) A função exponencial é usada
para representar as frequências das notas musicais.
Dentre os gráficos abaixo, o que melhor representa a
função f ( x ) = e
x
+ 2 é:
a)
b)
c)
d)
e)
02) ( UEL-PR ) A função real definida por f(x) = a
x
, com
a > 0 e a ≠ 1:
a) só assume valores positivos
b) assume valores positivos somente se x > 0
c) assume valores negativos para x < 0
d) é crescente para 0 < a < 1
e) é decrescente para a > 1

03) Dadas f(x) =
1
2






−x
e as proposições:
I) f(x) é crescente
II) f(x) é decrescente
III) f(3) = 8
IV) ( 0,1 ) ∈ f(x)
podemos afirmar que:
a) todas as proposições são verdadeiras
b) somente II é falsa
c) todas são falsas
d) II e III são falsas
e) somente III e IV são verdadeiras
04) Resolva, em R, as inequações a seguir:
a) 2
2x − 1
> 2
x + 1
b) (0,1)
5x − 1
< (0,1)
2x + 8
c)
31
4
7
4
7
2






<





−x
05) ( OSEC-SP ) O domínio da função de definida por
y =
243
3
1
1
−





x
, é:
06) ( UFSM ) Num raio de x km, marcado a partir de uma
escola de periferia, o Sr. Jones constatou que o
número de famílias que recebem menos de 4 salários
mínimos é dado por N(x) = k.2
2x
, em que k é uma
constante e x > 0. Se há 6 144 famílias nessa situação
num raio de 5km da escola, o número que você
encontraria delas, num raio de 2km da escola, seria:

07) ( UFPR – 09 ) Em estudos realizados numa área de
proteção ambiental, biólogos constataram que o
número N de indivíduos de certa espécie primata está
crescendo em função do tempo t (dado em anos),
segundo a expressão:
t
tN
1,0
2.35
600
)(
−
+
=
Supondo que o instante t = 0 corresponda ao início
desse estudo e que essa expressão continue sendo
válida com o passar dos anos, considere as seguintes
afirmativas:
1. O número de primatas dessa espécie presentes na
reserva no início do estudo era de 75 indivíduos.
2. Vinte anos após o início desse estudo, o número de
primatas dessa espécie será superior a 110
indivíduos.
3. A população dessa espécie nunca ultrapassará 120
indivíduos.
Assinale a alternativa correta.
a) Somente a afirmativa 1 é verdadeira.
b) Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras.
c) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras.
d) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras.
e) As afirmativas 1, 2 e 3 são verdadeiras.
08) Determine o domínio da função
7
5
)4,1()( 52
−= −x
xf
09) ( UEPG-PR ) Assinale o que for correto.
01. A função f(x) = a
x
, 1 < a < 0 e x ∈ R, intercepta o
eixo das abscissas no ponto (1,0)
02. A solução da equação 2
x
.3
x
=
3
36 pertence ao
intervalo [0, 1]
04. Dada a função f(x) = 4
x
, então D = R e Im =
*
+R
08. A função f(x) = ( )x
2 é crescente
16. ba
ba
<⇒> 











2
1
2
1
10) ( UDESC-05 ) O conjunto solução da desigualdade
122 2
2
1
ln
2
1
ln
−+






<





xx
é:
a) S = {x ∈ R tal que – 1 < x < 3}
b) S = {x ∈ R tal que – 1 ≤ x ≤ 3}
c) S = {x ∈ R tal que x < – 1 ou 3 < x }
d) S = {x ∈ R tal que – 3 < x < 1}
e) S = {x ∈ R tal que 1 < x < 3}

11) Seja f = R
*
em R, onde f(x) = 2
1
x
. O conjunto dos
valores de x para os quais f(x) <
1
8
12) ( UEL-PR ) O crescimento de uma colônia de bactérias
é descrito por P(t) = α.4λ t
onde t ≥ 0 é o tempo, dado
em horas, e P(t) é a população de bactérias no
instante t. Se, após 4 horas, a população inicial da
colônia triplicou, após 8 horas o número de bactérias
da colônia será:
a) 6 α
b) 8 α
c) 9 α
d) 8 α − 4
e) α + 8
13) ( UEPG-PR ) Dadas as funções definidas por
f(x) =
x






5
4
e g(x) =
x






4
5
, é correto afirmar que:
01. os gráficos de f(x) e g(x) não se interceptam
02. f(x) é crescente e g(x) é decrescente
04. g(-2).f(-1) = f(1)
08. f(g(0)) = f(1)
16. f(-1) + g(1) =
2
5
14) ( UERJ ) A inflação anual de um país decresceu no
período de 7 anos. Esse fenômeno pode ser
representadopor uma função exponencial do tipo
f (x) = ab
x
, conforme o gráfico a seguir. Determine a
taxa de inflação desse país no 4°ano de declínio.

15) Um grande lago está sendo infestado por algas. A área
do lago afetada pelas algas cresce exponencialmente
de acordo com a função f(x) = 10.2
x
, na qual x é o
tempo em meses após a observação inicial e f
representa a área em metros quadrados.
a) Qual a área, em metros quadrados, afetada pelas
algas após dois meses?
b) Em quantos meses a área afetada pelas algas
será de 320 m
2
16) ( ACAFE – 2010.2 ) O número de bactérias de uma
cultura, t horas após o início de um experimento, é
dado por: B(t) = BO . 2
2t
em que BO é o número de
bactérias quando t = 0 . Sabendo que após 2 horas do
início do experimento havia 19200 bactérias na
cultura, o valor de BO é igual a:
a) 4800
b) 19200
c) 2400
d) 1200
17) Para que valores de x a desigualdade e
x
> x é
verdadeira?
18) ( ACAFE – 2011 ) A Curva de Aprendizagem é um
conceito criado por psicólogos que constataram a
relação existente entre a eficiência de um indivíduo e a
quantidade de treinamento ou experiência possuída por
este indivíduo. Um exemplo de Curva de Aprendizagem
é dado pela expressão Q =1512 − 2
−0,5t +16
em que:
Q = quantidade de peças produzidas mensalmente
por um funcionário.
T = meses de experiência.
Em quantos meses um funcionário produzirá 1000
peças mensalmente?
a) 14 meses
b) 12 meses
c) 16 meses
d) 13 meses

19) Suponha que o número de indivíduos de uma
determinada população seja dado pela função:
f(t) = a . 2
-bt
onde a variável t é dada em anos e a e b
são constantes. Sabe-se que a população inicial (t =
0) é igual a 1024 indivíduos e a população após 10
anos é a metade da população inicial. Com base no
exposto, determine a soma dos números associados
às proposições VERDADEIRAS:
01. a constante a vale 512.
02. a constante b vale 0,1.
04. o tempo mínimo para que a população se reduza
a 1/8 da população inicial é 30 anos.
08. o gráfico da função f(t) para t ∈[0, 40] está
indicado pela figura abaixo
20) ( UFSM – 2010 ) O gráfico a seguir retrata o
comportamento da evolução das populações rural e
urbana no Brasil. Se for considerado o tempo t = 0 (t é
dado em anos) iniciando em 1970, como sugere o
gráfico, pode-se obter um modelo matemático
aproximado que calcula a diferença, em milhões de
habitantes, entre a população urbana e a rural em
relação ao tempo, diferença essa dada pela fórmula
d(t) = 150 – a.3
bt
onde a,b são constantes reais a
serem determinadas.
Baseando-se nos valores do gráfico, pode-se
afirmar que a diferença entre a população
urbana e a rural em 2030 será,
aproximadamente, de:
a) 113 milhões.
b) 118 milhões.
c) 123 milhões.
d) 128 milhões.
e) 133 milhões.
GABARITO - FUNÇÃO EXPONENCIAL
1) a 2) a 3) b 4 ) a) S = { x∈ R| x > 2 }
b) S = { x∈ R| x > 3 } c) S = { x∈ R| - 2 < x < 2 }
5) ( −∞, −5 [ 6) 96 7) c
8) {x ∈ℜ| x ≤ - 2 ou x ≥ 2} 9) 30 10) a 11) ] -1/3, 0 [
12) c 13) 28 14) 60% 15) a) 40m2
b) 5 meses
16) d 17) ℜ 18) a 19) 14 20) e

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