Considerações sobre a aprendizagem da equação do 2° grau completa

CONSIDERAÇÕES SOBRE O ENSINO APRENDIZAGEM DA EQUAÇÃO
DO 2° GRAU, NO ENSINO FUNDAMENTAL
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PONTA GROSSA
2001

EVA APARECIDA CARVALHO E SILVA
CONSIDERAÇÕES SOBRE O ENSINO APRENDIZAGEM DA EQUAÇÃO
DO 2° GRAU, NO ENSINO FUNDAMENTAL
Monografia apresentada para obtenção do
Título de Especialista no Curso de Pós-
Graduação em Matemãtica: Dimensões Teórico-
Metodológicas, da UNIVERSIDADE ESTADUAL
DE PONTA GROSSA.
Professora Orientadora: Ms Joseli Almeida
Camargo
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PONTA GROSSA
2001

AGRADECIMENTOS
A Deus,
que com seu Santo Espírito,
iluminou a minha mente, para que eu pudesse concluir
esse trabalho.
A todos os professores do curso de especialização,
que contribuíram de alguma maneira,
para ampliar os meus conhecimentos.
Ao ProF Celso Chagas, diretor do Colégio Estadual 31 de Março,
e a assistente administrativa Carmem Lúcia,
que contribuíram com a parte bibliográfica.
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À Prof" Ms Joseli, que aceitou ser minha orientadora,
procurando sempre me incentivar
e conduzindo a orientação com muita dedicação.
Aos meus pais, filhos, esposo e minha amiga Neide,
que sempre me deram apoio,
para vencer todos os obstáculos,
que encontrei no decorrer deste trabalho.
A todos, meus sinceros agradecimentos!
11
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RESUMO
Esta pesquisa realizou-se a partir de fatos históricos sobre o surgimento da Equação
do 2° Grau, abordando as maneiras utilizadas por alguns povos para a sua resolução,
chegando a forma dos tempos atuais. Apresentou-se uma análise de como se
desenvolve o conteúdo da Equação do 2° Grau em livros didáticos da década de 50 a
década de 90. Verificou-se nestas análises que os autores quase não diferem na
introdução da equação, e que a mesma é apresentada na maioria dos livros sempre
seguindo um mesmo roteiro, ou seja, iniciam com uma definição de Equação do 2°
Grau, seguidas das equações completas, as incompletas e a dedução da fórmula, isto
sempre acompanhadas de alguns exercícios resolvidos e outros propostos, sendo
que os problemas são apresentados apenas no término do conteúdo. Após estas
reflexões fez-se uma proposta da utilização do Material Dourado, como sugestão
didática para uma melhor compreensão da resolução de uma Equação do 2° Grau.
111

SUMÁRIO
Resumo iii
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Introdução 01
CAPíTULO 1- REVISITANDO A HISTÓRIA 04
1.1 - Alguns Fatos Históricos Importantes da Equação do 2° Grau 07
1.1.1 - O Surgimento do Zero 12
1.1.2 - O Zero na Equação do 2° Grau 15
1.2 - A Primeira Fórmula Resolutiva da Equação do 2° Grau 17
CAPíTULO 11- OS LIVROS DIDÁTICOS NO CONTEXTO DA SALA DE AUlA. 27
2.1 - Apresentação da Equação do 2° Grau em Livros Didáticos 27
2.1.1- Análise Bibliográfica de Livros que desenvolvem o Tópico de
Equação do 2° Grau 28
2.2. - Análise do Material Proposto 36
CAPíTULO 111- O MATERIAL DOURADO 38
3.1 - Utilização do Material Dourado na Resolução e Compreensão da Equação do
2° Grau 39
Considerações Finais 55
Referências Bibliográficas 57
Anexos ; 60
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IV

INTRODIJÇÃO
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No enfoque tradicional a matemática é desenvolvida a partir de definições,
seguidos de exercícios de fixação, pressupondo assim que o aluno aprende através
da repetição, ZANKOV apud RABELO diz com relação ao ensino tradicional: liA
curiosidade da criança não é satisfeita, a ênfase básica está na memória em
detrimento do raciocínio, e há pouca ou não há motivação interna para se aprender. A
padronização simplificada do processo de estudo impossibilita a manifestação e o
desenvolvimento da individualidade." (1996, p. 54)
A matemática da escola geralmente preocupa-se em formalizar conteúdos,
quase sempre sem levar em consideração os conhecimentos que os alunos já
possuem. Tornando-se assim uma disciplina desvinculada da realidade onde os
alunos vivem.
A criança traz consigo uma curiosidade que na maioria das vezes é
desconsiderada pela escola, fazendo com que ela perca o interesse e não
compreenda a relação existente entre os conteúdos escolares. Portanto o ensino da
matemática deve ser repensado e reformulado deixando de lado aquele ensino
centralizado em procedimentos mecanizados sem significados para o aluno.
Pensando nisso deve-se buscar novas metodologias entre outros
procedimentos para atingir a formação de cidadãos críticos e participativos, os quais a
sociedade cada vez mais vem exigindo, por isso a escola deve adotar como objetivo,
estimular nos alunos uma consciência crítica. De acordo com os Parâmetros
Curriculares Nacionais:
o papel fundamental da educação no desenvolvimento das pessoas e das sociedades
amplia-se ainda mais no despertar do novo milênio e aponta para necessidade de se construir
uma escola voltada para formação de cidadãos. Vivemos numa era marcada pela competição
e pela excelência, em que progressos científicos e avanços tecnológicos definem exigências
novas para os jovens que ingressaram no mundo do trabalho. Tal demanda impõe uma
revisão dos currículos, que orientam o trabalho cotidianamente realizado pelos professores
especialista em educação do nosso país. (1998, p. 5)
Refletindo sobre estas questões, esta pesquisa enfoca um conteúdo relevante
no Ensino Fundamental, tendo, portanto como proposta, refletir sobre as dificuldades
que o aluno apresenta no desenvolvimento da Equação do 2° Grau, levando em

2
r
consideração que a matemática não deve ser apenas memorizada, mas sim
compreendida.
Geralmente para resolver uma Equação do 2° Grau é apresentada a fórmula
de Bhaskara, seus termos e alguns exemplos, assim o aluno simplesmente memoriza
a maneira de resolvê-Ia. Mas além de apresentar a fórmula deve-se tornar o ensino-
aprendizagem da Equação do 2° Grau mais significativo no Ensino Fundamental. E
isto depende do docente verificar a alternativa metodológica mais adequada a seus
alunos procurando uma maneira para que os mesmos compreendam essas equações.
Repensando esta forma de tratamento ao desenvolver a Equação do 2° Grau,
propõe-se o uso do material dourado como uma alternativa no ensino destas
equações, pois torna o assunto mais atrativo e permite a melhor visualização por parte
do aluno, além de que, através do mesmo pode-se trabalhar outros conteúdos, como
por exemplo, os produtos notáveis.
Os Objetivos que se buscou atingir com esta pesquisa foram:
Resgatar historicamente a abordagem da equação do 2° Grau; analisar qual o
tratamento dado a Equação do 2° Grau pelos livros didáticos do Ensino Fundamental
nas décadas de 50 a 90 e apresentar a utilização do material dourado como
alternativa eficiente na compreensão da Equação do 2° Grau no Ensino Fundamental.
Partimos do pressuposto que o professor limita-se em apresentar a fórmula
de Bhaskara sem proporcionar aos discentes condições de compreensão do raciocínio
envolvido na resolução de uma Equação do 2° Grau, sendo que o resgate histórico
facilita a elaboração do raciocínio e da resolução e a representação geométrica,
quando bem encaminhada garante a compreensão da Equação do 2° Grau.
Partindo de tais reflexões no primeiro capítulo realizou-se um levantamento
bibliográfico, fazendo um resgate histórico sobre a Equação do 2° Grau, utilizando
alguns livros sobre História da Matemática e trabalhos acadêmicos voltados a esta
problemática.
No segundo capítulo fez-se uma análise dos procedimentos apresentados na
abordagem da Equação do 2° Grau em livros didáticos representantes das décadas de
50 a 90, onde foram analisados alguns livros, escolhidos aleatoriamente. No terceiro
capítulo levantou-se algumas propostas alternativas para a resolução da Equação do
2° Grau, priorizando a interpretação geométrica através do uso do Material Dourado

3
apontando-o como uma boa alternativa na compreensão da resolução dessas
equações no Ensino Fundamental.
O presente trabalho é uma pesquisa descritiva, denominada estudo de caso,
por se tratar de informações pesquisadas sobre a Equação do 2° Grau, pois como cita
TRIVINOS: "a complexidade do estudo de caso está determinada pelos suportes
teóricos que servem de orientação em seu trabalho ao investigador." (1987, p. 134).
Portanto esta pesquisa parte dos conhecimentos existentes sobre o conteúdo
examinado, chegando a análise de alternativas metodológicas para se trabalhar a
Equação do 2° Grau, sendo que uma das alternativas é o uso do Material Dourado.
Este trabalho desenvolver-se-á através de pesquisas bibliográficas, análise
de livros didáticos e utilização do Material Dourado no desenvolvimento da Equação
do 2° Grau no Ensino Fundamental.

4
CAPíTULO I
REVISITANDO A HISTÓRIA
A história da matemática, como um recurso metodológico na educação
matemática, pode contribuir muito no processo de ensino-aprendizagem dessa
disciplina.
Ao mostrar a necessidade do surgimento da matemática no contexto
histórico de diferentes culturas pode-se desenvolver no aluno o interesse pelos
valores e atitudes diante do conhecimento matemático. Segundo os Parâmetros
Curriculares Nacionais os "conceitos abordados em conexão com a história
constituem veículos de informação cultural, sociológica e antropológica de grande
valor formativo. A história da matemática é, nesse sentido, um instrumento de resgate
da própria identidade cultural." (1998, p.42)
A partir do momento que o aluno consegue perceber a importância dos
temas matemáticos surgidos pela necessidade de cada cultura e que nada na
matemática foi criado em vão, ele então poderá passar a sentir um maior interesse
em adquirir esses conhecimentos. Embora exista uma curiosidade dos alunos sobre o
surgimento dos temas de matemática estudados, nem sempre essa curiosidade é
sanada, pois existe uma falta de conhecimento dos fatos históricos desses conteúdos
e os alunos ficam esperando por esse esclarecimento a cada ano que passa. Os
anos se sucedem e a curiosidade nem sempre é satisfeita.
Em um de seus artigos MIGUEL, nos apresenta alguns argumentos
levantados por apologistas que tentam reforçar as potencial idades pedagógicas da
história da matemática.
Os argumentos mostrados nesse artigo são os seguintes:
1° - A história é uma fonte de motivação para o ensino aprendizagem da
Matemática;
2° - A história constitui-se numa fonte de objetivos para o ensino da
Matemática;
3° - A história constitui-se numa fonte de métodos adequados de ensino da
Matemática;

5
4° - A história é uma fonte para a seleção de problemas práticos, curiosos,
informativos e recreativos a serem incorporados nas aulas de matemática;
5° - A história é um instrumento que possibilita a desmistificação da
matemática e a desalienação de seu ensino;
6° - A história constitui-se num instrumento de [ormalização de conceitos
matemáticos;
7° - A história é um instrumento de promoção do pensamento independente e
crítico;
8° - A história é um instrumento unificador dos vários campos da matemática;
9° - A história é um instrumento promotor de atitudes e valores;
10° A história constitui-se num instrumento de conscientlzação
epistemológica;
11° - A história é um instrumento que pode promover a aprendizagem
significativa e compreensiva da Matemática. (1997, p.75-94)
Com relação, a utilização da história como motivação, os defensores deste
argumento acreditam que a história desperta o interesse do aluno pelo conteúdo
ensinado, apesar de que a maioria dos professores de história não tem a mesma
visão, pois sentem muitas dificuldades ao resgatar a importância dos fatos históricos
para seus alunos. Segundo MIGUEL: "Um argumento mais especializado contra esse
suposto potencial motivador da história pode ser buscado no terreno da psicologia,
particularmente em uma de suas áreas específicas que tem por objetivo de estudo a
motivação." (1997, p.76)
Os matemáticos que defendem a busca de métodos pedagógicos adequados
na história da matemática acreditam que tais métodos podem auxiliar na abordagem
de alguns conteúdos, como por exemplo, a resolução de equações, de sistema de
equações, determinação da área de um círculo, etc. Pois, segundo MIGUEL, "o ponto
de vista de que a história constitui uma fonte de métodos adequados para a
abordagem pedagógica de certos campos ou tópicos matemáticos já era defendido
pelo menos desde o século XVIII." (1997, p.78)
No argumento em que é defendida a colocação de problemas históricos,
acredita-se que revendo a maneira de como eles eram resolvidos, pode-se despertar
o interesse do aluno através das diferentes soluções apresentadas no passado. E

6
que, para SWETZ (1989) apud MIGUEL, os problemas históricos são motivadores
pelos seguintes fatos:
1) Possibilitam o esclarecimento e o reforço de muitos conceitos que
estão sendo ensinados;
2) Constituem-se em veículos de informação cultural e sociológica;
refletem as preocupações práticas ou teóricas das diferentes
culturas em diferentes momentos históricos;
3) Constituem-se em meio de aferimento da habilidade matemática de
nossos antepassados;
4) Permitem mostrar a existência de uma analogia ou continuidade
entre os conceitos e processos matemáticos do passado e do
presente. (1997, p.81-82)
Com relação ao argumento, onde os matemáticos defendem a história como
um instrumento para promover a aprendizagem significativa e compreensiva da
matemática, MIGUEL cita que ZÚNIGA (1988 p.34) defende este ponto de vista nos
seguintes termos:
a participação da história dos conteúdos matemáticos com recurso didático não só serve
como elemento de motivação, mas também como fator de melhor esclarecimento do sentido
dos conceitos e das teorias estudadas. Não se trata de fazer uma referência histórica de
duas linhas ao iniciar um capítulo, mas de realmente usar a ordem histórica da construção
matemática para facilitar uma melhor assimilação durante a reconstrução teórica. Isso é
central. Os conceitos e noções da matemática tiveram uma ordem de construção histórica.
Esse decurso concreto põe em evidência os obstáculos que surgiram em sua edificação e
compreensão. Ao recriar teoricamente esse processo (obviamente adaptado ao estado atual
do conhecimento) é possível revelar seu sentido e seus limites. A história deveria servir,
então, como instrumento mais adequado para a estru-turação do delineamento mesmo da
exposição dos conceitos(. ..) Com isso não se quer dizer que se deve reproduzir
mecanicamente a ordem de aparição histórica dos conceitos matemáticos; sem dúvida,
todas as ciências possuem certa lógica inter-na que se dá a partir de sínteses teóricas
importantes e que se deve assimilar no ensino-aprendizagem. Só se coloca a necessidade
de buscar o equilíbrio verdadeiramente dialético entre essa lógica interna e a história de sua
evolução conceptual, enfatizando a importância do segundo. (1997, p.90-91 )
Os matemáticos constituem a este argumento a construção do conhecimento
do aluno através da história, facilitando assim a compreensão dos conteúdos
matemáticos.
Pensando nestas evidências, este trabalho será iniciado com os fatos que
levaram o homem a descobrir a Equação do 2° Grau, mas antes de abordarmos
-

7
,-- sobre a história da Equação, veremos no texto a seguir, um relato citado por
FRAGOSO sobre um aluno da 88
série, de uma determinada escola e que fez as
seguintes perguntas a seu professor de Matemática:
Como surgiu a Equação do 2° Grau?
Como descobriram a fórmula de Bháskara?
Obteve como resposta:
Sinceramente eu não sei, mas no 2° Grau você obterá a resposta que
deseja.
No ano posterior, já na 1a série do 2° Grau, todo entusiasmado,
novamente as perguntas foram feitas ao seu novo professor de Matemática, e
a resposta obtida foi:
Não sei! Mas se você continuar seus estudos em Matemática com
certeza encontrará as respostas que deseja, caso contrário, isto não terá a
mínima importância, além do que, não é matéria de prova.
Depois de ter concluído o 2° Grau, resolveu prestar exames para o
curso de Matemática e, por obra do destino, e de seus esforços, ingressou no
curso de Licenciatura; assim que teve contato com alguns professores fez as
perguntas que o acompanham a tantos anos obtendo a devastadora resposta:
Você deveria ter aprendido isso lá no primeiro grau! (2000, p.57)
Analisando este texto, percebe-se que o mesmo talvez contenha um pouco
de exagero, mas será que todos os professores de Matemática iriam conseguir
responder as perguntas feitas por esse aluno?
Então, pensando neste texto, e mais ainda, tentando sanar algumas dúvidas
que muitos possam ter, será feita uma abordagem histórica sobre a Equação do
segundo grau.
1.1 - ALGUNS FATOS HISTÓRICOS IMPORTANTES DA EQUAÇÃO DO 2° GRAU
Segundo alguns historiadores, como BOYER(1974), GARBI(1997) e EVES
(1997), há aproximadamente 4000 anos, na antiga Babilônia, os aprendizes de

8
escriba freqüentavam as escolas do amanhecer ao por do sol, e durante 10 anos
aprendiam a escrever cerca de 700 sinais e a efetuar cálculos matemáticos, pois
nessa época já havia um grande interesse pela Matemática.
Cabia aos escribas o ensino dessa disciplina e a seus aprendizes resolver
quebra-cabeças e participar de competições públicas.
Resolviam também problemas envolvendo cálculos que eram escritos em
forma de textos e suas resoluções eram feitas através de tentativas. Hoje em dia nós
conhecemos esses problemas como a Equação do 2° Grau.
Ao longo dos séculos foram se aperfeiçoando as escritas da Equação do 2°
Grau, bem como, foram aparecendo vários métodos para sua resolução.
Mas vejamos como isso aconteceu desde o Egito antigo, até chegarmos nos
dias atuais.
Com relação ao Egito, os pesquisadores e historiadores matemáticos não
encontraram registros do tratamento da Equação Polinomial do 2° Grau, mas
acredita-se que essa civilização desenvolveu alguma técnica de resolução, pois foi
encontrada no papiro de Kahun 1
, a resolução pelo método da falsa posição da
Equação do 2° Grau da forma x?- + l = k, sendo k um número positivo. Segundo
EVES, um dos problemas encontrado em Kahum, por volta de 1950 a.C. é o seguinte:
"Uma dada superfície de 100 unidades de área deve ser representada como a soma de dois
quadrados cujos lados estão entre si como 1:3/4". Nesse caso temos x? + l = 100 e x =
3y/4. A eliminação de x fornece uma equação quadrática em y. Podemos, porém, resolver o
problema por falsa posição. Para isso tomemos y = 4. Então x = 3 e x2
+ l = 25 em vez de
100 Por conseguinte devemos fazer a correção de x e y dobrando os valores iniciais, o que
dáx=6ey=8 (1997, p.74)
Essa regra da falsa posição consistia em dar um valor falso para y, como
nesse exemplo foi dado o 4 e encontrou-se o valor de x. Mas como a soma do
quadrado de x mais o quadrado de y (32
+ 42
) é igual a 25, e não 100, precisa-se
dobrar esses valores para obter o resultado de 100 unidades de área. Portanto os
valores de x e y só podem ser 6 e 8.
I Kahun: Segundo EVES é um documento matemático do antigo Egito, que continha problemas. Esse material era
feito de um junco aquático chamado papu. Os talos desse junco eram cortados em longas e delgadas tiras que eram
colocadas lado a lado para formar uma folha. Outra camada de tiras era colocada por cima e a peça era então
embebida em água, após o que era imprensada e posta a secar ao sol. É provável que devido a uma goma natural
da planta as camadas mantivessem-se unidas. Após a secagem as folhas eram preparadas para a escrita mediante
um laborioso processo de alisamento feito com um objeto redondo e rígido. (1997, p.38)

9
r:
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Na Mesopotâmia, o primeiro registro foi encontrado em uma tábula de argila,
realizada por um escriba, aproximadamente em 1700 a.C., embora a forma e a
resolução retóricas, eram consideradas como uma "receita matemática". Um exemplo
de problema citado por BOYER é o seguinte: "Pede o lado de um quadrado se a área
menos o iado dá 14,30. A solução desse problema, equivalente a resolver x? - x =
870 é expressa assim: Tome a metade de 1, que é 0:30, e multiplique 0,30 por 0;30 o
que dá 0;15; some isto a 14,30, o que dá 14,30;15. Isto é o quadrado de 29;30. Agora
somo 0;30 a 29;30 e o resultado é 30, o lado do quadrado." (1974, p.23)
Segundo FRAGOSO, para resolvermos x?- - x = 870 procede-se da seguinte
maneira: "Receita: Tome a metade de um (coeficiente de x), que é 0,5, e multiplique
0,5 por ele mesmo, o que dá 0,25. Some o resultado a 870 (termo independente), o
que dá 870,25. Isto é, na verdade o quadrado de 29,5 que, somado à metade de um,
vai dar o lado do quadrado, que é igual a 30" (2000, p.58).
Com relação à Grécia acredita-se que a dificuldade com o tratamento dos
números racionais e irracionais, a falta de praticidade do sistema de numeração
grego, que era literal e o gosto natural pela Geometria, levaram essa civilização a
resolver problemas matemáticos geometricamente, mas com apenas uma raiz
positiva. Pois segundo GARBI, "O domínio que os gregos tiveram sobre a Geometria
permitiu-Ihes resolver alguns tipos de equações do segundo grau apenas com régua
e compasso". (1997, p.20)
Uma das equações utilizadas era x?- - ax + b2
= O, onde FRAGOSO cita
EVES (1995, p.111) que para esse tipo de equação a resolução obedecia ao seguinte
procedimento:
Traçamos o segmento AS = a, por P ponto médio de AS, levantamos o segmento
perpendicular PE = b(raiz quadrada de b2
) e, com centro em E e raio PS, traçamos um arco
de circunferência que intercepte AS no ponto Q. A raiz desejada será dada pelo valor do
segmento AQ.
r:
r
E
EQ = PS
P
...:f---a/2 ~ a ----'-----l.~:,,:
.••••• x ~;
r

10
A raiz positiva encontrada pelos gregos por meio desse processo seria X1 = AQ. Atualmente,
sabemos que, o segmento QB fornece o valor da outra raiz, ou seja X2 = QB. (2000, p.58)
A matemática na índia teve grande ênfase, pois foi dentre os hindus, que
destacaram-se grandes personagens, os quais serão citados no decorrer deste
trabalho. Esses personagens talvez tenham se sobressaído porque desde a índia
Antiga havia um passatempo matemático entre os hindus muito popular que era a
solução de quebra-cabeças em competições públicas, onde um competidor propunha
problemas para o outro resolver.
Esses problemas eram em forma de um texto básico, chamado sutra, o qual
o professor repetia várias vezes, até que os alunos decorassem. Esses sutras eram
constituídos de ditos populares, feitos em forma de versos parecidos com este em
que GUELLI relata:
Alegravam-se os macacos
Divididos em dois bandos:
Sua oitava parte ao quadrado
No bosque brincava.
Com alegres gritos, doze
Gritando no campo estão.
Sabes quantos macacos há
Na manada total?
Hoje, podemos traduzir este quebra cabeça para o idioma da Álgebra,
a equação. Pois:
Alegravam-se os macacos divididos em dois bandos: x
Sua oitava parte ao quadrado no bosque brincava: (xIB)2
Com alegres gritos, doze gritando no campo estão 72
Sabes quantos macacos há na manada total? x = (xIB! + 72
Desenvolvendo a equação temos:

11
x
+ 72x=
64
64x = x2
+ 64. 72
64x = x' + 768
x' - 64x + 768 = O (1992, p.7-8)
r
Equações como essas representadas por palavras, embora não usassem
números e fórmulas eram resolvidas por muitos matemáticos hindus.
Embora os árabes, junto com outros povos, tenham sido responsáveis pela
destruição do conhecimento ocidental devido ao incêndio do Museu de Alexandria em
641 d.e., também foram responsáveis pela preservação devido a históricos califas,
pois estes foram responsáveis pela tradução de importantes escritos científicos. Entre
eles destaca-se "O Almagesto" de Ptolomeu e "Os Elementos" de Euclides.
"Os Elementos" é uma obra composta por treze livros, sendo dois deles
dedicados à Álgebra. Porém essa álgebra euclidiana era diferente da que usamos
hoje, pois nela Euclides representava quantidades desconhecidas por segmentos de
retas, quadrados, retângulos e figuras geométricas em geral.
Ao longo dos séculos foram se aperfeiçoando as escritas da Equação do 2°
Grau, bem como foram aparecendo vários métodos para sua resolução, e a invenção
do zero na índia no século VI trouxe um enorme avanço para a matemática. Pois
enquanto o zero ainda não era conhecido, as Equações do 2° Grau tinham somente
uma resposta. Em Bagdá, no século IX, foi fundado um centro científico parecido com
o Museu de Alexandria, onde apareceram vários matemáticos e entre eles destacou-
se Mohamed ibu-Musa AI-Khowârizmí' que toma conhecimento dos avanços
conseguidos na índia, e estabelece um processo para resolver problemas das
Equações do 2° Grau.
Escreve um livro sobre a arte hindu de calcular explicando como eram feitos
os cálculos com aqueles "dez cálculos maravilhosos" (os algarismos), pois GARBI
cita que: "AI-Khowârizmi escrevia com grande preocupação em tornar-se
compreensível por seus leitores. Procurando simplificar a simbologia, trouxe da índia
o sistema de numeração decimal utilizado até hoje, cujos elementos fundamentais

12
são os algarismos de zero a nove e seu valor em função da posição ocupada no
número". (1997, p.22)
A partir daí, o zero incorporou-se definitivamente no mundo da matemática,
e a forma de calcular dos homens sofreu uma radical transformação.
1.1.1 - O Surgimento do Zero
Conforme os historiadores, BOYER e EVES os números surgiram da
necessidade dos homens de registrar as contagens, feitas através das comparações.
Segundo matemáticos como BONGIOVANNI, VISSOTO e LAUREANO:
Para saber, por exemplo, se o seu rebanhotinha aumentadoou diminuído,os homens
primitivosprocediamassim:pela manhã,quandosuasovelhasiam pastar,separavamuma
pedrinhapara cada ovelha. A tarde, procediamda forma inversa,retirandodo monteuma
pedrinha para cada ovelha que recolhiam. Sobrando pedras, faltavam ovelhas. Não
sobrando, ficava estabelecida uma correspondênciaum a um entre as ovelhas e as
pedras.(1997, p.9)
Com o passar dos tempos houve a necessidade de se agrupar as ovelhas
em conjuntos para comparar com as pedras, e esse agrupamento deu origem ao
sistema de numeração. Os números começaram então a ser representados por
símbolos. E essa simbologia estava adaptada as diversas nações, mas ainda não era
suficiente para poder representar as quantias que surgiam, pois a cada mudança de
valores teria que ser inventado um novo símbolo.
Foi então que se fez necessário o surgimento de um símbolo que
representasse a mudança de base e alterasse o valor posicional dos números. Algo
que pudesse representar uma casa vazia, pois segundo BOYER: "os nove símbolos
numéricos já estavam em uso havia algum tempo ... em notação decimal posicional"
(1974,p.155), mas não havia uma representação para o zero.
Segundo VOMERO, esse sistema posicional facilitou os cálculos babilônios,
porém havia números que apresentavam uma posição vazia, como por exemplo, o
401, pois depois do 4, não existe número na casa das dezenas, e se essa ausência
não fosse indicada com o zero, o número 401 se tornaria 41. Sem a existência do
zero os babilônios deixavam um espaço vazio para separar os números, com isso
indicavam que naquela coluna não havia nenhum algarismo, portanto o número 401

13
ficaria representado 4_1. Segundo UBIRATAN apud VOMERO: "Os babilônios
tentaram representar graficamente o nada mostrando o abstrato de uma forma
concreta." (2001, p.57)
Com relação aos hindus, esses contavam inicialmente através de sulcos/
feitos na areia, onde eram colocadas pedras para representar as quantias. Segundo
SILVA:
Cada sulco representava uma ordem. Assim, o primeiro, as unidades;
o segundo as dezenas; o terceiro as centenas ...etc.
Cada pedrinha colocada num sulco corresponde à unidade de ordem
do sulco. Assim, uma pedrinha no segundo sulco vale uma unidade de
segunda ordem, ou seja, dez unidades simples.
CENTENA DEZENA UNIDADE
pedras
sulcos feitos na areia
ÁBACO NA AREIA
Então, no ábaco desenhado na figura anterior temos o número 23, ou
seja, 2 dezenas mais 3 unidades.
No ábaco a seguir temos um número 301, que é igual a 3 centenas mais uma
unidade.
2 Sulcos, segundo o dicionário Aurélio, é ruga, prega. (1986, p. 1627) (buraco feito na areia)

14
REPRESENTANDO O N° 301 NO ÁBACO
3 o 1
Observe-se que o sulco vazio do ábaco foi representado pelo símbolo
O (zero). E foi exatamente este o procedimento dos hindus. Para representar a
coluna vazia do ábaco, eles introduziram um símbolo, que chamaram de
Sunya3
.(1969, p.21)
Portanto, segundo esses historiadores, foi dessa maneira que surgiram as
primeiras representações para o zero.
A invenção do zero encontrou uma certa resistência segundo VOMERO, pois
tornaria os cálculos simplificados e naquela época não havia interesse em popularizar
a matemática, pois "os matemáticos da época achavam que popularizar o cálculo era
o mesmo que jogar pérolas aos porcos, e isso causaria uma revolução." (2001, p.57)
Hoje em dia o zero faz parte da nossa vida, e embora ele não signifique
nada, quando está à esquerda do algarismo, já à direita muda totalmente o valor de
um número. Por isso ouvimos muitas vezes a expressão: "zero à esquerda" para
desmerecer alguma coisa ou alguém, mas com certeza essa mesma pessoa gostaria
de obter alguns zeros à direita no seu salário.
3 Segundo EVES: "a palavra zero provavelmente provém da forma latinizada zephirum derivada de sifr que é uma
tradução para o árabe sunya, que em hindu significa "vazio" ou "vácuo". "(1997, p. 41)

15
1.1.2 - O Zero na Equação do 2° Grau
Com o surgimento do zero, a matemática teve um enorme avanço, pois
algumas equações como esta: x? = 2x, passaram a ser calculadas corretamente,
mesmo sendo expressas através de palavras, e segundo GUELLI, era resolvida da
seguinte maneira:
Primeiro os matemáticos subtraiam 2x dos dois membros da equação:
x=- 2x = 2x -2x
x 2_ 2X = O
Depois fatoravam a expressão do primeiro membro:
x.(x-2) = O
Se o produto de dois números é zero, então um dos fatores é igual a
zero, ou os dois simultaneamente são iguais a zero:
x=O x-2 =0 x=2
Logo a resposta é O ou 2.
Esses dois tipos de equação do 2° Grau eram facilmente resolvidas
pelos matemáticos de todo o mundo, através de duas propriedades dos
numeras:
1°)A operação inversa da potenciaçâo é a radicioção;
2°) Se bc = O então b = O ou c = O (1992, p.15)
Os anos foram passando e as tentativas para as resoluções das equações
foram continuando. Em 1303 na China, o matemático Chus Shih-chieh, apresentou
uma técnica especial para a resolução da Equação do 2° Grau, a qual era
solucionada através de aproximações sucessivas, foi denominada como método fan-
fan ou fan-fa e também apresentava uma única raiz positiva com o valor aproximado.
Segundo FRAGOSO, o método fan-fa consistia no seguinte:
Ao solucionarem a equação da forma x2
+ 252x - 5292 = O,procediam
da seguinte maneira:

16
x2
+ 252x = 5292
x,= 79 + x
" solução aproximada"
(79 = x Y + 252 (79 + x) = 5292
"substituíam o valor de x, da incógnita x da equação original"
367 + 38x + x2
+ 4788 + 252x = 5292
x2
+ 290x = 743
x'=79+ 143
1+290
xl
=79149
"Repetiam o cálculo até que aparecesse (fan-fan) um número cujo
valor não se modificasse (convergência). Sendo esse número a solução
desejada."
x2
= 79149 + x
x2
+ 252x = 5292
(79149 +xY + 252 (79149 + x) = 5292
x2
+ 290198x = 0166
x = 79 49 + 0,66
2 1 1+ 290,98
<: 79149
(valor convergente)
x e o valor, aproximado, de uma das raizes' da referida equação.2
(2000,p.59)
o matemático inglês Willian George Horner, em 1819 rebatizou o método
fan-fan como método de Homer, que segundo FRAGOSO: Una realidade é um grande
equívoco, mas que é aceito por muitos matemáticos de nossos dias." (2000, p.59)
Mesmo com muitos métodos para a resolução das equações formadas por
três termos (3~ + 15x + 24 = O), ou seja, as equações completas do 2° grau, os
matemáticos ainda sentiam muitas dificuldades para solucioná-Ias, foi aí que surgiu a
primeira fórmula resolutiva para esses tipos de equações.
4 Segundo FRAGOSO a denominação raiz foi feita pelos árabes para designar a solução de uma equação.(2000,
p.59)

17
1.2 - A PRIMEIRA FÓRMULA RESOLUTIVA DA EQUAÇÃO DO 2° GRAU
Os escribas da Babilônia, depois de muitos estudos, resolviam muitas
equações do 2° Grau que podiam ser expressos na forma: x?- - bx = c, e segundo
GUELLI, a resolução vinha sempre gravada na tabuleta, seguindo esta fórmula:
x ~ ~(~ J+ c + ~ ,obtida do seguinte modo:
x> - bx + (~J~c + (~J
(
b)2 2
X-2 =c+ (~)
x-~~FW'
x = ~(~)' +c + ~
(1992, p.20)
Portanto, segundo GUELLI era esta a fórmula que os escribas se apoiavam
para resolver problemas, como este: "Qual é o lado de um terreno quadrado, se a
área menos o lado é 12".(1992, p.20)
As tentativas para se chegar a uma resolução correta das Equações do 2°
Grau continuaram, e segundo BOYER, al-Khowarizimi escreve seu mais importante
livro AI - jabr Wa'l muqabalah, pois nesse livro existe uma solução para essas
equações, embora sejam realizadas somente com o uso de palavras e sem nenhum
símbolo. (1974, p.166-167)
Segundo GARBI, o nome Álgebra originou-se da palavra AL-Jabr, significa
restauração e se refere a passagem de um termo para o outro lado da equação.
Exemplo: x - 3 = 6, passa a x = 9, significando uma "restauração" de x - 3 de
modo a tornar completa a incógnita x .(1997, p.22)
Para resolver as Equações do 2° Grau, conforme GUELLI, como al-
Khowarizimi não utilizava símbolos em seu livro, ele procedia da seguinte maneira:
----

18
- Ao invés de x', ele escrevia quadrado;
No lugar de x, colocava raizes;
E por números, entendia os coeficientes das variáveis e os termos
independentes. (1992, p.28)
Segundo GUELLI, no AI-Jabr, al-Khowârizmi separou e classificou as
Equações do 2° Grau em vários tipos:
QUADRADOS IGUAIS A RAíZES X!= 5x
QUADRADOS E NUMEROS IGUAIS AS RAIZES X! + 21 = 10X
RAIZES E NÚMEROS IGUAIS A QUADRADOS 3X + 4 = X!
QUADRADOS E RAíZES IGUAIS A NÚMEROS X! + 10X = 39
(1992, p.29)
Mesmo depois de resolver e explicar algumas Equações do 2° Grau, al-
Khowarizmi buscou na geometria, a resposta x = 3, para a equação x2
+ 10x = 39.
A representação geométrica para essa equação, segundo GUELLI, foi a
seguinte:
* Primeiro ele desenhou um quadrado, cuja área representa o termo
x
x
* O termo 10x é interpretado como a área de um retângulo de lados
10 e x.
10
x

19
* AI - Khowarizmi dividiu esse retângulo em quatro retângulos de área
iguais entre si.
2,5
2,5
2,5
2,5
x
* Aplicou cada um desses novos retângulos sobre os lados do
quadrado de área x'.
2,5x
2,5x 2,5x
2,5x
~ Área da figura formada =
= x2
+ 4 . 2,5x =
= x2
+ 10x
~ A equação do 2° grau é x2
+ 10x = 39, ou seja, a área
dessa figura é igual a 39.
Depois "completou o quadrado".
2,5
2,5
2,5
2,5
2,5
2,5
2,5
2,5

r'
r'
r'
r'
r'
r'
~
r'
r
rr>
r'
r'
r'
r'
r'
r
r
r
r-
--
20
* A área desse quadrado é igual a:
39 + 4 . (2,5 . 2,5) =
= 39 + 4 . 6,25 =
= 39 + 25 = 64
* O lado do quadrado é dado por:
.J64 = 8
• E finalmente al= Khowarizmi deduziu a raiz da equação:
2,5 + x + 2,5 = 8
x+ 5 = 8
x = 8 - 5
x=3
(1992, p.31)
AI-Khowârizmi resolvia sempre as equações completando o quadrado
perfeito. Mas, segundo GUELLI: " AI-khowarizmi não conhecia os números negativos.
Por isso, seus métodos determinavam somente as raízes positivas e o zero". (1992,
p.29)
As buscas atrás de uma fórmula resolutiva para a Equação do 2° Grau foram
continuando, segundo BOYER no século XII, o matemático hindu Bhaskara Akaria,
nascido em 1114, escreve sua obra mais importante o livro Lilavati (nome de sua
filha) seguido de outro livro Vija - Ganita, neles Bhaskara resolve muitos problemas
de Equação do 2° Grau. (1974, p.161-162)
Segundo GUELLI, um dos problemas de Bhaskara encontrado no livro Vija-
Ganita é o seguinte:
Um capital de 700 foi emprestado a uma certa taxa de juro ao ano. O
juro obtido após um ano foi aplicado durante mais um ano. Se o juro total é
de 75, qual é a taxa de juro?

21
A resolução apresentada:
*/niciaImente:
Capital = 100
Taxa de juro = x%
*Após um ano:
Capital = 100 + 100. ~=100+x
100
Juro obtido = x
* Após mais um ano
X x
2
Juro total = x + x. -= x+-
100 100
* Como ojuro total é 75, tem-se:
x
2
X + -=75
100
100x + x2
= 7500
A resposta do problema é a raiz positiva da equação:
x2
+ 100x - 7500 = O
(1992, p.35)
Quanto a Bhaskara e outros matemáticos hindus, segundo GUELLI, a regra
formulada para a resolução desse tipo de equação, é a seguinte: "Calcule a metade
do capital ao quadrado, acrescente-a ao produto do juro total pelo capital, extraia a
raiz quadrada e logo diminua a metade do capital".
r-
Esta regra pode ser traduzida através da fórmula:
a
(1992, p.36)

22
Mesmo com toda dedicação e talento de Bhaskara, não foi possível deixar
um processo (fórmula) para resoluções da Equação do 2° grau. Esse passo decisivo
não foi dado por um matemático, mas por um jurista, advogado francês, François
Viéte (1540-1603).
Viéte manifestou seus primeiros passos para a criação da Álgebra puramente
simbólica, pois segundo GUELLI: "Decifrar códigos era para Viéte o mesmo que
resolver equações".(1992, p.39)
Pensando na melhor maneira de decifrar esses códigos, Viéte elaborou o
mais genial sistema de símbolos da matemática, no qual, segundo GUELLI, seu
primeiro passo foi representar a incógnita de uma equação através de uma vogal, e
também passou a abreviar algumas palavras:
p Significava mais
m Significava menos
O traço sobre a letra é para mostrar, que ela estava sendo utilizada
como um símbolo matemático.
As equações passam então a ser expressas por meio de alguns
símbolos:
Exemplo:
x+9= 12
A p 9 é igual a 12
x2
- Sx + 6 = O
A área m AS p 6 é igual a O
Os matemáticos daquela época foram então buscar outros símbolos
para substituir p em.
p Passou a ser representado por +
m Passou a ser representado por -

23
A partir daí, estes dois sinais entraram definitivamente para a
Matemática.
Exemplo:
x + 9 = 12
A + 9 é igual a 12
X! - Sx + 6 = O
A área - AS + 6 é igual a O
vlête também representou a palavra vezes pela abreviação in.
Portanto vlête ficou conhecido como "O Pai da Álgebra", através de
uma idéia aparentemente simples, pois passou a representar as incógnitas de
uma equação por vogais e os coeficientes literais das incógnitas por
consoantes.
Exemplo:
ax + b = O
B in A + C é igual a O
ax' + bx + c = O
B in A área + C in A + O é igual a O.
A equação B in A área + C in A + O é igual a O, tem um significado
muito importante, porque foi a primeira vez que um matemático conseguiu
expressar as equações do 2° grau por meio de uma fórmula geral. (1992, p.39-
40)
Não apenas VIETE se apoiou nos matemáticos da antiguidade, como
também os matemáticos posteriores se apoiaram nele. Sendo assim as palavras que
eram escritas por extenso foram sendo substituídas por símbolos.
Um deles, segundo BOYER, foi o inglês RECORDE (1510-1558) que
escreveu: "Porei, como muitas vezes uso no trabalho, um par de retas gêmeas de
mesmo comprimento assim: --, porque duas coisas não podem ser mais iguais."
(1974, p.197).

24
Segundo GUELLI, este sinal foi usado por outro matemático inglês,
HARRIOT (1560-1621), pois foi ele que introduziu o sinal de igualdade, ( = ). E
também adotou uma nova notação para as potências das incógnitas.
A área ~ AA
Exemplo:
x2
- 2x = O
AA -A2 = O
x2
- Sx + 6 = O
AA -AS + 6 = O
Ax2
+ bx + c = O
Bin AA + C in A + O = O
Nessa mesma época o matemático e filósofo francês DESCARTES, (1596-
1650) aperfeiçoou os símbolos criados por Viéte da seguinte maneira:
* Usou o expoente 2 para indicar A área;
* Substituiu In pelo sinal x, depois. ;
Passou a representar as incógnitas de uma equação pelas últimas
letras do alfabeto: x,y,z: e os coeficientes literais das incógnitas pelas
primeiras letras: a.b,c. (1992, p.40)
Depois que Viéte expressou uma Equação do 2° Grau por meio da fórmula
geral: B in Área + C in A + D é igual a zero, os matemáticos foram descobrindo outras
propriedades nas equações. Portanto não foi uma única pessoa, nem um único povo
que inventou a fórmula da Equação do 2° Grau.
Por volta do século XVI, após trabalhar em várias propriedades das
equações, matemáticos de muitas regiões do velho Mundo, quase simultaneamente,
acabaram deduzindo uma única fórmula, a qual tornou possível a resolução de
qualquer Equação do 2° Grau.

25
A fórmula descoberta foi x = - b ± .Jb
2
- 4ac ,e teve o nome de fórmula de
2a
Bhaskara, porque Bhaskara era capaz de resolver equações de 2° grau sem se
prender à figuras. Esta fórmula é amplamente conhecida, segundo GARBI "...seu
encontro fundamentou-se na idéia de buscar uma forma de reduzir o grau da
Equação do 2° Grau para o primeiro, através da extração de raízes quadradas."
(1997, p.23)
Após a descoberta, outros matemáticos desenvolveram várias maneiras para
a representação da Equação do 2° Grau, e entre eles destaca-se DESCARTES, o
qual desenvolveu um método geométrico para obtenção da solução positiva.
Segundo BOYER, "Descartes ia mais longe em sua álgebra simbólica, e na
interpretação geométrica da álgebra, do que qualquer de seus predecessores". (1974,
p.247)
Por esse motivo solucionava geometricamente equações do tipo:
x?- - bx - c2
= 0, com b e c positivos, e segundo FRAGOSO, procedeu da
seguinte forma:
Traçamos um segmento LM de comprimento c e em L levantamos um segmento NL igual a
b/2, perpendicular a LM . Com centro N construímos um círculo de raio b/2 e traçamos a reta
por M e N que cortará o círculo em O e P. Então, X1 = OM é o segmento desejado.
x-----~~ M
Desta forma as raízes são: X1 = OM e Xz = - PM
10
(2000, p.60)

26
Também segundo FRAGOSO, o inglês LESLlE e o alemão STAUDT, no
século XVIII, através de eixos cartesianos e de uma circunferência, conseguiram
soluções positivas e negativas da Equação do 2° Grau. (2000, p.60)
Hoje em dia a Equação do 2° Grau é muito popular e milhões de pessoas a
conhecem. Ainda que ela não apareça na TV, está nos livros de Álgebra de muitos
países, inclusive no Brasil, e mesmo que essas equações sejam explicadas de forma
diversificada, ou seja, de acordo com cada autor e cada época, elas fazem parte do
conteúdo disciplinar das oitavas séries.

27
CAPíTULO 11
OS LIVROS DIDÁTICOS NO CONTEXTO DA SALA DE AULA
Há muitos anos vêm se utilizando o livro didático como principal material
didático para se trabalhar não só conteúdos matemáticos como também outros
conteúdos na sala de aula, embora o mesmo tenha sofrido críticas por alguns,
chegando ao ponto, até de uma proposta de extinção. Mas mesmo assim ele continua
sendo, segundo PRADO, "um importante instrumento de trabalho e certamente
permanecerá nessa condição por muito tempo". (2001, p.15)
O livro didático deve conter informações e conceitos apropriados a propostas
curriculares, devendo ser correto e vinculado a ponto de vista das áreas de
conhecimento, e das diferentes propostas curriculares estaduais e municipais em
vigor. E para que haja um bom aproveitamento por parte dos alunos, o mesmo deve
ser utilizado como material de apoio, não se tornando o único recurso dispon ivel.
Normalmente cada autor tem uma forma diferente para tratar os conteúdos,
uns são simples e diretos, outros já se prolongam um pouco, pois segundo PRADO
"cada autor propõe uma abordagem específica, sugere recortes, exemplos, exercícios
e métodos diferentes de transformar conhecimento em pílulas digeríveis para os
estudantes." (2001, p.15)
Cabe ao professor procurar ir além dos conteúdos que o livro traz, pois
muitas vezes podem existir temas importantes não abordados naquele escolhido.
2.1 -APRESENTAÇÃO DA EQUAÇÃO DO 2° GRAU EM LIVROS DIDÁTICOS
A Equação do 2° Grau, como já vimos no capítulo anterior, surgiu há milhares
de anos, e a sua resolução sofreu várias modificações para chegar na forma de
resolução que conhecemos atualmente.
Este conteúdo vem sendo apresentado nos livros didáticos da 8a
série,
normalmente de forma sistematizada, não existe a preocupação com a construção
da linguagem algébrica, e poucos autores trazem fatos históricos, e quando o fazem
r

28
preocupam-se apenas com relatos bibliográficos, esquecendo-se da história como
um todo, não havendo uma articulação com o meio social e cultural da época, para
que tenhamos instrumentos de análise do contexto onde vivemos em relação ao
conteúdo de Equação do 20
Grau.
2.1.1 - Análise Bibliográfica de Livros que Desenvolvem o Tópico de Equação do 2°
Grau
o aspecto metodológico difere na apresentação dos conteúdos nos livros
didáticos, e isto influencia cada autor na forma de propor esses conteúdos. Devido a
isto foram selecionados alguns livros destacando as décadas de 1950 a 1990 por
considerarmos um período relevante em fatos históricos na Educação que
caracterizaram a eminência de concepções de ensino marcantes para a
compreensão das reflexões feitas na Educação Matemática.
Uma síntese desses momentos históricos, pode ser identificado no
documento de Fiorentini. (Anexo 1)
Da década de 50 foram analisados três livros escolhidos aleatoriamente,
assim como os demais livros, seguindo uma ordem cronológica da década de 1950 a
1990, conforme supra citado.
O primeiro livro analisado foi o Curso de Álgebra, cujo autor é o Coronel
Sinésio de Farias no ano de 1954, editora Globo- RJ, contendo 1065 páginas.
Esse livro era para o uso dos candidatos à Escola Militar e à Escola de
Aeronáutica. Apresenta a Equação do 2° Grau no capítulo XV, citando as equações
completas, depois as incompletas resolvendo separadamente cada uma delas.
Nas equações incompletas, o autor relata primeiro as formas que elas podem,.-
se apresentar, depois as separa, discutindo suas resoluções, passo a passo.
Na resolução das equações completas apresenta a fórmula como método de
Bhaskara, deduzindo-a. Em seguida o método dos árabes, dizendo que este método
representa apenas uma variante do método de Bhaskara e por último o método de
Viéte que consiste em transformar a equação completa numa equação incompleta
desprovida do 20
termo, mediante a substituição da incógnita por uma outra auxiliar,
ligada a uma constante arbitrária da qual se dispõe para anular o coeficiente do termo

29
do primeiro grau na transformada. Também é apresentada uma observação sobre a
fórmula geral explicando cada coeficiente, depois a aplicação de todas as fórmulas
com exemplos. Após é feita uma discussão da fórmula colocando as seguintes
hipóteses:
18
- Quando C<O, pois segundo FARIAS:"o discriminante fica sendo uma
soma aritmética b2
+ 4ac e, conseqüentemente é sempre positivo, portanto sua raiz
quadrada é um número real." (1954, p. 444)
28
- Quando C>O, segundo FARIAS "o termo conhecido da equação é
positivo. O discriminante fica sendo uma diferença aritmética b2
- 4ac, portanto pode
ser positivo, nulo ou negativo." (1954, p.445)
Nesta hipótese o autor coloca alguns casos especiais, tais como:
• O termo conhecido da equação é nulo;
• O coeficiente do segundo termo da equação é nulo;
• A equação só tem um termo.
Em seguida apresenta um quadro de discussão da fórmula de Bhaskara,
colocando a propriedade das raízes e as aplicações dessas propriedades, com quatro
maneiras distintas de aplicações, as quais são:
• Dadas às raízes de uma equação do 2° grau, formar a equação;
• Achar dois números conhecendo sua soma e seu produto;
• Reconhecer os sinais das raízes da equação do 2° grau, sem resolvê-Ia;
• Dedução da fórmula de resolução da equação geral do 2° Grau.
Após essas maneiras distintas, determina as seguintes funções das raízes:
• Diferença das raízes;
• Soma de potências semelhantes das raízes;
• Soma dos inversos das potências semelhantes das raízes;
• Funções simétricas das raízes.
Antes de encerrar o capítulo o autor cita problemas em que as raízes da
Equação do 2° Grau são sujeitas às condições dadas, e encerra o conteúdo
colocando as equações de raízes comuns em dois problemas: com duas equações

30
com uma raiz comum e com duas raízes comuns. Coloca também a composição da
Equação do 2° Grau e o método das aproximações sucessivas encerrando com
problemas.
Outro livro analisado desta década foi o Curso de Matemática de 1957, cujo
autor é Algacyr Munhoz Maeder, das Edições Melhoramentos - SP, com 233
páginas.
Esse livro traz a Equação do 2° Grau como primeiro assunto, dando uma
definição da equação e depois a resolução das equações incompletas. Nas equações
completas ele cita que elas podem ser resolvidas por vários métodos distintos, mas
devido ao curso será introduzida a dedução da fórmula somente pelo método dos
árabes, pois a fórmula encontrada será a mesma de Bhaskara. Em seguida apresenta
as aplicações da fórmula com dois exemplos, as fórmulas simplificadas com
exemplos e uma lista com 30 exercícios sobre equações. Após o autor mostra a
existência das raízes no campo real e a discussão dessas raízes. Continuando com
um resumo dessas discussões, as relações entre os coeficientes e as raízes, sinal
das raízes, composição da equação dada as raízes. Para encerrar o capítulo
apresenta uma aplicação, exemplificando como encontrar a equação sendo dada a
soma e o produto das raízes, encerrando com uma lista de 20 exercícios onde ele
coloca as raízes para compor as equações.
O último livro desta década analisado, foi o Matemática - 48
Série Ginasial,
1957 cujo autor é Ary Quintella, Editora São Paulo - SP, com 188 páginas.
O primeiro assunto deste livro, também é a Equação do 2° Grau. O autor
emite uma definição de equação, explica a resolução das equações incompletas e em
seguida a resolução das equações completas através da raiz quadrada. Após deduz
a fórmula de uma maneira simplificada, com alguns exercícios.
Menciona também algumas simplificações da fórmula, tais como:
• Quando o coeficiente de x?-é a unidade. Forma p, q;
• Quando o coeficiente de x é um número par;
• Os dois casos anteriores ocorrem simultaneamente.
Por último traz uma discussão das raízes, discriminante, as equações
fracionárias, as relações entre os coeficientes e raízes, aplicações das relações, tais
,..... como:

31
• Composição das equações, dadas as raízes;
• Achar dois números sendo dados sua soma e seu produto;
• Resolução de sistemas simples do 2° Grau;
• Raízes sujeitas a uma condição dada.
Encerra o capítulo com uma lista de 110 exercícios, incluindo problemas.
Prosseguindo nossa caminhada, foi feita uma análise de dois livros da
década de 60, sendo um deles o Matemática - Curso Ginasial - 48
Série, cujo autor
é Osvaldo Sangiorgi do ano de1963, Editora Nacional- SP, contendo 232 páginas.
O conteúdo apresentado nesse livro é igual ao de 1958 do mesmo autor,
inicia-se com o conjunto dos números reais, logo em seguida apresenta a Equação
do 2° Grau, dando uma definição de equação. Exibe uma definição da equação
completa e da incompleta, explicando a resolução e deduzindo a fórmula. Segue-se
com exercícios de aplicação resolvidos, e posteriormente uma lista com 40
exercícios.
A resolução da equação completa é retomada após os exercícios, seguida de
mais exercícios de aplicação, depois uma discussão sobre as raízes, também
seguidas de exercícios de aplicação. Nas fórmulas simplificadas apresenta uma lista
de 70 exercícios, prosseguindo com as relações entre os coeficientes e as raízes.
Finaliza com a resolução através da soma e do produto e a determinação dos sinais
das raízes (regra de Descartes), seguidos de exercícios de aplicação, e uma lista com
7 exercícios subdivididos em outros.
Outro livro desta década foi o Matemática - Curso Moderno, cujo o autor é
Osvaldo Sangiorgi do ano de 1969, Editora São Paulo - SP , com 233 páginas.
A Equação do 2° Grau é o segundo assunto nesse livro. O autor apresenta e
explica os termos da equação, cita vários exemplos de equações completas e
incompletas. Em uma pequena observação relata as equações incompletas que
aparecem nos exemplos, em seguida apresenta um teste de atenção com três
exercícios subdivididos, sendo esses para reconhecer as equações. Em um segundo
momento explica como resolver a Equação do 2° Grau através da soma e do produto
dos coeficientes, trazendo outro teste de atenção para determinar o conjunto verdade
das equações com três exercícios subdivididos.
E, em um terceiro momento apresenta a resolução através da fórmula,
deduzindo-a e exemplificando através de exercícios resolvidos das equações

32
completas e incompletas. Segue com uma lista com 50 exercícios de fixação, e
exercícios explorando as raízes reais. Traz também uma discussão das raízes de
uma Equação do 2° Grau no conjunto dos IR, seguidos de exercícios de aplicação
resolvidos e exercícios de fixação. Antes de encerrar o capítulo são feitas às relações
entre os coeficientes e as raízes, as conseqüências das propriedades das raízes de
uma Equação do 2° Grau, em que o autor coloca três momentos:
• Forma Soma e Produto (S, P) de uma equação do 2° Grau;
• Composição de uma equação do 2° Grau, conhecidas as raízes;
• Determinação de dois números dos quais se conhece a soma e o
produto.
Encerra o capítulo com dois exercícios de fixação, subdivididos em outros
exercícios.
Em 1970 foram analisados dois livros sendo um deles o Matemática na
Escola Renovada do ano 1971, de Scipione Di Pierro Netto, Edição Saraiva - SP
com 254 páginas.
Nesse livro a Equação do 2° Grau é apresentada como segundo assunto,
juntamente com as funções. O autor mostra primeiro a equação como função, depois
as raízes da equação incompleta. Em seguida a resolução das equações completas
deduzindo a fórmula e algumas aplicações resolvidas. Prossegue com a discussão
das raízes, seguido de uma lista de exercícios divididos em seis seqüências, e cada
seqüência contendo vários exercícios. Antes do término do capítulo apresenta as
relações entre os coeficientes e as raízes, sendo as seguintes:
• Relação da soma;
• O produto das raízes;
• Composição da equação: a~ + bx + c, quando se conhecem as raízes x'
e x":
• Questões que se resolvem com aplicações das relações entre
coeficientes e raízes da equação: a~ + bx + c = o.
Para encerrar o capítulo utiliza uma seqüência de três exercícios,
subdividindo-os em outros.
Também dessa década, foi analisado o livro de Matemática - 8a Série, de
Osvaldo Sangiorgi do ano de 1978, Editora Nacional - SP com 198 páginas.

Nesse livro a Equação do 2° Grau é o segundo assunto. O autor inicia com
uma pequena definição de equação, seguida de alguns exemplos, após o autor
coloca uma explicação de equações incompletas e completas, partindo assim para a
resolução da equação através da soma e do produto, sem se preocupar com a
utilização da fórmula da mesma, segue com alguns exemplos. Logo após, apresenta
a resolução através da fórmula resolutiva e a discussão das raízes com algumas
aplicações. Antes de encerrar o capítulo, traz as propriedades das relações entre
coeficientes e raízes, a forma Soma e Produto (S,P) de uma Equação do 2° Grau,
com as respectivas fórmulas, a composição de uma Equação do 2° Grau, conhecidas
as raízes, determinação de dois números dos quais se conhecem a soma e o
produto. Finaliza com seis problemas de Equação do 2° Grau resolvidos e uma lista
com diversos exercícios subdivididos, incluindo problemas.
Continuando a análise dos livros, na década de 80 foram analisados dois
livros, sendo um deles A conquista da Matemática, de José Ruy Giovanni e
Benedito Castrucci do ano de 1985, da Editora FTO com 192 páginas.
Apresenta a Equação do 2° Grau subdividida em sete unidades. Unidade 3,
4, 5, 6, 7, 8 e 9.
A unidade 3 intitula-se como Equações do 2° Grau. A introdução é feita
através de uma situação problema, de onde é retirada a Equação do 2° Grau. Em
seguida, a definição e os coeficientes da equação. O autor coloca as equações
completas e incompletas juntas, mostra a equação completa como forma normal, ou
seja, a equação propriamente dita (a~ + bx + c = O) e alguns exemplos para
transformação das equações, quando estas não estão na forma normal. Prossegue
com a resolução das equações incompletas, seguidas de uma lista com cinco
exercícios de fixação subdivididos e a resolução de equações completas pela fórmula
resolutiva, seguida de uma lista com vários exercícios, incluindo problemas. Para
encerrar esta unidade o autor traz as equações literais completas, seguidas de
exercícios, sendo os primeiros para a fixação deste assunto e em seguida exercícios
complementares, trazendo as respostas dos exercícios realizados nas páginas
anteriores.
A unidade 4 tem o nome de Relações Entre os Coeficientes e as Raízes da
Equação do 2° Grau. O autor inicia com uma introdução através de um problema para
determinar a soma e o produto das raízes, apresentando duas relações:

34
18
- A soma das raízes é igual a: - b , ou seja, x' + x" = - b .
a a
28
- O produto das raízes é igual a : .:..,ou seja, x' . x" = .:...
a a
Em seguida o autor traz as aplicações dessas relações através de
problemas, seguidos de exercícios de fixação. Segue com a aplicação das relações
com a formação de uma Equação do 2° Grau, dada as raízes, seguidas de exercícios
de fixação. Para encerrar esta unidade, o autor exibe uma lista com exercícios
complementares.
Na unidade 5, em que o autor coloca como Equações Sujeitas a Condições
Dadas, inicia calculando o valor de um numeral literal, seguidos de quatro exemplos
resolvidos, exercícios de fixação e encerra a unidade com exercícios
complementares.
A unidade 6 deste livro, é sobre as Equações Redutíveis ao 2° Grau e
Equações Biquadradas, em que o autor inicia com uma introdução, uma definição,
resolução e exercícios de fixação e complementares.
A unidade 7 é sobre as Equações Irracionais e segue a mesma ordem da
unidade 6.
A unidade 8, é intitulada de Sistemas Simples de Equações do 2° grau, onde
têm uma pequena introdução, resolução e exercícios de fixação.
A última unidade vem a ser sobre Problemas do 2° Grau e segue com
introdução, resolução com três exemplos, e uma lista com 18 problemas.
O outro livro analisado desta década é o Curso de Matemática, de Osvaldo
Marcondes, do ano de 1985, Editora do Brasil - SP, com 208 páginas.
Nesse livro a Equação do 2° Grau é contida em uma unidade, que no início
da mesma, o autor define a Equação do 2° Grau de uma forma geral ou normal, em
seguida coloca que os coeficientes podem ser numéricos ou literais, após as
equações completas e incompletas da forma em que se apresentam, partindo para a
resolução das equações incompletas, exemplificando cada uma.
Depois dos exemplos, o autor coloca uma lista com três exercícios,
subdivididos em um total de 48 exercícios, passando a resolução das equações
completas, através da fórmula de Bhaskara, explicando o discriminante,
exemplificando-os. E em seguida apresenta uma lista com 65 exercícios.

35
Continuando o assunto, o autor coloca as relações entre os coeficientes e as
raízes entre a soma e o produto, seguidos de cinco atividades resolvidas, e uma lista
com 29 exercícios incluindo problemas. Para encerrar o autor estabelece as
condições de existência das raízes, com quatro exercícios resolvidos e uma lista com
10 exercícios.
Para finalizar a análise dos livros, chegamos na década de 90, dela foram
analisados três livros, sendo que o primeiro foi o Matemática na Medida Certa, de
José Jakubovic e Marcelo Lellis, do ano de 1995, Editora Scipione - SP com 208
páginas.
A Equação do 2° Grau nesse livro é desenvolvida no capítulo 2 e é colocada
em forma de problema comparativo entre a Equação do 1° e 2° Graus, com uma
definição. Em seguida, o autor passa alguns exemplos e exercícios. Depois dos
exercícios o autor apresenta a fórmula de 8haskara e as suas resoluções, seguidos
de outra lista de exercícios. Prossegue com as equações incompletas e as resoluções
sem a utilização da fórmula de 8haskara.
Para encerrar apresenta a soma e o produto das soluções da Equação do 2°
Grau e a resolução mental fazendo uma comparação com a fórmula de 8haskara,
seguidos de exercícios.
O segundo livro analisado foi A Conquista da Matemática, de Giovanni
Castrucci e Giovanni Jr., do ano de 1998, da Editora FTD - SP, com 304 páginas.
Nesse livro a Equação do 2° Grau é apresentada no terceiro capítulo, mas
este é subdivido em unidades, e a Equação do 2° Grau inicia na décima sexta
unidade, encerrando na vigésima quinta unidade.
Inicia o capítulo apresentando a equação como uma situação problema, na
qual é colocada uma figura representando a parte de um escritório, e dela ele retira a
Equação do 2° Grau, apresentando uma definição da mesma. Em seguida propõe
alguns exemplos, com os termos da equação, segue com as equações completas e
incompletas e exercícios de fixação. Após esses exemplos e exercícios, o autor
mostra a forma normal, e como reduzi-Ia em uma forma normal. Continua com as
resoluções das equações incompletas, resolvendo separadamente cada uma delas,
com alguns exercícios resolvidos e após apresenta uma lista com exercícios de
fixação.

primeiro o processo do completamento de quadrados seguidos de exercícios e na
seqüência a resolução das equações através da fórmula de Bhaskara, demonstrando-
a, e explicando os casos do discriminante. Os exercícios são colocados separados
dos problemas, pois o livro apresenta um item com o título de Resolvendo Problemas.
O autor finaliza com o estudo das raízes da equação, a relação das raízes e os
coeficientes da equação, equações biquadradas, irracionais e sistema de equações.
O último livro analisado foi Matemática - 88
série, de Luiz Márcio Imenes e
Marcelo Lellis do ano de 1999, Editora Scipione - SP contendo 344 páginas.
Nesse livro, a Equação do 2° Grau é apresentada no capítulo 3 e o autor faz
primeiro uma introdução sobre equações, colocando as idéias básicas de equações
de primeiro, segundo e terceiro graus, com uma lista de exercícios para identificação
das mesmas. Em seguida essas equações são resolvidas através da fatoração,
sendo colocadas também as equações incompletas, porém não é citado que as
mesmas são equações incompletas, e o autor prossegue com uma lista de exercícios.
Depois destes exercícios é apresentado o trinômio quadrado perfeito com mais
exercícios.
Após essas resoluções, o autor demonstra a fórmula de Bhaskara, colocando
a maneira de como aplicá-Ia, seguindo com exercícios propostos. Em seguida faz um
resumo das resoluções de equações e apresenta mais uma lista de exercícios.
Para encerrar, o autor apresenta sistema de equações, com diversos
problemas.
2.2 - ANÁLISE DO MATERIAL PROPOSTO
Observando estas análises, verifica-se que os autores não diferem no
conteúdo da Equação do 2° Grau e que o mesmo desde a década de 50 é
apresentado na 88
série.
Atualmente defende-se a promoção de um trabalho metodológico que torne a
aprendizagem mais significativa, e conseqüentemente o livro didático, enquanto
principal ferramenta, deveria estimular estes procedimentos.
No Programa Nacional do Livro Didático (PNLD) encontramos:

37
o livro didático de matemática, assim como os de outras disciplinas curriculares, tem tido
grande influência na determinação do saber escolar culturalmente valorizado. Por isso, é
importante que ele incorpore aquilo que é preconizado pelas novas propostas curriculares,
pelas pesquisas e estudos concernentes ao ensino dessa área do conhecimento, que dão
indicação sobre formas adequadas de promover uma aprendizagem mais significativa para
os alunos. (1999, p.235)
No entanto percebemos nas análises dos livros didáticos que desde a
década de 50 até hoje não existe tanta diferença na introdução da Equação do 2°
Grau. É relevante destacar que não queremos cometer o erro de generalizar esta
opinião, pois podem existir livros aqui não analisados que façam uma abordagem
mais significativa da Equação do 2° Grau. Porém ao analisarmos este material, e pela
experiência que já temos em salas de aula concluímos que os livros didáticos
abordam a Equação do 2° Grau de uma maneira linear, pois apresentam as equações
incompletas resolvidas sem o uso da fórmula, e as equações completas através da
fórmula, isto com algumas exceções, pois têm livros que apresentam as resoluções
através da fatoração e outros livros apresentam a dedução da fórmula de Bhaskara,
antes de introduzi-Ia, e outros ainda que raramente apresentam o processo de
completamento de quadrados.
Este processo, segundo GIOVANNI, CASTRUCCl E GIOVANNI JR, "é
baseado na interpretação geométrica dada pelos gregos à expressão (a + b)2, o
matemático árabe al-Khowârizmi, no século IX, estabeleceu um processo geométrico
para a resolução de equações de 2° Grau com uma incógnita". (1998, p. 67)
Sendo que este processo pode ser desenvolvido através do uso do Material
Dourado, excelente recurso didático que poderia, e deveria ser mais explorado
durante o desenvolvimento de conteúdos matemáticos na sala de aula.

38
CAPíTULO 111
O MATERIAL DOURADO
Segundo historiadores como BOYER e EVES, há dois mil anos, os
matemáticos não sabiam expressar as sentenças matemáticas através da linguagem
dos sinais e das letras, substituindo-as por números.
Para resolver problemas de matemática e problemas práticos do dia a dia,
utilizavam-se de uma álgebra geométrica. Sendo que uma dessas maneiras usada
para resolução de equação do 2° Grau, por al-Kowarizmi era o completamento dos
quadrados, método em que podemos utilizar o material dourado.
O Material Dourado faz parte de um conjunto de materiais idealizados pela
médica e educadora italiana, Maria Montessori nascida em Chiaravalle, perto de
Ancona, no dia 31 de agosto de 1870 e falecida no dia 06 de maio de 1952 em
Noordewijk, Holanda.
Maria Montessori criadora do método pedagógico Montessoriano, foi a
primeira mulher a se formar em medicina na Itália. Nos anos iniciais do século XX, ela
se dedicou a educação de crianças excepcionais'', com as quais empregava o
método terapêutico de Édouard Séguin, predominantemente pedagógico. Devido ao
bom êxito deste método a doutora Montessori concluiu que métodos semelhantes a
este poderiam ser empregados também com crianças normais da mesma faixa etária.
Um dos materiais utilizados era chamado de material das contas amarelas,
onde a dezena (ou o número 10) era formada por uma barra de dez contas dispostas
em um arame. Esta barra era repetida dez vezes em dez outras barras ligadas entre
si, formando um quadrado, "o quadrado de dez" somando o total de cem. Finalmente
dez quadrados sobrepostos e ligados formavam um cubo "o cubo de dez", isto é,
1000.
Esse material é conhecido hoje como Material Dourado sendo de grande
ajuda na assimilação de conteúdos.
5 Conforme a Enciclopédia Barsa, consideram-se excepcionais as crianças que sofrem de cegueira, surdez,
mudez, paralisia, retardamento mental, distúrbios cardíacos ou enfermidades capazes de perturbar qualquer dos
sentidos. (1973, p.92)

39
o Material Dourado, utilizado nos dias atuais, (Anexo 2) é constituído de
madeira sendo formado por:
• 1 cubo representando o milhar;
• 10 prismas representando as centenas (placas);
• 100 prismas representando as dezenas (barras);
• 1000 cubos representando as unidades.
Através deste material pode-se trabalhar diversos conteúdos, tais como:
• Classe e ordem de um número;
• Composição e decomposição de um número;
• Números pares e ímpares;
• Quatro operações básicas;
• Números decimais e fracionários;
• Áreas;
• Produtos notáveis;
• Equação do 2° Grau, entre outros.
3.1 - UTILIZAÇÃO DO MATERIAL DOURADO NA RESOLUÇÃO E
COMPREENSÃO DA EQUAÇÃO DO 2° GRAU
Nos livros analisados no capítulo anterior, nota-se que a resolução da
equação do 2° Grau é proporcionada somente de forma algébrica e raramente é
apresentado o processo geométrico para a sua resolução.
Um método geométrico, embora não visto nos livros didáticos, é a utilização
do Material Dourado para a resolução destas equações.
Podemos utilizar o Material Dourado na Equação do 2° Grau, associando à
cartazes representativos.
É importante esclarecer o significado da planificação de objetos
tridimensionais. Pois as peças que compõem o Material Dourado apresentam largura,
espessura e comprimento.

Para fazer este trabalho podemos utilizar a planificação por rotação com as
peças do referido material:
- Cubo do milhar:
··········j··········i··········~··········;··········i····· ····i:::······ ... e- .••..~•." •••;:;:'••.••.•••
~ ~ ! ~ l··········!··········{··········f·········4··········!··········{··· ..·.·.·.·.·.·.'_i,··.·.·.···· .. ~ :.... ;.•••••.
~ ~ 1 ~ ~ ~..........: : .:. .:. ; :.
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~ ~ l ~ ~ ~ ~ l
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:1Jljl;:lr··········!··········{··········t··········}··········i··········~··········i··········~··········!·······,··
~ ~ 1 ~ l ~! l '.;:

41
Representação da planificação por rotação reduzida do cubo do milhar:
Escala: 1: 2,5 cm

- Placa das centenas:
42
/ /
::r:j:rirrri:r..........i ~ i i i ··~ ·.·; l · i .
i i ~ ! l ! ! 1 j··········t·········t··········!·· ········l··· ..··0.0 ~ •••• o-o ···t··········~0'0 0'0 0'° 'l' 0·0· 0·0. 'i' 0'°
·········l::lli···f······j······j·········I········f··....... ............! ! ~++:0'0 0'0 ~ •• 0'0 •• • •• t.·0'0 0'0 •• ~ 0'0 ••••••• j , ~ 0·0 0.0
::[111 ••••••11: Ir •••••••··v
Representação reduzida da planificação por rotação da placa das centenas:
Escala: 1: 2 cm

- Barra das dezenas:
43
Representação da planificação por
rotação da barra das centenas:
- Cubo das unidades: Representação da planificação por
rotação do cubo das unidades:
Desta forma o aluno visualiza cada uma das faces que constitui os prismas
(peças do Material Dourado).
r

44
Isto é importante para que o aluno compreenda que quando representamos
no plano as peças do Material Dourado, estaremos representando uma de suas faces
da seguinte maneira:
- o cubo menor será representado por um quadrado de lado medindo 1 cm:
Material Dourado Desenho
D 1 cm
1 cm
- dez cubinhos formam uma barra, que será representada por um retângulo de área x:
x
1 cm

45
- dez barras formam uma placa, que será representada por um quadrado de área x2
:
x
/
x
A resolução de uma Equação do 2° Grau, através desse método, deve partir
com a introdução da fatoração de polinômios, usando áreas do quadrado e retângulo,
revisando e construindo essas áreas, relembrando também o trinômio quadrado
perfeito e produtos notáveis, para assim chegar a resolução dessas equações, sendo
que o aluno deverá montar formas quadrangulares e/ou retangulares com o Material
Dourado e desenhá-Ias em seu caderno.
Para o cálculo de áreas podemos utilizar os desenhos das faces dos cubos e/
ou dos prismas, onde a criança no desenho poderá visualizar essas áreas contando
os quadradinhos.

46
Exemplo:
Calcular a área da face de um prisma retangular que mede 3 centímetro de
comprimento por 5 centímetros de largura, utilizando o Material Dourado:
Prisma Desenho
/ / /
~1, 5 cm
IX 5cm
3cm
No desenho a criança contará 15 quadradinhos, que será portanto a área
desse retângulo, que é 15 cm2
.
Pode-se solicitar à criança o cálculo de outras faces do mesmo prisma, por
exemplo:
1- Calcular a área da face do prisma retangular que mede 5 cm de
comprimento por 1 cm de largura:
Prisma Desenho
/ / /
5cm
5cm
3cm 1 cm 1 cm
Neste desenho a criança contará 5 quadradinhos, que será a área deste
retângulo, que é igual a 5 cm2
.

47
2 - Calcular a área da face do prisma retangular que mede 1 cm de
comprimento por 3 cm de largura:
r-
Prisma Desenho
/ / / 1fr-
.'1'11
ITIJ~ 1cm
~~
I~
3cmr-
~
~
5itJ
cm
~li
rr> ~
3 cm
..•...•.
1 cm
Contando os quadradinhos, a criança obterá a área desse retângulo, que é
igual a 3cm2
,
Após alguns exercícios desse tipo, a criança notará que para calcularmos a
área do retângulo basta multiplicar a base pela altura. Nestes exemplos temos:
A= bxh A=bxh A=bxh
A=3x5 A = 1 x 5 A = 3 x 1
A = 15 cm2
A = 5 cm2
A = 3 cm2
o cálculo da área é o primeiro passo para se compreender a Equação do 2°
Grau, mas para que o aluno consiga compreender esta equação, deve-se aprender a
fatorar, utilizando o fator comum com o uso do Material Dourado.
Vejamos alguns exemplos:

48
Exemplo 1
Construir um retângulo, usando um quadrado de área x? e três retângulos de
área x:
/ / / / ~
x? 3x
, ,
x
~i.I---":":x--~~~:• 3 ~ I
~. ~~ x+3
x+3
A área desse retângulo é x2
+ 3x.
Os lados do retângulo medem x e (x + 3), conseqüentemente, pela definição
de área do retângulo, área igual base x altura (A = b X h), temos:
x2
+ 3x = x . (x + 3)

49
Exemplo 2
Construir um retângulo usando três retângulos de área x e doze quadrados
de área 1 (um):
/ / / / /
i"'!"f--------+--+--+----1f--.v,;~':.3
.~f--------+--+--+~f--~·i;:
~ ....,
f-------------~~~~~
x 4
x+4 x+4
A área desse retângulo é 3x + 12
Os lados do retângulo medem 3 e (x + 4)
Logo: 3x + 12 = 3 . (x + 4)

50
Exemplo 3
Construir um retângulo que tenha área igual à x!-- 2x:
/
x x
~1!~~,
~!
x x
No caso deste exemplo as barras da dezena serão sobrepostas sobre a
barra das centenas, para representar menos duas, pois x2
- 2x significa que estamos
diminuindo 2x de x!-, ao contrário da adição, pois como visto nos exemplos anteriores,
as barras são acrescentadas ao lado da barra das centenas.
Após a compreensão de área e fatoração utilizando o Material Dourado,
vejamos como resolver as Equações do 2° Grau.

Exemplo 1
Seja dada a equação: x?-+ 3x +2 = O
/~-----'/"--/"'--"'A .
:;;t
Material Dourado
I~
Ix x + 1
*:~
I~
l.;:~ .
1--------+----If---f':'H~ .
iV
x
x+2
r-----------,-,.---, .
1-----------1-+--1 .....·····1
Desenho
51
x x+1
x
!-----------I_...I..--j .
x+2
Resolução: Para resolver esta situação busca-se valores que tornem a igualdade
verdadeira, portanto:
(x +2) . (x+1) = O
x +2 = O ou x + 1 = O
x=-2
S = {-2; -1}
x = -1

Exemplo 2
Dada a equação Xl - 2x + 1 = O
Material Dourado
x
x
52
Desenho
x
x-1
~.
'-'
1---+-------; .
x-1
x
Neste caso trata-se também de uma subtração de 2x de x2
e ao mesmo
tempo adicionando mais uma unidade, devido a isto as barras de dezenas estão
sobrepostas a das centenas e do seu lado a unidade adicionada.
Resolução:
(x - 1) . (x - 1) = O
x - 1 = O ou x - 1 = O
x=1 x=1
S = {1}

/~-----/-r------~/------'/r-/-'--/r-/....,."'" .
i
,~~
Exemplo 3
Dada a equação: 3x2 + 6x + 3 = O
Material Dourado
••• x x
....---------r--------,r-------....--r---r---. .
x
3x+ 3
Desenho
x
x
x x
L-- --..L- ---J'-- ....L--'---'----' .
x
3x+ 3
53
x+1
1 x + 1

54
,-.. Resolução:
(3x + 3) . (x + 1) = O
3x + 3 = O ou x + 1 = O
3x = -3 x = -1
x = -3/3
x =-1
S = {-1}
Para que haja um melhor desempenho dos alunos nesse trabalho, seria
necessário que o mesmo já tivesse contato com o Material Dourado desde as séries
iniciais para a compreensão da tabuada, das quatro operações, de áreas e outros.
Infelizmente sabemos que nem sempre isso ocorre, mesmo assim vale a
pena o professor tentar resgatar o gosto dos alunos pela matemática utilizando
materiais concretos, e o Material Dourado é um excelente início.

55
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Devido aos relatos de professores com relação às dificuldades encontradas
ao trabalhar a Equação do 2° Grau resolvi propor este trabalho, fazendo um resgate
histórico de sua abordagem, seu surgimento e as diversas maneiras de como estas
equações eram resolvidas, sem a utilização da fórmula de Bhaskara.
Analisando o tratamento dado a Equação do 2° Grau em alguns livros
,.-
didáticos da década 50 a década de 90, percebi que os autores não diferem na
abordagem das mesmas e que desde a década de 50 até os tempos atuais, elas são
introduzidas na 88
série e geralmente com a apresentação apenas da fórmula seguida
de exercícios complementares, sendo que os livros mais antigos apresentavam uma
listagem com aproximadamente 50 exercícios, enquanto que os atuais diminuíram a
quantidade dos mesmos.
Ao desenvolver este trabalho, pude notar que se o professor deixar de limitar-
se a propor a Equação do 2° Grau apenas como o livro didático aborda e procurar
trazer a história do surgimento da equação, não se limitando apenas ao relato de
datas e de fatos históricos que constam em alguns livros, ele conseguirá um melhor
desempenho por parte dos alunos. O resgate histórico facilita a elaboração do
raciocínio envolvido na resolução da equação e o aluno percebe que ela não foi
inventada pelo professor e que também não se trata de apenas mais um conteúdo
abordado pelo autor do livro didático.
A proposta da utilização do Material Dourado como alternativa no
aprendizado da Equação do 2° Grau, propicia no aluno a visualização da resolução
destas equações, sem a utilização da fórmula, proporcionando assim a compreensão
destas resoluções, uma vez que o aluno tendo a visualização deste material
apresentará uma maior compreensão do processo através do qual se chega ao
resultado das equações.
Durante este trabalho percebi que a matemática quando vista através de um
material concreto, no qual o aluno visualiza os conceitos matemáticos ou quando o
professor apresenta os conteúdos de maneira significativa, mostrando a sua evolução
através dos tempos, o aluno percebe a importância dos conteúdos que ele está

56
aprendendo e a matemática deixa de ser apenas memorizada, passando a ser
compreendida.
Embora o aluno nem sempre tenha a disponibilidade do Material Dourado
para a resolução das equações, acredito que através da representação geométrica, a
aplicação da fórmula se tornará mais fácil e acessível para o aluno, pois a partir do
momento que ele entender o processo geométrico, poderá conseguir também
entender o raciocínio lógico que o levou a chegar em um determinado resultado.

57
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a história da matemática, 2)
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a história da matemática, 3)
HOUAIS, Antônio. (ed). Enciclopédia Mirador Internacional. São Paulo:
Encyclopédia Britânica do Brasil Publicações Ltda, 1975. v.1,2.
IMENES, Luis Márccio Pereira; LELLlS, Marcelo. Equações e sistemas de equações.
In:-----. Matemática: 88
série. São Paulo: Scipione, 1999. p.73-108.
JAKUBOVIC, José; LELLlS, Marcelo. Equações do 2° grau. In:-----. Matemática na
medida certa: 88
série. São Paulo: Scipione, 1994. p.38-75.
LlNTZ, Rubens G. História da matemática. Blumenau: FURB, 1999. v. 3.
MIGUEL, Antonio. As Potencialidades Pedagógicas da História da Matemática em
Questão: Argumentos Reforçadores e Questionadores. Revista ZETETIKE, Campinas
v.5, n.8, p. 73-103. julldez. 1997.
MAEDER, Algacyr Munhoz. Equações do segundo grau. In:-----. Curso de
matemática: 48
série - Curso Ginasial. 11. ed. São Paulo: Melhoramentos, 1957.
p.15-36.
NOBRE, Sérgio. Alguns "Porquês" na História da Matemática e suas contribuições
para a Educação Matemática. História e Educação Matemática, CEDES - 40.
Centro de Estudos Educação e Sociedade. P. 29-35, Campinas - SP: Papirus, 1996.

59
NOVA Enciclopédia Barsa. Rio de janeiro: Encyclopédia Britânica do Brasil
Publicações Ltda, 1977. v.6.
OLIVEIRA. Antônio Marmo de e SILVA. Agostinho. A contagem e a numeração. In:-----
Biblioteca da matemática moderna. São Paulo: lisa. 1969. v. 1. P 15-30.
PRADO. Ricardo. A avaliação do livros didáticos abre uma nova era para autores.
editoras e. principalmente. professore. que têm a responsabilidade de fazer a escolha
certa. Revista Nova Escola. ano XVI. n. 140. p. 14-19, mar. 2001.
PROGRAMA NACIONAL DO LIVRO DIDÁTICO - PNLD. Guia de Livros Didáticos.
Brasilia, 1999.
QUINTELA. Ary. Equações do segundo grau. In:-----. Matemática: Quarta série
ginasial. 22. ed. São Paulo: Nacional. 1957. p. 15-40.
RABELO. Edmar Henrique. Textos matemáticos: produção e identificação. Belo
Horizonte - MG. 1996. p. 49-57.
SANGIORGI. Osvaldo. Equações do segundo grau. In:-----. Matemática: Curso
Ginasial. 48
série. 22. ed. São Paulo: Nacional. 1958. p.19-48.
SANGIORGI. Osvaldo. Equações do segundo grau. In:-----. Matemática: Curso
Moderno. 4.ed. São Paulo: Nacional. 1969. v.4. p. 17-66.
SANGIORGI. Osvaldo. Equações do segundo grau. In:-----. Matemática: Quarta série
ginasial. 47. ed. São Paulo: Nacional, 1963. p. 19-48.
SANGIORGI, Osvaldo. Equações do 2° grau. In:-----. Matemática 8, São Paulo:
Nacional. 1978. p.19-44.
TRIVINOS. Augusto N. S. Introdução à pesquisa em ciências sociais. São Paulo:
Atlas. 1987.
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VOMERO. Maria Fernanda. Tudo o que o Nada tem. Revista Super Interessante,
São Paulo. ano 15. n.4. p.55-58. abr.2001.

Anexo 1
r
ESTADO DO PARANA
SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO
DEPART~~NTO DE ENSINO DE PRIMEIRO GRAU
TEND~NCIAS DA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA NO BRASIL
Daria Fiorentini
Campinas: FE-UNIC~MP
(Notas relativas a uma exposição realizada pelo autor numa mesa
redonda em Londrina-PR, em julho/88, por ocasião do 69 Simpósio
Sul-Brasileiro de Ensino de Ciências e Matemãtica) i
Fazendo uma rãpida e superficial retrospectiva histórica
das idéias pedagógicas em Educação Matemãtica que prevaleceram nos
diferentes momentos históricos no Brasil podemos ident:l.ficartgros-
so modo, várias correntes ou tendências.
Até 1950, o ensino da Matemãtica se caracterizava pela ên-
fase ~s idéias e formas da Matemática Clássica. Matemática esta
que é fundamentada na matemática grega, especialmente nos elemen-
tos de Euclides. A geometria especulativa e o estudo da lógica ti-
nham um lugar de destaque, pois segundo a Escolástica; estas dis-
ciplinas eram responsáveis pela "formação do espírito"; Este ensi-
no "clássico-humanista", a nível do ensino secundário, erà privi-
légio de poucos e destinava-se a formar uma elite nacioriál (geral-
mente filhos dos senhores).
Até 1930 a Matemática era dividida em 5 areas estanques:
Álgebra, Aritmética, Geometria Plana e Espacial e Trigonometria ..A
partir de 1930, sob a influência do positivismo - para o qual a
Matemática é a ciência de relações e estreitamente ligadà e subju-
gada ~ lógica e ~s ciências empíricas -, ás cinco áreas unificar-
se-iam numa única ciência: a Matemática.
As principais características pedagógicas e metodológicas
do ensino da matemática nesse período foram:
a) Sócio-politicamente: privilégio de poucos e bem "dota-
dos". Na verdade, privilegiava-se à classe dominante uma matemáti-
ca especulativa e reservava-se aos menos abastados economicamente,
uma matemática puramente prática.
- 1 -

ESTADO DO PARANÁ
SECRET~~IA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO
DEPART~lliNTO DE ENSINO DE PRIMEIRO GRAU
b) O conteúdo: era a-histórico, sistematizado, constituí-
do de verdades prontas e acabadas, considerado valioso "per si "
e não por seu valor instrumental em relação ao trabalho. Dava-se
ênfase aos cálculos aritméticos e algébricos extensos e comple-
xos, às identidades trigonométricas; à demonstração dos teoremas
geométricos, a problemas de longos enunciados.
c) Didaticamente; o ensino era livresco; cer~trado no pro~
fessor e no seu papel de ~ransmissor e expositor do conteGdo~ A
aprendizagem do aluno era considerada passiva e consistia rià me-
morização e na reprodução precisa das raciocínios e procedimentos
ditados pelo professor ou pelos iivros.
Ressalva-se de positi~oi no entanto, as exposiç6es de con-
- ~ .. . '
cem demonstraçoes compreens~veis sem o formalismo atual e
mecanicismo ped~gógico dos nossos "livros didáticos" d~ ho-
te údo
sem o
je.
Os professores de matemática tinham formações diversas{en-
genheiros, padres, médicos, pedagogos, ou pessoas sem formação
superior). Raramente eram graduados em Física ou Matemática: So-
mente em 1934, na USPj surgiria o primeiro bacharelado em Matemá-
tica no Brasil. Este quadro contribuiria para que, em gerai; os
professores fossem autodidatas e se limitassem a repetir o qüe
estava nos livros.
Após 1950, em virtude do "Moví.me nt.oInternacional dâ Mà te-
mática Moderna", do avanço da psicologia da aprendizagem ei par-
ticularmente no Brasil; da realização dos cinco Congressos Brasi-
leiros de Ensino de t-1atemática(1955, 1957, 1959, 1961 e 1966) i o
ensino da Matemática passaria por grandes_ transformações;
No 19 Congresso, em Salvador/1955 , seria apresentado um
manifesto da CIEM~ no qual um grupo de matemáticos e pedagogos
(Piaget, Gatenho, Diedoné ...), baseados nas afirmações de í?iaget
de que havia um isomorfismo entre as estruturas operatórias do
pensamento e as estruturas fundamentais da Matemática (Piãget;
1980) I defenderiam a reformulação curricular do ensino dã m~te~
mática à nível primário e secundário. A subordinação da Matêmá~

~ '', .
ESTADO DO PARANÁ
SECRETARIÀ DE ESTADO DA EDUCAÇÃO
DEPARTAMENTO DE ENSINO DE PRIMEIRO GRAU
tica à ld~ia de estrutural enêontraria na Teoria dos conjuntos; o
pon t ó de apoio para a construção do "riovo" edifício Matemático;
. Nó 29 Congresso, em Porto iüegre/19 571 já surgiriam al çuns
esforç6s; ainda que isolados; para à introdução da Matem~tica Mo-
derna; Neste momento ainda sep~rados; de um lado os psicopêdago-
gos e} dê outro~ os matemát.icos (especialmente Sangiorgi); àcéna-
vam pará a reforrnuiação curricular.
Às primeiras propostas concretas de implantação surgiriam
no 39 êongresso, no Rio/1959, cujos resultados puderam ser apre-
sentados no 49 Congresso, em Belém/1961.6~.d..L&z1itd.twJda6:Wca..~.11b1.
Neste mesmo ano, 1961/ seria fundado o GEEM-SP, quê con-
tribuiria de maneira decisiva, através de cursos de sensibiliza-
ção e de treinamento e da edição de livros textos, para a disse-
minação da Matemática Moderna no Brasil.
No entanto, a maneira corno as idéias desse Movimento che-
gavam aos professores, e o modo cornoest.as se cruzavam com as
contribuições da psicologia da aprendizagem (Piaget; Rogersi Bru-
ner, Skiner, Ausubel), bem corno; as influências do movimento em-
pirista oriundo da área de ciências; contribuiriam para; sáivo
melhor juízo, configurar três tendências pedagógicas de Edücação
Matemática, no Brasil, no período ~e 1950 a 1970.
1) A "Escola-novista" de inspiração psí.co Lôq.l.ca , qlJf! pre-
coniza um ensino a partir de atividàdes onde o àiúnd é d'cêflttô
da aprendizagem e é ele que; a_partir da mahiptiiaç~ó dê ffiªtªiiàis
ou da ação, constrói espontaneamente os conceitos matem&tlêôs:.
Dienes pode ser considerado o maior disseminàdot dessa pêdàª6~ià
no Ensino da Matemática no Brasil. Diene~ não negá à Matêffi~tlda
Moderna. Pelo contrário; em seu trab~lho "Geometria pelas Trans-
formações", mostra cornoo aluno a partir de atividades pr§.t:f.càs
ou da ação, pode chegar às estruturas formais da ma terná ti dâ i jirl
especial às estruturas algébricas de grupo e corpo. Por~ful §stâ
proposta não chegaria às escolas públicas. Ficariá restiitâ à ãi-
.-
gurnas escolas particulares e r principalmen te; a alg-uns grUpos eo-
.. ,.:: .... /'
mo por exemplo o GEEMPA-RS e o GEPEM-RJ .~'.
O aspecto positivo dessa tendência e a vàlorizaç~d di iç~6
- 3 -
. .;

r
ESTADO 00 PARANA
SECRET~RIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO
DEPARTAMENTO DE ENSINO DE PRIMEIRO GRAU
do aluno e do processo de produção do conhecimento. O perigo des-
sa tendência é o ativismo e o espontaneismo a que pode ser levado
o ensino da Matem§tica e; além disso, o fato de não questionar a
ciência matem§tica e sua relação externalista - sócio-cultural.
2) A outra tendência, mais estreitamente articulada ao Mo-
vimento da Matem§tica Moderna, é a TECNICISTA-FORMALISTA. Esta
provavelmente tenha sido a mais marcante na década de 60 e, prin-
cipalmente, de 70. A maioria dos livros textos de matemática da
época, em particular os de Sangiorgi e Castrucci, se inserem nes-
ta tendência.
A denominação tecnicista se deve ao fato de se enfatizar o
emprego de técnicas de ensino, tais como, a instrução programada
(estudo através de fichas, módulos instrucionais ...) e auto-ins-
trução; porque enfatiza o fazer em detrimento do compreender ou
do pensar; porque acredita que a formação e a memorização dos con-
ceitos se dá pelo estímulo, pelo reforço, pela repetição sistemá-
tica, pela seq~enciação mecânica e pré-determinada de passos.
~ formalista porque enfatiza o produto acabado da Matemá-
tica (suas i5rmulas, suas definiç6es, iniciando geralmente por
elas ...j em detrimento do processo de construção dos conceitos e
de suas aplicaç6esi porque preocupa-se exageradamente com a lin-
guagem, com o uso correto da simbologia, com a precisão, com o
rigor metodolégico, com a exatidão dos resultados sem dar atenção
aos processos que os produzem; porque enfatiza o lógico sobre o
psicológico, o formal sobre o social, o sistemático estruturado
sobre o histórico; porque acredita que a matemática é neutra -
dissociada dos aspectos sociais e polític?s e, principalmente,
porque reduz a Matemática a um conjunto de técnicas, regras e al-
goritmos ...
Ou seja, a tendência tecnicista-formalista não centra-se
nem no professor (como no ensino tradicional), nem no aluno (co-
mo na escola-nova), mas no conteúdo formal e, principalmente, nas
técnicas de transmissão/assimilação desse suposto "conteúdo".
- 4 -

3) A outra tendência, é a TECNICISTA-EMPIRISTA. A diferen-
ciamos da anterior por se contrapor, em parte, ao movimer.to da
Matemática Moderna e por não enfatizar tanto sua estrutura inter-
na, mas sim sua relação com as ciências empíricas. Se para a ten-
dência formalista a Matemática. Pura e altamente sistematizada é o
modelo de matemática a ser privilegiado, para a tendência empi-
rista e a Matemática Aplicada o modelo a ser seguido.
Por isso, esta tendência sofre influências dos paradigmas
que regem o ensino de Física, Química, Biologia ... O método indu-
tivo (entendido cornoo "científico"), através da experimentação
(ou de medições, ou de levantamentos de dados ...), é que levará a
construção das idéias abstratas da matemática entendidas cornomo-
delos matemáticos. E, principalmente, com base na psicologia beha-
viorista, propiciam o desenvolvimento das habilidades e atitudes
dos alunos rªnfase nas habilidades e atitudes cie"tíficas).
A Matemática seria então uma generalização levada a cabo
por um processo empírico. Para isso se vale das técnicas de redes-
coberta, de projetos ou de resolução de problemas. Por isso parte
de atividades previamente programadas e que tenham a função de le-
var o aluno a generalizar, a concluir resultados, desenvolvendo
com isso suas habilidades e atitudes - principalmente aquelas que
permitem integrá-Io socialmente.
Nesta tendência podemos, em parte, situar os materiais pro-
duzidos e divulgados pelos Centros de Ciªncias (PROCIRS, FUNBEC ..)
e os trabalhos produzidos pelo projeto MEC/lMECC - UNICAMP. Sua
prática pôde ser sentida com mais ênfase nos Ginásios Orientados
para o Trabalho, PREMEN ...
As tendências "escola-novista" e "erup í.r-Ls t a=t.ecn.í.cd st a" têm
em comum a supervalorização dos processos da aprendizagem da Ma-
temática. Metodologicamente propõem um ensino dinâmico, ativo, e
"democrático" onde o importante "não é apreender, mas aprender a
apreender" .
No entanto, se de um lado enfatiza os aspectos psicopeda-
gógicos, de outro, ignora a dimensão sócio-política da Educação
Matemática. Ao levar em consideração as diferenças individuaiJ
,~'L·r,c,,'-
- 5 -

Considerações sobre a aprendizagem da equação do 2° grau completa

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