1. Līga Blumfelde, Liepājas 15.vidusskola
Nevienādības, nevienādību sistēmas.
Aplūkosim uzdevumu.
Cilvēks, kurš vēlas uzsāk savu uzņēmējdarbību vēlas noskaidrot pēc cik ilga laika viņa
ieguldītais darbs un līdzekļi nesīs peļņu. Viņš plāno savā uzņēmumā ražot skaidu granulas, kuras
tiks izmantotas apkurei.
Neatkarīgi no saražoto granulu daudzuma (kg), fiksētas ražošanas izmaksas ir Ls 1500.
Viena kilograma ražošanas izmaksas ir Ls 0,08. Uzņēmums skaidru briketes pārdos pircējam par
Ls 0,12 kilogramā.
Lai noskaidrotu pēc cik ilga laika uzņēmums varētu sākt gūt peļņu, nepieciešams
noskaidrot, cik kilogramu skaidu brikešu jāsaražo? Vēl uzņēmumam ir svarīgi, lai kopējās
ražošanas izmaksas nepārsniegtu Ls 9000, bet peļņa būtu lielāka par Ls 1000.
Izveidosim situācijas matemātisko moduli.
Ja saražoto vienības daudzumu pazīme ar x, tad ražošanas kopējās izmaksas var uzrakstīt
kā argumenta x funkciju I ( x) = 1500 + 0,08 ⋅ x , bet realizācijas ieņēmumus raksturo argumenta x
funkcija R ( x ) = 0,12 ⋅ x .
Peļņa tiks gūta tad, ja ieņēmumi būs lielāki par ražošanas izmaksām.
Proti,
R ( x) > I ( x) jeb 0,12 x >1500 + 0,08 x
Esam sastādījuši lineāru nevienādību. Lai noskaidrotu cik kilogrami skaidu brikešu
jāsaražo (apzīmēts ar x), jāatrisina sastādītā lineārā nevienādība.
0,12 x >1500 +0,07 x
0,12 x −0,08 x >1500
0,04 x >1500
x >1500 : 0,04
x >37500
Pēc atrisinātās lineārās nevienādības redzams, ka uzņēmumam, lai gūtu peļņu ir jāsaražo
vismaz 37500 kg skaidu brikešu.
Jāatceras, ka peļņa ir starpība starp ieņēmumiem un izdevumiem, tas nozīme, ka arī peļņu
P ( x ) var uzrakstīt kā argumenta x funkciju.
P( x) = R( x ) − I ( x)
P ( x) = 0,12 x − (1500 + 0,08 x) = 0,12 −1500 − 0,08 x = 0,04 x −1500

2. Tā kā uzņēmums vēlas, lai izdevumi vienlaikus nepārsniegtu Ls 9000 un peļņa būtu
lielāka par Ls 1000, tad vienlaikus jāizpildās diviem nosacījumiem:
 I ( x) ≤ 9000  1500 + 0,08x ≤ 9000
 jeb 
 P( x) > 1000  0,04 x − 1500 > 1000
Ir sastādīta nevienādību sistēma, kuras risinājums ir:
 150 + 0,08x ≤ 90 0  x ≤ 143750
 ⇒ jeb x ∈(62500;143750]
 0,04x − 150 > 10 0  x > 6250
Tātad uzņēmuma ir jāsaražo vismaz 62501 kg un ne vairāk kā 143750 kg skaidu brikešu,
lai realizētu savas vēlmes.
Lai atrisinātu doto uzdevumu bija jāatrisina:
• nevienādība R ( x) > I ( x) ;
 I ( x) ≤ 9000
• nevienādību sistēma  .
 P( x) > 1000
Divas mainīgā x izteiksmes A( x ) un B ( x ) , kas savienotas ar vienu no zīmēm >, <
vai ≥ ≤ veido viena mainīgā nevienādību.
,
Nevienādības atrisinājumu kopu veido visas tās mainīgā x vērtības, kuras ievietojot
nevienādībā iegūst pareizu skaitlisku nevienādību.
 Ievēro! Atrisināt nevienādību nozīmē atrast visus tās atrisinājumus.
 Piemērs.
Nevienādībai 12 x + 55 > x ir bezgalīgi daudz atrisinājumu, un tās atrisinājumu kopa ir
skaitļu intervāls x ∈( −5;+∞)
12 x +55 > x
12 x − x > −55
11x > − 55
x >− 5

3. Ievietojot jebkuru skaitli no intervāla (− ;+ ) dotajā nevienādībā, iegūst pareizu
5 ∞
skaitlisku nevienādību.
 Atceries! Nevienādību, kuras vispārīgais veids ir ax 2 + bx + c < 0 (arī >, ≥ ≤), kur a,
,
b, c ir reāli skaitļi un a ≠ 0 , bet x ir mainīgais, sauc par kvadrātnevienādību.

4.  Piemēri.
1) − 2 x 2 + 3 x − 1 < 0
Atrod atbilstošā kvadrātvienādojuma saknes (ja tādas ir).
− 2 x 2 + 3x − 1 = 0
D = b 2 − 4ac
a =−2 −b + D
x1 =
b =3 2a
c =−1 −b − D
x2 =
2a
 Atceries!
Ja D > 0 , tad kvadrātvienādojumam ir divas saknes.
Ja D = 0 , tad kvadrātvienādojumam ir viena saknes. (divas saknes, bet abas vienādas)
Ja D < 0 , tad kvadrātvienādojumam nav sakņu.
D = 3 2 − 4 ⋅ ( −2) ⋅ ( −1) = 9 − 8 = 1
− 3 + 1 − 3 +1 − 2 1
x1 = = = =
2 ⋅ ( −2) −4 −4 2
− 3 − 1 − 3 −1 − 4
x2 = = = =1
2 ⋅ ( −2) −4 −4
Saknes atliek uz skaitļu stara un uzskicē atbilstošu parabolu, ievērojot zaru vērsumu.
 Atceries!
Ja a > 0 , tad parabolas zari vērsti uz augšu.
Ja a < 0 , tad parabolas zari vērsti uz leju.
Noskaidro funkcijas vērtību zīmes skaitļu intervālos.
Pēc dotās kvadrātnevienādības nosaka, kādas vērtības ir nepieciešamas (pozitīvās vai
negatīvās). Negatīvās vērtības, ja nevienādība < 0 . Pozitīvās vērtības, ja nevienādība > 0 .
+
/////////// /////////
− − x
1 1
2
 1
Atbilde. x ∈  − ∞;  ∪ (1;+∞)
 2
2) 4 x 2 + x + 2 ≥ 0
4x 2 + x + 2 = 0

5. a =4
b =1
c =2
D = 12 − 4 ⋅ 4 ⋅ 2 = 1 − 32 = −31
D = −31 < 0 , kvadrātvienādojumam 4 x 2 + x + 2 = 0 sakņu nav, tas nozīmē, ka grafiks
nekrusto x asi.
+
//////////////////////////////////////
− x
Atbilde. x ∈( −∞ +∞)
;
Nevienādību sistēmas ar vienu mainīgo atrisinājumu kopa sastāv tikai no tām mainīgā
vērtībām, kas pieder katras sistēmā ietvertās nevienādības atrisinājumu kopai.
Tāpēc nevienādību sistēmas atrisinājumu kopa ir atsevišķo nevienādību atrisinājumu
kopu šķēlums.
 Piemērs.
 x 2 − 4x − 5 ≥ 0
Atrisināt nevienādību sistēmu  .
 4x − 4 > 2 + 7 x
Atrisina katru nevienādību atsevišķi un atrod nevienādības atrisinājumu.
x 2 − 4x − 5 ≥ 0 4 x −4 > 2 +7 x
4 x −7 x > 2 + 4
x 2 − 4x − 5 = 0
−3 x > 6 : ( −3)
x1 = 5
x <−2
x 2 = −1
+ +
/////////////////////
///////// ///////// x
−1 5 x −2
−
( − ;− )
∞ 2
( − ;− ] ∪ 5;+ )
∞ 1 [ ∞
Nevienādību sistēmas atrisinājums ir intervālu ( − ;− ] ∪[5;+ ) un ( − ;− )
∞ 1 ∞ ∞ 2
šķēlums (kopīgā daļa).
/////////////////////////// //////////////
/////////////////// x
−2 −1 5

6. Atbilde. x ∈( − ;− )
∞ 2
 Atceries!
Ja nevienādības abas puses dala ar negatīvu skaitli, tad nevienādības zīme mainās uz
pretējo.
−3x > 6 : (− )
3
x < −2

7. Atbilde. x ∈( − ;− )
∞ 2
 Atceries!
Ja nevienādības abas puses dala ar negatīvu skaitli, tad nevienādības zīme mainās uz
pretējo.
−3x > 6 : (− )
3
x < −2