1. O documento apresenta os principais tópicos sobre operações aritméticas básicas e conjuntos matemáticos.
2. São abordados conceitos como adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação, além de conjuntos, propriedades e tipos de conjuntos.
3. O texto fornece exemplos e fórmulas para aplicação das operações, destacando propriedades como comutatividade, associatividade e distributividade.
Operações matemáticas básicas em apostila de nivelamento
1. MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA
UNIDADE JOINVILLE
AAPPOOSSTTIILLAA DDEE NNIIVVEELLAAMMEENNTTOO
-- MMAATTEEMMÁÁTTIICCAA BBÁÁSSIICCAA --
VVEERRSSÃÃOO 11..00
JJOOIINNVVIILLLLEE –– AAGGOOSSTTOO,, 22000088
2. Apostila de Nivelamento
- Matemática Básica -
1
ÍÍNNDDIICCEE
11.. CCOONNJJUUNNTTOOSS ......................................................................................... 2
1.1 Definição_______________________________________....... 2
1.2 Notação de Conjuntos____________________________....... 2
1.3 Tipos de Conjuntos________________________................... 3
1.4 Propriedades de Conjuntos________________________...... 3
22.. OOPPEERRAAÇÇÕÕEESS AARRIITTMMÉÉTTIICCAASS BBÁÁSSIICCAASS....................................................... 5
2.1 Adição_________________________________________....... 5
2.2 Subtração_______________________________________ ..... 6
2.3 Multiplicação____________________________________...... 8
2.4 Divisão_________________________________________...... 9
2.5 Potenciação_____________________________________.... 11
33.. RREEGGRRAA DDOOSS SSIINNAAIISS ............................................................................. 15
3.1 Adição e Subtração_______________________________ ... 15
3.2 Multiplicação e Divisão____________________________ ... 15
44.. SSEEQQÜÜÊÊNNCCIIAA DDEE OOPPEERRAAÇÇÕÕEESS................................................................. 16
55.. OOPPEERRAAÇÇÕÕEESS CCOOMM FFRRAAÇÇÕÕEESS................................................................. 17
5.1 Adição e Subtração_______________________________ ... 17
Mínimo Múltiplo Comum (MMC)________________________......... 17
5.2 Multiplicação____________________________________.... 20
5.3 Divisão_________________________________________.... 21
5.4 Potenciação_____________________________________.... 21
5.4 Radiciação_____________________________________...... 22
66.. PPRROODDUUTTOOSS NNOOTTÁÁVVEEIISS.......................................................................... 23
6.1 Quadrado da Soma de Dois Termos_________________.... 23
6.2 Quadrado da Diferença de Dois Termos______________ ... 24
6.3 Quadrado da Soma e Diferença de Dois Termos_______ ... 24
77.. EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDOO 11ºº EE 22ºº GGRRAAUU ................................................................ 26
7.1 Equação do 1º Grau______________________________..... 26
88.. MMUUDDAANNÇÇAA DDEE UUNNIIDDAADDEE........................................................................ 27
5.1 Adição e Subtração_______________________________ ... 27
99.. EEXXEERRCCÍÍCCIIOOSS........................................................................................ 28
RREEFFEERRÊÊNNCCIIAASS BBIIBBLLIIOOGGRRÁÁFFIICCAASS ............................................................... 32
3. Apostila de Nivelamento
- Matemática Básica -
2
11.. CCOONNJJUUNNTTOOSS
1.1 Definição_______________________________________
Conjunto é um grupo de objetos sendo que cada objeto que
forma o conjunto é chamado de elemento.
Exemplos:
a) Conjunto de vogais do alfabeto
Elementos: a, e ,i, o, u
b) Conjunto das cores da bandeira brasileira
Elementos: verde, amarelo, azul, branco
1.2 Notação de Conjuntos____________________________
Existem duas maneiras de descrevermos elementos de um
conjunto:
Notação entre chaves
Os elementos do conjunto são colocados entre chaves e
separados por vírgula.
A = conjunto de vogais do alfabeto
A = {a, e, i, o, u}
B = conjunto das cores da bandeira brasileira
B = {verde, amarelo, azul, branco}
Notação por diagrama
Os elementos do conjunto são colocados dentro de uma linha
fechada.
4. Apostila de Nivelamento
- Matemática Básica -
3
1.3 Tipos de Conjuntos________________________
Conjunto unitário
É o conjunto que possui um único elemento.
• A é o conjunto de letras que recebem cedilha: A = {ç}
Conjunto vazio
É o conjunto que não possui nenhum elemento.
• B é o conjunto de vogais que recebem cedilha: A = { }
1.4 Propriedades de Conjuntos________________________
Pertinência
Para o conjunto A de vogais do alfabeto, pode-se dizer que u
pertence ao conjunto A e que c não pertence ao conjunto A.
Assim, matematicamente:
• u ∈ A (u pertence ao conjunto A)
• c ∉ A (c não pertence ao conjunto A)
Relação entre conjuntos
Sejam, A o conjunto de números de 1 a 7 e B o conjunto de
números pares de 1 a 6.
Pela notação entre chaves:.
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
B = {2, 4, 6}
Pela notação por diagrama:
5. Apostila de Nivelamento
- Matemática Básica -
4
Por esta notação pode ser observado que todo elemento de B
é também elemento de A. Assim, a relação entre estes dois
conjuntos pode ser:
• A ⊂ B (A contém B)
• B ⊃ A (B está contido em A)
• A ⊄ 10 (A não contém o elemento 10)
Da mesma forma, A o conjunto de números pares de 1 a 7 e B
o conjunto de números 1, 2, 3, 5 e 7. Pela notação entre
chaves:.
A = {2, 4, 6}
B = {1, 2, 3, 5, 7}
Para estes conjuntos, pode-se afirmar:
• C = A ∪ B (A união B)
C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
• D = A ∩ B (A interseção B)
D = {2}
Para estas propriedades, verifica-se que a união representa a
adição de conjuntos, sendo portanto interpretado como A e B.
Da mesma forma, a interseção representa a seleção de
elementos comuns, que estão contidos nos conjuntos A ou B.
6. Apostila de Nivelamento
- Matemática Básica -
5
22.. OOPPEERRAAÇÇÕÕEESS AARRIITTMMÉÉTTIICCAASS BBÁÁSSIICCAASS
2.1 Adição_________________________________________
Adição é uma das operações básicas da aritmética. Na sua
forma mais simples, a adição combina dois números (termos,
somandos ou parcelas), em um único número, a soma.
Adicionar mais números corresponde a repetir a operação.
A adição com expressões numérica pode ser representada de
duas formas:
Observação:
Da mesma forma, a adição pode ser realizada para expressões
algébricas, sendo que neste caso a adição é feita entre
variáveis iguais.
(3a+5b)+(6a+3b)
Propriedades da Adição______________________________
Comutativa:
A ordem das parcelas não altera a soma, isto é, trocando a
ordem das parcelas o resultado é o mesmo:
7. Apostila de Nivelamento
- Matemática Básica -
6
• se x + y = z, logo y + x = z
2+4=6 logo 4+2=6
a+b = b+a
Associativa:
Na adição de três ou mais números, pode-se substituir duas
parcelas quaisquer pela sua soma. Ou seja, o agrupamento
das parcelas não altera o resultado:
• se (x + y) + z = w, logo x + (y + z) = w
(20+8)+14=42 logo 20+(8+14)=42
(a+b)+c = a+(b+c)
Elemento neutro da adição:
O zero é chamado "elemento neutro" da adição, pois o 0 (zero)
não altera o resultado das demais parcelas:
• x + y = z, logo x + y + 0 = z
(34+22) = 56 logo (34+22+0) = 56
Anulação:
A soma de qualquer número e o seu oposto é zero.
2.2 Subtração_______________________________________
A subtração é uma operação matemática que indica quanto é
um valor numérico (minuendo) se dele for removido outro valor
numérico (subtraendo).
A adição com expressões numérica pode ser representada de
duas formas:
8. Apostila de Nivelamento
- Matemática Básica -
7
Assim, a subtração é o mesmo que a adição por um número de
sinal inverso. É, portanto, a operação inversa da adição.
Observação:
A subtração, como a adição, pode ser realizada para
expressões algébricas, sendo feita entre variáveis iguais.
(3a+5b)-(6a+3b)
Propriedades da Subtração___________________________
Propriedade fundamental da subtração:
A diferença é o número que, somado ao subtraendo, resulta no
minuendo:
• 45-25 = 22, logo 25+22 = 45
a-b = c ou b+c = a
Elemento neutro:
O zero é chamado "elemento neutro" da subtração, pois não
altera a diferença, em qualquer posição:
• x-0 = x, y-0 = y, e x-0-y = x-y, sendo x diferente de y
18-0 = 18
Anulação:
Quando o minuendo é igual ao subtraendo, a diferença será 0
(zero).
9. Apostila de Nivelamento
- Matemática Básica -
8
2.3 Multiplicação____________________________________
A multiplicação é uma forma simples de se adicionar uma
quantidade finita de números iguais. O resultado da
multiplicação de dois números é chamado produto. Os números
sendo multiplicados são chamados de coeficientes, fatores ou
operandos, e individualmente de multiplicando e multiplicador
Propriedades da Multiplicação________________________
Comutativa:
A ordem dos fatores não altera o resultado da operação. Assim,
• se x.y = z, logo y.x = z
Associativa:
O agrupamento dos fatores não altera o resultado. Assim,
• s.(x.y).z = w, logo x.(y.z) = w
10. Apostila de Nivelamento
- Matemática Básica -
9
Distributiva:
Um fator colocado em evidência numa soma dará como
produto a soma do produto daquele fator com os demais
fatores. Assim,
• x.(y+z) = (x.y)+(x.z)
Elemento neutro:
O um é chamado "elemento neutro" da multiplicação, pois não
altera o resultado dos demais fatores. Assim,
• se x.y = z, logo x.y.1 = z
Elemento opositor:
O fator -1 (menos um) transforma o produto em seu simétrico.
Assim,
• -1.x = -x e -1.y = -y, para y diferente de x
Anulação:
O fator 0 (zero) anula o produto. Assim,
• x.0 = 0, e y.0 = 0, com x diferente de y
2.4 Divisão_________________________________________
A divisão é a operação matemática que determina a
quantidade de vezes (quociente) que um número (divisor) está
contido dentro de outro número (dividendo). A divisão é a
operação inversa da multiplicação.
11. Apostila de Nivelamento
- Matemática Básica -
10
Propriedades da Divisão_____________________________
Divisor neutro:
Qualquer número dividido por 1 (um) terá como quociente o
próprio número dividido.
Anulação:
Qualquer número dividido por ∞ (infinito) ou -∞ (menos infinito)
será sempre zero.
Indeterminação:
As divisões 0÷0 e ∞÷∞ não têm um quociente determinado;
sendo que qualquer número pode ser usado como solução.
Divisão por zero:
O resultado de uma divisão de um número não-nulo por 0
tende ao infinito e o resultao de 0 dividido por 0 é
indeterminado.
Observação:
O resto de uma divisão nunca pode ser um número maior ou
igual ao divisor.
Representação______________________________________
Sendo a o "dividendo" e b o divisor, a representação da
operaçào de divisão pode ser:
• como uma fração:
b
a
• com uma barra:
b
a
• com o sinal de divisão: ba ÷
• usando dois pontos: ba :
12. Apostila de Nivelamento
- Matemática Básica -
11
• usando o sinal de inverso: 1−⋅ ba
Divisibilidade_______________________________________
Sejam algumas divisões:
É possível observar que nem sempre a divisão resulta no
quociente zero, ou seja, nem sempre a divisão é exata.
Quando isso ocorre, diz-se que é uma divisão com resto:
2.5 Potenciação_____________________________________
Exponenciação ou potenciação é uma operação a usada em
aritmética para indicar a multiplicação de uma dada base por
ela mesma, tantas vezes quanto indicar o expoente.
Nesse caso, a base seria a e o expoente n, sendo n um
número natural maior do que 1.
A exponenciação é representada por um número e o expoente
sobrescrito (por exemplo, 2³), ou com um circunflexo separando
a base do expoente (2^3).
13. Apostila de Nivelamento
- Matemática Básica -
12
Expoente Um e Zero_________________________________
Analisando um número qualquer com expoente zero ou um:
• qualquer número elevado a um é igual a ele mesmo:
• qualquer número (exceto o 0) elevado a 0 é igual a 1:
Expoentes Fracionários______________________________
Seja expressão,
Esta pode ser usada para provar que:
Para que essa expressão seja válida para números racionais,
devemos ter:
14. Apostila de Nivelamento
- Matemática Básica -
13
Ou, de forma genérica, para qualquer expoente fracionário, o
denominador do expoente é o índice da raiz e o numerador é o
expoente do radicando:
Expoentes Decimais______________________________
No caso de expoente decimal, devemos transformá-lo em
fração e depois em raiz.
Indeterminações____________________________________
Na exponenciação, é possível chegar à formas de
indeterminação:
Potências cujo expoente não altera o resultado__________
Potências de 0
Como visto, a matemática julga ser indeterminado o valor da
potência: 0
0
, mas as outras potências cuja base é 0 e cujo
expoente é positivo, têm como resultado o próprio 0.
Potências de 1
As potências de 1 são as potências de base 1, dados por 1
n
,
sendo n pertencente aos reais. Não importa o valor de n, 1
n
será sempre 1. Não se pode afirmar que 0 elevado a 0 é igual a
1.
15. Apostila de Nivelamento
- Matemática Básica -
14
Potências de 10
Multiplicações sucessivas por 10 são fáceis de efectuar pois
usamos um sistema decimal.
10
6
= 1000000 (igual a um milhão, 1 seguido de 6 zeros).
Exponenciação com base 10 é muito utilizada na física para
descrever números muito grandes ou pequenos em notação
científica:
299792458 = 2,99792458 × 10
8
≅ 2.998 × 10
8
(velocidade da
luz no vácuo, em metros por segundo)
Os prefixos do sistema internacional de unidades também são
utilizados para medir quantidades grandes ou pequenas. Por
exemplo, o prefixo "kilo" (quilo) significa 10
3
= 1000, logo, um
quilómetro é igual a 1000 metros.
Potências de 2
Potências de 2 são importantes na ciência da computação. Por
exemplo, existem 2
n
valores possíveis para uma variável que
ocupa n bits da memória.
1 kilobyte = 2
10
= 1024 bytes
16. Apostila de Nivelamento
- Matemática Básica -
15
33.. RREEGGRRAA DDOOSS SSIINNAAIISS
3.1 Adição e Subtração_______________________________
Sinais iguais
Adicionamos os algarismos e mantemos o sinal.
Sinais diferentes
Subtraímos os algarismos e aplicamos o sinal do maior.
Exemplos:
3.2 Multiplicação e Divisão____________________________
Sinais iguais
Operamos os algarismos e aplicamos o sinal positivo.
Sinais diferentes
Operamos os algarismos e aplicamos o sinal negativo.
Exemplos:
17. Apostila de Nivelamento
- Matemática Básica -
16
44.. SSEEQQÜÜÊÊNNCCIIAA DDEE OOPPEERRAAÇÇÕÕEESS
Regra:
As expressões numéricas e algébricas devem ser resolvidas
obedecendo a seguinte ordem de operação:
1º Potenciação e Radiciação;
2º Multiplicação e Divisão;
3º Adição e Subtração.
Por sua vez, essas operações são assim realizadas:
1º Parênteses;
2º Colchetes;
3º Chaves.
18. Apostila de Nivelamento
- Matemática Básica -
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55.. OOPPEERRAAÇÇÕÕEESS CCOOMM FFRRAAÇÇÕÕEESS
5.1 Adição e Subtração_______________________________
Para adicionar ou subtrair frações, deve-se proceder da
seguinte maneira:
• Reduzir as frações ao mesmo denominador, isto é calcular
o mínimo múltiplo comum (MMC) dos denominadores;
• Adicionar ou subtrair os numeradores e conservar o
denominador comum;
• Simplificar resultado sempre que possível.
Exemplos:
Mínimo Múltiplo Comum (MMC)________________________
Para entender o que é mínimo múltiplo comum, deve-se saber
achar os múltiplos de um número.
Exemplo:
Quais são os múltiplos de 2?
São todos os números que resultam da multiplicação de um
número natural por 2.
19. Apostila de Nivelamento
- Matemática Básica -
18
E quando é dado um número como saber se esse número será
múltiplo de 2, 3, 4, 5, 6, e assim por diante? Basta fazer a
operação inversa à multiplicação: divisão.
Regras:
Múltiplo de 2
Todo número múltiplo de 2 tem que terminar em par, então
será múltiplo de 2.
Múltiplo de 3
Todo número múltiplo de 3, a soma de seus algarismos deve
resultar em um número múltiplo de 3
Múltiplo de 5
Todo número múltiplo de 5 termina em 0 ou 5.
Outros Múltiplos
Para descobrir se um número é múltiplo de outros números,
deve-se utilizar a divisão pelo múltiplo a ser verificado. Se essa
operação der exata (resto igual a zero) é por que ele será
múltiplo deste número.
Exemplo:
O número 1232 será múltiplo de 2, 3 e 5?
20. Apostila de Nivelamento
- Matemática Básica -
19
• 1232 termina em par, então ele será múltiplo de 2;
• somando os algarismos do número 1232 tem-se:
1+2+3+2 = 8,
8 não é múltiplo de 3, então 1232 também não vai ser
múltiplo de 3;
• 1232 termina em 2, assim não é múltiplo de 5.
Mínimo Múltiplo Comum (MMC):
Cálculo do MMC pelo menor múltiplo
O cálculo o MMC de 2 ou mais números consistem em achar o
menor múltiplo comum (tirando o zero) entre esses números.
MMC(15, 20) = ?
Devemos em primeiro lugar acharmos os múltiplos de 15 e
depois de 20.
M(15) = 15, 30, 45, 60, 75, 90, ...
M(20) = 20, 40, 60, 80, 100, ...
Observando os seus múltiplos vemos que o menor múltiplo
comum é o 60, portanto:
MMC(15, 20) = 60
Cálculo do MMC utilizando a fatoração
Outro método para achar o MMC de números consiste em
dividir os números por números primos
Número primo é aquele número que é divisível apenas por um
e por ele mesmo. Como 2, 3, 5, 7, 11.... É interessante
ressaltar que o único número par primo é o 2, os outro são
todos ímpares.
MMC(15, 20) = ?
21. Apostila de Nivelamento
- Matemática Básica -
20
Para calcular MMC(15,20) utilizando a fatoração no processo
de decomposição simultânea, utiliza-se:
Observa-se que foram divididos os números 15 e 20 apenas
por números primos em seqüência. Então, multiplicando-se os
números primos 2, 2, 3, 5 é obtido o MMC dos números 15 e
20:
2 x 2 x 3 x 5 = 60 então o MMC(15,20) = 60
5.2 Multiplicação____________________________________
Para multiplicar frações, deve-se proceder da seguinte
maneira:
• Multiplicar os numeradores entre si;
• Multiplicar os denominadores entre si;
• Simplificar a fração resultante sempre que possível.
Observação:
Numa multiplicação de frações, pode-se simplificar os fatores
comuns ao numerador e ao denominador, antes de efetuar a
operação.
Exemplos:
22. Apostila de Nivelamento
- Matemática Básica -
21
5.3 Divisão_________________________________________
Para dividir frações, deve-se proceder da seguinte maneira:
• Multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda
fração;
• Simplificar a fração resultante sempre que possível.
Exemplos:
5.4 Potenciação_____________________________________
Para elevar uma fração a um determinado expoente, deve-se
proceder da seguinte maneira:
• Elevar o numerador e o denominador a esse expoente.
Exemplos:
23. Apostila de Nivelamento
- Matemática Básica -
22
5.4 Radiciação_____________________________________
Para obter a raiz de uma fração, deve-se proceder da seguinte
maneira:
• Extrair a raiz do numerador e do denominador.
Exemplos:
24. Apostila de Nivelamento
- Matemática Básica -
23
66.. PPRROODDUUTTOOSS NNOOTTÁÁVVEEIISS
Os Produtos Notáveis acontecem quando, na multiplicação
entre dois termos, aparecem variáveis. Tais produtos poderão
ser calculados usando-se a propriedade distributiva, como
mostram as regras a seguir.
6.1 Quadrado da Soma de Dois Termos_________________
Regra:
O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do
primeiro termo mais duas vezes o produto do primeiro pelo
segundo termo, mais o quadrado do segundo termo.
Exemplos:
25. Apostila de Nivelamento
- Matemática Básica -
24
6.2 Quadrado da Diferença de Dois Termos______________
Regra:
O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado
do primeiro termo menos duas vezes o produto do primeiro
pelo segundo termo, mais o quadrado do segundo termo.
Exemplos:
6.3 Quadrado da Soma e Diferença de Dois Termos_______
Regra:
O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao
quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo
termo.
27. Apostila de Nivelamento
- Matemática Básica -
26
77.. EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDOO 11ºº EE 22ºº GGRRAAUU
7.1 Equação do 1º Grau______________________________
Para adicionar ou subtrair frações, deve-se proceder da
28. Apostila de Nivelamento
- Matemática Básica -
27
88.. MMUUDDAANNÇÇAA DDEE UUNNIIDDAADDEE
5.1 Adição e Subtração_______________________________
Para adicionar ou subtrair frações, deve-se proceder da
seguinte maneira:
• Reduzir as frações ao mesmo denominador, isto é calcular
o mínimo múltiplo comum (MMC) dos denominadores;
• Adicionar ou subtrair os numeradores e conservar o
denominador comum;
• Simplificar resultado sempre que possível.
Exemplos:
29. Apostila de Nivelamento
- Matemática Básica -
28
99.. EEXXEERRCCÍÍCCIIOOSS
9.1 Operações Aritméticas____________________________
01) Efetue as operações matemáticas de adição e subtração:
a) 0,1 + 50,43
b) 13,45 + 34,90
c) 2,09 + 3,09
d) 0,43 + 1,02
e) 34,04 + 2
f) 21,2 + 2 + 45,09
g) 45 – 34,9
h) 23 – 0,09
i) 34 – 20,8
j) 9,89 – 2,1
k) 134,10 – 18,56
02) Efetue as operações matemáticas de multiplicação e
divisão:
a) 2,4 x 3
b) 18,9 x 200
c) 3,55 x 3,2
d) 10,2 x 5,3
e) 6,09 x 4
f) 18 : 3,6
g) 8 : 1,25 5
h) 144,2 : 7
03) Escreva os seguintes números em notação científica:
a) 3400000
b) 700000
c) 12000
d) 5000000000
e) 2000