5. Instrucciones
Esta presentación muestra como obtener las
ecuaciones para contestar problemas de
trigonometría.
Puedes leer cada problema y tratar de
resolverlo.
Luego puedes cotejar tu solución con la
respuesta demostrada en la próxima página.
Cualquier duda puedes escribirme a
elbamsepulveda@gmail.com
6. La trigonometría de los ángulos
rectos
Trigonometría- estudio
de las relaciones entre
los lados y los ángulos
de los triángulos
rectángulos.
Triángulo rectángulo-
triángulo que contiene
un ángulo recto o de
90°.
7. Funciones trigonométricas
a
sen = c
c
csc =
a
b
cos = c
c
sec = b
a c
tan = a b
b
cot = a
b
8. Ejemplo #1
Conociendo 2 de estas 2
variables podemos resolver 1
cualquier problema 30°
relacionado. b
Ejemplo # 1. Nos podemos
aprender por lo menos un
dato interesante: sen 30°= ½
Determina la medida del lado
b. Usando el teorema de
9. Resultado #1 2
1
2 2 2 30°
c a b
2 2 2 b= √ 3
b c a
2 2 2
b 2 1
2
b 4 1
2
b 3
b 3
10. 2
1
30°
b= √ 3
Para un de 30° entonces:
sen 30° = ½ csc 30° = 2
cos 30° = √ 3/2 sec 30° = 2/ √ 3
tan 30° = 1/ √ 3 cot 30° = √ 3
11. ¿Cuál es el sen de 60° y tan 60°?
sen 60° sen 60° = √ 3/2
=_________ cos 60° = ½
cos tan 60° = √ 3
60°=__________ sec 60° = 2/ √ 3
tan csc 60° = 2
60°=__________
cot 60° = 1/ √ 3
sec 60°
=_________
csc
60°=__________
12. Ejemplo #2: Un triángulo de 45°
Determina la hipotenusa c
2 2
c = a + b
2 1
c2 = 12 + 12
c 2= 1 + 1
1
c2 = 2
c= √2
Determina: sen 45°, cos 45°, tan 45°, csc
45°, sec 45° y cot 45°
13. Ejemplo #3
Un triángulo rectángulo tiene un ángulo de
37°. El lado adyacente mide 4 m.
Determina la longitud del lado opuesto al
ángulo dado.
?
?
4m
Determina la hipotenusa
14. Resultado #3
?
?
tan = op/ady
op = ady tan
= 4m tan 37 4m
op = 3m
cos q = ady/hip
hip = ady/cos
= 4m/cos37
hip= 5m
16. Ley del seno
Existen ciertas
relaciones entre los C
lados y los ángulos de
los triángulos aunque b a
éstos no sean rectos. y
Esto sucede con la ley
de los senos. A
M
B
c
Consideremos cualquier
triángulo ABC
17. Ley del seno
En <AMC y/b = sen A y= b sen A
En <BMC y/a = sen B y= a sen B
b sen B = a sen A
Entonces: C
b sen A = a sen B b a
y
b a
= M
sen B sen A A B
c
19. Ejemplo #4
En este <ABC, A=30°, B=40° y a= 10 m
determina b y c
C
b a
A B
c
20. Resultado #4
a b c
= =
sen A sen B sen C
b= a sen b/sen a c= a sen c/sen a
= (10m) (sen = (10m) (sen
40°)/(sen30°) 110°)/(sen30°)
= 12.85m = 18.79m
=13 m =19 m
El lado c mide 19 m
El lado b mide 13 m
22. (x,y)
Ley del coseno
a c
y
x b-x
M
b
Otra relación entre los lados y los ángulos de
cualquier triángulo. Dado un < supongamos
que conocemos el tamaño de los lados a y b y
la medida de c.
23. (x,y)
<aMb tiene lados: y, c , b-x
a c
Usando el teorema de Pitágoras: y
c2= y2 + (b – x)2
x b-x
= y2 + b2 – 2bx + x2
2= (x2 +y2) + b2– 2bx M
c b
<gMb tiene lados: x, y, a por lo tanto:
a2 = x2 + y2
entonces podemos sustituir en la ecuación anterior:
c2= (a2 ) + b2– 2bx
Del < Mb también podemos obtener que
cos = x/a x= a cos
sustituyendo: c2= a2 +b2 – 2b(a cos )
24. (x,y)
En resumen:
a c
y
Ley del coseno
x b-x
M
b
a2= b2 +c2 – 2bc cos
b2= a2 +c2 – 2ac cos
c2= a2 +b2 – 2ab cos
25. Ejemplo #5
En el siguiente triángulo a= 60°, b= 3m y
c=4m.
¿Cuánto es a?
a c=4m
60°
b=3m
26. Resultado #5 a2= b2 +c2 – 2bc cos
a2= (3m)2 +(4m)2 – 2(3m)(4m) cos 60°
= 9m2 +16m2 – 24m2 (0.5)a= 3.6 m
= 25m – 12m
2 2
= 13m2
a= √13 m2 = 3.606 m a c=4m
a= 3.6 m
60°
b=3m
El lado a mide 3.6 m
28. Resultado #6
a= c senA /sen C
= (50m) sen 30° /
sen110° C
= 26.6 m
La distancia es de 27m
sen B = y/a b a
sen 40°= y/26.6m y
y= (26.6 m) sen 40°
= 17m A
M
B
La distancia es de 17m c