5. Cap´
ıtulo 1
Tipos de Provas
1.1 introdu¸˜o
ca
Uma das principais atividades dos matem´ticos ´ classificar como verdadeiras ou falsas
a e
as senten¸as que surgem em seu trabalho. A veracidade de uma senten¸a, em geral,
c c
´ obtida atrav´s de uma demonstra¸ao. Uma demonstra¸˜o s´ ´ considerada correta
e e c˜ ca o e
se todas as senten¸as usadas na sua constru¸˜o forem verdadeiras, ou admitidas como
c ca
verdadeiras em contextos anteriores. N˜o existem regras para se fazer uma demonstra¸ao.
a c˜
E nem poderiam mesmo existir, pois o mist´rio que envolve a sua elabora¸ao ´ um dos
e c˜ e
motores que faz da Matem´tica um organismo vivo. Segundo o matem´tico h´ngaro
a a u
Paul Erd¨s (1913-1996), Deus possuiria um livro no qual estariam guardadas as provas
o
mais perfeitas dos teoremas matem´ticos. Ainda segundo Erd¨s, vocˆ poderia at´ nem
a o e e
acreditar em Deus, mas como matem´tico deveria acreditar no Livro. Para o matem´tico
a a
inglˆs Goodfrey Hardy (1877-1947), o quesito beleza ´ fundamental. No mundo, para
e e
ele, n˜o haveria lugar para matem´tica feia. Depreende-se de sua afirma¸ao que, al´m da
a a c˜ e
busca pela verdade, pelo conhecimento da prova de um resultado, o matem´tico tamb´m
a e
persegue a beleza. Uma bela prova de um resultado dif´ ´ o sonho de todo matem´tico.
ıcil e a
1.2 Provas diretas
H´ basicamente dois tipos de demonstra¸oes: as que s˜o diretas e aquelas em que se
a c˜ a
recorre ao m´todo da redu¸ao ao absurdo. Em uma demonstra¸ao direta mostramos
e c˜ c˜
que, a partir das informa¸oes fornecida(s) pela(s) hip´tese(s), podemos concluir a tese.
c˜ o
Isso em geral ´ obtido atrav´s de rela¸oes entre os fatos que est˜o sendo admitidos na(s)
e e c˜ a
3
6. 4 CAP´
ITULO 1. TIPOS DE PROVAS
hip´tese(s) e fatos que s˜o conhecidos previamente. Veremos nos exemplos a seguir alguns
o a
exemplos desse tipo de demonstra¸ao.
c˜
1. Imagine a seguinte afirma¸ao: Se um aluno est´ matriculado na turma de Matem´tica
c˜ a a
Elementar ent˜o ele ´ paraibano. Essa afirma¸˜o ´ falsa pois temos alunos na
a e ca e
turma que nasceram em outros estados. Basta um aluno que satisfa¸a a hip´tese
c o
dessa afirma¸ao mas que n˜o satisfa¸a a tese dessa afirma¸ao para torn´-la falsa.
c˜ a c c˜ a
Agora analisemos a outra afirma¸˜o: Se um aluno est´ matriculado na turma de
ca a
Matem´tica Elementar ent˜o ele ´ brasileiro. Como n˜o temos alunos estrangeiros
a a e a
matriculados no curso, somos levados a concluir que todos s˜o brasileiros. Tamb´m
a e
poder´
ıamos ter perguntado, aluno por aluno, qual a sua nacionalidade e ver´
ıamos
que todos s˜o brasileiros. Isso ´ uma demonstra¸ao direta desse fato.
a e c˜
2. Se m e n s˜o n´meros pares ent˜o a soma m + n ´ um n´mero par. Vamos
a u a e u
demonstrar esse fato. Em primeiro lugar, vamos identificar claramente o nosso
objetivo. Queremos provar que um certo n´mero ´ par. Muito bem! Mas o que
u e
siginfica um n´mero ser par? Aqui precisamos recordar a defini¸ao. Um n´mero
u c˜ u
inteiro b ser´ chamado par se puder ser escrito na forma b = 2a, onde a ´ um
a e
n´mero inteiro. A senten¸a que assumimos como verdadeira ´ que m e n s˜o
u c e a
n´meros inteiros pares. Isso quer dizer que m = 2p e que n = 2q, com p e q sendo
u
inteiros. Portanto, m + n = 2p + 2q = 2 (p + q) , pela propriedade distributiva da
multiplica¸˜o com rela¸ao ` adi¸ao. Como p + q tamb´m ´ um n´mero inteiro,
ca c˜ a c˜ e e u
podemos cham´-lo de r. Da´ temos que m + n = 2r, o que comprova ser m + n um
a ı,
n´mero par.
u
3. Se n ´ um n´mero inteiro ent˜o n2 +n ´ um n´mero inteiro par. Inicialmente vamos
e u a e u
supor que n seja um inteiro par. Ent˜o n = 2k, onde k ´ um inteiro. Portanto,
a e
n2 + n = (2k)2 + 2k = 4k 2 + 2k = 2k (2k + 1) = 2m,
onde m = k (2k + 1) , de modo que n2 + n ´ par.
e
Suponhamos agora que n ´ ´
e ımpar. Ent˜o n = 2k +1, onde k ´ um inteiro. Portanto,
a e
n2 + n = (2k + 1)2 + (2k + 1) = 4k 2 + 4k + 1 + 2k + 1 = 2 2k 2 + 3k + 1 = 2m,
onde m = 2k 2 + 3k + 1, de modo que n2 + n ´ par, tamb´m nesse caso.
e e
x y
4. Seja M = uma matriz triangular superior 2 × 2 e suponha que x, y e z
0 z
s˜o inteiros. Vamos demonstrar que as seguintes afirma¸oes s˜o equivalentes.
a c˜ a
7. ¸˜
1.3. PROVAS POR REDUCAO AO ABSURDO 5
(a) det M = 1,
(b) x = z = ±1,
(c) x + z = ±2 e x = z.
O que se afirma nesse resultado ´ que a ↔ b, a ↔ c, b ↔ c. Para isso, dever´
e ıamos
provar que a → b, b → a, a → c, c → a, b → c e c → b. Na pr´tica n˜o fazemos
a a
assim. A id´ia ´ usar uma certa transitividade que existe nas implica¸oes e provar,
e e c˜
por exemplo, que a → b → c → a. Poder´
ıamos provar tamb´m que a → c, c → b e
e
que b → a. Tamb´m poder´
e ıamos, alternativamente, provar que a → c, c → a, a → b
e b → a. O que ´ fundamental na escolha da seq¨ˆncia ´ que ela traduza o fato de
e ue e
que as senten¸as sejam equivalentes entre si.
c
Vejamos ent˜o a prova de que a → b, b → c e c → a.
a
Vamos provar que a → b. Suponha que det M = 1. Da´ temos que xz = 1. Como
ı,
x e z s˜o n´meros inteiros, devemos ter x = 1 = z ou x = −1 = z.
a u
Provemos agora que b → c. Suponha que x = z = ±1. Primeiro vamos supor que
x = z = 1. Ent˜o x + z = 2. Suponhamos agora que x = z = −1. Ent˜o x + z = −2.
a a
Da´ x = z e x + z = ±2.
ı
Provemos agora que c → a. Como x + z = ±2, devemos ter (x + z)2 = 4. Assim,
x2 + 2xz + z 2 = 4. Como x = z, devemos ter x2 = z 2 . Dessa forma, 4 = 4xz, ou
seja, xz = 1. Como det M = xz, conclu´
ımos que det M = 1.
1.3 Provas por redu¸˜o ao absurdo
ca
Vejamos agora como se processa uma demonstra¸ao por redu¸ao ao absurdo ou por
c˜ c˜
contradi¸˜o. Vamos supor que estamos interessados em provar um determinado fato.
ca
Se n˜o soubermos como fazˆ-lo diretamente, como nos exemplos acima, ent˜o podemos
a e a
supor que tal fato n˜o ocorra. Usamos ent˜o a hip´tese - que ´ admitida como verdadeira
a a o e
- e essa informa¸ao adicional, a nega¸ao do que se est´ tentando demonstrar. Atrav´s
c˜ c˜ a e
de uma sucess˜o de argumentos usando fatos conhecidos e esses fatos novos, chega-se a
a
algo contradit´rio, absurdo, como por exemplo a nega¸˜o da hip´tese ou a viola¸˜o de
o ca o ca
uma verdade anteriormente aceita. Veremos a seguir trˆs exemplos de demonstra¸oes por
e c˜
redu¸ao ao absurdo.
c˜
1. Se m2 ´ um n´mero par, vamos demonstrar que m ´ um n´mero par. Vamos negar
e u e u
a tese, isto ´, supor tamb´m que n seja ´
e e ımpar. Aqui precisamos da defini¸ao. Um
c˜
8. 6 CAP´
ITULO 1. TIPOS DE PROVAS
n´mero inteiro b ´ dito ´
u e ımpar quando ele puder ser escrito na forma b = 2a+1, sendo
a um n´mero inteiro. Assim, assumindo que m ´ ´
u e ımpar, temos que m = 2a + 1,
para algum inteiro a. Logo,
m2 = 4a2 + 4a + 1 = 2 2a2 + a + 1.
Mas 2a2 + a ´ um inteiro. Chamando-o de p, temos que m2 = 2p + 1, ou seja,
e
m2 ´ um n´mero ´
e u ımpar. Mas a hip´tese era de que m2 era par. Logo isso que
o
obtivemos ´ uma contradi¸˜o, um absurdo. E de onde veio esse absurdo? Veio do
e ca
fato de supormos que m era ´
ımpar. Logo, ele n˜o pode ser ´
a ımpar e portanto ser´
a
necessariamente par.
2. Vamos provar que o n´mero log10 3 ´ irracional. Aqui cabe uma pergunta: o que
u e
´ um n´mero irracional? Uma resposta meio evasiva poderia ser: um n´mero
e u u
irracional aquele que n˜o ´ racional. E um n´mero racional ´ aquele que pode ser
a e u e
m
escrito na forma n
, com m e n sendo n´meros inteiros e n = 0. Portanto, vamos
u
supor que log10 3 seja racional, isto ´ o mesmo que dizer que existem n´meros
e u
m
inteiros m, n tais que log10 3 = n
. Usando as propriedades dos logar´
ıtmos, temos
m
10 n = 3. Elevando ambos os membros a n, temos 10m = 3n . Nessa igualdade temos
algo impossvel de acontecer, pois o n´mero 10m ´ par, enquanto que o n´mero 3n
u e u
´´
e ımpar. Esse absurdo veio de supormos que o n´mero log3 10 era racional. Como
u
s´ existem duas possibilidades para ele e, ele n˜o pode ser racinal, ele s´ pode ser
o a o
irracional.
3. Vamos mostrar que n˜o existem n´meros inteiros ´
a u ımpares a, b, c, d, e, f tais que:
1 1 1 1 1 1
+ + + + + = 1.
a b c d e f
Suponhamos, por absurdo, que existam os tais n´meros. Ent˜o usando as pro-
u a
priedades de soma de fra¸oes, temos que:
c˜
bcdef + acdef + abdef + abcef + abcdf + abcde
= 1,
abcdef
ou seja,
bcdef + acdef + abdef + abcef + abcdf + abcde = abcdef.
Agora vamos olhar para os dois lados dessa igualdade. Do lado esquerdo cada
parcela ´ um n´mero ´
e u ımpar, pois ´ igual a um produto de n´meros ´
e u ımpares. Como
9. ¸˜
1.3. PROVAS POR REDUCAO AO ABSURDO 7
s˜o seis parcelas, a sua soma resultar´ num n´mero par. Do lado direito, temos
a a u
um produto de n´meros ´
u ımpares, cujo resultado ´ um n´mero ´
e u ımpar. Aqui temos
uma contradi¸ao: um n´mero que ´ ao mesmo tempo par e ´
c˜ u e ımpar. Como essa
contradi¸˜o surgiu? Surgiu do fato de termos afirmado a existˆncia dos n´meros
ca e u
´
ımpares satisfazendo aquela propriedade. Portanto, os tais n´meros n˜o existem.
u a
√ √
4. Vamos mostrar que 2 ´ um n´mero irracional. Negar que
e u 2 seja um n´mero
u
irracional ´ dizer que ele ´ racional. Sendo ent˜o ele racional, existem m e n in-
e e a
√
teiros tais que 2 = m . Esse ser´ o ponto de partida que nos conduzir´ a uma
a a
√n
contradi¸˜o. Como 2 = m , podemos supor que os fatores comuns de m e de n
ca n
j´ foram cancelados. Isso ´ absolutamente plaus´
a e ıvel, uma vez que estamos lidando
com fra¸˜es. Vamos elevar ambos os membros ao quadrado. Feito isso, teremos
co
m2
2= n2
, ou seja, m2 = 2n2 . Essa ultima igualdade nos diz que m2 ´ par. Como
´ e
vimos acima, isso acarreta que m tamb´m ´ par, ou seja, m = 2p, para algum
e e
inteiro p. De volta aquela igualdade, vemos que m2 = 4p2 = 2n2 , ou seja, 2p2 = n2 ,
`
o que acarreta que n2 ´ par e pelo mesmo motivo, n ´ par. Agora vemos que tanto
e e
m como n s˜o ambos pares, ou seja possuem um fator primo em comum. Mas isso
a
√
est´ em contradi¸˜o a nossa hip´tese. Logo, 2 n˜o pode ser racional, ou seja, ele
a ca ` o a
´ irracional.
e
5. Sejam m e n inteiros. Vamos provar que mn ´ ´
e ımpar se e somente se ambos m e n
s˜o ´
a ımpares. Como se trata de uma equivalˆncia, ´ interessante identificarmos as
e e
duas senten¸as que a comp˜em. Uma delas diz que: se m e n s˜o ´
c o a ımpares ent˜o
a
mn ´ um n´mero ´
e u ımpar. A outra diz que: se mn ´ ´
e ımpar ent˜o m e n s˜o ´
a a ımpares.
Comecemos pela primeira delas. Suponhamos que m e n sejam ´
ımpares. Ent˜o
a
m = 2p + 1 e n = 2q + 1, onde p e q s˜o n´meros inteiros. Agora note que
a u
mn = (2p + 1) (2q + 1) = 4pq + 2p + 2q + 1 = 2 (2pq + p + q) + 1 = 2r + 1,
onde r = 2pq + p + q. Da´ podemos concluir que mn ´ um n´mero ´
ı e u ımpar.
Suponhamos agora que o produto mn ´ ´
e ımpar. Vamos supor, por absurdo, que pelo
menos um deles - m ou n - ´ par. Digamos que m seja par (se fosse n o racioc´
e ınio
seria an´logo). Ent˜o m = 2k, onde k ´ um n´mero inteiro. Logo
a a e u
mn = 2kn = 2r,
onde r = kn. Assim, mn ´ um n´mero par. Mas isso ´ uma contradi¸ao, pois
e u e c˜
10. 8 CAP´
ITULO 1. TIPOS DE PROVAS
estamos supondo que o produto ´ ´
e ımpar. Logo, nenhum dos dois - m e n - pode
ser par, donde ambos s˜o ´
a ımpares, como quer´
ıamos.
11. Cap´
ıtulo 2
Conjuntos
2.1 Introdu¸˜o
ca
O termo conjunto n˜o ser´ definido. Para n´s ele ser´ um sinˆnimo de cole¸ao ou
a a o a o c˜
agrupamento de objetos. Esses objetos ser˜o chamados os seus elementos. A natureza
a
dos elementos de um conjunto pode ser bastante diversa. Podemos ter conjuntos de
canetas, cores, bolas, n´meros, fun¸oes, matrizes, etc. Um dos pioneiros no estudo
u c˜
dos conjuntos foi o matem´tico alem˜o Georg Cantor (1845-1918) que fez relevantes
a a
contribui¸˜es ` Teoria dos Conjuntos quando estava estudando s´ries trigonom´tricas.
co a e e
9
12. 10 CAP´
ITULO 2. CONJUNTOS
Observa¸˜o 2.1.1 O ponto de vista aqui usado ´ chamado de ingˆnuo, pois n˜o se
ca e e a
faz uso de axiomas para construir uma teoria. O outro ponto de vista ´ o axiom´tico,
e a
onde se enunciam axiomas para se construir de modo rigoroso toda a teoria. Dentre os
modos axiom´ticos de tratar a teoria dos conjuntos, destacamos o modelo axiom´tico de
a a
Zermelo-Fraenkel desenvolvido pelos matem´ticos Ernest Zermelo (1871-1953) e Adolf
a
Fraenkel (1891-1965).
2.2 Defini¸oes B´sicas
c˜ a
Introduziremos agora uma s´rie de termos e defini¸oes que encontraremos pela frente no
e c˜
decorrer do curso. Sejam A um conjunto e a um objeto. Se a for um elemento de A
escreveremos a ∈ A para simbolizar esse fato. Caso o elemento a n˜o seja um elemento
a
de A, escreveremos a ∈ A, para simbolizar isso.
Para repesentarmos um conjunto podemos escrever todos seus elementos entre chaves,
quando isso for poss´
ıvel. Tamb´m podemos descrever um conjunto por uma propriedade
e
comum que todos os seus elementos possuam. Uma outra representa¸˜o muito util dos
ca ´
conjuntos ´ feita atrav´s dos chamados Diagramas de Venn criados pelo l´gico inglˆs
e e o e
John Venn (1834-1923). Um Diagrama de Venn ´ uma curva fechada no plano, tendo
e
13. ¸˜ ´
2.2. DEFINICOES BASICAS 11
em seu interior os elementos do conjunto, conforme o conjunto da figura a seguir. No
conjunto M est˜o representadas as vogais.
a
Vamos discutir agora alguns exemplos.
Exemplo 2.2.1 Seja A o conjunto das letras da palavra Atordoado. Ent˜o podemos
a
escrever simplesmente
A = {a, t, o, r, d} .
Exemplo 2.2.2 Existem quatro conjuntos num´ricos que estudamos desde os primeiros
e
anos na escola. S˜o eles o conjunto dos n´meros naturais, representado por
a u
N = {1, 2, 3, ...} .
O conjuntos dos n´meros inteiros, representado por
u
Z = {... − 2, −1, 0, 1, 2, ...} .
O conjunto dos n´meros racionais, representado por
u
m
Q= ; m, n ∈ Z com n = 0 .
n
E finalmente o conjunto dos n´meros reais, simplesmente representado por R.
u
Exemplo 2.2.3 Seja A o conjunto dos n´meros reais maiores ou iguais a 2. Evident-
u
mente n˜o podemos listar todos os elementos de A como foi feito no exemplo precedente.
a
Por´m, podemos escrever
e
A = {x ∈ R; x ≥ 2} .
14. 12 CAP´
ITULO 2. CONJUNTOS
Na nota¸˜o acima utilizamos a propriedade comum aos elementos de A para, ao inv´s
ca e
de listar os seus elementos, darmos um crit´rio de quando um elemento pertence ou n˜o
e a
ao dito conjunto. Mais especificamente: para que um n´mero real perten¸a ao conjunto
u c
A, ´ preciso que ele seja maior que ou igual a 2.
e
Observa¸˜o 2.2.1 Existe um conjunto muito importante em Matem´tica que ´ o con-
ca a e
junto que n˜o possui elemento algum. Este conjunto ser´ chamado de conjunto vazio
a a
e ser´ representado por ∅ que ´ uma letra do alfabeto norueguˆs. Podemos descrever
a e e
o conjunto vazio atrav´s de uma propriedade que n˜o ´ satisfeita por qualquer objeto.
e a e
Por exemplo, o conjunto {x ∈ R; x > x + 1} ´ vazio, uma vez que essa propriedade n˜o
e a
´ satisfeita por nenhum n´mero real.
e u
2.3 Inclus˜o
a
Uma importante rela¸˜o entre conjuntos ´ a rela¸˜o de inclus˜o que veremos a seguir.
ca e ca a
Dados dois conjuntos A e B, diremos que A ´ um subconjunto de B se todo elemento
e
ımbolo A ⊆ B para denotar este fato.
de A for tamb´m elemento de B. Usaremos o s´
e
Simbolicamente podemos escrever:
A ⊆ B quando (∀x) (x ∈ A → x ∈ B )
Uma maneira de visualizar a inclus˜o de conjuntos utilizando os diagramas de Venn est´
a a
mostrada abaixo. Na figura temos A ⊂ B.
15. ˜
2.3. INCLUSAO 13
Quando A n˜o for um subconjunto de B, simbolizaremos isso por A ⊆ B. Isso siginifica
a
que existe pelo menos um elemento de A que n˜o pertence a B.
a
Observa¸˜o 2.3.1 Existem na literatura outros termos que tamb´m significam que A ´
ca e e
um subconjunto de B. Diz-se tamb´m que A est´ contido em B, que A ´ uma parte
e a e
de B, que B ´ um superconjunto de A, ou que B cont´m A.
e e
Observa¸˜o 2.3.2 A nota¸˜o A ⊂ B, no nosso curso indicar´ o fato de que A ´ um
ca ca a e
subconjunto de B mas que ´ diferente dele. Diz-se nesse caso que A ´ um subconjunto
e e
pr´prio de B.
o
ca ´
Observa¸˜o 2.3.3 E preciso ter bastante cuidado no uso dos s´mbolos ∈ e ⊆ . Em alguns
ı
casos um conjunto pode ser, ele mesmo, elemento de um outro conjunto.
Veremos agora alguns exemplos.
Exemplo 2.3.1 Sejam A e B conjuntos dados respectivamente por A = {1, 3} e B =
{1, 2, 3, 4} . Temos que A ⊂ B e que B ⊆ A.
Exemplo 2.3.2 Sejam A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4} . Nesse caso n˜o temos nem A ⊆ B
a
nem B ⊆ A.
Exemplo 2.3.3 Seja A = {a, b, c} . As afirma¸˜es a ∈ A e {a} ⊆ A s˜o ambas ver-
co a
dadeiras. Agora, se A = {{a} , b, c} , ent˜o as afirma¸˜es a ∈ A e {a} ⊆ A s˜o ambas
a co a
falsas.
Veremos agora algumas propriedades da inclus˜o de conjuntos.
a
Teorema 2.3.1 Se A, B e C s˜o conjuntos ent˜o valem as seguintes propriedades:
a a
(i) A ⊆ A,
(ii) ∅ ⊆ A,
(iii) Se A ⊆ B e B ⊆ C, ent˜o A ⊆ C,
a
Demonstra¸˜o: A primeira propriedade decorre imediatamente da defini¸ao de in-
ca c˜
clus˜o.
a
Provemos a segunda. Ela equivale a provar que se a ∈ ∅ ent˜o a ∈ A. Como uma
a
implica¸ao deste tipo ser´ sempre verdadeira, uma vez que a hip´tese nunca acontece,
c˜ a o
16. 14 CAP´
ITULO 2. CONJUNTOS
somos levados a concluir que vale a propriedade (ii).
Para mostrar que A ⊆ C, devemos mostrar que, dado a ∈ A, temos que a ∈ C. Ora, mas
dado a ∈ A, segue que a ∈ B, por hip´tese e, tamb´m por hip´tese, segue que a ∈ C,
o e o
como quer´
ıamos.
Surge agora uma importante pergunta: Quando dois conjuntos s˜o iguais? A resposta
a
mais simples ´ dizer que eles s˜o iguais quando tiverem os mesmos elementos. Para os
e a
nossos prop´sitos usaremos uma defini¸ao que ´ bem mais f´cil de se trabalhar que ´ a
o c˜ e a e
seguinte: Dados dois conjuntos A e B diremos que ele s˜o iguais e representamos isso
a
por A = B, se A ⊆ B e B ⊆ A.
Exemplo 2.3.4 Os conjuntos A = {a, t, o, r, d} e B = { letras da palavra atordoado }
s˜o iguais.
a
Exemplo 2.3.5 Os conjuntos A = {x ∈ R|x2 − 5x + 6 < 0} e B = {x ∈ R|2 < x < 3}
s˜o iguais. De fato, seja x ∈ A. Assim, x2 −5x+6 < 0. Mas x2 −5x+6 = (x − 2) (x − 3) .
a
Assim, se x ∈ A, ent˜o (x − 2) (x − 3) < 0. Portanto, devemos ter
a
1. (x − 2) > 0 e (x − 3) < 0 ou
2. (x − 2) < 0 e (x − 3) > 0.
No primeiro caso, devemos ter x > 2 e x < 3, ou seja, 2 < x < 3. No segundo caso,
devemos ter x − 2 < 0 e x − 3 > 0. Como n˜o existem n´meros satisfazendo as essas duas
a u
condi¸˜es simultaneamente, esse caso n˜o pode ocorrer. Logo, devemos ter 2 < x < 3,
co a
ou seja, x ∈ B.
Seja x ∈ B. Ent˜o x − 2 > 0 e x − 3 < 0, donde x2 − 5x + 6 = (x − 2) (x − 3) < 0, ou
a
seja, x ∈ A.
Observa¸˜o 2.3.4 A defini¸˜o de igualdade entre conjuntos possui interessantes pro-
ca ca
priedades, a saber: Se A, B e C s˜o conjuntos ent˜o vale o seguinte
a a
1. A = A,
2. se A = B ent˜o B = A,
a
3. se A = B e B = C ent˜o A = C.
a
17. ¸˜
2.4. OPERACOES COM CONJUNTOS 15
Como vimos anteriormente, um conjunto pode ser elemento de um outro conjunto. Vamos
nos aprofundar um pouco mais nessa id´ia e definirmos um importante conjunto cujos
e
elementos s˜o conjuntos. Seja A um conjunto. Definimos o Conjunto das Partes de A
a
como sendo o conjunto cujos elementos s˜o os subconjuntos de A. Vamos represent´-lo
a a
por ℘ (A) . Em s´
ımbolos:
℘ (A) = {X|X ⊆ A} .
Exemplo 2.3.6 Se A = {a} ent˜o ℘ (A) = {∅, {a}} .
a
Exemplo 2.3.7 Se A = ∅, ent˜o ℘ (∅) = {∅} .
a
Exemplo 2.3.8 Se A = {a, b} ent˜o ℘ (A) = {∅, {a} , {b} , {a, b}} .
a
Observa¸˜o 2.3.5 O conjunto ℘ (A) nunca ´ vazio pois o conjunto vazio ´ subconjunto
ca e e
de todo conjunto.
Observa¸˜o 2.3.6 Se o conjunto A tiver n elementos ent˜o o conjunto ℘ (A) ter´ 2n
ca a a
elementos. N˜o vamos provar isso agora. Primeiro vamos entender o que significa ter
a
n elementos. Isso ficar´ para breve quando estivermos falando de conjuntos finitos e
a
infinitos.
2.4 Opera¸˜es com conjuntos
co
A nossa id´ia agora ´ formar novos conjuntos a partir de outros. A forma¸˜o desses novos
e e ca
conjuntos usar´ fortemente os termos e, ou e n˜o vistos na disciplina de Argumenta¸ao
a a c˜
em Matem´tica.
a
Sejam A e B conjuntos. A uni˜o de A e B ´ o conjunto dos elementos que pertencem a
a e
pelo menos um dos dois conjuntos A ou B. Vamos represent´-la por A ∪ B. Em s´
a ımbolos
temos
A ∪ B = {x|x ∈ A ∨ x ∈ B} .
Em outras palavras, o conjunto A ∪ B ´ o conjunto contendo todos os elementos que
e
est˜o em A, em B ou em ambos. Na figura a seguir temos uma representa¸ao de A ∪ B
a c˜
em um diagrama de Venn. Nessa figura A e B est˜o contidos num conjunto maior U
a
denominado Conjunto Universo.
18. 16 CAP´
ITULO 2. CONJUNTOS
Sejam A e B conjuntos. A interse¸˜o de A e B ´ o conjunto dos elementos que
ca e
pertencem a ambos os conjuntos A e B. Vamos represent´-la por A ∩ B. Em s´
a ımbolos
temos
A ∩ B = {x|x ∈ A ∧ x ∈ B} .
Na figura a seguir temos uma representa¸ao de A ∩ B em um diagrama de Venn. Nessa
c˜
figura A e B est˜o contidos num conjunto maior U denominado Conjunto Universo.
a
Exemplo 2.4.1 Sejam A = {x, y, z, p} e B = {x, q} . Ent˜o A ∪ B = {x, y, z, p, q} e
a
A ∩ B = {x} .
Exemplo 2.4.2 Sejam A = {p ∈ N|p ´ um n´mero par} e B = {p ∈ N|p ´ um n´mero ´
e u e u ımpar} .
Ent˜o A ∪ B = N e A ∩ B = ∅.
a
Observa¸˜o 2.4.1 Vemos imediatamente da defini¸˜o que A, B ⊆ A ∪ B e que A ∩ B ⊆
ca ca
A, B.
Observa¸˜o 2.4.2 Se A e B s˜o conjuntos tais que A ∩ B = ∅, diremos que A e B s˜o
ca a a
Conjuntos disjuntos.
19. ¸˜
2.4. OPERACOES COM CONJUNTOS 17
Reuniremos no Teorema a seguir as principais propriedades das Uni˜o e da Interse¸ao de
a c˜
conjuntos:
Teorema 2.4.1 Sejam A, B e C conjuntos. Ent˜o valem as seguintes propriedades:
a
1. Se X ⊆ A e X ⊆ B ent˜o X ⊆ A ∩ B,
a
2. Se A ⊆ Y e B ⊆ Y ent˜o A ∪ B ⊆ Y,
a
3. Comutatividade A ∪ B = B ∪ A, e A ∩ B = B ∩ A,
4. Associatividade (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) , e (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) ,
5. Distributividade A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) e A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩
(A ∪ C)
6. Identidade A ∪ ∅ = A e A ∩ ∅ = ∅,
7. Idempotˆncia A ∪ A = A e A ∩ A = A,
e
8. Absor¸˜o Se A ⊆ B ent˜o A ∪ B = B e A ∩ B = A,
ca a
9. Monotonicidade Se A ⊆ B ent˜o A ∪ C ⊆ B ∪ C e A ∩ C ⊆ B ∩ C.
a
Demonstra¸˜o: Todas as propriedades decorrem das defini¸˜es. Vamos provar uma
ca co
das igualdades da propriedade (5), ficando outra igualdade e as demais como exerc´
ıcio
para o leitor. Seja x ∈ A ∩ (B ∪ C) . Ent˜o x ∈ A e x ∈ B ∪ C. Assim, x ∈ B ou
a
x ∈ C. No primeiro caso, temos que x ∈ A ∩ B, enquanto que no segundo, temos que
x ∈ A ∩ C. Em qualquer dos casos teremos ent˜o x ∈ (A ∩ B) ou x ∈ (A ∩ C) , ou seja,
a
x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) , provando que A ∩ (B ∪ C) ⊆ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) . Seja agora
x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) . Ent˜o x ∈ A ∩ B ou x ∈ A ∩ C. No primeiro caso, temos que
a
x ∈ A e x ∈ B. Como x ∈ B, segue que x ∈ B ∪ C. Portanto, do primeiro caso, con-
ımos que x ∈ A ∩ (B ∪ C) . Por um racioc´
clu´ ınio totalmente an´logo conclu´
a ımos que,
ocorrendo o segundo caso, teremos x ∈ A ∩ (B ∪ C) . Portanto, em qualquer dos casos
teremos x ∈ A ∩ (B ∪ C) , mostrando que (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ⊆ A ∩ (B ∪ C) . Portanto,
a igualdade est´ provada.
a
Observa¸˜o 2.4.3 Os adjetivos dados a algumas das propriedades acima vˆm dos mes-
ca e
mos adjetivos dados a propriedades an´logas que os n´meros e as opera¸˜es com eles
a u co
20. 18 CAP´
ITULO 2. CONJUNTOS
definidas possuem. Apenas a t´tulo de curiosidade, vamos atentar para a propriedade
ı
distributiva do produto com rela¸˜o ` adi¸˜o que nos diz que se x, y e z s˜o n´meros
ca a ca a u
reais, ent˜o
a
x · (y + z) = x · y + x · z.
Perceba a analogia existente entre essa propriedade e aquela que ´ v´lida para conjuntos.
e a
Sejam A e B conjuntos. A Diferen¸a entre A e B ´ o conjunto dos elementos que
c e
pertencem ao conjunto A mas que n˜o pertencem ao conjunto B. Vamos represent´-la
a a
por A − B. Em s´
ımbolos temos
A − B = {x|x ∈ A ∧ x ∈ B} .
Na figura a seguir temos uma representa¸˜o de A − B em um diagrama de Venn. Nessa
ca
figura A e B est˜o contidos num conjunto maior U denominado Conjunto Universo.
a
Exemplo 2.4.3 Sejam A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e B = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} . Ent˜o A − B =
a
{1, 2, 3} . Tamb´m vemos que B − A = {7, 8, 9, 10} .
e
Exemplo 2.4.4 Se A = N e B = {x ∈ N|x > 10} . Ent˜o A−B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} .
a
Nesse caso, B − A = ∅, uma vez que B ⊂ A.
Vejamos agora as principais propriedades da diferen¸a de conjuntos.
c
Teorema 2.4.2 Sejam A, B e C conjuntos. Ent˜o valem as seguintes propriedades:
a
1. A − B ⊆ A,
2. (A − B) ∩ B = ∅,
3. A − B = ∅ ↔ A ⊆ B,
21. ¸˜
2.4. OPERACOES COM CONJUNTOS 19
4. Se A ⊆ B, ent˜o A − C = A ∩ (B − C) ,
a
5. Se A ⊆ B, ent˜o C − B ⊆ C − A,
a
6. C − (A ∪ B) = (C − A) ∩ (C − B) e C − (A ∩ B) = (C − A) ∪ (C − B) ,
Demonstra¸˜o: Vamos provar apenas uma das igualdades da parte (6), deixando a
ca
outra e as demais propriedades como exerc´ para o leitor. Seja x ∈ C −(A ∪ B) . Ent˜o
ıcio a
x ∈ C e x ∈ A∪B. Assim conclu´
ımos que x ∈ A e x ∈ B. Como x ∈ C e x ∈ A, temos que
x ∈ (C − A) . Analogamente, x ∈ C e x ∈ B, da´ x ∈ (C − A) ∩ (C − B) , acarretando
ı,
que C − (A ∪ B) ⊆ (C − A) ∩ (C − B) . Suponha agora que x ∈ (C − A) ∩ (C − B) .
ımos que x ∈ C − A e que x ∈ C − B. Logo, x ∈ C e x ∈ A e x ∈ B. Assim,
Conclu´
x ∈ C −(A ∪ B) . Isso acarreta que (C − A)∩(C − B) ⊂ C −(A ∪ B) , donde a igualdade
est´ provada.
a
Observa¸˜o 2.4.4 A propriedade (6) ´ conhecida como as Leis de De Morgan, em
ca e
homenagem ao matem´tico Augustus de Morgan.
a
A existˆncia de um conjunto de todos os conjuntos, ou um conjunto universo leva a
e
algumas contradi¸oes na Teoria dos Conjuntos. Entretanto, tomando-se o devido cuidado,
c˜
podemos assumir essa hip´tese sem problemas. Faremos isso a seguir para definirmos
o
um importante conjunto. Suponha que U seja um conjunto universo e que A ⊆ U. O
Complementar de A com rela¸˜o a U ´ o conjunto U − A. Vamos represent´-lo por
ca e a
A . Na figura a seguir temos uma representa¸˜o de A em um diagrama de Venn. Nessa
ca
figura A e B est˜o contidos num conjunto maior U .
a
Supondo que A e B estejam contidos em um conjunto universo U, podemos dar algumas
propriedades dos complementares:
22. 20 CAP´
ITULO 2. CONJUNTOS
Teorema 2.4.3 Sejam A e B subconjuntos de um conjunto universo U. Ent˜o valem as
a
seguintes propriedades:
1. A − B = A ∩ B ,
2. (A ) = A,
3. ∅ = U e U = ∅,
4. A ∩ A = ∅ e A ∪ A = U,
5. A ⊆ B ↔ B ⊆ A ,
6. (A ∪ B) = A ∩ B ,
7. (A ∩ B) = A ∪ B .
Demonstra¸˜o: A demonstra¸˜o ´ feita usando as defini¸˜es e o Teorema (2.4.2). Deix-
ca ca e co
amos para o leitor como exerc´
ıcio.
23. Cap´
ıtulo 3
Fam´
ılias indexadas de conjuntos
Vamos supor que I seja um conjunto n˜o-vazio e que, a cada i ∈ I, esteja associado um
a
conjunto Ai . O conjunto F cujos elementos s˜o os conjuntos Ai ´ chamado de Fam´
a e ılia
de conjuntos indexada pelo conjunto I. O conjunto I ´ chamado de Conjunto de
e
ındices. Em geral usa-se a nota¸ao {Ai }i∈I para se representar a fam´ F. Uma outra
´ c˜ ılia
nota¸ao ´ F = {Ai |i ∈ I} .
c˜ e
Se F ´ uma fam´ indexada por I, diremos que A ∈ F se existir i ∈ I de tal modo que
e ılia
A = Ai .
Exemplo 3.0.5 A fam´lia A1 = {1, 2} , A2 = {2, 4} , ..., An = {n, 2n} , ... ´ uma fam´lia
ı e ı
de conjuntos indexada pelo conjunto N.
Exemplo 3.0.6 A fam´lia A∂ = ∅, A = N, A∞ = Z, A = Q e A = R ´ uma fam´lia
ı e ı
indexada pelo conjunto I = {∂, , ∞, , } .
Veremos agora como definir a uni˜o e a interse¸˜o de elementos em uma fam´
a ca ılia. Seja F
uma fam´ indexada pelo conjunto I. Definimos a Uni˜o dos conjuntos de F como
ılia a
sendo o conjunto
Ai = {x|x ∈ Ai , para algum i ∈ I} .
i∈I
A Interse¸˜o dos conjuntos de F ´ o conjunto
ca e
Ai = {x|x ∈ Ai , para todo i ∈ I} .
i∈I
Exemplo 3.0.7 Seja F = {[−n, n] |n ∈ N} . Ent˜o
a
An = R
n∈N
21
24. 22 CAP´
ITULO 3. FAM´
ILIAS INDEXADAS DE CONJUNTOS
e
An = [−1, 1] .
n∈N
Exemplo 3.0.8 Para cada n ∈ N, considere a fam´lia
ı
1 1
F= − , |n ∈ N .
n n
Ent˜o
a n∈N Cn = [−1, 1] e n∈N Cn = {0} .
Reuniremos agora no Teorema abaixo as principais propriedades de uni˜es, interse¸oes e
o c˜
diferen¸as entre fam´
c ılias de conjuntos:
Teorema 3.0.4 Sejam I um conjunto n˜o-vazio, {Ai }i∈I uma fam´lia de conjuntos in-
a ı
dexada por I, e B um conjunto. Ent˜o:
a
1. i∈I Ai ⊆ Ak , para todo k ∈ I. Se B ⊆ Ak , para todo k ∈ I, ent˜o B ⊆
a i∈I Ai ,
2. Ak ⊆ i∈I Ai , para todo k ∈ I. Se Ak ⊆ B, para todo k ∈ I, ent˜o
a i∈I Ai ⊆ B,
3. Lei distributiva B ∩ i∈I Ai = i∈I (B ∩ Ai ) ,
4. Lei distributiva B ∪ i∈I Ai = i∈I (B ∪ Ai ) ,
5. Lei de De Morgan B − i∈I Ai = i∈I (B − Ai ) ,
6. Lei de De Morgan B − i∈I Ai = i∈I (B − Ai ) .
Demonstra¸˜o: Provaremos apenas a parte (3), deixando as demais como exerc´
ca ıcio.
Seja x ∈ B ∩ i∈I Ai . Ent˜o x ∈ B e x ∈
a i∈I Ai . Assim, x ∈ Ak para algum
k ∈ I. Assim, x ∈ B ∩ Ak . Dessa forma, x ∈ i∈I (B ∩ Ai ) , pela parte (1). As-
sim B ∩ i∈I Ai ⊆ i∈I (B ∩ Ai ) . Agora seja x ∈ i∈I (B ∩ Ai ) . Assim, x ∈ B e
x ∈ Ak . Dessa forma, x ∈ i∈I Ai pela parte (1). Assim, x ∈ B ∩ i∈I Ai . Portanto,
i∈I (B ∩ Ai ) ⊆ B ∩ i∈I ımos que B ∩
Ai . Da´ conclu´
ı i∈I Ai = i∈I (B ∩ Ai ) .
25. Cap´
ıtulo 4
Rela¸˜es
co
4.1 Pares ordenados
Sejam A e B conjuntos e a ∈ A e b ∈ B. O Par ordenado cujo primeiro elemento ´
e
a e o segundo elemento ´ b ´, por defini¸ao, o conjunto {{a} , {a, b}} . Vamos denot´-
e e c˜ a
lo por (a, b) . A principal propriedade dos pares ordenados ´ aquela que diz respeito a
e `
igualdade entre dois deles. Sendo mais espec´
ıficos, temos o seguinte
Teorema 4.1.1 (a, b) = (c, d) se e somente se a = c ∧ b = d.
Demonstra¸˜o: De fato, se a = c e b = d ent˜o (a, b) = (c, d) , imediatamente. Suponha
ca a
agora que (a, b) = (c, d) . Ent˜o os conjuntos {{a} , {a, b}} e {{c} , {c, d}} s˜o iguais. Da´
a a ı
conclu´
ımos que a = c e que b = d.
Observa¸˜o 4.1.1 Daqui por diante e, em praticamente toda a sua vida, vocˆ s´ vai
ca e o
utilizar o s´
ımbolo (a, b) para falar do par ordenado cujo primeiro elemento ´ a e o segundo
e
´ b.
e
4.2 Produto cartesiano
Sejam A e B conjuntos. O Produto cartesiano de A por B, denotado por A × B, ´ o
e
conjunto dos pares ordenados cujo primeiro elemento pertence ao conjunto A e o segundo
elemento pertence ao conjunto B. Em s´
ımbolos:
A × B = {(a, b) | a ∈ A ∧ b ∈ B} .
23
26. 24 CAP´ ¸˜
ITULO 4. RELACOES
Exemplo 4.2.1 Se A = {a, b} e B = {1, 2, 3} , ent˜o
a
A × B = {(a, 1) , (a, 2) , (a, 3) , (b, 1) , (b, 2) , (b, 3)} .
Exemplo 4.2.2 Se A = {1, 3, 5} , ent˜o
a
A × A = {(1, 1) , (1, 3) , (1, 5) , (3, 1) , (3, 3) , (3, 5) , (5, 1) , (5, 3) , (5, 5)} .
Algumas das principais propriedades do produto cartesiano de dois conjuntos est˜o lis-
a
tadas no Teorema a seguir. Vamos provar apenas uma e deixar o restante como exerc´
ıcio.
Teorema 4.2.1 Sejam A, B e C conjuntos. Ent˜o valem as propriedades:
a
1. Se A ⊆ B ∧ C ⊆ D ent˜o A × C ⊆ B × D,
a
2. A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C) ,
3. (B ∪ C) × A = (B × A) ∪ (C × A) ,
4. A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C) ,
5. (B ∩ C) × A = (B × A) ∩ (C × A) ,
6. (A ∩ B) × (C ∩ D) = (A × C) ∩ (B × D) .
Demonstra¸˜o: Vamos provar a propriedade (2) . Seja (a, b) ∈ A × (B ∪ C) . Ent˜o
ca a
a ∈ A e b ∈ B ∪ C. Assim, b ∈ B ou b ∈ C. No primeiro caso, teremos (a, b) ∈ A × B ⊆
A×B ∪A×C. No segundo teremos (a, b) ∈ A×C ⊆ A×B ∪A×C. Portanto, em qualquer
dos casos teremos A × (B ∪ C) ⊆ A × B ∪ A × C. Seja agora (a, b) ∈ A × B ∪ A × C.
Ent˜o h´ dois casos: (a, b) ∈ A × B ou (a, b) ∈ A × C. Se ocorrer o primeiro caso, ent˜o
a a a
a ∈ A e b ∈ B ⊂ B ∪ C, ou seja (a, b) ∈ A × (B ∪ C) . Se ocorrer o segundo caso, ent˜o
a
(a, b) ∈ A × C. Da´ a ∈ A e b ∈ C ⊆ B ∪ C, ou seja, (a, b) ∈ A × (B ∪ C) . Portanto,
ı,
qualquer que seja o caso, temos A × B ∪ A × C ⊆ A × (B ∪ C) .
Observa¸˜o 4.2.1 Em geral A × B = B × A. Dˆ um exemplo para ilustrar isso.
ca e
Observa¸˜o 4.2.2 Se B = A ent˜o A × B ser´ denotado por A2 ou B 2 .
ca a a
Observa¸˜o 4.2.3 Pode-se definir o produto cartesiano sem necessariamente se fazer
ca
men¸˜o a pares ordenados. Esse ponto de vista ser´ abordado quando formos definir
ca a
produtos cartesianos de uma quantidade infinita de conjuntos. Isso ser´ feito no curso
a
de Matem´tica Elementar II.
a
27. ¸˜
4.3. RELACOES 25
4.3 Rela¸˜es
co
Sejam A e B conjuntos. Uma Rela¸˜o bin´ria
ca a de A em B ou simplesmente uma
Rela¸˜o
ca de A em B ´ qualquer subconjunto de A × B.
e
Observa¸˜o 4.3.1 Se B = A ent˜o diremos que
ca a ´ uma rela¸˜o em A ou sobre A.
e ca
Observa¸˜o 4.3.2 Se (x, y) ∈
ca , escreveremos x y. Caso contr´rio, isto ´, se (x, y) ∈
a e
, escreveremos x y, para simbolizar isso.
Exemplo 4.3.1 Sejam A = {1, 2, 3} , B = {x, y, z} e = {(1, y) , (1, z) , (2, y)} ´ uma
e
rela¸˜o de A em B.
ca
Exemplo 4.3.2 Sejam A = B = R e = {(x, y) ∈ R2 |x2 + y 2 ≤ 1} . Ent˜o
a ´ uma
e
rela¸˜o de R em R ou simplesmente uma rela¸˜o em R. Geometricamente ela pode ser
ca ca
representada por um c´rculo de centro na origem e raio 1, conforme a figura a seguir.
ı
Exemplo 4.3.3 Sejam A = B = R e definida por x y ↔ x + 2y = 1. Geometrica-
mente podemos represent´-la por uma reta no plano.
a
Exemplo 4.3.4 Seja X = {1, 2, 3} . Em A = ℘ (X) = {∅, {1} , {2} , {3} , {1, 2} , {1, 3} , {2, 3} , {1, 2, 3}}
podemos definir a seguinte rela¸˜o: P Q ↔ P ⊆ Q. Observe que ∅ X, qualquer que seja
ca
X ⊂ {1, 2, 3} . Temos {1} {1, 2} e {2} {1, 3} .
Exemplo 4.3.5 Podemos definir em A = Z a seguinte rela¸˜o
ca
a b ↔ a − b ´ divis´vel por 5.
e ı
Observe que 8 − 2, −4 6 e 3 9. Esa rela¸˜o ser´ estudada bastante por n´s em dois
ca a o
momentos. O primeiro quando estudarmos Rela¸˜es de Equivalˆncia e o segundo, quando
co e
estudarmos Teoria dos N´meros.
u
28. 26 CAP´ ¸˜
ITULO 4. RELACOES
Exemplo 4.3.6 Seja A = M2×2 (R) , o conjunto das matrizes quadradas 2 × 2. Em A
definimos a seguinte rela¸˜o:
ca
X Y ↔ x11 + x22 = y11 + y22 .
Exemplo 4.3.7 Seja A o conjunto das retas no plano. Em A, podemos definir a seguinte
rela¸˜o:
ca
r s ↔ r ´ paralela a s.
e
Observa¸˜o 4.3.3 Observe que em quase todos os exemplos acima n˜o dissemos quem
ca a
eram explicitamente os pares ordenados que pertenciam ` rela¸˜o. Ao inv´s disso, disse-
a ca e
´
mos quando dois elementos se relacionam. E muito importante que vocˆ se conven¸a de
e c
que isso que fizemos ´ equivalente a dar os pares ordenados da rela¸˜o.
e ca
4.4 Dom´
ınio e Imagem
Seja uma rela¸ao de A em B. O conjunto formado pelos primeiros elementos dos pares
c˜
ordenados que pertencem a ´ chamado de Dom´
e ınio da rela¸˜o
ca e representado por
D ( ) ou por Dom ( ) . Em s´
ımbolos
D ( ) = {a ∈ A| Existe b ∈ B tal que (a, b) ∈ }.
A Imagem de , por sua vez, ´ o conjunto formado pelos segundos elementos dos pares
e
ordenados que pertencem a . Vamos denot´-la por I ( ) ou Im ( ) . Em s´
a ımbolos
I ( ) = {b ∈ B| Existe a ∈ A tal que (a, b) ∈ }.
Exemplo 4.4.1 No caso do exemplo (4.3.1), temos que D ( ) = {1, 2} e I ( ) = {y, z} .
Exemplo 4.4.2 No caso do exemplo (4.3.2), temos que D ( ) = [−1, 1] e I ( ) =
[−1, 1] .
Exemplo 4.4.3 No caso do exemplo (4.3.3), temos que D ( ) = I ( ) = R.
4.5 Rela¸˜o Composta e Rela¸˜o Inversa
ca ca
Sejam A, B e C conjuntos e R uma rela¸ao de A em B e S uma rela¸ao de B em C. A
c˜ c˜
Rela¸˜o Composta de S e R ´ rela¸˜o de A em C, denotada por S ◦ R, e definida por
ca e ca
S ◦ R = {(a, c) ∈ A × C| Existe b ∈ B tal que (a, b) ∈ R ∧ (b, c) ∈ S} .
Vejamos agora alguns exemplos:
29. ¸˜ ¸˜
4.5. RELACAO COMPOSTA E RELACAO INVERSA 27
Exemplo 4.5.1 Sejam A = {1, 2, 3, 4} , B = {x, y, z, w} e C = {5, 6, 7, 8} e as rela¸˜es
co
R de A em B e S de B em C definidas, respectivamente, por
R = {(1, x) , (1, y) , (2, x) , (3, w) , (4, w)}
e
S = {(y, 5) , (y, 6) , (z, 8) , (w, 7)} .
Ent˜o
a
S ◦ R = {(1, 5) , (1, 6) , (3, 7) , (4, 7)} .
Exemplo 4.5.2 Sejam A = B = C = R e as rela¸˜es em A definidas por
co
R = (x, y) ∈ R2 |x2 + y 2 = 1
e
S = (y, z) ∈ R2 |2y + 3z = 4 .
Se (x, y) ∈ R e (y, z) ∈ S, ent˜o
a
x2 + y 2 = 1
e
2y + 3z = 4.
4 − 3z 16 − 24z + 9z 2
Portanto, y = o que acarreta y 2 = . Logo,
2 4
16 − 24z + 9z 2
x2 + = 1,
4
ou seja,
4x2 − 24z + 9z 2 + 12 = 0
e da´
ı
S ◦ R = (x, z) ∈ R2 |4x2 − 24z + 9z 2 + 12 = 0 .
Sejam A e B conjuntos e uma rela¸ao de A em B. A Rela¸˜o Inversa de
c˜ ca ´ a rela¸ao
e c˜
−1
de B em A, denotada por e definida por
−1
= {(b, a) ∈ B × A| (a, b) ∈ }.
Vejamos alguns exemplos
30. 28 CAP´ ¸˜
ITULO 4. RELACOES
Exemplo 4.5.3 Sejam A = {1, 2, 3} e B = {a, b} e considere a rela¸˜o de A em B
ca
definida por
= {(1, a) , (1, b) , (1, c)} .
Ent˜o, por defini¸˜o segue que
a ca
−1
= {(a, 1) , (b, 1) , (a, 3)} .
Exemplo 4.5.4 Sejam A = B = R e considere a rela¸˜o em A definida por
ca
= (x, y) ∈ R2 |y = 2x .
Vemos que
−1
= (y, x) ∈ R2 |y = 2x = (x, y) ∈ R2 |x = 2y .
Exemplo 4.5.5 Sejam A = B = R e considere a rela¸˜o em A definida por
ca
= (x, y) |x2 + (y − 2)2 ≤ 1 .
Ent˜o vemos que
a
−1
= (y, x) ∈ R2 |x2 + (y − 2)2 ≤ 1 ,
ou seja,
−1
= (x, y) ∈ R2 | (x − 2)2 + y 2 ≤ 1 .
Observa¸˜o 4.5.1 Se
ca ´ uma rela¸˜o de A em B ent˜o valem as seguintes pro-
e ca a
priedades:
−1
1. D ( ) = Im ( ),
−1
2. I ( ) = D( )
−1 −1
3. ( ) = .
Todos esses fatos seguem das defini¸˜es. Para treinar no uso delas sugerimos que vocˆ
co e
prove-os como exerc´cio.
ı
31. ¸˜ ˆ
4.6. RELACOES DE EQUIVALENCIA 29
4.6 Rela¸˜es de Equivalˆncia
co e
H´ dois tipos muito importantes de rela¸oes: as Rela˜es de Ordem e as Rela¸oes de
a c˜ o c˜
Equivalˆncia. Aqui vamos estudar as Rela¸oes de Equivalˆncia. Para isso, definiremos
e c˜ e
alguns termos.
Defini¸˜o 4.6.1 Seja A um conjunto e
ca uma rela¸˜o em A. Diremos que
ca ´ uma
e
rela¸˜o:
ca
• Reflexiva Se para todo x ∈ A, tivermos (x, x) ∈ A. Em outros termos, ´ uma
e
rela¸˜o reflexiva se, para todo x ∈ A, tivermos x x.
ca
• Sim´trica Se (x, y) ∈
e implicar (y, x) ∈ . Em outros termos, ´ uma rela¸˜o
e ca
sim´trica se x y ⇒ y x.
e
• Transitiva Se (x, y) ∧ (y, z) ∈ implicar (x, z) ∈ . Em outros termos, ´ uma
e
rela¸˜o transitiva se x y ∧ y z ⇒ x z.
ca
Veremos agora v´rios exemplos.
a
Exemplo 4.6.1 Sejam A = {1, 2, 3, 4} e a rela¸˜o em A definida por
ca = {(1, 1) , (2, 4) , (3, 3) , (4, 1) ,
Observe que:
1. n˜o ´ reflexiva pois (2, 2) ∈ .
a e
2. n˜o ´ sim´trica pois (4, 1) ∈
a e e , mas (1, 4) ∈ .
3. n˜o ´ transitiva pois (2, 4) ∈
a e e (4, 1) ∈ mas (2, 1) ∈ .
Exemplo 4.6.2 Sejam A = R e a rela¸˜o em A definida por x y ↔ x < y. Observe
ca
que:
1. n˜o ´ reflexiva pois 1
a e 1.
2. n˜o ´ sim´trica pois 1 2 mas 2
a e e 1.
3. ´ transitiva pois se x, y, z ∈ R e x < y e y < z, ent˜o x < z.
e a
Exemplo 4.6.3 Sejam X = {1, 2, 3} e A = ℘ (X) . Defina em A a rela¸˜o P Q ↔ P ⊆
ca
Q. Observe que:
1. ´ reflexiva pois, para cada P ∈ A, teremos P P uma vez que todo conjunto est´
e a
contido em si mesmo.
32. 30 CAP´ ¸˜
ITULO 4. RELACOES
2. n˜o ´ sim´trica pois ∅ {1} mas {1}
a e e ∅.
3. ´ transitiva pois se P Q e Q T ent˜o teremos P ⊆ Q e Q ⊆ T e da´ P ⊆ T,
e a ı
ou seja, P T.
Exemplo 4.6.4 Sejam A = N e a rela¸˜o definida em A por x y ↔ x ´ divisor de y.1 Observe
ca e
que:
1. ´ reflexiva pois, para cada x ∈ A, temos que x ´ divisor de x.
e e
2. n˜o ´ sim´trica pois 1 2 mas 2
a e e 1.
3. ´ transitiva pois se x y e y z ent˜o y = k1 x e z = k2 y. Logo z = k1 k2 x, donde
e a
x z.
Exemplo 4.6.5 Sejam A = {1, 2, 3, 4} e a rela¸˜o em A definida por
ca = {(1, 3) , (4, 2) , (2, 4) , (2, 3) ,
Observe que:
1. n˜o ´ reflexiva pois (1, 1) ∈ .
a e
2. n˜o ´ sim´trica pois (2, 3) ∈
a e e mas (3, 2) ∈ .
3. n˜o ´ transitiva pois (1, 3) ∈
a e e (3, 1) ∈ mas (1, 1) ∈ .
Exemplo 4.6.6 Sejam A = N e a rela¸˜o em A definida por x y ↔ x + y = 8.
ca
Observe que
1. n˜o ´ reflexiva pois 3
a e 3.
2. ´ sim´trica pois se x y ent˜o x + y = 8 = y + x, logo y x.
e e a
3. n˜o ´ transitiva pois 2 6 e 6 2 mas 2
a e 2.
Exemplo 4.6.7 Sejam A = {a, b, c} e a rela¸˜o em A por
ca = {(a, b) , (c, b) , (b, a) , (a, c)} .
Observe que:
1. n˜o ´ reflexiva pois (a, a) ∈ .
a e
2. n˜o ´ sim´trica pois (c, b) ∈
a e e mas (b, c) ∈ ,
3. n˜o ´ transitiva pois (a, b) ∈
a e e (b, a) ∈ mas (a, a) ∈ .
1
Lembre que x ser divisor de y significa que existe um k ∈ N tal que y = kx.
33. ¸˜ ˆ
4.6. RELACOES DE EQUIVALENCIA 31
Agora podemos definir o que entendemos por uma Rela¸˜o de Equivalˆncia.
ca e
Defini¸˜o 4.6.2 Sejam A um conjunto e
ca uma rela¸˜o em A. Diremos que
ca ´ uma
e
Rela¸˜o de Equivalˆncia se ela for reflexiva, sim´trica e transitiva.
ca e e
Vejamos alguns exemplos
Exemplo 4.6.8 Sejam A = Z e a rela¸˜o definida em A por x y ↔ x−y ´ divis´vel por 5.
ca e ı
Observe que:
1. ´ reflexiva pois, para cada x ∈ A, temos que x − x = 0 e 0 ´ divis´vel por 5.
e e ı
2. ´ sim´trica pois se x y ent˜o x − y ´ divis´vel por 5. Mas isso siginifica que
e e a e ı
x − y = 5k para algum k ∈ Z. Logo, y − x = −5k = 5 (−k) = 5p, donde conclu´mos
ı
que y x.
3. ´ transitiva pois se x y e y z ent˜o x − y = 5k1 e y − z = 5k2 , com k1 , k2 ∈ Z.
e a
Da´ x − z = 5 (k1 − k2 ) = 5p, ou seja, x z.
ı
Exemplo 4.6.9 Sejam A o conjunto dos triˆngulos do plano e
a a rela¸˜o em A definida
ca
por S T ↔ S ´ congruente a T. Observe que
e ´ uma rela¸˜o de equivalˆncia em A.
e ca e
Exemplo 4.6.10 Sejam A = Q, o conjunto dos n´meros racionais e R a rela¸˜o definida
u ca
p s
em A por ↔ pt = sq. Observe que:
q t
1. ´ reflexiva pois pq = pq.
e
p s s p
2. ´ sim´trica pois se
e e ent˜o pt = sq. Mas isso acarreta que
a .
q t t q
p s s u
3. ´ transitiva pois se
e e ent˜o pt = sq e sv = tu. Logo pv
a = uq, ou seja,
q t t v
p u
.
q v
Exemplo 4.6.11 Sejam A o conjunto dos segmentos orientados do plano ou do espa¸o e
c
a rela¸˜o em A definida por u v ↔ u e v tˆm o mesmo m´dulo, mesma dire¸˜o e mesmo sentido.
ca e o ca
Observe que a rela¸˜o
ca ´ de equivalˆncia.
e e
Ap´s os exemplos, vamos definir alguns termos.
o
Defini¸˜o 4.6.3 Sejam A um conjunto,
ca uma rela¸˜o de equivalˆncia em A e a ∈
ca e
A. O conjunto dos elementos de A que se relacionam com a ´ chamado Classe de
e
Equivalˆncia do elemento a e ser´ representado por [a] . Em s´mbolos:
e a ı
[a] = {b ∈ A|a b} .
34. 32 CAP´ ¸˜
ITULO 4. RELACOES
Vejamos alguns exemplos
Exemplo 4.6.12 Sejam A = {1, 2, 3, 4} e a rela¸˜o de equivalˆncia definida em A
ca e
por
= {(1, 1) , (2, 2) , (3, 3) , (4, 4) , (1, 2) , (2, 1)} .
Ent˜o:
a
1. [1] = {1, 2} ,
2. [2] = {1, 2} = [1] ,
3. [3] = {3} ,
4. [4] = {4} .
Exemplo 4.6.13 No exemplo (4.6.8) observe que:
1. [0] = {..., −15, −10, −5, 0, 5, 10, 15, ...} ,
2. [1] = {..., −14, −9, −4, 1, 6, 11, 16, ...} ,
3. [2] = {..., −13, −8, −3, 2, 7, 12, 17, ...} ,
4. [3] = {..., −12, −7, −2, 3, 8, 13, 18, ...} ,
5. [4] = {..., −11, −6, −1, 4, 9, 14, 19, ...} ,
Vamos agora provar uma importante propriedade das classes de equivalˆncia
e
Teorema 4.6.1 Sejam A um conjunto, uma rela¸˜o de equivalˆncia em A e a, b ∈ A,
ca e
dois elementos quaisquer. As seguintes condi¸˜es sobre a e b s˜o equivalentes:
co a
1. a b,
2. a ∈ [b] ,
3. b ∈ [a] ,
4. [a] = [b] .
Demonstra¸˜o:
ca
(1)→(2) Suponha que a b. Ent˜o, pela defini¸ao de [b] , segue que a ∈ [b] .
a c˜
35. ¸˜ ˆ
4.6. RELACOES DE EQUIVALENCIA 33
(2)→(3) Suponha que a ∈ [b] . Ent˜o a b. Como
a ´ sim´trica, temos que b a. Da´
e e ı,
b ∈ [a] .
(3)→(4) Suponha que b ∈ [a] e seja x ∈ [b] . Ent˜o temos que b a e x b. Como
a ´
e
sim´trica, segue que a b e b x. Pela transitividade de
e segue que a x. Novamente
usando a simetria de , segue que x a, e da´ x ∈ [a] . Logo [b] ⊆ [a] . Seja x ∈ [a] .
ı
Da´ x a. Como b ∈ [a] e
ı ´ sim´trica, temos que x b, ou seja, x ∈ [b] . Portanto
e e
[a] ⊆ [b] .
(4)→(1) Como ´ reflexiva, segue que a ∈ [a] = [b] . Portanto, a b.
e
O teorema anterior traz algumas interessantes conclus˜es:
o
Corol´rio 4.6.1 [a] = [b] ⇔ a b.
a
Corol´rio 4.6.2 [a] ∩ [b] = ∅ ⇒ [a] = [b] .
a
Defini¸˜o 4.6.4 Sejam A um conjunto e
ca uma rela¸˜o de equivalˆncia em A. O con-
ca e
junto cujos elementos s˜o as classes de equivalˆncia de
a e ´ chamado de Conjunto
e
Quociente da rela¸˜o
ca e ´ representado por A/ . Em s´mbolos
e ı
A/ = {[a] |a ∈ A} .
Vejamos alguns exemplos.
Exemplo 4.6.14 No exemplo (4.6.8) temos A/ = {[0] , [1] , [2] , [3] , [4]} .
Exemplo 4.6.15 No exemplo (4.6.12) temos A/ = {[1] , [3] , [4]} .
Observa¸˜o 4.6.1 Do Teorema (4.6.1) tiramos importantes conclus˜es acerca das classes
ca o
de equivalˆncia:
e
1. Toda classe de equivalˆncia ´ n˜o vazia, isto ´, para todo a ∈ A, temos [a] = ∅,
e e a e
2. Duas classes de equivalˆncia distintas s˜o disjuntas, isto ´, [a] = [b] ⇒ [a] ∩ [b] = ∅.
e a e
3. A uni˜o de todas as classes de equivalˆncia ´ igual ao conjunto A, isto ´,
a e e e a∈A [a] =
A.
Por causa das propriedades acima, diremos que o conjunto quociente de uma rela¸˜o de
ca
equivalˆncia
e num conjunto A ´ uma parti¸˜o do conjunto A.
e ca
36. 34 CAP´ ¸˜
ITULO 4. RELACOES
Defini¸˜o 4.6.5 Seja A um conjunto n˜o vazio. Um subconjunto A ⊆ ℘ (A) ´ dito uma
ca a e
Parti¸˜o do conjunto A se satisfizer as seguintes condi¸˜es:
ca co
P1 - X = ∅ para todo X ∈ A,
P2 - Quaisquer que sejam X, Y ∈ A, vale X = Y ⇒ X ∩ Y = ∅,
P3 - X∈A = A.
Exemplo 4.6.16 Seja A = {1, 2} . Ent˜o as unicas parti¸˜es de A s˜o:
a ´ co a
1. A1 = {A} ,
2. A2 = {{1} , {2}} .
Exemplo 4.6.17 Seja A = {1, 2, 3} . Ent˜o as unicas parti¸˜es de A s˜o:
a ´ co a
1. A1 = {A} ,
2. A2 = {{1} , {2} , {3}} ,
3. A3 = {{1} , {2, 3}} ,
4. A4 = {{2} , {1, 3}} ,
5. A5 = {{3} , {1, 2}} .
Exemplo 4.6.18 Seja A = N e considere A = {A1 , A1 }, onde A1 = { naturais pares }
e A2 = { naturais ´mpares } . Vemos que A ´ uma parti¸˜o de A.
ı e ca
Se tivermos definida em um conjunto A uma rela¸˜o de equivalˆncia ent˜o o conjunto
ca e a
quociente fornece uma parti¸˜o de A. Isso foi o que vimos anteriormente. O que provare-
ca
mos agora ´ que dada uma parti¸˜o de um conjunto A podemos definir uma rela¸ao de
e ca c˜
equivalˆncia em A e o conjunto quociente desta rela¸ao ´ justamente a parti¸˜o dada.
e c˜ e ca
Teorema 4.6.2 Seja A um conjunto n˜o vazio e seja A uma parti¸˜o de A. Defina em
a ca
A a seguinte rela¸˜o
ca
x y ⇔ x, y pertencem ao mesmo conjunto da parti¸˜o.
ca
Ent˜o
a ´ uma rela¸˜o de equivalˆncia em A e A/
e ca e = A.
37. ¸˜ ˆ
4.6. RELACOES DE EQUIVALENCIA 35
Demonstra¸˜o: Vejamos a reflexividade. Dado x ∈ A temos, pela defini¸ao de parti¸ao,
ca c˜ c˜
que ele pertence a algum membro, digamos X de A. Da´ x x, portanto,
ı ´ reflexiva.
e
Vejamos agora a simetria. Suponha que x y. Ent˜o x, y est˜o no mesmo membro da
a a
parti¸ao, ou seja, y x. Suponha agora que x y e que y z. Ent˜o x e y pertencem ao
c˜ a
mesmo membro da parti¸ao e y e z tamb´m. Como dois membros quaisquer da parti¸ao
c˜ e c˜
n˜o se interceptam, segue que x e z pertencem ao mesmo membro da parti¸ao. Assim
a c˜
´ de equivalˆncia. Vamos provar agora a ultima afirma¸ao. Seja X ∈ A. Ent˜o dado
e e ´ c˜ a
x ∈ X, temos que [x] = X, portanto X ∈ A/ , ou seja A ⊆ A/ . Seja agora a ∈ A e
considere a classe de equivalˆncia determinada por a. Ent˜o, pela defini¸˜o da rela¸ao
e a ca c˜ ,
a classe de equivalˆncia [a] coincide com o conjunto ao qual a pertence. Logo, [a] ∈ A.
e
Portanto A/ ⊆ A.
.
Exemplo 4.6.19 Considere A o conjunto dos alunos de nossa sala de aula. Se agrupar-
mos os alunos em conjuntos formados por alunos que nasceram no mesmo ano, teremos
uma parti¸˜o do conjunto A. A rela¸˜o de equivalˆncia associada a essa parti¸˜o ´: o
ca ca e ca e
aluno x est´ relacionado com o aluno y quando x e y tiverem nascido no mesmo ano.
a
Exemplo 4.6.20 Sejam A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e A = {{1, 2}, {3, 5}, {4, 6, 7}}. Essa
parti¸˜o de A induz uma rela¸˜o de equivalˆncia
ca ca e em A dada por
= {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (3, 5), (5, 3), (5, 5), (4, 4), (4, 6), (4, 7), (6, 4), (6, 6), (6, 7), (7, 4), (7, 6)
Exemplo 4.6.21 Encontre as rela¸˜es de equivalˆncia associadas `s parti¸˜es dadas nos
co e a co
exemplos (4.6.16),(4.6.17) e (4.6.18).
39. Cap´
ıtulo 5
Fun¸˜es
co
5.1 Defini¸oes e nomenclatura
c˜
Defini¸˜o 5.1.1 Sejam A e B conjuntos e f uma rela¸˜o de A em B. Diremos que f ´
ca ca e
uma fun¸˜o de A em B se, para cada a ∈ A, existir um unico b ∈ B tal que (a, b) ∈ f.
ca ´
Observa¸˜o 5.1.1 Se f ´ uma fun¸˜o de A em B usaremos a nota¸˜o f : A → B para
ca e ca ca
denotarmos isso.
Exemplo 5.1.1 Sejam A = {1, 2, 3} , B = {4, 5, 6} e f = {(1, 5) , (2, 4) , (3, 5)} . Nesse
caso, f ´ uma fun¸˜o de A em B.
e ca
Exemplo 5.1.2 Sejam A = {1, 2, 3} , B = {4, 5, 6} e g = {(1, 5) , (2, 4) , (1, 6)} . Nesse
caso, g n˜o ´ uma fun¸˜o de A em B pois n˜o existe b ∈ B de modo que (3, b) ∈ f. Al´m
a e ca a e
disso, temos (1, 5) ∈ f e (1, 6) ∈ f.
Exemplo 5.1.3 Sejam C o conjunto das cidades, P o conjunto dos pa´ses e
ı
h = {(c, p) ∈ C × P | a cidade c est´ no pa´s p} .
a ı
Como cada cidade pertence a exatamente um pa´s, temos que h ´ uma fun¸˜o de C em
ı e ca
P.
Exemplo 5.1.4 Sejam P o conjunto das pessoas e i = {(p, q) ∈ P × P | A pessoa p ´ genitor(a) da pess
e
Observe que como existem pessoas que n˜o s˜o genitores ent˜o i n˜o ´ fun¸˜o. Al´m do
a a a a e ca e
mais, existem pessoas que s˜o genitoras de mais de uma pessoa.
a
37
40. 38 CAP´ ¸˜
ITULO 5. FUNCOES
Exemplo 5.1.5 Sejam P o conjunto das pessoas e seja
d = {(p, x) ∈ P × ℘ (P ) |x ´ conjunto de todos os filhos de p} .
e
Nesse caso, d ´ uma fun¸˜o de P em ℘ (P ) .
e ca
Exemplo 5.1.6 Sejam A um conjunto n˜o-vazio e iA = {(a, a) ∈ A × A|a ∈ A} . Nesse
a
caso, iA ´ uma fun¸˜o de A em A conhecida como fun¸˜o identidade em A.
e ca ca
Exemplo 5.1.7 Sejam A = B = R e f = {(x, y) ∈ R2 |y = x2 } . Nesse caso temos que
f ´ uma fun¸˜o de R em R, pois o dado x ∈ R, o seu quadrado assume apenas um valor.
e ca
Exemplo 5.1.8 Sejam A = B = R e f = {(x, y) ∈ R2 |x = y 2 } . Nesse caso temos que
f n˜o ´ uma fun¸˜o de R em R. De fato, (1, 1) ∈ f e (1, −1) ∈ f. Al´m disso, n˜o existe
a e ca e a
b ∈ R tal que (−1, b) ∈ f, j´ que o quadrado de qualquer n´mero real ´ positivo.
a u e
Observa¸˜o 5.1.2 Seja f : A → B uma fun¸˜o de A em B. Ent˜o dado a ∈ A, a
ca ca a
defini¸˜o de fun¸˜o atesta que existe um unico b ∈ B tal que (a, b) ∈ f. Este unico b ´
ca ca ´ ´ e
chamado de Valor de f em a ou imagem de a por f ou resultado de aplicar f
em a ou apenas f de a. Vamos represent´-lo de uma forma bem sugestiva, por f (a)) .
a
A rela¸˜o mais importante entre a e f (a) ´
ca e
(a, b) ∈ f ⇔ b = f (a) .
Observa¸˜o 5.1.3 Em geral uma fun¸˜o f : A → B ´ dada especificando um modo que
ca ca e
permita obter, de maneira unica f (a) a partir de a. Essa maneira pode ser atrav´s
´ e
de
• Uma F´rmula, como nos cursos de C´lculo, no ensino m´dio.
o a e
• Uma Tabela, como nas copiadoras, padarias, etc.
• Um Gr´fico, como nos eletrocardiogramas.
a
Tanto ´ assim que temos a seguinte defini¸˜o alternativa de fun¸ao que tamb´m ´ bastante
e ca c˜ e e
utilizada, principalmente no ensino m´dio e na maioria dos cursos universit´rios.
e a
Defini¸˜o 5.1.2 Dados os conjuntos A e B, uma fun¸˜o de A em B (simbolizada por
ca ca
f : A → B) ´ uma regra (uma maneira, um modo, um procedimento) que permite associar
e
a cada elemento a ∈ A, um unico elemento do conjunto B.
´
41. 5.2. IMAGENS DIRETAS E INVERSAS 39
Vejamos alguns exemplos:
Exemplo 5.1.9 Sejam A o conjunto de todos os triˆngulos do plano, B = R e f a regra
a
que associa cada triˆngulo ` sua ´rea. Essa regra determina una fun¸˜o de f : A → B.
a a a ca
Exemplo 5.1.10 Sejam S o conjunto dos segmentos de reta do plano, ∆ o conjunto das
retas desse mesmo plano e g a regra que associa cada segmento ` sua mediatriz (i.e. a
a
reta que passa pelo seu ponto m´dio e ´ perpendicular a ele). Essa regra determina uma
e e
fun¸˜o g : A → ∆.
ca
Exemplo 5.1.11 Sejam A = M2×2 (R), B = R e det a regra que associa cada matriz ao
seu determinante. Essa regra determina uma fun¸˜o det : A → B.
ca
Exemplo 5.1.12 Sejam A = B = R e j a regra que associa cada n´mero x ao seu
u
quadrado x2 . Essa regra determina uma fun¸˜o j : A → B.
ca
Defini¸˜o 5.1.3 Seja f : A → B uma fun¸˜o de A em B. O conjunto A ´ chamado de
ca ca e
Dom´
ınio da fun¸˜o f e o conjunto B de Contra-dom´
ca ınio da fun¸˜o f .
ca
Defini¸˜o 5.1.4 Sejam f : A → B e g : A → B duas fun¸˜es. Diremos que elas s˜o
ca co a
iguais e representaremos isso por f = g, se f (a) = g (a) para todo a ∈ A.
5.2 Imagens diretas e inversas
Defini¸˜o 5.2.1 Seja f : A → B uma fun¸˜o e P ⊆ A. A Imagem direta do con-
ca ca
junto P pela fun¸˜o f ´ o conjunto representado por f (P ) e definido por
ca e
f (P ) = {f (p) |p ∈ P } = {b ∈ B|b = f (p) para algum p ∈ P } .
Em palavras, a imagem direta de um conjunto P por uma fun¸˜o f ´ o conjunto formado
ca e
pelos valores assumidos por f quando olhamos para a fun¸ao restrita ao conjunto P.
c˜
Vejamos alguns exemplos:
Exemplo 5.2.1 Sejam A = {a, b, c} , B = {1, 2, 3} e f : A → B dada por f (a) =
1, f (b) = 2 e f (c) = 1. Ent˜o:
a
• P = {a, b} ⇒ f (P ) = {f (a) , f (b)} = {1, 2} ,
• P = {b, c} ⇒ f (P ) = {f (b) , f (c)} = {2, 1} = {1, 2} ,