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Universidad Tecnológica de Torreón


Ejercicio: Distribución Bernoulli   Distribución Binomial

             Distribución Poisson   Distribución Normal

             Distribución Gamma     Distribución T de student




                           Víctor Hugo Franco García


Procesos Industriales Área de Manufactura


                         2º “A”     Matricula: 1110167


Prof. Lic. Edgar Mata Ortiz
Índice

Distribución Bernoulli…………………………...3-4-5



Distribución Binomial……………………………6-7-8



Distribución Poisson………………………………9-10



Distribución Gamma…………………………11-12-13



Distribución Normal……………………..…..14-15-16



Distribución T de student…………………….17-18-19



Bibliografía………………………………………..20




Distribuciones                        Página 2
La distribución Bernoulli
Imagine un experimento que tenga dos resultados. Al primero se le llama “éxito” y al otro
“fracaso”. La probabilidad de éxito se denota por p. por consecuencia, la probabilidad de fracaso
es 1-p. lo anterior representa un ensayo de Bernoulli con probabilidad de éxito p. el más sencillo
de este tipo es el lanzamiento al aire de una moneda. Los posibles resultados son “cara” o “cruz”.
Si “cara” se define como éxito, entonces p constituye esa probabilidad. En una moneda p = ½.

Para cualquier ensayo de Bernoulli se define a la variable aleatoria X así: si el experimento propicia
“éxito”, entonces X=1. De lo contrario, X=0. De ahí que X sea una variable aleatoria discreta, con
función de masa de probabilidad p(x) definida por

                                                                                  p (0)= p (X = 0) = 1 – p

                                                                                      p (1)= p (X = 1) = p

Ejemplo:

Cuando se lanza un dado hay una probabilidad de 1/6 de que salga 6. Sea X = 1 si el dado cae seis
y X = 0 en cualquier otro caso. ¿Cuál es la distribución de X?

SOLUCIÓN:

La probabilidad de éxito es p = p (x = 1) = 1 / 6. Por lo que X – Bernoulli (1 / 6)

                                              EJERCICIOS:

    1. Un jugador de basquetbol está a punto de tirar hacia la parte superior del tablero. La
       probabilidad de que anote el tiro es de 0.55
    a) Sea X=1, si anota el tiro, si no lo hace, X=0. Determine la media y la varianza de X.
       Ux = (0) (1 – 0.55) + (1) (0.55)
          = 0.55 MEDIA
       = (0 - P)ˆ2 (1-P) + (1 - P)ˆ2 (P)
       = P (1 - P)
       = 0.2475 VARIANZA
    b) Si anota el tiro, su equipo obtiene dos puntos; si lo falla, su equipo no recibe puntos. Sea Y
       el número de puntos anotados. ¿Tiene una distribución de Bernoulli? Si es así, encuentre
       la probabilidad de éxito. Si no, explique por qué.
        P+ =1
           =1–P
        = 1 – 0.55
        = 0.45


Distribuciones                                                                                  Página 3
¿Tiene una distribución de Bernoulli? Sí, porque nos plantean un ejemplo donde nos
        presentan 2 opciones de éxito o fracaso., donde si anota ganan 2 puntos y si no anotan no
        gana nada
   c)   Determina la media y varianza de Y.
        Ux = (0) (1 - 2) + (1) (2)
         = 2 MEDIA
        = (0 - P) ˆ2 (1 – P) + (1 - P) ˆ2 (P)
        =P (1 - P)
        = -2 VARIANZA
   2.   En un restaurante de comida rápida, 25% de las órdenes para beber es una bebida
        pequeña, 35% una mediana y 40% una grande. Sea X=1 si se escoge aleatoriamente una
        orden de bebida pequeña y X=0 en cualquier otro caso sea Y=1 si la orden es una bebida
        pequeña p mediana y Z=0 para cualquier otro caso.
   a)   Sea Px la probabilidad de éxito de X. Determine Px
        X – (Y + Z)
        1 – (35 + 40)
        1 – (0.75) = 0.25         25%
   b)   Sea Py la probabilidad de éxito de Y. Determine Py
        Y - (X + Z)
        1 – (25 + 40)
        1 – (65) = 0.35         35%
   c)   Sea Pz la probabilidad de éxito de Z. determine Pz
        Z – (X + Y)
        1 – (25 + 35)
        1 – (60) = 0.40       40%
   d)   ¿Es posible que X y Y sean iguales a 1?
        No, porque la suma de sus porcentajes es menos a 1
   e)   ¿Es pz = Px + Py?
        No, porque Z = 40% y X + Y = 70%
   3.   X y Y variables aleatorias de Bernoulli. Sea Z = X + Y.
        a) Demuestre que si X y Y no pueden ser iguales a 1, entonces Z es variable aleatoria de
             Bernoulli.
             DATOS: X = 1 Y = 1 Z = X + Y            Z=2
             X=1 X=0               Z=0+0        Z = 0 No es un variable de Bernoulli
             Y=1 Y=0
        b) Demuestre que si X y Y no pueden ser iguales a 1, entonces Pz = Px + Py
             Pz = Px + Py
             1=0+0           1 = 0 No son iguales
        c) Demuestre que si X y Y pueden ser iguales a 1, entonces Z no es una variable aleatoria
             de Bernoulli.


Distribuciones                                                                          Página 4
X=1        Z=X+Y        Z = 2 No es una variable de Bernoulli
          Y=1
   4. Se lanza al aire una moneda de 1 y 5 centavos. Sea X = 1 si sale “cara” en la moneda de 1
      centavo y X = 0 en cualquier otro caso. Sea Y= 1 si sale “cara” en la moneda de 5 centavos
      y Y = 0 en cualquier otro caso. Sea Z = 1 si sale cara, en ambas monedas y Z = 0 en
      cualquier otro caso
      a) Sea Px la probabilidad de éxito de X. Determine Px
          Monda de 1 centavo
            X     P
          1 0.5 – 0.5

           0     0.5 - 0

                      0.5

       b) Sea Py la probabilidad de éxito de X. Determine Py
          X    P

           1     0.5 – 0.5

           0     0.5 - 0

                      0.5

      c) Sea pz la probabilidad de éxito de X. Determine Pz
          Z      P
          1 (0.33) – 0.5
          0 (0.66) - 0
                       0.5
      d) ¿son X y Y independientes?
          Si, porque cada una tiene el mismo resultado y no depende una de la otra
      e) ¿Es pz = Px Py?
          No, porque los 3 resultados son independientes
      f) ¿Es Z = XY? Explique
          Si, porque Z = 1, X = 1, Y = 1 por lo tanto 1 = 1 x 1 1=1
   5. Sea X y Y variables aleatorias de Bernoulli. Sea Z = XY.
      a) Demuestre que Z es una variable aleatoria de Bernoulli.
          Si X y Y son variables de Bernoulli
          X=1
          Y=1
          Sea Z = XY       Z = (1) (1)       Z=1
      b) Demuestre que si X y Y son independientes, entonces Pz = PxPy
          X=1                       Pz = 1 = Px = 1 = Py = 1

Distribuciones                                                                          Página 5
Y=1                            Pz = Px Py
            Z=1                            1 = (1) (1)     1=1




                            La distribución binomial
Extraer un solo componente de una población y determinar si está o no defectuoso es ejemplo de
un ensayo de Bernoulli. En la práctica es posible extraer varios componentes de una gran
población y contar el número de elementos defectuosos. Esto implica realizar diversos ensayos de
Bernoulli independientes y contar con el número de éxitos. El número de éxitos es una variable
aleatoria, que tiene una distribución binomial.
Sea la variable aleatoria X igual al número de éxitos en N ensayos, entonces X tiene la distribución
binomial con parámetros n y p. la notación es X-Bin (n, p). X es una variable aleatoria discreta y
sus posibles valores son 0,1,…..n.

Ejemplo:

Un lote contiene varios miles de componentes, de estos 10% están defectuosos. Se extraen siete
componentes de la población. Sea X el número de componentes defectuosos en la muestra. ¿Cuál
es la distribución de X?

SOLUCION:

Puesto que el tamaño muestral es pequeño en comparación con la población (es decir, menos a
5%), su número de éxitos representa una distribución binomial. Por tanto, se modela X con la
distribución binomial Bin (7, 0.1).

    1. Sea X – Bin (8, 0.4). Determine
       a) P(X = 2)
           P (X = 2)     8!
                      2 (8 - 2)    (0.4) ˆ2 (0.6) ˆ6 = 0.20901888
       b) P(X = 4)
           P (X = 4)    8!
                     4 (8 - 4)    (0.4) ˆ4 (0.6) ˆ4 = 0.2322432
       c) P(X < 2)
           P (X <2)     8!
                     1 (8 - 1)     (0.4) ˆ1 (0.6) ˆ5 = 0.08957952
       d) P(X > 6)
           P (X > 6)    8!
                     7 (8 - 7)     (0.7) ˆ7 (0.3) ˆ1 = 0.19765032
       e) Ux

Distribuciones                                                                             Página 6
X     P            X (P)
            3    0.15          0. 45
            0    0.85            0
                        MEDIA: 0 .45



       f)
            (X - M) ˆ2 (P)
            (3 – 0.45) ˆ2 (0.15) = 0.975375
            (0 – 0.45) ˆ2 (0.85) = 0.172125
                       VARIANZA: 1. 1475

   2. Se toma una muestra de cinco elementos de una población grande en la cual 10% de los
      elementos está defectuoso.
      a) Determine la probabilidad de que ninguno de los elementos de la muestra esté
          defectuoso.
              5!
          0! (5 - 0)!     (0.9) ˆ0 (0.1) ˆ5 = 0.00001
      b) Determine la probabilidad de que sólo uno de ellos tenga defectos.
              5!
          1! (5 - 1)       (0.9) ˆ1 (0.1) ˆ4 = 0.00045
      c) Determine la probabilidad de que uno o más de los elementos de la muestra estén
          defectuosos
          5!
          2! (5 - 2)!      (0.9) ˆ2 (0.1) ˆ3 = 0.0081 + 0.00045 = 0.00855
      d) Determine la probabilidad de que menos de dos elementos de la muestra tenga
          defectos
          0.00001
          0.00045
          0.00046
   3. Se lanza al aire una moneda diez veces.
      a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener tres veces “cara”?
              10!
          3! (10 - 3)!       (0.5) ˆ3 (0.5) ˆ7 = 0.1171875
      b) Determine la media del número de caras obtenidas
          U = (10) (0.5) = 5
      c) Determine la varianza del número de caras obtenidas
                = 5 (1 - 0.5) = 2.5
       d) Determine la desviación estándar del número de caras obtenidas
                 = 1.58113883
Distribuciones                                                                      Página 7
4. En un cargamentos grande de llantas de automóvil. 5% tiene cierta imperfección. Se eligen
      aleatoriamente cuatro llantas para instalarlas en el automóvil.
      a) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna de las llantas tenga imperfección?
             4!
          0 (4 - 0)      (0.95) ˆ0 (0.05) ˆ4 = 0.00000625



       b) ¿Cuál es la probabilidad de que sólo una de las llantas tenga imperfección?
              4!
          1 (4 - 1)       (0.95) ˆ1 (0.05) ˆ3 = 0.000475

      c) ¿Cuál es la probabilidad de que una o más de las llantas tenga imperfección?
             4!
          2 (4 - 2)       (0.95) ˆ2 (0.05) ˆ2 = 0.0135375 + 0.000475 = 0.0140125
   5. En un patrón aleatorio de ocho bits utilizado para probar un microcircuito. Cada bit tiene
      la misma probabilidad de ser 0 o 1. Suponga que los valores de los bits son
      independientes.
      a) ¿Cuál es la probabilidad de que todos los bits sean 1?
             8!
          1 (8 - 1)        (0.5) ˆ1 (0.5) ˆ7 = 0.03125
      b) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente tres de los bits sean 1?
             3!
          1 (3 - 1)        (0.5) ˆ1 (0.5) ˆ2 = 0.375
      c) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos seis de los bits sean 1?
              6!
          1 (6 - 1)        (0.5) ˆ1 (0.5) ˆ5 = 0.09375
      d) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos de los bits sean 1?
             2!
          1(2 - 1)         (0.5) ˆ1 (0.5) ˆ1 = 0.5




Distribuciones                                                                           Página 8
La distribución de Poisson
La distribución de Poisson se utiliza con frecuencia en el trabajo científico. Una
manera de considerarla es como una aproximación de la distribución binomial
cuando n es grande y p es pequeña. Si una variable aleatoria discreta X definida
en un espacio de probabilidad <m> (Omega, Lambda, P (.)) es el numero de
éxitos en n repeticiones de un experimento de Bernoulli.
Donde lambda es igual a n * P (tamaño de muestra multiplicado por la
probabilidad de éxito)
n = Tamaño de muestra

x = Cantidad de éxitos

P = Probabilidad de éxito

e = base de logaritmos = 2.718281828

   1. Sea X ~ Poisson (4). Determine
      a) P (x = 1)
         e – 4 (4^1, 1!) = 0.073262555
      b) P (x = 0)
         e – 4 (4^0, 0!) = 0.018315638
      c) P (x = <2)
         e – 4 (4^0, 0!) = 0.018315638
         e – 4 (4^1, 1!) = 0.073262555 = 0.091578193
      d) P (x > 1)
         P (x = 2)
         e – 4 (4^2, 2!) = 0.146525111
         P (x = 3)
         e – 4 (4^3, 3!) = 0.195366814 = 0.3418919225
      e) U MEDIA: 4
      f)         VARIANZA: 4
   2. La concentración de partículas en una suspensión es 2 por mL. Se agita por
      completo la concentración, y posteriormente se extraen 3 Ml. Sea X el
      número de partículas que son retiradas. Determine
      a) P (x = 5)
         e – 2 (2^5, 5!) = 0.036089408
      b) P (x = < 2)
         e – 2 (2^2, 2!) = 0.270670566
         e – 2 (2^1, 1!) = 0.270670566 = 0.541341132

Distribuciones                                                               Página 9
c) P (x > 1)
         e – 2 (2^2, 2!) = 0.270670566
   3. Suponga que 0.03% de los contenedores plásticos producidos en cierto
      proceso tiene pequeños agujeros que los dejan inservibles. X representa el
      número de contenedores en una muestra aleatoria de 10 000 que tienen
      este defecto. Determine
      a) P (X = 3)
         e – 3 (3^3, 3!) = 0.224041807
      b) P (X < 2)
         e – 3 (3^2, 2!) = 0.224041807
         e – 3 (3^1, 1!) = 0.149361205 = 0.373403075
      c) P (1 < X <4)
         e – 3(3^3, 3!) = 0.224041807
      d) U MEDIA: 3
      e)            VARIANZA: 3
   4. Si Poisson (3), calcule
      a) P (X = 2)
           e – 3 (3^2, 2!) = 0.2240
      b) P (X = 10)
           e – 3 (3^10, 10!) = 0. 00081
      c) P (X = 0)
           e – 3 (3^0, 0!) = 0. 0498
   5. Si X ~ Poisson (4). Calcule
      a) P (X < 2)
           E – 4 (4^2, 2!) = 0.146525111
      b) P (X > 1)
           E – 4 (4^1, 1!) = 0.073262555




Distribuciones                                                           Página 10
La distribución normal
En estadística y probabilidad se llama distribución normal, distribución de
Gauss o distribución gaussiana, a una de las distribuciones de probabilidad de
variable continua que con más frecuencia aparece aproximada en fenómenos
reales. La distribución normal es continua en vez de discreta. La media de una
variable aleatoria normal puede tener cualquier valor y la varianza cualquier valor
positivo. La distribución normal también aparece en muchas áreas de la propia
estadística. Por ejemplo, la distribución muestral de las medias muéstrales es
aproximadamente normal, cuando la distribución de la población de la cual se
extrae la muestra no es normal.




Ejercicios:

   1. En una ciudad se estima que la temperatura máxima en el mes de junio si una distribución
      normal, con media 23° y desviación típica 5°. Calcular el número de días del mes en los
      que se espera alcanzar máximas entre 21° y 27°.




   2. En un examen tipo test de 200 preguntas de elección múltiple, cada pregunta tiene una
      respuesta correcta y una incorrecta. Se aprueba si se contesta a más de 110 respuestas
      correctas. Suponiendo que se contesta al azar, calcular la probabilidad de aprobar el
      examen.




Distribuciones                                                                         Página 11
3. Se supone que los resultados de un examen siguen una distribución normal con media 78
      y varianza 36. Se pide:
       ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que se presenta el examen obtenga una
      calificación superior a 72?




   4. En una distribución normal de media 4 y desviación típica 2, calcular el valor de a para que:


         P(4−a ≤ x ≤ 4+a) = 0.5934




Distribuciones                                                                          Página 12
5. Si X es una variable aleatoria distribuida según una distribución N (µ, σ), hallar:


           P (µ−3σ ≤ X ≤ µ+3σ)




Es decir, que aproximadamente el 9 9 . 7 4 % de los valores de X están a menos de tres desviaciones
típicas de la media.




Distribuciones                                                                               Página 13
La Distribución Gamma
DISTRIBUCIÓN GAMMA

Es una distribución adecuada para modelizar el comportamiento de variables
aleatorias continuas con asimetría positiva. Es decir, variables que presentan una
mayor densidad de sucesos a la izquierda de la media que a la derecha. En su
expresión se encuentran dos parámetros, siempre positivos, (α) y (β) de los que
depende su forma y alcance por la derecha, y también la función Gamma Γ(α),
responsable de la convergencia de la distribución
el valor de la función Gamma se obtiene a partir de:




Ejercicios:

1. En cierta ciudad el consumo diario de energía eléctrica, en millones de kilovatios por hora,
puede considerarse como una variable aleatoria con distribución GAMMA de parámetros          =3
y    = 0.5.
La planta de energía de esta ciudad tiene una capacidad diaria de 10 millones de KW/hora
¿Cuál es la probabilidad de que este abastecimientos sea:

a. Insuficiente en un día cualquiera?.
b. Se consuman entre 3 y 8 millones de K. W./Hora?
c. Encuentre E(x) y V(x).

Solución:




Distribuciones                                                                          Página 14
2. Suponga que cierta pieza metálica se romperá después de sufrir dos ciclos de esfuerzo.
Si estos ciclos ocurren de manera independiente a una frecuencia promedio de dos por
cada 100 horas. Obtener la probabilidad de que el intervalo de tiempo se encuentre hasta
que ocurre el segundo ciclo.

a. Dentro de una desviación con respecto del tiempo promedio.

b. A más de dos desviaciones por encima de la media.

Solución:




3. El número de pacientes que llegan a la consulta de un médico sigue una distribución de
Poisson de media 3 pacientes por hora. Calcular la probabilidad de que transcurra menos de una
hora hasta la llegada del segundo paciente.
Debe tenerse en cuenta que la variable aleatoria “tiempo que transcurre hasta la llegada del segundo
paciente” sigue una distribución Gamma (6, 2).
Solución:
Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuas

Gamma (a p)
a : Escala        60000
p : Forma         20000
Punto X           10000

Cola Izquierda Pr[X<=k]           0,9826
Cola Derecha Pr[X>=k]             0,0174
Media                            0,3333
Varianza                         0,0556
Moda          0,1667

La probabilidad de que transcurra menos de una hora hasta que llegue el segundo paciente es 0,98.


4. Suponiendo que el tiempo de supervivencia, en años, de pacientes que son sometidos a una cierta
intervención quirúrgica en un hospital sigue una distribución Gamma con parámetros a=0,81 y
p=7,81, calcúlese:


Distribuciones                                                                            Página 15
1. El tiempo medio de supervivencia.
2. Los años a partir de los cuales la probabilidad de supervivencia es menor que 0,1.


Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuas

Gamma (a,p)
a : Escala  0,8100
p : Forma   7,8100

Cola Izquierda Pr [X<=k]     0,9000
Cola Derecha Pr [X>=k]       0,1000
Punto X                    14,2429
Media                      9,6420
Varianza                   11,9037
Moda                        8,4074
El tiempo medio de supervivencia es de, aproximadamente, 10 años.

5. suponga que cierta pieza metálica se romperá después de sufrir dos siclos de esfuerzo. Si estos
ciclos ocurren de manera independiente a una frecuencia promedio de dos por cada 100 horas.
Obtener la probabilidad de que el intervalo de tiempo se encuentre hasta que ocurre el segundo
ciclo.

a) dentro de una desviación con respecto del tiempo promedio

b) A más de dos desviaciones por encima de la media




Distribuciones                                                                            Página 16
La distribución T de Student
En probabilidad y estadística, la distribución t (de Student) es una distribución
de probabilidad que surge del problema de estimar la media de una
población normalmente distribuida cuando el tamaño de la muestra es pequeño.
Aparece de manera natural al realizar la prueba t de Student para la determinación
de las diferencias entre dos medias muéstrales y para la construcción del intervalo
de confianza para la diferencia entre las medias de dos poblaciones cuando se
desconoce la desviación típica de una población y ésta debe ser estimada a partir
de los datos de una muestra. En estos casos calculamos el estadístico T:




Ejercicios:

    1. S e s e l e c c i o n o u n a m u e s t r a a l e a t o r i a d e 2 5 c u e n t a s
        p o r c o b r a r d e u n registro que contenía 96 cuentas. La muestra dio
        una media de x = 2.435colones y una desviación típica de S = 335 colones.
        Obténgase un intervalo de confianza del 90% para estimar la media de las 96
        cuentas del registro.




    2. El auditor de una empresa al examinar los registros de facturación
        mensual, mediante el análisis de una muestra aleatoria irrestricta de 10
        facturas no
        pagadas encontró que la media aritmética fue de x = $95
        0 0 c o n u n a desviación típica de s = $327. Construir un intervalo de
        confianza del 95%para estimar el parámetro poblacional.



Distribuciones                                                                     Página 17
3. U n a m u e s t r a a l e a t o r i a d e l p r o c e s o d e p r o d u c c i ó n d e 1 7 b o m b i l l o s ,
      d i o u n a media de x = 128 horas, con una desviación típica s = 15 horas.
      Construir un intervalo de confianza del 99% para estimar el promedio de vida
      útil de todos los bombillos del proceso




   4. U n a e m p r e s a c o n s t r u c t o r a d e s e a c o n o c e r e l p r o m e d i o
      d e a r r e n d a m i e n t o mensual de casas en cierta ciudad (casas tipo clase
      media). Una
      muestraa l e a t o r i a d e 2 6 a r r e n d a m i e n t o s d i o u n p r o m e d i o
      d e x = $ 2 8 0 y u n a desviación típica de s = $55. Estime el promedio verdadero
      con un intervalo de confianza del 0.99




Distribuciones                                                                                         Página 18
5. E l p r o p i e t a r i o d e u n a p a p e l e r í a d e s e a e s t i m a r l a m e d i
      a d e l v a l o r a l menudeo de las tarjetas de felicitación que la tienda tiene en su
      inventario. U n a m u e s t r a a l e a t o r i a d e 2 0 t a r j e t a s d e f e l i c i t a c i ó n i n d i c a
      una media
      dev a l o r d e $ 1 . 6 7 y u n a d e s v i a c i ó n e s t á n d a r d e $ 0 . 3 2 . S u p o n i
      e n d o u n a distribución normal, construya una estimación del intervalo de confianza
      del9 5 % p a r a l a m e d i a d e l v a l o r d e t o d a s l a s t a r j e t a s d e
      f e l i c i t a c i ó n e n e l inventario de la tienda




Distribuciones                                                                                             Página 19
Bibliografía:

       Autor: William Navidi
       Libro: estadística para ingenieros
             Y científicos
       Titulo: Distribución Bernoulli
                  Distribución binomial
                  Distribución Poisson
                  Distribución normal
                  Distribución gamma
                  Distribución T de student
       Editorial: Mc Graw Hill


    andruss_hugo1453@hotmail.com
    http://www.facebook.com/profile.php?id=100001475094229
    http://hugo-franco.bligoo.com.mx/content
    https://twitter.com/#!/victorhugofran4
    Otros:
    World_black2@hotmail.com
Saludos

                                                        ¡Gracias por tu atención!




Distribuciones                                                           Página 20

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Distribuciones ejercicios

  • 1. Universidad Tecnológica de Torreón Ejercicio: Distribución Bernoulli Distribución Binomial Distribución Poisson Distribución Normal Distribución Gamma Distribución T de student Víctor Hugo Franco García Procesos Industriales Área de Manufactura 2º “A” Matricula: 1110167 Prof. Lic. Edgar Mata Ortiz
  • 2. Índice Distribución Bernoulli…………………………...3-4-5 Distribución Binomial……………………………6-7-8 Distribución Poisson………………………………9-10 Distribución Gamma…………………………11-12-13 Distribución Normal……………………..…..14-15-16 Distribución T de student…………………….17-18-19 Bibliografía………………………………………..20 Distribuciones Página 2
  • 3. La distribución Bernoulli Imagine un experimento que tenga dos resultados. Al primero se le llama “éxito” y al otro “fracaso”. La probabilidad de éxito se denota por p. por consecuencia, la probabilidad de fracaso es 1-p. lo anterior representa un ensayo de Bernoulli con probabilidad de éxito p. el más sencillo de este tipo es el lanzamiento al aire de una moneda. Los posibles resultados son “cara” o “cruz”. Si “cara” se define como éxito, entonces p constituye esa probabilidad. En una moneda p = ½. Para cualquier ensayo de Bernoulli se define a la variable aleatoria X así: si el experimento propicia “éxito”, entonces X=1. De lo contrario, X=0. De ahí que X sea una variable aleatoria discreta, con función de masa de probabilidad p(x) definida por p (0)= p (X = 0) = 1 – p p (1)= p (X = 1) = p Ejemplo: Cuando se lanza un dado hay una probabilidad de 1/6 de que salga 6. Sea X = 1 si el dado cae seis y X = 0 en cualquier otro caso. ¿Cuál es la distribución de X? SOLUCIÓN: La probabilidad de éxito es p = p (x = 1) = 1 / 6. Por lo que X – Bernoulli (1 / 6) EJERCICIOS: 1. Un jugador de basquetbol está a punto de tirar hacia la parte superior del tablero. La probabilidad de que anote el tiro es de 0.55 a) Sea X=1, si anota el tiro, si no lo hace, X=0. Determine la media y la varianza de X. Ux = (0) (1 – 0.55) + (1) (0.55) = 0.55 MEDIA = (0 - P)ˆ2 (1-P) + (1 - P)ˆ2 (P) = P (1 - P) = 0.2475 VARIANZA b) Si anota el tiro, su equipo obtiene dos puntos; si lo falla, su equipo no recibe puntos. Sea Y el número de puntos anotados. ¿Tiene una distribución de Bernoulli? Si es así, encuentre la probabilidad de éxito. Si no, explique por qué. P+ =1 =1–P = 1 – 0.55 = 0.45 Distribuciones Página 3
  • 4. ¿Tiene una distribución de Bernoulli? Sí, porque nos plantean un ejemplo donde nos presentan 2 opciones de éxito o fracaso., donde si anota ganan 2 puntos y si no anotan no gana nada c) Determina la media y varianza de Y. Ux = (0) (1 - 2) + (1) (2) = 2 MEDIA = (0 - P) ˆ2 (1 – P) + (1 - P) ˆ2 (P) =P (1 - P) = -2 VARIANZA 2. En un restaurante de comida rápida, 25% de las órdenes para beber es una bebida pequeña, 35% una mediana y 40% una grande. Sea X=1 si se escoge aleatoriamente una orden de bebida pequeña y X=0 en cualquier otro caso sea Y=1 si la orden es una bebida pequeña p mediana y Z=0 para cualquier otro caso. a) Sea Px la probabilidad de éxito de X. Determine Px X – (Y + Z) 1 – (35 + 40) 1 – (0.75) = 0.25 25% b) Sea Py la probabilidad de éxito de Y. Determine Py Y - (X + Z) 1 – (25 + 40) 1 – (65) = 0.35 35% c) Sea Pz la probabilidad de éxito de Z. determine Pz Z – (X + Y) 1 – (25 + 35) 1 – (60) = 0.40 40% d) ¿Es posible que X y Y sean iguales a 1? No, porque la suma de sus porcentajes es menos a 1 e) ¿Es pz = Px + Py? No, porque Z = 40% y X + Y = 70% 3. X y Y variables aleatorias de Bernoulli. Sea Z = X + Y. a) Demuestre que si X y Y no pueden ser iguales a 1, entonces Z es variable aleatoria de Bernoulli. DATOS: X = 1 Y = 1 Z = X + Y Z=2 X=1 X=0 Z=0+0 Z = 0 No es un variable de Bernoulli Y=1 Y=0 b) Demuestre que si X y Y no pueden ser iguales a 1, entonces Pz = Px + Py Pz = Px + Py 1=0+0 1 = 0 No son iguales c) Demuestre que si X y Y pueden ser iguales a 1, entonces Z no es una variable aleatoria de Bernoulli. Distribuciones Página 4
  • 5. X=1 Z=X+Y Z = 2 No es una variable de Bernoulli Y=1 4. Se lanza al aire una moneda de 1 y 5 centavos. Sea X = 1 si sale “cara” en la moneda de 1 centavo y X = 0 en cualquier otro caso. Sea Y= 1 si sale “cara” en la moneda de 5 centavos y Y = 0 en cualquier otro caso. Sea Z = 1 si sale cara, en ambas monedas y Z = 0 en cualquier otro caso a) Sea Px la probabilidad de éxito de X. Determine Px Monda de 1 centavo X P 1 0.5 – 0.5 0 0.5 - 0 0.5 b) Sea Py la probabilidad de éxito de X. Determine Py X P 1 0.5 – 0.5 0 0.5 - 0 0.5 c) Sea pz la probabilidad de éxito de X. Determine Pz Z P 1 (0.33) – 0.5 0 (0.66) - 0 0.5 d) ¿son X y Y independientes? Si, porque cada una tiene el mismo resultado y no depende una de la otra e) ¿Es pz = Px Py? No, porque los 3 resultados son independientes f) ¿Es Z = XY? Explique Si, porque Z = 1, X = 1, Y = 1 por lo tanto 1 = 1 x 1 1=1 5. Sea X y Y variables aleatorias de Bernoulli. Sea Z = XY. a) Demuestre que Z es una variable aleatoria de Bernoulli. Si X y Y son variables de Bernoulli X=1 Y=1 Sea Z = XY Z = (1) (1) Z=1 b) Demuestre que si X y Y son independientes, entonces Pz = PxPy X=1 Pz = 1 = Px = 1 = Py = 1 Distribuciones Página 5
  • 6. Y=1 Pz = Px Py Z=1 1 = (1) (1) 1=1 La distribución binomial Extraer un solo componente de una población y determinar si está o no defectuoso es ejemplo de un ensayo de Bernoulli. En la práctica es posible extraer varios componentes de una gran población y contar el número de elementos defectuosos. Esto implica realizar diversos ensayos de Bernoulli independientes y contar con el número de éxitos. El número de éxitos es una variable aleatoria, que tiene una distribución binomial. Sea la variable aleatoria X igual al número de éxitos en N ensayos, entonces X tiene la distribución binomial con parámetros n y p. la notación es X-Bin (n, p). X es una variable aleatoria discreta y sus posibles valores son 0,1,…..n. Ejemplo: Un lote contiene varios miles de componentes, de estos 10% están defectuosos. Se extraen siete componentes de la población. Sea X el número de componentes defectuosos en la muestra. ¿Cuál es la distribución de X? SOLUCION: Puesto que el tamaño muestral es pequeño en comparación con la población (es decir, menos a 5%), su número de éxitos representa una distribución binomial. Por tanto, se modela X con la distribución binomial Bin (7, 0.1). 1. Sea X – Bin (8, 0.4). Determine a) P(X = 2) P (X = 2) 8! 2 (8 - 2) (0.4) ˆ2 (0.6) ˆ6 = 0.20901888 b) P(X = 4) P (X = 4) 8! 4 (8 - 4) (0.4) ˆ4 (0.6) ˆ4 = 0.2322432 c) P(X < 2) P (X <2) 8! 1 (8 - 1) (0.4) ˆ1 (0.6) ˆ5 = 0.08957952 d) P(X > 6) P (X > 6) 8! 7 (8 - 7) (0.7) ˆ7 (0.3) ˆ1 = 0.19765032 e) Ux Distribuciones Página 6
  • 7. X P X (P) 3 0.15 0. 45 0 0.85 0 MEDIA: 0 .45 f) (X - M) ˆ2 (P) (3 – 0.45) ˆ2 (0.15) = 0.975375 (0 – 0.45) ˆ2 (0.85) = 0.172125 VARIANZA: 1. 1475 2. Se toma una muestra de cinco elementos de una población grande en la cual 10% de los elementos está defectuoso. a) Determine la probabilidad de que ninguno de los elementos de la muestra esté defectuoso. 5! 0! (5 - 0)! (0.9) ˆ0 (0.1) ˆ5 = 0.00001 b) Determine la probabilidad de que sólo uno de ellos tenga defectos. 5! 1! (5 - 1) (0.9) ˆ1 (0.1) ˆ4 = 0.00045 c) Determine la probabilidad de que uno o más de los elementos de la muestra estén defectuosos 5! 2! (5 - 2)! (0.9) ˆ2 (0.1) ˆ3 = 0.0081 + 0.00045 = 0.00855 d) Determine la probabilidad de que menos de dos elementos de la muestra tenga defectos 0.00001 0.00045 0.00046 3. Se lanza al aire una moneda diez veces. a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener tres veces “cara”? 10! 3! (10 - 3)! (0.5) ˆ3 (0.5) ˆ7 = 0.1171875 b) Determine la media del número de caras obtenidas U = (10) (0.5) = 5 c) Determine la varianza del número de caras obtenidas = 5 (1 - 0.5) = 2.5 d) Determine la desviación estándar del número de caras obtenidas = 1.58113883 Distribuciones Página 7
  • 8. 4. En un cargamentos grande de llantas de automóvil. 5% tiene cierta imperfección. Se eligen aleatoriamente cuatro llantas para instalarlas en el automóvil. a) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna de las llantas tenga imperfección? 4! 0 (4 - 0) (0.95) ˆ0 (0.05) ˆ4 = 0.00000625 b) ¿Cuál es la probabilidad de que sólo una de las llantas tenga imperfección? 4! 1 (4 - 1) (0.95) ˆ1 (0.05) ˆ3 = 0.000475 c) ¿Cuál es la probabilidad de que una o más de las llantas tenga imperfección? 4! 2 (4 - 2) (0.95) ˆ2 (0.05) ˆ2 = 0.0135375 + 0.000475 = 0.0140125 5. En un patrón aleatorio de ocho bits utilizado para probar un microcircuito. Cada bit tiene la misma probabilidad de ser 0 o 1. Suponga que los valores de los bits son independientes. a) ¿Cuál es la probabilidad de que todos los bits sean 1? 8! 1 (8 - 1) (0.5) ˆ1 (0.5) ˆ7 = 0.03125 b) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente tres de los bits sean 1? 3! 1 (3 - 1) (0.5) ˆ1 (0.5) ˆ2 = 0.375 c) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos seis de los bits sean 1? 6! 1 (6 - 1) (0.5) ˆ1 (0.5) ˆ5 = 0.09375 d) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos de los bits sean 1? 2! 1(2 - 1) (0.5) ˆ1 (0.5) ˆ1 = 0.5 Distribuciones Página 8
  • 9. La distribución de Poisson La distribución de Poisson se utiliza con frecuencia en el trabajo científico. Una manera de considerarla es como una aproximación de la distribución binomial cuando n es grande y p es pequeña. Si una variable aleatoria discreta X definida en un espacio de probabilidad <m> (Omega, Lambda, P (.)) es el numero de éxitos en n repeticiones de un experimento de Bernoulli. Donde lambda es igual a n * P (tamaño de muestra multiplicado por la probabilidad de éxito) n = Tamaño de muestra x = Cantidad de éxitos P = Probabilidad de éxito e = base de logaritmos = 2.718281828 1. Sea X ~ Poisson (4). Determine a) P (x = 1) e – 4 (4^1, 1!) = 0.073262555 b) P (x = 0) e – 4 (4^0, 0!) = 0.018315638 c) P (x = <2) e – 4 (4^0, 0!) = 0.018315638 e – 4 (4^1, 1!) = 0.073262555 = 0.091578193 d) P (x > 1) P (x = 2) e – 4 (4^2, 2!) = 0.146525111 P (x = 3) e – 4 (4^3, 3!) = 0.195366814 = 0.3418919225 e) U MEDIA: 4 f) VARIANZA: 4 2. La concentración de partículas en una suspensión es 2 por mL. Se agita por completo la concentración, y posteriormente se extraen 3 Ml. Sea X el número de partículas que son retiradas. Determine a) P (x = 5) e – 2 (2^5, 5!) = 0.036089408 b) P (x = < 2) e – 2 (2^2, 2!) = 0.270670566 e – 2 (2^1, 1!) = 0.270670566 = 0.541341132 Distribuciones Página 9
  • 10. c) P (x > 1) e – 2 (2^2, 2!) = 0.270670566 3. Suponga que 0.03% de los contenedores plásticos producidos en cierto proceso tiene pequeños agujeros que los dejan inservibles. X representa el número de contenedores en una muestra aleatoria de 10 000 que tienen este defecto. Determine a) P (X = 3) e – 3 (3^3, 3!) = 0.224041807 b) P (X < 2) e – 3 (3^2, 2!) = 0.224041807 e – 3 (3^1, 1!) = 0.149361205 = 0.373403075 c) P (1 < X <4) e – 3(3^3, 3!) = 0.224041807 d) U MEDIA: 3 e) VARIANZA: 3 4. Si Poisson (3), calcule a) P (X = 2) e – 3 (3^2, 2!) = 0.2240 b) P (X = 10) e – 3 (3^10, 10!) = 0. 00081 c) P (X = 0) e – 3 (3^0, 0!) = 0. 0498 5. Si X ~ Poisson (4). Calcule a) P (X < 2) E – 4 (4^2, 2!) = 0.146525111 b) P (X > 1) E – 4 (4^1, 1!) = 0.073262555 Distribuciones Página 10
  • 11. La distribución normal En estadística y probabilidad se llama distribución normal, distribución de Gauss o distribución gaussiana, a una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con más frecuencia aparece aproximada en fenómenos reales. La distribución normal es continua en vez de discreta. La media de una variable aleatoria normal puede tener cualquier valor y la varianza cualquier valor positivo. La distribución normal también aparece en muchas áreas de la propia estadística. Por ejemplo, la distribución muestral de las medias muéstrales es aproximadamente normal, cuando la distribución de la población de la cual se extrae la muestra no es normal. Ejercicios: 1. En una ciudad se estima que la temperatura máxima en el mes de junio si una distribución normal, con media 23° y desviación típica 5°. Calcular el número de días del mes en los que se espera alcanzar máximas entre 21° y 27°. 2. En un examen tipo test de 200 preguntas de elección múltiple, cada pregunta tiene una respuesta correcta y una incorrecta. Se aprueba si se contesta a más de 110 respuestas correctas. Suponiendo que se contesta al azar, calcular la probabilidad de aprobar el examen. Distribuciones Página 11
  • 12. 3. Se supone que los resultados de un examen siguen una distribución normal con media 78 y varianza 36. Se pide: ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que se presenta el examen obtenga una calificación superior a 72? 4. En una distribución normal de media 4 y desviación típica 2, calcular el valor de a para que: P(4−a ≤ x ≤ 4+a) = 0.5934 Distribuciones Página 12
  • 13. 5. Si X es una variable aleatoria distribuida según una distribución N (µ, σ), hallar: P (µ−3σ ≤ X ≤ µ+3σ) Es decir, que aproximadamente el 9 9 . 7 4 % de los valores de X están a menos de tres desviaciones típicas de la media. Distribuciones Página 13
  • 14. La Distribución Gamma DISTRIBUCIÓN GAMMA Es una distribución adecuada para modelizar el comportamiento de variables aleatorias continuas con asimetría positiva. Es decir, variables que presentan una mayor densidad de sucesos a la izquierda de la media que a la derecha. En su expresión se encuentran dos parámetros, siempre positivos, (α) y (β) de los que depende su forma y alcance por la derecha, y también la función Gamma Γ(α), responsable de la convergencia de la distribución el valor de la función Gamma se obtiene a partir de: Ejercicios: 1. En cierta ciudad el consumo diario de energía eléctrica, en millones de kilovatios por hora, puede considerarse como una variable aleatoria con distribución GAMMA de parámetros =3 y = 0.5. La planta de energía de esta ciudad tiene una capacidad diaria de 10 millones de KW/hora ¿Cuál es la probabilidad de que este abastecimientos sea: a. Insuficiente en un día cualquiera?. b. Se consuman entre 3 y 8 millones de K. W./Hora? c. Encuentre E(x) y V(x). Solución: Distribuciones Página 14
  • 15. 2. Suponga que cierta pieza metálica se romperá después de sufrir dos ciclos de esfuerzo. Si estos ciclos ocurren de manera independiente a una frecuencia promedio de dos por cada 100 horas. Obtener la probabilidad de que el intervalo de tiempo se encuentre hasta que ocurre el segundo ciclo. a. Dentro de una desviación con respecto del tiempo promedio. b. A más de dos desviaciones por encima de la media. Solución: 3. El número de pacientes que llegan a la consulta de un médico sigue una distribución de Poisson de media 3 pacientes por hora. Calcular la probabilidad de que transcurra menos de una hora hasta la llegada del segundo paciente. Debe tenerse en cuenta que la variable aleatoria “tiempo que transcurre hasta la llegada del segundo paciente” sigue una distribución Gamma (6, 2). Solución: Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuas Gamma (a p) a : Escala 60000 p : Forma 20000 Punto X 10000 Cola Izquierda Pr[X<=k] 0,9826 Cola Derecha Pr[X>=k] 0,0174 Media 0,3333 Varianza 0,0556 Moda 0,1667 La probabilidad de que transcurra menos de una hora hasta que llegue el segundo paciente es 0,98. 4. Suponiendo que el tiempo de supervivencia, en años, de pacientes que son sometidos a una cierta intervención quirúrgica en un hospital sigue una distribución Gamma con parámetros a=0,81 y p=7,81, calcúlese: Distribuciones Página 15
  • 16. 1. El tiempo medio de supervivencia. 2. Los años a partir de los cuales la probabilidad de supervivencia es menor que 0,1. Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuas Gamma (a,p) a : Escala 0,8100 p : Forma 7,8100 Cola Izquierda Pr [X<=k] 0,9000 Cola Derecha Pr [X>=k] 0,1000 Punto X 14,2429 Media 9,6420 Varianza 11,9037 Moda 8,4074 El tiempo medio de supervivencia es de, aproximadamente, 10 años. 5. suponga que cierta pieza metálica se romperá después de sufrir dos siclos de esfuerzo. Si estos ciclos ocurren de manera independiente a una frecuencia promedio de dos por cada 100 horas. Obtener la probabilidad de que el intervalo de tiempo se encuentre hasta que ocurre el segundo ciclo. a) dentro de una desviación con respecto del tiempo promedio b) A más de dos desviaciones por encima de la media Distribuciones Página 16
  • 17. La distribución T de Student En probabilidad y estadística, la distribución t (de Student) es una distribución de probabilidad que surge del problema de estimar la media de una población normalmente distribuida cuando el tamaño de la muestra es pequeño. Aparece de manera natural al realizar la prueba t de Student para la determinación de las diferencias entre dos medias muéstrales y para la construcción del intervalo de confianza para la diferencia entre las medias de dos poblaciones cuando se desconoce la desviación típica de una población y ésta debe ser estimada a partir de los datos de una muestra. En estos casos calculamos el estadístico T: Ejercicios: 1. S e s e l e c c i o n o u n a m u e s t r a a l e a t o r i a d e 2 5 c u e n t a s p o r c o b r a r d e u n registro que contenía 96 cuentas. La muestra dio una media de x = 2.435colones y una desviación típica de S = 335 colones. Obténgase un intervalo de confianza del 90% para estimar la media de las 96 cuentas del registro. 2. El auditor de una empresa al examinar los registros de facturación mensual, mediante el análisis de una muestra aleatoria irrestricta de 10 facturas no pagadas encontró que la media aritmética fue de x = $95 0 0 c o n u n a desviación típica de s = $327. Construir un intervalo de confianza del 95%para estimar el parámetro poblacional. Distribuciones Página 17
  • 18. 3. U n a m u e s t r a a l e a t o r i a d e l p r o c e s o d e p r o d u c c i ó n d e 1 7 b o m b i l l o s , d i o u n a media de x = 128 horas, con una desviación típica s = 15 horas. Construir un intervalo de confianza del 99% para estimar el promedio de vida útil de todos los bombillos del proceso 4. U n a e m p r e s a c o n s t r u c t o r a d e s e a c o n o c e r e l p r o m e d i o d e a r r e n d a m i e n t o mensual de casas en cierta ciudad (casas tipo clase media). Una muestraa l e a t o r i a d e 2 6 a r r e n d a m i e n t o s d i o u n p r o m e d i o d e x = $ 2 8 0 y u n a desviación típica de s = $55. Estime el promedio verdadero con un intervalo de confianza del 0.99 Distribuciones Página 18
  • 19. 5. E l p r o p i e t a r i o d e u n a p a p e l e r í a d e s e a e s t i m a r l a m e d i a d e l v a l o r a l menudeo de las tarjetas de felicitación que la tienda tiene en su inventario. U n a m u e s t r a a l e a t o r i a d e 2 0 t a r j e t a s d e f e l i c i t a c i ó n i n d i c a una media dev a l o r d e $ 1 . 6 7 y u n a d e s v i a c i ó n e s t á n d a r d e $ 0 . 3 2 . S u p o n i e n d o u n a distribución normal, construya una estimación del intervalo de confianza del9 5 % p a r a l a m e d i a d e l v a l o r d e t o d a s l a s t a r j e t a s d e f e l i c i t a c i ó n e n e l inventario de la tienda Distribuciones Página 19
  • 20. Bibliografía: Autor: William Navidi Libro: estadística para ingenieros Y científicos Titulo: Distribución Bernoulli Distribución binomial Distribución Poisson Distribución normal Distribución gamma Distribución T de student Editorial: Mc Graw Hill andruss_hugo1453@hotmail.com http://www.facebook.com/profile.php?id=100001475094229 http://hugo-franco.bligoo.com.mx/content https://twitter.com/#!/victorhugofran4 Otros: World_black2@hotmail.com Saludos ¡Gracias por tu atención! Distribuciones Página 20