Théorie de la decision

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Fondement de la decision

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Théorie de la decision

  1. 1. Les outils d’aide à la décision Soufiane Mir Ingénieur en Business Intelligence Septembre 2015 Ingénierie de la décision
  2. 2. Introduction et position du problèmeIntroduction et position du problème La prise de décision est un problème central dans les entreprises. Les décisions concernent différents types d'activités : on peut ainsi distinguer les décisions commerciales, administratives, financières. Les décisions les plus importantes sont : • les décisions de financement (par exemple, réaliser une augmentation de capital), • les décisions d'exploitation (par exemple, établir le programme de production de l'année), • les décisions d'investissement (par exemple, construire une nouvelle usine). Mais le problème de prise de décision est complexe • Grand nombre de facteurs • Structuration du problème (problèmes mal définis), considérations subjectifs et conflits d’intérêt • Incertitude
  3. 3. • Peuvent aider le décideur à : –Modéliser et connaître la nature des relations de son problème –Trouver la meilleure façons d'évaluer les valeurs de ces relations, et -Aider à la réduction des effets de l’incertitude qui entoure les plans d'actions Introduction et position du problèmeIntroduction et position du problème
  4. 4. Etapes pour l’aide à la décisionEtapes pour l’aide à la décision • Définir le problème et les facteurs essentiels • Établir un critère de décision • Choisir un outil d’aide à la décision (modèle) • Identifier et évaluer les alternatives par ce modèle • Sélectionner la meilleure alternative • Implémenter la décision • Évaluer le résultat
  5. 5. Les modèlesLes modèles • Sont moins coûteux et perturbateur que l’expérimentation réelle • Permettent de poser les questions de type “Et si” • Encourage l’implication des managers • Implique une approche systématique d’analyse des problèmes • Impose aux managers de prendre en compte d’une manière plus précise la relation contraintes - résultats • Aident à réduire le temps de prise de décision
  6. 6. LimitationsLimitations desdes ModModèèlleess • Ils sont coûteux et long à développer et à tester • souvent mal utilisés et mal compris (et craints) en raison de leur complexité mathématique et logique • ont tendance à minimiser le rôle et la valeur de l'information non quantifiable • Font souvent des hypothèses qui surestiment les variables réelles
  7. 7. Processus de décisionProcessus de décision Problème Décision Analyse Quantitative Cadre Logique Données historiques Recherche Marketing Analyse Scientifique Modélisation Analyse Qualitative Emotions Intuition Expérience Personnelle Motivation Rumeurs
  8. 8. Problème de décision Ensemble A des Alternatives (Actions) Ensemble E des États de la Nature Événements non contrôlés Ensemble C des Conséquences Résultats  Tables de décision : relation locale entre A, E et CTables de décision : relation locale entre A, E et C  Arbre de décision : relation globale entre A, E et CArbre de décision : relation globale entre A, E et C Schémas d’un problème de décisionSchémas d’un problème de décision
  9. 9. Formalisation d’un problème de décisionFormalisation d’un problème de décision Symboles utilisés dans un arbre de décision : • Noeud “décision” : qui représente une action de décision (élément de A) • Noeud “événement” : à partir du quel un état de la nature peut se produire (occurrence d’un événement) A A1 Aj AM E e1 ei eN On désigne par d l’élément courant de A : d∈A i est l’indice des événements i∈[1,….N]
  10. 10. Types de modèles de décisionTypes de modèles de décision • Décision en environnement certain Il n’y a aucun facteur externe non contrôlé. Le décideur connaît « parfaitement » l’état de la nature • Décision en environnement incertain L’état de la nature n’est pas connu. Il dépend de facteurs dont on ne dispose pas de probabilité pour estimer leur occurrence. • Décision avec risque L’état de la nature n’est pas connu. Il dépend de facteurs dont on connaît la probabilité de leur occurrence
  11. 11. Types de modèles de décisionTypes de modèles de décision Probabilités connues Environnement certain Programmation linéaire Optimisation Sous contraintes Théorie de la décision Méthodes des scénarios (Opt, Att, Pess…) Théorie des jeux Analyse multicritères Environnement non certain
  12. 12. Décision en environnement certainDécision en environnement certain 1°) Optimisation statique = une seule période •Choix optimal sous contraintes des consommateurs et des producteurs •modèles de gestion des stocks. •Ordonnancement et planning d'atelier 2°) Optimisation inter temporel •Choix inter temporel du consommateurs •Choix des investissements futurs (VAN)
  13. 13. C’est l’exemple e du comportement d’un consommateur qui doit choisir entre par exemple entre trois biens : pomme, orange et poire Soit X l’ensemble des alternatives et la relation de préordre sur X≿ qui traduit les préférences du consommateur. C’est l’ensemble des paniers de consommation accessibles à un individu donné. Soit x et y deux paniers de consommation; x ∈ X, y ∈ X •x ≿ y signifie que le panier de consommation x est au moins aussi désirable que le panier y. •x ≻ y signifie que le panier de consommation x est strictement préféré au panier y. •x ~ y signifie que l’individu est indifférent entre les paniers de consommation x et y; ce qui est équivalent à poser x y et x y≿ ≾ simultanément. Choix statique du consommateurChoix statique du consommateur Décision en environnement certainDécision en environnement certain
  14. 14. A.1 (Complétude) Pour tout couple x1, x2 ∈ X, ou bien x1 x2≿ ou bien x2 x1. Tous les complexes de biens peuvent être≿ comparés entre eux. A.2 (Réflexivité) Pour tout x ∈ X, x x≿ A.3 (Transitivité) Si x1 x2 et si x2 x3 alors x1 x3. Cet≿ ≿ ≿ axiome nous assure qu’il y a un meilleur élément dans l’ensemble, ce qui est nécessaire pour les problèmes de maximisation. Les axiomes A.1, A.2 et A.3 définissent un préordre sur X A.4 continuité Pour tout x0 ∈ X ( x ∈ X | x0 ≥ x) et ( x ∈ X | x ≥ x0) sont fermés dans X L’axiome A.4 nous assure qu’il n’y ait pas de discontinuité dans les choix du consommateur. Choix statique du consommateurChoix statique du consommateur Décision en environnement certainDécision en environnement certain
  15. 15. Soient des préférences complètes, réflexives, transitives et continues, alors il existe toujours une fonction d’utilité continue U : X R qui représente ces préférences:→ ∀x1, x2 Є X, x1 x2 U(x1)≥U(x2).≿ ↔ il est possible de modéliser les préférences d’un individu par une fonction mathématique appelée fonction d’utilité et il n’est donc pas plus restrictif de travailler avec u que de travailler avec « ».≿ Théorème de Debreu : Fonction d’utilité A5 Convexité Si x1,x2 et x3 appartiennent à X et que x z et y z, alors≿ ≿ tx+(1−t)y z,≿ ∀t Є [0, 1] . C’est-à-dire que {x : x z} est un≿ ensemble convexe. Convexité stricte est également craie) La convexité implique que les agents préfèrent les paniers intermédiaires aux paniers extrêmes. Choix statique du consommateurChoix statique du consommateur Décision en environnement certainDécision en environnement certain
  16. 16. Une fonction d’utilité de type Cobb-Douglas a la forme suivante: U(x, y) = xa y1−a , où x et y sont deux biens et 0 ≤ a ≤ 1 Dans le cas de deux biens on peut faire des représentations graphiques à deux dimensions par des courbes d’indifférence. Choix statique du consommateurChoix statique du consommateur Décision en environnement certainDécision en environnement certain
  17. 17. Le consommateur est contraint de limiter ses consommations qui lui sont accessibles compte tenu de son budget. L’ensemble accessible au consommateur est A(p,m) = {x €X |px ≤R}, où X = Rk + et x={x1, ...xk}, un vecteur de k biens; p={p1,..., pk} est le vecteur de prix qui lui est associé; et R est le revenu disponible. Cas de deux biens nous avons p1x1 +p2x2 ≤ m. Cet ensemble budgétaire est représenté par la surface ombragée sous la droite de budget : p1x1 + p2x2 = R Choix statique du consommateurChoix statique du consommateur Décision en environnement certainDécision en environnement certain
  18. 18. R Il est possible de démontrer qu’une solution optimale à ce problème se situe nécessairement sur la droite de budget. Interprétée en termes graphiques, une solution optimale à ce problème apparaît à un point de tangence entre une courbe d’indifférence et la droite de budget . Suite axiomes et Fonction d’utilité Choix statique du consommateurChoix statique du consommateur Décision en environnement certainDécision en environnement certain
  19. 19. Si la fonction d’utilité est différentiable, nous pouvons alors former le Lagrangien: L = U(x) − λ(px−R) Conditions de premier ordre (CPO): Remarquez que cette expression pose l’égalité entre le taux marginal de substitution TMS (la pente de la courbe d’indifférence) et la pente de la droite de budget. Suite axiomes et Fonction d’utilité Choix statique du consommateurChoix statique du consommateur Décision en environnement certainDécision en environnement certain
  20. 20. Valeur actuelle nette (VAN) LA VAN est égale à la somme des flux actualisés à la date présente (y compris l’investissement initial) au taux d’actualisation approprié. On peut aussi la définir comme le différence entre les flux monétaires actualisés et l’investissement initial …… 1 … i … n0 Flux financier -I k est le taux d’actualisation. Il représente le taux de rentabilité minimum exigé par l’entreprise Règle de décision : Le projet est accepté si la VAN >0 Choix des investissementsChoix des investissements Décision en environnement certainDécision en environnement certain
  21. 21. Taux de rendement interne (TRI) Le TIR est le taux d’actualisation qui annule la VAN. En quelque sorte, c’est le taux de rendement du projet Règle de décision : Le projet est accepté si le TRI est supérieur au coût d’opportunité du capital Répercussion du niveau de risque à travers le taux d’actualisation Délai de récupération (Temps de retour TR) C’est la période dans laquelle l’investissement initial est récupéré grâce aux flux générés par le projet. Choix des investissementsChoix des investissements Décision en environnement certainDécision en environnement certain
  22. 22. Soit un projet qui a un profile de flux de coût revenu sur cinq ans donné par Année 0 1 2 3 4 5 Coûts 300 20 20 20 20 20 Revenus 0 100 100 200 200 200 -300 80 80 180 180 180 0 1 2 3 4 5 Choix des investissementsChoix des investissements Décision en environnement certainDécision en environnement certain Exemple
  23. 23. Année 0 1 2 3 4 5 Cash flow -300 80 80 180 180 180 Taux d’actualisation 0 0,909 0,826 0,751 0,683 0,621 Cash flows actualisés -300 72,72 66,08 135,18 122,94 111,78 Cash flows actualisés cumulés -300 -227,28 -161,2 -26,02 96,92 208,70 Valeur nette actualisée = 208,70 Temps de retour 3,21 années Taux d’intérêt minimum exigé par l’investisseur est i=10% Choix des investissementsChoix des investissements Décision en environnement certainDécision en environnement certain Exemple
  24. 24. Taux d’intérêt i 0 10 20 25 30 35 VAN 400 208,7 85,5 40,4 2,2 -29,4 TR 2,78 3,21 3,85 4,32 4,95 >5 Choix des investissementsChoix des investissements Décision en environnement certainDécision en environnement certain Exemple 10% 20% 30% 100 200 300 400 0 0 40% TIR = 30,35% VAN i
  25. 25. i 0 10 20 25 30 35 TR 2,78 3,21 3,85 4,32 4,95 >5 Choix des investissementsChoix des investissements Décision en environnement certainDécision en environnement certain Exemple 1 2 3 100 200 300 400 0 4 VANC i -200 -100 -300 0 5 i
  26. 26. DecisionDecision dans l’idans l’incertainncertain • Critères basés sur les extrêmes Maximax - On choisit la décision qui maximise le gain maximal (Critère optimiste) Maximin (Critère de Wald) : On choisit la décision qui maximise le gain minimal (Critère pessimiste)
  27. 27. Critères basés sur les extrêmes Critère de Wald ou MaxiMin On choisit la décision qui maximise le gain minimal (ici m(d)) Stratégie de prudence extrême Critère de MaxiMax On choisit la décision qui maximise le gain maximal (ici M(d)) Stratégie de risque extrême Critère de Hurwitcz On calcule deux valeurs extrêmes DecisionDecision dans l’idans l’incertainncertain d est la décision générique : d∈A i est l’indice des événements i∈[1,….N] Ci(d) est la conséquence de la décision d si l’événement i se produit
  28. 28. Exemple: Etats de la Nature Alternatives Marché Favorable Marché Défavorable Maximum En colonne Minimum Hurwitcz Construire Grand projet 200,000 -180,000 200,000 -180,000 10,000 Construire Petit projet 100,000 -20,000 100,000 -20,000 40,000 0 0 0 0 0 Maximax Maximin Hurwitcz Rien En colonne Α=0.5 DecisionDecision dans l’idans l’incertainncertain
  29. 29. Idée : on anticipe les regrets (manque à gagner) que l'agent pourrait avoir en ayant pris une décision, après observation des événements Regret d'une décision par rapport à un événement Payoff MaximumPayoff Maximum -- PayoffPayoff dede pour un événementpour un événement l’action choisiel’action choisie DecisionDecision dans l’idans l’incertainncertain Critères basés sur les regrets
  30. 30. Etats de la Nature Alternatives Marché Favorable Marché Défavorable Maximum Des regrets Construire Grand projet 00 160 000 160 000 Construire Petit projet 100 000 0 100,000 0 0 0 Minimiser le maximum des regrets Rien DecisionDecision dans l’idans l’incertainncertain Critères basés sur les regrets Remarque Le minimum des maximums des regrets donne la même résultat que le Maximin
  31. 31. DecisionDecision dans l’idans l’incertainncertain Critères basés sur les regrets 0 5 Autre exemple
  32. 32. 0 5 Critère de Savage Choisir la décision pour laquelle on rend minimal le maximum des regrets. Le regret est défini comme le coût d’opportunité ou le manque à gagner La stratégie choisie est donc C Il est facile de vérifier qu’elle correspond également à MaxiMin Autre exemple DecisionDecision dans l’idans l’incertainncertain Critères basés sur les regrets
  33. 33. DDéécisioncision en environnement risquéen environnement risqué L'arbre de décision est un graphe orienté formé de nœudsL'arbre de décision est un graphe orienté formé de nœuds successifs qui représentent les décisions et les événements.successifs qui représentent les décisions et les événements. •Nœuds de décisions. Un nœud de décisions représente un choixNœuds de décisions. Un nœud de décisions représente un choix entre plusieurs décisions fait librement par le décideur. Il estentre plusieurs décisions fait librement par le décideur. Il est figuré par un carré.figuré par un carré. •Nœuds d'événements. Un nœud d'événements représente uneNœuds d'événements. Un nœud d'événements représente une alternative entre plusieurs événements. Il est figuré par un cercle.alternative entre plusieurs événements. Il est figuré par un cercle. À chaque événement sont attachées une probabilité. La sommeÀ chaque événement sont attachées une probabilité. La somme des probabilités affectées aux événements d'un nœud égale 1.des probabilités affectées aux événements d'un nœud égale 1. Chaque décision conduit à un nœud d'événements.Chaque décision conduit à un nœud d'événements. La racine de l'arbre de décision est toujours un nœud de décision.La racine de l'arbre de décision est toujours un nœud de décision. Arbre de décisionArbre de décision
  34. 34. Une entreprise vient de développer une nouvelle ligne de produits et on doit choisir la manière de conduire la stratégie marketing. Trois stratégies principales sont possibles : •A : stratégie agressive •B : stratégie classique •C : stratégie prudente L'efficacité de la stratégie choisie dépendra d'un facteur externe non contrôlé qui est la dynamique du marché. Deux états du marché sont envisagés : •S : le marché est porteur •W : le marché est peu porteur Les conséquences des décisions en fonction des événements sont données par le tableau suivant Exemple de marché porteur (S) ou non porteur (W) DDéécisioncision en environnement risquéen environnement risqué Arbre de décisionArbre de décision
  35. 35. Table de décisionTable de décision Arbre de décisionArbre de décision DDéécisioncision en environnement risquéen environnement risqué Arbre de décisionArbre de décision
  36. 36. DDéécisioncision en environnement risquéen environnement risqué Critères :Critères : • Maximiser l’état le plus probableMaximiser l’état le plus probable • Critère de l’espérance des regretsCritère de l’espérance des regrets • Maximiser l’espérance du payoff (du gain ouMaximiser l’espérance du payoff (du gain ou de la valeur monétaire). C’est la règle dede la valeur monétaire). C’est la règle de décision de Bayes)décision de Bayes) • Maximiser l’espérance de l’utilitéMaximiser l’espérance de l’utilité Etat de la nature probabiliséEtat de la nature probabilisé
  37. 37. DDéécisioncision en environnement risquéen environnement risqué  Identifier l’état le plus probable, ignorer les autres, et choisir le plus grand payoff Les décisions personnelles sont souvent basées sur ce critère Plusieurs informations sont ignorées Choix de stratégie État du marché Probabilité A B C Strong S 0.45 30 20 5 Weak W 0.55 -8 7 15 Critère de l’état le plus probableCritère de l’état le plus probable L’état le plus probable est W Maximum de gain : 15 Stratégie choisie : C
  38. 38. Regrets État du marché Probabilité A B C Strong S 0.45 0 10 25 Weak W 0.55 23 8 0 Espérance des Regrets 12,65 8,9 11,25 La stratégie choisie est donc B Critère de l’espérance des regretsCritère de l’espérance des regrets DDéécisioncision en environnement risquéen environnement risqué
  39. 39. Le critère de l'espérance mathématique de gain s’écrit : où désigne la probabilité d'occurrence de l'événement i et désigne la conséquence de la décision d si l'événement i survient Dans notre exemple •E(A) = 30 . 0,45 + (-8) . 0.55 = 9,1 •E(B) = 20 . 0,45 + 7 . 0.55 = 12,85 •E(C) = 5 . 0,45 + 15 . 0.55 = 10,5 Le choix serait alors B > C > A Remarque : La critères de maximisation de l’espérance de gain et la minimisation de l’espérance du regret donnent les mêmes stratégies Critère de maximisation de l’espérance du payoffCritère de maximisation de l’espérance du payoff DDéécisioncision en environnement risquéen environnement risqué Cas particulier : Critère de Laplace (événements équiprobables) L(d) = la moyenne des conséquences possibles pour la décision d (sur l'ensemble des événements).
  40. 40. Si le décideur ne connaît que les probabilités des événements, il ne disposeSi le décideur ne connaît que les probabilités des événements, il ne dispose alors que d’une information imparfaite. En effet, ne connaissant que lealors que d’une information imparfaite. En effet, ne connaissant que le pourcentage des fois où l’alternative a eu lieu, il ne connaît pas exactementpourcentage des fois où l’alternative a eu lieu, il ne connaît pas exactement l’état réel à chaque fois pour prendre la bonne décision.l’état réel à chaque fois pour prendre la bonne décision. Dans ce cas le décideur adopte un comportement « Bayesien » basé sur laDans ce cas le décideur adopte un comportement « Bayesien » basé sur la comparaison des espérances de gaincomparaison des espérances de gain Flexibilité d’informationFlexibilité d’information DDéécisioncision en environnement risquéen environnement risqué Gains État du marché Probabilité A B C Strong S 0.45 30 20 5 Weak W 0.55 -8 78 15 Espérance des gains 9,1 12,85 10,5 La stratégie B
  41. 41. Si le décideur arrive à avoir une information supplémentaire (études deSi le décideur arrive à avoir une information supplémentaire (études de marché, marché test commandé à un consultant expérimenté) susceptible demarché, marché test commandé à un consultant expérimenté) susceptible de l’aider dans la connaissance des événements, il va pouvoir en tirer profit etl’aider dans la connaissance des événements, il va pouvoir en tirer profit et améliorer sa décision. Dans le cas extrême où il connaît à chaque fois l’étataméliorer sa décision. Dans le cas extrême où il connaît à chaque fois l’état exact des événements (consultant parfait, espion, « voyante »), il disposeexact des événements (consultant parfait, espion, « voyante »), il dispose alors d’une information parfaite qui lui permettra de maximiser son payoff.alors d’une information parfaite qui lui permettra de maximiser son payoff. Flexibilité d’informationFlexibilité d’information DDéécisioncision en environnement risquéen environnement risqué L’écart de l’état réel de l’information par rapport à cet état d’informationL’écart de l’état réel de l’information par rapport à cet état d’information parfaite permet de définir la flexibilité informationnelle pure. Celle-ciparfaite permet de définir la flexibilité informationnelle pure. Celle-ci caractérise l’aptitude à améliorer l’information jusqu’à sa limite maximale.caractérise l’aptitude à améliorer l’information jusqu’à sa limite maximale. Cette possibilité n’existe pas toujours et on parle alors de rigiditéCette possibilité n’existe pas toujours et on parle alors de rigidité informationnelle.informationnelle.
  42. 42. La Valeur attendue en Information Parfaite (Expected Value of PerfectLa Valeur attendue en Information Parfaite (Expected Value of Perfect Information = EVPI) est donnée par :Information = EVPI) est donnée par : EVPIEVPI = Espérance du= Espérance du PayoffPayoff -- Maximum de l’espérance duMaximum de l’espérance du en information parfaiteen information parfaite payoff (sans informationpayoff (sans information additionnelle)additionnelle) EVPIEVPI donne un plafond de ce qu’on doit payer pour avoir unedonne un plafond de ce qu’on doit payer pour avoir une information additionnelleinformation additionnelle Espérance du payoff enEspérance du payoff en information parfaiteinformation parfaite == EVPIEVPI DDéécisioncision en environnement risquéen environnement risqué
  43. 43. Pour un consultant « parfait » (il s’agit en fait d’un « voyant » ou d’un espion dans le cas de soumission dans des marchés publiques) . Le consultant étant parfait, il annoncera toujours S pour les 45% de cas où le marché est porteur, on choisira alors A ave un gain de 30 Dans le cas de 55% où le marché est faible, il annonce W et on choisira C(15) Valeur de l’information EVPIValeur de l’information EVPI DDéécisioncision en environnement risquéen environnement risqué Gains État du marché Probabilité A B C Strong S 0.45 30 20 5 Weak W 0.55 -8 78 15 Espérance des gains 30 15 0,45*30+0,55*15 = 21,75 EPVI = 21,75 - 12,85 = 8,9 Recours au service d’un consultant
  44. 44. Cas d’un consultant non parfait On considère maintenant que le consultant ne donne pas l’information parfaite mais une tendance du marche En un mois, l'entreprise peut savoir si les perspectives sont encourageantes (E) ou décourageantes (D). L'étude de marché coûte 0.5 L’étude ne donne pas d’information à 100%. On utilise les informations passées pour estimer sa pertinence. On sait que par le passé, ces études ont donné de bonnes indications ; •Quand le marché a finalement été porteur, l'étude a donné des perspectives encourageantes avec une probabilité de 0.6 P(E/S)=0.6 p(D/S)=1 - p(E/S)=0.4 •Quand le marché n'a finalement pas été porteur, l'étude a donné des perspectives décourageantes avec une probabilité de 0.7 p(D/W)=0.7 p(E/W)=1 – p(D/W)=0.3 L'arbre de décision est donnée dans la suite Etude de marché pour augmenter l’informationEtude de marché pour augmenter l’information DDéécisioncision en environnement risquéen environnement risqué
  45. 45. Arbre de décision Etude de marché pour augmenter l’informationEtude de marché pour augmenter l’information DDéécisioncision en environnement risquéen environnement risqué
  46. 46. Calcul de p(E) p(E) = p(E et (S ou W)) p(E) = p((E et S) ou (E et W)) p(E) = p(E et S) + p(E et W) or p(E et S) = p(E/S).p(S) et p(E et W)=p(E/W).p(W) donc p(E) = p(E/S).p(S) + p(E/W).p(W)=0.435 Calcul de p(D) de manière analogue p(D) = p(D/S).p(S) + p(D/W).p(W)=0.565 Calcul de p(S/E) p(E et S) = p(E/S).p(S) =p(S/E).p(E) donc p(S/E)=p(E/S).p(S)/p(E)=0.621 (Note p(W/E)=0.379) Calcul de p(W/D) de manière analogue p(W/D)=p(D/W).p(W)/p(D)=0.682 Note p(S/D)=0.318 Calcul des probabilités conditionnelles Etude de marché pour augmenter l’informationEtude de marché pour augmenter l’information DDéécisioncision en environnement risquéen environnement risqué
  47. 47. Calcul des décisions On va « replier » l'arbre de décision dans l'ordre chronologique inverse des prises de décision Etude de marché pour augmenter l’informationEtude de marché pour augmenter l’information DDéécisioncision en environnement risquéen environnement risqué
  48. 48. Calcul des décisions Etude de marché pour augmenter l’informationEtude de marché pour augmenter l’information DDéécisioncision en environnement risquéen environnement risqué
  49. 49. Calcul des décisions Etude de marché pour augmenter l’informationEtude de marché pour augmenter l’information DDéécisioncision en environnement risquéen environnement risqué
  50. 50. Calcul des décisions Etude de marché pour augmenter l’informationEtude de marché pour augmenter l’information DDéécisioncision en environnement risquéen environnement risqué
  51. 51. Le scénario optimal est le suivant •On demande une étude de marché puis •Si l'étude de marché donne E, alors choisir une stratégie marketing agressive (A) •Si l'étude de marché donne D, alors choisir une stratégie marketing prudente (C) Bilan Etude de marché pour augmenter l’informationEtude de marché pour augmenter l’information DDéécisioncision en environnement risquéen environnement risqué
  52. 52. Paradoxe de St Peters burg C’est un jeu à deux personnes A et B dans lequel A propose à B un jeu à pile ou face moyennant un mise d’une somme S. Les règles du jeu et le gain qui pourra en résulter sont comme suit : •si pile arrive au premier lancé, A donnera à B 2 DH et le jeu s’arrête, sinon le jeu continuera; •si pile arrive au second lancé, A donnera à B 22 =4 DH et le jeu s’arrête, sinon le jeu continuera •si pile arrive au nème coup, A donnera à B 2n DH et le jeu s’arrête, sinon le jeu continuera Quel est le prix maximum S que B est prêt à payer ? Le critère de l’espérance du gain s’écrit ∞=+×++×+×+×= .....2 2 1 ......8 8 1 4 4 1 2 2 1 n n V L’application du critère d’espérance du gain débouche donc sur le ‘paradoxe de Saint Peters Bourg’: quel que soit le prix du jeu fixé par A, B devrait l’accepter puisque le gain espéré est infini Contradictions et paradoxes avec l’espérance de gain Critère de l’utilité espéréeCritère de l’utilité espérée DDéécisioncision en environnement risquéen environnement risqué
  53. 53. Évaluation du prix d’une action C’est un exemple similaire au précédent, il concerne la détermination de la valeur de l’action (son prix) dont le dividende est initialement d et à chaque période, on a une chance sur 2 que l’activité ne dégage aucun profit et une chance sur deux qu’elle croit avec un taux de progression g. On suppose en plus que l’on d ≥1 et (1+g) ≥ 2(1+r) La méthode d’actualisation au gain espéré donne pour la valeur de l’action : ....)11( 1 1 2 1 ..... )1( )1( 2 1 ..... )1( )1( 8 1 )1( )1( 4 1 1 )1( 2 1 1 3 3 2 2 ++≥      + + =+ + + + + + + + + + + + = ∑ ∞ = d r g d r gd r gd r gd r dd V j j n n n La valeur de l’action de croissance serait alors infinie. Un investisseur adoptant ce critère serait donc prêt à payer n’importe quel prix pour cette action. Ce critère a longtemps prévalue dans les pratiques boursières jusqu’aux années 70 où le crash boursier de 1974 a remis en cause la pertinence du critère d’espérance des gains. Peu de personnes seraient prêt à payer une somme infinie. Contradictions et paradoxes avec l’espérance de gain Critère de l’utilité espéréeCritère de l’utilité espérée DDéécisioncision en environnement risquéen environnement risqué
  54. 54. Effet du risque Soit une loterie L qui consiste à tirer une pièce de monnaie. Si la pièce indique face, on vous paie 1000 DH; si la pièce indique pile, vous devez payer 1000 DH. Le revenu espéré E[R]L de la loterie est de: 0=500+500(1000) 2 1 +(-1000) 2 1 =]E[R L = Si on joue et donc on prend un risque l’espérance est nulle et si on ne joue pas, donc pas de risque, on a aussi une espérance nulle. On est donc en présence de deux situations où le revenu espéré est le même mais dont la première est risquée. Si la maximisation du revenu espéré constitue le critère de décision, on devrait être totalement indifférent entre prendre part ou non à cette loterie. Pourtant, on a probablement un jugement plus favorable pour l'une ou l'autre des deux alternatives. L'attitude face au risque est déterminante dans le choix des individus Contradictions et paradoxes avec l’espérance de gain Critère de l’utilité espéréeCritère de l’utilité espérée DDéécisioncision en environnement risquéen environnement risqué
  55. 55. Ces paradoxes et bien d’autres montrent que l’espérance du revenu ne reflète pas toujours le bon comportement des agents économiques. Les individus préfèrent, à valeur égale, les gains sûrs que les gains risqués de même espérance. Cette préférence universelle pour la sûreté révèle donc une aversion à l’égard du risque, une risquophobie de l’individu Pour lever ces paradoxes, on doit concevoir un critère faisant explicitement appel à cette attitude de l'individu face au risque. Cela est possible avec le modèle d'utilité espérée initié d’abord par Daniel Bernoulli (1700-1782) puis formalisé par von Neumann et Morgenstern en 1944. A la maximisation du revenu R on substitue la maximation de l’utilité qu’il procure. Dans ce cas, contrairement au cas du gain, l’utilité dépend du comportement de chaque agent. Un gain de 1000 unités est sans doute plus apprécié par un pauvre que par un homme riche même si le gain est le même pour les deux. Contradictions et paradoxes avec l’espérance de gain Critère de l’utilité espéréeCritère de l’utilité espérée DDéécisioncision en environnement risquéen environnement risqué
  56. 56. )ln( 11 Ru RR u R R u =⇒= ∂ ∂ ⇒∆≈∆ R R u ∆≈∆ 1 L’utilité résultant de tout petit accroissement de la richesse sera inversement proportionnel à la quantité de biens antérieurement possédés. De ce fait pour un accroissement faible de la richesse ∆R, l’accroissement de l’utilité (∆u) est alors donné par: Cette relation due à Bernoulli permet de déterminer la forme de la fonction d’utilité Ceci indique que les fonctions d’utilités doivent avoir une allure proche des fonctions logarithmiques dont la principale caractéristique très utile est la concavité. Application au paradoxe de Saint Peters bourg. ∑∑ = ∞→ = ∞→ ≈×== T t tT T t t tT t U 11 )4ln( 2 lim)2ln()2ln( 2 1 lim La valeur du jeu proposé par le joueur B est en fait exactement ln (4) DH. Contradictions et paradoxes avec l’espérance de gain Critère de l’utilité espéréeCritère de l’utilité espérée DDéécisioncision en environnement risquéen environnement risqué
  57. 57. Critère de l’utilité espéréeCritère de l’utilité espérée DDéécisioncision en environnement risquéen environnement risqué
  58. 58. )9000ln( 2 1 )11000ln( 2 1 )( +=uE )10000ln()( =uE )9000ln( 2 1 )11000ln( 2 1 )1000ln( +> On suppose que le revenu initial avant le jeu est R0=10000. Les deux alternatives conduisent au même gain espéré. L’utilité espérée de l’alternative du jeu est Pour l’alternative sans jeu (certaine) on a Cas de l’exemple 3 La fonction logarithme étant concave on a donc la situation certaine de même espérance de gain est préférée à la situation risquée. Critère de l’utilité espéréeCritère de l’utilité espérée DDéécisioncision en environnement risquéen environnement risqué

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