Campus centre                           Chapitre 4                 Caractéristiques géométriques de la                    ...
Campus centre                              plan        Centre de gravité,        Moment statique,        Moments quadra...
Centre de gravité Campus centre     Soit une section plane d’aire S définie dans un repère orthonormé Oxy.       Les coord...
Calcul du Centre de gravité Campus centre      y                 10 mm                   2                            50 m...
Moment statique Campus centre      Pour un élément dS, de coordonnées X et Y, le moment statique      élémentaire par rapp...
Moment statique Campus centre      Le moment statique d’une section par rapport à un axe est égal      au produit de l’air...
Moment statique Campus centre                 S                 G                                          G   d          ...
Moments quadratiques Campus centre      Moment quadratique par rapport à un axe      Pour un élément dS, de coordonnées X ...
Campus centre      Moments quadratiques• Le moment d’inertie d’un solide par rapport à un axe Δ est égal  au moment d’iner...
Moments quadratiques Campus centre      Remarque:      Si la surface peut être décomposée en n sous-sections de moments   ...
Moments quadratiques Campus centre      Remarque :      La section peut être décomposée en n sous-sections Si de centre   ...
Moments quadratiques Campus centre      Moment quadratique par rapport à un couple d’axe      Ce moment quadratique est au...
Moments quadratiques Campus centre      Calculs pratiques :       Si la surface peut être décomposée en n sous-sections d...
Moments quadratiques Campus centre       Moment quadratique par rapport à un point      Pour un élément dS, à une distance...
Moments quadratiques Campus centre      III.3 Moment quadratique par rapport à un point      Changement d’origine (Théorèm...
Moments quadratiques Campus centreRemarquesLes moments quadratiques s’ajoutent et se retranchent. Cette propriété permetun...
Moments quadratiques Campus centre                 Moments quadratiques d’axes concourantsRotations d’axesSoit la section ...
Moments quadratiques Campus centreRotations d’axes             IOX   sin²θ x².dS cos²θ             y².dS 2sinθcosθ xy.dS  ...
Moments quadratiques Campus centreRotations d’axesDe même, pour le moment quadratique / OY, on obtient :                  ...
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Moments quadratiques Campus centreRecherche des directions principalesCette expression nous donne deux directions conjugué...
III. Moments quadratiques Campus centreExpression des moments quadratiques principauxPour connaître les expressions des mo...
Moments quadratiques  Campus centreReprésentation graphique – Cercle de MohrReprenons les expressions donnant IOX et IOXY ...
III. Moments quadratiques        Campus centre     Représentation graphique – Cercle de Mohr              Icouples d’axes ...
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Chapitre 3 rdm

  1. 1. Campus centre Chapitre 4 Caractéristiques géométriques de la surface plane :05/04/2013 1
  2. 2. Campus centre plan  Centre de gravité,  Moment statique,  Moments quadratiques05/04/2013 2
  3. 3. Centre de gravité Campus centre Soit une section plane d’aire S définie dans un repère orthonormé Oxy. Les coordonnées du centre de gravité G sont définies par : x.dS y.dS S S XG YG S S Si la section S peut être décomposée en sous-sections simples, d’aires connues Si et de centres de gravités connus (xGi et yGi) alors : n n Si .xGi Si . yGi i 1 i 1 XG YG S S05/04/2013 3
  4. 4. Calcul du Centre de gravité Campus centre y 10 mm 2 50 mm 20 G 1 10 mm O x 50 mm xG05/04/2013 4
  5. 5. Moment statique Campus centre Pour un élément dS, de coordonnées X et Y, le moment statique élémentaire par rapport à l’axe Ox est la quantité : d x Y.dS Pour l’ensemble de la section : x y.dS soit x S.YG S De même : y x.dS soit y S.XG S05/04/2013 5
  6. 6. Moment statique Campus centre Le moment statique d’une section par rapport à un axe est égal au produit de l’aire de la section par la distance entre son centre de gravité et l’axe.  si la section S peut être décomposée n en sous-sections simples, d’aires connues Si et de c.d.g connus (xGi et yGi) alors : n x Si .yGi i 1 n y Si .x Gi i 105/04/2013 6
  7. 7. Moment statique Campus centre S G G d d Axe A Axe A05/04/2013 7
  8. 8. Moments quadratiques Campus centre Moment quadratique par rapport à un axe Pour un élément dS, de coordonnées X et Y, le moment quadratique élémentaire par rapport à l’axe Ox est, par définition, la quantité : dI Y².dS Ox Ce qui donne pour l’ensemble de la section : IOx y².dS S De même : IOy x².dS S05/04/2013 8
  9. 9. Campus centre Moments quadratiques• Le moment d’inertie d’un solide par rapport à un axe Δ est égal au moment d’inertie de ce corps par rapport à un axe ΔG parallèle à Δ passant par le centre de gravité augmenté du produit •Le moment quadratique est aussi appelé moment d’inertie de la section05/04/2013 9
  10. 10. Moments quadratiques Campus centre Remarque: Si la surface peut être décomposée en n sous-sections de moments quadratiques connus IOxi et IOyi, alors: n n I Ox I Oxi I Oy I Oyi i 1 i 105/04/2013 10
  11. 11. Moments quadratiques Campus centre Remarque : La section peut être décomposée en n sous-sections Si de centre de gravité Gi et de moment quadratique IGix ou IGiy connus: n n I Gx I G i x Si . YGi YG ² I Gy I G i y Si . X Gi X G ² i 1 i 105/04/2013 11
  12. 12. Moments quadratiques Campus centre Moment quadratique par rapport à un couple d’axe Ce moment quadratique est aussi appelé moment produit. Pour un élément dS, le moment produit élémentaire par rapport aux axes Ox et Oy est par définition la quantité: dIOxy X.Y.dS Ce qui donne pour l’ensemble de la section: I Oxy x.y.dS S Théorème de Huygens: I Oxy I Gxy S.X G .YG05/04/2013 12
  13. 13. Moments quadratiques Campus centre Calculs pratiques :  Si la surface peut être décomposée en n sous-sections de moments produits connus IOxyi, alors: n I Oxy I Oxyi i 1  Si on cherche le moment produit d’une section par rapport à son centre de gravité et que celle-ci peut être décomposée en n sous-sections de c.d.g. Gi connus et de moments produits par rapport à leur c.d.g. connus IGixy, alors: n I Gxy I G i xy Si . X Gi X G . YGi YG05/04/2013 i 1 13
  14. 14. Moments quadratiques Campus centre Moment quadratique par rapport à un point Pour un élément dS, à une distance de O,le moment quadratique polaire élémentaire par rapport à ce point est par définition la quantité: dIo ρ ².dS Ce qui donne pour l’ensemble de la section: Io ².dS SRemarque: on peut écrire ² x² y² soit: I o x².dS y ².dS S SFinalement, on obtient: Io I Ox I Oy05/04/2013 14
  15. 15. Moments quadratiques Campus centre III.3 Moment quadratique par rapport à un point Changement d’origine (Théorème de Huygens) Io I Ox I Oy Soit: Io I Gx S.YG ² I Gy S.X G ² ou: Io I Gx I Gy S. X G ² YG ² Finalement, on obtient: Io IG S. OG ²05/04/2013 15
  16. 16. Moments quadratiques Campus centreRemarquesLes moments quadratiques s’ajoutent et se retranchent. Cette propriété permetune détermination aisée dans le cas de surfaces composées d’éléments simples. 1 1 1 2 2 205/04/2013 [1]+[2] [1]+[2] [1]-[2] 16
  17. 17. Moments quadratiques Campus centre Moments quadratiques d’axes concourantsRotations d’axesSoit la section plane S, et deux systèmes d’axes Oxy et OXY obtenu parune rotation d’angle . Les relations liant les coordonnées dans les y (S) deux repères sont: dS X x.cosθ y.sinθ y Y x.sinθ y.cos θ Y X Calculons le moment quadratique / OX : x O x IOX Y².dS - x.sinθ y.cosθ ².dS S S IOX θ x².sin²θ 2.xy.sinθ.cosθ y².cos² .dS05/04/2013 S 17
  18. 18. Moments quadratiques Campus centreRotations d’axes IOX sin²θ x².dS cos²θ y².dS 2sinθcosθ xy.dS S S S Ce qui nous donne : IOX =sin²θ.IOy +cos²θ.IOx -2.sinθ.cosθ.IOxy En passant à l’angle double : 1 cos 2 1 cos 2 sin 2 cos ² ; sin ² ; sin .cos 2 2 2 On obtient : IOx +IOy IOx -IOy IOX = + .cos2θ-IOxy .sin2θ 2 205/04/2013 18
  19. 19. Moments quadratiques Campus centreRotations d’axesDe même, pour le moment quadratique / OY, on obtient : IOx +IOy IOx -IOy IOY = - .cos2θ+IOxy .sin2θ 2 2 Calcul du moment produit : IOXY = XY.dS x.cos +y.sin . -x.sin +y.cos .dS S SIOXY =sin .cos . y².dS- x².dS (cos ² sin ² ) x.y.dS S S S Soit : IOx -IOy IOXY = .sin2θ+IOxy .cos2θ05/04/2013 2 19
  20. 20. Moments quadratiques Campus centreRecherche des directions principalesIl s’agit des directions donnant les moments quadratiques extrêmes(maximal et minimal). Pour les trouver , dérivons IOX et IOY / etannulons ces dérivées: dIOX IOx -IOy =-2. .sin2θ-2.IOxy .cos2θ=0 dθ 2 dIOY IOx -IOy =2. .sin2θ+2.IOxy .cos2θ=0 dθ 2Ces deux expressions s’annulent pour : -2IOxy tan(2θ)= IOx -IOy05/04/2013 20
  21. 21. Moments quadratiques Campus centreRecherche des directions principalesCette expression nous donne deux directions conjuguées définies parles angles: 1 et 2 = 1+ 2 y Les directions ainsi déterminées (A) s’appellent les directions principales (ou axes principaux), elles sont orthogonales et définies par la relation: -2IOxy tan(2θ)= x O IOx -IOyRemarques: Pour les directions principales, IOXY est nul. Tout axe de symétrie, est axe principal d’inertie.Tout axe perpendiculaire à un axe de symétrie est également axeprincipal d’inertie.05/04/2013 21
  22. 22. III. Moments quadratiques Campus centreExpression des moments quadratiques principauxPour connaître les expressions des moments quadratiques principaux(Imaxi et Imini), il suffit de remplacer, dans les formules donnant IOX, IOY etIOXY, la valeur de par les solutions de l’équation: -2IOxy tan(2θ)= IOx -IOyOn obtient ainsi: 2 IOx +IOy IOx -IOy I maxi = + +I 2 Oxy 2 2 2 IOx +IOy IOx -IOy I mini = - +I 2 Oxy 2 205/04/2013 22
  23. 23. Moments quadratiques Campus centreReprésentation graphique – Cercle de MohrReprenons les expressions donnant IOX et IOXY IOx +IOy IOx -IOy IOX - = .cos2θ-IOxy .sin2θ 2 2 IOx -IOy IOXY = .sin2θ+IOxy .cos2θ 2Effectuons la somme des carrés, on obtient: 2 2 IOx +IOy 2 IOx -IOy IOX - +IOXY = +IOxy 2 2 2Ce qui correspond à l’équation d’un cercle de centre C et de rayon R 2 IOx +IOy IOx -IOy xc = et R= +IOxy 2 05/04/2013 2 2 23
  24. 24. III. Moments quadratiques Campus centre Représentation graphique – Cercle de Mohr Icouples d’axes 2 IOx +IOy IOx -IOy xc = et R= +IOxy 2 2 2 IOxy Imini IOy IOx Imaxi O C -2 Iaxes-IOxy 05/04/2013 24
  25. 25. y 12 Application Calculer le centre de gravité100 Les moments en O Les moments on G 12 Les axes principaux x 200 05/04/2013 25

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