Hautes Etudes d’Ingénieur                                  Laboratoire de Résistance des matériaux                        ...
PROGRAMMEDésignation des Travaux Pratiques  TP 1   Essais photoélastiques par transmission  TP 2   Concentration des contr...
TP N°1ESSAIS PHOTOELASTIQUES PAR TRANSMISSION                  -3-
1. ESSAIS PHOTOELASTIQUESI. BUT DE L’EXPERIENCELe polariscope par transmission FL 200 permet de réaliser des expériences s...
Montés dans un porte-filtre , les filtres peuvent tourner sur leur axe. Le porte-filtrepossède sur le côté une aiguille qu...
A l’état de contrainte plan, on observe pour chaque point deux sections principalessuperposées verticalement où les contra...
Selon la loi de Brewster “ la modification relative de l’indice de réfraction estproportionnelle à la différence des contr...
TP N°2CONCENTRATION DE CONTRAINTES             -8-
CONCENTRATION DE CONTRAINTES      Nous allons démontrer lexistence de concentrations de contrainte et de déformationsau v...
II. ETUDE THEORIQUE DE PROBLEMEFaire léquilibre de la poutre et tracer le diagramme du moment fléchissantToute présence de...
En comparant ces deux expressions, expliquer lintérêt de positionner une jauge auvoisinage du plan  à une distance du tro...
III. CE QUI VOUS SERA DEMANDE      Manipulation       Pour cette expérience nous utiliserons trois petites jauges au voisi...
TP n°3EFFORT DANS LES BARRES D’UN TREILLIS                - 13 -
1) Partie analytique :On considère le treillis suivant :                                                                  ...
Tableau des résultats de calcul Barre   Chargement 1             Chargement 2   Chargement 31–21-52-32-52-63–43–63-75-66-7...
TP N°4Moment de flexion et effort Tranchant                  16
Sommaire1 Objectifs2 Composition3. Application des charges et calcul des éléments de réductions3.1 Principes de base3.2 Ch...
1. OBJECTIFS        Dans toute étude statique des structures isostatiques, il faut avant tout calculer lesactions de liais...
2.2 Caractéristiques de l’appareil de démonstration :- Mesure directe du moment de flexion agissant dans la poutre et de l...
Il existe entre la force transversale et le moment de flexion le rapport différentiel suivant:    La répartition de la for...
3.3 Charge symétriquePréparation de l’essaiIl s’agit de déterminer et de vérifier expérimentalement la ligne de moment de ...
4. Travail à préparer à la maison :    Pour chacun des six cas de chargement, tracez les diagrammes des efforts tranchants...
Cas de chargement 1 : diagrammes de leffort tranchant et du moment fléchissantCas de chargement 2 : diagrammes de leffort ...
Cas de chargement 3 : diagrammes de leffort tranchant et du moment fléchissantCas de chargement 4 : diagrammes de leffort ...
Cas de chargement 5 : diagrammes de leffort tranchant et du moment fléchissantCas de chargement 6 : diagrammes de leffort ...
5. CE QUI VOUS SERA DEMANDE AU LABORATOIRE R.D.M    Manipulations    - Monter la poutre comme indiqué dans le schéma. Posi...
TP N°5DEFORMEE DES BARRES SOUMISES A LA            FLEXION                27
IntroductionLe but de ce TP est d’étudier la déformation des poutres droites pour divers cas dechargements.L’appareil Défo...
Expérimentation                           Figure 1- Montage expérimental cas 1Réaliser le montage expérimental suivant l’i...
Figure 3- Montage expérimental cas 3Les cas étudiésFlexion en porte à faux   a.) Cas 1 :   b.) Cas 2 :                    ...
Poutre sur deux appuis (cas 3)Question de préparationPour chaque cas de chargement déterminer les expressions littérales d...
TP N°6MESURES DES JAUGES DE DEFORMATIONS   POUR DES CALCULS DE CONTRAINTES      EN TORSION ET TRACTION                    ...
Calcul des contraintes : Traction et TorsionObjectifs :Les objectifs de ce TP sont les suivants :    Comprendre le foncti...
Compte tenu de la disposition sur les faces opposées, les efforts de torsion superposés n’ontaucune influence sur la mesur...
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Le tableau suivant présente les valeurs caractéristiques des matériaux                                Valeurs caractéristi...
Essai de traction, acier CrNi18.8 (standard)Charge en N                  0     10          20   30   40   50Affichage en m...
Essai de traction, aluminium (accessoire)Charge en N             0        10            20          30            40      ...
 Monter la barre en torsion dans le cadre de                                               la manière indiquée sur l’illu...
TP N°7FLAMBEMENT DES POUTRES DROITES              40
FLAMBEMENT et CHARGE CRITIQUELe flambage ou flambement est un phénomène dinstabilité dun matériau, qui soumis à uneforce d...
II.    ETUDE DE LA LONGUEUR DE FLAMBEMENTLa démonstration suivante faite par l’enseignant va permettre de déterminer la va...
III.     MANIPULATION EXPERIMENTALELe but du TP est d’étudier le flambement de poutres droites. Il s’agit de 4 éprouvettes...
Liaison articulée : Desserrer le bloc à rainure, laissé du jeu ;              Attention quelle que soit la liaison étudiée...
3) Tracer la charge en fonction de la flèche et comparer les 2 longueurs sur un   même graphique.4) Refaire la même analys...
TP N°8INFLUENCE DES CARACTERISTIQUES PHYSIQUE       ET GEOMETRIQUE EN FLEXION                   46
IntroductionLe but de ce TP est d’étudier l’influence des divers paramètres de la poutre et du chargementsur la déformatio...
1 : rail de base                                      6 : élément de fixation et plaque de serrage2 : appui coulissant    ...
Une barre est sollicitée en flexion lorsque des forces individuelles et des charges répartiesagissent perpendiculairement ...
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Poly rdm pole technologique-2013

  1. 1. Hautes Etudes d’Ingénieur Laboratoire de Résistance des matériaux 13 rue de Toul 59046 Lille Cedex Tél. 03.28.38. 48.58 - Fax 03.28.38.48.04 TRAVAUX PRATIQUES – RdM 1ère Année Cycle Ingénieur - Année 2012 / 2013 HEI 3 Documents de préparation des TP Salle H019 Déroulement d’une séance de TP  Lors d’une séance de TP, un groupe d’étudiants réalise une étude expérimentale sur deux bancs d’essais. L’exploitation des mesures et leur analyse fera l’objet d’un compte rendu dont le canevas est fourni en séance. La remise du compte rendu est fixée par l’enseignant, en fonction du travail nécessaire pour finaliser le compte rendu (avancement des cours, recherche bibliographique…).  A la fin de la séance de TP, veillez à ce que le matériel alimenté sous tension soit éteint.=================================================================== -1-
  2. 2. PROGRAMMEDésignation des Travaux Pratiques TP 1 Essais photoélastiques par transmission TP 2 Concentration des contraintes TP 3 Etude des barres articulées d’un treillis TP 4 Moment de flexion et Effort Tranchant TP 5 Déformée des barres soumises à la flexion TP 6 Jauges des déformations et calcul des contraintes : traction et torsion TP 7 Etude du flambement de poutres droites TP 8 Influence des caractéristiques physique et géométrique en Flexion pureDéroulement :  Chaque groupe fait 3 séances de TP de 3 heures chacune et doit réaliser 6 manipulations au total. Dans chaque séance, le groupe réalise 2 manipulations d’une durée de 1h30min en moyenne. Attention : Il ne faut pas déborder pour ne pas gêner la rotation des groupes. -2-
  3. 3. TP N°1ESSAIS PHOTOELASTIQUES PAR TRANSMISSION -3-
  4. 4. 1. ESSAIS PHOTOELASTIQUESI. BUT DE L’EXPERIENCELe polariscope par transmission FL 200 permet de réaliser des expériences sur laphotoélasticité. Le passage de la lumière permet de visualiser la répartitionmécanique des contraintes dans du matériel de sensibilité photoélastique.Dans leur forme et leur structure, les éprouvettes correspondent à des composantstechniques, sur lesquelles on peut observer l’influence des entailles.Les éprouvettespeuvent subir différentes sollicitations,mais nous n’observerons que la compression. Description de l’appareil La source de lumière La source de lumière est constituée d’un boîtier contenantla lampe et d’un écran diffuseur blanc. Il est possible de générer deux typesdifférents de lumière : 1. Lumière blanche d’un tube fluorescent qui est en plus soutenu par deux ampoulesà incandescence qui garantissent une répartition uniforme de la lumière.2. Lumière monochromatique générée par une lampe à vapeur de sodium .(REMARQUE : la lampe à vapeur de sodium nécessite un temps de réchauffementd’environ sept minutes pour atteindre sa pleine luminosité)Les filtres Le FL 200 possède quatre filtres. Ceux-ci sont constitués de deuxplaques en verre entre lesquelles est placée une feuille filtrante. Les bordures desfiltres sont collées et pourvues d’une protection les empêchant d’être repliées. Lepolariseur se trouve entre la source de lumière et le modèle, l’analyseur entre lemodèle et l’observateur. Le polariseur et l’analyseur sont constitués chacun d’unfiltre de polarisation linéaire (olive foncé) et d’un filtre de quart d’onde (pratiquementincolore). Ces filtres sont décalés par rapport à leur axe selon un angle déterminé.Vus depuis la source de lumière dans la direction de l’observateur1. Filtre de polarisation : 0°2. Filtre de quart d’onde : 45°3. Filtre de quart d’onde : 315°4. Filtre de polarisation : 270° -4-
  5. 5. Montés dans un porte-filtre , les filtres peuvent tourner sur leur axe. Le porte-filtrepossède sur le côté une aiguille qui permet de lire la position angulaire du filtre. La broche de charge Le dispositif est monté sur la traverse supérieure.Ledispositif de charge est constitué d’une broche filetée(1) et d’un écrou de serrage(2)avec goupilles(3) pour un réglage fin de la charge. Pour minimiser le frottement etexclure une transmission de couples sur le modèle, l’écrou de serrage est dotéd’une butée à billes (4).Matériel à sensibilité photoélastique Fondamentalement, tout matériaubiréfringent convient aux expériences photoélastiques (le verre, différentes matièresplastiques transparentes…). Mais on utilisera des éprouvettes en polycarbonate,sous forme de plaques sous la désignation commerciale “MAKROLON”certains matériaux transparents peuvent fournir, sous l’effet d’une charge, un effetbiréfringent. La double réfraction résulte du fait que certains matériaux isotropes àl’état non chargé présentent un effet anisotrope lorsque la structure moléculaire semodifie suite à une sollicitation mécanique. L’indice de réfraction dépend descontraintes agissant dans le matériau. -5-
  6. 6. A l’état de contrainte plan, on observe pour chaque point deux sections principalessuperposées verticalement où les contraintes σx et σy reçoivent leurs valeursmaximales : les contraintes principales σ1 et σ2. Il est convenu que  σ est toujourssupérieure algébriquement. Les grandeurs σ1 et σ2 et la direction principale apermettent de déterminer graphiquement et mathématiquement sur le “ cercle deMohr ” toutes les contraintes σx et σy. ainsi que σxy selon leur taille et leur direction.Le procédé pour les contraintes du bord est particulièrement simple, car l’une d’ellesest toujours perpendiculaire au bord et ainsi nulle. L’expérience photoélastique offrela possibilité de lire directement les contraintes du bord qui, dans la plupart des cas,sont déterminantes pour la mesure.Lumière polarisée la lumière transmise à travers le premier filtre subit unepolarisation linéaire .cette polarisation est vérifiée par le second filtre perpendiculaireau premier: On obtient une zone sombre, c’est-à-dire que toutes les oscillations sontsupprimées. Aussi le second filtre est-il appelé “ analyseur ”.La lumière de la lampe à vapeur de sodium, est considérée comme étantmonochromatique de longueur d’onde =589nmLes indices de réfraction (n=c/v) dépendent des contraintes principales :n1 =f(σ1 e) n2=f(σ2 ) Lorsqu’un vecteur lumineux de polarisation linéaire A rencontre un corpstransparent en un point P, le vecteur d’oscillation se divise en deux vecteurspolarisés A1 et A2, colinéaires à σ1 et σ2. Pour chaque vecteur le temps pour traverser le corps d’épaisseur d est :t1=(d/v1) et t2 =(d/v2).Soit une différence de marche = (cd/v1) -(cd/v2) = d(n1-n2) -6-
  7. 7. Selon la loi de Brewster “ la modification relative de l’indice de réfraction estproportionnelle à la différence des contraintes principales. ”(n1-n2)= K( σ1 -σ2)K est une constante dépendant du matériau et de la longueur d’onde de la lumièreutilisée. Elle permet d’exprimer la sensibilité photoélastique du matériau. Encombinant les équations, on obtient l’équation principale de la photoélasticité : /Kd= ( σ1 -σ2) Isochromates et isoclines Si le modèle est exempt de contrainte, il n’y a pas dedouble réfraction. Si une charge est appliquée et augmentée, on obtient unedifférence des chemins qui augmente proportionnellement à la différence descontraintes principales. La lumière apparaissant derrière l’analyseur dépend de lacomposition des parts H1 et H2 et de la mesure dans laquelle l’oscillation généréepar la différence de chemin permet ou non une résultante (voir fig.) On observed’abord deux extrêmes :1. H1 et H2 ne présentent aucune différence de chemin. Elles oscillent en oppositionde phase. Ce cas intervient lorsque les contraintes principales sont faiblementsupérieures à zéro ou identiques. La différence des contraintes principales ( σ1 -σ2) est alors égale à zéro. on obtientà cet endroit une suppression totale, c’est-à-dire une zone sombre dans le modèle.On obtient le même effet lorsque la différence des chemins correspond à une ouplusieurs longueurs d’ondes entières. 2. H1 et H2 présentent une différence de chemins d’une demi-longueur d’onde. Ellesoscillent en phase. Une superposition des trains d’ondes concernés entraîne unrenforcement des oscillations à chaque endroit. Derrière l’analyseur, on obtient à cetendroit la luminosité maximale. Ce processus se répète selon l’augmentation de ladifférence des contraintes principales et ainsi de la différence des chemins.On observe, selon la répartition des contraintes , c’est-à-dire selon l’augmentation oula réduction des gradients de ces dernières, des lignes cohérentes, alternativementclaires et sombres : les isochromates.Les isochromates sont donc des lignes de même différence de contraintesprincipales.On caractérise les isochromates selon des ordres. On compte à partir de l’ordre “zéro ” le nombre de déphasages de longueurs d’ondes entières (isochromates des1er, 2e, 3e, etc., ordres). Lorsqu’on observe une forte densité d’isochromates, c’estlà qu’apparaissent les contraintes les plus élevées.L’observation du modèle en lumière blanche permet toutefois de voir d’autres lignessombres qui ne sont pas des isochromates.Leur présence s’explique de la manière suivante : lorsque l’une des directions descontraintes principales coupe le plan de polarisation, il n’y a pas de double réfractionen ce point. Le rayon lumineux traverse donc le modèle sans obstacle, pour êtresupprimé ensuite par l’analyseur. On observe donc des lignes qui, pour tous lespoints, ont le même sens des contraintes principales : les isoclines. Pourl’évaluation de l’image isochromatique, les isoclines gênent. Pour les éliminer, on sesert des plaques de quart d’onde. -7-
  8. 8. TP N°2CONCENTRATION DE CONTRAINTES -8-
  9. 9. CONCENTRATION DE CONTRAINTES Nous allons démontrer lexistence de concentrations de contrainte et de déformationsau voisinage de la discontinuité dune poutre encastrée au niveau du plan  et obtenir unevaleur approximative du facteur de concentration Kt en domaine élastique.I. POUTRE ETUDIEEDans le cas présent, la discontinuité est un trou percé dans la poutre sur son axe de symétrie.Matériel de mesure1/ Flexor (support) E  70 GPa 2/ Poutre daluminium  de 305 mm de longueur et de section droite  25  6 mm avec un trou de 6 mm de diamètre 3 / 4 jauges dextensométrie (sur la surface supérieure). Facteur de jauge 1 2.09  0.5 % 2 2.05  0.5 % 3 2.05  0.5 % 4 2.05  0.5 % -9-
  10. 10. II. ETUDE THEORIQUE DE PROBLEMEFaire léquilibre de la poutre et tracer le diagramme du moment fléchissantToute présence de discontinuité géométrique de la forme dune structure mécanique chargéeprovoque, généralement, une augmentation de la contrainte par rapport à ce quelle serait enlabsence de discontinuité.Donner lexpression de la contrainte normale qui apparaît dans la section  sur lasurface supérieure   Donner lexpression de la contrainte normale qui apparaîtrait dans la section  sur lasurface supérieure. Si le phénomène de concentration de contraintes nexistait pas lacontrainte est dite nominale notée   nom  - 10 -
  11. 11. En comparant ces deux expressions, expliquer lintérêt de positionner une jauge auvoisinage du plan  à une distance du trou qui vérifie le rapport (R) suivant : l bd  L bCependant, au bord du trou, on a une concentration de contraintes : la contrainte est bien plusgrande. On la note   max .En introduisant le coefficient de concentration de contraintes, donner la relation quirelie   max et   nom .Du fait que, dans les sections uniformes de la poutre, sur les bords du trou, les contraintes sontuniaxiales, les déformations sont directement proportionnelles aux contraintescorrespondantes. Le facteur de concentration de contraintes est donc également le mêmefacteur de concentration des déformations. On a donc :   max   max Kt     nom  - 11 -
  12. 12. III. CE QUI VOUS SERA DEMANDE Manipulation Pour cette expérience nous utiliserons trois petites jauges au voisinage du trou dans lasection et une quatrième dans la section située selon le rapport (R). 1. Placer la poutre dans le flexor, les jauges vers le haut du côté de lencastrement. Veiller à ce quelles soient centrées par rapport aux flancs du flexor. 2. Léquilibrage de la jauge n° 1 : Réglage de létat initial pour la jauge : la poutre étant muni d’un support de charge, sélectionner une jauge, afficher son facteur de jauge sur le pont et équilibrer le pont (déformation à Zéro) à laide du potentiomètre balance correspondant a son canal.  Remarque : les facteurs de jauges sont différents. 3. La jauge numéro 1 étant équilibrée, charger le support en faisant fléchir progressivement la poutre jusquà ce que la déformation affichée atteigne 1500 m/m. 4. Léquilibrage des jauges : Pour le réglage de létat initial des jauges n° 2,3 et 4 la poutre est impérativement muni d’un support de charge, sélectionner chacune des jauges séparément, afficher son facteur de jauge sur le pont et équilibrer le pont (déformation à Zéro) à laide du potentiomètre balance correspondant a son canal. 5. Maintenir le charge sur le support et passer aux jauges 2, 3, 4 en relevant à chaque fois les valeurs des déformations correspondantes. 6. Refaire la même mesure au moins deux fois. Dépouillement des mesures Déterminer la loi dévolution des contraintes au bord du trou. En déduire le coefficient de concentration de contraintes. - 12 -
  13. 13. TP n°3EFFORT DANS LES BARRES D’UN TREILLIS - 13 -
  14. 14. 1) Partie analytique :On considère le treillis suivant : Treillis 1 Pièces requises : • 7 x barre 3 (300mm) • 3 x barre 5 (424mm) • 5 x plaque à nœudTravail à préparer à la maison :On se propose de déterminer les forces dans chacune des barres de treillis dans les conditionsdes chargements suivants : on donne P=200 N Chargement 1 Chargement 2 Chargement 3 14
  15. 15. Tableau des résultats de calcul Barre Chargement 1 Chargement 2 Chargement 31–21-52-32-52-63–43–63-75-66-7 15
  16. 16. TP N°4Moment de flexion et effort Tranchant 16
  17. 17. Sommaire1 Objectifs2 Composition3. Application des charges et calcul des éléments de réductions3.1 Principes de base3.2 Charge appliquée au milieu de la poutre3.3 Charge symétrique3.4 Etude des charges appliquées aux trois étriers-support4. Travail à préparer à la maison5. Ce qui vous sera demandé au laboratoire R.D.M 17
  18. 18. 1. OBJECTIFS Dans toute étude statique des structures isostatiques, il faut avant tout calculer lesactions de liaisons du système étudié (poutre) sur lenvironnement extérieur. Par la suite, larésistance des matériaux mettra en évidence les efforts intérieurs de la matière et notammentle moment fléchissant et l’effort tranchant engendrés par la charge que supporte la poutre. La manipulation que nous allons faire a pour but de comprendre les actions de l’efforttranchant et du moment fléchissant dans une poutre. Nous apprendrons également à mesurerle moment fléchissant et l’effort tranchant existant dans une section normale de poutrechargée pour pouvoir comparer la théorie avec lexpérience.2. Composition et Description du dispositifL’appareil de démonstration d’effort tranchant et de moment de flexion WP 960 permetd’étudier expérimentalement la répartition de moment de flexion Mz(x) et la répartition deforce transversale Ty(x) dans une poutre chargée par des forces simples:2.1 Outillages : Nombre1 Poutre de 1000 mm de long avec articulation spéciale à 366 mm 12 Dynamomètre 0 - 140 N pour le moment de flexion avec levier 13 Dynamomètre 0 - 50 N pour la force transversale 14 Appuis avec roulements à rouleaux 25 Suspente, poids propre 1N 36 étrier-support 37 Charges 1 N 128 Charges 5 N 9 18
  19. 19. 2.2 Caractéristiques de l’appareil de démonstration :- Mesure directe du moment de flexion agissant dans la poutre et de la force transversale enutilisant une articulation à faible frottement avec deux degrés de liberté à 1/3 de la longueurde serrage et deux comparateurs à cadran.- Compensation de la déflexion due à la course de mesure du comparateur à cadran etpositionnement rectiligne à l’aide de vis de réglage.- Charge par la mise en place de jeux de poids à n’importe quel l’endroit de la poutre.- Appui avec rouleaux sur roulements à billes.- Démonstration du principe de coupe en mécanique- Calculer et donner la représentation des efforts tranchants dans la poutre- Exprimer et représenter le moment de flexion dans la poutre3. Application des charges et calcul des éléments de réductions3.1 Principes de base Le principe de coupe est employé en mécanique pour déterminer les forces internes etles moments déterminants pour la charge d’une poutre. Pour ce faire, la poutre est séparée endeux parties par une coupe imaginaire à l’endroit considéré.Les efforts de cisaillement au bord de coupe de gauche sont appliqués en sens positif et ceuxau bord de droite en sens négatif. Avec un cas de charge plan, on distingue 3 efforts decisaillement différents:- Force normale : Nx dans la direction de la poutre. Elle génère dans la poutre descontraintes de traction et de compression.- Force transversale : Ty perpendiculaire à l’axe de la poutre. Elle est responsable descontraintes de cisaillement dans la poutre.- Moment de flexion Mz, perpendiculaire au plan de contrainte. Il génère les contraintes deflexion dans la poutre. 19
  20. 20. Il existe entre la force transversale et le moment de flexion le rapport différentiel suivant: La répartition de la force transversale donne donc la pente de la courbe de moment de flexion. 3.2 Charge appliquée au milieu de la poutre Létude statique dune structure se décompose en deux phases. On étudie tout dabord léquilibre de lensemble de la structure afin de déterminer lensemble des actions extérieures qui sexercent dessus. Puis, on fait appel à la résistance des matériaux pour évaluer les efforts intérieurs par une coupure fictive dans une section droite. 3.2.1 Préparation de l’essai Phase 1 : Donner les forces d’appui A, B à l’aide des équations d’équilibres dans le cas d’une charge F appliquée au milieu Phase 2 : Il s’agit d’exprimer la répartition du moment de flexion Mz(x) et celle de la force transversale Ty(x) d’une poutre sur deux appuis et avec une charge centrée simple F. 3.2.2 Réalisation de l’essai Nous disposons dune poutre expérimentale dont la structure est détaillée ci-dessus. Réaliser le montage expérimental suivant le schéma ci-contre: - Placer les appuis à une distance de 800 mm sur la traverse inférieure du cadre. - Centrer la poutre sur les appuis et placer l’étrier-support au centre (à 400 mm de l’appui). - Ajuster la poutre (opération d’étalonnage) avec les vis (1) - Lire le dynamomètre et noter la valeur. - Placer la charge 20 N (2) sur la poutre. Un moment résistant à la rotation est produit par un dynamomètre placé en dessous de la poutre et agit avec un bras de levier de 100 mm. Ce moment résistant vient équilibrer le moment fléchissant créé par lapport des charges. - Réajuster la poutre avec les vis (1). - Lire une nouvelle fois les deux dynamomètres et noter la valeur. Vérifier la concordance de la précision des mesures d’efforts locaux Mz, Ty et Interpréter 20
  21. 21. 3.3 Charge symétriquePréparation de l’essaiIl s’agit de déterminer et de vérifier expérimentalement la ligne de moment de flexion Mz (x)et la ligne de force transversale Ty (x) d’une poutre avec une charge symétrique avec deuxforces simples F = 21 NPhase 1 : Donner les forces d’appui A, B à l’aide des équations d’équilibres dans le cas d’unecharge symétrique appliquée à 200mm des supports A et B.Phase 2 : Il s’agit d’exprimer la répartition du moment de flexion Mz (x) et celle de la forcetransversale Ty (x) d’une poutre sur deux appuis et avec une charge symétrique appliquée à200mm des supports A et B.Vérifier la concordance de la précision des mesures d’efforts locaux Mz , Ty et Interpréter3.4 Etude des charges appliquées aux trois étriers-support Nous disposons les étriers-supports et les charges suivant le mode dessai représenté Pa Pb Pcainsi que les mesures dans le tableau fourni. Xa Xb Xc Figure 2 : Modèle de la poutre expérimentale du moment fléchissantXa : représente la distance du support de gauche de la poutre au premier étrier-supportXb : représente la distance du support de gauche de la poutre au second étrier-supportXc : représente la distance du support de gauche de la poutre au troisième étrier-supportPa : représente le poids en Newton supporté par le premier étrier-supportPb : représente le poids en Newton supporté par le second étrier-supportPc : représente le poids en Newton supporté par le troisième étrier-support 21
  22. 22. 4. Travail à préparer à la maison : Pour chacun des six cas de chargement, tracez les diagrammes des efforts tranchants et des moments fléchissants. 4.1 Tableau des calculs RDM : effort tranchant et moment fléchissant. Calculez les valeurs de l’effort tranchant et du moment fléchissant dans la section (Xj = 366 mm) pour chacun des six cas. Reportez ces valeurs dans le tableau ci-dessus Xa Xb Xc Pa Pb Pc Tj théorique Mj théorique Essai (Nxmm) (mm) (mm) (mm) (N) (N) (N) (N) -Etalonnage - 400 - 0 0 0 - 1 - 400 - 20 -Etalonnage 200 - 600 0 0 0 - 2 200 - 600 21 21 -Etalonnage 200 400 600 0 0 0 - 3 200 400 600 10 - 20 4 200 400 600 20 - 10 5 200 400 600 10 20 10 6 200 400 600 20 10 20 22
  23. 23. Cas de chargement 1 : diagrammes de leffort tranchant et du moment fléchissantCas de chargement 2 : diagrammes de leffort tranchant et du moment fléchissant 23
  24. 24. Cas de chargement 3 : diagrammes de leffort tranchant et du moment fléchissantCas de chargement 4 : diagrammes de leffort tranchant et du moment fléchissant 24
  25. 25. Cas de chargement 5 : diagrammes de leffort tranchant et du moment fléchissantCas de chargement 6 : diagrammes de leffort tranchant et du moment fléchissant 25
  26. 26. 5. CE QUI VOUS SERA DEMANDE AU LABORATOIRE R.D.M Manipulations - Monter la poutre comme indiqué dans le schéma. Positionner les supports de masses (cas du chargement 1). N’oubliez pas la procédure d’étalonnage, cest-à-dire : Alignez les deux parties de la poutre en agissant sur le dynamomètre et noter lindication dynamométrique. Appliquer le chargement 1, réaligner la poutre et noter la nouvelle indication du dynamomètre. La différence de lecture est due au chargement 1. Cette dernière est à multiplier par la distance qui sépare la fibre neutre de la poutre de l’axe du dynamomètre. - Procéder de la même façon pour les chargements 2 à 6.6. Caractéristiques techniquesCadre Longueur x largeur: 1400 x 320 mmPoutre Longueur totale: 1000 mm Longueur de serrage: 800 mmPosition articulation: 1/3 longueur de serrage (266 mm)Type d’articulation: Souple aux moments et forces transversales, rigide aux forces normalesMesure du moment de flexion Dynamomètre: 0 - 140 N Bras de levier: 100 mm Champ de mesure du moment 0 - 14 Nm Mesure de la force transversale Dynamomètre: -50...+50 N Suspente: 3 x 1 N Jeu de poids: 12 x 1 N 9x5NAppui: Palier libre avec roulements à billes Largeur: 25 mm 26
  27. 27. TP N°5DEFORMEE DES BARRES SOUMISES A LA FLEXION 27
  28. 28. IntroductionLe but de ce TP est d’étudier la déformation des poutres droites pour divers cas dechargements.L’appareil Déformation de poutres droites WP 950 autorise de nombreux essais relatifs à ladéformation d’une poutre en flexion.La déformation de la poutre est mesurée par des comparateurs à cadran.Les forces d’appui peuvent être déterminées à l’aide des dynamomètres intégrés aux appuis.Des poutres de différentes compositions sont prévues pour montrer l’influence du moduled’élasticité sur le fléchissement.Composition de l’appareilL’appareil se compose d’un cadre (1) en aluminium robuste, mais léger. Les différents appuis(2,3) sont fixés à la membrure inférieure à l’aide de leviers de blocage. Les comparateurs àcadran (4) sont fixés à la membrure supérieure.Les poids (5) sont placés sur la poutre (7) par l’intermédiaire de cavaliers mobiles (6). Lescavaliers peuvent être bloqués. Cavalier et suspente pèsent 2,5 N au total.La charge peut être réglée à l’aide de poids par pas de 2,5 N et 5 N.Les appuis articulés (2) sont équipés de dynamomètres (8). L’appui peut être réglé en hauteurpar une tige filetée (9). La vis (10) permet de bloquer l’appui. Ceci permet de compenser unedéformation de la poutre par son poids propre ou la déflexion de l’appui suite aufléchissement du dynamomètre. 28
  29. 29. Expérimentation Figure 1- Montage expérimental cas 1Réaliser le montage expérimental suivant l’illustration.Le matériel nécessaire est le suivant:- Poutre d’acier 6 x 20 x 1000 mm (7)- Cavalier pour poids (6)- Suspente pour poids (5)- 3 poids de 5N- Comparateur à cadran avec support (4, 12)- Colonne d’appui avec serrage (3)- Bloquer la colonne d’appui sur le cadre- Serrer la poutre dans la colonne d’appui- Placer le cavalier sur la poutre et le bloquer à la position voulue- Bloquer le comparateur à cadran avec le support sur le cadre de manière à ce que le palpeurrencontre le méplat du boulon du cavalier- Mettre le comparateur à cadran à zéro en l’absence de charge de la poutre. Pour ce faire,déplacer le support et tourner l’échelle pour le réglage fin.- Accrocher le poids de charge et lire et noter la déflexion sur le comparateur à cadran. Figure 2- Montage expérimental cas 2 29
  30. 30. Figure 3- Montage expérimental cas 3Les cas étudiésFlexion en porte à faux a.) Cas 1 : b.) Cas 2 : 30
  31. 31. Poutre sur deux appuis (cas 3)Question de préparationPour chaque cas de chargement déterminer les expressions littérales des déflexions(déformées) de la poutre. 31
  32. 32. TP N°6MESURES DES JAUGES DE DEFORMATIONS POUR DES CALCULS DE CONTRAINTES EN TORSION ET TRACTION 32
  33. 33. Calcul des contraintes : Traction et TorsionObjectifs :Les objectifs de ce TP sont les suivants :  Comprendre le fonctionnement de la technique des extensomètres à jauge  Etudier les contraintes mécaniques simples que constituent la traction et la torsion pour des poutres ayant différentes sections.Rappel des principes théoriquesLa technique des extensomètres à jauge permet de mesurer l’allongement à la surface dumatériau  Traction :La traction et la pression constituent les types de contraintes les plus simples. Un état detension mécanique homogène s’établit dans l’échantillon de traction. Les efforts superficiels,qui peuvent ici être mesurés avec des extensomètres, sont identiques aux efforts internes.L’effort de traction est calculé à partir de la force de traction (force normale) F et de lasurface de la section F  AD’après la loi de Hooke, la tension et l’allongement sont liés par le module d’élasticité E   E.Pour la détermination expérimentale de l’effort de traction, l’échantillon de traction est munià l’avant et à l’arrière de respectivement deux extensomètres, un extensomètre étant placédans le sens de la longueur et l’autre dans le sens de la largeur. Les extensomètres d’un côtéconstituent une branche du pont. 33
  34. 34. Compte tenu de la disposition sur les faces opposées, les efforts de torsion superposés n’ontaucune influence sur la mesure. Le signal de sortie UA du pont de mesure est référencé à latension d’alimentation UE. Avec la sensibilité (k =2.05) de l’extensomètre, l’allongement du pont intégral peut être calculé à l’aide de la formule suivante : 1 4 U    A 2(1  µ) k U EAvec µ étant l’indice de contraction transversale du matériau considéré.  Torsion :La mesure des moments de torsion constitue un autre domaine d’applications desextensomètres. Le moment de rotation dans l’arbre est calculé à partir de la contrainte decisaillement mesurée.Pour la détermination expérimentale de l’effort de torsion, la barre en torsion est munie dequatre extensomètres disposés suivant un angle de 45. Les extensomètres sont ainsi placésdans la direction des principales tensions normales, donc dans celle du plus fort allongement.Les extensomètres de même allongement sont disposés en diagonale dans le montage enpont. Ainsi, tous les changements de résistance s’additionnent et on obtient une sensibilitéélevée. L’allongement  peut être calculé à l’aide de la formule suivante 1 UA   k UELa relation suivante existe entre l’allongement et le glissement avec une contrainte decisaillement pure   2.D’après la loi de Hooke, la contrainte de cisaillement recherchée est obtenue avec le modulede glissement G    .G  2. .GLa relation suivante existe entre la contrainte de cisaillement  à la surface de la barre entorsion et le moment de torsion M t M t   .WPAvec WP étant le moment résistant polaire pour la section circulaire 34
  35. 35. d 3 . WP  16Le moment de torsion peut ainsi être calculé 2 U Mt  .G.WP . A k UECE QUI VOUS SERA DEMANDE :  L’équilibrage des extensomètres : Réglage de l’état initial pour chaque extensomètre.  Faire varier la charge (m) appliquée sur la structure et relever les différentes valeurs des paramètres pour chaque essai : traction et torsion. 1. Essai de traction :  Monter la barre en traction dans le cadre de la manière indiquée sur l’illustration. Utiliser pour ce faire la fixation avec l’œillet.  Raccorder l’appareil de mesure et le mettre en marche.  Ajuster le zéro de l’affichage avec le réglage d’offset.  Charger la barre avec le grand jeu de poids. Augmenter graduellement la charge et noter la valeur affichée.Les essais de traction se font avec des objets disponibles en quatre matériaux différents. Lasection de chaque barre est A : 10×2 mm²Les barres en traction sont munies à chaque extrémité de crochets :Les barres de traction sont équipées d’un pont d’extensomètres intégral. Le montage desextensomètres en pont intégral avec respectivement deux jauges pour l’élongation dans lalongueur et la largeur est montré sur l’illustration suivante : 35
  36. 36. Le tableau suivant présente les valeurs caractéristiques des matériaux Valeurs caractéristiques des matériaux Module d’élasticité E en Indice de contraction N/mm2 transversale μ Acier 210000 0.28 Acier CrNi 18.8 191000 0.305 Cuivre 123000 0.33 Laiton 88000 0.33 1.1.Reporter les valeurs mesurées par les extensomètres dans le tableau pour chaque matériau. 1.2.Tracer les courbes d’affichage (mV /V) pour chaque barre en fonction de la charge (Nm) dans le même graphe, et vérifier que la loi de Hooke est respecté. 1.3.Calculer l’allongement du pont (déformation)  pour chaque charge et pour chaque matériau. 1.4.Déterminer la contrainte mesurée σ en N/mm² à partir de la loi de Hooke pour chaque charge et pour chaque matériau. 1.5.Déterminer la contrainte théorique σ en N/mm2 pour chaque charge et pour chaque matériau en utilisant la relation suivante   F / S . 1.6.Calculer l’erreur pour chaque charge et pour chaque matériau. 36
  37. 37. Essai de traction, acier CrNi18.8 (standard)Charge en N 0 10 20 30 40 50Affichage en mV/VAllongement du pont ou la déformationContrainte mesuré σen N/mm2Contrainte théorique σen N/mm2Erreur (%)Essai de traction, cuivre (accessoire)Charge en N 0 10 20 30 40 50Affichage en mV/VAllongement du pont ou la déformationContrainte mesuré σen N/mm2Contrainte théoriqueσ en N/mm2Erreur (%)Essai de traction, laiton (accessoire)Charge en N 0 10 20 30 40 50Affichage en mV/VAllongement du pont ou la déformationContrainte mesuré σen N/mm2Contrainte théoriqueσ en N/mm2Erreur (%) 37
  38. 38. Essai de traction, aluminium (accessoire)Charge en N 0 10 20 30 40 50Affichage en mV/VAllongement du pont ou la déformationContrainte mesuré σen N/mm2 Contrainte théoriqueσ en N/mm2Erreur (%)2. Essai de torsion : Les essais de torsion se font avec barre ronde en acier (1) encastrée  Longueur L : 500mm  Diamètre D : 10mm  Moment résistant polaire Wp: 196.3 mm³  Module de glissement G : 80000N/mm² L’application d’extensomètres est logée dans un carter en plexiglas. L’extrémité libre de la barre en torsion présente un levier transversal (3) destiné à produire le moment de torsion. 38
  39. 39.  Monter la barre en torsion dans le cadre de la manière indiquée sur l’illustration. Placer l’extrémité à encastrer sur la tige supérieure de la fixation à deux tiges. Mettre l’extrémité libre de la barre en appui sur l’autre fixation. S’assurer que la barre est à l’horizontale.  Raccorder l’appareil de mesure et le mettre en marche.  Ajuster le zéro de l’affichage avec le réglage d’offset.  Accrocher le jeu de poids au bras de levier et produire un moment de torsion. Augmenter graduellement la charge de 5 N et noter la valeur affichée. 2.1.Reporter les valeurs mesurées par les extensomètres dans le tableau 2.2.Déterminer le moment de torsion théorique pour chaque charge. 2.3.Tracer la courbe d’affichage (mV /V) en fonction de la charge (Nm), et vérifier que la loi de Hooke est respecté 2.4.Calculer l’allongement (ou déformation)  pour chaque charge. 2.5.Calculer la contrainte de cisaillement τ (avec Le module de glissement G de 80000 N/mm²) 2.6.Déterminer le moment de torsion mesuré pour chaque charge. 2.7.Calculer l’erreurEssai de torsion bras de levier 100 mmCharge en N 0 5 10 15 20Moment de torsionthéorique en NmAffichage en mV/VAllongement du pont Contrainte de cisaillementmesuré τ 2en N/mmde torsionMomentmesuré en NmErreur (%) 39
  40. 40. TP N°7FLAMBEMENT DES POUTRES DROITES 40
  41. 41. FLAMBEMENT et CHARGE CRITIQUELe flambage ou flambement est un phénomène dinstabilité dun matériau, qui soumis à uneforce de compression, a tendance à fléchir et à se déformer dans une direction perpendiculaireà cette force.Le flambement se caractérise par une augmentation rapide du déplacement lorsque lon sapproche de la chargecritique du système parfait. Ce cas est très important en pratique car les poteaux, poutres et plaques présentent cetype de comportement post-critique.Le fléchissement de la barre se produit toujours suivant l’axe de sa section qui présente l’inertie la plus faible. Lesens à priori est indéterminé ; il dépend de plusieurs facteurs : défaut de rectitude de la barre, charge nonparfaitement centrée, défaut de l’homogénéité du matériau, anisotropie… Dans la suite, on supposera quemacroscopiquement le matériau est homogène et isotrope. I. RAPPELS THEORIQUESPour une poutre dinertie constante soumise à un effort normal de compression simple, lacharge critique à partir de laquelle il y a risque de rupture par flambage est calculée par laformule dEuler.L’expression de la charge critique est :avec est le module de Young, est l’inertie minimale et est appelée longueur libre deflambement. Elle dépend du mode de fixation de la barre en compression (barre bi-articulée,barre bi-encastrée, barre articulée-encastrée…).La contrainte d’Euler est donnée par :où est la section et correspond à l’élancement de la pièce avec appelérayon de giration.On s’aperçoit que plus l’élancement de la pièce est grand, plus le risque de flambementapparait pour une charge faible. En revanche, pour les pièces courtes, il faudra s’assurer quela contrainte reste inférieure à la valeur admissible en compression pour le matériau utilisé. 41
  42. 42. II. ETUDE DE LA LONGUEUR DE FLAMBEMENTLa démonstration suivante faite par l’enseignant va permettre de déterminer la valeur de enfonction du mode de fixation.Schéma de montage :1 : cadre WP121 ;2 : barres de flambement (E=210 GPa) ;3 : trame imprimée sur mesure de déplacement ;4 : logements inférieurs ;5 : logements supérieurs ;6 : support de chargement ;7 : poids de chargement de 5N et 1N (attention à ne pas dépasser les limites, cf figuresuivante).Mode opératoire fait par l’enseignant : 1) Procéder au chargement de la première barre. Ce chargement se fait pas à pas et finira par des poids de 1N. Avant de procéder au chargement, repérer la charge limite, cf figure précédente ; 2) Relever la charge pour laquelle la barre commence à flamber ; 3) Relever le schéma de la déformée de la barre et en déduire la longueur de flambement en fonction du mode de fixation considérée ; 4) Décharger la barre ; 5) Charger la barre suivante selon le même protocole et procéder aux mêmes mesures.Exploitation : 1) Faire un bilan des valeurs de la longueur de flambement (et donc de la charge critique d’Euler) en fonction du mode de fixation considérée. 42
  43. 43. III. MANIPULATION EXPERIMENTALELe but du TP est d’étudier le flambement de poutres droites. Il s’agit de 4 éprouvettes constituées du mêmematériau d’élancements différents : 400, 500, 600 et 800 mm.(Module d’Young de l’acier standard: 210000 MPa)Le temps nécessaire aux mesures sur 4 éprouvettes pour toutes les liaisons étant trop important (environ 4heures), nous étudierons donc le flambement uniquement sur 2 éprouvettes et avec 2 modes de fixation.On cherche à comparer les contraintes critiques d’Euler avec les mesures expérimentales. La manipulationconsiste à disposer dans l’appareil de flambement une éprouvette qui sera soumise à un effort croissant decompression jusqu’à sa charge critique. On mesure la flèche (déplacement) produite au centre de l’éprouvette àl’aide du comparateur.Schéma de montage : éprouvette traverse en acier supérieure réglage de la charge à appliquer bloc de fixation dynamomètre comparateur poids 2,5kg réglage du niveau (système chargé)Mode opératoire : niveau à bulle 1) Mesurer la barre et repérer son milieu ; 2) Régler la traverse supérieure à la hauteur de l’éprouvette sélectionnée grâce aux 2 broches situées de part et d’autre de la traverse ; 3) Mettre en place l’éprouvette à étudier dans le système et serrer la barre dans le système selon la liaison à étudier : Liaison encastrement : Serrer le bloc à rainure contre la barre ; 43
  44. 44. Liaison articulée : Desserrer le bloc à rainure, laissé du jeu ; Attention quelle que soit la liaison étudiée l’éprouvette doit être guidée dans les rainures des blocs de fixation. 4) Vérifier la présence du poids jaune (25 N) sur le câble se situant sur le côté droit de l’appareil ; 5) Mettre le système à niveau à l’aide de la manivelle se situant à la gauche de l’appareil et du niveau à bulle à son centre ; 6) Faire monter le dynamomètre à l’aide de la manivelle située au-dessus, jusquà ce que son crochet soit en contact avec la rainure de la poutre ; 7) Mettre en place le comparateur au centre de la barre étudiée et le mettre sur le 0 grâce au cadran de réglage ; 8) Appliquer la force désirée grâce à la manivelle située au-dessus du dynamomètre et appliquer une légère pression sur l’éprouvette pour que la barre fléchisse du bon côté ; Tout le long des manipulations il faut vérifier que le niveau de l’appareil soit toujours droit avant de prendre les mesures. Si une différence de niveau apparait, il suffit de la rectifier en actionnant la manivelle située à gauche du système. Le système étant assez rigide il est conseillé d’appuyer légèrement sur la barre après chaque chargement jusquà ce que la mesure du comparateur soit fixe et également sur celle concernant les charges appliquées par le dynamomètre. 9) Relever les informations concernant la flèche sur le comparateur en fonction de la force appliquée.Les résultats relevés sur le dynamomètre sont soumis à cette formule : [3 X Effort du dynamomètre] + [4 x 25]Exploitation : Newton Newton (poids jaune) 1) Relever les caractéristiques géométriques de chacune des éprouvettes. Remarque : longueur entre appuis. 2) Poutres encastrées aux deux extrémités : mesure de la charge critique : relever la charge critique de chacune des éprouvettes et en déduire leur contrainte critique de flambement. Remarque : prendre entre 4 et 8 mesures par éprouvette. 44
  45. 45. 3) Tracer la charge en fonction de la flèche et comparer les 2 longueurs sur un même graphique.4) Refaire la même analyse pour : poutres à une extrémité articulée et l’autre encastrée.5) Comparer les résultats en fonction du mode fixation pour une même longueur de barre. 45
  46. 46. TP N°8INFLUENCE DES CARACTERISTIQUES PHYSIQUE ET GEOMETRIQUE EN FLEXION 46
  47. 47. IntroductionLe but de ce TP est d’étudier l’influence des divers paramètres de la poutre et du chargementsur la déformation de la poutre.Pour cela, on sera amené à fixer tous les paramètres et à faire varier un seul dans chaque casafin de voir son effet.Dans ce TP on est capable d’étudier la flexion et la torsion ; cependant, vues les contraintes detemps (90 minutes pour chaque TP) on se limitera à l’étude de la flexion. Risques pour l’appareil et le fonctionnementPrière de n’utiliser que les corps de charge prévus.Des forces trop importantes peuvent conduire à la détérioration et à la destruction del’appareil.Description de l’appareilL’appareil est un appareil d’essai de flexion et de torsion. Lors des essais, on met en chargedifférentes éprouvettes et on mesure les déformations ainsi provoquées.L’appareil de table se compose d’un rail de base sur lequel se trouvent deux supportscoulissants pour la flexion et la torsion.Composition de l’appareil 47
  48. 48. 1 : rail de base 6 : élément de fixation et plaque de serrage2 : appui coulissant 7 : élément d’introduction de la force3 : élément de fixation des appuis 8 : comparateur à cadran4 : corps de charge 9 : barre d’essai5 : supports magnétiques pour le comparateur àcadranDétails concernant la flexionL’élément d’introduction de la force peut être serré solidement sur la barre d’essai utilisée. Dela sorte, un basculement et un glissement ne sont plus possibles.Poutres de flexion encastrées d’un côté (poutres autoportantes).La longueur de poutre L est exactement définie et l’élément d’introduction de la force neglisse pas non plus pour les flexions importantes.Notions et principes de la flexion 48
  49. 49. Une barre est sollicitée en flexion lorsque des forces individuelles et des charges répartiesagissent perpendiculairement à son axe longitudinal (axe de la barre) ou lorsque des paires deforces agissent sur elle dans un plan contenant l’axe longitudinal. Les éléments deconstruction en forme de barre droite sollicités en flexion sont appelés poutres ou profilés.Une surface de coupe imaginaire définie perpendiculairement à l’axe longitudinal est appeléesection transversale. Les dimensions de la section transversale sont petites par rapport à lalongueur de la poutre.Expérimentation- Régler les couteaux des blocs d’appui à 500mm. Les barres profilées sont découpées à la longueur de 510 mm.- Placer la barre avec le support à couteau. Pour la mise en place du support de mesure, il y a deux possibilités: avec la surface magnétique horizontale sur la face supérieure du rail de base ou bien avec la surface magnétique verticale à la face latérale avant ou arrière du rail de base.- Mettre à zéro le comparateur à cadran- Appliquer avec prudence le poids additionnel de 1 kg- Lire l’indication du comparateur à cadranQuestions de préparation-Déterminer l’expression littérale de la flèche dans chacun des cas de chargement suivants :-Pour le premier cas tracer la flèche maximale en fonction de la hauteur (0<h<50 mm) pourune poutre en acier de longueur 500 mm et ayant une base constante de 20 mm, sachant qu’onapplique à la poutre une masse de 1 kg. 49

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