1. 2
บัตรเนือหาที่ 1.1 เรื่อง สมบัติของเส้ นขนาน
้
บทนิยาม เส้ นตรงสองเส้ นทีอยู่บนระนาบเดียวกัน ขนานกัน ก็ต่อเมื่อ เส้ นตรงทั้งสองเส้ นนั้น
่
ไม่ ตัดกัน
1. 2. F
H
A B
E
G
C D
เราสามารถเขียนสั ญลักษณ์ แทนเส้ นขนานได้ ดังนี้
 
1. AB//CD อ่านว่า เส้ นตรง AB ขนานกับเส้ นตรง CD
 
2. EF// GH อ่านว่า เส้ นตรง EF ขนานกับเส้ นตรง GH
จากบทนิยามจะเห็นว่าอาจไม่ สะดวกในการพิจารณาว่า เส้ นตรงสองเส้ นขนานกันหรือไม่
เพราะจะต้ องต่ อเส้ นตรงออกไปยาวมาก กว่าจะพบว่ามันจะตัดกันหรือไม่ จึงใช้ สมบัติอน ๆ มาช่ วย
ื่
ในการตรวจสอบ เช่ น การหาระยะระหว่างส่ วนของเส้ นตรงสองเส้ น
 
A E G B ่
ให้ ABและ CD อยูบนระนาบเดียวกัน

สร้าง EF ตั้งฉากกับ CD
a b 
สร้าง GH ตั้งฉากกับ CD
C F H D ให้ EF ยาว a หน่วย
GH ยาว b หน่วย
 
เรียก a ว่า ระยะห่ างระหว่าง AB กับ CD ทีวดจากจุด F ไปยังจุด E
่ั
 
และ เรียก b ว่า ระยะห่ างระหว่าง AB กับ CD ทีวดจากจุด H ไปยังจุด G
่ั
 
ถ้ า AB//CD แล้ว a = b
นั่นคือ ถ้ าเส้ นตรงสองเส้ นขนานกัน แล้ วระยะห่ างระหว่ างเส้ นตรงคู่น้ ันจะเท่ ากันเสมอ
ในทางกลับกันถ้ าเส้ นตรงสองเส้ นมีระยะห่ างระหว่างเส้ นตรงเท่ ากันเสมอ แล้ วเส้ นตรงคู่น้ ัน
จะขนานกัน

2. 3
บัตรกิจกรรมที่ 1.1 เรื่องสมบัติของเส้ นขนาน
จุดประสงค์ : อธิบายเกียวกับเส้ นตรงสองเส้ นทีกาหนดให้ ขนานกันโดยการหาระยะห่ างระหว่าง
่ ่
เส้ นตรงสองเส้ นได้
ให้ นักเรียนพิจารณาว่าส่ วนของเส้ นตรงทั้งสองเส้ นในแต่ ละข้ อต่ อไปนีขนานกันหรือไม่
้
1. B 2.
D
I
J
K L
A
C
N
3. 4.
Q R
P
M
S T
O
ตอบ
……………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
สรุ ป เส้ นตรงสองเส้ นจะขนานกันต้ องพิสูจน์ อย่ างไร
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………

3. 4
เฉลยบัตรกิจกรรมที่ 1.1 เรื่องสมบัติเส้ นขนาน
จุดประสงค์ : อธิบายเกียวกับเส้ นตรงสองเส้ นทีกาหนดให้ ขนานกันโดยการหาระยะห่ างระหว่าง
่ ่
เส้ นตรงสองเส้ นได้
ให้ นักเรียนพิจารณาว่าส่ วนของเส้ นตรงทั้งสองเส้ นในแต่ ละข้ อต่ อไปนีขนานกันหรือไม่
้
เลื่ อนเส้ นตรง UV
1. B 2. เลื่ อนเส้ นตรง WX
D
G I
W
B J
H
U
V K L
A HG = 1.72 ซม. X A
UV = 1.72 ซม.
C WX = 2.01 ซม.
AB = 1.77 ซม.
N 4. เลื่ อนเส้ นตรง XY
3. เลื่ อนเส้ นตรง YZ I
Q Y J R
Y P
M H
S T
X K
Z HI = 1.69 ซม.
JK = 1.93 ซม.
O YZ = 1.72 ซม.
XY = 1.87 ซม.
ตอบ
ข้ อ 1. ขนานกัน เพราะระยะห่ างระหว่างเส้ นตรงสองเส้ นยาวเท่ ากัน
……………………………………………………………………………………………………
ข้ อ 2 - 4 ไม่ ข นานกัน เพราะระยะห่ างระหว่างเส้ นตรงสองเส้ นยาวไม่ เท่ ากัน
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
สรุ ป เส้ นตรงสองเส้ นจะขนานกันต้ องพิสูจน์ อย่ างไร
1. ถ้ าลากเส้ นตรงทั้งสองเส้ นไปเรื่อย ๆ แล้ วเส้ นตรงทั้งสองเส้ นจะต้องไม่ ตดกัน
ั
………………………………………………………………………………………………………
2. ถ้ าวัดระยะห่ างระหว่างเส้ นตรงทั้งสองเส้ นแล้ วต้องมีความยาวเท่ ากัน
………………………………………………………………………………………………………
โดยให้ ต้งฉากกับเส้ นตรงทั้งสอง
ั
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………

4. 5
บัตรเนือหาที่ 1.2
้
เรื่อง มุมภายในทีอยู่บนข้ างเดียวกันของเส้ นตัด
่
    
กาหนด AB และ CD ขนานกัน มี PQ ตัด AB และ CD ที่จุด E และ F ตามลาดับ
เรี ยก EF ว่าเป็ น เส้นตัด EF
P
C E D
a c
b d
A F B
Q
จากรู ปจะเกิดมุมภายในเส้ นตรงสองเส้ นทีอยู่บนระนาบเดียวกันอยู่ 4 มุม คือ a,b,c และd
่
1. เรียก a,b,c และd ว่ า มุมภายในของเส้ นตัด EF
2. เรียก a และ b ว่ า มุมภายในทีอยู่บนข้ างเดียวกันของเส้ นตัด EF
่
3. เรียก c และ d ว่ า มุมภายในทีอยู่บนข้ างเดียวกันของเส้ นตัด EF
่
หรือ 1. เรียก CEF,AFE,DEFและBFE ว่า มุมภายในของเส้ นตัด EF
2. เรียก CEF และ AFE ว่ า มุมภายในทีอยู่บนข้ างเดียวกันของเส้ นตัด EF
่
3. เรียก DEF และ BFE ว่ า มุมภายในทีอยู่บนข้ างเดียวกันของเส้ นตัด EF
่

5. 6
บัตรกิจกรรมที่ 1.2
เรื่อง มุมภายในข้ างเดียวกันของเส้ นตัด
ให้ นักเรียนบอกว่ ามุมใดบ้ างทีเ่ ป็ นมุมภายในทีอยู่บนข้ างเดียวกันของเส้ นตัด
่
1.
Q
A มุมภายในข้ างเดียวกัน ของเส้ นตัด คือ
B 1. ...............................
2. ...............................
C R D
2. มุมภายในข้ างเดียวกัน ของเส้ นตัด คือ
S
E 1. ...............................
F
2. ...............................
H
T
G
3. มุมภายในข้างเดียวกัน ของเส้ นตัด คือ
Y A
1. ...............................
2. ...............................
D
C
Z B
4. M O มุมภายในข้างเดียวกัน ของเส้ นตัด คือ
1. ...............................
B
2. ...............................
A
N
P

6. 7
เฉลยบัตรกิจกรรมที่ 1.2
เรื่อง มุมภายในข้ างเดียวกันของเส้ นตัด
ให้ นักเรียนบอกว่ ามุมใดบ้ างทีเ่ ป็ นมุมภายในทีอยู่บนข้ างเดียวกันของเส้ นตัด
่
1.
Q
A มุมภายในข้ างเดียวกัน ของเส้ นตัด คือ
 
B AQRกับ CRQ
1. ...............................
 
BQRกับ DRQ
2. ...............................
C R D
2. มุมภายในข้ างเดี วกัน ของเส้ นตัด คือ
ย
S 
E ESTกับ GTS
1. ...............................
 
F FSTกับ HTS
2. ...............................
H
T
G
3. มุมภายในข้างเดียวกัน ของเส้ นตัด คือ
A  
Y YCDกับ ADC
1. ...............................
 
ZCDกับ BDC
2. ...............................
D
C
Z B
4. M O มุมภายในข้างเดีย น ของเส้ นตัด คือ

วกั
MBAกับ OAB
1. ...............................
 
B NBAกับ PAB
2. ...............................
A
N
P

7. 8
บัตรเนือหาที่ 1.3
้
สมบัติของมุมภายในข้ างเดียวกันของเส้ นตัด
ทฤษฎีบท เมื่อเส้ นตรงสองเส้ นขนานกันและมีเส้ นตัด แล้ วขนาดของมุมภายใน
ทีอยู่บนข้ างเดียวกันของเส้ นตัดรวมกันเป็ น 180 องศา
่
ทฤษฎีบท ถ้ าเส้ นตรงเส้ นหนึ่งตัดเส้ นตรงคู่หนึ่ง ทาให้ ขนาดของมุมภายใน
ทีอยู่บนข้ างเดียวกันรวมกันได้ 180 องศา แล้ วเส้ นตรงคู่น้ ันจะขนานกัน
่
ตัวอย่างที่ 1 กาหนดให้ AB / /CD มี EF เป็ นเส้ นตัด จงหา
1. ขนาดของมุมภายในของเส้ นตัด
2. ผลรวมของมุมภายในทีอยู่บนข้ างเดียวกันของเส้ นตัด
่
A C
E
F
B D
1. มุมภายในทีอยู่บนข้ างเดียวกันของเส้ นตัด
่
1.1. AEF และ CEF ขนาดมุม 107.58 ,72.42
1.2. BEF และ DEF ขนาดมุม 72.42 ,107.58
2.ผลบวกของมุมภายในทีอยู่บนข้ างเดียวกันของเส้ นตัด
่
2.1) AEF  CEF  180.00
2.2) BEF  DEF  180.00

8. 9
บัตรกิจกรรมที่ 1.3
สมบัติของมุมภายในข้ างเดียวกันของเส้ นตัด
1. จงตรวจดูว่าส่ วนของเส้ นตรงแต่ ละคู่ต่อไปนีขนานกันหรือไม่ พร้ อมบอกเหตุผล
้
1.1 K
B ตอบ .......................................................
92 L
เพราะ ....................................................
..............................................................
M 88 ..............................................................
A ..............................................................
1.2 N
J K I ตอบ .......................................................
84 เพราะ ....................................................
..............................................................
95 ..............................................................
G L H ..............................................................
2. ให้ นักเรียนสร้ างรู ปโดยใช้ โปรแกรม GSP ตามเงื่อนไขต่ อไปนี้ แล้วตอบคาถาม
2.1 ลาก CD ผ่ านจุด L ทามุม 130 องศากับ KL ทางด้ าน KB
K
A 50 B
L
1. ขนาดของมุมภายในทีอยู่บนข้ างเดียวกันของเส้ นตัดรวมกันได้ กองศา
่ ี่
……………………………………………………………………………………………………..
2. วัดระยะห่ างระหว่าง AB กับ CD ได้ เท่ากันโดยตลอดหรือไม่
……………………………………………………………………………………………………..
3. นักเรียนคิดว่า AB กับ CD ขนานกันหรือไม่
……………………………………………………………………………………………………..

9. 10
บัตรเฉลยกิจกรรมที่ 1.3
สมบัติของมุมภายในข้ างเดียวกันของเส้ นตัด
3. จงตรวจดูว่าส่ วนของเส้ นตรงแต่ ละคู่ต่อไปนีขนานกันหรื อไม่ พร้ อมบอกเหตุผล
้
1.1 K
B ขนานกัน
ตอบ .......................................................
92 L
เพราะ ....................................................
..............................................................น
ตรวจสอบว่ ามุมภายในข้ างเดียวกั
ของเส้ นตัดรวมกันได้ 180 องศา
M 88 ..............................................................
92 + 88 = 180 องศา
A ..............................................................
1.2 N
J K I ไม่ ขนานกัน
ตอบ .......................................................
84 เพราะ ....................................................
..............................................................น
ตรวจสอบว่ ามุมภายในข้ างเดียวกั
95 ..............................................................องศา
ของเส้ นตัดรวมกันไม่ เท่ากับ 180
95 + 84 = 179 องศา
G L H ..............................................................
4. ให้ นักเรียนสร้ างรู ปโดยใช้ โปรแกรม GSP ตามเงื่อนไขต่ อไปนี้ แล้วตอบคาถาม
2.2 ลาก CD ผ่ านจุด L ทามุม 130 องศากับ KL ทางด้ าน KB
A F K B
50 
เลื่ อนเส้ นตรง EF
EF = 2.60 ซม.
13 0 D
C
E L
1. ขนาดของมุมภายในทีอยู่บนข้ างเดียวกันของเส้ นตัดรวมกันได้ กองศา
 
่  
ี่
BKL  50 ,DLK  130 ,BKL  DLK  180
……………………………………………………………………………………………………..
2. วัดระยะระหว่าง AB และ CD ได้ เท่ากันโดยตลอดหรือไม่
เท่ากันโดยตลอด
……………………………………………………………………………………………………..
3. นักเรียนคิดว่า AB และ CD ขนานกันหรือไม่
ขนานกันเพราะ มุมภายในข้ างเดียวกันของเส้ นตัดรวมกันได้ 180องศา
……………………………………………………………………………………………………..

10. 11
บัตรเนือหาที่ 1.4
้
การหาค่ ามุมภายในทีอยู่บนข้ างเดียวกันของเส้ นตัด
่
ตัวอย่าง 2 กาหนดให้ AB / /CD จงหาค่ า x ในแต่ ละข้ อต่ อไปนี้
1. 2.
A A F B
72
C
F
0
C X + 100 D
X 136
E B E
D
วิธีทา 1) เนื่องจาก AB / /CD มุมภายในข้ างเดียวกันของเส้ นตัดรวมกันได้ 180 องศา
จะได้ x  136  180
x  180  136
x  44
1) เนื่องจาก AB / /CD มุมภายในข้ างเดียวกันของเส้ นตัดรวมกันได้ 180 องศา
จะได้  x  10   72  180
x  82  180
x  180  82
x  98

11. 12
บัตรกิจกรรมที่ 1.4
การหาค่ ามุมภายในทีอยู่บนข้ างเดียวกันของเส้ นตัด
่
จุดประสงค์ : สามารถแก้ โจทย์ ปัญหาโดยใช้ ความรู้ เรื่องมุมภายในข้ างเดียวกันของเส้ นขนานได้
คาชี้แจง เขียนวงกลมล้ อมรอบตัวอักษรหน้ าคาตอบทีถูกต้ อง่
กาหนดให้ AB / /CD,EF เป็ นเส้ นตัด 5. ถ้ า CD / /EF,AB เป็ นเส้ นตัดแล้ว x เท่ากับ
ถ้ า DFE  50 ดังรู ป( ใช้ ตอบคาถาม ข้ อ 1 – 3) กีองศา
่ D F
A E B
b c
2x 4x
A C E B
a
50  ก. 120 ข. 80
C F D
ค. 60 ง. 30
1. a เท่ากับกีองศา่ 6. ถ้ า QR//ST และ PST  48 ,POQ  120
ก. 50 ข. 120 แล้ว RQO เท่ากับกีองศา
่
ค. 130 ง. 140 P
2. b เท่ากับกีองศา
่ S 48 T
ก. 50 ข. 120 O
120
ค. 130 ง. 140
3. c เท่ากับกีองศา
่ Q R
ก. 50 ข. 120 ก. 135 ข. 108
ค. 130 ง. 140 ค. 75 ง. 65
4. ถ้ า AB / /CD,ON เป็ นเส้ นตัดแล้ว 7. จากรู ป AB//CE แล้ว DCE เท่ากับกีองศา
่
x เท่ากับกีองศา ่ A
E
N
A B 60
2x
B 40
C D
C 72  D
O
ก. 100 ข. 80
ก. 108 ข. 72 ค. 60 ง. 30
ค. 68 ง. 54

12. 13
เฉลยบัตรกิจกรรมที่ 1.4
การหาค่ ามุมภายในทีอยู่บนข้ างเดียวกันของเส้ นตัด
่
1. ค
2. ก
3. ค
4. ง
5. ง
6. ข
7. ข