1. 2
บัตรเนือหาที่ 3.1
้
มุมภายนอกกับมุมภายใน
ให้นกเรี ยนพิจารณารู ปต่อไปนี้
ั G
C จTฉ D
ก ข
E คUง F
ช พ
H
จากรู ป กาหนด GH ตัด CD และ EF ที่จุด T และ U ตามลาดับ
เรี ยก จ,ฉ,ช และ พ ว่า มุมภายนอก
ก,ข,ค และ ง ว่า มุมภายใน
   
หรื อเรี ยก CTG,DTG,EUH และ FUH ว่า มุมภายนอก
   
CTU,DTU,EUT และ FUT ว่า มุมภายใน
จากรู ป กาหนด GH ตัด CD และ EF
G
C จT ฉ D
ก ข
E คU ง F
ช พ
H
 
เรี ยก ก และ ช หรื อ CTUและEUH
ว่ ามุมภายนอกและมุมภายในทีอยู่ตรงข้ ามบนข้ างเดียวกันของเส้ นตัด
่
ในทานองเดียวกัน
     
จะเรี ยก จ และ ค, ฉ และ ง,ข และ พ หรื อ CTGและ E U T, DTGและFU T, DTUและFU H
ว่ ามุมภายนอกและมุมภายในทีอยู่ตรงข้ ามบนข้ างเดียวกันของเส้ นตัด
่

2. 3
บัตรกิจกรรมที่ 3.1
มุมภายนอกกับมุมภายใน
ให้นกเรี ยนพิจารณาว่ามุมใดเป็ น
ั
่
1. มุมภายนอก 2. มุมภายในและ 3.มุมภายนอกกับมุมภายในที่อยูตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัด
1. G
ตอบ
A E B
1. …………………………………………
2. ……….………………………………….
3. …………………………………………..
D
F
C
H
A C
2. ตอบ
E X
1. ………………………………………….
2. ……….………………………………….
Y
3. …………………………………………..
B F
D
E D
ตอบ
3. A
F
1. ………………………………………….
G 2. ……….………………………………….
B 3. …………………………………………..
C
A
H
4. M E N ตอบ
1. ………………………………………….
2. ……….………………………………….
F
3. …………………………………………..
O P
B Q
S
5. B ตอบ
A G H 1. ………………………………………….
2. ……….………………………………….
R 3. …………………………………………..
T

3. 4
เฉลยบัตรกิจกรรมที่ 3.1
มุมภายนอกกับมุมภายใน
ให้นกเรี ยนพิจารณาว่ามุมใดเป็ น
ั
่
1.มุมภายนอก 2.มุมภายในและ 3. มุมภายนอกกับมุมภายในที่อยูตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัด
1. G ตอบ1. AEG,BEG,CFH,DFH .
A E B
2. AEF,BEF,CFE,DFE
3. AEGกับCFE , AEFกับCFH
BEGกับ DFE , BEFกับ DFH
D    
F
C ตอบ 1. AXE,BXE,CYF,DYF .
H    
A C 2. AXY,BXY,CYX,DYX
2. E    
X
3. AXEกับCYX , AXYกับCYF
   
Y BXEกับ DYX , BXYกับ DYF
   
B F ตอบ 1. DAE,DAF,CBG,CBH .
D    
E D 2. EAB,FAB,GBA,HBA
   
3. A
3. DAEกับ GBA , DAFกับ HBA
F    
G
FABกับCBH , EABกับ GBC
B
   
C ตอบ 1. MEA,NEA,OFB,PFB .
A    
H
4. M E N 2. MEF,NEF,OFE,PFE
   
3. MEAกับ OFE , NEAกับ PFE
   
MEFกับ OFB , NEFกับ PFB
F
O P    
B
Q
ตอบ 1. AGR,AGQ,SHB,THB .
S    
5. B 2. QGH,RGH,SHG,THG
   
G H
A 3. AGQกับSHG , AGRกับTHG
   
QGHกับSHB , RGHกับTHB
R
T

4. 5
บัตรเนื้อหาที่ 3.2
เส้นขนานและมุมภายนอกกับมุมภายใน
่
ทฤษฎีบท ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกัน และมีเส้นตัดแล้ว มุมภายนอกและมุมภายในที่อยูตรงข้าม
บนข้างเดียวกันของเส้นตัดจะมีขนาดเท่ากัน
ทฤษฎีบท ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง ทาให้มุมภายนอกและมุมภายในที่อยูตรงข้าม
่
บนข้างเดียวกันของเส้นตัดมีขนาดเท่ากันแล้ว เส้นตรงคู่น้ นขนานกัน
ั
กาหนดให้ AB / /CD มี EF ตัด AB และ CD ที่จุด X และ Y ตามลาดับ
       
จงแสดงว่า AXE  CYX,BXE  DYX,CYF  AXY,และDYF  BXY
E
A X B
C Y D
F
พิสูจน์ 1. AB / /CD (กาหนดให้)
 
BXY  CYX (ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัด
แล้วมุมแย้งมีขนาดเท่ากัน)
 
AXE  BXY (ถ้าเส้นตรงสองเส้นตัดกันแล้วมุมตรงข้ามมีขนาดเท่ากัน)
 
ดังนั้น AXE  CYX (สมบัติของการเท่ากัน)
่
ในทานองเดียวกัน เราสามารถพิสูจน์ได้วา
     
BXE  DYX,CYF  AXY,และDYF  BXY

5. 6
บัตรกิจกรรมที่ 3.2
เส้นขนานและมุมภายนอกกับมุมภายใน
1. กาหนดให้ PQ / /RS และมี AB เป็ นเส้นตัด จงหามุมทุกคู่ที่มีขนาดเท่ากัน พร้อมทั้งบอกเหตุผล
P
A R B ตอบ…………………………………………………
………………………………………………………
………………………………………………………
Q S ………………………………………………………

2. กาหนดให้ MN / /KL และมี PQ เป็ นเส้นตัด NST มีขนาดเท่ากับขนาดของมุมใดบ้าง
เพราะเหตุใด Q
S
ตอบ…………………………………………………
M N
………………………………………………………
………………………………………………………
K T L ………………………………………………………
P
  
3. กาหนดให้ CD / /EF ถ้า AXD  118 และ DYF  66 จงหาขนาดของ X YD
D
F ตอบ…………………………………………………
………………………………………………………
A
118
66
B ………………………………………………………
X Y
………………………………………………………
C
E

4. กาหนดให้ ABCD เป็ นรู ปสี่ เหลี่ยมด้านขนาน ถ้า EAD  133 จงหาขนาดของมุมภายใน
แต่ละมุมของ ABCD
D C
ตอบ…………………………………………………
………………………………………………………
………………………………………………………
133 ………………………………………………………
E A B

6. 7
เฉลยบัตรกิจกรรมที่ 3.2
เส้นขนานและมุมภายนอกกับมุมภายใน
1. กาหนดให้ PQ / /RS และมี AB เป็ นเส้นตัด จงหามุมทุกคู่ที่มีขนาดเท่ากัน พร้อมทั้งบอกเหตุผล
P R    
A B ตอบ APQ  PRS;QPR  SRB
่
เพราะ เป็ นมุมภายนอกและมุมภายในที่อยูตรงข้าม
บนข้างเดียวกันของเส้นตัด
Q S

2. กาหนดให้ MN / /KL และมี PQ เป็ นเส้นตัด NST มีขนาดเท่ากับขนาดของมุมใดบ้าง
เพราะเหตุใด Q  
ตอบ 1.NST  PTL (เป็ นมุมภายนอกและมุมภายใน
S
M N ่
ที่อยูตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัด)
 
2. NST  KTS (มุมแย้ง)
 
K T L 3. NST  QSM (มุมตรงข้าม)
P
  
3. กาหนดให้ CD / /EF ถ้า AXD  118 และ DYF  66 จงหาขนาดของ X YD
D  
F ตอบ 1. AXD  XYF (เป็ นมุมภายนอกและมุมภายใน
่
ที่อยูตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัด)
66   
A
118
B 2. XYF  DYF  XYD จะได้
X Y

C
E
XYF  118  66  52

4. กาหนดให้ ABCD เป็ นรู ปสี่ เหลี่ยมด้านขนาน ถ้า EAD  133 จงหาขนาดของมุมภายใน
แต่ละมุมของ ABCD
 
D C ตอบ BAD  47 , ABC  133
 
ADC  133 ,BCD  47
133
E A B

7. 8
บัตรเนือหาที่ 3.3
้
การหาค่ ามุมภายนอกกับมุมภายในของเส้ นขนาน
ตัวอย่างที่ 1 กาหนดให้ PQ / /RS และมี AB เป็ นเส้นตัด ดังรู ป จงหาค่า x
B
0
P (2x + 3) Q
R
65  S
A
วิธีทา เนื่องจาก PQ / /RS และมี AB เป็ นเส้นตัด
 
จะได้ BPQ  PRS (ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันมุมภายนอกและมุมภายใน
่
ที่อยูตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัดมีขนาดเท่ากัน)
 
ดังนั้น 2x + 3 = 65 (แทน BPQ ด้วย 2x + 3 และแทน PRS ด้วย 65)
2x = 65 – 3
62
x=
2
= 31
นั้นคือ x = 31
ตัวอย่างที่ 2 กาหนดให้ AB / /CD จงหาค่า n จากรู ป
วิธีทา จากรู ป AB / /CD
A  n  90  จะได้ n  90  2n  20
(มุมภายนอกและมุมภายในบนข้างเดียวกัน
B
ของเส้นตัดของเส้นขนาน)
C
 2n  20  n  2n  20  90
n  70
D
70
n
1
n  70

8. 9
บัตรกิจกรรมที่ 3.3
การหาค่ ามุมภายนอกกับมุมภายในของเส้ นขนาน
  
1. จากรู ป AB / /CG,CD / /EF,ABC  70 และBCD  25 จงหาขนาดของ G EF
B
A 70 D
ตอบ…………………………………………………
F
………………………………………………………
………………………………………………………
25
C G ………………………………………………………
E
 
2. กาหนด ABCD เป็ นรู ปสี่ เหลี่ยมด้านขนาน BCE  105 จงหาขนาดของ BAD
C
D E ตอบ…………………………………………………
105
………………………………………………………
………………………………………………………
A B ………………………………………………………
3. จากรู ป กาหนดให้ AB / /CD มี EF เป็ นเส้นตัดขวาง ตัด AB ที่ H ตัด CD ที่ G
   
OG แบ่งครึ่ งมุม EG D , OH แบ่งครึ่ งมุม FHB ถ้า FGD=140 จงหาขนาดของ G OH
F
140 ตอบ…………………………………………………
C D
G ………………………………………………………
O
………………………………………………………
A B
H ………………………………………………………
E
4. จากรู ป กาหนดให้ AB / / CD มี EF ลากตัด AB ที่จุด H ตัด CD ที่จุด G ลาก FR พบ CD
  
ที่จุด R Fถ้า FRG  45 และ AHF  1050 จงหาขนาดของ G FR
D
45
R
ตอบ…………………………………………………
C G
………………………………………………………
B
………………………………………………………
105
H
………………………………………………………
A
E

9. 10
เฉลยบัตรกิจกรรมที่ 3.3
การหาค่ ามุมภายนอกกับมุมภายในของเส้ นขนาน
  
1. จากรู ป AB / /CG,CD / /EF,ABC  70 และBCD  25 จงหาขนาดของ G EF
B  
A 70 D ตอบ 1. ABC  ECB ( มุมแย้ง)
F   
2. ECB  ECB  BCD  70  25  45
 
25 3. GEF  ECD  45
C G
E
 
2. กาหนด ABCD เป็ นรู ปสี่ เหลี่ยมด้านขนาน BCE  105 จงหาขนาดของ BAD
 
D C ตอบ 1. ADC  BCE (มุมภายนอกกับมุมภายในที่
E
105 ่
อยูตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัด)
 
2. ADC  BAD  180 ( มุมภายในข้าง
A B
เดียวกันของเส้นตัด)

3. BAD  180  105  75
3. จากรู ป กาหนดให้ AB / /CD มี EF เป็ นเส้นตัดขวาง ตัด AB ที่ H ตัด CD ที่ G
   
OG แบ่งครึ่ งมุม EG D , OH แบ่งครึ่ งมุม FHB ถ้า FGD=140 จงหาขนาดของ G OH
F 
ตอบ 1. DGH  180  140
140 
C D
G 2. แบ่งครึ่ ง EGD  20
O   
3. DGF  BHG  140 แบ่งครึ่ ง FHB  70
A B 
H 4. GOH  70  20  90
E
4. จากรู ป กาหนดให้ AB / / CD มี EF ลากตัด AB ที่จุด H ตัด CD ที่จุด G ลาก FR พบ CD
  
ที่จุด R ถ้า FRG  45 และ AHF  1050 จงหาขนาดของ G FR
F
D  
45
R ตอบ 1. AHF  CGF  105

C G
2. FGR  180 105  75
B

3. GFR  180  (75  45 )  60
105
H
A
E