Chapter01

1 Introduction to the theory of computation ,[object Object]

那為什麼要學習計算理論的課程呢？ ,[object Object]

理論觀念可應用在很多地方。

這些理論的主題是有趣、令人興奮的。

本章的主要主題 ,[object Object]

A formal language is an abstraction of the general characteristics of programming languages.

之後再討論 mechanical computation 的概念，也就是 algorithm 的觀念，以及哪些問題適合用 algorithm 來解、哪些不能。

outline 1.1 Mathematical preliminaries and notation sets ,[object Object],1.2 Three basic concepts ,[object Object],1.3 Some applications ,[object Object]

1.1 Mathematical Preliminaries and Notation ,[object Object],[object Object]

S = { i : i > 0, i 是偶數 } ,[object Object],S 1  S 2 = { x: x  S 1 or x  S 2 } S 1  S 2 = { x: x  S 1 and x  S 2 } S 1 - S 2 = { x: x  S 1 and x  S 2 }

關於集合 (set) ,[object Object]

Universal set U : 代表所有可能的元素。 ,[object Object],S   = S -  = S , S   = 

關於集合 (set) ,[object Object],[object Object],若 S 1 的元素也都是 S 的元素，則 S 1 為 S 的 subset 。 S 1  S ,[object Object],[object Object],S 1  S 2 = 

集合 S 的元素個數記成 | S | 。

部份集合 powerset ，所有子集合所形成的集合稱為部份集合。令 2 S 為 S 的 powerset ，其元素個數為 2 |S| 。

2 S = {  , { a } , { b } , { c } , { a,b } , { b, c } , { c, a } , { a, b, c } } .

關於集合 (set) ,[object Object],S = S 1  S 2 = {( x, y ) : x  S 1 and y  S 2 } S 1  S 2  …  S n = {( x 1 , x 2 , …, x n ) : x i  S i } ,[object Object],S 1  S 2 = {(2,2), (2, 3), (2, 5), (2, 6), (4, 2), (4, 3), (4, 5), (4, 6)}

關於 functions and relations ,[object Object],f : S 1 ->S 2 ,[object Object]

如果 S 1 就是 f 的 domain ，則 f 稱為 total function 、否則稱為 partial function 。

關於 functions and relations ,[object Object]

若 |f(n)| ≥ c |g(n)| , 「 f has order at least g 」 , f(n) = Ω (g(n))

若存在 c 1 與 c 2 兩個常數， c 1 |g(n)| ≤ |f(n)| ≤ c 2 |g(n)| , 「 f and g have the same order of magnitude 」 , f(n) = Θ (g(n))

關於 functions and relations ,[object Object],f(n) = 2n 2 + 3n g(n) = n 3 h(n) = 10 n 2 + 100 則 f(n) = O(g(n)) g(n) = Ω(h(n)) f(n) = Θ(h(n))

關於 functions and relations ,[object Object],{ ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) , … } ，其中 x i 是 domain 的元素、 y i 是 range 的元素。 ,[object Object]

若有某個 x i 出現兩次以上的話，就不是 function ，只能稱它為 relation 。所以 relation 比函式一般化。

一個 equivalence relation 必須滿足下列三個條件： the reflexivity rule( 反身性 ), x ≡ x for all x, the symmetry rule( 對稱性 ), if x ≡ y then y ≡ x 與 the transitivity rule( 遞移性 ), if x ≡ y and y ≡ z , then x ≡ z .

Example 1.4 除以 3 的餘數是否相同的關係，是不是 equivalence relation 呢？

關於 Graphs and Trees ,[object Object]

e i = ( v j , v k ) 是從 v j 連到 v k 的邊、有方向的邊； e i 是 v j 的 outgoing edge ，是 v k 的 incoming edge 。

邊都有方向的圖形、稱為有向圖 directed graph , digraph 。圖形的點或邊都可以有名稱。

關於 Graphs and Trees ,[object Object],[object Object]

path : 沒有重複邊的 walk, simple path : 沒有重複點的 path

length , cycle , simple cycle , loop ,[object Object]

There is exactly one path from the root to every other vertex.

root 沒有 incoming edge 、其他點都有一條 incoming edge ；

parent , child , leaves , level : root 到該點的 edge 數 , height 。

ordered trees ，同一個 level 的 node 都有順序。

degree : in-degree 與 out-degree

關於 proof techniques ,[object Object]

最常用、最重要的兩個證明： proof by induction 歸納法、 proof by contradiction 矛盾證法、反證法。

歸納法證明通常是證明 P 1 , P 2 , … 每個 statement 都是正確的，包括幾個部份 ,[object Object]

Inductive assumption : 假設 P 1 , P 2 , …, P n 是正確的， for some n ≥ k 。

Inductive step ：證明 P 1 , P 2 , …, P n -> P n+1 , for any n ≥ k

關於 proof techniques ,[object Object],Proof: 令 l ( n ) 代表高度為 n 的 binary tree 最多的 leaf 數。因此等於要證明 l ( n )  2 n . Basis: l ( 0 ) = 1 ≤ 2 0 ，故成立。 Inductive assumption: l ( i ) ≤ 2 i , for i = 0, 1, …, n Inductive step: 高度為 n+1 的 binary tree 之 leaf 數最多就是 l ( n ) 的兩倍，因此 l ( n+1 ) = 2 l ( n ) ≤ 2×2 n = 2 n+1 。由數學歸納法得證。

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