เอกสารประกอบการเรียนการสอน

เอกสารประกอบการเรียนการสอน เรื่องความสัมพันธ์และฟังก์ชัน วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ค 31102 อ.รัชาภรณ์ เขียวมณี
-1-
ใบความรู้ที่ 1
คู่ลาดับ (Ordered Pair)
คือสัญลักษณ์ที่แสดงการจับคู่กันระหว่างสิ่งสองสิ่ง เช่น จานวนสินค้ากับราคา ชื่อคนกับส่วนสูง เป็นต้น
เราสามารถเขียนคู่ลาดับในรูป (a,b) โดยที่เรียก a ว่าสมาชิกตัวหน้า และเรียก b ว่า สมาชิกตัวหลังของคู่ลาดับ สิ่งที่
สาคัญในการเป็นคู่ลาดับคือ ต้องเป็นคู่ และมีลาดับ นั่นคือ คู่ลาดับ (a,b) กับ (b,a) ไม่ใช่คู่ลาดับเดียวกัน เช่น
(2,7)  (7,2) เพราะ 2  7 ดังนั้น (a,b) = (c,d) ก็ต่อเมื่อ a = c และ b = d

ตัวอย่างที่ 1 จากตารางจงเขียนเซตของคู่ลาดับแสดงความสัมพันธ์ระหว่างชื่อคนกับน้าหนักตัว
ชื่อคน กนกพร ณัฐกร นิกข์
น้าหนักตัว (ก.ก.) 45 80 35

จากตารางเขียนเป็นเซตของคู่ลาดับได้ดังนี้ (กนกพร ,45) , (ณัฐกร,80) , (นิกข์,35)

กิจกรรมที่ 1
1. จากตารางข้างล่างจงเขียนเซตของคู่ลาดับแสดงความเกี่ยวข้องระหว่างน้าหนัก กับราคา
น้าหนักส้ม (ก.ก.) 1 2 3 4 5 6
ราคา (บาท) 15 30 45 60 75 90

…………………………………………………………………………………………………………..

2. ให้นักเรียนออกแบบความสัมพันธ์ระหว่างของสองสิ่ง และ เขียนเซตของคู่ลาดับด้วย

…………………………………………………………………………………………………………..
3. จากกราฟจงหาคู่อันดับ (x,y) ของจุด M , N , O และ P
y
O P

M

N
0 x

-2-
4. จากแผนภาพจงหาคู่ลาดับ (x,y)
x y x y
0 a ก -7
1 b ข -6
3 c ค -5
4 ง -7

………………………………………… ………………………………………….
………………………………………… ………………………………………….

5. จงหาคู่ลาดับ (x,y) ที่สอดคล้องกับสมการ x - y = 4 เมื่อ x และ y เป็นจานวนเต็มบวกตั้งแต่ 1 – 10
…………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………..

ตัวอย่างที่ 2 กาหนดให้ (x,y) = (5, -1) จงหาค่า x และ y
วิธีทา เนื่องจาก (x,y) = (5, -1) ดังนั้นจึงได้ x = 5 และ y = -1

ตัวอย่างที่ 3 กาหนดให้ (2x,10) = (8, y-2) จงหาค่า x และ y
วิธีทา เนื่องจาก (2x,10) = (8, y-2)
ดังนั้นจึงได้ 2x = 8 และ y-2 = 10
x=4 y = 12

ให้นักเรียนหาค่า X และ Y จากโจทย์ต่อไปนี้
1. (x,y) = (8, 14)
x = …………….. , y = …………………
2. (x,9) = (12, y)
x = …………….. , y = …………………

-3-
3. (4x,9) = (12, 3y)
x = …………….. , y = …………………

4. (x+4 ,y-2) = (0, 1)
x = …………….. , y = …………………

5. (2x+y,3) = (11, y)
x = …………….. , y = …………………

6. (x,x+y) = (2, 9)
x = …………….. , y = …………………

7. (x+4,y+3) = (2x, 4y)
x = …………….. , y = …………………

8. (3x-y,7) = (4, y-1)
x = …………….. , y = …………………

9. (2x+y,5) = (4, y+1)
x = …………….. , y = …………………

10. (x+y,7) = (3, x-y)
x = …………….. , y = …………………

-4-
ผลคูณคาร์ทีเชียน (Cartesian Product)
นิยาม ผลคูณคาร์ทีเชียนของเซต A และ B คือเซตของคู่ลาดับ (a,b) ทั้งหมดโดยที่ a  A และ b  B
เขียนสัญลักษณ์แทนผลคูณคาร์ทีเชียนของเซต A และ B ด้วย AB
ตัวอย่าง กาหนดให้ A = a , b , c และ B = 1 , 2 จะหาเซต AB ได้ดังนี้

1 1 1
a b c
2 2 2

ดังนั้น AB = ( a , 1 ) , ( a , 2 ) , ( b , 1 ) , ( b , 2 ) , ( c , 1 ) , ( c , 2 )
และจากตัวอย่าง B  A จะสามารถทาได้ดังนี้

a a
1 b 2 b
c c
ดังนั้น B  A = ……………………………………………………………………………………………………….
และจากตัวอย่างเดียวกันจงเขียนภาพและหาเซต A  A

ดังนั้น A  A = ……………………………………………………………………………………………………

-5-
และจากตัวอย่างเดียวกันจงเขียนภาพและหาเซต B  B

ดังนั้น B  B = ……………………………………………………………………………………………………

จากตัวอย่างข้างต้นทั้งหมดให้นักเรียนสังเกตดูว่าจานวนสมาชิกของเซตต่าง ๆ มีจานวนสมาชิกเท่าใด
โดยที่ กาหนดให้ n (A) แทนจานวนสมาชิกของ A
ดังนั้น n (A  B) = ……………………………………………………………
n (B  A) = ……………………………………………………………
n (A  A) = ……………………………………………………………
n (B  B) = ……………………………………………………………
ดังนั้นสรุปได้ว่าจานวนสมาชิกของผลคูณคาร์ทีเชียน มีความสัมพันธ์อย่างไรกับจานวนสมาชิกของ
เซตที่นามากระทากัน
……………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………..

-6-
1. กาหนดให้ A = 1 , 2 , 5 และ B = 0 , 2 , 3 จงหา
1.1 A  B = …………………………………….…………………………………………………………
1.2 B  A = ……………………………………….………………………………………………………
1.3 A  A = ………………………………………..………………………………………………………
1.4 B  B = …………………………………………..…………………………………………………….

2. . กาหนดให้ A = 0 , 1 B = 2 , 4 , 6 และ C = 1, 2 , 3 , 4 จงหา
2.1 A  (B C) = ………………………………………………….…………………………………….
2.2 (A B )  (A C ) = …………………………………..……………………………………………..
2.3 A  (B C) = ………………………………………….…………………………………………….
2.4 (A B )  (A C ) = …………………………………….…………………………………………..
2.5 n (A  B) = …………………………………………….………………………………………….
2.6 n (B  A) = …………………………………………….………………………………………….
2.7 n (A  A) = …………………………………………….………………………………………….
2.8 n (B  B) = ……………………………………………..………………………………………….
2.9 n (A  C) = …………………………………………….………………………………………….
2.10 n (C  B) = ……………………………………………….……………………………………….

-7-

ความสัมพันธ์ (Relation)

นิยาม r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ r เป็นสับเซตของ A  B
กล่าวคือ คู่ลาดับในเซตของความสัมพันธ์จะเกี่ยวข้องกันภายใต้กฎเกณฑ์อย่างใดอย่างหนึ่งที่
กาหนดให้แต่ละคู่นั้น ๆ จะต้องเป็นสับเซตของ A  B
เช่น กาหนดให้ A = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 และ B = 2 , 4 , 6 , 8 , 10

r 1 เป็นความสัมพันธ์ครึ่งหนึ่งจาก A ไป B ดังนั้น

แบบที่ 1 เขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิก คือ r 1 = (1,2) , (2,4) , (3,6) , (4, 8) , (5,10)
แบบที่ 2 เขียนเซตแบบบอกเงื่อนไข คือ r 1 = (x,y)  A  B / x =

r 2 เป็นความสัมพันธ์เท่ากับจาก A ไป B ดังนั้น

แบบที่ 1 เขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิก คือ r 2 = (2,2) , (4,4)
แบบที่ 2 เขียนเซตแบบบอกเงื่อนไข คือ r 2 = (x,y)  A  B / x = y

r 3 เป็นความสัมพันธ์มากกว่าจาก A ไป B ดังนั้น

แบบที่ 1 เขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิก คือ r 3 = (3,2) , (4,2) , (5,2) , (5,4)
แบบที่ 2 เขียนเซตแบบบอกเงื่อนไข คือ r 3 = (x,y)  A  B / x  y

นิยาม r  A  A เรียก r ว่าเป็นความสัมพันธ์ใน A
ความสัมพันธ์ใน A หมายถึงเซตของความสัมพันธ์นั้น ๆ ต้องเป็นสับเซตของ A  A เช่น
กาหนดให้ A = 0 , 1 , 2 และ r เป็นความสัมพันธ์เท่ากับในเซต A ดังนั้น
r = (0,0) , (1,1) , (2,2)
r = (x,y)  A  A / x = y

-8-
1. กาหนดให้ A = 0, 1 , 2 และ B = 1 , 2 , 3 , 4 จงหาความสัมพันธ์ต่อไปนี้ในรูปเซตแบบแจกแจงสมาชิก
และแบบกาหนดเงื่อนไข
1.1 r 1 เป็นความสัมพันธ์ครึ่งหนึ่งจาก A ไป B
……………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………….
1.2 r 2 เป็นความสัมพันธ์น้อยกว่าจาก A ไป B
……………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………….
1.3 r 3 เป็นความสัมพันธ์ไม่เท่ากับจาก A ไป B
……………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………….
2. กาหนดให้ A = 0, 1 , 2 และ B = -1 , 0 , 1 จงหาความสัมพันธ์ต่อไปนี้ในรูปเซตแบบแจกแจงสมาชิก
2.1 (x,y)  A  B / y  x
……………………………………………………………………………………………………………….
2.2 (x,y)  A  B / y = x - 1
……………………………………………………………………………………………………………….
2.3 (x,y)  B  A / y = x + 1
……………………………………………………………………………………………………………….
2.4 (x,y)  B  A / y = x
……………………………………………………………………………………………………………….
2.5 (x,y)  A  A / y  x
……………………………………………………………………………………………………………….
2.6 (x,y)  B  B / y = x2
……………………………………………………………………………………………………………….
3. กาหนดให้ A = 1 , 2 , 3 , 4 และ r = (1,2) , (2,3) , (3,4) แล้ว r เป็นความสัมพันธ์ใน A หรือไม่ เพราะเหตุใด
……………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………….

-9-
ให้นักเรียนศึกษาตัวอย่างแล้วเติมคาตอบลงในช่องว่างให้สมบูรณ์ด้วยค่ะ

เซตของความสัมพันธ์ โดเมนของความสัมพันธ์ เรนจ์ของความสัมพันธ์
1. (1,0) , (2,0) , (3,0) , (3,2) 1,2,3 0,2
2. (1,2) , (2,4) , (3,3) , (4,5)
3. (-1,0) , (0,0) , (1,1) , (2,4)
4. (0,0) , (1,1) , (2,2) , (3,3)
5. (a,0) , (b,1) , (c,0) , (d,2)
6. (1,a) , (2,b) , (3,a) , (4,c)
7. (x,y)  A  A / y = 2x 0,1 0,2
เมื่อ A = 0, 1, 2 , 3
8. (x,y)  A  A / y = x2
เมื่อ A = 0, 1, 2 , 3
9. (x,y)  A  A / y =  x 
เมื่อ A = 0, 1, 2 , 3

จากตัวอย่างสรุปได้ว่า
โดเมนของความสัมพันธ์ คือ ……………………………………………………………………………….
ซึ่งเราจะใช้สัญลักษณ์ Dr แทน โดเมนของความสัมพันธ์ r
เรนจ์ของความสัมพันธ์ คือ ……………………………………………………………………………….
ซึ่งเราจะใช้สัญลักษณ์ Rr แทน เรนจ์ของความสัมพันธ์ r

จากเอกสารข้างต้นนี้นักเรียนมีวิธีการหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์เมื่อกาหนด
เซตของความสัมพันธ์มาให้แบบกาหนดเงื่อนไขได้อย่างไร
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….

-10-
จงหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ต่อไปนี้
1. r1 = (0,0) , (0,1) , (1,1) , (1,2) , (2,1) , (2,3)
Dr = ……………………………………………………….

Rr = ……………………………………………………….
2. r2= (a,0) , (b,1) , (a,1) , (b,2) , (c,1) , (d,3)
Dr = ……………………………………………………….

Rr = ……………………………………………………….
3. r3 = (ก,0) , (ข,-1)
Dr = ……………………………………………………….

Rr = ……………………………………………………….
4. r4 = (x,y)  A  A / y = 5 – x เมื่อ A = 0, 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6
Dr = ……………………………………………………….

Rr = ……………………………………………………….
5. r5 = (x,y)  A  A / y =  x  เมื่อ A = -2, -1 , 0 , 1 , 2
Dr = ……………………………………………………….

Rr = ……………………………………………………….
6. r6 = (x,y)  A  B / y = 2x-1 เมื่อ A = 0 , 1 , 2 , 3 และ B = -1 , 0 , 1 , 2 , 3
Dr = ……………………………………………………….

Rr = ……………………………………………………….
7. r7 = (x,y)  B  A / y = x + 2 เมื่อ A = 1 , 2 , 3 และ B = -1 , 0 , 1
Dr = ……………………………………………………….

Rr = ……………………………………………………….


-11-

ให้นักเรียนศึกษาตัวอย่างแล้วเติมคาตอบลงในช่องว่างให้สมบูรณ์ด้วยค่ะ

เซตของความสัมพันธ์ อินเวอร์สของความสัมพันธ์
1. (1,0) , (2,0) , (3,0) , (3,2) (0,1) , (0,2) , (0,3) , (2,3)
2. (1,2) , (2,4) , (3,3) , (4,5)
3. (-1,0) , (0,0) , (1,1) , (2,4)
4. (0,0) , (1,1) , (2,2) , (3,3)
5. (a,0) , (b,1) , (c,0) , (d,2)
6. (1,a) , (2,b) , (3,a) , (4,c)
8. (x,y)  A  A / y = 2x
เมื่อ A = 0, 1, 2 , 3
8. (x,y)  A  A / y = x2
เมื่อ A = 0, 1, 2 , 3
9. (x,y)  A  A / y =  x 
เมื่อ A = 0, 1, 2 , 3

อินเวอร์สของความสัมพันธ์คือ …………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………..
-1
เราใช้สัญลักษณ์ r แทนอินเวอร์สของความสัมพันธ์ r
-1
และ Dr แทนโดเมนของอินเวอร์สของความสัมพันธ์ r

Rr-1 แทนเรนจ์ของอินเวอร์สของความสัมพันธ์ r
ให้นักเรียนบอกวิธีการหาโดเมนของอินเวอร์สของความสัมพันธ์ r และเรนจ์ของอินเวอร์สของ
ความสัมพันธ์ r
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………

-12-
จงหาอินเวอร์สของความสัมพันธ์ r พร้อมหาโดเมนและเรนจ์ของอินเวอร์สของความสัมพันธ์ r
1. r = (1,7) , (3,1) , (5,0) , (7,2) , (9,1) , (0,3)
Dr-1 = ……………………………………………………….

Rr-1 = ……………………………………………………….
2. r = (a,ก) , (b,ข) , (a,ค) , (b,ง) , (c,จ) , (d,ฉ)
Dr-1 = ……………………………………………………….

Rr-1 = ……………………………………………………….
3. r = (x,y)  I  I / -2  x  3 และ y = -1 เมื่อ I แทนจานวนเต็ม
Dr-1 = ……………………………………………………….

Rr-1 = ……………………………………………………….
4. r = (x,y)  A  I / y = x-1 เมื่อ I แทนจานวนเต็ม และ A = -2 , -1 , 0 , 1 , 2
Dr-1 = ……………………………………………………….

Rr-1 = ……………………………………………………….
5. r = (x,y)  A  I / y = x2+1 เมื่อ I แทนจานวนเต็ม และ A = -2 , -1 , 0 , 1 , 2
Dr-1 = ……………………………………………………….

Rr-1 = ……………………………………………………….

การหาอินเวอร์สของความสัมพันธ์ในกรณีที่เงื่อนไขเป็นเซตอนันต์

นิยาม อินเวอร์สของความสัมพันธ์ r คือ เซตของคู่ลาดับ (y,x) โดยที่คู่ลาดับ (x,y) อยู่ในเซตของ
ความสัมพันธ์ r

-13-

-1
ตัวอย่าง กาหนดให้ r = (x,y) / y = x + 1 จงหา r
-1
แบบที่ 1 r = (y,x) / y = x + 1
วิธีการของแบบที่ 1 …………………………………………………………………………….……….
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
-1
แบบที่ 2 r = (x,y) / y = x - 1
วิธีการของแบบที่ 1 …………………………………………………………………………….……….
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
จงหาอินเวอร์สของความสัมพันธ์ต่อไปนี้ (ทั้ง 2 วิธี )
1. r = (x,y) / y = 2x + 1
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
2. r = (x,y) / y = x 2
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
3. r = (x,y) / xy = 3
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
4. r = (x,y) / x + y  1
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
5. r = (x,y) / y =  x  + 1
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………

-14-
ทบทวนเรื่องกราฟ

…………………………………. ……………………………………….

……………………….

………………………………… ……………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………

-1
ให้นักเรียนเขียนกราฟของความสัมพันธ์ r และ r จากความสัมพันธ์ต่อไปนี้ โดยให้นักเรียนใช้สีของ
-1
กราฟที่แตกต่างกันระหว่าง r และ r พร้อมทั้งเขียนกาหนดสีด้วย
1. r 1 = (0,0) , (0,1) , (1,1) , (1,2) , (2,1) , (2,3)

-15-
2. r2 = (-1,-2) , (0,0) , (1,2) , (1,3)

3. r 3 = (x,y)  R  R / y = x

4. r 4 = (x,y)  A  A / y =  x  เมื่อ A = -4 , -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4

-16-
5. r 5 = (x,y)  A  A / y = x 2 เมื่อ A = -4 , -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4

6. r 6 = (x,y)  I  I / y = 5

7. r 7 = (x,y)  I  I / x = 3

-17-
ข้อ 8 – 10 ให้เขียนเส้นตรง y = x ลงในแต่ละกราฟด้วย
8. r 8 = (x,y)  R  R / y = 3x +1

9. r 9 = (x,y)  R  R / y = x2 +2x + 3

10. r 10 = (x,y)  R  R / y = (1-x)2

-18-
การหาโดเมนและเรจน์ของความสัมพันธ์ เมื่อกาหนดเงื่อนไขของผลคูณคาร์ทีเชียนเป็นเซตอนันต์
ตัวอย่างที่ 1 กาหนด r = (x,y)  N  N / y - x = 1
Dr =N Rr = y/ y  N และ x  2
บันทึก…………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………..
ตัวอย่างที่ 2 กาหนด r = (x,y)  R  R / y =
……………………………………………………………….. 2x + 1
………………………………………………………………..
D r = x / x  1 หรือ R - 1 หรือ (-,1)  (1 , )
Rr = y / y 2 หรือ R - 2 หรือ (-,2)  (2 , )
บันทึก…………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………..
ตัวอย่างที่ 3 กาหนด r = (x,y)  R  R / y =
………………………………………………………………..2x + 1
………………………………………………………………..
D r = x / x  - 1 หรือ  -1 ,  )
Rr = y / y  0 หรือ  0 ,  )
บันทึก…………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………..
………………………………………………………………..

-19-
ให้นักเรียนหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ r ที่กาหนดให้ดังต่อไปนี้
1. r = (x,y)  N  N / x + y = 10

2. r = (x,y)  I  N / x = 2y - 1

3. r = (x,y)  N  N / y = x

4. r = (x,y)  I  I / y = x2

5. r = (x,y)  N  N / x =  y 

6. . r = (x,y)  R  R / y = 4x – 1

-20-

แบบทดสอบย่อยที่ 2

เต็ม …… คะแนน ได้………..คะแนน ลงชื่อ……………………………….ผู้ตรวจ…./…../....


ฟังก์ชัน

ความหมายของฟังก์ชัน
ให้นักเรียนศึกษาตัวอย่างจากความสัมพันธ์ต่อไปนี้ เพื่อพิจารณาว่าความสัมพันธ์ ที่กาหนดให้เป็นฟังก์ชัน หรือไม่
เป็นฟังก์ชัน

1) r1 = {(1, a), (2, b), (3,c), (4,d)}
แผนภาพแสดงความสัมพันธ์ของ r1

1 a
2 b
3 c
4 d

จากแผนภาพ จะเห็นว่าความสัมพันธ์ r1 มีสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับแตกต่างกัน ดังนั้น
r1 เป็นฟังก์ชัน

2) r2 = {(2, a), (4, b), (5,c), (6,d)}

2 a
4 b
5 c
6

เพราะว่าสมาชิกของตัวหน้าของคู่อันดับใน r2 ต่างกัน ดังนั้น r2 เป็นฟังก์ชัน

-22-

3) r3 = {(1, c), (2, c), (3,c), (4,c)}

2
4 c
5
6

เพราะว่าสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับใน r3 ต่างกันทุกตัว ดังนั้น r3 เป็นฟังก์ชัน

4) r4 = {(0, 1), (2, 4), (3,5), (3,6)}

0 1
2 4
3 5
6

เพราะว่าสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับใน r4 เหมือนกัน (3,5), (3,6) แต่สมาชิกตัวหลังต่างกัน
ดังนั้น r4 ไม่เป็นฟังก์ชัน

5) r5 = {(1, a), (1, b), (1,c), (2,d)}

a
1 b
2 c
d

เพราะว่าสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับใน r5 เหมือนกัน แต่สมาชิกตัวหลังต่างกัน ดังนั้น
r5ไม่เป็นฟังก์ชัน

-23-

ให้นักเรียนตรวจสอบว่าความสัมพันธ์กาหนดให้ต่อไปนี้ เป็นฟังก์ชันหรือไม่
................... ก) r1 = {(1, p), (3, q), (5, q), (7, r)}
................... ข) r2 = {(1, a), (3, b), (5, c), (7, d), (7, e)}
................... ค) r3 = {(1, a), (2, a), (3, a), (4, a)}
................... ง) r4 = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (5, 6)}
................... จ) r5 = {(1, a), (2, b), (3, c), (4, b)}
................... ฉ) r6 = {(1, 5), (3, 7), (2, 8), (1, 4)}
................... ช) r7 = {(4, a), (2, b), (3, c), (4, d), (5, d)0}
................... ซ) r8 = {(x, y), (x, z), (y, z)}
................... ฌ) r9 = {(1, 2), (3, 4), (1, 5), (4, 7)}
................... ญ) r10 = {(5, 9), (6, 8), (7, 4), (6, 3)}
................... ฎ) r11 = {(1, 7), (2, 4), (3, 5), (2, 4)}
................... ฏ) r12 = {(5, 1), (6, 2), (4, 3), (5, 7)}

ให้นักเรียนสร้างความสัมพันธ์ที่เป็นฟังก์ชัน คนละ 5 ข้อ
1………………………………………………………………………………………………
2………………………………………………………………………………………………
3………………………………………………………………………………………………
4………………………………………………………………………………………………
5………………………………………………………………………………………………

ให้นักเรียนสรุปความหมายของฟังก์ชันจากกิจกรรมที่ทา และศึกษาเพิ่มเติมจากใน Internet

-24-
ให้นักเรียนเขียนความสัมพันธ์แบบเงื่อนไขที่ความสัมพันธ์นั้นเป็นฟังก์ชัน 3 ข้อ และไม่เป็นฟังก์ชัน 3 ข้อ
และบอกเหตุผลส่วนที่ไม่เป็นฟังก์ชันด้วย

ฟังก์ชัน
1………………………………………………………………………………………………
2………………………………………………………………………………………………
3………………………………………………………………………………………………

ไม่ฟังก์ชัน
1………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
2………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
3………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………

ให้นักเรียนตรวจสอบว่าความสัมพันธ์ต่อไปนี้เป็นฟังก์ชันหรือไม่
1. r = (x,y)  R R / y = x + 5
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
2. r = (x,y)  R R / y = x 2
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………

-25-

3. r = (x,y)  R R / xy = 4
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
4. r = (x,y)  R R / y = x
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
5. r = (x,y)  R R / x = 8
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
6. r = (x,y)  R R / x2 = y 2
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
7. r = (x,y)  R R / y = (-1)
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………

-26-

ความสัมพันธ์ต่อไปนี้เป็นฟังก์ชันหรือไม่
..............1. (x,y)  R R / x = 7
..............2. (x,y)  R R / y = -8
..............3. (x,y)  R R / y = 2x - 1
..............4. (x,y)  R R / x2 - 4 = y
..............5. (x,y)  R R / y  x
..............6. (x,y)  R R / y = x - 3
..............7. (x,y)  R R / x 2+ y2 = 9
..............8. (x,y)  R R / y2 = x – 4 , y 0
..............9. (x,y)  R R / 3x + 4y – 5 = 0
..............10. (x,y)  A A / y = x A = 1 , 2 , 3

ใบความรู้ เรื่อง กราฟของฟังก์ชัน

การตรวจสอบว่าความสัมพันธ์ในรูปกราฟนั้นเป็นฟังก์ชันหรือไม่ มีหลักการคือ
“ ลากเส้นตรงขนานกับแกน y ให้ตัดกราฟของความสัมพันธ์ ถ้าเส้นใดเส้นหนึ่งตัดกราฟเกินกว่า 1 จุด
แสดงว่าความสัมพันธ์นั้นไม่เป็นฟังก์ชัน แต่ถ้าลากเส้นตรง y แล้วตัดกราฟของความสัมพันธ์เพียง 1 จุด แสดงว่า
ความสัมพันธ์นั้นเป็นฟังก์ชัน ”

จงพิจารณาว่าความสัมพันธ์ต่อไปนี้เป็นฟังก์ชันหรือไม่
1. y 2. y

x x

ตอบ ........................... ตอบ ....................................

เอกสารประกอบการเรียนการสอน เรื่องความสัมพันธ์และฟังก์ชัน วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ค 42101 อ.อนงค์นาฏ เดชอัมพร
-27-

3. y 4. y

x x

ตอบ ........................... ตอบ ....................................

5. y 6. y

x x

ตอบ ........................... ตอบ ....................................

7. y 8. y

x x

ตอบ ........................... ตอบ ....................................

-28-

โดเมนและเรจน์ของฟังก์ชัน ( Df , Rf )
ความสัมพันธ์ใดเป็นฟังก์ชัน จะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ f , g หรือ h และการเขียนฟังก์ชัน
อาจเขียนเฉพาะสมการว่า y = f (x) ซึ่ง y = f (x) เป็นค่าของฟังก์ชัน f ที่ x เมื่อ (x,y)  f

ให้นักเรียนบอกโดเมนละเรจน์ของฟังก์ชันต่อไปนี้
1. f = {(1, p), (3, q), (5, q), (7, r)}
Df = …………………..…………. Rf = …………………..………….
2. f = {(-1, 2), (3, -4), (1, 5), (4, 7)}
Df = …………………..…………. Rf = …………………..………….
3. f = {(x,y)  R R / y = 3x - 2 }
Df = …………………..…………. Rf = …………………..………….
4. f = {(x,y)  R R / y = x - 3 }
Df = …………………..…………. Rf = …………………..………….
5. f = {(x,y)  R R / y2 = x }
Df = …………………..…………. Rf = …………………..………….
6. f = {(x,y)  R R / y = x - 3 }
Df = …………………..…………. Rf = …………………..………….
7. f = {(x,y)  R R / y = x - 3 }
Df = …………………..…………. Rf = …………………..………….
8. กาหนดให้ A = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 }
8.1 f = {(x,y)  A A / y = 2x - 3 }
Df = …………………..…………. Rf = …………………..………….
8.2 f = {(x,y)  A A / y = 2x2 }
Df = …………………..…………. Rf = …………………..………….
8.3 f = {(x,y)  A A / x2 + y2 = 25}
Df = …………………..…………. Rf = …………………..………….

-29-
การหาค่าของฟังก์ชัน
ตัวอย่าง กาหนดให้ f (x) = 3x – 1 จงหาค่าของ f (0)
f (0) = 3 (0) – 1 = -1 ดังนั้น (0,-1)  f

ให้นักเรียนหาค่าของฟังก์ชันต่อไปนี้
1. กาหนดให้ f (x) = 5x + 2 จงหาค่าของ
1.1 f (1 ) = ……………………………………………………………………………………….
1.2 f (-1 ) = ……………………………………………………………………………………….
1.3 f (5 ) = ……………………………………………………………………………………….
1.4 f (0 ) = ……………………………………………………………………………………….
1.5 f (a) = ……………………………………………………………………………………….
1.6 f (a + 1 ) =……………………………………………………………………………….
1.7 f (x + h) =……………………………………………………………………………….
1.8 f (x + h) - f (x) =……………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………..
1.9 f (x + h) - f (x) =……………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..

1.10 f (4) - f (3) =……………………………………………………………………………….

2. กาหนดให้ f (x) = x2 + 4x - 5 จงหาค่าของ
2.1 f (-1 ) = ……………………………………………………………………………………….
2.2 f (5 ) = ……………………………………………………………………………………….
2.3 f (0 ) = ……………………………………………………………………………………….
2.4 f (a + 1 ) =……………………………………………………………………………….
2.5 f (x + h) =……………………………………………………………………………….
2.6 f (x + h) - f (x) =……………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………..
2.7 f (x + h) - f (x) =……………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..

2.8 f (5) - f (1) =……………………………………………………………………………….

-30-
-2 เมื่อ x 0
3. ถ้า f (x) = 3x -1 เมื่อ 0 x  5
x2 + 1 เมื่อ x 5
จงหาค่าของ
3.1 f (0 ) = ……………………………………………………………………………………….
3.2 f (1 ) = ……………………………………………………………………………………….
3.3 f (-2 ) = ……………………………………………………………………………………….
3.4 f (7 ) = ……………………………………………………………………………………….
3.5 f (7 ) = ……………………………………………………………………………………….
3.6 f (0.5 ) = ……………………………………………………………………………………….
3.7 f (27) = ……………………………………………………………………………………….
3.8 f (5) = ……………………………………………………………………………………….

4. กาหนดให้ f (x + 1) = 2x –1 จงหา
4.1 f (x)
.ให้ a = x + 1 f (a) = 2 (a-1) –1
x=a–1 f (a) = 2a-2 –1
f (a) = 2a-3
ดังนั้น f (x) = 2x-3
4.2 f (8) =…………………………………………………………………………………………………………..
4.3 f (x - 1) =………………………………………………………………………………………………………
5. กาหนดให้ f (x - 1) = 3x + 4 จงหา
5.1 f (x)
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
5.2 f (x + 1) =………………………………………………………………………………………………………
6. กาหนดให้ f (6x +4) = 3x -1 จงหา
6.1 f (x)
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
6.2 f (x - 1) =…………………………………………………………………………………………………………

-31-
ฟังก์ชันจาก A ไป B
ให้ A = 1 , 2 , 3 , 4 , B = a , e , i , o , u จาก A  B แล้วได้ฟังก์ชัน f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B
เขียนแทนด้วย f : AB หมายถึง f เป็นฟังก์ชันที่มี A เป็นโดเมน และ B เป็นเรนจ์
A B A B
f g
1 a 1 a
2 e 2 e
3 i 3 i
4 o o
4
u u

A B A B
h k
1 a 1 a
2 e 2 e
3 i 3 i
o o
4 4
u u

f = { (1 , a) , (2 , e) , (3 , i) , (4 , u) } Df = ……………………. Rf = ……………...………..
g= ………………………………… Df = ……………………. Rf = ……………...………..
h= ………………………………… Df = ……………………. Rf = ……………...………..
k= ………………………………… Df = ……………………. Rf = ……………...………..

นิยาม
1. f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B (Function from A into B) เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ f : AB หมายถึงฟังก์ชัน f
มี Df = A และ Rf  B A ทุกตัว B บางตัว
2. f เป็นฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B (Function from A onto B) เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ f : AB หมายถึง
ฟังก์ชัน f มี Df = A และ Rf = B A ทุกตัว B ทุกตัว
3. f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก A ไป B ( one to one function from A into B) เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์
f : AB หมายถึงฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง มี Df = A และ Rf  B และสมาชิกแต่ละตัวของ B ที่ถูกจับคู่จะถูกจับคู่
โดยสมาชิกของ A เพียงตัวเดียวเท่านั้น A ทุกตัว B บางตัว แต่ต้องจับคู่ 1 – 1 เท่านั้น
4. f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก A ไปทั่วถึง B ( one to one function from A onto B) เขียนแทนด้วย
สัญลักษณ์ f : AB หมายถึงฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง มี Df = A และ Rf = B และสมาชิกแต่ละตัวของ B ที่ถูกจับคู่
จะถูกจับคู่โดยสมาชิกของ A เพียงตัวเดียวเท่านั้น A ทุกตัว B ทุกตัว แต่ต้องจับคู่ 1 – 1 เท่านั้น


-32-
ให้นักเรียนตอบคาถามต่อไปนี้
1. กาหนดให้ A = { 1 , 3 , 5 } และ B = { 2 , 4 } และ
f1 = { (1,2 ) , (3, 4) , (5,4) }
f2 = { (1,4 ) , (3, 2) , (5,2) }
f3 = { (1,2 ) , (3, 2) , (5,2) } ให้นักเรียนตอบคาถามต่อไปนี้
1.1) f1 ,f2 ,f3 เป็นฟังก์ชันหรือไม่……………………
1.2) f1 ,f2 ,f3 เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B หรือไม่………………..เพราะ………………………………………
1.3) ฟังก์ชันในข้อใดเป็นฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B…………………….
1.4) ฟังก์ชันในข้อใดไม่เป็นฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B……………..เพราะ………………………………...
1.5) ให้นักเรียนแสดงการจับคู่ระหว่างสมาชิกของโดเมนและเรจน์ของ f1 ,f2 ,f3
f1 f2 f3

Df = ………………. Rf = ………...……….. Df = …………………. Rf = ………...………..
Df = ………………. Rf = ………...………..
2. ให้พิจารณาฟังก์ชันต่อไปนี้ข้อใดเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง
2.1 f1 = { (1,2 ) , (4, 7) , (3,10) } ………………..
2.2 f2 = { (-1,1 ) , (-2, 4) , (-3,9) , (-4 ,16) } …………………
2.3 f3 = { (1,2 ) , (2, 4) , (4,2) , (0, -1) } ……………………
2.4 f4 = { (0,-1 ) , (1, -1) , (2,-1) , (3, -1) } ……………………
3. ให้นักเรียนพิจารณากราฟต่อไปนี้ว่าเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งหรือไม่
หลักการ ให้ลากเส้นตรงขนานกับแกน x ถ้าตัดกราฟของฟังก์ชัน 1 จุดเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง แต่ถ้าถ้าตัด
กราฟของฟังก์ชันมากกว่า 1 จุด ฟังก์ชันนั้นจะไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง
3.1 3.2

-33-
3.3 3.4

3.5 3.6

4. กาหนดให้ A = {-1, 0 , 1} , B = { 0 , 1 , 2 } และ
f1 = { (-1,0) , (0, 1) , (1,2) }
f2 = { (-1,2 ) , (0, 1) , (1,0) }
f3 = { (-1,2 ) , (0, 1) , (1,0) }
f4 = { (0,0 ) , (1, 1) , (2,-1) }
f5 = { (0,0 ) , (1, 0) , (2,0) }
f6 = { (0,-1 ) , (1, 0) , (2,1) }
อยากทราบว่ามีฟังก์ชันใดบ้างที่เป็น
4.1 ฟังก์ชันจาก Aไป B………………………
4.2 ฟังก์ชันจาก Aไปทั่วถึง B………………………
4.3 ฟังก์ชันจาก Bไป A………………………
4.4 ฟังก์ชันจาก Bไปทั่วถึง A………………………
4.5 ฟังก์ชัน 1-1………………………..
4.6 ฟังก์ชัน1-1จาก A ไปทั่วถึง B…………………………..
4.7 ฟังก์ชัน 1-1 จาก B ไปทั่วถึง A…………………………..
4.8 ฟังก์ชัน 1-1 จาก Aไปไม่ทั่ว B…………………………..


-34-

5. จากกราฟของฟังก์ชันที่กาหนดให้ต่อไปนี้
ก. ข.

1 4 a 1
2 5 b 2
3 6 c 4
5

ค. ง.

a x 1 4
b y 2 5
c z 3 6

จงตอบคาถามต่อไปนี้
5.1 ฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B…………………………..
5.2 ฟังก์ชันจาก A ไปไม่ทั่วถึง B…………………………..
5.3 ฟังก์ชัน 1-1 ……………………….
5.4 ฟังก์ชัน 1-1 จาก A ไปไม่ทั่วถึง B…………………………..
5.5 ฟังก์ชัน 1-1 จาก A ไปทั่วถึง B…………………………..
5.6 ฟังก์ชันจาก A ไป B ที่ไม่ใช่ฟังก์ชัน 1-1 และไม่ทั่วถึง B …………………………..

6. กาหนด A = {1 , 3 , 5} B = {a , b} C = {1 , 3 , 5 , 7} ข้อต่อไปนี้เป็นฟังก์ชันประเภทใด (จงใช้สัญลักษณ์)
ก. f = {(a,1), (a,3),(a,5),(b,1),(b,3),(b,5)} ………………………….
ข. f = {(a,1), (a,3,(b,5)} ………………………….
ค. f = {(a,1), (a,3),(a,5),(b,1),(b,3),(b,5)} ………………………….
ง. f = {(a,3),(b,5)} ………………………….

-35-
ฟังก์ชันคอมโพสิท
นิยาม ให้ f และ g เป็นฟังก์ชัน และ Rf  Dg   ฟังก์ชันคอมโพสิทของ f และ g
เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ gof (อ่านว่า จี โอ เอฟ) กาหนดให้ (gof)(x) = g(f(x)) สาหรับทุก x  Df
ตัวอย่าง ให้ f = {(1,4) , (2,5) , (3,6) } , g = {(4,7) , (5,9) , (6,9) } เขียนเป็นแผนภาพได้ดังนี้
f g

1 4 7
2 5 9
3 6

gof = {(1,7) , (2,9) , (3,9) }
1. กาหนดแผนภาพของ f และ g ดังภาพ จงหา gof
1.1 f g 1.2 f g

1 4 7 7 0 ก
2 5 8 8 -1 ข
3 6 9 9 -2 ค
-3

ตอบ gof =……………………………………. ตอบ gof =…………………………………….

2. กาหนดฟังก์ชัน f = {(4,7) , (5,8) , (6,7) } , g = {(7,10) , (8,9) } จงหา
2.1 gof =……………………………………. 2.2 fog =…………………………………….

3. กาหนดฟังก์ชัน f = {(1,a) , (3,b) , (5,c) } , g = {(a,8) , (b,11) , (c,13) , (d,15) } จงหา
3.1 gof =……………………………………. 3.2 fog =…………………………………….

4. กาหนดฟังก์ชัน f = {(5,10) , (6,9) , (7,11) } , g = {(1,6) , (2,5) , (3,7) , (4,6) } จงหา
4.1 gof =……………………………………. 4.2 fog =…………………………………….

-36-
2
1. กาหนดให้ f(x) = x + 3 และ g(x) = 3x – 1 จงหา
1.1 f (-5) =………………………………………………………….
1.2 g (0) =………………………………………………………….
1.3 f (g(1)) =………………………………………………………….
1.4 f (g(-2)) =………………………………………………………….
1.5 g (f(0)) =………………………………………………………….
1.6 g (f(3)) =………………………………………………………….
1.7 g (f(x)) =………………………………………………………….
1.8 g (g(x)) =………………………………………………………….
1.9 f (g(x)) =………………………………………………………….
1.10 f (f(x)) =………………………………………………………….

2. กาหนดให้ f(x) = x2 และ g(x) = x3+1 จงหา
21. Df = ………………….. Rf = ……………………
22. Dg = ………………….. Rg = ……………………
23 gof(x) = …………………………………………………….
2.4 fog(x) =…………………………………………………….

3. กาหนดให้ f(x) = x2 และ g(x) = 2x + 1 จงหา
3.1. Df = ………………….. Rf = ……………………
3.2. Dg = ………………….. Rg = ……………………
3.3. gof (x) = …………………………………………………….
3.4 fog(x) =…………………………………………………….

4. กาหนดให้ f(x) = x + 1 และ g(x) = x จงหา
4.1. Df = ………………….. Rf = ……………………
4.2. Dg = ………………….. Rg = ……………………
4.3 gof(x) = …………………………………………………….
4.4 fog(x) =…………………………………………………….

-37-
5. กาหนดให้ f(x) = 5x และ g(x) = x2
และ h(x) = 2x – 2 เมื่อ x  0
2x + 1 เมื่อ x  0 จงหา
5.1 (fogoh )(1) = ………………………………………………………………………………………..
5.2 (fogoh )(-1) = ………………………………………………………………………………………….
5.3 (gohof)(2) = ………………………………………………………………………………………….
5.4 (gohof)(-2) = ………………………………………………………………………………………….
5.5 (hogof)(3) = ………………………………………………………………………………………….
5.6 (hogof)(-3) = ………………………………………………………………………………………….
5.7 (fogoh )(x) โดยที่ x  0………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
5.8 (gohof)(x) โดยที่ x  0………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
5.9 (hogof)(x) โดยที่ x  0………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
5.10 (hogof)(x+1) โดยที่ x  0……………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………

5.11 (gohof)(x-1) โดยที่ x  0…………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการเรียนการสอน

เอกสารประกอบการเรียนการสอน

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to เอกสารประกอบการเรียนการสอน

Similar to เอกสารประกอบการเรียนการสอน (20)

เอกสารประกอบการเรียนการสอน