1. Роботу виконали учні
9-Б класу
Деберина Вікторія та
Уракіна Дар’я
Керівник Губа
Людмила Анатоліївна
2. Історична довідка
Інтерес до векторів виник у математиків у ХІХ ст. у
зв'язку з потребами фізики й механіки. Але витоки
числення з напрямленими відрізками знаходимо
ще в далекій давнині, в роботах піфагорійців і
геометричній теорій відношень Евдокса. У
геометричному численні, що його виклав Евклід.
Додавання і віднімання чисел заводилося до
відповідних операцій з відрізками, а множення – до
побудови прямокутника зі сторонами, довжини
яких дорівнюють множникам. Подальший розвиток
векторного методу пов’язаний зі становленням
аналітичної геометрії і теорії геометричних
перетворень. Вектор задано початковою точкою А
та її образом В. Згодом відповідний розділ отримав
назву «векторна алгебра».
3.
4.
5. Ортогональність
Вектори є ортогональними
тоді і тільки тоді, коли
їхній скалярний
добуток дорівнює нулю.
Інколи замість цього терміну
використовують
«перпендикулярність», проте
слід враховувати, що
нульовий вектор
ортогональний будь-якому
вектору, але поняття
перпендикулярності для нього
не визначене, оскільки не
визначений кут між нульовим і
іншим вектором.
Властивості векторів
6. Приклади задач на
ортогональність векторів
Приклад 1.
Довести що
вектори a = {1; 2} і b = {2; -1}
ортогональні.
Розв'язок:
Знайдемо скалярний
добуток цих векторів
a · b = 1 · 2 + 2 · (-1) = 2 - 2
= 0
Відповідь: так як
скалярний добуток
дорівнює нулю, то
вектори a і b ортогональні.
7. Приклад 2.
Перевірити чи є вектори a = {3; -1} и b = {7; 5}
ортогональними.
Розв'язок:
Знайдемо скалярний добуток цих векторів
a · b = 3 · 7 + (-1) · 5 = 21 - 5 = 16Відповідь: так як
скалярний добуток не дорівнює нулю, то вектори a і b не
ортогональні.
Приклад 3.
Знайти значення числа n при якому вектори a =
{2; 4} і b = {n; 1} будуть ортогональні.
Розв'язок:
Знайдемо скалярний добуток цих векторів
a · b = 2 · n + 4 · 1 = 2n + 4
2n + 4 = 0
2n = -4
n = -2Відповідь: вектори a і b будуть
ортогональні при n =
-2.
8. Колінеарність[ред. • ред. код]
Вектори є колінеарними тоді і
тільки тоді, коли
їхній векторний
добуток дорівнює нулю.
Часто замість цього терміну
використовують термін
«паралельність», проте слід
враховувати, що нульовий
вектор коллінеарний будь-
якому вектору, але поняття
паралельності для нього не
визначене, оскільки не
визначений кут між нульовим і
іншим вектором.
12. Вектори a і b називаються
рівними, якщо вони лежать на
одній прямій або паралельних
прямих, їх напрямки
співпадають, а довжини рівні
Тобто, два вектори рівні, якщо
вони колінеарні,
співнаправлені та мають рівні
довжини:
a = b, якщо a↑↑b і |a| = |b|.
Рівні вектора
14. Нульовим
вектором називається
вектор, у якого початкова і
кінцева точки
співпадають.
Нульовий вектор зазвичай
позначають як 0.
Довжина нульового
вектора дорівнює нулю.
