1. «Пифагоровы числа»
Выполнила:
Овсянникова Таня, ученица 9 класса
МКОУ «Усть-Калманская оош»
Тема проекта-«Пифагоровы числа».
Я выбрала эту тему, так как меня заинтересовала личность Пифагора –
творца науки из далекого прошлого, которого благодарные потомки помнят и
пользуются результатами его труда уже более двух с половиной тысяч лет.
Целью работы является детальное изучение «пифагоровых чисел», которые
используются на практике.
План работы:
Тему выбрала по той причине, что на уроках истории уже
сталкивалась с именем ученого, и изучение теоремы в 8 классе
хотелось связать с его личностью и историей его жизни.
Сбор информации занял много времени, так как необходимо
было проанализировать много фактического материала.
Выполнить работу помогло составление подробного плана
отчета.
Я начала работу со сбора информации о сайтах, посвященных Пифагору, в
библиотеке нашла книги с описанием его жизни. Обобщив найденные факты,
я составила рассказ о жизни Пифагора.
Завершилась работа поисками пифагоровых чисел . Кроме чисел 3, 4, 5,
существует, как известно, бесчисленное множество целых положительных
чисел а, Ь, с, удовлетворяющих соотношению с2 =а2 + в2 . Далее я
исследовала тройки взаимно простых пифагоровых чисел. Пифагоровы числа
обладают вообще рядом любопытных особенностей.

2. При решении задач на прямоугольные треугольники для подбора
целочисленных значений сторон будет полезна таблица «Некоторые
пифагоровы тройки чисел», которую я уже использовала на уроках
геометрии.
.
В интернет источниках оказалось много толкований о пифагоровых тройках
и различных фактов, поэтому нужно искать все новые подтверждения
найденного.
«Пифагоровы числа»
Каждый треугольник, стороны которого относятся, как 3:4:5,
согласно общеизвестной теореме Пифагора, — прямоугольный, так как
32 + 42 = 52.
Кроме чисел 3, 4, 5, существует, как известно, бесчисленное множество
целых положительных чисел а, Ь, с, удовлетворяющих соотношению с2 =а2 +
в2
Они называются пифагоровыми числами. Согласно теореме Пифагора такие
числа могут служить длинами сторон некоторого прямоугольного
треугольника; поэтому а и Ь называют «катетами», а с — «гипотенузой».
Ясно, что если а, Ь, с есть тройка пифагоровых чисел, то и ра,
рЬ, рс, где р — целочисленный множитель, — пифагоровы числа. Обратно,
если пифагоровы числа имеют общий множитель, то на этот общий
множитель можно их все сократить, и снова получится тройка пифагоровых
чисел. Поэтому будем вначале исследовать лишь тройки взаимно простых
пифагоровых чисел (остальные получаются из них умножением на
целочисленный множитель р) .
Покажем, что в каждой из таких троек а, Ь, с один из «катетов» должен быть
четным, а другой нечетным. Станем рассуждать «от противного». Если оба
«катета» а и Ь четны, то четным будет число а2 + Ь2, а значит, и
«гипотенуза». Это, однако, противоречит тому, что числа а, Ь, с не имеют
общих множителей, так как три четных числа имеют общий множитель 2.
Таким образом, хоть один из «катетов» а, Ь нечетен.
2

3. Остается еще одна возможность: оба «катета» нечетные, а «гипотенуза»
четная. Нетрудно доказать, что этого не может быть. В самом деле: если
«катеты» имеют вид
2х+1 и 2у+1,
то сумма их квадратов равна 4х2 + 4х + 1 +4у2+4у+1=4(х2+х+у2+у)+2,
т. е. представляет собой число, которое при делении на 4 дает в остатке 2.
Между тем квадрат всякого четного числа должен делиться на 4 без остатка.
Значит, сумма квадратов двух нечетных чисел не может быть квадратом
четного числа; иначе говоря, наши три числа — не пифагоровы.
Итак, из «катетов» а, Ь один четный, а другой нечетный.
Поэтому число
а2 + в2 нечетно, а значит, нечетна и «гипотенуза» с.
Предположим, для определенности, что нечетным является «катет» а, а
четным в. Из равенства а2+в2=с2мы легко получаем: а2 = с2-в2 = (с+в)(с-в).
Множители с + в и с-в, стоящие в правой части, взаимно
просты. Действительно, если бы эти числа имели общий простой множитель,
отличный от единицы, то на этот множитель делились бы и сумма ( с+в) +
(с-в)=2с,
и разность ( с+в) - (с-в) = 2в,
и произведение (с+в)(с-в) = а 2.
т. е. числа 2с, 2в и а имели бы общий множитель. Так как а нечетно, то этот
множитель отличен от двойки, и потому этот же общий множитель имеют,
числа а, Ь, с, чего, однако, не может быть. Полученное противоречие
показывает, что числа с + в и с — в взаимно просты.
Но если произведение взаимно простых чисел есть точный квадрат, то
каждое из них является квадратом, т. е.
с + в = m2,
с - в = n2.
Решив эту систему, найдем:
3

4. c = m 2+ n2
2
b= m 2 _ n2
2
а2 = (с + в)(с - в) = m2 n2.
Итак, рассматриваемые пифагоровы числа имеют вид
a= тп, b= m 2 _ n2
2
c = m 2+ n2
2
где т и п — некоторые взаимно простые нечетные числа. Легко может
убедиться и в обратном: при любых нечетных тип написанные формулы
дают три пифагоровых числа а, Ь, с.
Вот несколько троек пифагоровых чисел:
4

5. (Все остальные тройки пифагоровых чисел или имеют общие множители,
или содержат числа, большие ста.)
Пифагоровы числа обладают вообще рядом любопытных особенностей,
которые мы перечисляем далее без доказательств:
1) Один из «катетов» должен быть кратным трем.
2) Один из «катетов» должен быть кратным четырем.
3) Одно из пифагоровых чисел должно быть кратно пяти.
Можно удостовериться в наличии этих свойств, просматривая
приведенные выше примеры групп пифагоровых чисел.
В самом деле: 32 + 42 = 52. Говоря иначе, числа 3. 4, 5 — корни уравнения х2
+ у2 = z2.
Сразу же возникает вопрос: нет ли у этого уравнения других целочисленных
решений? Прямоугольными являются также треугольники со сторонами 5,
12, 13; 8, 15, 17; 7, 24, 25, что соответствует теореме, обратной к теореме
Пифагора: 132 = 52+ 122; 172= 152 + 82; 252= = 24 2+ 72.
Прямоугольные треугольники, у которых длины сторон выражаются целыми
числами, называются пифагоровыми треугольниками.
Можно доказать, что катеты а, в и гипотенуза с таких треугольников
выражаются формулами: а = 2тп, в = т2 - п2, с = т2 + п2, где т и п — любые
натуральные числа, такие, что т > п.
При составлении задач на прямоугольные треугольники для подбора
целочисленных значений сторон будет полезна данная ниже таблица.
Некоторые пифагоровы тройки чисел
т
1
1
3
1
-
3,4,5 6,8,10
2
-
-
4
5
6
7
8
8,15,17
10.24,26
1 2,35,37 14,48,50, 16,63,65
п
5,12,13 16,12.20 20,21.29
24,32,40
28,45,53
32,60,68
5

6. 3
-
-
-
7.24.25
16,30.34
27,36.45
40,42.58
48,55,73
4
-
-
-
—
9,40,41
20,48,52
33,56,65
48.64.80
5
-
-
—
_
—
11,60,61
24,70,74
39.80.89
6
-
-
-
-
-
-
13.84.85
28,96,100
7
-
-
-
-
-
-
-
15,112,11
3
Использованы материалы:
1. http://moypifagor.narod.ru/
2. http://www.edu.severodvinsk.ru/after_school/nit/2006/web/terentev/primene
nie.htm
3. http://festival.1september.ru/articles/593711/
4. Энциклопедический словарь юного математика
5. В.Литцман «Теорема Пифагора»
6. А.Немировский «Пифагор»
7. И.Перельман.Занимательная алгебра,М:.1975г.
6