Math: systems (Dutch)

1. C URRICULUM V ITAE S TEVE DE RIDDER MM001 Gevolgde Civ Vmg: H1. ... - 1998 : Grieks-Latijn (Sint-Maarteninstituut te Aalst) Overzicht 2008 - 2010 : Master Toegepaste Informatica Lineair (Vrije Universiteit Brussel) Lineariteit Gevolgde Mil Vmg: De rechte 18 Sep 1998 - 01 Dec 2002 : Opleiding KMS Kwadratisch (138ste promotie ”Alle Wapens” - SSMW) Stelsels 01 Dec 2002 - Jan 2004 : Wapenschool Inf, CIS, . . . Deﬁnitie 25 Okt 2004 - 18 Nov 2004 : HuO LOS Betekenis Substitutie 30 Jan 2006 - 17 Feb 2006 : BStV fase joint Combinatie 12 Mar 2007 - 30 Mar 2007 : BStV fase landcomponent Gauss Beklede functies: Gauss-Jordan Soorten stelsel Jan 2004 - 20 Feb 2006 : 2 Gp CIS (HAASDONK) Parameter Comd Pl SLD (Short and Long Distance) Oefening 26 Sep 2004 : benoeming luitenant 20 Feb 2006 - 16 Apr 2007 : 2 Gp CIS (HAASDONK) AS3 Ops 15 Sep 2006 - 12 Feb 2007 : BELUFIL I (TIBNIN - LEB) S6 16 Apr 2007 - ... : KMS (BRUSSEL) militair repetitor departement Wiskunde 26 Sep 2009 : benoeming kapitein

2. H OOFDSTUK 1: L INEAIRE EN KWADRATISCHE VERGELIJKINGEN - LINEAIRE STELSELS MM001 H1. Overzicht Lineair Lineariteit De rechte Kwadratisch Stelsels Deﬁnitie Betekenis Substitutie Combinatie Gauss Gauss-Jordan Soorten stelsel Parameter Oefening

3. OVERZICHT MM001 H1. Overzicht L INEAIRE FUNCTIES : Lineair Lineariteit lineariteit De rechte Kwadratisch vergelijking van een rechte in het vlak Stelsels Deﬁnitie Betekenis K WADRATISCHE FUNCTIES : Substitutie Combinatie deﬁnitie Gauss Gauss-Jordan Soorten stelsel oplossen van een kwadratische vergelijking Parameter Oefening S TELSELS LINEAIRE VERGELIJKINGEN :

6. OVERZICHT MM001 H1. L INEAIRE FUNCTIES : Overzicht Lineair K WADRATISCHE FUNCTIES : Lineariteit De rechte Kwadratisch Stelsels S TELSELS LINEAIRE VERGELIJKINGEN : Deﬁnitie Betekenis deﬁnitie Substitutie Combinatie Gauss betekenis Gauss-Jordan Soorten stelsel oplossing Parameter door substitutie Oefening door lineaire combinatie door Gauss door Gauss-Jordan stelsel met parameter

7. L INEARITEIT MM001 D EFINITIE H1. y is lineair afhankelijk van x0 , x1 , . . . , xn indien er constanten Overzicht a0 , a1 , . . . , an zijn opdat Lineair Lineariteit De rechte y = a0 x0 + a1 x1 + . . . an xn Kwadratisch Stelsels Deﬁnitie vb 1. Betekenis 1 Substitutie Combinatie y = 3 + x − 2z Gauss 4 Gauss-Jordan Soorten stelsel vb 2. niet lineair Parameter Oefening 1 y = 3 + x − 2xz 4 1 y = 3 + x 2 − 2z 4

10. V ERGELIJKING VAN EEN RECHTE IN HET VLAK MM001 D EFINITIE H1. Overzicht y = ax + b Lineair y − y1 y1 − y2 Lineariteit = De rechte x − x1 x1 − x2 Kwadratisch Stelsels y = y1 + a(x − x1 ) Deﬁnitie Betekenis Substitutie Combinatie O PMERKING 1. Gauss Gauss-Jordan ∆y y2 − y1 Soorten stelsel a= = is de richtingscoëfﬁciënt (de helling). Parameter ∆x x2 − x1 Oefening a > 0 → stijgende rechte. a < 0 → dalende rechte. a = 0 → rechte met X −as.

11. V ERGELIJKING VAN EEN RECHTE IN HET VLAK MM001 D EFINITIE H1. Overzicht y = ax + b Lineair y − y1 y1 − y2 Lineariteit = De rechte x − x1 x1 − x2 Kwadratisch Stelsels y = y1 + a(x − x1 ) Deﬁnitie Betekenis Substitutie Combinatie O PMERKING 1. Gauss Gauss-Jordan ∆y y2 − y1 Soorten stelsel a= = is de richtingscoëfﬁciënt (de helling). Parameter ∆x x2 − x1 Oefening a > 0 → stijgende rechte. a < 0 → dalende rechte. a = 0 → rechte met X −as.

12. V ERGELIJKING VAN EEN RECHTE IN HET VLAK MM001 H1. D EFINITIE Overzicht y = ax + b Lineair y − y1 y1 − y2 Lineariteit = De rechte x − x1 x1 − x2 Kwadratisch Stelsels y = y1 + a(x − x1 ) Deﬁnitie Betekenis Substitutie Combinatie O PMERKING 1. Gauss Gauss-Jordan ∆y y2 − y1 Soorten stelsel a= = is de richtingscoëfﬁciënt (de helling). Parameter ∆x x2 − x1 Oefening y1 = a1 x + b1 y2 = a2 x + b2 ⇐⇒ a1 = a2 . 1 y1 = a1 x + b1 ⊥ y2 = a2 x + b2 ⇐⇒ a1 = − . a2

13. V ERGELIJKING VAN EEN RECHTE IN HET VLAK MM001 H1. D EFINITIE Overzicht y = ax + b Lineair Lineariteit y − y1 y1 − y2 De rechte = Kwadratisch x − x1 x1 − x2 Stelsels Deﬁnitie y = y1 + a(x − x1 ) Betekenis Substitutie Combinatie Gauss O PMERKING 2. Gauss-Jordan Soorten stelsel b is de constante term. Parameter Oefening b > 0 → snijpunt met Y − as : (0, +). b < 0 → snijpunt met Y − as : (0, −). b = 0 → rechte door oorsprong.

14. V ERGELIJKING VAN EEN RECHTE IN HET VLAK MM001 H1. D EFINITIE Overzicht Lineair f : R → R : x → y = ax + b Lineariteit De rechte y − y1 y1 − y2 = Kwadratisch x − x1 x1 − x2 Stelsels Deﬁnitie y = y1 + a(x − x1 ) Betekenis Substitutie Combinatie Gauss Gauss-Jordan O PMERKING 3. (− b , 0) is het snijpunt met de X −as. Soorten stelsel Parameter a Oefening vb 1: y = 2x − 3 vb 2: 2y = −x + 1

15. V ERGELIJKING VAN EEN RECHTE IN HET VLAK MM001 H1. D EFINITIE Overzicht Lineair f : R → R : x → y = ax + b Lineariteit De rechte y − y1 y1 − y2 = Kwadratisch x − x1 x1 − x2 Stelsels Deﬁnitie y = y1 + a(x − x1 ) Betekenis Substitutie Combinatie Gauss Gauss-Jordan O PMERKING 3. (− b , 0) is het snijpunt met de X −as. Soorten stelsel Parameter a Oefening vb 1: y = 2x − 3 vb 2: 2y = −x + 1

16. T IJD VOOR EEN BREAK MM001 H1. Overzicht Lineair Lineariteit De rechte Kwadratisch Stelsels Deﬁnitie Betekenis Substitutie Combinatie Gauss Gauss-Jordan Soorten stelsel Parameter Oefening

17. V ERGELIJKING VAN EEN PARABOOL IN HET VLAK MM001 H1. Overzicht D EFINITIE Lineair Lineariteit De rechte y = ax 2 + bx + c Kwadratisch Stelsels Deﬁnitie O PMERKING 1. Betekenis Substitutie a bepaalt de opening van de parabool Combinatie Gauss Gauss-Jordan Soorten stelsel a > 0 → dalparabool. Parameter Oefening a < 0 → bergparabool. a = 0 → rechte.

18. V ERGELIJKING VAN EEN PARABOOL IN HET VLAK MM001 H1. Overzicht D EFINITIE Lineair Lineariteit De rechte y = ax 2 + bx + c Kwadratisch Stelsels Deﬁnitie O PMERKING 1. Betekenis Substitutie a bepaalt de opening van de parabool Combinatie Gauss Gauss-Jordan Soorten stelsel a > 0 → dalparabool. Parameter Oefening a < 0 → bergparabool. a = 0 → rechte.

19. V ERGELIJKING VAN EEN PARABOOL IN HET VLAK MM001 H1. D EFINITIE Overzicht Lineair Lineariteit y = ax 2 + bx + c De rechte Kwadratisch O PMERKING 2. Stelsels Deﬁnitie Betekenis D = b2 − 4ac bepaalt de nulpunten van de parabool Substitutie Combinatie Gauss −b Gauss-Jordan D = 0 → (x, y ) = ( , 0). Soorten stelsel Parameter 2a √ Oefening −b ± D D > 0 → (x, y ) = ( , 0). 2a D < 0 → geen wortels in R (maar in C . . .).

20. D EFINITIE VAN EEN LINEAIR STELSEL MM001 H1. Overzicht D EFINITIE Lineair Een stelsel (geheel) van lineaire vergelijkingen: Lineariteit De rechte  Kwadratisch  a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1  Stelsels  a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2  Deﬁnitie . Betekenis Substitutie  .  . Combinatie  am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = bm  Gauss Gauss-Jordan Soorten stelsel Parameter Oefening 1 m vergelijkingen en n onbekenden 2 aij , bi ∈ R

21. B ETEKENIS / INTERPRETATIE MM001 H1. Voor een stelsel met twee vergelijkingen en twee Overzicht onbekenden: Lineair Lineariteit a1 x + b1 y = c1 (1) De rechte Kwadratisch a2 x + b2 y = c2 (2) Stelsels Deﬁnitie Tegelijk geldig! Betekenis Substitutie Combinatie Gauss (1) = (2) → ∞ oplossingen Gauss-Jordan Soorten stelsel Parameter Oefening (1) (2) → oplossingen (1) (2) → 1 oplossing

22. O PLOSSING DOOR SUBSTITUTIE MM001 H1. D EFINITIE Overzicht 1 Isoleer één variabele in één vergelijking Lineair 2 Substitueer deze in alle andere vergelijkingen Lineariteit De rechte 3 Herhaal indien nodig Kwadratisch Stelsels Deﬁnitie Betekenis 3x − y = 1 (1) Substitutie Combinatie x + 2y = 5 (2) Gauss Gauss-Jordan Soorten stelsel y = 3x − 1 (1) Parameter Oefening x + 2y = 5 (2) (1) in (2) → x + 2(3x − 1) = 5 → x = 1 x = 1 in (1) of (2) → y = 2 ⇒ (x, y ) = (1, 2)

23. O PLOSSING DOOR SUBSTITUTIE MM001 H1. D EFINITIE Overzicht 1 Isoleer één variabele in één vergelijking Lineair 2 Substitueer deze in alle andere vergelijkingen Lineariteit De rechte 3 Herhaal indien nodig Kwadratisch Stelsels Deﬁnitie Betekenis 3x − y = 1 (1) Substitutie Combinatie x + 2y = 5 (2) Gauss Gauss-Jordan Soorten stelsel y = 3x − 1 (1) Parameter Oefening x + 2y = 5 (2) (1) in (2) → x + 2(3x − 1) = 5 → x = 1 x = 1 in (1) of (2) → y = 2 ⇒ (x, y ) = (1, 2)

24. O PLOSSING DOOR LINEAIRE COMBINATIES MM001 H1. D EFINITIE Overzicht 1 Een vergelijking vermenigvuldigen met een constante Lineair Lineariteit 2 Twee vergelijkingen optellen De rechte Kwadratisch heeft geen invloed op het geheel van oplossingen. Stelsels Dus: voer lineaire combinaties uit met de vergelijkingen van Deﬁnitie Betekenis het stelsel. Substitutie Combinatie Gauss Gauss-Jordan Soorten stelsel 3x − y = 1 (V1 ) Parameter x + 2y = 5 (V2 ) Oefening (V1 ) − 3(V2 ) ⇐⇒ 0x − 7y = −14 ⇐⇒ y = 2 2(V1 ) + (V2 ) ⇐⇒ 7x + 0y = 7 ⇐⇒ x = 1 ⇒ (x, y ) = (1, 2)

25. O PLOSSING DOOR LINEAIRE COMBINATIES MM001 H1. D EFINITIE Overzicht 1 Een vergelijking vermenigvuldigen met een constante Lineair Lineariteit 2 Twee vergelijkingen optellen De rechte Kwadratisch heeft geen invloed op het geheel van oplossingen. Stelsels Dus: voer lineaire combinaties uit met de vergelijkingen van Deﬁnitie Betekenis het stelsel. Substitutie Combinatie Gauss Gauss-Jordan Soorten stelsel 3x − y = 1 (V1 ) Parameter x + 2y = 5 (V2 ) Oefening (V1 ) − 3(V2 ) ⇐⇒ 0x − 7y = −14 ⇐⇒ y = 2 2(V1 ) + (V2 ) ⇐⇒ 7x + 0y = 7 ⇐⇒ x = 1 ⇒ (x, y ) = (1, 2)

26. O PLOSSING DOOR DE METHODE VAN G AUSS MM001 H1. Overzicht D EFINITIE Lineair Lineariteit Pas per iteratie één van de volgende operaties toe: De rechte Kwadratisch 1 Verwissel twee vergelijkingen Stelsels Deﬁnitie 2 Vermenigvuldig één vergelijking met een getal ∈ R0 Betekenis Substitutie 3 Tel een veelvoud van een andere vergelijking op (of Combinatie Gauss trek . . . af) Gauss-Jordan Soorten stelsel Parameter Behoud steeds één vergelijking (de spilrij) en zorg dat alle Oefening elementen in de spilkolom onder de spil zelf 0 worden. Er ontstaat zo een bovendriehoek.

27. O PLOSSING DOOR DE METHODE VAN G AUSS MM001 H1.   2x + y − z = 1 (V1 ) Overzicht 3x + y − z = 3 (V2 ) Lineair 5x − y − 3z = 0 (V3 )  Lineariteit De rechte Kwadratisch Stelsels  Deﬁnitie  2 x +y −z = 1 (V1 = V1 ) Betekenis Substitutie −y + z = 3 (V2 = 2V2 − 3V1 ) Combinatie −7y − z = −5 (V3 = 2V3 − 5V1 )  Gauss Gauss-Jordan Soorten stelsel Parameter  Oefening  2x + y − z = 1 (V1 = V1 ) -1 y + z = 3 (V2 = V2 ) 8z = 26 (V3 = −V3 + 7V2 ) 

30. O PLOSSING DOOR DE METHODE VAN G AUSS MM001 H1. Overzicht Lineair Lineariteit De rechte Kwadratisch 1 13 (x, y , z) = (2, , ) Stelsels Deﬁnitie 4 4 Betekenis Substitutie Combinatie Gauss Betekenis: uniek snijpunt van drie vlakken in de ruimte. Gauss-Jordan Soorten stelsel Parameter Oefening

31. O PLOSSING DOOR DE METHODE VAN G AUSS MM001 H1. Overzicht Lineair Lineariteit De rechte Kwadratisch 1 13 (x, y , z) = (2, , ) Stelsels Deﬁnitie 4 4 Betekenis Substitutie Combinatie Gauss Betekenis: uniek snijpunt van drie vlakken in de ruimte. Gauss-Jordan Soorten stelsel Parameter Oefening

32. O PLOSSING DOOR DE METHODE VAN G AUSS -J ORDAN MM001 H1. Overzicht D EFINITIE Lineair Lineariteit Pas per iteratie één van de volgende operaties toe: De rechte 1 Verwissel twee vergelijkingen Kwadratisch Stelsels 2 Vermenigvuldig één vergelijking met een getal ∈ R0 Deﬁnitie Betekenis 3 Tel een veelvoud van een andere vergelijking op (of Substitutie Combinatie trek . . . af) Gauss Gauss-Jordan Soorten stelsel Behoud steeds één vergelijking (de spilrij) en zorg dat alle Parameter elementen in de spilkolom onder en boven de spil zelf 0 Oefening worden. Er ontstaat zo een hoofddiagonaal van elementen.

33. O PLOSSING DOOR DE METHODE VAN G AUSS -J ORDAN MM001  H1.  2x +y −z = 1 (V1 ) Overzicht 3x +y −z = 3 (V2 ) 5x −y −3z = 0  Lineair (V3 ) Lineariteit De rechte Kwadratisch Stelsels  Deﬁnitie  2x +y −z = 1 (V1 = V1 ) Betekenis Substitutie Combinatie 0x -1 y +z = 3 (V2 = 2V2 − 3V1 ) 0x −7y −z = −5 (V3 = 2V3 − 5V1 ) Gauss  Gauss-Jordan Soorten stelsel Parameter Oefening   −2x +0y +0z = −4 (V1 = −V1 − V2 ) 0x −1y +z = 3 (V2 = V2 ) 0x + 8 z = 26 (V3 = −V3 + 7V2 )  +0y

36. O PLOSSING DOOR DE METHODE VAN G AUSS -J ORDAN MM001 H1. Overzicht Lineair  Lineariteit De rechte  −16x +0y +0z = −32 (V1 = 36V1 + 4V3 ) Kwadratisch 0x −8y +0z = −2 (V2 = 36V2 − 10V3 ) 0x +0y +8z = 26 (V3 = V3 )  Stelsels Deﬁnitie Betekenis Substitutie Combinatie 1 13 Gauss Gauss-Jordan (x, y , z) = (2, , ) Soorten stelsel 4 4 Parameter Oefening Betekenis: uniek snijpunt van drie vlakken in de ruimte.

39. S OORTEN STELSELS MM001 H1. D EFINITIE Twee identieke vergelijkingen herleiden we naar één Overzicht vergelijking. Lineair Lineariteit De rechte Kwadratisch D EFINITIE Stelsels Stel: aantal vergelijkingen = m, aantal onbekenden = n, Deﬁnitie Betekenis dan geldt (meestal) Substitutie Combinatie Gauss 1 m = n ⇒ unieke oplossing. Gauss-Jordan Soorten stelsel Parameter 2 m>n⇒ oplossing. Oefening 3 n > m ⇒ ∞ oplossingen. 2x +y −z = 1 3x y +z = 3

40. S OORTEN STELSELS MM001 H1. D EFINITIE Twee identieke vergelijkingen herleiden we naar één Overzicht vergelijking. Lineair Lineariteit De rechte Kwadratisch D EFINITIE Stelsels Stel: aantal vergelijkingen = m, aantal onbekenden = n, Deﬁnitie Betekenis dan geldt (meestal) Substitutie Combinatie Gauss 1 m = n ⇒ unieke oplossing. Gauss-Jordan Soorten stelsel Parameter 2 m>n⇒ oplossing. Oefening 3 n > m ⇒ ∞ oplossingen. 2x +y −z = 1 3x y +z = 3

41. S TELSELS MET PARAMETER MM001 H1. Overzicht D EFINITIE Lineair Lineariteit Bepaal parameter(s) opdat ons stelsel De rechte Kwadratisch 1 een unieke oplossing Stelsels 2 oplossing Deﬁnitie Betekenis Substitutie 3 ∞ oplossingen Combinatie Gauss Gauss-Jordan heeft. Soorten stelsel Parameter Oefening x +2y = 1 2x +ky = 2

42. S TELSELS MET PARAMETER MM001 H1. Overzicht D EFINITIE Lineair Lineariteit Bepaal parameter(s) opdat ons stelsel De rechte Kwadratisch 1 een unieke oplossing Stelsels 2 oplossing Deﬁnitie Betekenis Substitutie 3 ∞ oplossingen Combinatie Gauss Gauss-Jordan heeft. Soorten stelsel Parameter Oefening x +2y = 1 2x +ky = 2

43. C OMBINATIEOEFENING MM001 H1. G EGEVEN : Overzicht drie punten: A(1, 3), B(5, 1), C(2, 7) Lineair Lineariteit De rechte G EVRAAGD : Kwadratisch 1 stel de vergelijking op van de rechten AB, AC en BC Stelsels Deﬁnitie Betekenis 2 teken de driehoek ABC Substitutie Combinatie 3 zoek de vergelijking van de drie hoogtelijnen van ABC Gauss Gauss-Jordan 4 zoek het snijpunt van deze drie hoogtelijnen Soorten stelsel Parameter Ter info: hoogtelijnen = lijn door een hoekpunt en ⊥ de Oefening overstaande zijde (zie H. 3) O PLOSSING :

Math: systems (Dutch)

Recommended

Recommended

More Related Content

Featured

Featured (20)

Math: systems (Dutch)