ACADÉMIE DE PARIS            UNIVERSITÉ PARIS 7 JUSSIEU                            – Denis Diderot –                      ...
"Ce qui est simple est toujours faux. Ce qui ne l’est pas est inutilisable."                         Paul Valéry
Table des matièresI    Fondements de la physique sur le cône de lumière                                                 11...
7 Calculs à l’ordre 2                                                                                   63  7.1    Contrai...
C Calculs numériques                                                                       119  C.1 Optimisation du coupla...
Remerciements    Je tiens en tout premier lieu à adresser mes plus vifs remerciements à Pierre Grangé, Directeurde Recherc...
à mes parents.
Notations et conventions≡            égal par définitiongµν          métrique minkowskienneηµν          métrique du cône de...
Introduction                                                       "Pour l’essentiel, ce point de vue subsiste encore     ...
domaines non pertubatifs, impossibles à atteindre en quantification conventionnelle. Beaucoupde progrès ont été réalisés [6...
Première partieFondements de la physique sur le       cône de lumière
Chapitre 1Les formes de la dynamiquerelativiste                                     "Working with a front is a process tha...
CHAPITRE 1. LES FORMES DE LA DYNAMIQUE RELATIVISTE   Un choix habituel consiste à dire que τ est le temps propre de la par...
1.1. DYNAMIQUE RELATIVISTE DU POINT   L’hamiltonien canonique est même nul :                                         Hc ≡ ...
CHAPITRE 1. LES FORMES DE LA DYNAMIQUE RELATIVISTE                                                      2       2    L’ham...
1.2. LES FORMES DE DIRAC                              M oi = K i génèrent les boosts,                              M ij = ...
CHAPITRE 1. LES FORMES DE LA DYNAMIQUE RELATIVISTE                             Pi       = pi                 M ij    =   x...
1.3. LA FRONT FORMcompliquent un peu l’opération. Il est plus simple de suivre la méthode Dirac qui consiste à in-troduire...
CHAPITRE 1. LES FORMES DE LA DYNAMIQUE RELATIVISTE                                          Cône et front de lumière    Co...
1.3. LA FRONT FORM   Le caractère antidiagonal de (1.10) dans les indices + et − a pour effet, lors du passagedes coordonné...
CHAPITRE 1. LES FORMES DE LA DYNAMIQUE RELATIVISTE                                      P+      = Po + P3                 ...
1.3. LA FRONT FORM                                             {F 1 ,F 2 } =       0                                      ...
CHAPITRE 1. LES FORMES DE LA DYNAMIQUE RELATIVISTE                                             24
Chapitre 2 La théorie quantique des champs sur le cône de lumière                                                         ...
CHAPITRE 2. LA THÉORIE QUANTIQUE DES CHAMPS SUR LE CÔNE DE LUMIÈRE                                                      1 ...
2.2. UNE THÉORIE SINGULIÈRE    L’hamiltonien primaire s’écrit :                                    H1 (x+ ) = HC (x+ ) +  ...
CHAPITRE 2. LA THÉORIE QUANTIQUE DES CHAMPS SUR LE CÔNE DE LUMIÈRE    En utilisant (2.5) et (2.7) on trouve les crochets f...
2.3. QUANTIFICATION DU CHAMP LIBRE   d’où :                        +∞ dk+ +∞ dk− θ(k− )          −                 i   + −...
CHAPITRE 2. LA THÉORIE QUANTIQUE DES CHAMPS SUR LE CÔNE DE LUMIÈRE   En faisant le changement k − → −k − et k + → −k + dan...
Chapitre 3Le problème du vide                                                      "Aucune affirmation ne me semble plus cap...
CHAPITRE 3. LE PROBLÈME DU VIDE    P + génèrent les translations longitudinales :                   P + ,Φ(x+ ,x⊥ ) = −∂ +...
3.2. SECTEUR DU VIDE, SECTEUR DES PARTICULES    Les résultats physiques finals étant obtenus par passage à la limite L → ∞ ...
CHAPITRE 3. LE PROBLÈME DU VIDE                          d                            GQ (x − y) = QL (x,y) ∗ [PL + QL (x,...
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Quelques aspects de la quantification des théories de champs scalaire quantifiées sur le cône de lumière.

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Thèse Quantification sur cône de lumière

  1. 1. ACADÉMIE DE PARIS UNIVERSITÉ PARIS 7 JUSSIEU – Denis Diderot – THÈSE présentée à l’Université Paris 7 Jussieu en cotutelle avec l’Université de Regensburg pour obtenir le diplôme de DOCTORAT SPECIALITÉ: Physique Théorique. Formation Doctorale: Champs, Particules, Matière Aspects de la quantification des théories de champs scalaires sur le cône de lumière par Stéphane SALMONS Soutenue le 8 DECEMBRE 2000 à Montpellier devant le jury composé de :M. Pierre Grangé D.R. CNRS Directeur de thèseM. Ernst Werner Professeur Emérite Co-directeur de thèseM. Thomas Heinzl Professeur Assistant RapporteurM. Jean-François Mathiot D.R. CNRS RapporteurM. Vladimir Braun Professeur ExaminateurM. Bertrand Delamotte C.R. CNRS Examinateur
  2. 2. "Ce qui est simple est toujours faux. Ce qui ne l’est pas est inutilisable." Paul Valéry
  3. 3. Table des matièresI Fondements de la physique sur le cône de lumière 111 Les formes de la dynamique relativiste 13 1.1 Dynamique relativiste du point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2 Les formes de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3 La Front Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 La théorie quantique des champs sur le cône de lumière 25 2.1 L’algèbre de Poincaré pour les champs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2 Une théorie singulière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3 Quantification du champ libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 Le problème du vide 31 3.1 La nature du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.2 Secteur du vide, secteur des particules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.3 Résolution des équations aux modes zéros : exemple de la théorie φ4 1+1 . . . . . . 35II L’approche continue de la quantification sur le cône de lumière 374 Les bases de la formulation continue 39 4.1 Quantification et régularisation du champ libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.2 Développement du champ en interaction en série de Haag . . . . . . . . . . . . . 425 Le commutateur de Pauli-Jordan 45 5.1 Evaluation à x+ = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 5.2 Evaluation pour x+ quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476 Calculs à l’ordre 1 57 6.1 Contraintes et régularisation des divergences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 6.2 Caractéristiques de la transition de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
  4. 4. 7 Calculs à l’ordre 2 63 7.1 Contraintes et équation du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 7.1.1 L’équation du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 7.1.2 La contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 7.2 Résolution approchée des équations du mouvement et des contraintes . . . . . . . 66 7.3 Calcul de la constante de couplage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 7.4 Fonction β1 (g) et comparaison avec les théories critiques . . . . . . . . . . . . . . 69 7.5 Comparaison avec les résultats des théories critiques . . . . . . . . . . . . . . . . 70 7.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71III La théorie des champs ϕ4 O(N) sur le cône de lumière. 738 Développement de la théorie φ4 O(N ) quantifiée par intégrales de chemin 75 8.1 Mise en forme de la fonctionnelle génératrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 8.2 Algorithme pour la détermination des diagrammes contribuant aux fonctions de corrélation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 8.3 Développement diagrammatique de la fonction à un point . . . . . . . . . . . . . 81 8.4 Développement diagrammatique de la fonction à deux points . . . . . . . . . . . 829 Vers la quantification de la théorie φ4 O(N ) sur le cône de lumière 87 9.1 Contrainte et équations du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 9.2 Résolution de l’équation du mouvement libre et quantification . . . . . . . . . . . 89 9.3 Calculs des champs d’ordre supérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 9.3.1 Champs à l’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 9.3.2 Champs à l’ordre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 1 9.4 Fonctions de corrélation à l’ordre N2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 9.4.1 Fonctions à un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 9.4.2 Fonction à deux points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 9.5 Indications sur la phase brisée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96A L’ algorithme de Dirac-Bergmann 99 A.1 Théories régulières et singulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 A.2 La procédure de Dirac-Bergmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 A.3 La classification des contraintes selon Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 A.4 Formulation pour une théorie de champ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106B Evaluation des éléments de matrice 109 + + B.1 Calcul de l’élément de matrice < q1 |ϕ2 ϕ2 |q2 > 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 B.2 Approche formelle systématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
  5. 5. C Calculs numériques 119 C.1 Optimisation du couplage effectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 C.2 Calcul du couplage réduit de Parisi pour l’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122D Application pour le calcul des fonctions de corrélation 125E Publications 153
  6. 6. Remerciements Je tiens en tout premier lieu à adresser mes plus vifs remerciements à Pierre Grangé, Directeurde Recherche CNRS, pour m’avoir proposé de collaborer avec lui sur ce sujet de recherchepassionnant et original. Je lui suis particulièrement reconnaissant pour son soutien et ses conseilsavisés, et aussi pour m’avoir montré le long chemin de la persévérance. Je voudrais exprimer également ma très grande gratitude à Ernst Werner, Professeur àl’Université de Ratisbonne, pour m’avoir encadré en faisant preuve d’une disponibilité de chaqueinstant. Pendant mes fructueux séjours à Ratisbonne, j’ai pu apprécier sa compétence ainsi queson sens de l’hospitalité. Je voudrais remercier André Neveu, Directeur de Recherche CNRS et directeur du Labo-ratoire de Physique Mathématique et Théorique, ainsi que l’ensemble des chercheurs et dupersonnel de cette unité, pour m’avoir accueilli et avoir fait le nécessaire pour que je puisse ytravailler dans des conditions idéales. Ma gratitude va également à Thomas Heinzl, Professeur Assistant à l’université d’Iéna, pourl’intérêt qu’il a porté à mes recherches et pour m’avoir fait profiter de son expertise. Je tiens à remercier aussi les étudiants en thèse du laboratoire pour les longues et enrichis-santes discussions de physique que nous avons partagées dans la complicité : Pascal Basheilac,Malik Bezouh, Tarek Nassar, Yan Mambrini, Marius Iacomi et Damien Reynaud. Merci également à Dominique Caron, Ingénieur, qui a réussi l’exploit de me réconcilier avecles arcanes de l’informatique en faisant toujours preuve d’une bonne humeur revigorante. Je voudrais aussi dire l’extrême importance des personnes qui m’ont formé tout au long demon apprentissage. Merci à René Boulangeon et à Noël Chornet pour m’avoir donné le goûtde la science et de la rigueur. Merci aussi à mes maîtres d’université : Frédéric Géniet, LouisCecchi, respectivement Maître de Conférences et Professeur à l’Université de Montpellier II,Alain Laverne, Maître de Conférences à l’Université de Paris 7, Bernard Diu, Françoise Balibaret Luc Valentin, Professeurs à l’Université Paris 7, ainsi que Bertrand Delamotte, Chargé deRecherches au CNRS et Pierre Binétruy, Professeur à l’Université Paris XI. Tous à un niveauou à un autre ont contribué au plaisir intense de la découverte et de la pratique de la physique. J’adresse une pensée pleine de tendresse et d’émotion à Anne pour m’avoir accompagné etsupporté pendant ces années. Son soutien dans les moments difficiles a été capital. Enfin et surtout, je voudrais exprimer ma gratitude infinie aux personnes sans lesquelles pasun mot de cette thèse n’aurait vu le jour. Aux personnes qui m’ont ébloui par la perfection deleur présence tout au long de ma vie. Pour leur sensibilité, leur délicatesse et leur intelligence,pour leur présence irremplaçable, que ce travail leur soit dédié.
  7. 7. à mes parents.
  8. 8. Notations et conventions≡ égal par définitiongµν métrique minkowskienneηµν métrique du cône de lumièreωp ≡ (po )2 − (pi )2 énergie sur couche de masse dans le cas minkowskien (p⊥ )2 +m2ξ− ≡ p+ énergie sur couche de masse sur le cône de lumièrepof f ≡ (p− ,p+ ,p⊥ ) [ou (po ,pi )], impulsion hors couche de masse (“off-shell”)pon ≡ (ξ − ,p+ ,p⊥ ) [ou (ωp ,pi )], impulsion sur couche de masse (“on-shell”) x,y M ≡ xo y o − xi y i produit scalaire minkowskien x,y CL ≡ 1 x+ y − + 1 x− y + − x⊥ y ⊥ produit scalaire du cône de lumière (dans la convention 2 2 de Brodsky-Lepage)   1 si x > 0sgn(x) fonction signe de x, = −1 si x < 0  0 si x = 0   1 si x > 0θ(x) fonction échelon de x, = 0 si x < 0  1 2 si x = 0CLP(AP) Conditions aux Limites Périodiques (Anti-Périodiques)La lettre x représentera indifféremment la variable x unidimensionnelle, le quadruplet de co-ordonnées (xo ,x1 ,x2 ,x3 ), ou (x+ ,x− ,x⊥ ), selon le contexte. On utilisera le mot classique poursignifier non quantique et conventionnelle pour qualifier la quantification dans l’Instant Form.Enfin toutes les sommations seront effectuées dans la convention d’Einstein.
  9. 9. Introduction "Pour l’essentiel, ce point de vue subsiste encore aujourd’hui et forme le dogme central de la théorie quantique des champs : la réalité essentielle est un ensemble de champs soumis aux lois de la relativité restreinte et de la mécanique quantique ; tout le reste n’est qu’une conséquence de la dynamique quantique de ces champs." Steven Weinberg Une des tâches essentielles de la physique théorique du vingtième siècle a été d’élaborer unethéorie rassemblant le principe de relativité d’Einstein avec ceux de la mécanique quantique.Le résultat, la Théorie Quantique des Champs, est le fondement actuel du Modèle Standard dela physique des particules. De façon plus inattendue, elle permit aussi de grands progrès dansla compréhension de la physique statistique, notamment pour les phénomènes critiques. Sonélément central, le champ quantique, est en effet un objet qui permet de décrire des interactionsà nombre infini de degrés de liberté, ce qui est nécessaire dans la théorie relativiste, où l’équiva-lence masse-énergie implique un nombre de particules indéterminé, mais aussi dans les modèlesdécrivant les phénomènes critiques. Le processus de quantification, dans sa version canonique par principe de correspondance,s’effectue à partir de la formulation hamiltonienne, en faisant correspondre aux crochets de Pois-son, les commutateurs des variables canoniques, considérées comme des q-nombres. Dans cetteoptique, l’élaboration d’une théorie quantique ET relativiste demande donc comme préalableune formulation hamiltonienne de la dynamique relativiste. En 1945 Dirac [12] montre que,contrairement au cas classique, une telle formulation n’est pas unique. A côté de la formulationconventionnelle, qu’il nomme Instant Form, coexistent deux autres formulations (on montreraplus tard [38] qu’il en existe en fait cinq) : la Front Form et la Point Form. Dans l’Instant Form,la surface des conditions initiales est l’hyperplan t=cte, dans la Point Form c’est un hyperbo-loïde de révolution, et dans la Front Form il s’agit d’un hyperplan tangent au cône de lumière.Ces formulations sont équivalentes mais elles présentent des particularités très différentes. Bien que l’essentiel de la Théorie Quantique des Champs se soit développé dans le cadre del’Instant Form, des recherches sont poursuivies depuis Dirac pour bâtir une TQC quantifiée surle cône de lumière (LCQ) (c’est-à-dire dans la Front Form). La question de savoir si l’équivalencede ces formulations survit au processus de quantification est une question encore ouverte. L’enjeuest de taille car l’une des propriétés essentielles de la LCQ est la trivialité de l’état fondamentalde l’hamiltonien en interaction, c’est-à-dire l’état du vide, ce qui simplifie considérablementles calculs. Mais cette médaille semble avoir un bien sombre revers puisque alors, dira-t-on, laLCQ ne pouvant pas décrire un autre vide que le vide trivial, restera cantonnée au domaineperturbatif. En fait la LCQ semble bien capable de décrire un vide non trivial, du moins dansles théories de champs scalaires, où le phénomène de brisure spontanée de symétrie à été décritavec succès [26] [1] [48]. La structure du vide ne pouvant se trouver dans le ket fondamental, elleapparaît en fait dans les opérateurs de mode zéro du champ, qui dépendent des autres modespar une ou des relations aussi complexes que l’hamiltonien en interaction. Cette situation estcaractéristique de la LCQ : elle semble bien décrire la même physique que la TQC conventionnellemais par des concepts, des méthodes et des calculs très différents. L’objectif ultime affiché deces recherches est une formulation consistante de QCD sur le cône de lumière, avec l’espoir queles simplifications apportées sur l’état fondamental de l’hamiltonien permettent de décrire des
  10. 10. domaines non pertubatifs, impossibles à atteindre en quantification conventionnelle. Beaucoupde progrès ont été réalisés [60] [33] [19] [47] [7] mais le but n’est pas encore atteint. Notre travail se situe dans le cadre plus restreint de la théorie scalaire φ4 , qui est bien connuedans l’Instant Form et qui permet donc des comparaisons entre les deux formulations. La déter-mination des modes zéros des champs est une étape essentielle. Des tentatives ont été effectuées,en utilisant une approximation de champ moyen. Cette thèse s’inscrit dans la continuité de re-cherches qui visent à obtenir une expression des modes zéros par d’autres moyens dans le butd’obtenir des résultats non perturbatifs. La première méthode étudiée utilise un développementen série de Haag associé à un traitement des champs au sens des distributions. Cette méthodepermet en outre un traitement satisfaisant des divergences infrarouges et ultraviolettes et nousa permis d’éclaircir la nature de la limite entre la description discrète et la description continuesur l’exemple de la fonction de Pauli-Jordan. Nous avons également obtenu des résultats dansl’étude de la transition de phase qui se comparent avantageusement avec ceux des méthodesconventionnelles. Le deuxième procédé étudié consiste à rajouter à la théorie φ4 une symétrieinterne O(N) pour permettre un développement des modes zéros en série de 1/N. Nos travauxcomplètent et précisent ceux déjà effectués dans ce domaine, notamment en ce qui concerne leschamps et les propagateurs. Néanmoins l’étude de la transition de phase dans ce formalismereste à mener.
  11. 11. Première partieFondements de la physique sur le cône de lumière
  12. 12. Chapitre 1Les formes de la dynamiquerelativiste "Working with a front is a process that is unfamiliar to physicists. But still I feel that the mathematical simplification that it introduces is all-important. I consider the method to be promising and have recently been making an extensive study of it. It offers new opportunities, while the familiar instant form seems to be played out." P.A.M. Dirac (1977)1.1 Dynamique relativiste du point En guise d’introduction à la Front Form nous allons examiner le cas de la dynamique relati-viste d’une particule ponctuelle libre. Son action a une origine géométrique, c’est la longueur de son histoire, prise entre deuxévénements fixes A et B : S = −m ds A→B √où ds est l’abscisse curviligne : ds = gµν xµ xν = (xo )2 − (xi )2 Pour faire apparaître un lagrangien, il faut introduire un paramètre d’évolution τ , généra-lement interprété comme étant le temps : τB dxo 2 dxi 2 S = −m dτ ( ) −( ) τA dτ dτ Il paramétrise l’histoire de la particule xo = xo (τ ) et xi = xi (τ ). Le lagrangien associé à cechoix de paramètre s’écrit donc : Lτ (xo ,xi ) = −m (xo )2 − (xi )2 ˙ ˙ où le point désigne la dérivation par rapport à τ . La propriété essentielle pour la suite est que cette action est invariante sous changement deτ (on dit qu’elle est invariante sous reparamétrisation) : τ = f (τ ) ⇒ S = S avec τA = τA et τB = τB 13
  13. 13. CHAPITRE 1. LES FORMES DE LA DYNAMIQUE RELATIVISTE Un choix habituel consiste à dire que τ est le temps propre de la particule, soit : dτ = ds µ ce qui permet de définir une 4-vitesse (puisque ds est un scalaire de Lorentz alors uµ ≡ dx est dτbien un 4-vecteur). Ce choix n’est cependant pas adapté à une formulation lagrangienne de ladynamique puisqu’il définit comme “lagrangien” Lτ = −m . Un autre choix possible est le temps de l’observateur τ = xo pour lequel le lagrangien s’écrit : dxi Lxo = −m 1 − dxo Dans le cas général les équations du mouvement s’écrivent : d xµ ˙ =0 dτ (xo )2 − (xi )2 ˙ ˙ soit xµ (xν .xv ) − xµ (¨v .xv ) = 0 ¨ ˙ ˙ ˙ x ˙ Sur ces quatre équations seules trois sont indépendantes. On constate en outre que la hessienne ∂2L m2 Wµv ≡ µ ∂ xv =− σ [gµv (xσ .xσ ) − xµ xv ] ˙ ˙ ˙ ˙ ∂x ˙ ˙ (x .xσ ) ˙ ˙ est de rang 3. Il y a une valeur propre nulle xµ Wµv = 0 ˙ Le lagrangien est donc singulier. Le passage à la formulation hamiltonienne nécessite l’utili-sation de l’Algorithme de Dirac-Bergmann (DBA). 1 Les moments conjugués de xµ sont : ∂L xµ ˙ − pµ ≡ µ) = m√ (1.1) ∂(x ˙ x2 ˙ (où le signe moins est conventionnel et x2 ≡xν .xv ) ˙ ˙ ˙ Ces quatre moments sont liés par une contrainte (comme l’indique le rang trois de la hes-sienne) qui n’est autre que la relation de couche de masse : pµ .pµ = 0 L’inversion des relations (1.1) donne pi o xi (τ ) = ˙ x (τ ) ˙ po qui ne dit rien sur xo . ˙ Comme dans la formulation lagrangienne il y a une indétermination. 1. Cf. appendice A. On peut aussi utiliser tout autre méthode adaptée comme, par exemple, celle de Fadeev-Jackiw [16] qui présente l’avantage de traiter directement les contraintes secondaires. 14
  14. 14. 1.1. DYNAMIQUE RELATIVISTE DU POINT L’hamiltonien canonique est même nul : Hc ≡ −pµ xµ − L = 0 ˙ Tout ceci est caractéristique des actions invariantes sous reparamétrisation. Utilisons DBA : La relation de couche de masse définit une contrainte primaire : θ(τ ) ≡ p2 − m2 (1.2) et l’hamiltonien primaire s’écrit : H1 = u(τ ).θ(τ ) où u(τ ) est un multiplicateur de Lagrange. On constate immédiatement que θ(τ ) est unecontrainte de première classe : {θ(τ ),θ(τ )} = 0 ˙ et donc la condition de consistance θ(τ ) = 0 ne permet pas la détermination de u(τ ). Leséquations d’Hamilton, encore indéterminées à ce stade, s’écrivent : xµ = {xµ ,H1 } = −2u(τ )pµ ˙ pµ = {pµ ,H1 } = 0 ˙ Pour déterminer u(τ ) et fixer la dynamique il faut imposer une condition subsidiaire (ou dejauge) sur les variables dynamiques et sur τ : Ω(xµ ,τ ) = 0 Sa relation de consistance s’écrit : ˙ ∂Ω Ω(τ ) ≡ + {Ω,H1 } = 0 ∂τ et on en tire : ∂Ω 1 u(τ ) = ∂Ω ∂τ 2 ∂xσ pσ On voit qu’il est crucial que Ω dépende à la fois de τ et au moins de l’un des xσ . Cette condition subsidiaire exprime donc le paramètre d’évolution en fonction des coordon-nées et correspond à un choix de paramétrisation. On peut l’écrire sous la forme : Ω(xµ ,τ ) = τ − F (xµ ) (1.3) Dans le cas conventionnel elle s’écrit simplement : Ω(xµ ,τ ) = τ − xo 1 qui donne u(τ ) = − 2po 15
  15. 15. CHAPITRE 1. LES FORMES DE LA DYNAMIQUE RELATIVISTE 2 2 L’hamiltonien primaire est alors 2 H1 = − p 2po −m et les équations d’Hamilton : i p xi = {xi ,H1 } = po ˙ i i p = {p ,H1 } = 0 ˙1.2 Les formes de Dirac La dynamique relativiste d’une particule est donc engendrée pour partie par la contrainteprimaire (1.2) et pour partie par la condition subsidiaire (1.3). La première contient l’informationdynamique et la seconde fixe le paramètre d’évolution. Dirac s’est demandé combien de choixpossibles il y avait pour cette condition Ω. Choisir un paramètre de temps revient à fixer lasurface sur laquelle on exprime les conditions initiales. De fait, à chaque Ω correspond unefoliation de l’espace de Minkowski paramétrée par τ = F (xµ ) = cte. A une surface donnéecorrespond un temps unique fixé (dans le cas habituel τ = xo , il s’agit bien sûr des hyperplansde genre espace orthogonaux à l’axe xo ) , une métrique et un système de coordonnées naturel. Appelons ξ i (xµ ) les trois coordonnées qui paramétrisent notre surface et ξ o (xµ )≡ τ le temps.Alors ∂xµ ∂xν α β ds = gµν dxµ dxν = gµν dξ dξ ∂ξ α ∂ξ β où ∂xµ ∂xν ηαβ ≡ gµν (1.4) ∂ξ α ∂ξ βest la métrique naturelle pour ces coordonnées (ηij est la métrique de la surface τ = F (xµ ) = cte). Pour être acceptables les surfaces initiales doivent respecter la condition de causalité suivante:couper toutes les lignes d’univers, une seule et unique fois. En outre toute formulation de ladynamique relativiste doit engendrer une représentation du groupe de Poincaré en termes de sesvariables dynamiques. Ces conditions sont très restrictives et Dirac a montré [12] qu’il n’existeque trois sortes de surfaces qui la respectent 3 : l’Instant Form, la Point Form et la Front Form. Laquestion se pose de savoir quelle est la meilleure surface initiale, donc la meilleure formulation dela dynamique relativiste. Il n’y a pas de réponse absolue à cette question et chaque formulationsemble jouir d’avantages et d’inconvénients selon les situations auxquelles on l’applique. Cependant on s’attend à ce que la dynamique d’un système relativiste soit la plus simplepossible si le nombre de générateurs du groupe de Poincaré qui font évoluer le système hors de lasurface intiale est minimum. On appelle ces générateurs les générateurs dynamiques, puisqu’ilscontiennent les informations sur l’interaction. Les autres, qui forment un groupe, dit de stabilité,laissent invariante la surface initiale et sont appelés générateurs cinématiques. Une transformation de Poincaré s’écrit : µν 1 ωµν +P µ aµ U (ωµν ,aµ ) = e− 2 M où M µν et P µ sont les générateurs : p 2. Cet hamiltonien est équivalent à l’hamiltonien habituel Hp = (pi )2 + m2 (on vérifie qu’il engendre lesmêmes équations d’Hamilton). Pour l’obtenir, il suffit de considérer la contrainte sous la forme (équivalente) p pθ = po − (pi )2 + m2 ≈ 0. Alors u(τ ) = −1 et H1 ≡ uθ = −po + (pi )2 + m2 . Comme xo = τ n’estplus une variable dynamique, sa variable conjuguée po se comporte comme une constante et n’est plus unevariable dynamique (la dérivation par rapport à po disparaît des crochets de Poisson). L’écriture la plus simple pde l’hamiltonien est bien H1 = (pi )2 + m2 . 3. En fait Leutwyler et Stern [38] ont montré plus tard qu’il en existait 2 de plus. Il y a donc 5 formespour la dynamique relativiste mais, à notre connaissance, ces deux dernières formes n’ont pas (encore?) trouvéd’utilisation pratique. 16
  16. 16. 1.2. LES FORMES DE DIRAC M oi = K i génèrent les boosts, M ij = ijk J k génèrent les rotations, et P µ génèrent les translations d’espace-temps et ωµν et aµ sont les paramètres. Les tenseurs M µν et ωµν étant antisymétriques et de mêmestructure. Ces générateurs obéissent à l’algèbre de Lie du groupe de Poincaré : [P µ ,P ν ] = 0 [M µν ,P ρ ] = g νρ P µ − g µρ P ν (1.5) [M µν ,M ρσ [ = g µσ M νρ + g νρ M µσ − g µρ M νσ − g νσ M µρ Une réalisation simple de cette algèbre à l’aide des variables dynamiques est : P µ ≡ pµ , et M µν ≡ xµ pν − xν pµ (1.6) avec {xµ ,pν } = −g µν (1.7) Cette réalisation est triviale dans le sens où elle ne décrit aucune interaction et ne représenteaucun choix de paramétrisation. Une transformation infinitésimale s’écrit : 1 δU (ωµν ,aµ ) = − M µν δωµν + P µ δaµ 2 et l’action de δU sur une fonction scalaire F (xµ ) est : δF = {F,δU } = ∂ ν F ∂(δU ) ∂pν = −xµ ∂ ν F.δωµν + ∂ ν F.aν 1 = − 2 (xµ ∂ ν − xν ∂ µ )F.δωµν + ∂ µ F.aµ (1.8) Examinons à présent les 3 formes de Dirac. L’INSTANT FORM C’est la formulation conventionnelle de la dynamique relativiste. Paramètre d’évolution : τ ≡ xo Surface intiale : Σ : xo = 0 Coordonnées naturelles : xµ (coordonnées lorentziennes) La métrique naturelle est bien sûr la métrique minkowskienne :   1  −1  gµν =    (1.9) −1 −1 Représentation du groupe de Poincaré Pour bâtir la représentation du groupe de Poincaré engendrée par l’Instant Form nous devonsajouter dans (1.6) l’information sur la dynamique (1.2) et sur le choix de l’Instant Form (1.3).Cela revient à éliminer la variable po dans (1.6) et à prendre xo = 0. On obtient : 17
  17. 17. CHAPITRE 1. LES FORMES DE LA DYNAMIQUE RELATIVISTE Pi = pi M ij = xi pj − xj pi Po = ωp M io = xi ωp avec ωp ≡ (pi )2 + m2 Groupe de stabilité : L’action d’une tranformation de Poincaré (1.8) sur la surface initiale F (xµ ) ≡ xo donne : δF = {F,δU } = −xi δωio + δao On lit sur cette relation les générateurs dynamiques : – l’hamiltonien : P o – les 3 boosts : K 1 , K 2 , K 3et les générateurs cinématiques: – les 3 translations d’espace : P 1 , P 2 , P 3 – les 3 rotations : J 1 , J 2 , J 3Le groupe de stabilité est donc de dimension 6. LA POINT FORM √ σ Paramètre d’évolution : τ = x xσ Surface initiale : Σ : (xo )2 − (x1 )2 − (x2 )2 − (x3 )2 = cte. Il s’agit des hyperboloïdes derévolution centrés autour du point 0 4 . Ils sont entièrement contenus à l’intérieur du cône delumière et respectent la condition de causalité, excepté pour le cas τ = 0, où l’hyperboloïde seréduit au cône de lumière qui n’est pas une surface acceptable. Pour éviter cela on choisit τ > 0. Coordonnées naturelles : Les coordonnées naturelles sont les coordonnées hyperboliques : x0 = τ chω x1 = τ shωsinθcosϕ x2 = τ shωsinθsinϕ x3 = τ shωcosϕ De (1.4) et (1.9) on tire la métrique locale de l’hyperboloïde :   1 0 0 0  0 −τ 2 0 0     0 0 −τ 2 sh2 ω 0  0 0 0 −τ 2 sin2 θsh2 ω Représentation du groupe de Poincaré : On pourrait, de la même façon que précédem-ment, éliminer dans (1.6) la variable dynamique associée à τ , mais les coordonnées hyperboliques √ 4. On pourrait, en définissant τ = x2 − a2 , centrer ces hyperboloïdes autour de tout autre point. 18
  18. 18. 1.3. LA FRONT FORMcompliquent un peu l’opération. Il est plus simple de suivre la méthode Dirac qui consiste à in-troduire dans (1.6) la contrainte (1.2) avec des multiplicateurs de Lagrange λµ et λµν qui serontdéterminés en demandant que les crochets de Poisson de P µ et M µν avec xσ xσ soient nuls: Pµ = pµ + λµ (pσ pσ − m2 ) M µν = xµ pν − xν pµ + λµν (pσ pσ − m2 ) Il vient : xµ λµ = − et λµν = 0 2(pσ xσ ) et donc xµ Pµ = pµ − σ 2(pσ xσ ) (p pσ − m2 ) M µν = xµ pν − xν pµ Générateurs et groupe de stabilité : On lit directement sur la représentation précédenteque les rotations et les boosts sont cinématiques dans la Point Form, ce qui n’est pas surprenant √puisque les surfaces initiales Σ : τ = xσ xσ = cte sont des scalaires sous le groupe de Lorentz.C’est d’ailleurs là le principal avantage de la Point Form. Les 4 moments P µ sont dynamiques,le groupe de stabilité est donc de dimension 6, comme dans l’Instant Form. L’autre avantagede la Point Form est que la séparation entre générateurs cinématiques et dynamiques respectele caractère tensoriel de ces quantités rendant les équations transparentes à ce point de vue.Cependant les coordonnées hyperboliques rendent la quantification particulièrement difficile etpeu de travaux ont été effectués [17] [56] dans cette forme de la dynamique relativiste.1.3 La Front Form C’est la formulation dans laquelle on va se placer dans toute la suite de ce travail. Paramètre d’évolution : On choisit comme axe temps l’axe τ ≡ xo + x3 . C’est l’une desgénératrices du cône de lumière. Surface intiale : La surface correspondante a pour équation : Σ : xo − x3 = 0. C’est l’hyper-plan tangent au cône de lumière et orthogonal (au sens minkowskien) à l’axe xo + x3 = 0. Onl’appelle parfois le “front de lumière” 5 . La condition de causalité n’est pas pleinement satisfaitepour les particules de masse nulle, puisque leurs histoires sont contenues dans le front de lumière.On peut donc s’attendre (et c’est ce qui arrive) à avoir des problèmes pour formuler sur le cônede lumière les théories à masses nulles. Dans la suite on s’intéressera seulement aux théoriesmassives. 5. Le choix de τ ≡ xo +x3 comme paramètre d’évolution est purement conventionnel. On pourrait pareillementchoisir τ ≡ xo − x3 et Σ : xo + x3 = 0. Notre choix est cependant le plus répandu dans la littérature. 19
  19. 19. CHAPITRE 1. LES FORMES DE LA DYNAMIQUE RELATIVISTE Cône et front de lumière Coordonnées naturelles : Les coordonnées naturelles de la Front Form sont celles du cône de lumière :   1 0 0 1  0 1 0 0  xµ = C µνxν avec C µν ≡  CL  0 0 1 0   1 0 0 −1On notera   1 1 2 0 0 2  0 1 0 0  Cµν ≡ [C −1 ]νµ =   0  0 1 0  1 2 0 0 −12 En pratique 6 : xo CL = xo + x3 ≡ x+ x1 CL = x1 x2 CL = x2 x2 CL = xo − x3 ≡ x− Les composantes inchangées x1 , x2 , notées collectivement xi ou x⊥ , sont dites transverses,tandis que la composante x− est dite longitudinale 7 . La métrique induite s’obtient à partir de (1.4) et de (1.9):  1  0 0 0 2  0 −1 0 0  ηµν =  0  (1.10) 0 −1 0  1 2 0 0 0 et conduit au produit scalaire 1 + − 1 − + x.y = x y + x y − x⊥ y ⊥ 2 2 6. L’indice CL sera sous-entendu partout où on utilisera les indices +, ⊥ , et −. Ainsi par exemple xo = x+ . CLPar ailleurs on notera que ce système de coordonnées n’est plus lorentzien puisque le déterminant de C est -2. 7. Ces appellations proviennent du «référentiel de moment infini» («infinite momentum frame»). Voir plusloin. 20
  20. 20. 1.3. LA FRONT FORM Le caractère antidiagonal de (1.10) dans les indices + et − a pour effet, lors du passagedes coordonnées contravariantes aux coordonnées covariantes, de changer aussi la nature de lacomposante : x+ = 1 x− 2 x− = 1 x+ 2 Ceci est particulièrement important pour les opérateurs différentiels, puisque : ∂ 1 ∂ 1 ∂ − = ∂x− = 2 ∂x+ = 2 ∂+ ∂ ∂ ∂− = ∂x− = 2 ∂x+ = 2∂ + ne dérivent pas par rapport à la même variable. C’est pour cela que les équations dynamiquessur le cône de lumière ont une structure différente de celles de l’Instant Form. D’autre part ledéveloppement du produit scalaire : 1 + − 1 − + p.x = p x + p x − p⊥ x⊥ 2 2 montre que si x+ est la coordonnée de temps alors c’est p− , c’est-à-dire la quatrième com-posante du 4-vecteur p, qui est l’énergie du système. Représentation du groupe de Poincaré Dans les coordonnées du cône de lumière la contrainte (1.2) s’écrit : (p⊥ )2 + m2 p− = (1.11) p+ Cette relation se différencie de son analogue dans l’Instant Form sur plusieurs points : – absence de racine carrée – p+ et p− sont de même signe – discontinuité en p+ = 0qui suggèrent que la physique sur le cône de lumière doit s’exprimer de façon radicalementdifférente. Nous reviendrons sur ces points dans la suite. On peut aussi remarquer que la limitedes grandes énergies p− peut s’obtenir avec de grands p⊥ , mais aussi avec de petits p+ , ce quia des conséquences majeures sur la renormalisation et constitue la base des travaux de Wilsonsur l’application du groupe de renormalisation aux théories sur le cône de lumière [63] De (1.11) et de (1.6), et en prenant x+ = 0, on tire la représentation du groupe de Poincaré : P+ = p+ M −+ = x− p+ P⊥ = p⊥ M ⊥+ = x⊥ p+ P− = − ξp M ⊥− = x⊥ ξp − x− p⊥ − (1.12) et M 12 = x p − x2 p1 1 2 − (p⊥ )2 +m2 avec ξp ≡ p+ Générateurs et groupe de stabilité : Ecrivons les générateurs dans les coordonnées du cône de lumière : µ µν PCL = C µνP ν, MCL = C µαM αβ C νβdonne : 21
  21. 21. CHAPITRE 1. LES FORMES DE LA DYNAMIQUE RELATIVISTE P+ = Po + P3 P− = Po − P3 P⊥ = P 1, P 2 M +1 = J2 + K1 ≡ E1 M +2 = −J 1 + K 2 ≡ E2 M +− = −2K 3 M −1 = −J 2 + K 1 ≡ F1 M −2 = J1 + K2 ≡ F2 M 12 = J3 L’action de ces générateurs sur la surface intiale Σ : x+ = 0 est, d’après (1.8) : δF = {F,δU } = −2x⊥ δω⊥− + 2δa− où on lit les générateurs dynamiques : – l’hamiltonien P − – les M ⊥− , c’est-à-dire F 1 et F 2 qui génèrent les rotations autour des directions transverseset les générateurs cinématiques 8 : – Les 3 translations d’espace P + , P 1 , P 2 – les M ⊥+ , c’est-à-dire E 1 et E 2 qui génèrent les boosts dans les directions transverses – M 12 , c’est-à-dire J 3 le générateur des rotations autour de l’axe longitudinal – M +− , c’est-à-dire −2K 3 le générateur des boosts dans la direction longitudinale.C’est donc dans la Front Form que le groupe de stabilité, de dimension 7, est maximal. Quelques propriétés du groupe de Poincaré sur le cône de lumière : Un boost longitudinal est un simple changement d’échelle. La représentation matricielle deK 3 dans une base lorentzienne étant   0 0 0 1  0 0 0 0  [KLz ]µ ν =  3  0 0  0 0  1 0 0 0 on en déduit sa représentation sur le cône de lumière :   1 0 0 0  0 0 0 0  [KCL ]µ ν = Cα ν [KLz ] C β ν =  3 3  0  0 0 0  0 0 0 −1 Si on considère deux systèmes de coordonnées reliés par un boost longitudinal de rapidité ω 1 3 µ, soit x µ = e− 2 ω(−2[KCL ] ν )xν , on obtient : x+ = eωx+ x− = e−ωx− Ainsi le comportement du système dans un tel boost est particulièrement simple. On peut ànouveau remarquer que seule la surface x+ = 0 est invariante. A l’aide de (1.12) et de (1.7) on peut calculer sans difficulté les relations de commutation(cf. tableau ci-après). On voit apparaître plusieurs structures : – J 3 , F 1 et F 2 forment un sous-groupe : 8. Le générateur K 3 n’est cinématique que si l’on choisit explicitement x+ = 0 , à l’exclusion de tout autreconstante, contrairement aux autres générateurs cinématiques qui le restent pour toute surface du type x+ = cte. 22
  22. 22. 1.3. LA FRONT FORM {F 1 ,F 2 } = 0 {J 3 ,F i } = ij Fj – K 3 , E 1 , et E 2 forment un sous-groupe du groupe de stabilité : {E 1 ,E 2 } = 0 {K 3 ,E i } = Ei – P i , P − , P + E i ,et J 3 constituent un sous-groupe isomorphe au groupe de Galilée à 1+1 dimensions : {J 3 ,E i } = ij E i {J 3 ,P i } = ij P i {E i ,P − } = −2P i {E i ,P j } = −δ ij P + avec tous les autres crochets de Poisson qui sont nuls. On peut vérifier l’isomorphisme enidentifiant P − à l’hamiltonien, P i aux deux générateurs des translations d’espace, J 3 à la rota-tion, E i aux deux boosts galiléens et P + à la masse qui est l’opérateur de Casimir. L’existencede ce sous-groupe galiléen laisse supposer qu’on va retrouver dans la dynamique sur le cône delumière certains aspects de la dynamique galiléenne. Et c’est effectivement ce qui se passe. Onpeut montrer [58] [32] que dans un système de particules en interaction sur le cône de lumière, lemouvement relatif découple du mouvement global du centre de masse, exactement comme dansle cas non relativiste. P− P+ P1 P2 E1 E2 J3 K3 F1 F2 − P 0 0 0 0 2P 1 2P 2 0 P− 0 0 P+ 0 0 0 0 0 0 0 −P + 2P 1 2P 2 P1 0 0 0 0 P+ 0 −P 2 0 P− 0 P2 0 0 0 0 0 P+ P1 0 0 P− E1 −2P 1 0 −P + 0 0 0 −E 2 −E 1 2K 3 −2J 3 E2 −2P 2 0 0 −P + 0 0 E1 −E 2 2J 3 2K 3 J3 0 0 P2 −P 1 E2 −E 1 0 0 F2 −F 1 K3 −P − P+ 0 0 E1 E2 0 0 −F 1 −F 2 F1 0 −2P 1 −P − 0 2K 3 −2J 3 −F 2 F1 0 0 F2 0 −2P 2 0 −P − 2J 3 −2K 3 −F 1 F2 0 0 Groupe de Poincaré sur le cône de lumière : le rectangle gris foncé est le groupe de stabilité, le rectangle en gris clair (chevauchant le précédent) est le sous-groupe galiléen. 23
  23. 23. CHAPITRE 1. LES FORMES DE LA DYNAMIQUE RELATIVISTE 24
  24. 24. Chapitre 2 La théorie quantique des champs sur le cône de lumière "Qu’exige la lumière? Que tu t’y perdes." Vilhelm Ekelund 2.1 L’algèbre de Poincaré pour les champs Dans la suite on va considérer une théorie d’un champ scalaire φ(x) dotée d’une interaction V (φ) sans terme dérivatif: 1 µ 1 L≡ ∂ φ∂µ φ − m2 φ2 − V (φ) (2.1) 2 2 Suite à l’invariance de Poincaré de ce lagrangien on sait, par application du théorème de Noether, qu’il existe 2 “courants conservés” : ∂Lsquare le tenseur énergie-impulsion T µν ≡ ν ∂(∂µ φ) ∂ φ − η µν L = ∂ µ φ∂ ν φ − η µν Lsquare et le tenseur boost-angulaire J ρµν ≡ T ρν µ x − T ρµ xν dont les intégrales à travers une surface initiale Σ : τ = F (x) sont les “charges conservées”: Pµ ≡ ΣT µν dσν M µν ≡ ΣJ ρµν dσρ qui obéissent à l’algèbre de Lie du groupe de Poincaré. Plaçons-nous sur le cône de lumière : 1 + 1 1 L≡ ∂ φ∂− φ − (∂ ⊥ φ)2 − m2 φ2 − V (φ) (2.2) 2 2 2 donne l’équation du mouvement: δV (φ) (∂ + ∂ − + m2 )φ = − (2.3) δφ L’élément de surface de la surface Σ : τ = x+ = 0 s’écrit : 25
  25. 25. CHAPITRE 2. LA THÉORIE QUANTIQUE DES CHAMPS SUR LE CÔNE DE LUMIÈRE 1 − 2 ⊥ dσµ = dx d x nµ 2   1  0  avec nµ ≡  vecteur normal à Σ . On obtient pour les générateurs :  0  0 1 Pµ = 2 T µ+ dx− d2 x⊥ 1 M µν = 2 (T +ν xµ − T +µ xν )dx− d2 x⊥ Dans le cas du champ libre (V = 0 ) on obtient explicitement : 1 P+ = 2 dx− d2 x⊥ (∂ + φ)2 1 P⊥ = 2 dx− d2 x⊥ [∂ + φ∂ ⊥ φ] 1 P− = 2 dx− d2 x⊥ [(∂ ⊥ φ)2 + m2 φ2 ] 1 J3 = 2 dx− d2 x⊥ ∂ + [x1 ∂ 2 φ − x2 ∂ 1 φ] 1 K3 = 4 dx− d2 x⊥ x− (∂ + φ)2 1 Ei = 2 dx− d2 x⊥ xi (∂ + φ)2 1 Fi = 2 dx− d2 x⊥ xi [(∂ ⊥ φ)2 + m2 φ2 ] − x− ∂ + φ∂ i φ2.2 Une théorie singulière A partir de maintenant, on va se placer à 1+1 dimensions. Le terme cinétique du lagrangien ∂φ(2.2) est linéaire dans les vitesses ∂x+ = 1 ∂ − φ et cela signifie que le lagrangien est singulier 1 . 2Le référentiel du cône de lumière ne peut donc pas être approché par une suite de référentiels deLorentz dont on ferait tendre l’impulsion p3 vers l’infini 2 . Une telle limite est discontinue puisquedans tout référentiel lorentzien le lagrangien (2.1) demeure régulier : les structures simplectiquessont différentes. Historiquement c’est cependant par ce biais que de nombreuses recherches ontcommencé, notamment avec Weinberg [62] et Susskind [58] . Il faut donc utiliser l’algorithme de Dirac-Bergmann pour construire la dynamique. Le mo-ment conjugué du champ est : ∂L Π≡ ∂φ = ∂+φ ∂( ∂x+ ) qui est indépendant de ∂ − φ et engendre la contrainte primaire : θ(x) = Π(x) − ∂ + φ(x) ≈ 0 (2.4) 2 δ L 1. La hessienne est identiquement nulle : W (x,y) = δ[∂ − φ(x)]δ[∂ − φ(y)] =0 2. On considère un référentiel lorentzien, qu’on appelle référentiel de moment infini, se déplaçant selon l’axe 3 ox3 à vitesse v par rapport à celui du laboratoire. On a p3 F = p +vp2 . Dans la limite v → 1 l’impulsion IM √ 1−vlongitudinale p3 F devient infinie et la description du mouvement s’effectue en unité de α ≡ p3 + vp0 qui reste IMfini. Dans cette limite du ”moment infini”, α s’identifie à l’énergie p− sur le cône de lumière. 26
  26. 26. 2.2. UNE THÉORIE SINGULIÈRE L’hamiltonien primaire s’écrit : H1 (x+ ) = HC (x+ ) + dy µ(y)θ(y) où Hc est l’hamiltonien canonique 1 2 HC = dx− m φ(x)2 + V (φ(x)) 2 Sachant que + + δθ(x) δφ(z) = − δ(∂ φ(x)) δφ(z) = −∂ (δφ(x)) δφ(z) = + −∂x δ(x − z) (2.5) δθ(x) δΠ(z) = δ(x − z) on obtient pour la matrice des contraintes primaires : − − C(x,y) = ∂y δ(y − x) − ∂x δ(x − y) C’est un opérateur différentiel dont l’action sur une fonction f quelconque est : ∂f (x) dy C(x,y)f (y) = −4 ∂x−La condition de consistance s’écrit : ˙ θ(X) = {θ(x),H1 } = {θ(x),HC (x+ )} + dyC(x,y)µ(y) soit ∂ 1 µ(x) = B(x) (2.6) ∂x− 4 avec B(x) ≡ −{θ(x),HC (x+ )}. La forme de C(x,y) montre que l’unique contrainte θ(x) estde deuxième classe. L’équation (2.6) est effectivement soluble 3 et C(x,y) admet pour inverse : 1 C −1 (x,y) = − sgn(x− − y − ) 4 d’où 1 µ(x) = − dy − sgn(x− − y − )B(x+ ,y − ) 4 La dynamique est alors entièrement déterminée par les crochets de Dirac : {A(x),B(y)}∗+ =y+ x = {A(x),B(y)}x+ =y+ + 1 dzdw{A(x),θ(z)}x+ =z+ sgn(z − − w− ){θ(w),B(y)}w+ =y+ 4 (2.7) 1 3. La solution la plus générale est en fait : C −1 (x,y) = − 4 sgn(x− − y − ) + g(x+ ), où g(x+ ) est une fonctionarbitraire que nous prenons ici nulle. Elle peut être déterminée par un choix de conditions aux limites. 27
  27. 27. CHAPITRE 2. LA THÉORIE QUANTIQUE DES CHAMPS SUR LE CÔNE DE LUMIÈRE En utilisant (2.5) et (2.7) on trouve les crochets fondamentaux : 1 {φ(x),φ(y)}∗ + =y+ x = − 4 sgn(x− − y − ) 1 ∂ {Π(x),Π(y)}∗ + =y+ x = 4 ∂x− δ(x − − y−) (2.8) 1 {φ(x),Π(y)}∗ + =y+ x = 2 δ(x − − y−) Les deux premiers crochets, non nuls, indiquent qu’il existe une relation causale entre deuxchamps pris à temps égaux. Cette situation contraste avec la dynamique conventionnelle dansles référentiels de Lorentz, mais n’est pas étonnante puisque la surface des temps égaux est icijustement de genre lumière. Ces résultats ont été obtenus par d’autres auteurs, avec d’autresméthodes, dans des contextes différents. Notamment, en étudiant l’invariance par translation lelong du plan xo +x3 = 0, Neville et Rohrlich [43] trouvent aussi un facteur 1 dans le commutateur 2[φ(x),Π(y)] = 1 δ(x− − y − ). 2 Signalons un autre aspect du caractère singulier de la théorie : le problème de Cauchy estmal posé. A priori la connaissance des conditions initiales sur les surfaces caractéristiques del’équation hyperbolique (2.3), par exemple x+ = 0 et x− = 0, est nécessaire pour en déterminercomplètement les solutions. Or dans la Front Form la quantification est réalisée sur l’hyperplanx+ = 0, en faisant correspondre les crochets (2.8) à des commutateurs. Pour satisfaire auxcritères du problème de Cauchy il faudrait aussi quantifier le champ sur la surface x− = 0,comme l’ont noté plusieurs auteurs [43] [55] [31], ce qui a pour inconvénient d’introduire undeuxième temps et d’obscurcir ainsi l’élaboration d’une formulation hamiltonienne. Néanmoins, Heinzl et Werner [31] ont montré que la valeur du champ sur la surface x− = 0pouvait s’exprimer entièrement en fonction de celle sur x+ = 0, pourvu que l’on introduise desconditions aux limites périodiques, levant ainsi l’apparente ambiguïté dans la formulation duproblème de Cauchy.2.3 Quantification du champ libre La contrainte (2.4) étant de seconde classe, la quantification est réalisée en remplaçant lescrochets de Dirac dans (2.8) par les commutateurs et en élevant les champs fondamentaux φet Π au rang d’opérateurs 4 . Dans le cas du champ libre V ≡ 0, l’équation du mouvement estl’équation de Klein-Gordon sur le cône de lumière : (∂ + ∂ − + m2 )φ(x) = 0 soit dans l’espace de Fourier 5 : (−4k + k − + m2 )φ(k) = 0 avec +∞ dk + dk − + − − + φ(x) = φ(k)e−i(k x +k x ) −∞ (2π)2 Il existe donc une distribution φ(k) telle que φ(k) = δ(4k + k − − m2 )φ(k) 4. L’autre approche possible, la quantification par intégrale de chemin des systèmes singuliers, a été étudiéepar Senjanovic [54]. 5. Le facteur 4 vient des facteurs 1 dans la métrique. 2 28
  28. 28. 2.3. QUANTIFICATION DU CHAMP LIBRE d’où : +∞ dk+ +∞ dk− θ(k− ) − i + − − + φ(x) = 0 2π −∞ 2π |k+ | δ(k − − ξk )φ(k + ,k − )e− 2 (k x +k x ) 0 + +∞ − − + − − + + −∞ dk −∞ dk θ(−k | ) δ(k − − ξk )φ(k + ,k − )e− 2 (k x +k x ) − i 2π 2π |k+ −La différence avec la résolution en coordonnées de Minkowski est, qu’ici, l’énergie on-shell ξk ≡ 2m +k+ dépend du signe de k , d’où la séparation en deux intégrales ci-dessus. On obtient : +∞ dk+ 1 + − − 2 (ξk x+ +k+ x− ) i − φ(x) = 0 2π k+ φ(k ,ξk )e +∞ dk+ 1 + − 2 (ξk x+ +k+ x− ) i − + 0 2π k+ φ(−k , − ξk )e après avoir changé k + en −k + dans la deuxième intégrale. En posant comme prescription de quantification, pour k + > 0 : − φ(k + ,ξk ) 2(2π)k + φ(k+ ,ξk ) − √ 2πk+ → ak φ(−k+ ,−ξk ) − √ 2πk+ → a† k avec ak ,a† q = δ(k + − q + ) on vérifie les commutateurs fondamentaux (2.8) et on obtient : +∞ 1 1 i on i on φ(x) = √ dk + √ a† e 2 k k .x + ak e − 2 k .x (2.9) 2π 0 k+ On voit apparaître, outre la divergence ultraviolette déjà présente en quantification conven-tionnelle, une divergence infrarouge en k + → 0. Schleider et Seiler [51], ainsi que Maskawa etYamawaki [40] [42], ont montré qu’il était impossible de définir de façon consistante les opé-rateurs ak et a† en y incluant le point k + = 0 6 . Longtemps on a considéré cette divergence kcomme une singularité supplémentaire qui venait s’ajouter à la divergence ultraviolette. Nousmontrerons dans la deuxième partie qu’il n’en est rien. Il est instructif de construire un propagateur de Feynman à partir de l’expression (2.9). Pourcela on utilise le produit chronologique T + qui ordonne les opérateurs selon les x+ croissants .i∆F (x−y) ≡< 0|T + φ(x)φ(y)|0 >= θ(x+ −y + ) < 0|φ(x)φ(y)|0 > +θ(y + −x+ ) < 0|φ(y)φ(x)|0 > (2.10) A l’aide de la représentation intégrale de la fonction θ: +∞ + + + + i e−iw(x −y ) θ(x − y ) = lim →0 dw (2.11) 2π −∞ w+i −et après avoir fait le changement de variable : w = k − − ξk on obtient : +∞ dk− +∞ dk+ e−i[k− (x+ −y+ )+k+ (x− −y− )] ∆F (x − y) = −∞ 2π 0 2π − k+ [k− −ξk +i ] +∞ dk− +∞ dk+ e−i[k− (y+ −x+ )+k+ (y− −x− )] (2.12) + −∞ 2π 0 2π k+ [k− −ξ − +i ] k 6. L’exclusion de la valeur k + = 0 dans la définition des opérateurs ne modifie cependant pas l’intégralepuisque c’est un point de mesure nulle. 29
  29. 29. CHAPITRE 2. LA THÉORIE QUANTIQUE DES CHAMPS SUR LE CÔNE DE LUMIÈRE En faisant le changement k − → −k − et k + → −k + dans la seconde intégrale on obtientfinalement : +∞ dk− −ikof f (x−y) +∞ dk+ 1 0 dk+ 1 ∆F (x − y) = −∞ 2π e 0 2π k+ [k− −ξ − +i ] + −∞ 2π −k+ [−k− +ξ − +i ] k k +∞ d2 k e−kof f (x−y) = −∞ (2π)2 k2 −m2 +i qui est bien l’expression manifestement covariante du propagateur de Feynman. Cependantle calcul pour en arriver là est différent du calcul habituel du propagateur de Feynman. Cettesituation est typique de la physique sur le cône de lumière : il semble toujours possible deconstruire les mêmes quantités physiques qu’en quantification conventionnelle mais au prix demanipulations mathématiques différentes. Ici on peut noter que dans (2.12) il n’y a qu’un seul −pôle en k − = ξk , identique dans les deux intégrales. Cela est à rapprocher des résultats obtenuspar Weinberg [62] dans le contexte du référentiel de moment infini : dans l’Ancienne Théorie desPerturbations 7 , les graphes associés à la création et à l’annihilation de particules à partir duvide (les graphes en “Z” voir figure ci-après) ont une contribution nulle 8 . Tout ceci suggère que la théorie covariante des perturbations sur le cône de lumière ne semblepas différente de son analogue conventionnelle et, effectivement, cette équivalence a été établiedepuis longtemps [8] et plus récemment [52]. La situation est légèrement différente dans le casdes fermions où il apparaît des termes instantanés supplémentaires [52]. La question se posemaintenant : comment apparaît la physique non-perturbative sur le cône de lumière? 7. Littéralement : Old-Fashioned Perturbation Theory. Développement non covariant où les propagateurs ont 1un dénominateur d’énergie : E −E +i et les graphes sont orientés dans le temps. 1 2 8. Posons y + = 0 pour simplifier. Alors (2.10) contient une fonction θ(x+ )θ(k + ) = θ(x+ k + ), très différentede son analogue conventionnelle θ(xo k o ). Chaque ligne porte donc x+ > 0 ,k + > 0 ou bien x+ < 0, k + < 0(antiparticule) et avec la conservation de k + aux vertex, les graphes en Z sont impossibles. 30
  30. 30. Chapitre 3Le problème du vide "Aucune affirmation ne me semble plus capitale que celle-ci: le vide n’est pas vide.Le vide est le siège de manifestations physiques des plus violentes." John A.Wheeler3.1 La nature du problème La formulation axiomatique de la théorie quantique des champs [2] suppose les propriétéssuivantes sur le spectre des générateurs de Poincaré : P 2 ≥ 0 et P o ≥ 0 (3.1) La première inégalité exclut les solutions à masse imaginaire de type tachyon et la secondeindique que le spectre de l’opérateur d’énergie, générant l’évolution dans le futur, doit se trouverdans le demi-cône de lumière positif. Ces propriétés, naturelles en quantification conventionnelle,ont ici des conséquences majeures. De (3.1) on tire : (P o )2 − (P 3 )2 ≥ (P ⊥ )2 ≥ 0 soit P o ≥ |P 3 | Pour l’impulsion longitudinale sur le cône de lumière P + ≡ P o + P 3 ≥ |P 3 | + P 3 soit P+ ≥ 0 La composante P + est bornée inférieurement. Aucune supposition n’est faite sur la dyna-mique pour arriver à ce résultat. Ainsi, sur le cône de lumière, un état physique quelconque |Ψ >a donc un moment longitudinal positif ou nul : < Ψ|P + |Ψ >≥ 0 Considérons le champ scalaire Φ en interaction, pris au temps x+ = 0 pour simplifier. Ilpeut se développer en termes d’opérateurs de créations et d’annihilations généralisés dits de“quasi-particule” A† (k + ,k ⊥ ) et A(k + ,k ⊥ ) tels que : 1 1 + x− −k⊥ x⊥ ) A(k + ,k ⊥ ) ≡ dx− dx⊥ Φ(x− ,x⊥ )ei( 2 k (2π)2 31
  31. 31. CHAPITRE 3. LE PROBLÈME DU VIDE P + génèrent les translations longitudinales : P + ,Φ(x+ ,x⊥ ) = −∂ + Φ soit P + ,A(k + ,k ⊥ ) = −k + A(k + ,k ⊥ )Pour un état quelconque |q + ,q ⊥ > on en déduit : P + A(k + ,k ⊥ )|q + ,q ⊥ >= (q + − k + )A(k + ,k ⊥ )|q + ,q ⊥ > D’où A(k + ,k ⊥ )|q + ,q ⊥ > est état propre de P + avec la valeur propre q + − k + , on peut l’écrire|(q − k + ),(q ⊥ − k ⊥ ) >. Appliquons ceci au vide |ω > de la théorie en interaction qui, pour +satisfaire à l’invariance de Poincaré, doit s’écrire |q + = 0,q ⊥ = 0 >: A(k + ,k ⊥ )|ω >= | − k + , − k ⊥ >= 0 puisque que le spectre de P + est borné inférieurement par 0. Ainsi sur le cône de lumièrel’état fondamental de l’hamiltonien en interaction n’a pas de structure et s’identifie avec l’étatfondamental de l’hamiltonien libre 1 ’ 2 : |ω >= |0 > Cet état de fait a longtemps fait croire que la quantification sur le cône de lumière n’étaitpas capable de décrire les phénomènes physiques liés à un vide complexe tels que la brisurespontanée de symétrie, les solutions solitoniques, le confinement des quarks dans QCD, et plusgénéralement l’ensemble des effets non perturbatifs reliés au vide. Cela semblait notammentremettre en cause le théorème de Coleman qui affirme que les symétries du vide sont les symétriesde l’hamiltonien en interaction (puisque sur le cône de lumière le ket fondamental est le mêmepour tous les hamiltoniens ! ). Cette question a été résolue par Heinzl et al. [25] à la fin desannées 80. Pour cela il faut revenir à l’algorithme de Dirac-Bergmann et au traitement de ladivergence infrarouge.3.2 Secteur du vide, secteur des particules Dans le milieu des années 80 Brodski et Pauli [44] ont proposé une version discrétisée de laquantification sur le cône de lumière appelée DLCQ 3 , généralisant ainsi les idées de Maskawaet Yamawaki [40], qui a été appliquée à l’étude des états liés en QED et QCD avec un certainsuccès [46]. L’idée de départ consistait à se placer dans une boîte [−L, + L], avec les conditionsaux limites périodiques (CLP), pour obtenir une discrétisation des impulsions + 2nπ kn = n∈Z L − m2 m2 L ξn ≡ + = kn 2nπ et à traiter la divergence infrarouge de (2.9) par soustraction du “mode zéro” n = 0 . +∞ 1 1 nπx− m2 Lx+ nπx− m2 Lx+ ϕ(x) = √ √ a† ei( L + 4nπ ) + an e−i( L + 4nπ ) n 4π n=1 n 1. Voir [37] pour une discussion complète. 2. On peut aussi s’en convaincre par l’argument heuristique suivant : pour un système de particules (de massenon nulle) en interaction, les impulsions s’ajoutent ; or, on sait que pour chacune d’elles k + ≥ 0 et k − =m2 +(k⊥ )2 k+ .Il est donc impossible de construire pour ce système un état qui ait à la fois une énergie non nulle etun k + totalnul, c’est-à-dire un vide non trivial (à l’exception du cas non physique d’une énergie infinie). 3. Discretized Light Cone quantization 32
  32. 32. 3.2. SECTEUR DU VIDE, SECTEUR DES PARTICULES Les résultats physiques finals étant obtenus par passage à la limite L → ∞ à la fin descalculs. 4 Mais l’utilisation des conditions aux limites périodiques modifie les conditions d’inversion de dla relation (2.6). En effet le spectre de dx devient discret et le noyau de l’application C n’est pasvide : il contient les fonctions constantes. On peut choisir comme base de l’espace fonctionnel les iπnx−fonctions propres de dx− , soit { √1 e L , n ∈ Z} , et dans ce cas : d 2L d Ker dx− = V ect{ √1 } 2L d iπnx− Im dx− = V ect{ √1 e 2L L , n ∈ Z ∗} où V ectE désigne l’espace vectoriel engendré par E 5 . Il est utile de représenter les projecteursP et Q définis à l’appendice A à l’aide de la base précédente 6 : 1 d PL = 2L projette sur Ker dx iπn(x−y) 1 d QL (x,y) = 2L n=0 e L projette sur Im dx qui vérifient bien les propriétés (A.8), notamment : +∞ inπ(x−y) PL + QL (x,y) = e L = δ(x − y) (3.2) n=−∞ ˙ L’équation de consistance θ ≈ 0 (2.6) mène donc à la contrainte 7 θ3 ≡ PL ∗ B(x) ≈ 0 (3.3) et à l’équation dynamique d 1 µQ (x) = − QL (x,y) ∗ B(y) (3.4) dx 4 en notant ∗ la multiplication pour les opérateurs (pour une fonction f quelconque, fP (x) ≡ 1 LP ∗ f (x) = 2L −L dx− f (x) et fQ (x) ≡ (1 − P ) ∗ f (x)). On résout cette dernière équation encalculant sa fonction de Green. En projetant d G(x − y) = δ(x − y) (3.5) dx dsur Im dx− on obtient 4. Nous montrerons dans la suite que cette limite est hautement non triviale. dµ(x) 5. En effet dx− = 0 donne µ(x) = µo constante, telle que µ(−L) = µ(L). 6. La discrétisation des impulsions n’est pas obligatoire pour représenter les opérateurs P et Q. Toute suite defonctions δ dont la limite → 0 tend vers la distribution de Dirac δ peut être utilisée pour définir le projecteurP. Par exemple :  1 pour k + = 0 P (k + ) = lim 1 →0 PL (k + ) = L 0 pour k + = 0 sin(k+ L) PL (k + ) ≡ k+ L Voir [27] pour plus de détails. 7. La projection de la contrainte primaire θ donnant lieu à : θ2 = P ∗θ =P ∗Π≈0 θ1 = Q ∗ θ = Q ∗ (Π − ∂ + φ) ≈ 0 qui n’ont pas d’intérêt dans la suite. 33
  33. 33. CHAPITRE 3. LE PROBLÈME DU VIDE d GQ (x − y) = QL (x,y) ∗ [PL + QL (x,y)] = QL (x,y) dx De (3.5) et (3.2) on tire +∞ iπn(x−y) 1 e L G(x − y) = = sgn(x − y) 2 n=−∞ inπ d’où iπn(x−y) 1 e L GQ (x − y) = (1 − PL )G(x − y) = 2 inπ n=0 soit 1 GQ (x − y) = sgn(x − y) − (x − y) 2Let donc 1 1 µQ (x) = − dy sgn(x − y) − (x − y) B(y) 4 2Loù on lit l’inverse de la matrice des contraintes 1 1 C −1 (x,y) = − sgn(x − y) − (x − y) 4 2L et on trouve 1 1 [φ(x),φ(y)] x+ =y+ = − sgn(x − y) − (x − y) 4 2L Il est intéressant de noter que ce qui différencie ce commutateur de (2.8) est simplement lasoustraction du point k + = 0 dans le discret, mais qu’à la limite du continu L → ∞ elle devientlocalement nulle. Dans cette limite la fonction G(x − y) est localement égale à GQ (x − y) maisglobalement elle en diffère radicalement. Il faut donc être prudent en effectuant L → ∞ : si desobjets apparaissent dans la théorie qui s’annulent localement, mais pas globalement, le passageà cette limite doit être réalisé comme toute dernière opération. Il est judicieux de traduire au niveau du champ l’action des opérateurs P et Q . On définit : Q ∗ φ(x) ≡ ϕ(x) (les modes normaux) P ∗ φ(x) ≡ Ω (le mode z´ro) e L’application du projecteur P sur le champ total φ isole la (ou les) contribution(s) asso-ciée(s) à un moment longitudinal k + nul, caractéristique du vide. A l’inverse le projecteur Qsélectionne toutes les contributions telles que k + = 0 et ϕ représente l’ensemble des excitations àl’exception de celles associées au vide. On est donc amené à définir deux secteurs orthogonaux etcomplémentaires dans toute théorie exprimée sur le cône de lumière : le secteur du vide (obtenupar projection P) et le secteur des particules (obtenu par projection Q). La contrainte (3.3),dans le secteur du vide, est d’une importance capitale : elle exprime le lien entre des quantitésP (Ω ou µP ) et des quantités Q (ϕ ou µQ ), par l’intermédiaire de B(x) qui est associé au termed’interaction du lagrangien. Le mode zéro Ω dépend, à travers la contrainte θ3 , de tous les autresmodes du champ ϕ et ce, avec la complexité de l’hamiltonien en interaction 8 . Grâce à ce schéma, 8. Pour s’en convaincre on peut calculer le crochet de Dirac {ω,ϕ(x)}∗ , à partir des crochets des contraintesθ1 , θ2 et θ3 , et constater non seulement qu’il n’est pas nul , mais qu’il est très complexe. Dans le cas d’une λinteraction 4! φ4 : n R +L o−1 {ω,ϕ(x)}∗ = − 1 2L λ m2 + λ Ω2 + 2L λ −L dyϕ(y)2 2 1 2 2 1 2 R +L 2 −L dyGQ (x − y)[2Ωϕ(y) + ϕ (y)] 34

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