Calculo 2 Unidad 1 contenido

1. Matemática II Stephanie Perdomo
Contenido Unidad 1
1- INTEGRAL DEFINIDA:
La integral definida es un concepto utilizado para determinar el valor de las áreas limitadas por
curvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una
función f (x) que es mayor o igual que 0 en [a, b], se llama integral definida de la función entre los
puntos a y b al área de la porción del plano que está limitada por la función, el eje horizontal OX y
las rectas verticales de ecuaciones x = a y x = b.
La integral definida de la función entre los extremos del intervalo [a, b] se denota como:
Propiedades de la integral definida
La integral definida cumple las siguientes propiedades:
Toda integral extendida a un intervalo de un solo punto, [a, a], es igual a cero.
Cuando la función f (x) es mayor que cero, su integral es positiva; si la función es menor
que cero, su integral es negativa.
La integral de una suma de funciones es igual a la suma de sus integrales tomadas por
separado.
La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la
integral de la función (es decir, se puede «sacar» la constante de la integral).
Al permutar los límites de una integral, ésta cambia de signo.
Dados tres puntos tales que a < b < c, entonces se cumple que (integración a trozos):
Para todo punto x del intervalo [a,b] al que se aplican dos funciones f (x) y g (x) tales que f
(x) £ g (x), se verifica que:
Ilustración gráfica del concepto de integral definida.

2. Teorema del Valor Medio para Integrales
Dada una función "f" continúa en un intervalo cerrado [a, b], existe al menos un valor dentro del
mismo, tal que la derivada de la función evaluada en "c", representa dicho valor promedio,
conocido también como valor medio para integrales.
Teorema Fundamental del Calculo
A grandes rasgos, el Teorema fundamental del Cálculo establece que el Diferencial y la Integral
son inversos, el uno del otro.
Información sobre teorema fundamental del calculo
Sustitución y cambio de Variable
No siempre tendremos una integral que se resuelva directamente aplicando los teoremas de la
integración. Existen expresiones (funciones) que se deben modificar y expresarlas de otra forma,
sin que cambie la expresión integrando, para poder encontrar su antiderivada.
Los cambios de variable se realizan cuando en el integrando existe una expresión que resulta de
derivar otra parte de ella, éstos se complementan mediante aplicación de artificios matemáticos.
2- INTEGRALES DE FUNCIONES TRANSCENDENTALES Y FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Aplicación de Integrales en Funciones Logaritmo Natural
Integrales que generan logaritmos naturales
Propiedades y Graficas
Propiedades del Logaritmo
a. ln(ax)=ln a + ln ê x ê
b. ln ê a/x ê =ln a - ln ê x ê
c. ln ê xn ê =n ln ê x ê
d. ln e =1
En estas propiedades, tanto a como x son positivas, ya que el dominio de la función son todos
los números positivos.
Una característica muy notable en la gráfica, es que el ln x< 0 si 0< x< 1, ln x=0 si
x=1, también lnx>0 si x > 1, para valores de x menores o iguales a cero, no está definida la función.
Su contradominio está definido en todo los reales.

3. 2.1-Derivadas e Integrales Relacionadas con la Función Logaritmo Natural
En este tema encontrarás ejemplos de derivadas e integrales relacionadas con la función
logaritmo natural.
Es aquí donde las propiedades de esta función nos ayudan a simplificar los cálculos, es
decir, se pueden transformar en expresiones más sencillas en particular para aplicar
derivadas a expresiones complejas y para simplificar resultados de las soluciones de
integrales.
Esas propiedades ya son conocidas por el estudiante de este nivel y aquí procederá a
aplicarlas y ver su utilidad.
2.2-La función exponencial. Definición
Se define como la inversa de la función logaritmo natural. Se puede expresar así:
exp.(x) = y sí y solo sí x = ln y ó ex = y sí y solo sí x = ln y. De aquí se deduce que eln x = x ó ax =
exln a
Propiedades
Las propiedades de esta función son las mismas que las de la potenciación:
a) ea eb = e a+b, b) ea / eb = ea-b, c) (ea)b = ea b. Si y = et, entonces y, = et dt
La e t dt = et + C
2.3 - Función Exponencial en Base "a"
Se llama función exponencial de base a aquella cuya forma genérica es f (x) = ax, siendo a
un número positivo distinto de 1. Por su propia definición, toda función exponencial tiene
por dominio de definición el conjunto de los números reales R.
La función exponencial puede considerarse como la inversa de la función logarítmica (ver
t36), por cuanto se cumple que:

4. 2.4-Función Logarítmo con Base "a"
Definición.
Sea a un real positivo fijo, y sea x cualquier real positivo, entonces:
La función que hace corresponder a cada número real positivo su logaritmo en base ,
denotada por ,se llama: función logarítmica de base a, y, el número se
llama logaritmo de x en la base a.
3- Integrales en Funciones Trigonométricas y sus Inversas
Muchas veces requerimos expresar el argumento de una función trigonométrica como
resultado de un problema, para ello lo hacemos mediante la función inversa.
Recordemos que una función tiene inversa si al trazar una recta horizontal sobre ella, la
corta una y sólo una vez, de lo contrario no tiene dicha inversa, a menos que se restrinja su
dominio. Si recordamos la gráfica del seno, una recta horizontal la cortaría en más de un
punto, pero si restringimos su dominio, logramos que la corte en un solo punto.
dx
.- 2 2
= 1/a arctan x/a + C, con a 0
a x
dx
.- = 1/a arcsec x/a +C, con a > 0
2 2
x x a
4-Funciones Hiperbólicas y sus Inversas: Dominio, Rango y Gráficas
Definición Existen muchas gráficas que no las podemos modelar mediante funciones
trigonométricas o curvas de segundo grado debido a que no se ajustan a ninguna de ellas. Una
combinación de la función exponencial, nos representa más esas curvas.
A esta combinación de gráficas de la función exponencial, se le llama funciones
hiperbólicas y tienen ciertas similitudes con las funciones trigonométricas por lo que
reciben el nombre de seno hiperbólico (senhx), coseno hiperbólico (coshx), tangente
hiperbólica (tanghx), secante hiperbólica (sechx) y cosecante hiperbólica (cosechx).

5. 5-Integrales que Incluyen Potencias de las Funciones Trigonométricas
Por lo general las integrales de funciones trigonométricas con exponente 1 ó 2, se resuelven en
forma directa o mediante la aplicación de las respectivas identidades.
Cuando se tienen exponentes mayores a los citados, se han desarrollado técnicas que permiten
convertir estas integrales, en otras más sencillas. A continuación se desarrollan esas
técnicas, según sea el caso que se presente. También se estudia el caso en el cual el integrando
contiene funciones trigonométricas con diferentes argumentos.

6. a. Integración de Potencias del Seno y Coseno.
Integración de Potencias de las Funciones: Tangente, Cotangente, Secante y Cosecante.
Integrales con diferentes argumentos.
Integración de Potencias del Seno y Coseno:
1er caso: sen m x cos n xdx donde al menos “m” y/o “n” es impar: en este caso se hace que el
exponente impar sea par, para poder expresar la función resultante, mediante identidades
trigonométricas, en una función que contenga la derivada de la función original. En este caso la
identidad que se aplica es sen2 x + cos2 x =1.
Ejemplo:
sen 2 x. sen x. dx luego sustituimos por:
(1 cos 2 x ). sen x.dx sen x. dx cos 2 x. sen x. dx
2do Caso: sen m x. cos n x dx , donde “m” y “n” son pares y positivos.
En este caso se utilizan las identidades trigonométricas:
1 cos 2nx 1 cos 2nx
Sen2 nx = y cos2 nx = donde “n” es un entero.
2 2
Las funciones trigonométricas se expresan en una potencia que sea múltiplo de 2.

7. Integración de Potencias de las Funciones Tangentes, Cotangente, Secante y Cosecante.
Para resolver este tipo de integrales se requieren además de las respectivas fórmulas de
integrales, algunas identidades trigonométricas de dichas funciones. Estas identidades son:
1 + tan2 x = sec2 x; 1 + cot2 x = csc2 x.
1er caso: tann x dx o cot n x dx , donde “n” es un entero mayor que cero.
Para resolver este tipo de integral, se convierte
tann x = tann-2 x tan2 x = tann-2 x (sec2 x – 1)
cotn x = cotn-2 x cot2 x = cotn-2 x (csc2 x – 1).
2do caso: sec n x dx ó csc n x dx , con “n” positivo entero y par, podemos escribirla como: secn
x = secn-2 x sec2 x = (tan2 x + 1)(n-2)/2. sec2 x.
cscn x = cscn-2 x csc2x = (cot2 x +1)(n-2)/2 csc2 x.
Integrales de Funciones Trigonométricas con Diferente Argumento
Para resolver este tipo de integral, se requiere el uso de las siguientes identidades
trigonométricas:
sen mx sen nx = 1/2 cos (m - n) x – 1/2 cos (m + n) x
cos mx cos nx = 1/2 cos (m - n) x + 1/2 cos (m + n) x
sen mx cos nx = 1/2 sen (m - n) x + 1/2 sen (m + n) x
Ejemplo III-6:
a) Resolver: = sen 3x cos 5x dx 1/2 sen(3 5) x 1/2 (sen 3 5) x dx
1/2 sen( 2x) 1/2 sen 8x dx 1 / 2 sen 2x dx 1/2 sen 8x dx recordemos que la
función seno es impar por lo tanto sen(-x) = - sen x
= 1/4 cos2x –1/16 cos 8x + C