2. ПЛАН МУЗЕЯ
ПЛАН МУЗЕЯ
СПРАВОЧНОЕ
БЮРО
РУССКИЙ ЗАЛ
ЗАЛ НАУКИ
ЗАЛ ЕВРОПЕЙСКИЙ
ДРЕВНОСТИ ЗАЛ
НАЧАЛО
ЭКСПОЗИЦИИ
выход
выход
3. Закончился двадцатый век .
Куда стремится человек ?
Изучен космос и моря ,
Строенье звезд и вся земля .
Но математиков зовет
Известный лозунг :
«Прогрессия — движение вперед!»
8. Задача Древнего Вавилона
10 братьев, 1 и две трети мины серебра. Брат над
братом поднимается, на сколько поднимается, не
знаю. Доля восьмого 6 шекелей. Брат над братом
– на сколько он выше?
9. Папирус египтянина Ахмеса
« Наставление к приобретению
знания
всех тайных вещей »
(1700-2000 г.г. до Рождества Христова)
10. Задача
из папируса
Ахмеса
«Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя
между 10 мужчинами, чтобы каждый следую-
щий получил на 1/8 меры больше, чем преды-
дущий».
11. Вот формула,
которой пользовались египтяне:
S d
a1 = − (n − 1) ⋅
n 2
Ответ:
1
100 8 = 10 − 9 ⋅ 1 = 10 − 9 = 151 = 9,4375 мер
a1 = − (10 − 1) ⋅
10 2 16 16 16
12. Задача из папируса Ахмеса
В доме было 7 кошек.
Каждая кошка съедает 7 мышей.
Каждая мышь съедает 7 колосьев.
Каждый колос дает 7 растений.
На каждом растении вырастает 7мер зерна.
Сколько всех вместе?
13. Первые из пришедших до нас задач на прогрессии
связаны с запросами хозяйственной жизни и
общественной практики, как, например,
распределение продуктов, деление наследства…
14. Индийский математик
АРИАБХАТА (5 в.)
применял формулы
общего члена и суммы
арифметической
прогрессии.
15. Задача - легенда о шахматной доске
Шахматная игра была придумана в Индии. Когда царь Шерам позна-
комился с нею, он был восхищен ее остроумием и разнообразием воз-
можных в ней положений шахматных фигур. Узнав, что игра была изо-
бретена одним из его подданных, царь призвал его к себе ее изобретателя,
ученого Сету, чтобы достойно вознаградить его. Он сказал, что
достаточно богат, чтобы выполнить любое желание ученого.
Сета попросил царя выдать за первую клетку шахматной доски 1 пше-
ничное зерно, за вторую – 2 зерна, за третью - 4, за четвертую – 8, за
пятую – 16 и т.д.
Сможет ли царь Шерам выполнить желание Сеты?
16. Ответ:
Понятно, что нам придется находить сумму 64 членов геометри-
ческой прогрессии 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + … ,
где b1 = 1, q = 2, n = 64
1(264 − 1)
S 64 = = 264 − 1 = 18.446.744.073.709.551.615 зерен
2 −1
18 квинтиллионов 446 квадриллионов
744 триллиона 73 миллиарда
709 миллионов 551 тысяча 615 зерен
17. Если бы Шераму очень уж захотелось
выполнить желание Сеты, то ему пришлось бы
превратить земные царства в пахотные поля,
осушить моря и океаны, растопить льды и снега,
покрывающие далекие северные пустыни и
засеять все это пространство пшеницей. Тогда,
пожалуй, лет за пять он смог бы расплатиться с
Сетой.
Если бы Сета стал считать зерна и считал
непрерывно день и ночь, отсчитывая по 1 зерну в
секунду, то в первые сутки он отсчитал бы всего
86400 зерен. Даже если бы он всю оставшуюся
жизнь отсчитывал зерна, все равно бы сумел
унести лишь малую часть своей награды.
20. Задача из «Арифметики» Л.Ф.Магницкого
Некто продавал коня и просил
за него 156 руб. Купец сказал,
что за коня запрошена слишком
большая цена. “Хорошо, —
ответил продавец, — возьми
коня даром, а заплати только
за гвозди в его подковах. А
гвоздей во всякой подкове по 6
штук. За первый гвоздь
полушку, за второй гвоздь —
две полушки, за третий гвоздь
— четыре и т.д., за каждый
гвоздь в два раза больше, чем
за предыдущий. Купец же,
думая, что заплатит не более
10 руб., согласился.
Проторговался ли купец?
21. Решение:
1 1
Составим последовательность чисел: ; ; 1; 2; 2 2 ;,2 21.
4 2
Данная последовательность является геометрической прогрессией,
где q =2, n = 24, b1=1/4.
b1q n − b1
По формуле: Sn = ,
q −1
1 24 1
⋅2 −
имеем S 24 = 4 4 = 1 ⋅ 2 24 − 1 = 2 22 − 1 = 4194303 3 ≈ 42000( p )
2 −1 22 4 4 4
22. Л.Ф. Магницкий снабдил решение
этой задачи предупреждением:
«Хотяй туне притяжати,
От кого, что принимати,
Да зрит то себе опасно…»
Незнание математики может
привести в жизни к весьма
печальным последствиям!!!
23. Такие случаи действительно имели место
в жизни. По сообщению одной газеты 1014
года у судьи в городе Новочеркасске разби-
ралось дело о продаже стада в 20 овец по
условию: уплатить за первую овцу 1 коп.,
за вторую – 2 коп., за третью – 4 коп. и т.д.
Очевидно, покупатель соблазнился надеж-
дою дешево купить стадо и просчитался.
Какую сумму он должен был уплатить?
25. Служившему воину дано вознаграждение за первую рану
1 копейка, за другую – 2 копейки, за третью – 4 копейки
и т.д. По исчислению нашлось, что воин получил всего
вознаграждения 655 руб. 35 коп.
Спрашивается число его ран.
26. Ответ:
65535 = 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 х −1 ,
2 х −1 × 2 − 1
65535 = ,
2 −1
65535 = 2 х − 1,
65536 = 2 х ,
х = 16.
При столь великодушной системе вознаграждения воин
должен был получить 16 ран и остаться при этом в
живых, чтобы удостоиться награды в 655 руб. 35 коп.
28. Правило для нахождения
суммы членов произвольной
арифметической прогрессии
впервые встречается в сочи-
нении «Книга абака» в 1202 г.
Леонардо Пизанский
29. В XVIII в. в английских учебниках
появились обозначения
арифметической и геометрической
прогрессий:
Арифметическая
Геометрическая
30. КАРЛ ФРИДРИХ ГАУСС
(1777–1855)
Математический талант Гаусса
проявился ещё в детстве.
По легенде, школьный учи-
тель математики, чтобы занять
детей на долгое время,
предложил им сосчитать сумму
чисел от 1 до 100.
Юный Гаусс мгновенно полу-
чил результат.
А вы сможете?
31. Ответ:
a 1 + an
S= × n,
2
1 + 100
S= × 100 = 101 × 50 = 5050.
2
Юный Гаусс заметил, что попарные
суммы с противоположных концов
одинаковы: 1+100=101, 2+99=101 и т. д.,
и мгновенно получил результат
50*101=5050.
33. Думали ли вы когда-нибудь, что
представлял бы собой наш мир, если
все живые существа размножались бы
беспрепятственно?
Легко показать, что закон геоме-
трической прогрессии размножения
привел бы такой мир к самому прискор-
бному состоянию, какое только можно
себе вообразить!
34. Вот что произошло много лет назад в Австралии.
Когда этот материк открыли европейцы, там не было
ни одного кролика. Кроликов привезли в Австралию в
кон-це 18 века, а так как там нет хищников,
питающихся кроликами, то размножение этих грызунов
пошло нео-бычайно быстрыми темпами, вскоре
полчища кроликов наводнили всю Австралию, нанося
страшный вред сельскому хозяйству. Фермерам
пришлось спешно начинать борьбу с грызунами.
35. В Америке не было воробьев. Столь обычная у нас птица была
ввезена в Соединенные Штаты для борьбы с вредными насеко-
мыми. Как и в Австралии никто не охотился на этих милых птиц, и
они стали быстро размножаться. Вскоре количество вредных
насе-комых уменьшилось, что воробьям нечего стало есть. Они
приня-лись за растения и стали опустошать посевы. Пришлось
спешно приступать к борьбе с воробьями. Эта борьба обошлась
амери-канцам так дорого, что на будущее был издан приказ,
запреща-ющий ввозить в страну каких бы то ни было животных.
36. Еще быстрее увеличилось
бы количество растений
мака, если бы каждое мако-
вое зерно давало новое
растение.
В одной головке содержит-
ся примерно 3000 маковых
зерен, и уже через 5 лет чи-
сло потомков одного расте-
ния равнялось бы 30005 =
243 000 000 000 000 000.
Это примерно по 2000
растений на каждый метр
суши, включая песчаные
пустыни Сахары и Караку-
мов и ледяные просторы
Антарктиды.
37. А комнатные мухи размножались
бы вообще с головокружительной
быстротой.
Если считать, что муха отклады-
вает по 200 яичек и в течение лета
появляется 7 поколений, то за лето
появилось бы более чем
800 000 000 000 000 мух.
Эти мухи весили бы несколько
десятков миллионов тонн, а вы-
строенные в одну линию, заняли бы
отрезок длиной в 1500 млн. км., что
в 10 раз больше, чем расстояние от
Земли до Солнца.
Потомство одной пары мух за 2
года имело бы массу, превышаю-
щую массу земного шара.
39. СПРАВОЧНОЕ БЮРО
АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ
ПРОГРЕССИЯ ПРОГРЕССИЯ
40. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
Определение
a n +1 = a n + d
Формула n-го члена
прогрессии
a n = a1 + d (n − 1)
Сумма n первых членов
прогрессии 2a1 + d (n − 1)
Sn = •n
2
Свойство
a n +1 + a n −1
(среднее арифметическое) an =
2
41. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
Определение
bn +1 = bn g
Формула n-го члена прогрессии
n −1
bn = b1 g
Сумма n первых членов
b1 ( g n − 1)
прогрессии Sn =
g −1
Свойство
(среднее геометрическое) bn = bn +1bn −1
42. Итак, экскурсия завершена, но…
Каждый должен знать:
Познание, упорство, труд
К прогрессу в жизни приведут!