4. ‫األسبوع‬‫تفاصٌل‬‫المفردات‬
‫األول‬‫المجموعات‬ ‫نظرٌة‬set theory
ً‫الثان‬‫أنواع‬ ‫ــــ‬ ‫المتجهات‬‫المتجهات‬ ‫جمع‬ ‫ــــ‬ ‫المتجهات‬vectors
‫الثالث‬‫العمودي‬ ‫المتجه‬‫المتجهات‬ ‫ضرب‬ ‫ـــ‬
‫الرابع‬‫المصفوفات‬matrices
‫الخامس‬‫المصفوفات‬ ‫ضرب‬
‫السادس‬‫المحددات‬.
‫السابع‬‫الخطٌة‬ ‫المعادالت‬ ‫لحل‬ ‫واستخدامه‬ ‫المصفوفة‬ ‫معكوس‬.
‫الثامن‬‫المصفوفة‬ ‫معكوس‬ ‫باستخدام‬ ‫المعادالت‬ ‫منظومة‬ ‫حل‬
‫العاشر‬‫الدوال‬‫ومشتقاتها‬‫الدوال‬ ‫ــــ‬‫الضمنٌة‬

5. ‫األسبوع‬‫تفاصٌل‬‫المفردات‬
‫عشر‬ ‫الحادي‬‫المثلثٌةـــ‬ ‫الدوال‬‫المثلثٌة‬ ‫الدوال‬ ‫مشتقة‬
‫عشر‬ ً‫الثان‬‫اللوغارٌتمٌة‬ ‫الدوال‬
‫عشر‬ ‫الثالث‬‫الجزئٌة‬ ‫المشتقات‬
‫الرابع‬‫عشر‬‫التكامل‬
‫عشر‬ ‫الخامس‬‫المحدد‬ ‫التكامل‬
‫عشر‬ ‫السادس‬‫والمثلثٌة‬ ‫واللوغارٌتمٌة‬ ‫االسٌه‬ ‫الدوال‬ ‫تكامل‬
‫عشر‬ ‫السابع‬‫التكامل‬ ‫طرق‬
‫عشر‬ ‫الثامن‬‫الكسور‬‫الجزئٌة‬
‫عشر‬ ‫التاسع‬‫التكامل‬ ‫تطبٌقات‬
‫العشرون‬‫التفاضلٌة‬ ‫المعادالت‬

6. ‫األسبوع‬‫تفاصٌل‬‫المفردات‬
‫والعشرون‬ ‫الحادي‬‫االولى‬ ‫المرتبة‬ ‫من‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫المعادالت‬ ‫حل‬
‫والعشرون‬ ً‫الثان‬‫العددي‬ ‫التحلٌل‬(‫الحدود‬ ‫متعدد‬)
‫والعشرون‬ ‫الثالث‬‫الالخطٌة‬ ‫المعادالت‬ ‫حل‬
‫والعشرون‬ ‫الرابع‬‫نٌوتن‬ ‫طرٌقة‬-‫رافسون‬
‫والعشرون‬ ‫الخامس‬‫الخطٌة‬ ‫المعادالت‬ ‫حل‬
‫والعشرون‬ ‫السادس‬‫التكرارٌة‬ ‫الطرائق‬
‫والعشرون‬ ‫السابع‬‫العددي‬ ‫التفاضل‬
‫والعشرون‬ ‫الثامن‬‫العددي‬ ‫التكامل‬
‫والعشرون‬ ‫التاسع‬‫صٌغة‬ ‫ـــ‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادالت‬ ‫العددٌة‬ ‫الحلول‬‫اوٌلر‬‫تاٌلرـــ‬ ‫صٌغة‬ ‫ـــ‬
‫المطورة‬ ‫اوٌلر‬ ‫طرٌقة‬
‫الثالثون‬

9. ‫المجموعات‬:-
‫كانتور‬ ‫الرٌاضٌات‬ ‫عالم‬ ‫كان‬ ‫عندما‬G.Cantor‫بعض‬ ‫على‬ ‫ٌشتغل‬
‫الرٌاضٌات‬ ً‫ف‬ ‫القضاٌا‬,‫عن‬ ‫وتعبر‬ ‫المترادفة‬ ‫الكلمات‬ ‫بعض‬ ‫هناك‬ ‫الحظ‬
‫مفهوم‬”‫األشٌاء‬ ‫من‬ ‫تجمع‬“‫ذلك‬ ‫تعبر‬ ‫لفظة‬ ‫اختٌار‬ ‫المفٌد‬ ‫من‬ ‫والحظ‬,
‫كلمة‬ ‫على‬ ‫اختٌاره‬ ‫ووقع‬(set( )‫مجموعة‬.)
‫فروع‬ ‫معظم‬ ً‫ف‬ ‫كبٌرة‬ ‫أهمٌة‬ ‫ذات‬ ‫المجموعات‬ ‫نظرٌة‬ ‫أصبحت‬ ‫وقد‬
‫التطبٌقات‬ ‫من‬ ‫كثٌر‬ ً‫وف‬ ‫الرٌاضٌات‬.
‫نظرٌة‬ ً‫ف‬ ‫أولٌة‬ ‫مقدمة‬ ‫على‬ ‫الفصل‬ ‫هذا‬ ‫ٌقتصر‬ ‫وسوف‬
‫المجموعات‬.

10. ‫المجموعة‬:-
‫متماٌزة‬ ‫أشٌاء‬ ‫من‬ ‫تاما‬ ‫تعرٌفا‬ ‫معرف‬ ‫تجمع‬ ً‫ه‬.‫من‬
‫كان‬ ‫أن‬ ‫ٌعرف‬ ‫شًء‬ ‫أي‬ ‫تحدٌد‬ ‫ٌمكن‬ ‫التعرٌف‬ ‫هذا‬
‫اآلراء‬ ‫تدخل‬ ‫ال‬ ‫أن‬ ‫بشرط‬ ‫ال‬ ‫أم‬ ‫المجموعة‬ ‫ضمن‬
‫المجموعة‬ ‫ضمن‬ ‫ٌكون‬ ‫أن‬ ً‫ف‬ ‫األهواء‬ ‫أو‬-‫ال‬ ‫أو‬
‫ٌكون‬.
‫الشًء‬ ‫كان‬ ‫أذا‬ ‫قاطعة‬ ‫الصفة‬ ‫تكون‬ ‫أن‬ ‫ٌجب‬ ‫أي‬
ً‫ٌنتم‬ ‫ال‬ ‫أو‬ ً‫ٌنتم‬,

11. ‫بعنصر‬ ‫للمجموعة‬ ‫المكونة‬ ‫االشٌاء‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫تسمٌة‬ ‫على‬ ‫اصطلح‬ ‫لقد‬
Elementً‫االلمان‬ ‫العالم‬ ‫وٌعد‬‫كانتور‬Cantor
ً‫ٌل‬ ‫بما‬ ‫ٌتصف‬ ‫اساسٌا‬ ‫مفهوما‬ ‫المجموعة‬ ‫اعتبر‬ ‫من‬ ‫اول‬:-
1-‫بذاته‬ ‫قائم‬ ً‫رٌاض‬ ‫كائن‬ ‫المجموعة‬.
2-‫متماٌزة‬ ‫المجموعة‬ ‫عناصر‬.
3-‫تعٌنا‬ ‫معٌنة‬ ‫المجموعة‬‫تاما‬.
4-‫علٌها‬ ‫اثر‬ ‫أي‬ ‫المجموعة‬ ‫عناصر‬ ‫فٌه‬ ‫تورد‬ ‫الذي‬ ‫للترتٌب‬ ‫لٌس‬.

12. ً‫ٌل‬ ‫ما‬ ً‫ف‬ ‫نبٌن‬‫المجموعة‬ ‫لتعٌن‬ ‫طرٌقتٌن‬:-
1-‫عناصرها‬ ‫جمٌع‬ ‫عرفت‬ ‫اذا‬ ‫المجموعة‬ ‫تتعٌن‬.‫كتابتها‬ ‫وعندئذ‬
‫متوسطٌن‬ ‫قوسٌن‬ ‫بٌن‬ ‫عناصرها‬ ‫جمٌع‬ ‫بذكر‬}{
‫عناصرها‬ ‫بٌن‬ ‫الفوارز‬ ‫وضع‬ ‫مع‬.
‫ا‬‫ال‬‫مث‬:‫كلمة‬ ‫حرف‬ ‫مجموعة‬(year)‫تكتب‬:-
},,,{ ryeax 

13. },5:{ nnnA  ‫موجب‬ ‫صحٌح‬ ‫عدد‬
2-‫بحٌث‬ ‫عناصرها‬ ‫تمٌز‬ ً‫الت‬ ‫الخواص‬ ‫كل‬ ‫بذكر‬ ‫المجموعة‬ ‫تعٌن‬ ‫ٌمكن‬
‫كان‬ ‫اذا‬ ‫ما‬ ‫قاطعة‬ ‫بصورة‬ ‫نحدد‬ ‫ان‬ ‫الخواص‬ ‫هذه‬ ‫باستخدام‬ ‫ٌمكن‬
ً‫ٌنتم‬ ‫اوال‬ ً‫ٌنتم‬ ‫ما‬ ‫عنصر‬.
‫ا‬‫ال‬‫مث‬:‫عنه‬ ‫التعبٌر‬ ‫ٌمكن‬ ‫السابق‬ ‫المثال‬:-
‫وتقرأ‬((‫العناصر‬ ‫كل‬ ‫مجموعة‬ ً‫ه‬,‫حٌث‬‫من‬ ‫حرف‬
‫كلمة‬ ‫حروف‬year))
xxx
}:{ xyearxx  ‫كلمة‬ ‫حروف‬ ‫من‬ ‫حرف‬
‫مثال‬2:‫تصغر‬ ً‫الت‬ ‫الموجبة‬ ‫الصحٌحة‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬
‫العدد‬(5.)‫تكتب‬:
A
}4,3,2,1{A

14. ‫ا‬‫ال‬‫مث‬:}‫موجب‬ ‫صحٌح‬ ‫عدد‬{=‫فان‬: x:xx
xx  5,1
‫أذا‬‫مجموعة‬ ‫من‬ ‫عنصرا‬ ‫كان‬‫فنقول‬‫إلى‬ ً‫ٌنتم‬ axax
‫بشكل‬ ‫وٌكتب‬‫وتقرأ‬‫إلى‬ ً‫تنتم‬. xaax
‫نقول‬ ‫فعندئذ‬ ‫المجموعة‬ ‫عناصر‬ ‫من‬ ‫عنصرا‬ ‫لٌس‬ ‫كان‬ ‫أذا‬ ‫أما‬
‫إلى‬ ً‫ٌنتم‬ ‫ال‬‫وٌكتب‬(‫االنتماء‬ ً‫نف‬) xxa
a

15. ‫بأنها‬ ‫عنصر‬ ‫أي‬ ‫على‬ ‫تحتوي‬ ‫ال‬ ً‫الت‬ ‫للمجموعة‬ ‫ٌقال‬‫مجموعة‬
‫أو‬‫الرمز‬{ }‫بدون‬‫فٌها‬ ‫عناصر‬.
‫وٌستخدم‬ ‫خالٌة‬‫الرمز‬ ‫عادة‬Øً‫خال‬ ‫ٌقرأ‬ ‫الذي‬

16. ‫منتهٌة‬ ‫انها‬ ‫ما‬ ‫لمجموعة‬ ‫ٌقال‬Finite‫او‬ ‫خالٌة‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬
‫عددها‬ ‫ٌمكن‬ ‫عناصر‬ ‫على‬ ‫تحتوي‬ ‫كانت‬(‫نظرٌا‬ ‫ولو‬)ً‫وف‬
‫منتهٌة‬ ‫غٌر‬ ‫او‬ ‫النهاٌة‬ ‫انها‬ ‫للمجموعات‬ ‫ٌقال‬ ‫الحاالت‬ ‫هذه‬
Infinite.
‫ا‬‫ال‬‫مث‬:
1-‫من‬ ‫اقل‬ ً‫الت‬ ‫الطبٌعٌة‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬30‫مجموعة‬
‫منتهٌة‬
2-‫من‬ ‫اقل‬ ً‫الت‬ ‫الطبٌعٌة‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬30‫غٌر‬ ‫مجموعة‬
‫منتهٌة‬.

17. ‫مغلق‬ ‫بخط‬ ‫محاط‬ ‫مستو‬ ً‫ف‬ ‫بنقاط‬ ‫المجموعة‬ ‫تمثٌل‬ ‫ٌمكن‬
‫ٌمثل‬ ‫الذي‬ ‫الشكل‬ ‫وٌسمى‬ ‫مستطٌل‬ ‫أو‬ ‫مربع‬ ‫أو‬ ‫كدائرة‬
‫فٌنن‬ ‫مخطط‬ ‫الطرٌقة‬ ‫بهذه‬ ‫المجموعة‬.
‫برهنا‬ ‫فٌنن‬ ‫مخططات‬ ‫اعتبار‬ ‫ٌمكن‬ ‫ال‬ ‫انه‬ ‫إلى‬ ‫االنتباه‬ ‫ٌجب‬
‫كثٌر‬ ‫مفهوم‬ ‫أو‬ ‫برهانا‬ ‫إٌضاح‬ ً‫ف‬ ‫منها‬ ‫ٌستفاد‬ ‫بل‬ ‫رٌاضٌا‬
‫القضاٌا‬ ‫من‬.

18. ً‫لمجموعت‬ ‫ٌقال‬) (‫اذا‬ ‫وفقط‬ ‫اذا‬ ‫متساوٌتان‬if and
onlyif‫العناصر‬ ‫نفس‬ ‫على‬ ‫احتوٌتا‬.
‫تكتب‬:-
][][ yxxxyx 
yx,
yx 

19. ‫األقل‬ ‫على‬ ‫وجد‬ ‫اذا‬ ‫متساوٌتان‬ ‫غٌر‬ ‫المجموعتان‬ ‫اما‬
‫الى‬ ً‫ٌنتم‬ ‫ال‬ ‫المجموعتٌن‬ ‫احدى‬ ً‫ف‬ ‫واحد‬ ‫عنصر‬
‫تكتب‬ ‫وعندئذ‬ ‫االخرى‬ ‫المجموعة‬:-
}1,2{B
BA 
yx 
‫ا‬‫ال‬‫مث‬:-
‫فأن‬:
}23:{ 2
 xxxA

20. yx 
xy 
][][ yxxxyx 
x
x
x
x
y
y
y
y
‫جزئٌة‬ ‫مجموعة‬ ‫ٌقال‬subset‫أذا‬ ‫المجموعة‬ ‫من‬
‫وتكتب‬ ‫إلى‬ ً‫ٌنتم‬ ‫عناصر‬ ‫من‬ ‫عنصر‬ ‫كل‬ ‫كان‬
‫وتقرأ‬(‫من‬ ‫جزئٌة‬ ‫مجموعة‬. )
‫وتكتب‬ ‫للمجموعة‬ ‫حاوٌة‬ ‫المجموعة‬ ‫بأن‬ ‫ٌقال‬ ‫كما‬
‫وٌمكن‬ً‫التال‬ ‫بالشكل‬ ‫الجزئٌة‬ ‫المجموعة‬ ‫تعرٌف‬ ‫كتابة‬:-

21. ً‫ٌأت‬ ‫ما‬ ‫الجزئٌة‬ ‫المجموعة‬ ‫تعرٌف‬ ‫من‬ ‫لنا‬ ‫ٌتضح‬:-
1-‫مجموعة‬ ‫أي‬x‫نفسها‬ ‫من‬ ‫جزئٌة‬ ‫مجموعة‬ ً‫ه‬.
xx 

x
x
‫أي‬
2-‫الخالٌة‬ ‫المجموعة‬‫من‬ ‫جزئٌة‬ ‫مجموعة‬ ً‫ه‬‫مجموعة‬ ‫أٌة‬
‫أي‬

22. }21,11,1,0{z
‫شاملة‬ ‫مجموعة‬ ‫اعتبار‬ ‫فٌمكن‬.....}..........3,2,1{U
U
‫قٌد‬ ‫تكون‬ ً‫الت‬ ‫المجموعات‬ ‫جمٌع‬ ‫فٌها‬ ‫تكون‬ ً‫الت‬ ‫المجوعة‬ ً‫ه‬
‫لها‬ ‫جزئٌة‬ ‫مجموعات‬ ‫المناقشة‬.
‫ب‬ ‫لها‬ ‫نرمز‬) (
‫مثال‬:-‫فأن‬ ‫صحٌحة‬ ‫اعداد‬ ‫من‬ ‫مجموعات‬ ‫من‬ ‫الحدٌث‬ ‫كان‬ ‫اذا‬
}5,4,3,2,1{x
}10,8,6,4,2{y

23. ‫قائم‬ ً‫رٌاض‬ ‫كائن‬ ‫المجموعة‬ ‫بأن‬ ‫بٌنا‬ ‫لقد‬‫بذاته‬.‫واآلن‬‫نستعرض‬
‫عالقة‬‫ببعضها‬ ‫المجموعات‬.‫األساسٌة‬ ‫العملٌات‬ ‫بعض‬ ‫سنعرف‬
ً‫الت‬‫معلومة‬ ‫مجموعات‬ ‫من‬ ‫جدٌدة‬ ‫مجموعات‬ ‫نشكل‬ ‫أن‬ ‫بواسطتها‬ ‫نستطٌع‬.
‫الجبرٌة‬ ‫األولٌة‬ ‫العملٌات‬ ‫ما‬ ‫حد‬ ‫إلى‬ ‫تشبه‬ ‫العملٌات‬ ‫وهذه‬‫على‬
‫األعداد‬.
‫مثل‬‫والضرب‬ ‫والطرح‬ ‫الجمع‬.

24. )}()(:{ yxxxxyx 
yx 
yx,
yx,
yx,
 xy
‫جمٌع‬ ‫من‬ ‫تتكون‬ ً‫الت‬ ‫المجموعة‬ ‫فان‬ ‫مجموعتٌن‬ ‫لتكن‬
‫المجموعتٌن‬ ‫أحدى‬ ً‫ف‬ ‫األقل‬ ‫على‬ ‫الموجودة‬ ‫العناصر‬
‫تسمى‬‫اتحاد‬‫المجموعتٌن‬
‫بالرمز‬ ‫المجموعتٌن‬ ‫التحاد‬ ‫وٌرمز‬
‫تقرأ‬ ً‫والت‬(‫اتحاد‬)‫رمز‬ ‫على‬ ‫وٌطلق‬‫عملٌة‬‫االتحاد‬.
‫وٌكون‬:

25. ً‫مجموعت‬ ‫اتحاد‬ ‫توضح‬ ‫التالٌة‬ ‫المبٌنة‬ ‫ومخططات‬
‫تامة‬ ‫حاالت‬ ‫لثالث‬
yX
x y x y
‫ج‬
‫أ‬
‫ب‬

 
yx,

26. ‫مثال‬:-‫كانت‬ ‫اذا‬
}9,8,7,6,4,3,2,1{yx 
‫فأن‬:
}4,3,2,1{x
}9,8,7,6,4,2{y

27. ‫مبرهنة‬:-
‫شاملة‬ ‫مجموعة‬ ‫لتكن‬,‫من‬ ‫جزئٌة‬ ‫مجموعات‬ ‫و‬
ni
n
i xxxxxx  ..........43211 
Uxyz ,,U
xxx 
xx 
xyyx  
UUx 
)()( zyxzyx  
‫فأن‬:-1
6
5
4
3
2

28. ‫جمٌع‬ ‫من‬ ‫تتكون‬ ً‫الت‬ ‫المجموعة‬ ‫فأن‬ ‫مجموعتٌن‬ ‫لتكن‬
‫تقاطع‬ ‫تسمى‬ ‫معا‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫الى‬ ً‫تنتم‬ ً‫الت‬ ‫العناصر‬
‫المجموعتٌن‬,‫تقاطع‬ ‫تقرأ‬ ً‫والت‬ ‫لها‬ ‫وٌرمز‬
,‫الرمز‬ ‫على‬ ‫ونطلق‬∩‫التقاطع‬ ‫رمز‬,‫كما‬ ‫عنه‬ ‫التعبٌر‬ ‫وٌمكن‬
ً‫ٌل‬:-
xy,
xy,
xy,yx
)}()(:{ yxxxxyx 
xy,
xy
‫مختلفة‬ ‫حاالت‬ ‫لثالث‬
‫المجموعتٌن‬ ‫تقاطع‬ ‫بٌن‬ ‫المظلل‬ ‫الجزء‬ ‫فٌن‬ ‫ومخطط‬

29. y
yxyx
x
yx  yx 
xyx 

30. ‫العدد‬ ‫مضاعفات‬ ‫أن‬ ‫نجد‬3‫العدد‬ ‫مضاعفات‬ ‫و‬2‫مجموعة‬ ‫وعلٌه‬
‫على‬ ‫القسمة‬ ‫تقبل‬ ً‫الت‬ ‫االعداد‬ ‫تضم‬ ‫التقاطع‬3,2‫المجموعة‬ ‫وستكون‬
‫العدد‬ ‫مضاعفات‬ ‫من‬6
},2:{2 nyyxxx 
.},.........6,4,2{2x
1x2x
},6:{21 nyyxxxx 
n ‫مثال‬:-‫و‬ ‫الطبٌعٌة‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫لتكن‬
},3:{1 nyyxxx 
‫الحل‬:-
....},.........2,1{n
.},.........9,6,3{1x

31. ‫فأن‬ ‫مجموعات‬ ‫ثالث‬ ‫لتكن‬
yx,
yx,
yx
xyz ,,
)()( zyxzyx  
‫تعرٌف‬:-
‫خالٌة‬ ‫مجموعة‬ ‫المجموعتٌن‬ ‫نقاط‬ ‫مجموعة‬ ‫كان‬ ‫اذا‬,‫أي‬
‫منفصلتان‬ ‫مجموعتان‬ ‫أن‬ ‫ٌقال‬ ‫فعندئذ‬disjoint
‫مبرهنات‬:-
xxx 
xyyx  
1
2
3

32. U
c
x
xU
Ux
xU
c
x
x,c
x
x
‫المجموعة‬ ‫من‬ ‫جزئٌة‬ ‫مجموعة‬ ‫أن‬ ‫لنفرض‬‫الشاملة‬.
‫تسمى‬ ‫إلى‬ ً‫تنتم‬ ‫ال‬ ً‫الت‬ ‫العناصر‬ ‫من‬ ‫المكونة‬ ‫فالمجموعة‬
‫انه‬ ‫أي‬ ‫بالرمز‬ ‫ط‬ ‫وٌرمز‬ ‫إلى‬ ‫بالنسبة‬ ‫المجموعة‬ ‫متممة‬:-
‫وٌوضح‬ ً‫الثان‬ ‫فٌن‬ ‫ومخطط‬‫متممة‬
},;{ xxUxxxc


33. U
}2:{)2  yyy
ً‫زوج‬ ‫عدد‬
}2,1,0,1{......,}2:{,.......}5,4,3{)2  yyyy c
‫مثال‬:-
‫الصحٌحة‬ ‫األعداد‬ ‫مجموعة‬ ً‫ه‬ ‫كان‬ ‫أذا‬,‫مما‬ ‫كل‬ ‫متممة‬ ‫فجد‬
ً‫ٌأت‬:-}:{)1 xxx 
‫الحل‬:-
......}3,1,1,3,5{...........}4,2,0,2,4{......,)1  n
xx

34. ‫أن‬ ‫أي‬ ‫أو‬ ‫لها‬ ‫وٌرمز‬
},{/ yxxxxyx 
xy,
xy
xyy x
yx/yx
‫لتكن‬‫مجموعتٌن‬‫تحتوي‬ ً‫الت‬ ‫المجموعة‬ ‫فان‬
‫إلى‬ ‫المنتمٌة‬ ‫وغٌر‬ ‫إلى‬ ‫المنتمٌة‬ ‫العناصر‬ ‫على‬
‫على‬ ‫فضلة‬ ‫تسمى‬‫على‬ ‫فرق‬ ‫أو‬

35. x yyx x
‫حاالت‬ ‫أربع‬ ً‫ف‬ ‫مجموعتٌن‬ ‫فضلة‬ ‫ٌوضح‬ ‫فٌن‬ ‫مخطط‬

xyx /

yx /yx /xy /
xy y

36. }6,3,2{y
xy /
‫مثال‬:-‫كانت‬ ‫اذا‬
}6,5,4,3,2,1{x
‫فأن‬:-
}5,4,1{/ yx

37. ً‫وه‬ ‫الكمٌات‬ ‫من‬ ‫نوعٌن‬ ‫مع‬ ‫العملٌة‬ ‫حٌاتنا‬ ً‫ف‬ ‫نتعامل‬ ‫نحن‬:-
1-‫الكمٌات‬(‫المقادٌر‬)‫القٌاسٌة‬scalars
ً‫حقٌق‬ ‫عدد‬ ً‫ه‬ ً‫الت‬ ‫بقٌمتها‬ ‫تتحدد‬ ً‫الت‬ ً‫وه‬,‫الحجم‬ ‫ا‬‫ال‬‫مث‬,‫الكتلة‬
,‫الحرارة‬ ‫درجات‬,‫المساحات‬.
2-‫المتجهة‬ ‫الكمٌات‬....-:vectors
‫تحدٌدها‬ ‫ٌتطلب‬ ً‫الت‬ ‫الكمٌات‬ ً‫وه‬:-
‫أ‬-‫قٌمتها‬(‫الطول‬....length)
‫ب‬-‫اتجاه‬....direction

38. ‫جسم‬‫الدقٌقة‬ ً‫ف‬ ‫امتار‬ ‫خمسة‬ ‫بسرعة‬ ‫ٌتحرك‬
‫وبزاوٌة‬‫مقدارها‬30‫فٌمكن‬ً‫ف‬ ‫كما‬ ‫هندسٌا‬ ‫تمثٌلها‬
ً‫التال‬ ‫الشكل‬:
‫المتجه‬ ‫تمثٌل‬ ‫وكٌفٌة‬ ‫المتجه‬ ‫الكمٌات‬ ً‫ه‬ ‫دراسته‬ ‫ٌهمنا‬ ‫والذي‬
‫المتجهات‬ ‫لها‬ ‫تخضع‬ ً‫الت‬ ‫الجبرٌة‬ ‫والعملٌات‬ ‫هندسٌا‬.
‫ومثال‬:-

39. y
X
u
0
0 x
•30
u0
305
<
u ‫حٌث‬:‫مسار‬ ‫ٌمثل‬ ‫والمستقٌم‬ ‫الدقٌقة‬ ‫نهاٌة‬ ً‫ف‬ ‫الجسم‬ ‫موقع‬
‫بالرمز‬ ‫عنه‬ ‫وٌعبر‬ ‫الجسم‬
ً‫حقٌق‬ ‫عدد‬ ‫أي‬ ‫تمثٌل‬ ‫ٌمكن‬x‫على‬ ‫نقطة‬ ‫لتمثٌل‬ ‫تستخدم‬ ‫ان‬ ‫ٌمكن‬
ً‫التال‬ ‫الشكل‬ ً‫ف‬ ‫كما‬ ‫مستقٌم‬

40. ً‫ف‬ ‫نقطة‬ ‫لتمثٌل‬ ‫ٌستخدم‬ ‫الحقٌقة‬ ‫األعداد‬ ‫من‬ ً‫والثالث‬
ً‫التال‬ ‫الشكل‬ ً‫ف‬ ‫كما‬ ‫فضاء‬
‫لتمثٌل‬ ‫تستخدم‬ ‫أن‬ ‫ٌمكن‬ ‫الحقٌقة‬ ‫األعداد‬ ‫من‬ ‫زوج‬ ‫أي‬ ‫وان‬
ً‫التال‬ ‫الشكل‬ ً‫ف‬ ‫كما‬ ‫مستوى‬ ً‫ف‬ ‫نقطة‬:
x
x
y
y
y
x
x
y
x
z
z
),( yx
),,( zyx
),( yx
),,( zyx

41. ]86
2
1
3[],51102[],253[],17[  ba
ً‫الصف‬ ‫المتجه‬:-‫صف‬ ً‫ف‬ ‫مرتبة‬ ‫حقٌقة‬ ‫اعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫عن‬ ‫عبارة‬
‫فوازر‬ ‫بدون‬ ‫او‬ ‫بفوارز‬ ‫بعضها‬ ‫عن‬ ‫مفصولة‬ ‫وتكتب‬ ‫واحد‬ ‫سطر‬ ‫او‬
‫مركبة‬ ‫المتجه‬ ً‫ف‬ ‫عدد‬ ‫كل‬ ‫على‬ ‫وٌطلق‬ ‫كبٌرٌن‬ ‫قوسٌن‬ ‫داخل‬
component‫عنصر‬ ‫أو‬element
‫مثال‬:
‫مركبتٌن‬ ‫من‬ ‫االول‬ ‫المتجه‬ ‫ٌتألف‬ ً‫صف‬ ‫متجه‬,‫ثالث‬ ً‫والثان‬
‫مركبات‬,‫مركبات‬ ‫ست‬ ‫من‬ ‫والرابع‬ ‫مركبات‬ ‫اربعة‬ ‫من‬ ‫والثالث‬

42. ‫تعرٌف‬:-‫من‬ ‫مكون‬ ً‫الصف‬ ‫المتجه‬ ‫كان‬ ‫اذا‬) (‫فٌقال‬ ‫المركبات‬ ‫من‬
‫المرتبة‬ ‫من‬ ‫له‬
Vn
ordern‫البعد‬ ‫ذو‬ ‫انه‬ ‫أو‬nensionaln )dim(
‫صغٌرة‬ ‫بحروف‬ ‫مركبة‬ ‫ولكل‬ ‫كبٌرة‬ ‫بحروف‬ ‫للمتجه‬ ‫نرمز‬ ‫وعادة‬
‫الدلٌل‬ ‫ٌسمى‬ ‫المركبة‬ ‫او‬ ‫العنصر‬ ‫االسفل‬ ‫والقٌم‬,ً‫ف‬ ‫ترتٌبه‬ ً‫ٌعن‬
‫المتجه‬
],......,,[ 21 naaaA 
‫ا‬‫ال‬‫مث‬

43. ‫البعد‬ ‫نفس‬ ‫من‬ ‫كانا‬ ‫أذا‬ ‫وفقط‬ ‫أذا‬ ‫الصفٌان‬ ‫المتجهان‬ ‫ٌتساوى‬
‫متساوٌة‬ ‫المتناظرة‬ ‫مركباتهما‬ ‫وكانت‬.‫كان‬ ‫فإذا‬
],.........,[ 21 nbbbB 
‫فأن‬:‫كان‬ ‫إذا‬ ‫وفقط‬ ‫إذا‬
nn bababa  ,........., 2211
‫ا‬‫ال‬‫مث‬:
]32[],352[],3
4
10
[  CBA
‫فأن‬:cbA 
BA
‫تعرٌف‬:-
],.........,[ 21 naaaA 

44. ‫مثال‬:‫قٌمة‬ ‫جد‬‫أن‬ ‫بحٌث‬:
]3124[]7]122[ yx 
‫التعرٌف‬ ‫من‬:
3
7
,22  yx
‫الصفري‬ ‫المتجه‬:
‫صفري‬ ‫متجه‬ ‫أصفار‬ ‫مركباته‬ ‫أو‬ ‫عناصره‬ ‫جمٌع‬ ‫الذي‬ ‫للمتجه‬ ‫ٌقال‬
)0.,.........0,0(0 
xy,
73,42  yx
‫له‬ ‫وٌرمز‬‫بالرمز‬0‫أن‬ ‫أي‬

45. ‫المتجهات‬ ‫جمع‬
‫البعد‬ ‫ذو‬ ‫متجهٌن‬ً‫ٌل‬ ‫كما‬ ‫جمعهما‬ ‫حاصل‬ ‫فٌعرف‬
)............,(),..,.........( 211 nn xxxuyyv 
)...,.........,( 2211 nn yxyxyxvu 
‫ا‬‫ال‬‫مث‬:‫لتكن‬)3,2,0(),5,2,1(  AB‫فأن‬:
)8,0,1( BA
n
‫كان‬ ‫أذا‬

46. ‫قٌاسٌة‬ ‫بكمٌة‬ ‫متجه‬ ‫ضرب‬multiplication by scalar
‫كان‬ ‫أذا‬),........( 1 nxxu ,‫ثابت‬ ‫عدد‬ ‫البعد‬ ‫ذو‬ ‫متجه‬,ً‫ٌل‬ ‫كما‬ ‫ٌعرف‬ ‫فأن‬:-
),......,,(),,.........( 211 nn cxcxcxxxccu 
‫مثال‬:‫لٌكن‬:-
)20,5,15( 
nc,cu
)4,1,3(,5  uc
)4,1,3(5 cu

47. wvu ,,
cvcuvuc  )()3
uv,
Dvcuvu 
vu
),....( 11 nn yxyxvu 
n,c ‫مبرهنة‬:-‫كان‬ ‫أذا‬‫البعد‬ ‫نفس‬ ‫من‬ ‫متجهات‬‫عدد‬,‫فأن‬:-
)())(1 wvuwvu 
uvvu )2
‫لٌكن‬‫البعد‬ ‫نفس‬ ‫من‬ ‫متجهٌن‬,‫من‬ ‫طرح‬ ‫ٌعرف‬
‫متجه‬ ‫بأنه‬
‫كان‬ ‫أذا‬ ‫وعلٌه‬:),,.........(,),,.........( 11 nn xxuyyv 
‫تعرٌف‬:-

48. ‫للمتجهات‬ ً‫الخط‬ ‫التركٌب‬
linear combination of vectors
nvvv ,,........., 21
nccc ,,........., 21
nnvcvcvcv ............2211 
nvvv ,,........., 21
‫مثال‬:‫لتكن‬)4,1,1(),3,0,2(),1,2,1(2 321  vvv
‫ولتكن‬2,3,2 321  ccc
v
‫البعد‬ ‫نفس‬ ‫ذات‬ ‫متجهات‬ ‫لتكن‬,‫ولتكن‬
‫حقٌقٌة‬ ‫أعداد‬,‫فالمتجه‬,‫حٌث‬
‫للمتجهات‬ ً‫خط‬ ‫تركٌب‬ ‫ٌسمى‬

49. )4,1,1)(2()3,0,2(3)1,2,1(2 v
v‫هو‬ ً‫الخط‬ ‫فالتركٌب‬
)1,2,6( 
)8,2,2()9,0,6()2,4,2( 

50. ‫المعتمدة‬ ‫المتجهات‬‫ا‬‫ا‬ٌ‫خط‬
Linearly dependent vectors
nvvv ...,,........., 21
nccc .,........., 21
0.........2211  nnvcvcvc
0...........0............ 212211  nnn cccvcvcvc
‫البعد‬ ‫نفس‬ ‫متجهات‬ ‫لتكن‬,ً‫ا‬ٌ‫خط‬ ‫معتمدة‬ ‫أنها‬ ‫فٌقال‬
‫قٌاسٌة‬ ‫كمٌات‬ ‫وجدت‬ ‫أذا‬,‫أصفار‬ ‫جمٌعها‬ ‫لٌست‬,
‫أن‬ ‫بحٌث‬:
ً‫ا‬ٌ‫خط‬ ‫مستقلة‬ ‫أنها‬ ‫ٌقال‬ ‫ذلك‬ ‫وبعكس‬Linearly independent vectors
‫أن‬ ‫أي‬:

51. )0,0,0(),1,6,5(),0,2,1( 321  vvv321 ,, vvv
)0,0,0()0,2,1(0)1,6,5(0)0,0,0(1 
)2,7,0,0(),1,3,5,0(),4,3,2,6( 321  vvv
321, vvv
‫الحل‬:
‫حقٌقٌة‬ ‫قٌم‬ ‫نفرض‬zyx ,,
)0,0,0,0()2,7,0,0()1,3,5,0()4,3,2,6(  zyx
‫فالمتجهات‬
‫ا‬‫ا‬ٌ‫خط‬ ‫معتمدة‬‫ألن‬
‫مثال‬:‫لٌكن‬
‫ا‬‫ا‬ٌ‫خط‬ ‫معتمدة‬ ‫أم‬ ‫مستقلة‬ ‫المتجهات‬ ‫هل‬.
)0,0,0,0()24,733,52,6(  zyxzyxyxx
‫مثال‬:‫لتكن‬

52. ‫فأن‬ ‫وعلٌه‬:
06 x
‫خطٌة‬ ‫مستقلة‬ ‫فالمتجهات‬ ‫وعلٌه‬.
0 zyx
321 ,, vvv
024  zyx
0733  zyx
052  yx
‫على‬ ‫نحصل‬ ‫المعادالت‬ ‫وبحل‬

53. 1-‫كان‬ ‫أذا‬)1,2,8(),7,6,3( uvvuvuvu  ,2,3
2-‫قٌمة‬ ‫جد‬)3,2(),4( xy  xy,
3-‫؟ولماذا؟‬ً‫ا‬ٌ‫خط‬ ‫مستقلة‬ ‫أم‬ ‫معتمدة‬ ‫التالٌة‬ ‫المتجهات‬ ‫هل‬
)2,1(),1,2(),3,0( 321  vvv
‫فجد‬
‫كان‬ ‫أذا‬
)1,0,0,0(),0,1,0,0( 43  vv
)0,0,1,0(),0,0,0,1( 21  vv
)7,0,2(),3,1,0( 21  vv
1
3
2

54. 

















na
a
a
2
1
naaa ........, 21 n A
‫واحد‬ ‫سطر‬ ً‫ف‬ ‫مكتوبة‬ ‫مركبات‬ ً‫ه‬ ‫أعداد‬ ‫بصورة‬ ‫متجه‬ ‫أي‬ ‫عن‬ ‫التعبٌر‬ ‫ٌمكن‬
‫وٌمكن‬‫واحد‬ ‫عمود‬ ً‫ف‬ ‫كتابتها‬,‫العمودي‬ ‫بالمتجه‬ ‫علٌه‬ ‫ٌطلق‬ ‫وعندئذ‬‫وكل‬‫التعارف‬
‫والقواعد‬‫تنطبق‬ ً‫الصف‬ ‫المتجه‬ ‫تخص‬ ً‫الت‬ ‫والمبرهنات‬‫المتجهات‬ ‫على‬‫العمودٌة‬
‫مجموعة‬‫واحد‬ ‫عمود‬ ً‫ف‬ ‫مرتبة‬ ‫حقٌقة‬ ‫أعداد‬ ‫من‬
‫مركباته‬ ‫الذي‬ ‫المرتبة‬ ‫من‬ ‫العمودي‬ ‫فالمتجه‬
A 
‫العمودي‬ ‫المتجه‬ ‫تعرٌف‬:-

55. ‫المتجهات‬ ‫ضرب‬the multiplication of vectors
uv,


















ny
y
y
2
1
nuv
uv
v u
‫لٌكن‬‫متجهٌن‬‫نفس‬ ‫من‬‫الرتبة‬‫نعبر‬‫عن‬‫و‬ ً‫صف‬ ‫بشكل‬‫عمودي‬ ‫بشكل‬
‫نعرف‬ً‫القٌاس‬ ‫الضرب‬ ‫حاصل‬scalar-productً‫الداخل‬ ‫أو‬inner‫للمتجهٌن‬
‫له‬ ‫ٌرمز‬ ‫والذي‬‫عدد‬ ‫بأنه‬‫نحصل‬ ً‫حقٌق‬‫من‬ ‫مركبة‬ ‫كل‬ ‫ضرب‬ ‫حواصل‬ ‫مجموع‬ ‫من‬ ‫علٌه‬
‫من‬ ‫نظٌرتها‬ ‫مع‬‫كان‬ ‫أذا‬ ‫أي‬:
u ).......,,( 21 nxxx , v 

56. ‫فأن‬:
nnyxyxyxuv  ..........2211
‫ا‬‫ال‬‫مث‬:‫كان‬ ‫أذا‬)2,1,1(,
3
1
2











 vu‫فأن‬
7612 uv
i
n
i
i yx

1

57. ‫مبرهنات‬:-
ACABCBA  )(
(ً‫حقٌق‬ ‫عدد‬K)
‫المتجه‬ ‫قٌمة‬:
]...,.........,[ 21 naaaA 
nbc,n
n
‫كان‬ ‫أذا‬A‫عمودٌة‬ ‫متجهات‬ ‫ولٌكن‬ ‫الرتبة‬ ‫ذي‬ ً‫صف‬ ‫متجه‬‫من‬‫الرتبة‬
‫فان‬:
0. AA
).()( BAKKBA 
).()( BAXBKA 
‫واتجاه‬ ‫قٌمة‬ ‫متجه‬ ‫لكل‬,‫طوله‬ ‫ٌناسب‬ ً‫حقٌق‬ ‫عدد‬ ً‫ه‬ ‫المتجه‬ ‫قٌمة‬ ‫وان‬‫قٌمته‬ ‫مع‬.
‫وٌعرف‬:-‫لٌكن‬A‫الرتبة‬ ‫من‬ ‫ا‬‫ا‬‫متجه‬
3
2
1

58. ‫قٌمة‬ ‫تعرف‬A,ً‫ٌل‬ ‫بما‬ ‫لها‬ ‫ٌرمز‬ ً‫والت‬: A
22
2
2
1 ....... naaaA 
‫مثال‬:‫لٌكن‬]2,2,4,1[ A‫جد‬A
544161 A
‫الوحدة‬ ‫متجه‬ ‫للمتجه‬ ‫ٌقال‬(‫احدي‬ ‫الو‬ ‫أو‬unit vector)‫كان‬ ‫أذا‬
‫تعرٌف‬:
‫مثال‬:‫لٌكن‬
1u
]
6
1
,
2
1
,
3
2
,
6
1
,
2
1
[ U
‫مالحظة‬:‫كان‬ ‫أذا‬A‫فأن‬ ‫صفري‬ ‫غٌر‬ ‫ا‬‫ا‬‫متجه‬‫واحدي‬ ‫متجه‬ ‫هو‬. A
A
1
u
1
36
1
4
1
9
4
36
1
4
1
u

59. ‫مبرهنة‬
‫فٌثاغورس‬ ‫مبرهنة‬
Pythagoras theorem
222
vuvu 
vu,
uxxA .
‫أن‬ ‫أي‬vu.0 
xn ً‫حقٌق‬ ‫عدد‬ ‫كان‬ ‫أذا‬,A‫ذو‬ ‫متجه‬‫البعد‬‫فأن‬
‫متعامدان‬ ‫متجهٌن‬ ‫كان‬ ‫أذا‬‫فأن‬

60. 1-‫كان‬ ‫أذا‬)3,2,0(),4,1,3(),0,1,2(  uvw
u
2-‫متعامدٌن‬ ‫فٌها‬ ‫ٌكون‬ ‫التالٌة‬ ‫الحاالت‬ ‫من‬ ‫أي‬uv,
)1,3,2(,)1,1,1(  vu
wvy 22 vu 
v
)2,
2
1
,3(,)7,2,5(  vu
)5,1,2(,)1,2,1(  vu
‫جد‬
1 2
3 4
1
2
3

61. 3-‫متعامدٌن‬ ‫التالٌٌن‬ ‫المتجهٌن‬ ‫تجعل‬ ً‫الت‬ ‫قٌم‬ ‫جد‬
)7,2),31((,)2,
2
1
,1( xvxu 
4-‫البعد‬ ‫ذات‬ ‫متجهٌن‬ ‫كانت‬ ‫أذا‬‫فان‬
BABA 
vu,
x
n

62. ‫أن‬‫المصفوفة‬ ‫مفهوم‬matrix‫حٌث‬ ‫المهمة‬ ‫الرٌاضٌة‬ ‫المفاهٌم‬ ‫من‬
‫الخطٌة‬ ‫البرمجة‬ ‫منها‬ ‫عدٌدة‬ ‫مجاالت‬ ً‫ف‬ ‫تستخدم‬linear
programming‫الخطٌة‬ ‫المعادالت‬ ‫انظمة‬ ‫وحل‬linear
equations‫واإلحصاء‬statistic‫والجبر‬ً‫الخط‬linear
algebra
‫تعرٌف‬‫المصفوفة‬matrixThe:-
‫سطور‬ ‫أو‬ ‫صفوف‬ ً‫ف‬ ‫مرتبة‬ ‫كمٌات‬ ‫او‬ ‫اعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫أنها‬rows))
‫واعمدة‬(columns)ً‫التال‬ ‫الجدول‬ ً‫ف‬ ‫كما‬

63. ‫األعداد‬ ‫أو‬ ‫الكمٌات‬ ‫من‬ ‫كل‬,‫ٌسمى‬ ‫المجموعة‬ ‫هذه‬ ‫تشكل‬ ً‫والت‬
‫عنصرا‬‫المصفوفة‬ ‫لعناصر‬ ‫المرافقة‬ ‫األرقام‬ ‫على‬ ‫وٌطلق‬ ‫المصفوفة‬ ً‫ف‬‫األدلة‬ً‫الت‬ ً‫وه‬
‫الصف‬ ‫ترتٌب‬ ‫على‬ ‫ٌدل‬ ‫الٌسار‬ ‫من‬ ‫األول‬ ‫فالرقم‬ ‫المصفوفة‬ ً‫ف‬ ‫عنصر‬ ‫كل‬ ‫موقع‬ ‫تحدد‬
‫العمود‬ ‫ٌمثل‬ ً‫الثان‬ ‫والرقم‬ ‫العنصر‬ ‫فٌه‬ ‫ٌقع‬ ‫الذي‬
‫بالرمز‬ ‫للمصفوفة‬ ‫ٌرمز‬ ‫كما‬




























mnm
m
n
n
aaa
aaa
aaa
....
.....
.....
2
1
22 2
2 1
11 2
1 1
mnaaa .........1211
nmaij *][
A 

64. ‫لتكن‬A‫اسطرها‬ ‫عدد‬ ‫مصفوفة‬m‫أعمدتها‬ ‫وعدد‬n‫التالٌة‬ ‫الصورة‬ ً‫ف‬ ‫كما‬
njmiaijA ,....1,,....1),( 
‫أن‬ ‫فنقول‬A‫رتبة‬ ‫ذات‬ ‫مصفوفة‬(m*n)‫وتقرأ‬(mً‫ف‬n)
‫رتبتها‬3*2
















43
10
21
ً‫ل‬‫مث‬:‫المصفوفة‬A

65. ‫عمود‬ ‫أو‬ ‫واحد‬ ‫صف‬ ‫ذات‬ ‫مصفوفة‬ ‫متجه‬ ‫كل‬ ‫اعتبار‬ ‫أمكانٌة‬
‫مركباته‬ ‫عدد‬ ‫الذي‬ ً‫الصف‬ ‫فالمتجه‬ ‫واحد‬n‫ذات‬ ‫مصفوفة‬ ‫هو‬
‫سعة‬1*n,‫مركباته‬ ‫عدد‬ ‫الذي‬ ‫العمودي‬ ‫والمتجه‬mً‫ه‬
‫سعة‬ ‫ذات‬ ‫مصفوفة‬m*1.‫للصف‬ ‫ا‬‫ة‬‫عاد‬ ‫ٌرمز‬iً‫ف‬
‫المصفوفة‬A‫أن‬ ‫أي‬ ‫بالرمز‬: )(iA
].......[ 21)( iniii aaaA 
‫للعمود‬ ‫ٌرمز‬ ‫كما‬j‫أي‬ ‫بالرمز‬)( jA




















n j
j
j
a
a
a
2
1
)( jA 

66. ‫مركبة‬ ‫أعداد‬ ‫أو‬ ‫جبرٌة‬ ‫أو‬ ‫مثلثٌه‬ ‫ا‬‫ا‬‫نسب‬ ‫تمثل‬ ‫أن‬ ‫ٌمكن‬ ‫المصفوفة‬ ‫عناصر‬
(complex number)‫مصفوفات‬ ‫حتى‬ ‫أو‬ ‫تكامالت‬ ‫أو‬ ‫مشتقاته‬ ‫أو‬
‫عادة‬ ‫لها‬ ‫وٌرمز‬ ‫صفرا‬ ‫فٌها‬ ‫عنصر‬ ‫كل‬ ‫ٌكون‬ ً‫الت‬ ‫المصفوفة‬ ً‫ه‬O‫وتكون‬
‫البحث‬ ‫سٌاق‬ ‫من‬ ‫مستمدة‬ ‫مرتبتها‬
‫واحد‬ ‫صف‬ ‫من‬ ‫المكونة‬ ‫المصفوفة‬ ً‫ه‬

67. ‫واحد‬ ‫عمود‬ ‫من‬ ‫المكونة‬ ‫المصفوفة‬ ً‫ه‬.
‫أعمدتها‬ ‫لعدد‬ ‫ا‬‫ا‬‫مساو‬ ‫صفوفها‬ ‫عدد‬ ‫ٌكون‬ ً‫الت‬ ‫المصفوفة‬ ً‫ه‬.‫وعندئذ‬
‫المرتبة‬ ‫من‬ ‫مصفوفة‬ ‫لها‬ ‫ٌقال‬n‫سعة‬ ‫أو‬n*n))

68. ‫على‬ ‫الواقعة‬ ‫العناصر‬ ‫من‬ ‫المؤلف‬ ‫بأنه‬ ‫المربعة‬ ‫المصفوفة‬ ً‫ف‬ ‫ٌعرف‬
‫العنصر‬ ً‫ف‬ ً‫والمنته‬ ‫الٌسرى‬ ‫العلٌا‬ ‫الزاوٌة‬ ً‫ف‬ ‫بالعنصر‬ ‫المبتدئ‬ ‫القطر‬
‫المصفوفة‬ ‫من‬ ‫الٌمنى‬ ‫السفلى‬ ‫الزاوٌة‬ ً‫ف‬.ً‫الرئٌس‬ ‫القطر‬ ‫عناصر‬ ‫أن‬ ‫أي‬
ً‫ه‬ ‫المرتبة‬ ‫ذو‬ ‫المربعة‬ ‫المصفوفة‬ ً‫ف‬: ][aijA n
nnaaaa ........,, 332211
‫الزاوٌة‬ ً‫ف‬ ‫بالعنصر‬ ‫المبتدئة‬ ‫العناصر‬ ‫من‬ ‫ٌتألف‬ ‫فانه‬ ‫الثانوي‬ ‫القطر‬ ‫أما‬
‫من‬ ‫الٌمنى‬ ‫العلٌا‬ ‫الزاوٌة‬ ً‫ف‬ ‫الواقع‬ ‫العنصر‬ ً‫ف‬ ‫والمنتهٌة‬ ‫الٌسرى‬ ‫السفلى‬
‫المصفوفة‬.

69. ‫أصفار‬ ً‫الرئٌس‬ ‫القطر‬ ‫على‬ ‫التقع‬ ً‫الت‬ ‫عناصرها‬ ‫جمٌع‬ ‫مربعة‬ ‫مصفوفة‬ ً‫ه‬
‫المصفوفة‬ ‫مثل‬:

















500
020
001
‫بالرمز‬ ‫المرتبة‬ ‫من‬ ‫القطرٌة‬ ‫المصفوفة‬ ‫عن‬ ‫نعبر‬ ‫أن‬ ‫وٌمكن‬][aign
],........,[ 2211 nnaaadiag

70. ‫القطرٌة‬ ‫للمصفوفة‬ ‫ٌقال‬daig (1 , 1 , ....1)‫المرتبة‬ ‫من‬n‫مصفوفة‬
‫ذاتٌة‬(‫وأحدٌة‬ ‫مصفوفة‬ ‫أو‬(I dentity matrix‫ا‬‫ة‬‫عاد‬ ‫لها‬ ‫وٌرمز‬
nI
















100
010
001
‫الرتبة‬ ‫نفس‬ ‫ذات‬ ‫مصفوفتان‬ ‫لتكن‬m*n
‫متساوٌة‬ ‫المتناظرة‬ ‫عناصرهما‬ ‫كانت‬ ‫أذا‬ ‫وفقط‬ ‫أذا‬ ‫متساوٌتٌن‬ ‫المصفوفتٌن‬ ‫بأن‬ ‫فٌقال‬.
nmnm aijAbijB ** )(,)( 
‫تعرٌف‬:-
‫ا‬‫ال‬‫فمث‬
3I 
‫تعرٌف‬:-

71. ‫أن‬ ‫أخر‬ ‫وبتعبٌر‬:
jibijaijbijaij nmnm ,)()( ** 
‫مثال‬:‫كان‬ ‫أذا‬












01
3
2
1
‫فالمصفوفتان‬‫متساوٌتان‬ AB,
B , A












01
3
4
1

72. ‫مثال‬:‫كانت‬ ‫أذا‬

















112
201
321



















112
201
zyx
321  zyxBA
B 
, A 

73. ‫حٌث‬ ‫المصفوفات‬ ‫كافة‬ ‫على‬ ‫أجرائها‬ ‫ٌمكن‬ ‫ال‬ ‫المصفوفات‬ ‫جمع‬ ‫عملٌة‬ ‫أن‬
‫الرتبة‬ ‫نفس‬ ‫من‬ ‫تكونا‬ ‫أن‬ ‫مصفوفتٌن‬ ‫جمع‬ ‫شرط‬ ‫ٌلزم‬.
‫رتبة‬ ‫ذات‬ ‫مصفوفتان‬ nmnm aijAbijB ** )(,)( nm*
‫له‬ ‫ٌرمز‬ ‫والذي‬ ‫جمعهما‬ ‫حاصل‬ ‫فنعرف‬A+Bً‫ٌل‬ ‫كما‬
nmbijaijBA *)( 
‫الطرٌقة‬ ‫بنفس‬ ‫بٌنهما‬ ‫الفرق‬ ‫نعرف‬ ‫كما‬BA
nmbijaijBA *)( 
‫تعرٌف‬:‫لتكن‬

74. ‫مثال‬:
,
22
01
32


















B
‫فأن‬:
,
02
43
41
















 BA
2*3

















20
42
13
A
2*3



















42
41
25
BA
2*32*3

75. ‫ولٌكن‬ ‫مصفوفة‬ ‫لٌكن‬c‫ثابتة‬ ‫كمٌة‬,ً‫ٌل‬ ‫كما‬ ‫فنعرف‬ nmaijA *)(
nmcaijcA *)(
cA
‫مثال‬:‫لٌكن‬












12
13
A
2*2
,‫جد‬3A












36
39
3A
2*2

76. ‫مبرهنة‬:‫كمٌات‬ ‫ولٌكن‬ ‫الرتبة‬ ‫نفس‬ ‫من‬ ‫مصفوفتٌن‬ ‫لتكن‬
‫قٌاسٌة‬
AB,nm*hk,
KBKABAk  )(
)()( hAKAKh 
0.0,.1  AAA
hAKAAhK  )(
3
4
2
1
‫فأن‬

77. 1-‫لٌكن‬













111
210
C
‫جد‬:-CBA 243 
2-‫من‬ ‫كل‬ ‫قٌمة‬ ‫جد‬dcba ,,,













cba
ba
2
1
3
,
403
152









 
A ,
510
321












B
‫كان‬ ‫أذا‬












dc
ba
23
2












dc
a
23
13

78. 









 
53
41x
3-‫صحٌحة‬ ‫المعطاة‬ ‫المساواة‬ ‫تجعل‬ ً‫الت‬ ‫المجاهٌل‬ ‫قٌم‬ ‫جد‬
4-‫المصفوفة‬ ‫جد‬A‫المعادلة‬ ‫تحقق‬ ً‫الت‬












4210
5143












514
432
y
x













5103
3211
A

79. ‫تعرٌف‬:‫لٌكن‬nmaijA *)(‫رتبة‬ ‫ذات‬ ‫مصفوفة‬m*n
‫رتبة‬ ‫ذات‬ ‫مصفوفة‬n*r

















mnm
n
aa
aa
A
...........
.
.
.
.............
1
111

















nrn
r
bb
bb
B
.........
.
.
.
..........
1
111
rnbijB *)(

80. ‫للمصفوفة‬ ‫العمودٌة‬ ‫المتجهات‬ ‫و‬B
mAA ...,.........1
rBB ,,.........1
‫أن‬ ‫أي‬:
rmcijAB *)(



















r
m
m
mm
r
BABABA
BABABA
AB
.........
.
.
.........
1
1
2
1
1
1
m*n
‫الصفٌة‬ ‫المتجهات‬ ‫كان‬ ‫اذا‬A
‫فأن‬:

81. 


















nj
j
j
in
ini
i
j
i
b
b
b
aaaBAcij
.
.).......(
2
1
2
1
‫حٌث‬:
‫مالحظة‬:
‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ‫إلٌجاد‬A b‫المصفوفة‬ ‫أعمدة‬ ‫عدد‬ ‫ٌكون‬ ‫أن‬ ‫ٌجب‬
A‫صفوف‬ ‫عدد‬ ‫ٌساوي‬B‫الضرب‬ ‫حاصل‬ ‫أٌجاد‬ ‫الٌمكن‬ ‫وبخالفه‬

82. ‫مثال‬:‫لٌكن‬
,
011
321













B
3*2 2*2
‫فأن‬:











23
2221
13
1211
ccc
ccc
3*2












13
21
A
AB

83. ‫أن‬ ‫حٌث‬:
1)1(*)2()1(*)1(
1
1
)21(11 






c
9)0(*)1()3(*)3(
0
3
)13(23 





c
5)1(*)1()2(*)3(
1
2
)13(22 





c
4)1(*)1()1(*)3(
1
1
)13(21 






c
3)0(*)2()3(*)1(
0
3
)31(13 





c
4)1(*)2()2(*)1(
1
2
)21(12 





c

84. ‫فأن‬ ‫وعلٌه‬:









 

954
341
AB
3*2
‫ولكن‬BA‫مصفوفة‬ ‫األعمدة‬ ‫عدد‬ ‫ألنه‬ ‫معرف‬ ‫غٌر‬B‫عدد‬ ‫ٌساوي‬ ‫ال‬
‫المصفوفة‬ ‫صفوف‬A.
‫مالحظة‬:

85. ‫مثال‬:‫لٌكن‬
,
231
512










B
‫فأن‬:















12
21
43
AB
3*3














21
43
A



















1255
150
231510










231
512

86. ‫أن‬ ‫فنالحظ‬AB‫رتبة‬ ‫ذات‬ ‫مصفوفة‬3*3‫الن‬:
3*33*2
2*3
)( ABBA 
‫أٌجاد‬ ‫وٌمكن‬BA‫الن‬:
2*22*3
3*2
)(BAAB 











231
512
BA
3*2 2*3 2*2











124
1515

















12
21
43

87. ACABCBA  )(
‫رتبة‬n*r‫ولتكن‬c‫رتبة‬ ‫ذات‬ ‫مصفوفة‬r*n‫فأن‬:
)()( BCACAB 
‫فأن‬
nnaijA *)(
AAIAI nn 
‫مالحظة‬:‫أعاله‬ ‫المثال‬ ‫من‬ ‫نستنتج‬AB≠BA
‫مبرهنة‬1:‫لتكن‬A‫رتبة‬ ‫ذات‬ ‫مصفوفة‬m*n
‫من‬ ‫كل‬ ‫ولتكن‬B,C‫رتبة‬ ‫ذات‬ ‫مصفوفة‬n*r
‫فان‬:
‫مبرهنة‬2:‫لتكن‬A‫رتبة‬ ‫ذات‬ ‫مصفوفة‬m*n‫ولتكن‬B‫ذات‬ ‫مصفوفة‬
‫مبرهنة‬3:‫لتكن‬‫مربعة‬ ‫مصفوفة‬

88. ‫مثال‬:
T
A T
A



















73
51
02











 
750
312
‫فأن‬
2*3
3*2
‫لتكن‬A‫رتبة‬ ‫ذات‬ ‫مصفوفة‬m*n,‫المصفوفة‬ ‫مبدلة‬ ‫تعرف‬A‫المصفوفة‬ ‫بأنها‬
‫لها‬ ‫المناظرة‬ ‫عمده‬ ‫باال‬ ‫الصفوف‬ ‫أبدال‬ ‫من‬ ‫الحاصلة‬.
‫المصفوفة‬ ‫لمبدلة‬ ‫عادة‬ ‫وٌرمز‬A‫بالرمز‬,‫سعتها‬ ‫واضح‬n*m
‫الموضع‬ ً‫ف‬ ‫العنصر‬ ‫وان‬(i , j)‫من‬ ‫العنصر‬ ‫هو‬A‫الموضع‬ ً‫ف‬(i ,j)
A
T
A 

89. ‫مبرهنة‬1:‫لكل‬A
AA TT
)(
‫مبرهنة‬2:B,A‫الرتبة‬ ‫نفس‬ ‫من‬ ‫مصفوفتٌن‬
TTT
BABA  )(
‫مبرهنة‬3:‫كانت‬ ‫اذا‬A‫رتبة‬ ‫ذات‬m*n‫و‬B‫رتبة‬ ‫ذات‬ ‫مصفوفة‬n*p‫فأن‬
TTT
ABAB )(
‫تعرٌف‬:‫المربعة‬ ‫للمصفوفة‬ ‫ٌقال‬A‫متماثلة‬ ‫بأنها‬symmetric‫أذا‬
‫كانت‬AAT 
‫و‬‫كانت‬ ‫أذا‬ ‫انه‬ ‫اضح‬A‫متماثلة‬,‫فأن‬aijaij 

90. ‫المربعة‬ ‫للمصفوفة‬ ‫ٌقال‬A‫متماثلة‬ ‫بأنها‬,‫تخالفٌه‬skew-symmetric‫أذا‬
ً‫الرئٌس‬ ‫القطر‬ ‫عناصر‬ ‫وان‬ ‫أن‬ ‫أي‬ ‫كان‬
‫صفر‬ ‫تساوي‬.
T
AA aijaij 
‫تعرٌف‬:

91. 1-‫كانت‬ ‫أذا‬:
















 41
13
21
‫جد‬:CABBCA )(),(
A,B‫واحدة‬ ‫رتبة‬ ‫ذات‬ ‫مصفوفتٌن‬,‫ولٌكن‬AB=BA.‫أن‬ ‫اثبت‬
222
.2)( BBAABA 












103
142












112
011
A B C,
 
2-‫لتكن‬:
22
))(( BABABA 
,
1
2

92. 3-‫لٌكن‬:
















511
201
312
‫جد‬:ABBABA TT
,,
3-‫لٌكن‬:
















100
110
111
‫جد‬:2
,AAAT
4-‫المصفوفات‬ ‫باستعمال‬ ‫آالتٌة‬ ‫المعادالت‬ ‫نظام‬ ‫اكتب‬:
42  zyx
B
A, )001(
A
6534  zyx
0 yx

93. ‫حقٌقٌة‬ ‫أعداد‬ ‫عن‬ ‫عبارة‬ ‫القٌمة‬ ‫تكون‬ ‫أن‬ ‫وٌمكن‬.‫دالة‬ ‫اعتباره‬ ‫ٌمكن‬ ‫والمحدد‬
function.‫مربعة‬ ‫مصفوفة‬ ‫منطلقها‬,‫ومستقرها‬
‫فأن‬ ‫وعلٌة‬ ‫الحقٌقٌة‬ ‫األعداد‬
‫حقٌقٌة‬ ‫أعداد‬‫معرفة‬ ‫مصفوفة‬‫دالة‬
‫المحدد‬
‫تعرٌف‬:‫رتبة‬ ‫ذات‬ ‫مربعة‬ ‫مصفوفة‬ ‫لكل‬n*n‫معٌنة‬ ‫قٌمة‬,‫القٌمة‬ ‫وهذه‬
‫محدد‬ ‫اسم‬ ‫علٌها‬ ‫ٌطلق‬DETERMINANT.
RMD=

94. )(ADet A
ً‫ٌل‬ ‫كما‬:
bcad
dc
ba
A 
‫الثانٌة‬ ‫بالمرتبة‬ ‫الخاصة‬ ‫الطرٌقة‬ ‫تسمى‬ ‫الطرٌقة‬ ‫هذه‬.
‫تعرٌف‬:











dc
ba
A
‫رتبة‬ ‫من‬ ‫مصفوفة‬2*2‫المصفوفة‬ ‫محدد‬ ‫نعرف‬A‫والذي‬
‫أو‬ ‫أو‬ ‫له‬ ‫ٌرمز‬)(AD

95. ‫مثال‬:










42
13
‫فأن‬:
)1)(2(
A 
10
A )4)(3( 


96. ‫تعرٌف‬:‫لتكن‬
















33
3231
23
2221
13
1211
aaa
aaa
aaa
‫رتبة‬ ‫ذات‬ ‫مربعة‬ ‫مصفوفة‬3*3
‫نعرف‬ً‫ٌل‬ ‫كما‬: A
32
31
22
21
13
aa
aa
a
  3*3aijA  
A
33
32
23
22
11
aa
aa
a 
33
31
23
21
12
aa
aa
a 

97. ‫الثانٌة‬ ‫الرتبة‬ ‫ذات‬ ‫محددات‬ ‫إلى‬ ‫تحولت‬ ‫حٌث‬.
‫وٌمكن‬)()()()( 131312121111 ADaADaADaAD 
11A
‫المرافق‬ ‫المحدد‬*‫العنصر‬*‫العنصر‬ ‫أشاره‬
11a
A
ji
 )1(
‫المصفوفة‬ ‫من‬ ‫الحاصلة‬ ‫المصففة‬ ‫ٌمثل‬A‫العمود‬ ‫و‬ ‫األول‬ ‫الصف‬ ‫حذف‬ ‫بعد‬
‫للعنصر‬ ‫المرافق‬ ‫المحدد‬ ‫وٌسمى‬ ‫األول‬
‫الصٌغة‬ ‫تكون‬ ‫أو‬ ‫العامة‬ ‫الطرٌقة‬ ‫وهذه‬,‫باالعتماد‬ ‫محدد‬ ‫أي‬ ‫فك‬ ‫ٌمكن‬
‫وتكون‬ ‫عمود‬ ‫أو‬ ‫صف‬ ‫أي‬ ‫على‬
‫أشاره‬‫ٌكون‬ ‫أن‬ ‫أما‬ ‫العنصر‬‫أشاره‬‫العنصر‬j , i‫تكون‬

98. ‫كان‬ ‫فإذا‬i+j‫سالبة‬ ‫تكون‬ ‫فردي‬,‫موجبة‬ ‫تكون‬ ً‫زوج‬ ‫كانت‬ ‫إذا‬ ‫أما‬
‫اإلشارات‬ ‫جدول‬ ‫من‬ ‫أو‬



















‫االصفار‬ ‫من‬ ‫عدد‬ ‫اكبر‬ ‫ٌتضمن‬ ‫عمود‬ ‫أو‬ ‫صف‬ ‫نختار‬ ‫أن‬ ‫ٌفضل‬.

99. ‫الثالثة‬ ‫الرتبة‬ ‫من‬ ‫محدد‬ ‫قٌمة‬ ‫إلٌجاد‬ ‫الخاصة‬ ‫الطرٌقة‬
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A 
3231
2221
1211
aa
aa
aa
322113312312332211 aaaaaaaaa 
122133112332132231 aaaaaaaaa 

100. ‫مثال‬:‫لٌكن‬

















432
141
201
A
‫فأن‬:
32
41
2
42
11
0
43
14
1)( AD
310316)83(20316 

101. ‫أو‬:
432
141
201
A
32
41
01
03166016 
3

102. ‫لٌكن‬:




















44434241
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A 4*4)(aij

103. 444341
343331
242321
12
444342
343332
242322
11
aaa
aaa
aaa
a
aaa
aaa
aaa
aA 
‫األول‬ ‫الصف‬ ‫إلى‬ ‫نسبة‬ ‫نعرف‬
‫الثالثة‬ ‫المرتبة‬ ‫من‬ ‫محددات‬ ‫إلى‬ ‫تحولت‬ ‫حٌث‬.
A
434241
333231
232221
14
444241
343231
242221
13
aaa
aaa
aaa
a
aaa
aaa
aaa
a 

104. ‫اإلشارات‬ ‫جدول‬ ‫ٌكون‬ ‫حٌث‬
























‫الرتبة‬ ‫ذات‬ ‫المحددات‬ ‫قٌمة‬ ‫أٌجاد‬ ‫ٌمكن‬ ‫األسلوب‬ ‫وبنفس‬(n)‫من‬ ‫أكثر‬(4)....

105. ‫صف‬ ‫عناصر‬ ‫ضربت‬ ‫أذا‬(‫عمود‬ ‫أو‬)‫المصفوفة‬A‫عدد‬ ً‫ف‬X‫المحدد‬ ‫فقٌمة‬
ً‫ه‬ ‫الجدٌد‬. AX

















101
012
261
A

















101
012
6183
B ‫ولٌكن‬
‫وسنذكر‬ ‫المحددات‬ ‫أٌجاد‬ ً‫ف‬ ‫تساعدنا‬ ً‫الت‬ ‫المحددات‬ ‫خواص‬ ‫أهم‬ ‫سنذكر‬
‫بمثال‬ ‫منها‬ ‫كل‬ ‫وسنوضح‬ ‫براهٌن‬ ‫بدون‬ ‫الخواص‬.
1-‫األولى‬ ‫الخاصٌة‬:
‫مثال‬:‫لٌكن‬

106. ‫حٌث‬B‫المصفوفة‬A‫األول‬ ‫الصف‬ ‫عناصر‬ ‫ضرب‬ ‫بعد‬*3
01
12
6
11
02
18
10
01
3



B
‫صف‬ ‫عناصر‬ ‫جمٌع‬ ‫اشتركت‬ ‫أذا‬(‫عمود‬ ‫أو‬)‫اخراجة‬ ‫ٌمكن‬ ‫معٌن‬ ‫بمقدار‬
‫المحدد‬ ‫من‬ ‫مشترك‬ ‫كعامل‬
A3
 











 

01
12
2
11
02
6
10
01
13
‫نالحظ‬ ‫هذا‬ ‫من‬:

107. ‫المصفوفة‬ ‫محدد‬A‫المبدلة‬ ‫محدد‬ ‫ٌساوي‬.
T
AA 
‫مثال‬:‫كان‬ ‫أذا‬


















141
131
502
T
A


















115
430
112
A‫فأن‬
‫وأن‬
33,33  AAT
2-‫الثانٌة‬ ‫الخاصٌة‬:
‫أن‬ ‫أي‬:

108. ‫صف‬ ‫عناصر‬ ‫جمٌع‬ ‫كان‬ ‫أذا‬(‫عمود‬ ‫أو‬)‫للمصفوفة‬ ‫ما‬A‫أصفارا‬
‫فأن‬0A
‫مثال‬:‫كان‬ ‫ذا‬




















165
243
000
A
0
65
43
0
15
23
0
16
24
0 



A
3-‫الثالثة‬ ‫الخاصٌة‬:

109. ‫صفان‬ ‫أبدل‬ ‫أذا‬(‫عمودان‬ ‫أو‬)‫األخر‬ ‫مكان‬ ‫احدهما‬ ‫متجاوران‬.‫قٌمة‬ ‫فأن‬
‫فقط‬ ‫إشارتها‬ ‫تتغٌر‬ ‫المحدد‬.
‫مثال‬:‫كان‬ ‫أذا‬

















103
211
120
A
17A ‫فأن‬:
ً‫ه‬ ‫الجدٌدة‬ ‫فالمصفوفة‬ ‫األخر‬ ‫مكان‬ ‫منهما‬ ‫كل‬ ‫والثالث‬ ً‫الثان‬ ‫العمود‬ ‫أبدلنا‬ ‫لو‬

















013
121
210
B
BA  17B ‫فأن‬:‫منها‬:
4-‫الرابعة‬ ‫الخاصٌة‬:

110. ‫صفٌن‬ ‫تطابق‬ ‫أذا‬(‫عمودٌن‬ ‫أو‬)‫المصفوفة‬ ‫من‬ ‫مضاعفاتهما‬ ‫من‬ ‫أو‬A.
‫فأن‬0A
‫مثال‬:‫كان‬ ‫أذا‬




















123
354
123
A
0A ‫فأن‬:
5-‫الخامسة‬ ‫الخاصٌة‬:

111. ‫مثال‬:




















123
354
123
A
‫العلٌا‬ ‫الرتب‬ ‫من‬ ‫المحدد‬ ‫قٌمة‬ ‫إٌجاد‬ ‫عملٌة‬ ‫علٌنا‬ ‫تسهل‬ ‫الخاصٌة‬ ‫وهذه‬.
6-‫صف‬ ‫عناصر‬ ‫ضربت‬ ‫أذا‬(‫عمود‬ ‫أو‬)‫عدد‬ ً‫ف‬ ‫المصفوفة‬X.‫إلى‬ ‫وأضٌفت‬
‫صف‬ ‫من‬ ‫لها‬ ‫المناظرة‬ ‫العناصر‬(‫عمود‬ ‫أو‬)‫تتغٌر‬ ‫ال‬ ‫المحدد‬ ‫فقٌمة‬ ‫أخر‬

112. ‫الثالث‬ ‫الصف‬ ‫بضرب‬(-1)*‫المحدد‬ ‫ٌكون‬ ‫األول‬ ‫للصف‬ ‫واضافتة‬
0
123
354
000


A
‫عمود‬ ‫أو‬ ‫صف‬ ‫عناصر‬ ‫جمٌع‬ ‫كانت‬ ‫أذا‬=‫ا‬‫ا‬‫صفر‬
‫المحدد‬ ‫قٌم‬ ‫فأن‬=‫ا‬‫ا‬‫صفر‬

113. 7-‫القطر‬ ‫عناصر‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ‫ٌساوي‬ ‫المربعة‬ ‫القطرٌة‬ ‫المصفوفة‬ ‫محدد‬.
abc
c
b
a

00
00
00
‫ٌساوي‬ ‫الواحدٌة‬ ‫المصفوفة‬ ‫محدد‬1.
1nI
‫مثال‬:
‫نتٌجة‬:
‫أن‬ ‫أي‬

114. 8-‫كانت‬ ‫أذا‬B,A‫رتبة‬ ‫ذات‬ ‫مربعتٌن‬ ‫مصفوفتٌن‬n*n.
‫محددٌهما‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ‫ٌساوي‬ ‫ضربهما‬ ‫حاصل‬ ‫محدد‬ ‫فأن‬
BAAB 
‫نتٌجة‬:
1
A
1
A

115. ‫الخطٌة‬ ‫المعادالت‬ ‫أنظمة‬ ‫حل‬ ً‫ف‬ ‫هو‬ ‫للمحددات‬ ‫المهمة‬ ‫االستخدامات‬ ‫من‬
‫بالصٌغة‬ ‫المعادالت‬ ‫كانت‬ ‫فإذا‬
11212111 ....... bxaxaxa nn 


mnmnm bxaxaxa  ......2211

116. ً‫ٌل‬ ‫كما‬ ‫المصفوفات‬ ‫بصٌغة‬ ‫المعادلة‬ ‫نظام‬ ‫كتابة‬ ‫ٌمكن‬:
















mnm
n
n
aa
aa
aa
......
.
.
.......
.......
1
221
111
‫المعامالت‬ ‫مصفوفة‬ ‫تسمى‬ ‫فالمصفوفة‬
‫سنتعرف‬ ‫البند‬ ً‫ف‬ ‫أما‬ ‫الحذف‬ ‫أو‬ ‫التعوٌض‬ ‫بطرٌقة‬ ‫أما‬ ‫اآلتٌة‬ ‫المعادالت‬ ‫حل‬ ‫ٌمكن‬
‫أو‬ ‫المحددات‬ ‫باستخدام‬ ‫المعادالت‬ ‫حل‬ ‫على‬
nmaijA *)(
















mb
b
b
.
.
2
1
















mx
x
x
.
.
2
1

‫كرامر‬ ‫قاعدة‬Cramer rule

117. ‫الصٌغة‬ ‫حسب‬ ‫المجهولة‬ ‫القٌم‬ ‫حل‬ ‫على‬ ‫تنص‬ ‫حٌث‬
ni
A
A
x i
i ,.......2,1, 
‫العمود‬ ‫أبدال‬ ‫بعد‬ ‫المعادالت‬ ‫محدد‬ ‫أن‬ ‫حٌث‬(i)‫الثابتة‬ ‫بالقٌم‬
‫مثال‬1:‫المحددات‬ ‫باستخدام‬ ‫اآلتٌة‬ ‫الخطٌة‬ ‫المعادالت‬ ‫نظام‬ ‫حل‬
523  yx
0 yx
iA

118. 5
11
23










 
 AA
2,1 i
A
A
x i
i
5
10
25
11 









 
 AA
1
5
51

A
A
x

119. 1
5
52



A
A
y
‫و‬‫األٌمن‬ ‫الطرف‬ ‫مع‬ ‫تطابقها‬ ‫وبٌان‬ ‫المعادلة‬ ً‫ف‬ ‫بالتعوٌض‬ ‫الحل‬ ‫من‬ ‫التحقق‬ ‫ٌمكن‬
5
01
53
22 










 AA

120. ‫مثال‬:‫المحددات‬ ‫باستخدام‬ ً‫األت‬ ‫الخطٌة‬ ‫المعادالت‬ ‫نظام‬ ‫حل‬
32  zyx
1086  zyx
34  yx
‫الحل‬:















 

014
186
112
A

121. 28
14
12
1
14
86
)1( A
14
013
1810
113
1 

A
28
034
1106
132
2 

A

122. 28
314
1086
312
3 A
1
1
28
141

A
A
x
1
28
282

A
A
y 1
28
283



A
A
z

123. 1-‫التالٌة‬ ‫المحددات‬ ‫قٌم‬ ‫جد‬
200
010
004
137
110
000
0211
1021
0025

1
32

124. 2-‫أن‬ ‫اثبت‬
))()((
1
1
1
2
2
2
bcacab
cc
bb
aa

3-‫أن‬ ‫اثبت‬ ‫المحدد‬ ‫فك‬ ‫بدون‬
0
11
11
11




bca
acb
cba

125. 4-‫المحدد‬ ‫باستخدام‬ ‫اآلتٌة‬ ‫الخطٌة‬ ‫المعادالت‬ ‫أنظمة‬ ‫حل‬(‫كرامر‬ ‫طرٌقة‬)
1 zy
0 zyx
03  zyx
zyx 332 
123  yzx
zxy 223 
1
2

126. ‫لتكن‬A‫المرتبة‬ ‫من‬ ‫مربعة‬ ‫مصفوفة‬n.‫للمصفوفة‬ ‫ٌقال‬B‫أنها‬
‫المصفوفة‬ ‫عكس‬A‫كان‬ ‫أذا‬ ‫وفقط‬ ‫أذا‬
‫أن‬ ‫ٌقال‬ ‫وعندئذ‬A‫المصفوفة‬ ‫لمعكوس‬ ‫وٌرمز‬ ‫للعكس‬ ‫قابلة‬A‫بالرمز‬A-1
‫معكوس‬ ‫المربعة‬ ‫للمصفوفة‬ ‫ٌكون‬ ‫ال‬ ‫قد‬ ‫انه‬ ‫نؤكد‬ ‫أن‬ ‫ٌجب‬,‫كل‬ ‫لٌس‬ ‫أي‬
‫للعكس‬ ‫قابلة‬ ‫مربعة‬ ‫مصفوفة‬
‫مبرهنة‬:-‫لتكن‬A,B‫المرتبة‬ ‫من‬ ‫مربعتٌن‬ ‫مصفوفتٌن‬n,‫قابلة‬ ‫منهما‬ ‫كل‬ ‫ولتكن‬
‫فأن‬ ‫للعكس‬AB‫وان‬ ‫للعكس‬ ‫قابلة‬(AB)-1=B-1 A-1
nIBAAB 
‫تعرٌف‬:-
‫من‬ ‫له‬ ‫لما‬ ‫المصفوفات‬ ً‫ف‬ ‫المهمة‬ ‫المواضٌع‬ ‫من‬ ‫المربعة‬ ‫المصفوفة‬ ‫عكس‬
‫الخطٌة‬ ‫المعادالت‬ ‫حل‬ ً‫ف‬ ‫فائدة‬.

127. ‫المصفوفة‬ ‫معكوس‬ ‫إلٌجاد‬ ‫طرق‬ ‫عدة‬ ‫هناك‬A‫ٌمكن‬ ‫أذا‬ ‫للعكس‬ ‫القابلة‬
‫رتبة‬ ‫من‬ ‫المصفوفات‬ ‫إلٌجاد‬ ‫التعرٌف‬ ‫استخدام‬2*2‫أو‬3*3‫من‬ ‫ولكن‬
‫ذلك‬ ‫من‬ ‫أعلى‬ ‫رتبها‬ ‫كانت‬ ‫أذا‬ ‫الصعوبة‬.
‫طرٌقة‬ ‫أو‬ ‫المحددات‬ ‫طرٌقة‬ ‫استخدام‬ ‫ٌمكن‬ ‫أو‬‫كاوسن‬Guassn.
‫التعرٌف‬ ‫صٌغة‬:-
𝐷 𝐴 = 𝐴 = 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 ≠ 0
‫لٌكن‬𝐴 =
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
‫مرتبة‬ ‫ذات‬ ‫مربعة‬ ‫مصفوفة‬2*2
‫ولٌكن‬:
‫مصفوفة‬ ‫أٌجاد‬ ‫هو‬ ‫هدفنا‬𝑥 =
𝑥 𝑦
𝑧 𝑤

128. IXAAX 










dc
ba
01  bwaybzax
‫المصفوفة‬ ً‫ف‬ ‫نضعه‬ ‫ثم‬ ‫المجاهٌل‬ ‫نوجد‬x‫تمثل‬ ً‫والت‬
(‫المصفوفة‬ ‫معكوس‬A)
wzyx ,,,1
A
‫أن‬ ‫بحٌث‬:










10
01











wz
yx
‫وان‬:
10  dwcydzcx

129. =
𝐴 =
2 1
4 3
𝑥 𝑦
𝑧 𝑤
‫الحل‬:-
2 1
4 3
𝑥 𝑦
𝑧 𝑤
1 0
0 1
2𝑥 + 𝑧 = 1 2𝑦 + 𝑤 = 0
4x+3z=0 , 4y+3w=1
‫على‬ ‫نحصل‬ ‫المعادالت‬ ‫وبحل‬
𝑥 = 1, 𝑦 = −
1
2
,z=-1,w=1
‫نفرض‬A-1=
‫مثال‬1:-‫لٌكن‬,‫فجد‬1-A

130. 01.1
3
1
.3 A
‫فأن‬ ‫وعلٌه‬:-
‫مثال‬2:-
‫الحل‬:-
𝐴;1
=
1 − 1
2
−1 1
𝐴 =
3 1
1 1
3
‫كان‬ ‫اذا‬,‫جد‬𝐴;1
‫الن‬ ‫موجود‬ ‫غٌر‬ 𝐴;1

131. ‫كانت‬ ‫أذا‬ ‫الطرٌقة‬ ‫وبنفس‬A‫رتبة‬ ‫ذات‬ ‫مربعة‬ ‫مصفوفة‬3*3,
│A│≠0,‫خطٌة‬ ‫لمعادالت‬ ‫أنظمة‬ ‫ثلث‬ ‫على‬ ‫سنحصل‬,‫وكل‬
‫مجاهٌل‬ ‫ثلث‬ ‫ٌضم‬ ‫نظام‬,‫على‬ ‫نحصل‬ ‫الثلث‬ ‫األنظمة‬ ‫هذه‬ ‫وبحل‬
A-1.
‫أو‬ ‫العامة‬ ‫الصٌغة‬ ً‫سنعط‬(‫العام‬ ‫القانون‬)‫إلٌجاد‬‫مصفوفة‬ ‫معكوس‬
‫رتبة‬ ‫ذات‬ ‫مربعة‬n*n.
‫لتكن‬(A=(aij‫رتبة‬ ‫ذات‬ ‫مربعة‬ ‫مصفوفة‬n*n,‫ولٌكن‬
d(a)≠0.‫فأن‬A‫للكسر‬ ‫قابلة‬.

132. ),1(
)(
)()1(1
nji
AD
AijD
A
TJI





 



A
Aadj
A
)(1

‫وان‬:
‫أو‬:
‫من‬ ‫الحاصل‬ ‫المصفوفة‬ ‫ٌمثل‬ ‫أن‬ ‫حٌث‬A‫الصف‬ ‫حذف‬ ‫بعد‬i
‫والعمود‬j.‫العنصر‬ ‫محدد‬ ‫وٌسمى‬aij
Aij

133. 















432
101
021
32
01
0
42
11
2
43
10
1 A
‫مثال‬:-‫جد‬‫المصفوفة‬ ‫معكوس‬
‫الحل‬:-
42
11
)( 12 AD
3
43
10
)( 11 AD
743 
A

134. 3
32
01
)( 13 AD
1
32
21
)( 23 AD
4
42
01
)( 22 AD
8
43
02
)( 21 AD

135. 2
10
02
)( 3 1 AD





















7
2
7
1
7
3
7
1
7
4
7
2
7
2
7
8
7
3




















212
148
323
7
11


A
2
01
21
)( 33 AD
1
11
01
)( 32 AD
𝑇

136. ‫التالٌة‬ ‫المصفوفات‬ ‫معكوس‬ ‫جد‬:-
𝐴 =
2 1 2
0 3 − 1
4 1 1
𝐵 =
2 4 3
−1 3 0
0 2 1
C=















3000
0100
0020
0004

137. ‫المحددات‬ ‫بند‬ ً‫ف‬ ‫ذكرت‬ ‫كما‬ ‫معادالت‬ ‫منظومة‬ ‫لدٌنا‬ ‫لتكن‬
= BXA
‫إن‬ ‫حٌث‬A=‫المعادالت‬ ‫مصفوفة‬.
X=‫المتغٌرات‬ ‫متجه‬.
B=‫الثانٌة‬ ‫القٌمة‬ ‫متجه‬.
‫عندما‬‫تكون‬A‫قابلة‬‫للعكس‬
B1-= AXA1-A
X = A-1 B

138. ‫مثال‬:-‫أآلتٌه‬ ‫الخطٌة‬ ‫المعادالت‬ ‫منظومة‬ ‫لحل‬ ‫المصفوفة‬ ‫معكوس‬ ‫طرٌقة‬ ‫استخدم‬
X1 + X2 + X3 = 7
X1 + 2X2 + 3X3 = 16
X1 + 3X2 + 4X3 = 22
‫الحل‬:-‫مرتبة‬ ‫المعادالت‬
ً‫التال‬ ‫بالشكل‬ ‫بالمصفوفة‬ ‫المعادالت‬ ‫منظومة‬ ‫عن‬ ‫التعبٌر‬ ‫ٌمكن‬
1 1 1
1 2 3
1 3 4
𝑥1
𝑥2
𝑥3
=
7
16
22
A 𝑋= 𝑏
𝑥1
𝑥2
𝑥3
=
1 1 1
1 2 3
1 3 4
-1 7
16
22

139. Mij
ji
ijij

 )1(
‫المرافقة‬ ‫المعامالت‬ ‫مصفوفة‬ ‫أٌجاد‬ ‫ٌتطلب‬adjA
‫أن‬ ‫حٌث‬A‫فأن‬ ‫لذلك‬ ‫متماثلة‬ ‫مصفوفة‬:
A
Aadj
A
)(1

1)34(
41
31
)1(
21
2112 


1)98(
43
32
)1(
11
11 



140. 1)23(
31
21
)1(
31
3113 


1)12(
21
11
)1(
33
33 


2)13(
31
11
)1(
32
3223 


3)14(
41
11
)1(
22
22 



141. 



















121
231
111
)( BBAadj
‫فأن‬ ‫وعلٌه‬:
ً‫ٌعن‬ ‫وهذا‬:1,3,3 123  xxx










3
3
1










22
16
7



















121
231
111










3
2
1
x
x
x



















121
231
111

A
Aadj
A
)(1

1)1)(1()1)(1()1)(1(131312121111   aaaA
 

142. ‫مثال‬2:-‫الخطٌة‬ ‫المعادالت‬ ‫منظومة‬ ‫لحل‬ ‫المصفوفة‬ ‫معكوس‬ ‫طرٌقة‬ ‫استخدم‬
‫طرٌقة‬ ‫باستخدام‬ ‫النتٌجة‬ ‫صحة‬ ‫من‬ ‫تحقق‬ ‫ثم‬ ‫اآلتٌة‬‫كرامر‬(‫المحددات‬. )
-2x1 + 3x2 – 3 = x3
x1 + 2x3 + 4x2 = 4
3x1 – 2x2 + 4x3 +2 = 0
‫الحل‬:-‫المعادالت‬ ‫ترتٌب‬
-2x1 + 3x2 – x3 = 3
x1 + 4x2 + 2x3 = 4
3x1 – 2x2 + 4x3 = -2

143. ‫بالمصفوفات‬ ‫المعادالت‬ ‫عن‬ ‫نعبر‬


















423
241
132










 2
4
3


















423
241
132










3
2
1
x
x
x
BAx
1



 BXA










2
4
3











3
2
1
x
x
x


144. Mij
ji
ij

 )1(
‫أٌجاد‬ ‫ٌتطلب‬A-1
adj (A)=1-A
│A│
‫الصٌغة‬ ‫وفق‬ ‫المرافقة‬ ‫المعادالت‬ ‫مصفوفة‬ ‫أٌجاد‬ ‫ٌتطلب‬
𝐵 =
20 2 14
−10 − 5 5
10 3 − 11

145. ‫نجد‬ ‫ثم‬│A│
20131312121111   aaaA
𝑎𝑑𝑗 𝐴 = 𝐵 𝑇
=
20 − 10 10
2 − 5 3
14 5 − 11
𝐴;1
=
−1 1
2
− 1
2
− 1
10
1
4
− 3
20
7
10
− 1
4
11
20

146. 𝑋1
𝑋2
𝑋3
=
−1 1
2
− 1
2
− 1
10
1
4
− 3
20
7
10
− 1
4
11
20
3
4
−2
=
0
1
0
ً‫ٌعن‬ ‫وهذا‬𝑋3=0, 𝑋2 = 1, 𝑋1=0
‫اٌجاد‬ ‫فالمطلوب‬ ‫المحددات‬ ‫باستخدام‬ ‫اما‬𝐴3 , 𝐴2 , 𝐴1 , 𝐴
𝐴 =-20

147. 𝐴1 =
3 3 − 1
4 4 2
−2 − 2 4
=0,
𝐴2 =
−2 3 − 1
1 4 2
3 − 2 4
=-20
𝐴3 =
−2 3 3
1 4 4
3 − 2 − 2
=0

148. 𝑋1=
𝑋2=
𝑋3=
𝐴1
𝐴
=
𝐴2
𝐴
=
𝐴3
𝐴
=
0
;20
= 0
0
;20
= 0
;20
;20
= +1
𝑋1=0
𝑋2=+1
𝑋3=0
‫المصفوفة‬ ‫معكوس‬ ‫باستخدام‬ ‫علٌها‬ ‫حصلنا‬ ً‫الت‬ ‫النتٌجة‬ ‫نفس‬ ً‫وه‬

149. ‫السؤال‬ ً‫ف‬ ‫المعادالت‬ ‫منظومة‬ ‫حل‬
‫الرابع‬‫صفحة‬(45)‫باستخدام‬
‫المصفوفة‬ ‫معكوس‬

150. ‫بصٌغة‬ ‫تكتب‬ ً‫الت‬ ‫الدوال‬ ‫أن‬((y= f(x)‫الصٌغة‬ ‫بهذه‬ ‫تكتب‬ ً‫الت‬ ‫والدالة‬
‫المتغٌر‬ ‫ٌكتب‬ ‫حٌث‬ ‫صرٌحة‬ ‫دالة‬ ‫تسمى‬y‫بداللة‬ ‫وواضحة‬ ‫جلٌة‬ ‫بصورة‬
‫المتغٌر‬x.
‫المتغٌرٌن‬ ‫بٌن‬ ‫علقات‬ ‫هناك‬ ‫توجد‬ ‫ولكن‬y,x‫عن‬ ‫التعبٌر‬ ‫الصعب‬ ‫من‬y
‫بداللة‬x.
‫التالٌة‬ ‫العلقات‬ ‫مثل‬y2x + xy2 = 3
X2 + y2 = x y + 2
‫الدوال‬ ‫مشتقة‬ ‫وإلٌجاد‬ ‫الضمنٌة‬ ‫الدوال‬ ‫اسم‬ ‫علٌها‬ ‫ٌطلق‬ ‫الدوال‬ ‫من‬ ‫النوع‬ ‫وهذا‬
‫اآلتٌة‬ ‫الطرٌقة‬ ‫نستخدم‬ ‫الضمنٌة‬
((‫إلى‬ ‫بالنسبة‬ ‫المعادلة‬ ‫حدود‬ ‫من‬ ‫حد‬ ‫كل‬ ‫نشتق‬x‫نعامل‬ ‫حٌث‬y‫إلى‬ ‫كدالة‬x
‫نستخرج‬ ‫وبعدها‬d y / d x))
ً‫الضمن‬ ‫التفاضل‬ ‫بطرٌقة‬ ‫الطرٌقة‬ ‫هذه‬ ‫وتدعى‬

151. 1 𝑋2
+
1
2
xy + 𝑦3
=0
‫مثال‬:‫األتٌة‬ ‫الدوال‬ ‫من‬ ‫لكل‬ ‫جد‬dx
dy
03)1.()1.(
2
1
2
2





dx
dy
yy
dx
dy
xx
03
22
2
2

dx
dy
y
y
dx
dyx
x
yx
dx
dy
y
dx
dy
x  46
2
2
6
4
yx
yx
dx
dy




152. 2
3
xxyyx 7104 233

70)1()2(123 222
 y
dx
dy
yx
dx
dy
yx
73)212( 222
 xyxyy
dx
dy
xyy
xy
dx
dy
212
73
2
22



034 22
 xyxyx
0)1()2()1(338 2
 y
dx
dy
yxy
dy
dx
xx
yxy
dx
dy
xy
dx
dy
x 3823 2

yxyxyx
dx
dy
38)23( 2

xyx
yxy
dy
dx
23
382




153. 1
2
3
4
5
6
7
dx
dy
‫جد‬‫اآلتٌة‬ ‫الدوال‬ ‫من‬ ‫لكل‬:
52
3
)2
1
( x
x
xy 
22
4)1( xxy 
x
x
y
1
5


yyxyx 52 33

yx
yx
x
2
22



34
2)32( yx 
xxu
u
y 25,
1 2
3


154. 3
2
1
‫أخر‬ ‫إلى‬ ‫ضلع‬ ‫نسبة‬ ‫عن‬ ‫عبارة‬ ً‫ه‬,‫الزاوٌة‬ ‫القائم‬ ‫المثلث‬ ً‫فف‬a b c
a b
c
ac
bc
xy  sin
ac
ab
xy  cos
ab
bc
x
x
xy 
cos
sin
tan
‫المثلثٌة‬ ‫النسب‬:

155. 1
2
3
‫التالٌة‬ ‫األمثلة‬ ً‫ف‬ ‫كما‬ ‫مثلثٌه‬ ‫دالة‬ ‫تدعى‬ ‫المثلثٌة‬ ‫النسب‬ ‫هذه‬ ‫من‬ ‫أكثر‬ ‫أو‬ ‫واحده‬ ‫على‬ ‫تحتوي‬ ‫دالة‬ ‫كل‬:-
)2cos(4)3sin( xxy 
)3sin(3)4cot( xxy 
xxyy csc)cot( 
4
6
5
ab
ac
x
xy 
cos
1
sec
bc
ac
x
xy 
sin
1
csc
bc
ab
x
x
x
xy 
sin
cos
tan
1
cot

156. 1
2
3
4
5
1cossin 22
 xx
xx 22
sec1tan 
xx 22
csc1cot 
xxx cossin22sin 
 xx 2cos1
2
1
sin2


157. 6
7
8
9
 xx 2cos1
2
1
cos2

xxx 22
sincos2cos 
;
sec
1
cos;
csc
1
sin
x
x
x
x 
x
x
x
x
x
x
sin
cos
cot,
cos
sin
tan 
);cos()cos();sin()sin( xxxx 
);cot()cot();tan()tan( xxxx 
);csc()csc(;sec)sec( xxxx 

158. 1
1‫أن‬ ‫حٌث‬ ‫كانت‬ ‫أذا‬‫فأن‬: )sin(uy )(xfu 
d
du
u
dx
dy
).cos(
‫مثال‬:‫التالٌة‬ ‫الدوال‬ ‫من‬ ‫لكل‬ ‫اوجد‬dx
dy
)3sin( xy 
3).3cos( x
dx
dy

)3cos(3 x

159. 2
3
)1sin( 2
 xy
2
1
2
)1sin(  xy
xxx
dx
dy
2.)1(
2
1
.)1cos( 2
1
22
1
2


1
)1cos(
2
2



x
xx
)6(sin2
xy 
  6).6cos(.)6sin(2 xxy 
)6cos().6sin(12 xx

160. 2
1
2
‫أن‬ ‫حٌث‬ ‫كانت‬ ‫أذا‬‫فأن‬: )cos(uy )(xfu 
dx
du
u
dx
dy
).sin(
)
1
cos( 2
x
xy 
)cos( 2
1
2

 xxy
)
2
1
2).(sin( 2
3
2
1
2

 xxxx
dx
dy
)3cos(
1
x
y 
  2
1
)3cos(

 xy

161. 3
3
))5cos(sin( xy 
5).5cos()).5sin(sin( xx
dx
dy

)5cos().5sin(sin(5 xx
‫أن‬ ‫حٌث‬ ‫كانت‬ ‫أذا‬‫فأن‬: )tan(uy )(xfu 
dx
du
u
dx
dy
).(sec2

  )3).3sin(.()3cos(
2
1 2
3
xx
dx
dy


  2
3
)3cos()3sin(
2
3 
 xx

162. 4
5
6
‫أن‬ ‫حٌث‬ ‫كانت‬ ‫أذا‬‫فأن‬: )sec(uy )(xfu 
dx
du
uu
dx
dy
).tan().sec(
‫أن‬ ‫حٌث‬ ‫كانت‬ ‫أذا‬‫فأن‬:
‫أن‬ ‫حٌث‬ ‫كانت‬ ‫أذا‬‫فأن‬:
)cot(uy )(xfu 
dx
du
u
dx
dy
).(csc2

)csc(uy )(xfu 
dx
du
uu
dx
dy
).cot().csc(

163. 1-
2-
3-
4-
‫جد‬
dx
dy
‫االتٌة‬ ‫الدوال‬ ‫من‬ ‫لكل‬
)(sin)2sin( 22
xxxxy 
1
)2cos(
2


x
x
y
)3(sin2)3(cos2 22
xxy 
)2cos()2sin( xyyx 

164. 5-
6-
7-
9-
8-
22
))5(csc()sec( xxy 
1)4(tan
1
2


x
y
)2sin()sin(2
yyx 
30)tan(2
 xyx
))2cot(sin( xy 

165. -1
-2Ln
r
a annLog 
‫العدد‬ ‫لنتج‬ ‫لألساس‬ ‫كأس‬ ‫رفع‬ ‫لو‬ ‫الذي‬ ‫العدد‬ ‫ذلك‬ ‫هو‬ ‫اللوغارٌتم‬ ‫تعرٌف‬.‫وٌكون‬
‫اللوغارٌتمات‬ ‫من‬ ‫نوعان‬ ‫وهناك‬:‫ــــ‬
‫األساس‬ ‫ٌكون‬ ‫وفٌه‬ ‫االعتٌادي‬ ‫اللوغارٌتم‬10‫له‬ ‫وٌرمز‬‫ب‬
‫ب‬ ‫له‬ ‫وٌرمز‬ ‫األساس‬ ‫ٌكون‬ ‫وفٌه‬ ً‫الطبٌع‬ ‫اللوغارٌتم‬
Log

166. ‫تفاضل‬(‫المشتقة‬)‫دالة‬‫حٌث‬ ‫كانت‬ ‫إذا‬ ً‫الطبٌع‬ ‫اللوغارٌتم‬‫إن‬𝒖 = 𝒇 𝒙
vLnuLnvuLn  )(
dx
du
udx
dy
.
1

uLnnuLn n

vLnuLn
v
u
Ln )(
1
3
2
𝒚 = 𝑳𝒏(𝒖)
‫فأن‬:

167. 2
232
)1)(1(  xxLny
232
)1()1(  xLnxLny
)1(2)1( 32
 xLnxLn
1
6
1
2
3
2
2




x
x
x
x
dx
dy
‫مثال‬:-‫التالٌة‬ ‫الدوال‬ ‫من‬ ‫لكل‬ ‫جد‬:-
)2( 2
xxLny 
)22.(
2
1
2


 x
xxdx
dy
1
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑦 𝑥
𝑥:2
:𝐿𝑛(𝑥:2)
‫فأن‬ ‫اللوغارٌتم‬ ‫خواص‬ ‫بتطبٌق‬

168. 3 )2(cos xLny 
)2cos(
)2sin(2
)2).2sin(.(
)2cos(
1
x
x
x
xdx
dy

)2tan(2 x
‫العملٌات‬ ‫ٌبسط‬ ‫اللوغارٌتم‬‫اللوغارٌتم‬ ‫نأخذ‬ ‫متغٌر‬ ‫أس‬ ‫متغٌر‬ ‫ٌكون‬ ‫وعندما‬
‫للطرفٌن‬‫نشتق‬ ‫ثم‬‫الطرفٌن‬
4
x
xy )2( 

169. x
xLnLny )2( 
)2(  xxLn
1).2()1.(
2
1
.
1


 xLn
x
x
dx
dy
y








 )2(
2
xLn
x
x
y
dx
dy








 )2(
)2(
)2( xLn
x
x
x
x

170. Lnyx 
x
ey 
2121
. xxxx
eee 

‫لألساس‬ ‫آسٌة‬ ‫دالة‬ ‫تدعى‬ ‫وهذه‬e‫واألس‬x‫اللوغارٌتمٌة‬ ‫الدالة‬ ‫معكوس‬ ً‫ه‬ ‫اآلسٌة‬ ‫والدالة‬
‫فان‬ ‫كانت‬ ‫إذا‬
ueLn u

ue
uLn

x
x
e
e
1

21
2
1
xx
x
x
e
e
e 

1-
2- 5-
4-
3-

171. 1
‫اآلسٌة‬ ‫الدالة‬ ‫مشتقة‬:-‫أن‬ ‫حٌث‬ ‫كانت‬ ‫أذا‬
u
ey )(xfu ‫فأن‬:
dx
du
e
dx
dy u
.
‫أمثلة‬:‫جد‬dx
dy
‫األتٌة‬ ‫الدوال‬ ‫من‬ ‫لكل‬
22
32 xxx
eey  
)6()22.(
22
32
xexe
dx
dy xxx
 
22
32
6)22( xxx
xeex  

172. 3
2
xx
ey 2cos4sin 

)2).(2sin()4.(4.(cos2cos4sin
xxe
dx
dy xx
 
xx
exx 2cos4sin
)2sin(2)4cos(4( 

)4sin44cos2(2
xxey x

  2.).4sin44cos2(4).4cos(44).4sin((2. 22 xx
exxxxe
dx
dy

)4sin(8)4cos(4)4cos(164sin8 2222
xeexxexe xxxx

))4(cos(20 2
xe x


173. 4
5
x
x
e
e
Lny


1
)1( xx
eLnLne 
1..
1
1
1..
1 x
x
x
x
e
e
e
edx
dy


x
x
e
e


1
1
30 yLnx
Lnee
30 yx
xy  30
1
dx
dy

174. 1-
2-
5-
4-
3-
7-
6-
8-
10
)(Lnxy 
)sec(tan xxLny 
2 2
2.3(  xxLny
x
x
Lny



1
1
2
1 2
yLnxxLny 
2
1
1
x
x
Lny



2
tan)4( 2 x
xxy 
22
)1(
2
1
xLnLnxy 

175. 9
10
11
12
13
14
15
LnxyLnx 2)1()1( 
x
x
Lny
sin1
sin1



)(sin yxLny 
LnxeLny x

)(LnxLney x

13 2

 x
exy
1)3(sin 22
 xy
exy

176. 16
18
17
x
y
xey
sin
x
y
Lne yx

x
xy cos
)3( 

177. ‫دالة‬ ‫الواقع‬ ً‫ف‬ ‫تكون‬ ‫والثانٌة‬ ‫األولى‬ ‫الحالتٌن‬ ‫من‬ ‫كل‬ ً‫وف‬‫اشتقاقها‬ ‫وٌمكن‬ ‫واحد‬ ‫لمتغٌر‬
‫المناسبة‬ ‫االشتقاق‬ ‫وقوانٌن‬ ‫قواعد‬ ‫إلى‬ ‫ا‬‫ا‬‫استناد‬‫ا‬‫ا‬‫سابق‬ ‫والمعروفة‬.
),( yxfz xy,xy,
xy
yx
xy,
z
x
yzx x
‫أن‬ ‫وبما‬ ‫المستقلٌن‬ ‫المتغٌرٌن‬ ً‫ف‬ ‫دالة‬ ‫لتكن‬‫متغٌران‬
‫أن‬ ‫ٌمكننا‬ ‫فأننا‬ ‫مستقالن‬:-
1-‫ثابتة‬ ‫وتترك‬ ‫تتغٌر‬ ‫أن‬ ‫ل‬ ‫نسمح‬.
2-‫ثابتة‬ ‫وتترك‬ ‫تتغٌر‬ ‫أن‬ ‫ل‬ ‫نسمح‬.
3-‫واحد‬ ‫أن‬ ً‫ف‬ ‫ٌتغٌران‬ ‫أن‬ ‫ل‬ ‫نسمح‬.
‫بالنسبة‬ ‫ومشتقتها‬ ً‫ف‬ ‫دالة‬ ‫تكون‬ ‫فعندئذ‬ ‫ثابتة‬ ‫بقاء‬ ‫مع‬ ‫تغٌرت‬ ‫فإذا‬
ً‫ه‬ ‫إلى‬:

178. ‫الجزئٌة‬ ‫بالمشتقة‬ ‫وتسمى‬‫األولى‬‫ل‬z‫بالنسبة‬‫إلى‬.x
‫أذا‬ ‫أما‬‫تغٌرت‬y‫بقاء‬ ‫مع‬x‫فان‬ ‫ثابتة‬zً‫ف‬ ‫دالة‬ ‫تكون‬y‫بالنسبة‬ ‫ومشتقتها‬‫ل‬yً‫ه‬:-
‫الجزئٌة‬ ‫بالمشتقة‬ ‫وتسمى‬‫األولى‬‫ل‬z‫بالنسبة‬‫إلى‬y‫أذا‬ ‫أما‬‫كانت‬z
ً‫ف‬ ‫كدالة‬ ً‫ضمن‬ ‫بشكل‬ ‫معرفة‬x ,y‫بالعلقة‬‫فانه‬‫ٌمكن‬‫أٌجاد‬
‫المشتقتٌن‬‫الجزئٌتٌن‬‫درسناها‬ ً‫الت‬ ً‫الضمن‬ ‫االشتقاق‬ ‫قاعة‬ ‫باستخدام‬ً‫ا‬‫سابق‬.
x
yxfyxxf
x
x
z




 ),(),(
0lim
y
yxfxyxf
x
z




 ),(),(
0lim
0),,( zyxf
y
z
x
z




,

179. hg
yy
xx
yxz
2020
6006
63_1 22







63 22
 yxz
42
)43( yxz 
‫أمثلة‬:-‫جد‬
1
2
yy 2020 


xx 6006 


32
)43(16 yx 
)4()43(4 32
yx 


32
)43(24 yxx 
)6()43(4 32
xyx 


x
z
y
z




,ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫لكل‬:-

180. 4
3
)2(sec122).2(sec60 22
yy 


)3sin(120)3).3sin((4 xx 


yx 83 


yx 34 


)2tan(6))3cos(4( yxz 
22
432 yxyxz 

181. )32sin( yxz 
2
2
122 2
)2()(
y
x
x
y
yxyx
y


 
2
2
221 2
)()2(
x
y
y
x
xyxy 

 
2121
yxxyz 

6
5
)32cos(3)30).(32cos( yxyx 


)32cos(2)02).(32cos( yxyx 


x
y
y
x
z
22
2 

182. ‫ضمنٌة‬ ‫الدالة‬‫ت‬‫الضمنٌة‬ ‫الدالة‬ ‫حدود‬ ‫من‬ ‫حد‬ ‫كل‬ ‫شتق‬Z‫إلى‬ ‫بالنسبة‬x‫معتبرٌن‬y‫أن‬ ‫حٌث‬ ‫ثابت‬
z
x
z
x
x
z





2
2
x
x
z
z 22 


0202 



x
z
zx
25222
 zyx
xyxxyx
xexe 


 22
)0(
)2(
2
yxe xyx


 
7
8
xyx
ez 

2

183. 1 zxyzxy
z
y
z
y
y
z





2
2
9
xy
zy
xy
zy








zyxy 


)(
0






x
z
xz
x
z
yy
‫إلى‬ ‫بالنسبة‬x
0220 



y
z
zy
‫إلى‬ ‫بالنسبة‬ ‫ا‬‫ا‬ٌ‫ضمن‬ ‫نشتق‬ ‫ثم‬y‫أن‬ ‫معتبرٌن‬x‫ثابت‬:

184. 0))1(( 






y
z
xz
y
z
yx
zxxy
y
z



)(
‫ثم‬‫ضمنٌا‬ ‫نشتق‬z‫بالنسبة‬‫إلى‬y‫معتبرٌن‬‫أن‬x‫ثابت‬
zy
yx
xy
zx
y
z









185. ‫جد‬‫التالٌة‬ ‫الدوال‬ ‫من‬ ‫لكل‬:-
23
2
3
46
yx
yx
z



)43ln( 2
yxz 
)tan(
x
y
z 
))4)(cos(3sin( yxz 
22
x
y
y
x
z 
1
2
3
5
4
6
x
z
y
z




,
22
32 yxyxz 

186. ‫أذا‬‫كانت‬‫اثبت‬‫أن‬
‫أذا‬‫كانت‬‫اثبت‬‫أن‬1





y
z
y
x
z
x
z
y
z
y
x
z
x 





0 xyxzyz
063 23
 xyzyxz
369_4 222
 zyx
7
8
9
10
11
12 22
yxLnz 
22
yxz 
22
2
6 yx
exz 


187. ‫المجاالت‬ ً‫ف‬ ‫االستخدام‬ ‫والكثٌرة‬ ‫المهمة‬ ‫الرٌاضٌة‬ ‫المفاهٌم‬ ‫من‬ ‫التكامل‬ ‫موضوع‬ ‫إن‬
‫األخرى‬ ‫والعلوم‬ ‫واإلحصائٌة‬ ‫الهندسٌة‬.
‫مهمٌن‬ ‫معنٌٌن‬ ‫على‬ ‫ٌدل‬ ‫التكامل‬,‫المشتقة‬ ‫بمعكوس‬ ‫ٌسمى‬ ‫ما‬ ‫األول‬anti-dreviative‫أو‬
‫المحدد‬ ‫غٌر‬ ‫التكامل‬indefinite integral.‫المساحات‬ ‫بإٌجاد‬ ‫ٌتعلق‬ ً‫الثان‬ ‫والمعنى‬
‫واإلحصائٌة‬ ‫الهندسٌة‬ ‫التطبٌقات‬ ‫من‬ ‫كثٌر‬ ً‫وف‬ ‫المنحنٌات‬ ‫وأطوال‬ ‫والحجوم‬,‫ٌطلق‬ ‫والذي‬
‫اسم‬ ‫علٌه‬‫المحدد‬ ‫التكامل‬definite integral
‫الدالة‬ ‫إٌجاد‬ ‫عملٌة‬ ‫أن‬f(x)‫التفاضلٌة‬ ‫دالتها‬ ً‫الت‬(‫مشتقتها‬)f(x)‫بالتكامل‬ ‫تدعى‬,‫وتكتب‬
ً‫التال‬ ‫بالشكل‬ ‫الرموز‬:

188.   cxfdxxf )()(
‫إن‬ ‫حٌث‬:‫تكامل‬ ‫ٌقرأ‬f(x)‫المتغٌر‬ ‫إلى‬ ‫بالنسبة‬x
F(x):‫التكامل‬ ‫ٌسمى‬
F(x)+c:‫قٌمة‬ ‫ٌسمى‬(‫ناتج‬)‫التكامل‬,c‫هذا‬ ‫وٌعرف‬ ‫للتكامل‬ ‫ثابت‬
‫المحدد‬ ‫غٌر‬ ‫بالتكامل‬ ‫التكامل‬ ‫من‬ ‫النوع‬.
  cxfdxxf )()(
‫فٌكون‬ ‫المحدد‬ ‫التكامل‬ ‫أما‬:
 b
a
b
a
xfdxxf  )()(
‫أن‬ ‫حٌث‬:
a , b:‫التكامل‬ ‫حدود‬ ‫تسمى‬a ≤ b
a:‫األدنى‬ ‫الحد‬
b:‫األعلى‬ ‫الحد‬

189. ‫أن‬ ‫حٌث‬‫القوس‬ ‫داخل‬ ‫مشتقة‬
‫وان‬n≠-1
)(xf 
1
5
4
3
2
    c
n
xf
dxxfxf
n
n




 1
)(
)()(
1
c
n
x
dxx
n
n




 1
1
     dxxgdxxfdxxgxf )()()()( 
   ckxdxkkdx
  cxdx

190. c
x
dxx 




 2
2
3
cxx
x
 3
3
2
3
cx
xx
 3
2
2
3
23
   dxxdxdxx 322
dxxx )32( 2
1
2

191. ctc
t
dttdtt   2
52
5
2
3
3
5
2
2
5
3
dx
xx
x )1
11
( 2
3
4
dxxxx )1( 2
1
23




 


dxdxxdxxdxx
2
1
23
cx
xxx




2
114
2
1
14

192. ‫التكامل‬ ‫أٌجاد‬ ً‫ف‬ ‫ومشتقة‬ ‫القوس‬ ‫قاعدة‬ ‫بتطبٌق‬
5 dxxxx )22()32( 22

    c
n
xf
dxxfxf
n
n




 1
)(
)()(
1
c
xx



3
)32( 32

193. dxxx 22
1
3
)2( 
dxxx 23
3)2(
3
1
 
cxc
x


 2
3
3
2
3
3
)2(
9
2
2
3
)2(
3
1
6
7 xdxx 102
)3( 
xdxx 2)3(
2
1 102
 
c
x



11
)3(
2
1 112

194. dxxxx )1()2( 2

dxxxxdxxxx )22()2(
2
1
)1()2( 2
1
22
1
2
 
c
xx



2
3
)2(
2
1 2
3
2
cxx  2
3
2
)2(
3
1
8
9 dxx 5
)
2
1
1( 
dxx )
2
1
()
2
1
1(2 5
 
c
x
c
x





3
)
2
1
1(
6
)
2
1
1(
2
66

195. 10 dxxx 232
)1( 
  dxxxxx 23222232
)1()1)((3)1()(3)( 
dxxxxx 2246
)133(  
dxxxxx 2468
33  
dxxdxxdxxdxx   2468
33
c
xxxx

35
3
7
3
9
3579

196. 2
1
2
2
1
2
)101(
10
1
2
1
)101(
20
1
y
y



ydyy 2
1
2
)101(

 
  2
101 y
ydy
11
12 dx
x
xxx

 25
dxxxxx 2
1
25
)(

 

197. dxxdxxdxx   2
1
2
3
2
9
cxxxc
xxx
 2
3
2
5
2
112
3
2
5
2
11
3
2
5
2
11
2
2
3
2
5
2
11

198. 2
3
4
5
6
1 dxx
2
dxxx 324
)1( 
dxx
3 5
dtttt )23
2
1
( 45
 

dxxx )1)(2( 
dxx
3

199. 7
8 dxxxx )1()2( 42

dxx

 2
)23(
9
10
11
dx
x
x
 3
5
2
  2
)1( t
dt
xdxx )31( 2
 

200. 14
13
12 dx
x
x
 

2
)2(
42
 


23
4
)1(
10
3
25
t
dt
dx
x
xx
dx
x
xx


3
4
3
25

201. ‫كانت‬ ‫أذا‬f(x)‫المغلقة‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬[ a, b]‫ولتكن‬f(x)‫كل‬ ‫أن‬ ‫بحٌث‬ ‫دالة‬x
ً‫ف‬[a , b ]‫مشتقة‬f(x)‫فان‬:
b
a
b
a
xfdxxf  )()(
‫حٌث‬‫أن‬a<b
F(x)):‫المشتقة‬ ‫معكوس‬f(x
‫وان‬:‫التكامل‬ ‫ناتج‬ ً‫ف‬ ‫التعوٌض‬ ً‫ٌعن‬f(x)‫كل‬ ‫ٌدل‬x‫األعلى‬ ‫بالحد‬b‫ٌطرح‬ ‫ثم‬
‫كل‬ ‫ٌدل‬ ‫ناتج‬ ‫منه‬x‫األدنى‬ ‫الحد‬((a
b
axf )(
)()( afbf 

202. ‫مساحات‬ ‫أٌجاد‬ ً‫ف‬ ‫ٌستعمل‬ ‫وهو‬ ‫المحدد‬ ‫للتكامل‬ ‫كثٌرة‬ ‫تطبٌقات‬ ‫وهناك‬
‫منحنٌن‬ ‫بٌن‬ ‫المحصورة‬ ‫المنطقة‬,‫للدالة‬ ً‫المنحن‬ ‫تحت‬ ‫المساحة‬ ‫أٌجاد‬ ً‫وف‬
,‫الدورانٌة‬ ‫المساحات‬ ‫حجوم‬ ‫أٌجاد‬ ً‫وف‬,‫لألجسام‬ ‫السطحٌة‬ ‫والمساحات‬
‫وهندسٌة‬ ‫فٌزٌاوٌة‬ ‫تطبٌقات‬ ً‫وف‬ ‫المنحنٌات‬ ‫أطوال‬ ‫أٌجاد‬ ً‫وف‬ ‫الدورانٌة‬
‫كثٌرة‬ ‫وإحصائٌة‬.
 
3
1
2
)543( dxxx1

203.   
3
1
3
1
3
1
2
543 dxxdxdxx
0101626 
)2(5)19(2127 
   )13(5)13(21352 22333
1
3
1
23
1
3
 xxx
  3
1
3
1
2
3
1
3
5
2
4
3
3 x
xx

2 dxxxx )33( 2
1
1
3


204.    

1
1
1
1
1
1
2
1
1
3
33 dxxdxdxxdxx
   1
1
2
1
1
3
1
1
4
3
23
3
4
  x
xxx
)1(1(3
2
)1(1
)1(1(
4
)1(1 22
33
44





460)2(0 
3  
0
2
2
21 t
tdt

205. 1)31(
2
1
)91(
2
1

tdtt 2
10
2
2
)21(


 
tdtt 4)21(
4
1 2
10
2
2


 
 0
2
2
1
2
2
1
)21(
4
1



t
0
2
2
21
2
1
 t
22
)2(21)0(21(
2
1


206. 4 dxx )1(
3
1
2

 3
1
3
1
3
1
33
1
2
3
x
x
dxdxx  
3
32
2
3
26
)13(
3
13 33




207. 2
1 dxxx )25(
2
0
2

dxxx )3(
2
2
3

3 dxx
4
0

208. 6
5
4 dxxx )35(
0
1
2

dxx 
1
0
45
dx
x
4
1
3

209. ‫المشتقة‬ ‫مواضٌع‬ ً‫ف‬ ‫درسنا‬ ‫كما‬(‫التفاضل‬)‫من‬ ‫لكل‬ ‫المشتقة‬ ‫أٌجاد‬ ‫قوانٌن‬
‫والمثلثٌة‬ ‫واللوغارتمٌة‬ ‫اآلسٌة‬ ‫الدوال‬,‫هذه‬ ‫لتكامل‬ ‫مناظرة‬ ‫قوانٌن‬ ‫فهناك‬
‫المشتقة‬ ‫لقوانٌن‬ ‫معكوس‬ ‫وتكون‬ ‫الدوال‬.
ً‫األت‬ ‫التكامالت‬ ‫لحساب‬ ‫القوانٌن‬ ‫هذه‬ ‫ومن‬:-
:u′‫الدالة‬ ‫مشتقة‬
1 cuLndxu
u

1
‫أن‬ ‫حٌث‬u:‫دالة‬xًٌ
3
2 cedxue uu
 .
  cudxuu )cos().sin(

210. 4
5
6
8
7
cudxuu  )(sin).(cos
cudxuu  )(tan).(sec2
cudxuu  )(sec)(tan)(sec
cudxuu  cot).(csc2
cudxuu  cot).(csc2

211.   x
dx
1
cxLn
x
dx



  1
1
1
  3
2
41 x
dxx
cxLndx
x
x


 
3
3
2
41
12
1
41
12
2
1
2

212. dx
x
x
  2sin1
2cos
cxLndx
x
x


  2sin1
2
1
2
2sin1
2cos
2
1
3
4  

)2(
)1(
2
xx
x
cxxLndx
xx
x



  2
2
1
)2(
)22(
2
1 2
2

213. cee xx
 2
2
1
5 dxee xx
)( 2 

dxedxe xx


 2
dxedxe xx
)1()1(2.
2
1 2
 

6 dxxe xx
)1()2( 2



214. dxxe xx
)22(
2
1 )2( 2
 

ce xx
  )2( 2
2
1
7  x
dxe x
cecedxxedxxe xxxx


 22
2
1
.2.
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
dxxe x
)3cos()3sin(
8

215. dxxe x
3).3cos(.
3
1 )3sin(

ce x
 )3sin(
3
1
9 dx
x
)
3
sin(
dx
x
)
3
1
).(
3
sin(3
c
x
c
x






 )
3
cos(3)
3
cos(3

216. c
x
dx
x




 )
2
3
tan(2
2
1
).
2
3
(2sec2
10   dxx)31cos(
dxx )3).(31(cos
3
1

cx  )31cos(
3
1
11 dx
x
)
2
3
(2sec



217. 12  xdxx cossin
c
x

2
sin2
xdx
2
sin13
‫النسب‬ ‫خواص‬ ‫باستخدام‬
)2cos1(
2
1
sin2
xx 
dxx)2cos1(
2
1
 
  dxx)2cos1(
2
1

218.   dxxdx 2).2cos(
2
1
2
1
cx
x
 )2sin(
4
1
2
14 dx
x
x
 3
sin
cos
dxxx )cos()(sin 3



  c
x




2
)sin( 2

219. 15 xdxxx sin)cos(sin 2
 
xdxxxxx sin)coscossin2(sin 22
 
1cossin 22
 xx
xdxxxdxxdxxx cossin2sinsin)cossin21( 2
  
c
x

3
sin
2cos
3
16 xdx
2
tan

220.    dxxdxdxx 22
sec)1(sec
cxx  2
tan

221. 4
3
2
1 dx
x
Lnx

 5
)4(
dxex 2
)1( 
dx
xLnx
dx
e
e

2
dx
x
Lnx

3
)(

222. 5 dx
ee
ee
xx
xx
 



9
7
6
8
10
dx
x
x
 2
3
sin
cos
 dxxxx  )cos()5sin( 22
 xdxtan
 xdxcot
xdx
3
tan

223. ‫تفاضل‬(‫مشتقة‬)‫هو‬ ً‫األت‬ ‫الضرب‬ ‫حاصل‬
vduudvvud  )(
‫أن‬ ‫على‬ ‫نحصل‬ ‫الطرفٌن‬ ‫تكامل‬ ‫وعند‬
   vduudvvud )(
1
   )1........(..........cvduuvudv
  vduudvcuv

224. ‫انمبػذح‬(1)‫رحذٌذ‬ ‫ثؼذ‬ ‫رطجٍمٓب‬ ٍ‫ًٌٔك‬ ‫ثبنزجزئخ‬ ‫انزكبيم‬ ‫رذػى‬(u)ٔ(d v)‫صى‬
ٍ‫ي‬ ‫كم‬ ‫أٌجبد‬(v , du )‫سلى‬ ‫ثبنمبػذح‬ ‫َؼٕض‬ ‫صى‬(1)‫انزكبيم‬ ‫لًٍخ‬ ‫ػهى‬ ‫نُحصم‬
‫انًطهٕة‬.
‫رقم‬ ‫القاعدة‬ ‫وتطبٌق‬(1)‫الدوال‬ ‫منها‬ ‫حاالت‬ ً‫ف‬‫اللوغارٌتمٌة‬
,‫المثلثٌة‬ ‫الدوال‬,‫المثلثٌة‬ ‫الدوال‬ ‫معكوس‬,‫ضرب‬ ‫حاالت‬ ً‫وف‬
‫دالتٌن‬......‫الخ‬.
1 Lnxdx
   cvduuvudv

225. Lnxulet  dxdv ;
dx
x
du
1
   dxdv
xv 
cdx
x
xxLnxdxxLn   )
1
())(()(
  cdxxLnx
cxxLnx 

226. 2 xLnxdx
   cvduuvudv
Lnxulet  xdxdv ;
dx
x
du
1
   
2
;
2
x
vxdxdv
dx
x
xx
LnxxLnxdx
1
.
2
)
2
(
22
 
 xdxLnx
x
2
1
2
2

227. c
x
Lnx
x

22
1
2
22
c
x
Lnx
x

42
22
3 dxxxdxxx   2
1
)1(1
   cvduuvudv
xulet  dxxdv 2
1
)1(; 

228. dxdu  2
32
3
)1(
3
2
2
3
)1(
; x
x
v 


cdxxxxdxxxudv 





   2
3
2
3
)1(
3
2
)1(
3
2
1
c
x
xx 


2
5
)1(
3
2
)1(
3
2 2
5
2
3
cxxx  2
5
2
3
)1(
15
4
)1(
3
2

229. 4 xdxex
sin
   cvduuvudv
x
eulet  xdxdv sin, 
dxexexdxeudv xxx
  cos)(cossin
   xvxdxdvdxedu x
cossin;
‫ل‬ ‫التجزئة‬ ‫قاعدة‬ ‫نشتق‬ ‫ثم‬
dxex
 cos)(

230. cxx
e
xdxe
x
x
 )cos(sin
2
sin
xdxdv cos, 
x
eulet 
dxedu x
 xv sin
cxdxexexexdxe xxxx
  sinsincossin
cxxexdxe xx
 )cos(sinsin2

231. 5 Lnxdxx
2
   cvduuvudv
Lnxu  dxxdv 2
; 
dx
x
du
1

3
;
3
2 x
vdxxdv  
cdx
x
x
Lnx
x
Lnxdxxudv   
1
33
33
2

232. cxLnx
x
 3
3
9
1
3
c
x
Ln
x

33
1
3
33

233. 5
3
4
2
1 dx
x
x )
1
( 
 dxLnx)cos(
dxxex

xdxx cos2

Lnxdxx
2