จัดทำโดย นายธนวัฒน์ นานอก 563050361-0

3. 20
บรรณานุกรม
กระทรวงศึกษาธิการ. คู่มือครูสาระการเรียนรู้พื้นฐานคณิตศาสตร์ กลุ่มสาระการเรียนรู้
คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3. กรุงเทพฯ : องค์การค้าคุรุสภา, 2548.
หลักสูตรการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2544. กรุงเทพฯ : กระทรวง
ศึกษาธิการ, 2545.
หนังสือเรียนสาระการเรียนรู้พื้นฐานคณิตศาสตร์ กลุ่มสาระการเรียนรู้
คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3. กรุงเทพฯ : องค์การค้าคุรุสภา, 2548.
ปฐมพร บุญลี. การสร้างแบบฝึกทักษะเพื่อพัฒนาความสามารถในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์
เรื่องพื้นที่ผิวและปริมาตร ของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3. ปริญญานิพนธ์ กศ.ม. กรุงเทพฯ : มหาวิทยาลัยศรีนครินทร์วิโรฒ, 2545.
อังศุมาลิน เพิ่มผล. การสร้างแบบฝึกทักษะการคานวณวิชาคณิตศาสตร์เรื่องวงกลม สาหรับ
นักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3. สารนิพนธ์ กศ.ม. (การวัดผลการศึกษา) กรุงเทพฯ : บัณพิตวิทยาลัย มหาวิทยาลัยศรีนครินทรวิโรฒ. ถ่ายเอกสาร, 2542.
ทับทิม ศรีพวงษ์. 2554. พื้นที่ผิวและปริมาตร. สืบค้นเมื่อ
8 สิงหาคม 2556 จาก http://krutubtim.wordpress.com
พูนศักดิ์ สักกทัตติยกุล. 2552. พื้นที่ผิวและปริมาตร. สืบค้นเมื่อ
12 สิงหาคม 2556 จาก http://www.thaigoodview.com/node/46868?page=0%2C1.
คานา
หนังสือการสอนคณิตศาสตร์เล่มเล็ก เรื่องพื้นที่ผิวและปริมาตร ของรูปปริซึม พีระมิด ทรงกระบอก กรวย และทรงกลม กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ สาหรับ นักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3 เล่มนี้ มีเนื้อหาเกี่ยวกับพื้นฐานการวัดพื้นที่ผิวและปริมาตร ของรูปเรขาคณิตสามมิติ ซึ่งนักเรียนสามารถใช้ความรู้เกี่ยวกับ พื้นที่ผิวและปริมาตร แก้ปัญหาในสถานการณ์ต่าง ๆ ได้
หนังสือการสอนคณิตศาสตร์เล่มเล็ก กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ สาหรับ นักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3 เรื่องพื้นที่ผิวและปริมาตรของรูปปริซึม พีระมิด ทรงกระบอก กรวย และทรงกลม สาเร็จได้ด้วยดี ผู้จัดทาขอขอบพระคุณท่านอาจารย์ ประจาวิชา 241 203 นวัตกรรมและเทคโนโลยีสารสนเทศเพื่อการเรียนรู้ ผู้ที่เกี่ยวข้องและมี ส่วนช่วยเหลือ ให้คาปรึกษาแนะนา ให้กาลังใจในการจัดทาจนสาเร็จลุล่วงไปด้วยดี หวัง เป็นอย่างยิ่งว่าหนังสือการสอนคณิตศาสตร์เล่มเล็ก เล่มนี้จะเป็นประโยชน์ต่อผู้สนใจและ ต่อวงการศึกษา
ผู้จัดทา
คณิตศาสตรศึกษา ชั้นปีที่ 2
ก

4. สารบัญ
เนื้อหา หน้า
คานา ก
สารบัญ ข
ผลการเรียนรู้ที่คาดหวัง 1
คุณลักษณะที่พึงประสงค์ 1
สาระการเรียนรู้ 2
รูปเรขาคณิตสามมิติ 3
ปริซึม
- พื้นที่ผิวและปริมาตรของปริซึม 4
- แบบทดสอบความเข้าใจ 6
ทรงกระบอก
- พื้นที่ผิวและปริมาตรของทรงกระบอก 7
- แบบทดสอบความเข้าใจ 9
พีระมิด
- พื้นที่ผิวและปริมาตรของพีระมิด 10
- แบบทดสอบความเข้าใจ 12
กรวย
- พื้นที่ผิวและปริมาตรของกรวย 13
- แบบทดสอบความเข้าใจ 15
ทรงกลม
- พื้นที่ผิวและปริมาตรของทรงกลม 16
- แบบทดสอบความเข้าใจ 18
คณะผู้จัดทา 19
บรรณานุกรม 20
ข
จัดทาโดย
นายธนวัฒน์ นานอก 563050361-0
อาจารย์ที่ปรึกษา
อ.ดร.อนุชา สมาบุตร
คณะศึกษาศาสตร์ สาขาวิชาคณิตศาสตรศึกษา ชั้นปีที่ 2
241 208 นวัตกรรมและเทคโนโลยีสารสนเทศเพื่อการเรียนรู้
มหาวิทยาลัยขอนแก่น
19

5. 18
แบบทดสอบความเข้าใจ
(1) ลูกบอลพลาสติกใบหนึ่งมีพื้นที่ผิว 64π ตารางเซนติเมตร ถ้าผ่าครึ่งลูกบอล
พลาสติก ใบนี้ไปบรรจุน้า จะจุน้า ได้เท่าไร
(2) ทรงกลมลูกหนึ่งมีปริมาตรเป็นสามเท่าของพื้นที่ผิว
จงหาความยาวของเส้นผ่านศูนย์กลางของทรงกลมนี้
(3) ลูกเหล็กทุ่มน้า หนักลูกหนึ่งมีความยาวโดยรอบ 14π
เซนติเมตร ถ้าเหล็ก 1 ลูกบาศก์เซนติเมตร หนัก 7.8 กรัม ลูก
เหล็กทุ่มน้า หนักนี้จะหนักกี่กิโลกรัม กา หนด π 
(4) ก้อนไอศกรีมมีลักษณะเป็นทรงกลม ไอศกรีมชนิด
เดียวกันสองกรวย กรวยใดมีไอศกรีมมากกว่ากัน โดย
กรวยแรก มีไอศกรีม 2 ลูก แต่ละลูกมีรัศมี 2.5 เซนติเมตร
กรวยที่สอง มีไอศกรีม 3 ลูก แต่ละลูกมีรัศมี 1.5 เซนติเมตร
(5) ลูกฟุตบอลลูกหนึ่งวัดความยาวรอบวงกลมใหญ่ได้ 66 เซนติเมตร ถ้าฟุตบอลทา
ด้วยหนังหนา 0.5 เซนติเมตร จะจุลมได้กี่ลูกบาศก์เซนติเมตร
(6) ชาวเอสกิโมอาศัยอยู่ในเขตหนาวจัดทางตอนเหนือของทวีปอเมริกา เช่นในรัฐ
อลาสกา ของสหรัฐอเมริกา พวกเขาสร้างบ้านพัก เรียกว่า
อิกลู (LGLOO) ด้วยก้อนน้า แข็ง ซึ่งมีความหนาประมาณ
20 เซนติเมตร ลักษณะของอิกลูเป็นครึ่งทรงกลม
และสูง 2 เมตร จงหาปริมาตร ของอากาศภายในอิกลู
(7) ก้อนขี้ผึ้งทรงกลมสามลูก แต่ละลูก มีรัศมี 2 เซนติเมตร วางเรียงกันอยู่ในแก้ว
ทรงกระบอกทนความร้อน ที่มีรัศมีภายใน 2 เซนติเมตรเช่นเดียวกัน เมื่อให้ความร้อนจน
ขี้ผึ้งหลอมเหลวเป็นเนื้อเดียวกัน ขี้ผึ้งเหลวจะสูงจากก้นแก้วกี่เซนติเมตร
7 22
1. อธิบายลักษณะและสมบัติของปริซึม พรีะมิด ทรงกระบอก กรวย และทรงกลมได้
2. หาพื้นที่ผิวของปริซึม พีระมิด ทรงกระบอก กรวย และทรงกลมได้
3. หาปริมาตรของปริซึม ทรงกระบอก พีระมิด กรวย และทรงกลมได้
4. ใช้ความรู้เกี่ยวกับพื้นที่ผิวและปริมาตร ไปใช้แก้ปัญหาในสถานการณ์ต่าง ๆ ได้
5. ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคา ตอบที่ได้
ด้านทักษะ / กระบวนการ : นักเรียนมีความสามารถใน
1. การคิดคา นวณ
2. การแก้ปัญหา
3. การให้เหตุผล
4. การสื่อสาร การสื่อความหมาย และการนาเสนอ
5. การเชื่อมโยง
6. ความคิดริเริ่มสร้างสรรค์
ด้านคุณลักษณะ : ปลูกฝังให้นักเรียน
1. มีความรับผิดชอบ
2. มีความสนใจใฝ่รู้
3. มีความรอบคอบ มีระเบียบวินัย
4. มีความเชื่อมั่นในตนเอง
5. มีวิจารณญาณและทางานอย่างเป็นระบบ
6. ตระหนักในคุณค่าและมีเจตคติที่ดีต่อวิชาคณิตศาสตร์
ผลการเรียนรู้ที่คาดหวัง
1
คุณลักษณะที่พึงประสงค์

6. 2
สาระการเรียนรู้
ทรงกระบอก
กรวย
ปริซึม
พีระมิด
ปริมาตร: พื้นที่ฐาน × สูง
พื้นที่ผิว: พื้นที่ผิวข้าง + 2 พื้นที่ฐาน
ปริมาตร: × พื้นที่ฐาน × สูง
พื้นที่ผิว: พื้นที่ผิวข้าง + พื้นที่ฐาน
3
1
ปริมาตร: πr3
พื้นที่ผิว: 4 πr2
3
4
ทรงกลม
ปริมาตร: πr2h
พื้นที่ผิว: 2πr2+ 2πrh
ปริมาตร: πr2h
พื้นที่ผิว: πr2+ πrl
3
1
3
4
3
4
3
4
3
1
3
3 1
1 3
4
17
สูตรการหาปริมาตรและพื้นที่ผิวของทรงกลม
ตัวอย่าง (1) ถ้าพื้นที่ผิวของทรงกลมเท่ากับ S และปริมาตรของทรงกลมเท่ากับ V จงหา
ปริมาตรของทรงกลมในรูปของ r และ S
วิธีทา S เป็นพื้นที่ผิวของทรงกลม
ดังนั้น S = 4πr2
ปริมาตรทรงกลม = πr3
ดังนั้น V = (4πr2)r
V = Sr
V = rS
ตัวอย่าง (2) ลูกกลมเหล็กตันอันหนี่งรัศมี 6 เซนติเมตร จะมีปริมาตรและพื้นที่ผิวเท่าไร
วิธีทา ปริมาตรทรงกลม = πr3 เมื่อ r = 6 เซนติเมตร
ดังนั้น ปริมาตรทรงกลม = π x 63
= x 216
= 288π ลูกบาศก์เซนติเมตร
พื้นที่ผิวทรงกลม = 4πr2
= 4π x 62
= 144π ตารางเซนติเมตร
ปริมาตรของทรงกลม = πr3
พื้นที่ผิวของทรงกลม = 4 πr2
เมื่อ r แทนรัศมีของทรงกลม
3
4

7. 16
5. ทรงกลม ทรงกลมเป็นรูปเรขาคณิตสามมิติอีกชนิดหนึ่งที่นักเรียนอาจจะคุ้นเคยดี และเป็นสิ่ง ที่มนุษย์สร้างขึ้น และสิ่งมีชีวิตทั้งพืช สัตว์ ตลอดจนจุลชีพที่ไม่สามารถเห็นได้ด้วยตาเปล่า เช่น ลูกเทนนิส ลูกแก้ว ลูกบอล และผลไม้ลูกกลมๆ
ในทางคณิตศาสตร์ทรงกลมมีลักษณะดังนี้
เมื่อตัดทรงกลมด้วยระนาบผ่านจุดศูนย์กลางของทรงกลม จะได้หน้าตัดเป็นวงกลม เรียกว่า วงกลมใหญ่
รูปข้างล่างนี้เป็นรูปทรงกลมและส่วนต่างๆ ของทรงกลม
รูปเรขาคณิตสามมิติที่มีผิวโค้งเรียน และจุดทุกจุดบนผิวโค้งอยู่ห่างจากจุดคงที่จุดหนึ่ง
เป็นระยะเท่ากัน เรียกว่า ทรงกลม จุดคงที่นั้น เรียกว่า จุดศูนย์กลางของทรงกลม ระยะที่เท่ากันนั้น เรียกว่า รัศมีของทรงกลม
3
รูปเรขาคณิตสามมิติ
สิ่งรอบตัวในชีวิตประจาวันของเราหลายสิ่งที่มีส่วนประกอบเป็นรูปเรขาคณิตสาม มิติ เช่น กล่องของขวัญซึ่งมีลักษณะเป็นสี่เหลี่ยมมุมฉาก กระป๋องต่างๆ มีลักษณะเป็น ทรงกระบอก ไอศกรีมที่บรรจุอยู่ในกรวยที่ทาจากแป้งอบกรอบ และลูกบอลที่มีลักษณะ ใกล้เคียงทรงกลม
นอกจาก ทรงกระบอก กรวย และทรงกลม นักเรียนอาจจะเคยรู้จัก พีระมิด และ ปริซึม มาบ้างแล้ว ซึ่งเป็นรูปเรขาคณิตที่น่าศึกษาเช่นเดียวกัน เราอาจเคยเห็นพีระมิด จาก หนังสือหรือภาพยนตร์เกี่ยวกับมัมมี่หรือในสารคดีเกี่ยวกับประเทศอียิปต์
ภาพ พีระมิดในประเทศอียิปต์ และ ภาพปริซึม

8. 4
หัวข้อต่อไปนี้ นักเรียนจะได้ศึกษารูปเรขาคณิตสามมิติแต่ละชนิด ดังต่อไปนี้
1. ปริซึม
สิ่งของรอบๆ ตัวเราหลายอย่างมีลักษณะเป็นปริซึม เช่น กล่องยาสีฟันมีลักษณะเป็น
ปริซึมสี่เหลี่ยม เป็นต้น
ในทางคณิตศาสตร์ปริซึมมีลักษณะ ดังนี้
ส่วนต่างๆ ของปริซึมมีชื่อเรียก ดังนี้
รูปเรขาคณิตสามมิติที่มีฐานทั้งสองเป็นรูปเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการ ฐานทั้งสองอยู่บน
ระนาบที่ขนานกัน และด้านข้างแต่ละด้านเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน เรียกว่า ปริซึม
เราเรียกชื่อปริซึมชนิดต่างๆ ตามลักษณะของฐานของปริซึม ดังตัวอย่าง
7 22
7 22
15
แบบทดสอบความเข้าใจ
(1) กรวยกระดาษกรองน้า อันหนึ่งมีพื้นที่ผิวโค้ง 60π ตารางเซนติเมตร กรวยสูง 8
เซนติเมตร จงหาปริมาตรของกรวยอันนี้ (กา หนด π  3.14)
(2) กรวยอันหนึ่งมีส่วนสูงยาวเป็นสองเท่าของเส้นผ่านศูนย์กลางของฐานกรวย จง
หาปริมาตรของกรวยเมื่อรัศมีของฐานกรวยเท่ากับ 21 เซนติเมตร (กาหนดให้ π  )
(3) จากรูปกรวยกระดาษสา หรับใส่น้า ดื่มสูง 7 เซนติเมตร
เส้นผ่านศูนย์กลางของปากกรวยยาว 6 เซนติเมตร จงหาความจุและ
พื้นที่กระดาษที่ใช้ทา กรวย (กา หนดให้ π  )
(4) การแต่งหน้าเค้กเป็นกิจกรรม ที่เพลิดเพลิน อุปกรณ์
แต่งหน้าเค้กอย่างง่ายที่ประดิษฐ์ได้เอง ก็คือ กรวยกระดาษไขสาหรับ
ใส่ส่วนผสมของครีมโรยหน้าขนมที่เรียกว่า ไอซิ่ง (ICING) ไอซิ่งในกรวยที่มีรัศมี 5
เซนติเมตร และสูง 10 เซนติเมตร ทากลีบดอกไม้ที่มีขนาดเท่ากัน บนหน้าเค้กได้ 15 กลีบ
พอดี อยากทราบว่า การทากลีบดอกไม้ 180 กลีบบนหน้าเค้ก ต้องใช้ไอซิ่ง ที่มีปริมาตร
อย่างน้อยเท่าใด
(5) ธูปหอมเป็นผลิตภัณฑ์ภูมิปัญญาของชาวบ้านมีขี้เลี่อย ผสมผงไม้หอมเป็น
ส่วนประกอบหลัก กลิ่นหอมเกิดจากการเติมตะไคร้หอม มะลิ กฤษณา ปาริชาต หรือ ลา
เวนเดอร์ ลงในส่วนผสมก่อนนา ไป ขึ้นรูปให้มีรูปร่างตามต้องการ ถ้าชาวบ้านได้รับ ใบสั่ง
ซื้อสินค้า ให้ทา ธูปหอมรูปกรวย ขนาดสูง 1 นิ้ว เส้นผ่าศูนย์กลางของฐานยาวครึ่งนิ้ว
จา นวน 50,000 ชิ้น ชาวบ้านควรเตรียมขี้เลื่อยผสมผงไม้หอมไว้เท่าใด
(6) เทียนไขแฟนซี สองแบบ แบบแรก ทาเป็นทรงกระบอกมีเส้นผ่าศูนย์กลางของ
ฐานยาว 3 เซนติเมตร และสูง 6 เซนติเมตร แบบที่สอง ทาเป็นกรวยสูง 6 เซนติเมตร
และรัศมีของฐานยาว 2 เซนติเมตร นักเรียนคิดว่า เทียนไขแบบใดใช้เทียนไขมากกว่ากัน
และมากกว่ากันเท่าใด

9. 3
1
14
สูตรการหาปริมาตรและพื้นที่ผิวของกรวย
ตัวอย่าง จากรูป กรวยมีสูงเอียงยาว 17 เซนติเมตร เส้นผ่านศูนย์กลางของฐานยาว 16
เซนติเมตร จงหาพื้นที่ผิวและปริมาตรของกรวย (กา หนด p  3.14)
วิธีทา ให้ l เป็นความยาวของสูงเอียง จะได้ l = 17 เซนติเมตร
และ r เป็นรัศมีของกรวย จะได้ r = 8 เซนติเมตร
ถ้า h เป็นความสูงของกรวย จะได้ h2 = 172- 82
= 225
h = 15 เซนติเมตร
จากสูตร พื้นที่ผิวของกรวย = πr(l+ r)
ดังนั้น พื้นที่ผิวของกรวย = 3.14 x 8 x (17 + 8) ตารางเซนติเมตร
= 628 ตารางเซนติเมตร
จากสูตร ปริมาตรของกรวย = πr2h
ดังนั้น ปริมาตรของกรวย = x 3.14 x 82x 15 ลูกบาศก์เซนติเมตร
= 1,004.8 ลูกบาศก์เซนติเมตร
ปริมาตรของกรวย = πr2h
เมื่อ r แทนรัศมีของฐานกรวย
และ h แทนความสูงของกรวย
พื้นที่ผิวโค้งของกรวยเท่ากับ πrl
พื้นที่ผิวของกรวย = พื้นที่ฐาน + พื้นที่ผิวโค้ง
= πr2+ πrl
= πr ( r +l )
3
1
5
นอกจากปริซึมที่มีฐานเป็นรูปเหลี่ยมแล้ว เราอาจพบปริซึมที่มีฐานเป็นรูปเหลี่ยม
ชนิดใดๆ ก็ได้ เช่น แท่นรับรางวัล
ถึงแม้ว่าจะมีทั้งปริซึมตรงและปริซึมเอียง แต่ในบทเรียนนี้จะกล่าวถึงปริซึมตรงที่มี
ด้านข้างตั้งฉากกับฐานเท่านั้น จะไม่กล่าวถึงปริซึมเอียงที่มีด้านข้างไม่ตั้งฉากกับฐาน
สูตรการหาปริมาตรและพื้นที่ผิวของปริซึม
ตัวอย่าง จงหาปริมาตรและพื้นที่ผิวของปริซึมสี่เหลี่ยมด้านขนาน
วิธีทา ปริมาตรของปริซึม = พื้นที่ฐาน x สูง
= (ฐาน x สูง) x สูง
= (7 x 3) x 12
= 252 ลูกบาศก์เซนติเมตร
พื้นที่ด้านข้าง = ความยาวรอบรูป x สูง
= (7 + 5 + 7 + 5) x 12
= 288 ตารางเซนติเมตร
พื้นที่หัวท้าย = 2 (7 x 3)
= 42 ตารางเซนติเมตร
ดังนั้น พื้นที่ผิวของปริซึมเท่ากับ 288 + 42 = 330 ตารางเซนติเมตร
ปริมาตรของปริซึม = พื้นที่ฐาน x สูง
พื้นที่ผิวของปริซึม = พื้นที่ด้านข้าง + 2(พื้นที่หน้าตัด)
พื้นที่ด้านข้างของปริซึม = ความยาวรอบรูป x ความสูง

10. 6
แบบทดสอบความเข้าใจ
(1) รูปใดต่อไปนี้เป็นรูปคลี่ของปริซึมหกเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า
(2) จงหาปริมาตรและพื้นที่ผิวของปริซึมจากรูปที่กาหนด (หน่วยเป็นเซนติเมตร)
(3) จงหาความจุของสระว่ายน้า ดังรูป
(4) ปริซึมรูปหนึ่งมีฐานเป็นรูป สี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว ซึ่งด้านคู่ขนานยาว 12 เซนติเมตรและ 22 เซนติเมตร เส้นตั้งฉากระหว่างคู่ขนานยาว 12 เซนติเมตร ถ้าปริซึมสูง 40 เซนติเมตร จะมีพื้นที่ผิวเท่าไร
13
4. กรวย
สิ่งต่างๆ ที่ประกอบมีลักษณะเป็นกรวย ส่วนใหญ่เป็นสิ่งที่มนุษย์สร้างขึ้น เช่น กระโจม โคมไฟ กรวยจราจร หมวก และกระทงใบตองที่ฝามีลักษณะเป็นกรวย นอกจากนี้กรวยยังเป็นชื่อขนมชนิดหนึ่งที่ทาจากแป้งข้าวเจ้า กะทิ และน้าตาลปีบ บรรจุ อยู่ในกรวยใบตอง
ในทางคณิตศาสตร์ กรวยมีลักษณะดังนี้
รูปข้างล่างนี้เป็นรูปของกรวยและส่วนต่างๆ ของกรวย
รูปเรขาคณิตสามมิติที่มีฐานเป็นรูปวงกลม มียอดแหลมที่ไม่อยู่บนระนาบเดียวกับฐาน และ เส้นที่ต่อระหว่างจุดยอดและจุดใดๆ บนขอบของฐานเป็นส่วนของเส้นตรง เรียกรูป เรขาคณิตสามมิตินั้นว่า กรวย

11. 12
แบบทดสอบความเข้าใจ
(1) จากรูปซ้ายมือ พีระมิดตรงรูปสามเหลี่ยมด้านเท่ามี ฐานยาวด้านละ 12 เซนติเมตร สูงเอียงยาว 8 เซนติเมตร จงหาความยาวของสันพีระมิดและพื้นที่ผิวของพีระมิด
(2) ขนมเทียนทรงพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสยาวด้านละ 5 เซนติเมตร สูง 4 เซนติเมตร ขนมเทียนแต่ละห่อใช้แป้ง โดยประมาณ 3/5 ของเนื้อขนม ถ้าต้องการทาขนมเทียนขนาด นี้จานวน 200 ห่อ จะต้องใช้แป้งทั้งหมดจานวนกี่ลิตร
(3) พีระมิดตรงฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสยาวด้านละ 6 เซนติเมตร สันยาว 5 เซนติเมตร จะมี สูงเอียงและพื้นที่ผิวเท่าไร
(4) พีระมิดตรงฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสยาวด้านละ 16 เซนติเมตร สันของพีระมิดยาว เซนติเมตร จงหาปริมาตรของพีระมิด
7
2. ทรงกระบอก
ทรงกระบอกเป็นรูปเรขาคณิตสามมิติที่มีรูปร่างคล้ายกระบอกไม้ไผ่ที่ตัดเป็น ท่อน มีหลายสิ่งที่มีคาว่ากระบอกอยู่ในชื่อ เพื่อบ่งบอกให้รู้ว่ามีส่วนเกี่ยวข้องกับ ทรงกระบอก เช่น เสื้อแขนกระบอก หุ่นกระบอก หรือปลากระบอก นอกจากนี้รอบๆ ตัว เรายังมีสิ่งของอีกหลายสิ่งที่ส่วนประกอบมีลักษณะเป็นทรงกระบอก เช่น แก้วนา แจกัน และถ่านไฟฉาย
ในทางคณิตศาสตร์ ทรงกระบอกมีลักษณะ ดังนี้
รูปเรขาคณิตสามมิติที่มีฐานสองฐานเป็นรูปวงกลมที่เท่ากันทุกประการและอยู่บนระนาบที่ ขนานกัน และเมื่อตัดรูปเรขาคณิตสามมิตินั้นด้วยระนาบที่ขนานกับฐานแล้วจะได้หน้าตัดที่ เป็นวงกลมเท่าๆ กันทุกประการกับฐานเสมอ เรียกรูปเรขาคณิตสามมิตินั้นว่า ทรงกระบอก
รูปด้านล่างนี้เป็นรูปของทรงกระบอกและส่วนต่างๆ ของทรงกระบอก

12. 7 22
474
7 22
7 22
8
สูตรการหาปริมาตรและพื้นที่ผิวของทรงกระบอก
ตัวอย่าง วงแหวนเหล็กกลมมีรัศมีภายนอก 3.5 เซนติเมตร รัศมีภายใน 1.4 เซนติเมตร วง
แหวนหนา 2.1 เซนติเมตร จงหาพื้นที่ผิวและปริมาตรของวงแหวนนี้ กา หนด π =
วิธีทา ปริมาตรของทรงกระบอกกลวง = πh(R2- r2)
จากกาหนดจะได้ R = 3.5 เซนติเมตร
r = 1.4 เซนติเมตร
h = 2.1 เซนติเมตร
ดังนั้น ปริมาตรของวงแหวน = x 2.1x [(3.5) 2- (1.4)2] ลูกบาศก์เซนติเมตร
= 22 x 0.3 x (12.25 - 1.96) ลูกบาศก์เซนติเมตร
= 67.914 ลูกบาศก์เซนติเมตร
พื้นที่ผิวของวงแหวน = 2π(R + r)(R - r + h)
= 2 x (3.5 + 1.4)(3.5 - 1.4 + 2.1) ตารางเซนติเมตร
= x 4.9 x 4.2 ตารางเซนติเมตร
= 129.36 ตารางเซนติเมตร
ปริมาตรของทรงกระบอก = พื้นที่ฐาน x สูง
= πr2h
เมื่อ r แทนรัศมีของวงกลมที่เป็นฐาน
h แทนความสูงของทรงกระบอก
พื้นที่ผิวของทรงกระบอก = พื้นที่ฐานทั้งสอง + พื้นที่ผิวโค้ง
= 2πr2+ 2πrh
= 2πr(r + h)
π
1,080
2
1
ปริมาตรของพีระมิด = x พื้นที่ฐาน x สูง
= x (6 x 8) x 5
= 80 ลูกบาศก์เซนติเมตร
11
เราเรียกพีระมิดชนิดต่างๆ ตามลักษณะของฐานของพีระมิด ดังตัวอย่าง
ในบทเรียนนี้จะกล่าวถึงพีระมิดฐานตรงและพีระมิดที่มีสันทุกสันยาวเท่ากันเท่านั้น
สูตรการหาปริมาตรและพื้นที่ผิวของพีระมิด
ตัวอย่าง (1) พีระมิดไม้อันหนึ่งฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ากว้าง 6 เซนติเมตร ยาว 8
เซนติเมตร สูง 5 เซนติเมตร จงหาปริมาตรของไม้อันนี้
วิธีทา
ตัวอย่าง (2) จงหาพื้นที่ผิวของพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสฐานยาวด้านละ 10 เซนติเมตร
สูงเอียง 8 เซนติเมตร
วิธีทา
ปริมาตรของพีระมิด = x พื้นที่ฐาน x สูง
พื้นที่ผิวของพีระมิด = พื้นที่ฐาน + พื้นที่ผิวเอียง
3
1
3
1
3
1
พื้นที่ผิวของพีระมิด
= พื้นที่ฐาน + พื้นที่ผิวเอียง
= (10 x 10) + 4( x 10 x 8)
= 100 + 160
= 260 ตารางเซนติเมตร

13. 10
3. พีระมิด
ในชีวิตประจา วัน อาจจะพบกับสิ่งก่อสร้างที่ส่วนประกอบมีลักษณะเป็นพีระมิด
เช่น หลังคายอดโดมของมหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์ หลังคาบ้านและอาคารต่างๆ ดังรูป
โดยทั่วไปเมื่อกล่าวถึงคา ว่าพีระมิด เรามักนึกถึงและเข้าใจว่าพีระมิดจะต้องมีฐาน
เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเช่นเดียวกันกับฐานของพีระมิดในประเทศอียิปต์เสมอ แต่ในทาง
คณิตศาสตร์แล้วฐานของพีระมิดไม่จาเป็นต้องมีรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสก็ได้
ในทางคณิตศาสตร์พีระมิดตรงเป็นพีระมิดที่มีฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่ามุม
เท่า และมีสันทุกสันยาวเท่ากัน
ในทางคณิตศาสตร์พีระมิดตรงเป็นพีระมิดที่มีฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่ามุม
เท่า และมีสันทุกสันยาวเท่ากัน
รูปเรขาคณิตสามมิติที่มีฐานเป็นรูปเหลี่ยมใดๆ มียอดแหลมที่ไม่อยู่ในระนาบเดียวกันกับ
ฐาน และหน้าทุกหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดร่วมกันที่ยอกแหลมนั้น เรียกว่า พีระมิด
9
7 22
แบบทดสอบความเข้าใจ
(1) รูปเรขาคณิตสามมิติต่อไปนี้ รูปใดเป็นทรงกระบอก
(2) ทรงกระบอกอันหนึ่งมีพื้นที่ผิวข้าง 91π ตารางเซนติเมตร และพื้นที่ฐาน 10.5625π
ตารางเซนติเมตร จงหาปริมาตรของทรงกระบอกนี้ (π  3.14)
(3) ถังทรงกระบอกใบหนึ่งมีปริมาตร 27,783 ลูกบาศก์เซนติเมตร พื้นที่ผิวข้าง 2,646
ตารางเซนติเมตร จงหาพื้นที่ก้นถังใบนี้ กา หนด π =
(4) ท่อน้า ทรงกระบอกกลวงทา ด้วยซีเมนต์วัดเส้นผ่านศูนย์กลางภายนอก 22
เซนติเมตร เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 16 เซนติเมตร ถ้าท่อนี้ยาว 1.20 เมตร จะต้องใช้ปูน
หล่อท่อนี้กี่ลูกบาศก์เมตร (กา หนด π  3.14, 1 ลูกบาศก์เมตร = 106 ลูกบาศก์เซนติเมตร)
(5) แก้วน้า ทรงกระบอกใบหนึ่งวัดเส้นผ่านศูนย์กลางภายในได้ 7 เซนติเมตร ใส่น้า ได้
ลึก 21 เซนติเมตร น้า เต็มแก้วพอดี จงหาความจุของแก้วน้า ใบนี้