Substitución, igualación e redución cun exemplo

1. Sistemas de ecuacións lineares
Suso

2. Resolución de sistemas
Para resolver sistemas de ecuacións lineares
empregaremos tres métodos:

Método de substitución

Método de igualación

Método de redución

3. 1. Método de substitución
Consiste en despexar unha das incógnitas nunha
das ecuacións e substituír na outra.

4. 1. Método de substitución
Cun exemplo:
3x−2y=1
x4y=19
}
Despexamos unha das incógnitas nunha das
ecuacións. No exemplo, o máis fácil é despexar
”x” na segunda:

5. 1. Método de substitución
3x−2y=1
x4y=19
}
⇒ x=19−4y
Substituímos agora x por esa expresión na
primeira ecuación:

6. 1. Método de substitución
}
3x−2y=1 ⇒ x=19−4y
x4y=19 3  19−4y −2 y=1
Despois de substituír, xa nos queda unha
ecuación cunha única incógnita que xa
deberiamos saber resolver:

7. 1. Método de substitución
3  19−4y −2 y=1
57−12 y−2y=1
57−14 y=1
−14 y=1−57
−56 ⇒ y=4
y=
−14

8. 1. Método de substitución
Con isto aínda non rematamos, pois temos que
calcular o valor de x. Para iso, substituímos o
valor de y=4 na expresión de x que calculamos
ao primeiro:
}
y=4
⇒ x=19−4 ∙ 4
x=19−4y
x=19−16
x=3

9. 2. Método de igualación
Consiste en despexar unha das incógnitas nas
dúas ecuacións e igualar as expresións que
obtemos.

10. 2. Método de igualación
Co mesmo exemplo:
3x−2y=1
x4y=19
}
Despexamos unha das incógnitas nas dúas
ecuacións, por exemplo, ”x”:

11. 2. Método de igualación
3x−2y=1
x4y=19
}
12y
x=
⇒
3
x=19−4y
Igualamos as expresións obtidas:
}

12. 2. Método de igualación
12y
x=
3
x=19−4y
}
12y
⇒
=19−4y
3
De novo, quédanos unha ecuación cunha única
incógnita que sabemos resolver:

13. 2. Método de igualación
12y
=19−4y
3
12y=3 ∙  19−4y 
12y=57−12y
2y12y=57−1
56
14y=56 ⇒ y= ⇒ y=4
14

14. 2. Método de igualación
Con isto tampouco rematamos, pois temos que
calcular de novo o valor de x. Para iso,
substituímos o valor de y nunha das expresións
de x que calculamos ao primeiro:
}
y=4
⇒ x=19−4 ∙ 4
x=19−4y
x=19−16
x=3

15. 3. Método de redución
Consiste en eliminar unha das incógnitas
sumando as ecuacións ou outras equivalentes.
Para iso, multiplicamos as ecuacións por
números ata conseguir que unha incógnita teña
coeficientes opostos.

16. 3. Método de redución
Co mesmo exemplo:
3x−2y=1
x4y=19
}

17. 3. Método de redución
Para eliminar as ”x”, como na primeira ecuación o
coeficiente de ”x” é 3, multiplico a segunda por –3.
}
3x−2y=1 ⇒
3x−2y=1
x4y=19
−3x−12y=−57
}

18. 3. Método de redución
Sumamos
membro.
agora
as
ecuacións
3x−2y=1
−3x−12y=−57
}
−14y=−56
−56
y=
−14
y=4
membro
a

19. 3. Método de redución
Só faltaría calcular x substituíndo o valor y=4 en
calquera das ecuacións, por exemplo na segunda:
x4y=19
⇒ x4 ∙ 4=19
x=19−16
x=3

20. 3. Método de redución
Imos repetir o mesmo exemplo, pero eliminando
agora as ”y”. Para iso basta con multiplicar a
primeira ecuación por 2:
3x−2y=1
x4y=19
}
6x−4y=2
⇒
x4y=19
}

21. 3. Método de redución
Sumamos
membro.
agora
as
ecuacións
6x−4y=2
x4y=19
7x=21
21
x=
7
x=3
}
membro
a

22. 3. Método de redución
Só faltaría calcular y substituíndo o valor x=3 en
calquera das ecuacións:
x4y=19 ⇒ 34y=19
4y=19−3
16
y=
4
y=4