1. Funciones : Definición y características Unidad 1 Funciones y sus gráficas

3. Una función f es una regla que asigna a cada número real de entrada x un único número real de salida, llamado f ( x ) . Al principio uno puede confundir las notaciones f y f ( x ) . Téngase en cuenta que x es el elemento de entrada, f se usa para representar la función, sin embargo, f ( x ) es un elemento salida de la función. Importante!!! nombre de la función f entrada f ( x ) salida

4. Prueba de la recta vertical Una curva en el plano xy es la gráfica de una función en la variable x , si ninguna recta vertical corta a la curva más de una vez. Es función No es función x 2 + y 2 = 4

5. La grafica de f también nos permite tener una imagen del dominio y del rango de f sobre el eje X y el eje Y respectivamente. x y y = f ( x ) 0 dominio rango

6. Es útil comparar la función con una máquina en la cual para cada x que ingresa, la máquina produce la salida f ( x ). f entrada salida x f ( x ) y = f ( x ) se lee “ y es igual a f de x ” o “el valor de f en x ”, llamada regla de correspondencia de una función. Aquí, x es la variable independiente y y es la variable dependiente.

8. Función cuadrática Una función cuadrática es de la forma: Su gráfica es una parábola con eje vertical cuya forma dependerá de los valores de a, b y c .

11. a > 0 h = Valor de x que genera el valor extremo k = Valor mínimo de f

12. a < 0 h = Valor de x que genera el valor extremo k = Valor máximo de f

13. El Sr. López es dueño de una pastelería y contrató a un consultor que le dice que sus ganancias P ( q ) por la venta de “ q ” pasteles están dadas por: P ( q )= 120 q – q 2 ¿Cuántos pasteles debe vender para maximizar las ganancias?

14. P ( q )= – q 2 +120 q +0, En este caso tenemos que la parábola se abre hacia abajo pues:

15. a < 0 h = Valor de x que genera el valor extremo k = Valor máximo de f -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 x y (h, k)

16. OPERACIONES CON FUNCIONES Dadas dos funciones de variable real: f ( x ) y g ( x ) , pueden realizarse con ellas las siguientes operaciones: Adición: f ( x ) + g(x ) Sustracción: f ( x ) – g ( x ) Multiplicación: f ( x ). g ( x ) División: f ( x ) / g ( x ) OBSERVACIÓN: La operación entre dos funciones sólo puede realizarse en un dominio común a ambas. Es decir, las funciones: f + g , f – g , f . g y f / g se encuentran definidas en Domf ∩ Domg. Importante!!! además de considerar la intersección de dominios, en la división de funciones se debe tener en cuenta que g ( x ) ≠ 0

17. Sumemos estas expresiones: 2 x –1 3 f ( x ) = g ( x )= = 2 x + 2 h ( x ) 2 x +2

18. f ( x ) = 2 x –1 g ( x ) = 3 h ( x ) = 2 x + 2 Ahora sumemos estos gráficos: Este es el par: (-1; -3) Este es el par: (-1; 3) Resulta: (-1; 0) Este es el par: (0; 3) Este es el par: (0; -1) SUMAMOS Resulta: (0; 2) SUMAMOS Este es el par: (1; 3) Este es el par: (1; 1) Resulta: (1; 4) SUMAMOS ( f + g )( x ) = 2 x + 2

19. (– 4; 0) (– 4; 5) f g Determinaremos: f + g f + g EJEMPLO 2:

20. A partir de los gráficos de f y g determine el gráfico de g – f. D O M N I O E N C O M Ú N f g EJEMPLO 3: Sean las funciones: g – f

25. Solución: Determinando la forma factorizada de A ( x ): A ( x ) = -0.015 x ( x - 8,40)( x + 8,40) Intersecciones con eje X: -8,40; 0; 8,40 Signo de la función en cada intervalo: Intervalo Número de prueba Valor de f ( x ) Signo de f ( x ) x <-8,40 -8,40 < x <0 0< x <8,40 8,40< x -10 -4 4 10 4,420 -3,272 3,2736 -4,420 Positivo Negativo Positivo Negativo