1. Mecˆnica dos Fluidos
a
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1 Equa¸˜o da Continuidade
ca
A dinˆmica dos fluidos est´ preocupada com o movimento dos fluidos (l´
a a ıquidos
e gases). Para descrever este movimento adota-se a ideia da part´ıcula fluida,
que ´ uma pequena quantidade de fluido que est´ sendo estudada.
e a
Considere um volume V0 do espa¸o. A massa do fluido ´ m = ρV , em que ρ
c e
e ıquido em kg/m3 e V ´ o volume em m3 . Um diferencial de
´ a densidade do l´ e
massa ser´ dm = ρdV , assim a massa total neste volume ser´ m = ρdV .
a a
A massa do fluido escoando por unidade de tempo atrav´s de um elemento
e
superficial do volume ´ ρv · df em que v ´ a velocidade do fluido e df ´ o
e e e
elemento diferencial de ´rea. Ressalta-se aqui que ρv ´ um vetor do fluido que
a e
chega no volume e df ´ o vetor normal da ´rea do volume, sendo representado
e a
em vermelho na figura a seguir.
Figura 1: Fluido atravessando um elemento de volume V0
O produto escalar ρv · df denota uma proje¸˜o na dire¸˜o normal a essa ´rea
ca ca a
infinitesimal df , ou seja, ser´ contada toda a massa que atravessa esta superf´
a ıcie.
Fluido escoando na dire¸˜o paralela ` ´rea n˜o a atravessar´.
ca aa a a
Por conven¸˜o, df ´ considerado para fora, assim ρv · df ser´ positivo se o
ca e a
fluido estiver escoando para fora do volume e negativo se estiver escoando para
dentro.
A massa total escoando para fora do volume V0 por unidade de tempo ser´ a
ρv · df
1

2. A integral de linha mostra que a integra¸˜o est´ sendo feita pela superf´
ca a ıcie
fechada circundante ao volume V0 .
Isso significa que, por exemplo, um cubo cuja ´rea lateral seja df e o escoa-
a
mento na dire¸˜o e sentido transversal a dois lados, o resultado da integral ser´
ca a
zero.
Isso quer dizer que n˜o h´ sa´ de massa do volume, ou seja, este n˜o est´
a a ıda a a
perdendo massa, pois o que entra ´ igual ao que sai. O fluido ao atravessar a
e
primera parede contar´ negativamente, j´ que os vetores s˜o opostos, assim o
a a a
resultado do produto escalar ser´ negativo. Quando ele atravessar a segunda
a
parede contar´ positivamente e com o mesmo valor, resultando em zero.
a
O decaimento de massa por unidade de tempo pode ser escrito como
∂
− ∂t ρdV
Toma-se a derivada parcial, j´ que ρ possui 4 parˆmetros ρ(x, y, z, t). Assim,
a a
com essa derivada tem-se como a massa varia no tempo. O sinal negativo serve
para corrigir fisicamente o sinal que a matem´tica nos fornece, j´ que se a
a a
massa ´ maior na sa´ do que na entrada do volume V0 , isso significa que este
e ıda
est´ perdendo massa, por´m como houve um aumento de massa nessa conta,
a e
a derivada ser´ positiva e como queremos denotar o decr´scimo da massa no
a e
volume v0 , colocamos o sinal negativo.
Logo, pode-se igualar as equa¸˜es
co
∂
− ρv · df = ∂t ρdV
Aqui se usa o Teorema de Green, que ´
e
ρv · df = div(ρv)dV
Lembrando que o divergente no sistema cartesiano tridimensional ´ definido
e
por
∂Fx ∂Fy ∂Fz
divF = ·F = ∂x + ∂y + ∂z , sendo F = Fx i + Fy j + Fz k
Assim,
∂
− div(ρv)dV = ∂t ρdV
[ ∂ρ + div(ρv)]dV = 0
∂t
∂ρ
∂t + div(ρv) = 0
Equa¸˜o da Continuidade
ca
Esta equa¸˜o mostra que a massa n˜o pode ser criada ou destru´
ca a ıda.
A segunda parcela da equa¸˜o diz que a quantidade de massa que entra ´
ca e
igual a que sai, sendo o divergente o sensor do quanto que entra e quanto que
sai.
A primeira parcela est´ relacionada ` compressibilidade do fluido. Se o
a a
fluido for incompress´ıvel, sua densidade n˜o muda, logo esta parcela ´ nula. Se
a e
o fluido ficar mais denso, ele passa a concentrar massa numa quantidade menor
de volume. A equa¸˜o mostra que mesmo havendo este fenˆmeno, a massa
ca o
que entra ´ a mesma que sai. Se o fluido se comprimir, ∂ρ ´ positivo, j´ que
e ∂t e a
ρ aumenta. Desta maneira, haver´ maior quantidade de massa na entrada do
a
volume num certo instante, assim o div(ρv) fica negativo, fazendo com que a
soma continue zero.
2

3. 2 Equa¸˜o de Euler
ca
Considere um volume de fluido. A for¸a total agindo neste volume se deve
c
a
` diferen¸a de press˜o
c a
− p · df
Lembrando que for¸a ´ press˜o (p) vezes elemento de ´rea (df ). Transfor-
c e a a
mando numa integral de volume
− p · df = − grad(p)dV
Lembrando que gradiente no sistema cartesiano tridimensional ´
e
∂u ∂u ∂u
u = grad(u) = ∂x i + ∂y j + ∂z k
Assim, o fluido exerce sobre o volume dV uma for¸a −grad(p)
c
Usando a segunda lei de newton para o movimento das part´ıculas, tem-se
for¸a igual acelera¸˜o
c ca
−grad(p) = ρ dv
dt
Esta equa¸˜o mostra que a for¸a ´ exercida num volume devido ` diferen¸a
ca c e a c
de press˜o e isso ´ mostrado no grad(p), em que ´ medido a varia¸˜o (grad) no
a e e ca
campo vetorial da press˜o (p).
a
O fator dv n˜o evidencia a varia¸˜o da velocidade do fluido num ponto fixo
dt a ca
do espa¸o, mas da part´
c ıcula fluida conforme ela se move no espa¸o. Ent˜o o
c a
sistema acompanha a part´ ıcula na abordagem Euleriana. Para estud´-lo, faz-se
a
uma an´lise de um observador fixo no espa¸o.
a c
Deste modo, a varia¸˜o da velocidade dv num tempo dt ´ divido em 2 partes:
ca e
a varia¸˜o da velocidade num ponto fixo no espa¸o e tamb´m na diferen¸a nas
ca c e c
velocidades (no mesmo instante) em dois pontos separados por uma distˆncia a
dr, em que dr ´ a distˆncia em que a part´
e a ıcula se moveu no tempo dt.
A primeira parte ´ a varia¸˜o da velocidade num ponto parado. Neste ponto
e ca
fixo, as part´ıculas podem mudar de velocidade num determinado tempo, ou seja,
a part´ıcula que passa por ali adquire aquela velocidade. Todavia, a part´ ıcula
n˜o continua com aquela velocidade necessariamente. Ent˜o a segunda parcela
a a
mede o quanto que variou a velocidade ap´s a part´
o ıcula ter se deslocado dr num
tempo dt.
A primeira parte ´ ∂v dt, em que ∂v ´ tomada para uma posi¸˜o x,y,z con-
e ∂t ∂t e ca
tante, isto ´, num ponto do espa¸o.
e c
A segunda parte ´ dx ∂x + dy ∂y + dz ∂v = (dr · grad)v
e ∂v ∂v
∂z
Assim,
∂v
dv = ∂t dt + (dr · grad)v
dividinto por dt
dv ∂v
dt = ∂t + (dv · grad)v
Substituindo na equa¸˜o do movimento
ca
−grad(p) = ρ dv
dt
3

4. −grad(p) = ρ[ ∂v + (v · grad)v]
∂t
1 ∂v
− ρ grad(p) = ∂t + (v · grad)v
Equa¸˜o de Euler
ca
4